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1 URL: UNIVERSITY OF BIRMINGHAM THE of Computer Science School Edgbaston, Birmingham B15 2TT, England Inferenzverfahren Manfred Kerber and Jíorg Siekmann Published as: Wíorterbuch der Kognitionswissenschaft, 1996, Gerhard Strube èed.è, Klett-Cotta, in German

2 Inferenzverfahren 1 Inferenzverfahren Manfred Kerber Jíorg Siekmann kerber@cs.uni-sb.de siekmann@dfki.uni-sb.de Fachbereich Informatik, Universitíat des Saarlandes, Saarbríucken. Die klassische KI geht von der These aus è physical symbol hypothesisë, H. Simonè, daç intelligente Leistungen an die Fíahigkeit gebunden sind, Wissen symbolisch zu repríasentieren. Damit ergeben sich zwei fundamentale Forschungsfragen, die inzwischen in eigenen Fachdisziplinen mit einer Vielzahl internationaler Spezialkonferenzen untersucht werden: æ Wie kann man èalltags-è Wissen geeignet repríasentieren? æ Wie kann man aus einer gegebenen Wissensrepríasentation gíultige Schlíusse ziehen? Insbesondere die zweite Frage wird in der formalen Logik seit Jahrhunderten untersucht und bei der Bearbeitung dieser Frage ist es auch zur bisher fruchbarsten interdiszipliníaren Zusammenarbeit zwischen KI, Logik, Psychologie und Computerlinguistik gekommen. Inferenz ist ein Prozeç, durch den aus gegebenen Tatsachen und Annahmen Schlíusse gezogen werdenë; diese Deænition umfaçt verschiedene Formen des Schlieçens è@schlieçenè, die wir im folgenden betrachten wollen. Deduktion Eine der am meisten untersuchten Inferenztechniken, die heute auch am besten verstanden wird, ist Das Ziel ist, aus einer gegebenen Menge von Fakten logische Konsequenzen herzuleiten. Fíur die Mathematik heiçt das beispielsweise unter der Annahme von gewissen Axiomen und Deænitionen zu beweisen, daç ein Theorem gilt. In der Physk míochte man eventuell aus gegebenen Sachverhalten èzum Beispiel Messungen in einem Versuchè auf die Bahngeschwindigkeit schlieçen. In der Psychologie interessiert man sich fíur die schon von Aristoteles beobachtete Tatsache, daç Menschen gewisse Schlíusse fíur logischkorrekt halten, andere dagegen nicht è@denkenè. Grundlage der Deduktion ist das heiçt eine formale Sprache mit festgelegter Syntax und Semantik.Unter klassischer Logik versteht man und erster Stufe. Typische Formeln der Aussagenlogik haben die Gestalt P, èp! Qè, èèr^p è! Qè èlies P, P impliziert Q, R und P impliziert Qè. Dabei kann P zum Beispiel fíur Sokrates ist ein Menschë, Q fíur Sokrates ist sterblichë und R fíur Alle Menschen sind sterblichë stehen. Die erste Formel liest sich dann: Wenn Sokrates ein Mensch ist, dann ist Sokrates sterblichë. In der Príadikatenlogik erster Stufe sind íuber die aussagenlogischen Formeln hinausgehend nochformeln der Gestalt 8x Menschèxè! sterblichèxèë, MenschèSokratesèë oder sterblichèsokratesèë míoglich, wobei die erste Formel einen Allquantor enthíalt, sie lautet fíur alle x gilt, wenn x ein Mensch ist, dann ist x sterblich.ë Die Frage, was eine logische Konsequenz ist, kann nun durch Deduktionsregeln wie zum Beispiel Ponens oder beschrieben werden. Deduktionsregeln sind der Kern eines deduktiven Kalkíuls èhier konkret eines Hilbertkalkíulsè: aus 1

3 Inferenzverfahren 2 gegebenen Voraussetzungen, die als gíultig angenommen werden, wird in einer Kette von deduktiven Schlíussen èanwendungen einer Deduktionsregelè auf einen bestimmten Sachverhalt geschlossen, der damit ebenfalls gíultig ist. Eine wichtige Voraussetzung fíur diese Vorgehensweise ist die Korrektheit eines Kalkíuls, das heiçt aus einer wahren Voraussetzung kann man nie etwas Falsches schlieçen. Ebenso wichtig ist die Vollstíandigkeit eines Kalkíuls, das heiçt, daç man alle wahren Aussagen auch wirklich so erschlieçen kann. Fíur die Príadikatenlogik erster Stufe sind korrekte und vollstíandige Kalkíule seit 1930 bekannt. Man kann nun nach einer minimalen, aber ausreichenden Regelmenge fíur die Deduktion fragen èzum Beispiel geníugen der Modus Ponens und die Instantiierung, um einen vollstíandigen Kalkíul aufzubauenè, man