Programmierung WS12/13 Lösung - Übung 2 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Otto, T. Ströder

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1 Pof. aa D. J. Giesl Pogammieung WS/3 M. Bockschmidt, F. Emmes, C. Otto, T. Stöde Tutoaufgabe (Umfomung von Vezweigungen): a) i) Wie kann man allgemein eine switch-anweisung in eine Reihe von if(...)... else...- Anweisungen übefühen? Gehen Sie hiebei davon aus, dass die einzelnen case-zweige jeweils mit beak enden. ii) Wie kann man allgemein eine if(...)... else...-anweisung in eine switch-anweisung übefühen? iii) Welche Vo- und Nachteile bieten switch-anweisungen gegenübe if-anweisungen? Lösung: a) i) Jede switch-anweisung kann duch if/else Anweisungen esetzt weden. switch ( va ) case : // Mach was beak ; case : // Mach was andees beak ; default : // Mach noch etwas andees kann esetzt weden duch: if(va == ) // Mach was else if( va == ) // Mach was andees else // Mach noch etwas andees ii) Eine Anweisung de Fom if ( bedingung ) then_ anweisungen else else_ anweisungen kann man beispielsweise in übefühen. switch ( bedingung? : 0) case : then_ anweisungen beak ; case 0: else_ anweisungen beak ;

2 iii) Die switch-anweisung wid gene eingesetzt, wenn es nötig ist, eine Vaiable auf mehee veschiedene Wete zu testen. Fü solche Fälle bietet die switch-anweisung eine seh übesichtliche Syntax. Die if-anweisung eignet sich vo allem, falls es sich um eine Untescheidung zweie Altenativen handelt, ode sich die Bedingung nicht geeignet als Zahl ausdücken lässt. Aufgabe (Umfomung von Schleifen): (3 + 3 = 6 Punkte) a) Die Fakultätsfunktion bildet eine natüliche Zahl n auf das Podukt de Zahlen bis n ab. Implementieen Sie die Fakultätsfunktion jeweils als while-, und do-while- und fo-schleife. Vewenden Sie hiefü die Datei Fakultaet.java, die sie von de Homepage heunteladen können. b) Die dei Schleifenaten while, do-while und fo haben alle die gleiche Ausducksstäke. D.h. man kann jede Schleife de einen At in eine Schleife eine beliebigen andeen At übesetzen, ohne die Bedeutung des Pogamms zu änden. Beispielsweise lässt sich eine fo-schleife auch als do-while Schleife ausdücken: Die Schleife fo (Z; B; I) P ; (P ist hiebei eine Folge von Anweisungen) ist äquivalent zu Z; if (B) do P ; I; while (B); Zeigen Sie, wie man auf ähnliche Weise i) eine do-while-schleife in eine fo-schleife, ii) eine fo-schleife in eine while-schleife und iii) eine while-schleife in eine do-while-schleife umwandeln kann. Lösung: a) public class Fakultaet static int fakwhile ( int n) int = ; int i = ; while (i <= n) = * i; ++i; etun ; static int fakdowhile ( int n) int = ; int i = 0; do ++i;

3 = * i; while (i < n); etun ; static int fakfo ( int n) int = ; fo ( int i = ; i <= n; ++i) = * i; etun ; public static void main ( Sting [] ags ) System. out. pintln ("i\ tfakwhile (i)\ tfakdowhile (i)\ tfakfo (i)"); fo ( int i = 0; i < 0; ++ i) System. out. pintln (i + "\t" + fakwhile (i) + "\t\t" + fakdowhile (i) + "\t\t" + fakfo (i )); b) i) Die Schleife do P ; while (B); ist äquivalent zu P ; fo(;b;) P ;. ii) Die Schleife fo (Z; B; I) P ; ist äquivalent zu Z; while (B) P ; I; iii) Die Schleife while (B) P ; ist äquivalent zu if (B) do P ; while (B); Tutoaufgabe 3 (Das Hez): In diese Aufgabe sollen Sie ein Pogamm scheiben, das auf de Konsole ein Hez ausgibt. Im Folgenden betachten wi ein Koodinatensystem, in dem de Uspung links oben ist. Betachten Sie zu Illustation das folgende Bild, in dem de Punkt A an (, 3) und de Punkt B an (3, ) liegt: 3

