Skriptgesteuerte Berechnung des Stofftransports in unendlich fortsetzbaren Elementarzellen

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1 Skriptgesteuerte Berechnung des Stofftransports in unendlich fortsetzbaren Elementarzellen Stefan Binkowski, Hans Fahlenkamp Universität Dortmund, FB Bio- und Chemieingenieurwesen, Lehrstuhl Umwelttechnik, Einleitung Mit Hilfe von unendlich fortsetzbaren Elementarzellen können beispielsweise die Geschwindigkeits- und Konzentrationsprofile im Mantelraum von Hohlfaser-Membranmodulen berechnet werden. Die Fasern sind in solchen Modulen meist ungeoret gepackt. Um eine Vorhersage der Trennleistung eines solchen Moduls bei bekannter Faseranzahl und Packungsdichte, jedoch unbekannter Faserverteilung machen zu können, wird eine unendlich fortsetzbare Elementarzelle (Abb. ) per Zufallsalgorithmus in MATLAB erzeugt und mit Hilfe von symmetrischen Randbedingungen das entsprechende Multiphysics-Modell per m-skript automatisch generiert, gelöst und ausgewertet. Durch die Automatisierung wird es möglich, anhand einer sehr hohen Anzahl verschiedener Zufalls-Anorungen statistische Vorhersagen zur Trenngüte des Membranmoduls zu machen. Abb.. Erzeugung eines unendlichen Faserbündels mit einer Elementarzelle Modellbildung In dieser Arbeit wird nur die Strömung senkrecht zum Querschnitt betrachtet. Es werden folgende Annahmen getroffen: - axiale, laminare und voll entwickelte Strömung im Mantelraum, - Stofftransfer an den Faseroberflächen beeinflusst die Strömung nicht, - Stofftransfer an den Faseroberflächen ist konstant und an allen Fasern gleich, - axiale Diffusion gegenüber der Konvektion entlang den Fasern vernachlässigbar, - konstante Temperatur, - nur Fick sche Diffusion, - Eigenschaften des Fluids im Mantelraum konstant, - auf die Strömung wirken keine äußeren Kräfte.

2 . Geschwindigkeitsprofil Unter den oben gemachten Annahmen vereinfacht sich die Navier-Stokes-Gleichung, die das Geschwindigkeitsfeld beschreibt, zu: VZ VZ P + =. () X Y µ Z Durch Einführung der dimensionslosen Variablen X Y V x =, y =, v = ()-(4) R P R R µ Z lässt sich Gleichung () vereinfachen zu v v + =. (5) x y Aus den Annahmen ergeben sich außerdem folgende Randbedingungen: dv dv v = 0 auf den Faseroberflächen, v = v und = an den gegenüberliegenden äußeren Rändern der Elementarzelle. Damit ist das dimensionslose Geschwindigkeitsprofil vollständig beschrieben und eindeutig lösbar. In FEMLAB wird hierzu eine Poisson- Gleichung ( Classical PDEs ) ( c u) = f mit c = und f = verwendet. Die Haftbedingung auf den Faseroberflächen wird durch eine Dirichlet-Randbedingung in Koeffizientenform mit h = und r = 0 beschrieben. Auf den äußeren Rändern der Elementarzelle wird aufgrund der Symmetriebedingung zunächst die Neumann-Randbedingungen mit q = 0 und g = 0 gesetzt. Um die Poisson-Gleichung lösen zu können muss zusätzlich unter Physics Periodic Conditions Periodic Boundary Conditions der jeweilige Rand mit dem entsprechend gegenüberliegenden gekoppelt werden. Dabei müssen die Eckpunkte gleichermaßen gekoppelt werden, wobei hier auf die richtige Reihenfolge der Auswahl zu achten ist. Nun kann das Geschwindigkeitsfeld mit einem linearen stationären Solver gelöst werden.. Konzentrationsprofil Die Konzentration der Flüssigkeit im Mantelraum wird durch die Massenerhaltungsgleichung beschrieben (Bird et al. 966): C C C V = D +. (6) Z X Y Unter Einführung der dimensionslosen axialen Koordinate z und der dimensionslosen Konzentration c: ZD C C0 z =, c =, (7),(8) R 4 P R q µ Z w D wird der Radius der Hohlfasern in Gleichung (6) auf eins normiert und man erhält ein dimensionsloses Konzentrationsprofil (Bao & Lipscomb 00): c c c v = +, (9) z x y c dc dc mit = auf den Faseroberflächen sowie c = c n und = analog zu den Randbedingungen oben. In der Elementarzelle als Teil des Modul-Querschnitts wird nur die von x und y abhängige Konzentration c* betrachtet.