kann sich aber auch umgekehrt fragen: welche der von Menschen als natíurlich angesehenen Schluçweisen lassen sich korrekt formalisieren? Die letzte Frage fíuhrte zu den Kalkíulen des Natíurlichen Schlieçens von Gentzen ëghe93, S. 76æë. Solche Kalkíule wurden in der ersten Híalfte dieses Jahrhunderts ausgiebig untersucht und es gibt inzwischen eine kaum noch íuberschaubare Menge an guten Logikbíuchern, die diese Resultate aufarbeiten und geschlossen darstellen èeine gute deutschsprachige Referenz ist ëeft86ëè. Die Entwicklung von Deduktionskalkíulen hat eine jahrhundertealte Tradition, die seit dem zweiten Weltkrieg um eine neue Variante bereichert wurde, níamlich die Frage, welche Deduktionsverfahren eignen sich besonders gut fíur die Implementierung auf einem Rechner? Zwei solche Verfahren sind und das Tableauverfahren. Das erste beruht auf der eigens fíur die Mechanisierung auf dem Rechner entwickelten Resolutionsregel, die eine Verallgemeinerung der beiden oben angefíuhrten Regeln ist. P _ Q 1 _ :::_ Q n :P 0 _ R 1 _ :::_ R m çèp è=çèp 0 è çèq 1 è _ :::_ çèq n è _ çèr 1 è _ :::_ çèr m è Allerdings míussen im Gegensatz zur Instantiierung die richtigen Instanzen nicht mehr geraten werden, sondern werden durch die@uniækation bestimmt. Wíahrend das Resolutionsverfahren auf einer bestimmten Normalform aufbaut, ist das fíur das Tableauverfahren nicht der Fall, die Herleitung geschieht durch Dekompositionsregeln, die die Formeln aufspalten ëghe93, S ë. Fíur die automatische Deduktion auf dem Rechner sind eine Reihe von Spezialverfahren zur Eæzienzsteigerung entwickelt worden. Diese betreæen zum Beispiel die Behandlung spezieller Theorien und sogenannte built-ins fíur bestimmte, híauæg vorkommende Príadikate wie die Gleichheit oder Theorien wie Ordnungsrelationen, Arithmetik oder Mengenlehre. Auf eine Spezialbehandlung wollen wir noch kurz eingehen, die Behandlung der Gleichheit. Die Gleichheit ist ein zweistelliges Príadikatensymbol ë= mit der Semantik, daç t 1 = t 2 genau dann gilt, wenn t 1 und t 2 nur als das gleiche Element des Universums interpretiert werden kíonnen. Zwar kann dieses Príadikat fíur eine gegebene Signatur hinreichend genau axiomatisiert werden èals íaquivalenzrelation mit Substitutionseigenschaftè, aber fíur die praktische Realisierung ist das sehr ineæzient. Deshalb wurde das Resolutionsverfahren um eine weitere Inferenzregel, die Paramodulationsregel, erweitert, die es erlaubt Gleiches 2

4 Inferenzverfahren 3 durch Gleiches zu ersetzen. In vielen praktischen Fíallen ist dies immer noch ineæzient und deshalb wurden sogenannte Termersetzungsverfahren è@termersetzungè entwickelt, die die Gleichheit behandeln, indem die Relation gerichtet wird. Zum Beispiel kann man mit einer Gleichung a = b alle Vorkommen von a durch b ersetzen, aber nicht umgekehrt. Im Zusammenhang mit Variablen und Funktionssymbolen ist es níotig sogenannte kritische Paare zu bestimmen und diese Termersetzung zu vervollstíandigen. Auch dieses Verfahren ist weiter verallgemeinert und verbessert worden. Fíur die Mechanisierung von Logiken und deren Implentierung auf dem Rechner gibt es zahlreiche Lehrbíucher mit unterschiedlichen Schwerpunkten, eine gute Referenz ist ëwolb84ë. Die bisher betrachteten maschinenorientierten Verfahren basieren auf einer mehr oder weniger geschickten, systematischen Suche in dem durch den Kalkíul aufgespannten Suchraum míoglicher Inferenzschritte. Im Gegensatz dazu versuchen èmenschlicheè Mathematiker riesige Suchríaume durch eine geschickte Beweisplanung von vornherein zu vermeiden. Diese Vorgehensweise wird zur Zeit auch fíur rechnerorientierte Verfahren entwickelt: in einem planorientierten Ansatz wird die Suche nach einem Beweis als eine Planungsaufgabe è@planenè auf einer dem Menschen angepaçten Abstraktionsebene aufgefaçt. Diese Verfahren eignen sich besonders gut fíur interaktive mathematische Assistenzsysteme. Erweiterungen und Alternativen Gewisse Sachverhalte lassen sich in klassischer Príadikatenlogik nur unzureichend beschreiben