4 B 3 A a) Wi wollen nun untesuchen, ob ein Punkt P mit den Koodinaten (p x, p y ) in einem Keis liegt, den wi mit Hilfe eines Punktes C (an Position (c x, c y )) und eines Radius angeben. Dies wid im folgenden Schaubild fü P = (, ), C = (.5,.5) und = illustiet: C P 3 Ein Punkt (p x, p y ) liegt dann in einem Keis, wenn sein Abstand vom Mittelpunkt (c x, c y ) kleinegleich dem Radius ist (d. h. Punkte auf dem Rand des Keises zählen als innehalb des Keises liegend). Vevollständigen Sie nun die folgende Funktion so, dass tue zuückgegeben wid, wenn (px, py) im vom Mittelpunkt (cx, cy) und Radius definieten Keis liegt und false in allen andeen Fällen: public static boolean inkeis ( double px, double py, double cx, double cy, double ) etun... Die Anweisung etun exp wetet den Ausduck exp aus und setzt das Egebnis an de Aufufstelle de Funktion ein. Vewenden Sie die Funktion Math.sqt(double a), die a als double zuückgibt. b) Wi wollen nun untesuchen, ob ein Punkt P mit den Koodinaten (p x, p y ) in eine quadatischen Raute liegt, die wi mit Hilfe eines Punktes C (an Position (c x, c y )) und eine Rautenbeite b definieen. Dies wid im folgenden Schaubild fü P = (, ), C = (.5,.5) und b =.5 illustiet: C b P b 3 Ein Punkt (p x, p y ) liegt dann in eine Raute um (c x, c y ), wenn die Summe de Diffeenzen p x c x + p y c y kleinegleich de Rautenbeite b ist (d. h. Punkte auf dem Rand de Raute zählen als innehalb de Raute liegend). 4

5 Vevollständigen Sie nun die folgende Funktion so, dass tue zuückgegeben wid, wenn (px, py) in de Raute um den Mittelpunkt (cx, cy) und Rautenbeite b liegt und false in allen andeen Fällen: public static boolean inraute ( double px, double py, double cx, double cy, double b) etun... Vewenden Sie die Funktion Math.abs(double a), die a als double zuückgibt. c) Wi wollen nun untesuchen, ob ein Punkt in einem Hez liegt. Betachten Sie zuest das folgende Schaubild: b b C b b b 3 Ein Punkt liegt dann in einem Hez mit Gesamtbeite g und Mittelpunkt C = (c x, c y ), wenn e in eine Raute mit Rautenbeite b = g um C, in einem Keis mit Radius + b um (c x b, c y b ) ode in einem Keis mit dem gleichen Radius um (c x + b, c y b ) liegt. Im Beispiel ist g = 4 gewählt woden. Vewenden Sie nun die Funktionen inkeis aus Teilaufgabe a) und inraute aus Teilaufgabe b), um die folgende Funktion zu implementieen, die genau dann tue zuückgibt, wenn ein Punkt (cx, cy) in einem duch den Mittelpunkt (cx, cy) und die Gesamtbeite g beschiebenen Hezen liegt: public static boolean inhez ( double px, double py, double cx, double cy, double g) etun... Vewenden Sie die Funktion Math.sqt(double a), die a als double zuückgibt. Vewenden Sie die boolesche Veknüpfung, um die veschiedenen Bedingungen miteinande zu vebinden. d) Sie sollen nun die Funktion inhez aus Aufgabenteil c) vewenden, um ein Hez auf de Konsole auszugeben. Scheiben Sie nun ein Pogamm, das. den Benutze nach de Gesamtbeite g fü das Hez fagt und eine Intege-Zahl einliest. Bestimmen Sie daaus ( g, g ) als Mittelpunkt fü das Hez.. mit Hilfe zweie Schleifen alle Koodinaten (0, 0),..., (0, g), (, 0),... (, g),... (g, g) abläuft und ein # ausgibt, wenn sich die Koodinate im Hez befindet und sonst ausgibt. Ein Aufuf des Pogamms soll dann etwa das folgende Resultat zeigen: 5