3 Daher ergibt sich weiter vereinfacht ebenfalls eine Poisson-Gleichung: * * c c + = vk, (0) x y c * mit den Randbedingungen = auf den Faserrändern, n * * c = c und * dc * dc =. Durch Integration und Anwendung des Satz von Gauß erhält man aus Gleichung (0) sowie den entsprechenden Randbedingungen: φ K =. () vb φ Die Subdomain Settings für die zweite Poisson-Gleichung ( c u) = f, die im Multiphysics-Mode hinzugefügt wird, sind damit c = und f = K. Die Randbedingung für die äußeren Grenzen der Elementarzelle werden analog zur ersten Poisson-Gleichung definiert. Da aufgrund der Symmetriebedingung der Elementarzelle und des konstanten Stoffübergangs an den Faseroberflächen nur Neumann-Randbedingungen zur Verfügung stehen, ist die Poisson-Gleichung so nicht lösbar. Daher muss die Kompatibilitätsbedingung * c K v(x, y)dxdy = Ω ds () Ω n als integrale Nebenbedingung zusätzlich erfüllt werden. Dies bedeutet physikalisch, dass der Stofftransport durch die Faseroberflächen (Rand des Gebietes) die Änderung der Konzentration in der Subdomain des betrachteten Querschnitts (Quellterm der. Poisson-Gleichung) erzeugt. Deshalb wird unter Options Integration Coupling Variables Subdomain Variables das Integral über die Domäne nach der Variablen u, also der Konzentration, gebildet und hierfür der Name int vergeben. Für die Randstücke der Hohlfasern werden folgende Neumann-Randbedingungen definiert: q = 0 und g = int/(4*faseranzahl). Die zweite Poisson-Gleichung ist jetzt ebenfalls lösbar. 3 Skriptgesteuerte Berechnung Nachdem das Modell, wie im Beitrag Simulation der Geschwindigkeits- und Konzentrationsprofile in Hohlfaser-Membranmodulen ausführlich dargestellt, validiert wurde, erfolgt eine Automatisierung mit Hilfe von MATLAB-Skripten. Die Vorgehensweise wird im Folgenden erläutert. 3. Generierung der Elementarzelle Aus der vorgegebenen Packungsdichte und Faseranzahl wird zunächst eine rechteckige, vorläufige Elementarzelle ermittelt. Dabei wird die Zelle wie in Abbildung rechts dargestellt achtfach gespiegelt. So kann auf einfache Weise sichergestellt werden, dass eine neu hinzugefügte Faser im anschließenden Platzierungsalgorithmus keine Überschneidungen mit anderen Fasern aufweist. (In Abbildung links sind die Mittelpunkte der Fasern zu erkennen.) Sind alle Fasern erfolgreich platziert wird mit Hilfe der voronoi-funktion von MATLAB das jede Faser umgebende Polygon bestimmt. Gleichzeitig ergeben sich die exakten Außenränder der Elementarzelle. Der Vorteil dieser Vorgehensweise liegt insbesondere darin, dass nur ganze Fasern in der Elementarzelle liegen und die Randbedingungen klar definierbar sind, da z.b. die Geschwindigkeit auf den Voronoi-Linien maximal sein muss.

4 3. Geometrieerzeugung Die ermittelten Polygone werden mit der poly-funktion erzeugt und zusammengefasst. Danach werden mit circ die Fasern aus der Solid-Geometrie entfernt. Nachdem die verbleibenden inneren Ränder gelöscht worden sind, kann das fem.draw- bzw. das fem.geom-struct erzeugt werden. Für die spätere Definition der Periodic Boundary Conditions werden nach dem Erzeugen der Geometrie die jeweils korrespondierenden Kanten und Eckpunkte automatisch ermittelt und gespeichert. Das Ergebnis ist in Abbildung dargestellt. Abb.. Zuoren der korrespondierenden Kanten und Eckpunkte 3.3 Modellerzeugung Zur Beschreibung des dimensionslosen Geschwindigkeitsprofils nach Gleichung (5) wird fem.appl{}.mode.class = 'Poisson' gesetzt. Zusätzlich wird die Dirichlet-Randbedingung für die Faseroberflächen und die Neumann-Randbedingung für die äußeren Ränder der Elementarzelle mit fem.appl{}.bnd.type = {'dir','neu'} fem.appl{}.bnd.ind=ones(,kantenanzahl) fem.appl{}.bnd.ind(:kantenanzahl-faseranzahl*4)= definiert. Für die übrigen Einstellungen können die Standartwerte beibehalten werden. Das Konzentrationsprofil nach Gleichung (0) wird ebenfalls als Poisson-Gleichung umgesetzt. Es muss zusätzlich die neue Variable u für die Konzentration hinzugefügt werden: fem.appl{}.dim = {'u'}. Als Randbedingungen tritt nur die Neumann-Form fem.appl{}.bnd.type = 'neu' auf. Allerdings können die Standardeinstellungen hier nicht übernommen werden. Daher werden mit: fem.appl{}.bnd.g = {0,['int/4/' numstr(faseranzahl)]} fem.appl{}.bnd.ind=ones(,kantenanzahl) fem.appl{}.bnd.ind(kantenanzahl-faseranzahl*4+:kantenanzahl)= die Randbedingungen auf den äußeren Rändern bzw. die Kompatibilitätsbedingung nach Gleichung () auf den Faseroberflächen festgelegt. Als Quellterm der zweiten Poisson- Gleichung wird die rechte Seite der Gleichung (0) in der Form: fem.appl{}.equ.f = '-*u/v_b*phi/(-phi)' eingesetzt.