und operationalisieren. Daher wurden und werden Erweiterungen der klassischen Logik ebenso wie Alternativen zu ihr entwickelt. Die Entwicklungsgeschichte dieser Nichtstandardlogiken ist teilweise schon sehr alt, aber teilweise ist sie auch durch Probleme der Kíunstlichen Intelligenzë èkiè initiiert worden, alle diese Entwicklungen haben jedoch durch die KI neue Aktualitíat erhalten. Man kann die Nichtstandard-Logiken grob in zwei Gruppen unterteilen: 1. in solche, die die klassische Logik erweitern und 2. in solche, die sich als Alternative zur klassischen Logik darstellen. Zur ersten Logiken híoherer Stufe In diesen Systemen wird die Syntax der zugrundeliegenden Sprache gegeníuber der klassischen Logik erweitert. Zur zweiten Gruppe gehíoren Logiken, sowie intuitionistische Logik und konstruktive Logik, die zwar èoftè die gleiche Sprache verwenden, aber einen anderen Tautologiebegriæ haben. Zum Beispiel gilt in der klassischen Logik das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten P _:P,in intuitionistischer Logik oder in mehrwertigen Logiken aber nicht. Eine andere Klassiæzierung nichtklassischer Logiken kann entsprechend dem Abweichen von wichtigen Prinzipien der klassischen Logik erfolgen ëkgs90, S.19ë: 3

5 Inferenzverfahren 4 1. Ein Prinzip ist die Zweiwertigkeit, das heiçt in der Semantik wird jeder Formel der Wert 1 oder 0 zugeordnet, wobei 1 fíur wahrë und 0 fíur falschë steht; dieses Prinzip wird in den mehrwertigen Logiken und der Fuzzylogik aufgehoben. 2. In den Modallogiken gilt das Extensionalitíatsprinzip nicht mehr, das heiçt der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage líaçt sichnicht mehr allein aus den Wahrheitswerten ihrer Bestandteile bestimmen. 3. Klassische Logik ist explosiv, das heiçt aus einem Widerspruch kann man beliebige Aussagen folgern. Somit muç man sich vor Widerspríuchen híuten, da sonst jeder Unsinn hergeleitet werden kann. Will man trotz widerspríuchlicher Datenmengen noch sinnvoll schlieçen èwie es Menschen ja auch oft tunè, so muç man zu Parakonsistenten Logiken íubergehen. 4. Ein weiteres Prinzip klassischer Logik ist die Monotonie: Folgt eine Formel ' aus einer Formelmenge,, so folgt ' auch aus jeder Obermenge von,. Die Abweichung von diesem Prinzip gibt Logiken ihren Namen. Im weiteren soll ein knapper íuberblick íuber die in der KI verwendeten Logiken gegeben werden, wobei sowohl die Einteilung als auch die Einzeldarstellungen stark vereinfacht sind. Entsprechend der Unterscheidung zwischen klassischer Aussagenlogik und klassischer Príadikatenlogik werden diese Logiken èabgesehen von der Logik híoherer Stufe natíurlichè auch fíur den aussagenlogischen und den príadikatenlogischen Fall unterschieden. Ein deutsches Lehrbuch zu nicht-klassischen Logiken ist ëkgs90ë. Logik híoherer Stufe Diese Logik kommt der mathematischen Fachsprache sehr nahe und ist fíur viele Anwendungen in der KI besser geeignet als eine Logik erste Stufe, da hier auch íuber Príadikatssymbole und Funktionssymbole quantiæziert werden darf. Ein typisches Beispiel fíur einen Ausdruck zweiter Stufe ist das Peano-Axiom, welches das Prinzip der vollstíandigen Induktion fíur natíurliche Zahlen beschreibt: 8P P è0è ^ è8n P ènè! P èsènèèè! è8n P ènèè In Worten: Wenn eine Eigenschaft èdas heiçt das Príadikat P èfíur die Null gezeigt werden kann und wenn sie fíur eine natíurliche Zahl n gilt, dann auch fíur deren Nachfolger sènè, dann gilt sie fíur alle natíurlichen Zahlen. Dieses Axiom ist híoherer Stufe, da hier íuber alle Príadikate gesprochen wird. èquantiæzierung: 8P è. Paradox zu vermeiden, werden íublicherweise alle Ausdríucke der Logik híoherer Stufe mit Typen versehen. Im Gegensatz zur Logik erster Stufe gibt es fíur die Logik híoherer Stufe bezíuglich der íublichen Semantik keine korrekten und vollstíandigen Kalkíule. Diese prinzipielle Schwíache kann durch Nichtstandardsemantiken fíur alle praktisch vorkommenden Fíalle behoben werden. Die wichtige Unterscheidung zwischen einer Logik erster Stufe und híoherer Stufe hat sich um 1915 herausgebildet. In einer Logik erster Stufe gelten fundamentale Eigenschaften, wie der Satz von Líowenheim-Skolem, der Kompaktheitssatz, das Uniækationstheorem und viele andere, die in einer Logik híoherer Stufe nicht mehr gelten. Fíur eine Einfíuhrung ist ëand86ë ein empfehlenswertes Lehrbuch. 4