6 Geben Sie die gewuenschte Gesamtbeite ein : 30 ######### ######### ######################### ########################### ############################# ############################# ########################### ######################### ####################### ################### ############### ########### ####### ### Wenn Sie mit dem Aussehen Ihes Hezens unzufieden sind, weil es vetikal gesteckt ist, liegt dies vemutlich daan, dass in üblichen Schiftaten ein Zeichen ca. mal so hoch wie beit ist. Wollen Sie ein gleichmäßigees Egebnis ezielen, so düfen Sie die y-wete (also die Höhe) alle Koodinaten vo de Eingabe in inhez mit multiplizieen. Dies wude auch bei de obigen Beispielausgabe gemacht. Sie düfen statt eines # fü ein schönees Egebnis auch das Unicode-Zeichen \u665 (dagestellt als ) vewenden. Lösung: public class Hez public static boolean inkeis ( double px, double py, double cx, double cy, double ) double dx = px - cx; double dy = py - cy; etun Math. sqt (dx*dx + dy*dy) <= ; public static boolean inraute ( double px, double py, double cx, double cy, double b) double dx = px - cx; double dy = py - cy; etun Math. abs (dx) + Math. abs (dy) <= b; public static boolean inhez ( double px, double py, double cx, double cy, double g) double b = g /( + / Math. sqt ()); double adius = b/ Math. sqt (); etun inraute (px, py, cx, cy, b) inkeis ( px, py, cx + ( b / ), cy - ( b / ), adius ) inkeis (px, py, cx - (b / ), cy - (b / ), adius ); public static void main ( Sting [] ags ) System. out. pint (" Geben Sie die gewuenschte Gesamtbeite ein : "); int gesamtbeite = Intege. paseint ( System. console (). eadline ()); 6

7 double cx = gesamtbeite /; double cy = gesamtbeite /; // y* skaliet die Hoehe besse fo ( int y = 0; y* <= gesamtbeite ; y ++) fo ( int x = 0; x <= gesamtbeite ; x ++) if ( inhez (x, y*, cx, cy, gesamtbeite )) System. out. pint ("\ u665 "); else System. out. pint (" "); System. out. pintln (); Aufgabe 4 (Das Keuz): ( = Punkte) In diese Aufgabe sollen Sie ein Pogamm scheiben, das auf de Konsole ein Keuz Katensymbol ausgibt. Die zu Illustation vewendeten Koodinatensysteme weden in de vohegehenden Tutoaufgabe eingehend eklät. a) Wi wollen zuest untesuchen, ob ein Punkt P mit den Koodinaten (p x, p y ) in einem hoizontal ausgeichteten Rechteck liegt, das wi mit Hilfe zweie Punkte A (an Position (a x, a y )) und B (an Position (b x, b y )) angeben. Hiebei soll A die linke obee Ecke und B die echte untee Ecke des Rechtecks sein. Dies wid im folgenden Schaubild fü P = (, ), A = (, 0.5) und B = (3.5,.5) illustiet: A P 3 B Ein Punkt (p x, p y ) liegt genau dann in einem hoizontal ausgeichteten Rechteck, wenn seine Koodinaten zwischen denen de Eckpunkte A und B liegen (Sie bauchen Vetauschungen von A und B nicht zu beücksichtigen, da dies nach unseen Vogaben kein gültiges Rechteck definieen wüde). Punkte auf dem Rand des Rechtecks sollen als innehalb des Rechtecks liegend gewetet weden. Vevollständigen Sie nun die folgende Funktion so, dass tue zuückgegeben wid, wenn (px, py) im von den Eckpunkten (ax, ay) und (bx, by) definieten Rechteck liegt und false in allen andeen Fällen: public static boolean inrechteck ( double px, double py, double ax, double ay, double bx, double by) etun... 7