5 Anschließend werden die Integration Coupling Variable int als 'elcplscalar' sowie die oben ermittelten Kanten- und Eckpunkt-Paare als lineare Extrusion Coupling Variables 'elcplextr' definiert. Die entsprechenden geomdim, src, und map Substructs werden zugeoret. Da mit der Koeffizientenform gearbeitet wird, werden die bei der Zuorung der Extrusion Coupling Variables verwendeten Constrains zu den Variablen u bzw. u unter 'elpconstr' in Bezug gesetzt. 3.4 Lösen des Modells Die beiden Poisson-Gleichungen werden mit multiphysics zu einem Modell zusammengeführt. Das Geschwindigkeitsfeld kann direkt gelöst werden. Hierzu wird mit meshinit und meshrefine das FEM-Gitter generiert und mit femlin das Modell für die erste Variable u gelöst. Damit das Konzentrationsfeld ebenfalls gelöst werden kann, muss nun mit postint über u und integriert werden, um die Bulk-Geschwindigkeit v b bzw. v_b zu ermitteln: v_b=postint(fem,'u','dl',[])/postint(fem,'','dl',[]). Das Ergebnis kann dann mit anderen notwendigen Konstanten übergeben werden: fem.const={'phi',numstr(packungsdichte),'v_b',numstr(v_b,'%5.8f')}. Mit den Lösungen für das Geschwindigkeitsfeld als Stored Solution wird abschließend die zweite Poisson-Gleichung gelöst. Für den betrachteten konstanten Stoffübergang an der Faseroberfläche lässt sich im weiteren Postprocessing eine lokalen Sherwood-Zahl (Bao & Lipscomb 00) für die Elementarzelle berechnen: Shloc,f =. (3) * * c c w b 4 Statistische Auswertung Die Automatisierung der gesamten Berechnung per MATLAB-Skript ermöglicht es, eine sehr große Anzahl von verschiedenen, zufällig gepackten Elementarzellen zu simulieren. Damit können Aussagen zur minimal notwendigen Faseranzahl in einer Elementarzelle sowie zum notwendigen Stichprobenumfang für eine gewünschtes Vertrauensniveau zur Vorhersage der Trennleistung eines Moduls erfolgen. Abbildung 3 zeigt links die nach Gleichung (3) berechnete Sherwood-Zahl, jeweils über 300 Zufallsanorungen gemittelt, in Abhängigkeit von der Anzahl der Fasern in der Elementarzelle für eine Packungsdichte von 0,5. Shloc_mean 0,6 0,5 0,4 0,3 0, Sh loc 0,5 0,4 0,3 0, Literature (95 % Conf.) 300 Fibres (95 % Conf.) 95 % Confidence I t ll 0, 0, 0,0 0, , 0,3 0,4 0,5 0,6 Number of fibres Packing Density Abb. 3. Einfluss der Faseranzahl in der Elementarzelle (links); Vergleich mit Literaturdaten (rechts)

6 Es ist deutlich zu erkennen, dass wenigstens circa 00 Fasern betrachtet werden sollten, um eine verlässliche Vorhersage zu erreichen. In der Literatur wurden bisher nur bis zu 00 Fasern betrachtet. Abbildung 3 rechts zeigt ebenfalls diesen Einfluss. Es ist zudem zu erkennen, dass aufgrund der geringen Anzahl berechneter Elementarzellen in der Literatur deutlich breitere Vertrauensniveaus auftreten. Abbildung 4 zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte und Summenverteilung für eine Packungsdichte von 0,6 und 300 betrachtete Fasern. Die Verteilung kann gut mit einer Lognormalverteilung beschrieben werden. Die vorgestellte skriptgesteuerte Berechnung des Stofftransports in unendlich fortsetzbaren Elementarzellen eignet sich damit zur Bewertung der Trennleistung von Hohlfaser-Membranmodulen. Abb. 4. Wahrscheinlichkeitsdichte und Summenverteilung Verwendete Formelzeichen µ dynamische Viskosität [kg/m s] φ Packungsdichte Ω, Ω Domäne, Rand der Domäne c, C dimensionslose Konzentration, Konzentration [mol/m³] c* dimensionslose Konzentration, die nur von x und y abhängt D Diffusionskoeffizient [m²/s] n Normalenvektor P Druck [Pa] q Stoffstrom [mol/m² s] R Faserradius [m] s Kantenlänge / Randlänge der Domäne v, V dimensionslose Geschwindigkeit, Geschwindigkeit [m/s] x,y,z, X,Y,Z dimensionslose Koordinaten, Koordinaten [m] c,f,h,r,q,g Koeffizienten in FEMLAB 0,b,w,f Indizes für Anfang, bulk, wall, konstanten Stofftransfer Literatur Bao, L.; Lipscomb, G.G. (00) Well-developed mass transfer in axial flows through randomly packed fiber bundles with constant wall flux. Chemical Engineering Science 57: 5-3 Bird, R.B.; Stewart, W.E.; Lightfoot, E.N. (966) Transport Phenomena, New York: Wiley