6 Inferenzverfahren 5 erweitern die Syntax unsortierter Logiken. Diese Erweiterungen lassen sich im Prinzip zu allen Logiken bilden, am weitesten entwickelt sind sie fíur die klassische Príadikatenlogik erster Stufe. Sie entsprechen dem íublichen Vorgehen von Menschen, ihren Diskursbereich so zu strukturieren, daç fíur Objekte verschiedener Klassen auch verschiedene Klassen von Symbolen verwendet werden. Dadurch kann zum einen eine kompaktere und intuitivere Darstellung gefunden werden èzum Beispiel verwenden Mathematiker typischerweise n um anzuzeigen, daç n eine natíurliche Zahl ist, oder ç um anzuzeigen, daç ç eine Substitution istè. Zum anderen stellte sich heraus, daç auch der Suchraum in der automatischen Beweissuche erheblich kleiner wird. Formal stehen in der einfachsten Variante Sorten fíur bestimmte einstellige Príadikatssymbole. Zum Beispiel schreibt man in sortierter Logik 8n: IN geradeènè _ ungeradeènè. In unsortierter Logik liest sich diesinder sogenannten Relativierung als: 8n INènè! ègeradeènè _ ungeradeènèè ëmt93ë. behandeln die Konzepte Notwendigkeitë und Míoglichkeitë, mit der Vorstellung, daç eine notwendige Aussage in allen míoglichen Welten gilt, wíahrend eine míogliche Aussage in mindestens einer Welt gelten sollte. Zur Darstellung werden sogenannte Modaloperatoren 2 und 3 verwendet, wobei 2' fíur ' ist notwendigerweise wahrë und 3' fíur ' ist míoglicherweise wahrë steht. Damit ist es míoglich, Sachverhalte zu beschreiben, wie Wenn es míoglich ist, daç es regnet, ist es nicht níotig den Garten zu gieçen èè3rè! è:2gèè.ë Modallogiken selbst wurden schon von Aristoteles untersucht, aber eine formal befriedigende Formulierung wurde erst in diesem Jahrhundert durch die sogenannte Míogliche- Welten-Semantik von Kripke gefunden, in der verschiedene Erreichbarkeitsrelationen der Welten betrachtet werden. Je nach Interpretation der Modaloperatoren erhíalt man verschiedene Modallogiken wie T oder S4, die jeweils verschiedene philosophisch motivierte Ontologien beschreiben. Man kann 2' aber auch temporal interpretieren, es bedeutet dann fíur alle Zeiten gilt 'ë, und 3' bedeutet es gibt einen Zeitpunkt, in dem ' giltë. Je nach Interpretation fíur 2 und 3 erhíalt man: eine epistemische Logik Wissen èwissenèglaubenè, eine Temporallogik Zeit èereignis ist notwendigèmíoglich in der Zukunftè oder eine deontische Logik normative Aussagen èes ist geboten, es ist erlaubtè. Die dynamischen Logiken parametrisieren den Notwendigkeits- und Míoglichkeitsoperator unter anderem mit Computerprogrammen und eignen sich damit besonders gut fíur Aussagen íuber Computerprogramme beispielsweise in der Programmveriækation. In der Korrespondenztheorie werden Aussagen der Modallogik in Aussagen einer Logik híoherer Stufe èund diese wiederum oft in Aussagen der sortierten Príadikatenlogik erster Stufeè íubersetzt. Eine Einfíuhrung in Modallogiken ændet man in ëghe93, S ë. Wíahrend bislang Logiken vorgestellt wurden, deren Syntax und Semantik die klassische Logik erweitern, sollen nun Logiken betrachtet werden, die bei teilweise gleicher Syntax eine andere Semantik èbedeutungè haben. 5