8 Die Anweisung etun exp wetet den Ausduck exp aus und setzt das Egebnis an de Aufufstelle de Funktion ein. b) Wi wollen nun untesuchen, ob ein Punkt in einem Keuz Katensymbol liegt. Betachten Sie zuest das folgende Schaubild: h B + Ein Punkt liegt dann in einem Keuz mit Gesamthöhe h und Basispunkt B = (b x, b y ), wenn e mindestens eine de folgenden Eigenschaften efüllt: E liegt in einem Keis mit Radius = h 4 um einen de Punkte (b x, b y 3 ), (b x, b y ) ode (b x +, b y ). E liegt in einem hoizontal ausgeichteten Rechteck mit Eckpunkten (b x, b y ) und (b x + +, b y ) und nicht in einem Keis mit Radius um einen de Punkte (b x, b y ) ode (b x + +, b y ). Im Beispiel ist h = 8 und B = (5, 8) gewählt woden. Vewenden Sie nun die Funktionen inkeis aus de voheigen Tutoaufgabe und inrechteck aus Teilaufgabe a), um die folgende Funktion zu implementieen, die genau dann tue zuückgibt, wenn ein Punkt (px, py) in einem duch den Basispunkt (bx, by) und die Gesamthöhe h beschiebenen Keuz liegt: public static boolean inkeuz ( double px, double py, double bx, double by, double h) etun... Vewenden Sie die booleschen Veknüpfungen und && sowie die Negation!, um die veschiedenen Bedingungen miteinande zu vebinden. 8

9 c) Sie sollen nun die Funktion inkeuz aus Aufgabenteil b) vewenden, um ein Keuz auf de Konsole auszugeben. Scheiben Sie nun ein Pogamm, das. den Benutze nach de Gesamthöhe h fü das Keuz fagt und eine Intege-Zahl einliest. Bestimmen Sie daaus ( h +, h) als Basispunkt fü das Keuz.. mit Hilfe zweie Schleifen alle Koodinaten (0, 0),..., (0, h), (, 0),... (, h),... (h +, h) abläuft und ein # ausgibt, wenn sich die Koodinate im Keuz befindet, und sonst ausgibt. Ein Aufuf des Pogamms soll dann etwa das folgende Resultat zeigen: Geben Sie die gewuenschte Gesamthoehe ein : 40 # ########### ############### ################# ################# ################# ############### ############# ########################### ############################### ################################# ################################# ################################# ################################# ############################### ########## ### ########## ### ### ##### ####### ################### Wenn Sie mit dem Aussehen Ihes Keuzes unzufieden sind, weil es vetikal gesteckt ist, liegt dies vemutlich daan, dass in üblichen Schiftaten ein Zeichen ca. mal so hoch wie beit ist. Wollen Sie ein gleichmäßigees Egebnis ezielen, so düfen Sie die y-wete (also die Höhe) alle Koodinaten vo de Eingabe in inkeuz mit multiplizieen. Dies wude auch bei de obigen Beispielausgabe gemacht. Sie düfen statt eines # fü ein schönees Egebnis auch das Unicode-Zeichen \u663 (dagestellt als ) vewenden. d) Das Aussehen des Keuzes kann noch vebesset weden, indem de Mittelpunkt des obesten Keises so nach oben veschoben wid, dass die Mittelpunkte de dei obeen Keise ein gleichseitiges Deieck bilden. Daduch entsteht jedoch eine Lücke im Keuz, die duch einen zusätzlichen Test, ob die aktuelle Koodinate innehalb dieses Deiecks liegt, wiede ausgefüllt weden kann. Adaptieen Sie Ih Pogamm, sodass es diese optische Vebesseung umsetzt (auch dies wude fü die obige Beispielausgabe vewendet). Lösung: public class Keuz // wi betachten nu Deiecke, bei denen die untee Seite hoizontal // velaeuft - daduch veeinfachen sich die Beechnungen und diese 9

10 // Fall ist auseichend fue unsee Anwendung public static boolean indeieckmithoizontalegundlinie ( double px, double py, double left, double upx, double upy, double ight, double low ) // bestimme Koodinaten de Diffeenzvektoen double abx = upx - left ; double aby = upy - low ; double acx = ight - left ; double apx = px - left ; double apy = py - low ; // bestimme Koeffizienten double p = apy / aby ; double q = ( apx - p * abx ) / acx ; // teste, ob Lineakombination innehalb des Deiecks liegt etun 0 <= q && 0 <= p && q <= && p <= && p + q <= ; public static boolean inkeis ( double px, double py, double cx, double cy, double adius ) double dx = px - cx; double dy = py - cy; etun Math. sqt ( dx * dx + dy * dy) <= adius ; public static boolean inkeuz ( double px, double py, double bx, double by, double h) // ohne (*) Aufgabe muss (3 + Math. sqt (3)) duch 4 esetzt weden double = h / (3 + Math. sqt (3)); etun // untee Beeich, abe nicht den unteen Keisen ( inrechteck (px, py, bx - -, by - *, bx + +, by) &&! inkeis (px, py, bx - -, by -, ) &&! inkeis (px, py, bx + +, by -, )) // ode in einem de dei obeen Keise inkeis (px, py, bx -, by - *, ) // ohne (*) Aufgabe muss ( + Math. sqt (3)) duch 3 esetzt // weden inkeis (px, py, bx, by - ( + Math. sqt (3)) *, ) inkeis (px, py, bx +, by - *, ) // ode im Deieck aus den Mittelpunkten de obeen Keise 0

11 // ( nu fue (*) Aufgabe noetig ) indeieckmithoizontalegundlinie ( px, py, bx -, bx, by - ( + Math. sqt (3)) *, bx +, by - * ); public static boolean inrechteck ( double px, double py, double ax, double ay, double bx, double by) etun ax <= px && px <= bx && ay <= py && py <= by; public static void main ( Sting [] ags ) System. out. pint (" Geben Sie die gewuenschte Gesamthoehe ein : "); int gesamthoehe = Intege. paseint ( System. console (). eadline ()); double cx = gesamthoehe / + ; // y * skaliet die Hoehe besse fo ( int y = 0; y * < gesamthoehe ; y ++) fo ( int x = 0; x < gesamthoehe + ; x ++) if ( inkeuz ( x, y *, cx, gesamthoehe, gesamthoehe )) // altenativ // System. out. pint ("#"); System. out. pint ("\ u663 "); else System. out. pint (" "); System. out. pintln (); Tutoaufgabe 5 (Veifikation): Gegeben sei folgendes Java-Pogamm P : y 0 (Vobedingung) = ; c = y; while (c > 0) = * x; c = c - ;

12 = x y (Nachbedingung) a) Vevollständigen Sie die folgende Veifikation des Algoithmus im Hoae-Kalkül, indem Sie die untestichenen Teile egänzen. Hiebei düfen zwei Zusicheungen nu dann diekt unteeinande stehen, wenn die untee aus de obeen folgt. Hinte eine Pogammanweisung daf nu eine Zusicheung stehen, wenn dies aus eine Regel des Hoae-Kalküls folgt. Sie düfen beliebig viele Zusicheungs-Zeilen egänzen ode steichen. In de Mustelösung weden alledings genau die angegebenen Zusicheungen benutzt. Bedenken Sie, dass die Regeln des Kalküls syntaktisch sind, weshalb Sie semantische Ändeungen (beispielsweise von x+ = y+ zu x = y) nu unte Zuhilfenahme de Konsequenzegeln vonehmen düfen. b) Untesuchen Sie den Algoithmus P auf seine Teminieung. Fü einen Beweis de Teminieung muss eine Vaiante angegeben weden und mit Hilfe des Hoae-Kalküls die Teminieung unte de Voaussetzung y 0 bewiesen weden. Lösung: a) y 0 y 0 = y = y = ; y 0 = y = y c = y; y 0 = c = y x y = x c c 0 while (c > 0) x y = x c c 0 c > 0 x y = x x c c 0 = * x; x y = x c c 0 c = c - ; x y = x c c 0 x y = x c c 0 c > 0 = x y b) Eine gültige Vaiante fü die Teminieung ist V = c, denn die Schleifenbedingung B = c > 0 impliziet c 0 und es gilt: = * x; c = c - ; c = m c > 0 c < m c < m c < m Damit ist die Teminieung de einzigen Schleife in P gezeigt.