7 Inferenzverfahren 6 Intuitionistische Logik In einem Grundlagenstreit Anfang des Jahrhunderts ging es darum, ob die klassische Logik und die in ihr entwickelte Mengenlehre ein geeignetes Mittel zur Modellierung der Mathematik sei: die Ablehnung des Prinzips vom ausgeschlossenen Dritten ' _:' in der intuitionistischen und der damit eng verwandten konstruktivistischen Logik ist ein wesentlicher Unterschied zur klassischen Logik. Dieses Prinzip besagt, daç wenn man zeigen kann, daç eine Formel ' falsch ist, man ihr Gegenteil :' als wahr ansehen darf. In der konstruktivistischen Logik ist dagegen fíur jede Aussage ein konstruktiver Beweis erforderlich und ein indirekter Schluç wie oben nicht zulíassig. Will man zum Beispiel zeigen, daç jede natíurliche Zahl eine Primfaktorzerlegung hat, so muç man im Prinzip einen Algorithmus dafíur angeben. Wenn die konstruktivistische Logik in der Mathematik auch eine Auçenseiterrolle spielt, so hat sie jedoch durch die Informatik und fíur Fragen der Berechenbarkeit èinsbesondere fíur funktionale Programmeè neue Aktualitíat erhalten. Zur Formalisierung intuitionistischer Logiken kann man Dialoglogiken verwenden, in denen Beweise als ein Wechselspiel von Behauptungen eines Proponenten, Angriæen dieser Behauptungen durch einen Opponenten und Erwiderungen des Proponenten aufgefaçt werden. Mehrwertige Logiken Mehrwertige Logiken weichen vom Prinzip der Zweiwertigkeit ab. Den logischen Formeln werden nicht mehr nur die Werte 0 und 1 èfíur falsch undwahrè zugeordnet sondern auch míogliche Zwischenwerte aus dem Intervall ë0; 1ë, mit denen so etwas wie vielleichtë modelliert werden kann. Mehrwertige Logiken wurden zuerst von èlukasiewicz und Post eingefíuhrt, zuníachst als dreiwertige Logik èwahr, falsch, unbekanntè und dann verallgemeinert. Gewisse Síatze, die in klassischer Logik allgemeingíultig sind, wie zum Beispiel P _:P, sind in mehrwertigen Logiken nicht mehrgíultig. Mehrwertige Logiken lassen sich auch gut einsetzen, um die Partialitíat von Funktionen zu formalisieren èpartielle Logikenè. In der klassischen Logik geht man davon aus, daç alle Funktionen total sind, das heiçt, daç sie íuberall deæniert sind. Damit kann man Funktionen wie x 7! 1 nur unzureichend modellieren, wenn man von einem Universum ausgeht, das x die Null enthíalt. Mit mehrwertigen Logiken hat man die Míoglichkeit, Aussagen neben den Werten wahrë und falschë auch noch den Wert undeæniertë zukommen zu lassen. Dies ist auch fíur die theoretische Informatik interessant, zum Beispiel um nicht-terminierende Programme zu beschreiben. Bei geht man davon aus, daç sich gewisse Begriæe wie warmë oder hat Fieberë nur unscharf fassen lassen. Als Werte sind dabei nicht nur endlich viele, sondern unendlich vielewahrheitswerte im Intervall ë0; 1ë zugelassen. Parakonsistente Logiken Da klassische Logiken explosiv sind, das heiçt aus einem Widerspruch kann man beliebige Aussagen folgern, eignen sie sich nur bedingt fíur das Alltagsschlieçen, denn Menschen kíonnen mit Widerspríuchen meist recht gut umgehen. Von unterschiedlichen philosphischen Ansíatzen ausgehend sind daher unterschiedliche parakonsistente Logiken entwickelt worden, in denen es míoglich ist, trotz widerspríuchlicher Aussagen verníunftig zu schlieçen. Sie basieren teilweise auf der Relevanzlogik, in der die 6

8 Inferenzverfahren 7 Implikation! so deæniert wird, daç die Konklusion einen inhaltlichen Bezug zur Príamisse haben muç ëprn89ë. Nichtmonotone Logiken Eine ganz andere Alternative zu den bisher erwíahnten Logiken sind die nichtmonotonen Logiken, die unter anderem zur Beschreibung der Revision von Wissen entwickelt wurden: menschliche und computerbasierte Schluçweisen sind im allgemeinen nichtmonoton è@schlieçen, nichtmonotonesè. Das typische Beispiel ist das Schlieçen íuber einen Vogel Tweety. Wir wissen, daç Víogel æiegen kíonnen, also kann auch der Vogel Tweety æiegen. Erfahren wir aber zusíatzlich, daç Tweety ein Pinguin ist, so nehmen wir diese Schluçfolgerung wieder zuríuck, da wir wissen, daç Pinguine nicht æiegen kíonnen. Das heiçt, eine Ableitung ètweety kann æiegenè ist eventuell nicht mehr gíultig, wenn neue Fakten hinzugenommen werden: der Schluç gilt nicht mehr in jeder beliebigen Obermenge der Príamissen. èdas heiçt æ ` ', aber æ ë æ 6` 'è Dieses Vorgehen modelliert ziemlich gut unser Vorgehen im Alltag: Wir gehen meist davon aus, daç sich alles in gewisser Hinsicht normal verhíalt. Erst wenn die Fakten uns dazu zwingen, íandern wir als gíultig angenommene íuberzeugungen. Nichtmonotone Logiken sind ein sehr aktiv untersuchtes Gebiet der KI, da man in