13 Aufgabe 6 (Veifikation): Gegeben sei folgendes Java-Pogamm P : ϕ (Vobedingung) = ; while ( * < x) = + ; ψ (Nachbedingung) (6 Punkte) a) Als Vobedingung ϕ fü das oben aufgefühte Pogamm P gelte x > 0 und als Nachbedingung ψ gelte = x (hiebei ist x die ganzzahlige Aufundung von x; siehe auch wiki/abundungsfunktion_und_aufundungsfunktion). Vevollständigen Sie die folgende Veifikation des Algoithmus im Hoae-Kalkül, indem Sie die untestichenen Teile egänzen. Hiebei düfen zwei Zusicheungen nu dann diekt unteeinande stehen, wenn die untee aus de obeen folgt. Hinte eine Pogammanweisung daf nu eine Zusicheung stehen, wenn dies aus eine Regel des Hoae-Kalküls folgt. Sie düfen beliebig viele Zusicheungs-Zeilen egänzen ode steichen. In de Mustelösung weden alledings genau die angegebenen Zusicheungen benutzt. Bedenken Sie, dass die Regeln des Kalküls syntaktisch sind, weshalb Sie semantische Ändeungen (beispielsweise von x+ = y+ zu x = y) nu unte Zuhilfenahme de Konsequenzegeln vonehmen düfen. b) Untesuchen Sie den Algoithmus P auf seine Teminieung. Fü einen Beweis de Teminieung muss eine Vaiante angegeben weden und mit Hilfe des Hoae-Kalküls die Teminieung bewiesen weden. Hinweis: Sie düfen in diese Teilaufgabe annehmen, dass die Vaiable nicht mit negativen Zahlen belegt ist, d. h. Sie düfen bei Vewendung de Konsequenzegeln imme von 0 ausgehen. Lösung: a) x > 0 x > 0 = = ; x > 0 = ( ) < x > 0 while ( * < x) ( ) < x > 0 < x ( + ) < x + > 0 = + ; ( ) < x > 0 ( ) < x > 0 ( < x) = x De folgende Teil dient lediglich zu Ekläung und ist fü die Lösung de Aufgabe nicht efodelich. E zeigt genau, welche einzelnen Regeln des Kalküls in de obigen Lösung vewendet wuden, um die Koektheit von P zu zeigen. 3

14 x > 0 0 = 0 = ; x > 0 = Zuweisung Konsequenz x > 0 = ; x > 0 = x > 0 = ; ( ) Konsequenz < x > 0 ( + ) < x + > 0 = + ; ( ) < x > 0 Zuweisung ( ) < x > 0 < x = + ; ( ) < x > 0 Konsequenz ( ) < x > 0 while ( * < x) = + ; ( ) < x > 0 x Schleife ( ) < x > 0 while ( * < x) = + ; = Konsequenz x x > 0 = ; while ( * < x) = + ; = Sequenz x b) Wi wählen als Vaiante V = x. Hiemit lässt sich die Teminieung von P beweisen, denn fü die einzige Schleife im Pogamm (mit Schleifenbedingung B = < x und Schleifenköpe = + ;) gilt: B V 0, denn B < x x > 0 V > 0 und unte de Annahme 0, ist die folgende Ableitung koekt: x = m < x x ( + ) < m = + ; x < m 4