allen realistischen Anwendungen davon ausgehen muç, daç allgemeine Aussagen im Einzelfall zuríuckgenommen werden míussen ëgn87ë. Metalogik Manchmal míochte man die Logik als formales System benutzen, um Aussagen íuber sie selbst zu machen. So kann man beispielsweise in einer Logik ein Beweissystem fíur die Resolution deænieren und dann formal auf der Metaebene Eigenschaften daríuber beweisen. Bei einem solchen Vorgehen muç man die Sprache, íuber die man Aussagen macht, genau von der unterscheiden, in der man solche Aussagen macht, um nicht inparadoxien zu laufen. Die erste Sprache wird Objektsprache genannt, die zweite Metasprache. Zum Beispiel kann man ausdríucken, daç TautologieèëA_:Aè oder TautologieèëAè^TautologieèëBè! TautologieèëA ^ Bè, wobei die Ausdríucke Formeln der Metalogik mit einem Metapríadikat Tautologie sind. Die Formel der Objektebene A _:A wird zu einer Konstanten der Metalogik und dort mit Anfíuhrungszeichen ë: geschrieben. Um eine Beziehung zwischen der Metalogik und der Objektlogik herzustellen, benutzt man sogenannte Reæektionsregeln èreæektion aufwíarts und Reæektion abwíartsè Tautologieèë'è ' èrefèè èrefè ' Tautologieèë'è Als Alternative zu dieser strengen Trennung von Objekt- und Metasprache gibt es amalgamierte Sprachen, in denen gemischte Ausdríucke wie 8' Tautologieèë'è! ' zulíassig sind. Man muç allerdings sehr aufpassen, daç Tarskis Paradoxon íuber die Wahrheit nicht alle Anstrengung zunichte macht. 7

9 Inferenzverfahren 8 Abduktion Der amerikanische Logiker Charles S. Peirce unterschied Dabei beschreibt die Abduktion die Suche nach geeigneten Vorbedingungen fíur einen logischen Schluç. Dies ist die Vorgehensweise eines Detektives èdie Schluçweisen von Sherlock Holmes sind in erster Linie abduktiv und daraufhin untersucht worden ëes83ë oder eines Mediziners, der eine Diagnose stellt. Nicht von ungefíahr ist dies auch die wichtigste Schluçweise, die den meisten Expertensystemen der KI zugrunde liegt. Ein Beispiel: Die Straçe wird naçë Wenn es regnet, wird die Straçe naçë Es regnetë In der geschickten Suche nach den sogenannten Abduciblesë í im Beispiel also die angenommene Aussage, daç es regnet í liegt die ganze Geschicklichkeit eines Programmes und eines Menschen wie Sherlock Holmes. Induktion Induktives Schlieçen ist ebenso wie abduktives nicht notwendigerweise korrekt, sondern eine Form èvom Speziellen zum Allgemeinenè, die auch in den empirischen Wissenschaften von zentraler Bedeutung ist, Aristoteles schreibt schon 330 v.chr.: Wissenschaftliche Erkenntnis durch Beweis èdeduktionè ist unmíoglich, auçer man weiç die erstenë primíaren Príamissen ::: Diese Príamissen míussen wir erhalten; denn die Methode, durch die selbst Sinneswahrnehmungen das Universelle ergeben ist induktiv. Eine typische Anwendung dieser allgemeinen Vorgehensweise ænden wirinderphysik: nach zahlreichen Messungen íuber den Zusammenhang zwischen Stromstíarke, Spannung und Widerstand, formulierte Ohm das nach ihm genannte Gesetz: U = R æ I, das diese Messungen verallgemeinert. In diesem Sinne ist eine empirische Wissenschaft niemals èendgíultigè korrekt, aber sie muç nach Popper falsiæzierbar sein, das heiçt ein Gegenbeispiel geníugt, um die allgemeine Aussage zu Fall zu bringen. Carnap ëcar50ë hat Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie auf die Logik íubertragen, um solche induktiven Schlíusse zu formalisieren. In der KI wurden solche Schluçverfahren erstmals von Reynolds und Plotkin untersucht und implementiert. Heute ist induktives Schlieçen der Gegenstand einer Reihe von KI-Gebieten, wie dem induktiven Lernenë è@lernenè und dem fallbasierten Schlieçenë ècase-based reasoningè. 8

10 Inferenzverfahren 9 Analogie Das Schlieçen durch Analogie è@schlieçen, analogesè ist ebenso wie die beiden Schluçweisen zuvor nicht notwendigerweise logisch korrekt. Es ist aber eine der fundamentalen Formen menschlichen Schlieçens und spielt von daher in kognitionswissenschaftlichen Untersuchungen eine groçe Rolle. Die Frage, ob Berlin eine U-Bahn hat, kíonnte man bejahen, wenn man weiç, daç groçe Stíadte wie Míunchen ein solches Verkehrssystem haben: der Analogieschluç setzt Berlin fíur Míunchen. Das naive Modell fíur den elektrischen Strom ist analog zu einem Wasserrohrleitungssystem und kann helfen analoge Gesetzmíaçigkeiten èwie das Ohmsche Gesetz oder die Kirchhoæschen Gesetzeè zu entdecken. Im Gebiet der Inferenzsysteme sind analoge Schluçweisen weiter ausdiæerenziert und genauer untersucht worden: Um eine Aussage zu beweisen, ist es fíur Menschen oft hilfreich, eine analoge, schon bewiesene Aussage zu kennen, so daç der Beweis íubertragen werden kann. Um dies auf den Rechner zu íubertragen, ist eine erste Herangehensweise, eine Abbildung zwischen dem bekannten Quelltheorem èund -beweisè zu dem Zieltheorem und damit dem gesuchten Zielbeweis zu schaæen. Eine solche Beziehung líaçt sich allerdings meistens nicht durch eine einfache Symbolabbildung angeben, sondern man muç allgemeinere und abstraktere Formen des analogen Schlieçens formalisieren. Deduktion mit Annotationen Ein urspríungliches Ziel der logischen Formalisierung war, das menschliche Schlieçen zu untersuchen und formal zu fassen. Die starke mathematische Ausrichtung und Formalisierung hat jedoch dazugefíuhrt, daç dieses urspríungliche Ziel oftmals wieder aus den Augen verloren wurde. In einer neueren Entwicklung wird dies auch wieder formal gefaçt mit zwei Auspríagungen: Im kontext-basierten Schlieçen, wie es von McCarthy, Guha und Giunchiglia eingefíuhrt wurde, wird Schlieçen mit Bezug zu einem Kontext untersucht. Dies ermíoglicht zum Beispiel, Schlieçen mit groçen Wissensbasen wie CYC in verschiedene Kontexte zu partitionieren. Eng verwandt mit dem kontext-basierten Schlieçen sind deduktive Systeme zur Verarbeitung annotierter Formeln è labelled deductive systemsëè èkurz LDSè von Gabbay ëgab94ë. Jede Formel wird mit einer Annotation versehen, die eine Begríundung fíur diese Formel angibt und in Beweisen werden diese Annotationen propagiert. Sei zum Beispiel æ eine Annotation und ' ein Formel, dann ist æ : ' eine annotierte Formel. Der Modus Ponens hat dann die Gestalt: æ : ' æ : '! è èmpè èæ æ æè :è wobei æ eine Funktion ist, die aus den Annotationen æ und æ eine fíur die Formel è berechnet. Wíahlt man nun fíur die Ausgangsannahmen einer Herleitung verschiedene Annotationen und fíur die Funktion æ die Konkatenation, so kann man die Relevanzlogik dadurch deænieren, daç man nur solche Formeln als Theoreme ansieht, deren Annotationen alle Annahmen enthalten. Lineare Logik ergibt sich daraus, daç jede Annotation der 9

11 Inferenzverfahren 10 Annahmen in den Theoremen genau einmal vorkommen. Damit hat man ein sehr míachtiges Hilfsmittel in der Hand: durch Einschríankung der zulíassigen Annotationen in den Theoremen kann man die verschiedensten Schluçweisen simulieren. Auçer fíur die zwei erwíahnten Logiken, hat Gabbaydiesfíur Modallogiken, Temporallogiken und mehrwertige Logiken durchgefíuhrt, und es gibt Ansíatze zur Behandlung von Metalogiken und Abduktion. Logik-Programmierung Um Inferenzverfahren besonders eæzient auf dem Rechner zu realisieren, wurde Programmierung als ein eigenes Programmierparadigma èneben dem funktionalen und dem klassischen prozeduralen Programmierenè entwickelt. Die Grundidee ist, daç logische Formeln eingegeben werden und dann Anfragen gestellt werden, ob gewisse Aussagen èqueryè gelten. Dies ist auch die allgemeine Aufgabe des automatischen Beweisens, wo bekanntermaçen das Suchverhalten sehr unangenehm sein kann. Da in einer Programmiersprache besonderes Gewicht auf die Eæzienz gelegt wird, hat man die Eingabesprache in verschiedener Hinsicht abgeschwíacht. Zum einen werden keine beliebigen Formeln der Logik erster Stufe zugelassen, sondern nur Hornformeln, das sind Klauseln der Gestalt diebèxè ^ geldèy è! stiehltèx; Y è. In Klauselform :diebèxè _:geldèy è _ stiehltèx; Y è handelt es sich um Disjunktionen von Literalen, wobei maximal ein positives Literal auftreten darf. Diese Einschríankung verhindert indeænite Antworten wie stiehltèpeter; 10DMè_ stiehltèklara; 100DMè. Besteht eine Klausel nur aus einem positiven Literal, so heiçt sie ein Faktum wie magèhans; mariaè. Besteht eine Klausel aus einem positiven Literal und endlich vielen negativen, so handelt es sich um eine Regel wie :magèhans;xè_magèx; weinè. Anfragen sind Klauseln, die nur aus negative Literale bestehen, zum Beispiel :magèhans; hansè, mit der man anfragt, ob Hans sich selbst mag. Nun kann man aber zum Beispiel auch fragen, ob Hans sich nicht selbst mag. Dafíur enthalten logische Programmiersprachen wie prolog eine spezielle Negation, die in gewisser Weise keine echteë Negation ist, sondern íuberpríuft, ob das Gegenteil abgeleitet werden kann, wenn nicht, wird die Annahme als wahr angenommen, das heiçt nichtë steht fíur nicht ableitbarë. Fragt man, ob Hans sich nicht selbst mag, so versucht man zu zeigen, daç Hans sich selbst mag, scheitert dies, so wird angenommen, daç er sich nicht selbst mag. Durch as failure wird das logische Programmieren nicht-monoton, da nun durch das Hinzufíugen des Faktums magèhans; hansè nicht mehr abgeleitet werden kann, daç er sich nicht mag. In neueren Entwicklungen sind die Gebiete des nichtmonotonen Schlieçens und des logischen Programmierens wieder stark zusammengewachsen. Fíur die Inferenz ist entscheidend, wie eine Antwort gesucht wird. In der wird das Programm in der gegebenen Reihenfolge durchsucht, um Fakten und Regeln íuber das Anfragepríadikat zu ænden. Dabei werden Variablen gebunden und an die Stelle der letzten Bindung wird eine Marke gesetzt, zu der beim Scheitern der weiteren Suche oder beim Suchen nach einer weiteren Suche zuríuckgesprungen wird. Dies Verfahren genannt. Die wesentliche Entwicklung dieses Gebietes liegen in der 10

12 Inferenzverfahren 11 eæzienten Abarbeitung, zum Beispiel auf der WAM, der Warren Abstract Machine. Schluçbemerkung Die Untersuchung logischer Schluçweisen und die Entwicklung entsprechender Inferenzverfahren hat eine zweieinhalbtausendjíahrige Geschichte í wenn auch die eigentliche Explosion unseres Wissens íuber Logik erst in diesem Jahrhundert stattfand. Die Fíulle des heute bekannten Materials wurde und wird von Dov Gabbay als Hauptherausgeber in fast zehn Handbuchreihen mit insgesamt íuber einhundert Bíanden von renommierten Autoren der ganzen Welt zusammengetragen. Die bisher erschienenen Bíande sind von Oxford University Press veríoæentlicht worden. Literatur ëand86ë Peter B. Andrews. An Introduction to Mathematical Logic and Type Theory: To Truth through Proof. Academic Press, Orlando, Florida, USA, ëcar50ë Rudolf Carnap. Logical Foundations of Probability. University of Chicago Press, Chicago, USA, ëeft86ë ëes83ë Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jíorg Flum, Wolfgang Thomas. Einfíuhrung in die mathematische Logik. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt, Umberto Eco, Thomas A. Sebeok, Hrsg. The Sign of Three. Indiana University Press, Bloomington & Indianapolis, USA, ëgab94ë Dov M. Gabbay. LDS í Labelled Deductive Systems : Volume 1 í foundations. Technischer Bericht MPI-I , Max-Planck-Institut fíur Informatik, Saarbríucken, ëghe93ë ëgn87ë Dov M. Gabbay, C. J. Hogger, J. A. Robinson, Hrsg. Handbook of Logic in Artiæcial Intelligence and Logic Programming í Volume 1: Logical Foundations, Band 167. Oxford University Press, Oxford, England, Michael R. Genesereth, Nils J. Nilsson. Logical Foundations of Artiæcial Intelligence. Morgan Kaufmann, San Mateo, USA, ëkgs90ë Lothar Kreiser, Siegfried Gottwald, Werner Stelzner, Hrsg. Nichtklassische Logik. Akademie Verlag, Berlin, ëmt93ë ëprn89ë K. Meinke, J.V. Tucker, Hrsg. Many-sorted Logic and its Application. John Wiley & Sons, Chichester, England, Graham Priest, Richard Routley, Jean Norman, Hrsg. Paraconsistent Logic í Essay on the Inconsistent. Philosophia Verlag, Míunchen, ëwolb84ë Larry Wos, Ross Overbeek, Ewing Lusk, Jim Boyle. Automated Reasoning í Introduction and Applications. Prentice Hall, Englewood Cliæs, New Jersey, USA,