*G E R A D E(N) und W I N K E L

Transkript

1 A REITS LATT... mit uns können Sie rechnen! *G E R A D E(N) un W I N K E L Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich as Lernen? 22 Du wirst ie Absichten un as Vorgehen ieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn u gleich mal hier reinschaust! Das Lernsoftware-Paket zu iesem Thema kannst u kostenlos herunterlaen: Ohne schriftliche Einwilligung es Autors sin Kopien jeglicher Art bzw. as Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt Gernot Mühlbacher Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta un Zoe 1

2 A zu Folie 2 WINKEL Wechsle nach jeer Frage vom ilschirm zu iesem Arbeitsblatt un beantworte sie hier. etrachte as Ferienhaus genau! Uns interessieren ie vielfältigen Winkel, ie u an en fünf verschieenen Glasflächen an er Vorerseite sehen kannst. Dazu unsere Fragen: Wieviele Winkel kannst u ort insgesamt zählen? Wieviele rechte Winkel finest u? Wieviele spitze Winkel finest u? Welche Art von Winkeln fehlt ort? Jetzt betrachten wir einmal ie Dachfläche (ohne reieckiges Fenster):... Wieviele rechte Winkel finest u ort? 0 Wieviele stumpfe Winkel finest u ort? Das Schrägbil stellt ie Verhältnisse verzerrt ar. Wir müssen auf ie Wiese rechts vom Haus laufen un von ort as Dach betrachten. erichtige ggf. ie falschen Werte oben! Jetzt betrachten wir as Dreieckfenster in er Dachfläche. (... auch von er Wiese aus gesehen) Anzahl: Anzahl: Anzahl: rechte? spitze Winkel? stumpfe? (Kontrolliere jeweils sofort ie Lösung am ilschirm!) Moell eines Ferienhauses Zwischenecke oenlinie Auf er Rückseite es Hauses befinet sich ein ekoratives Fenster. Welche Arten von Winkeln siehst u ort? Wie groß sin ie Winkel? β =... β α... Wie groß ist ie Summe er beien zusammen gehörenen Winkel? Die Summe beträgt: α + β = α =

3 A zu Folie 4 Zwei Geraen g un h schneien sich. Es entsteht ein Schnittpunkt. Dieser Schnittpunkt ist gleichzeitig Scheitelpunkt von vier Winkeln α, β, γ un δ. (Alpha,...,...,...) Auf nachfolgenem il siehst u eine Treppe, ie zwei Ebenen miteinaner verbinet. S h g Erforsche ie eeutung er egriffe Scheitelwinkel un Gegenwinkel, Ergänzungswinkel un Nebenwinkel! Halte ie Ergebnisse schriftlich fest! Scheitel-/ Gegenwinkel Neben- / Ergänzungswinkel Welche Winkel in unserer Zeichnung sin Gegenwinkel?... un un... Welche Winkel in unserer Zeichnung sin Nebenwinkel? Wie steil steigt ie Treppe an? Gib en Steigungswinkel an! Wie groß ist er entsprechene Nebenwinkel?... un un un un... Zeichne ggf. Hilfslinien ein! Der Steigungswinkel beträgt jetzt zurück zum Der Ergänzungswinkel beträgt.... ilschirm! 3

4 A zu Folie 5 Winkel an geschnittenen Parallelen g Erforsche ie eeutung er egriffe Wechselwinkel, Stufenwinkel! Halte ie Ergebnisse schriftlich fest! α δ β γ p 2 Stufenwinkel α δ β γ p Welche Winkel in unserer nebenstehenenzeichnung sin Stufenwinkel? 1... un un un un... Trage alle fehlenen Winkelgrößen unten ein! Die Zeichnung un eine Winkelwerte stimmen hier nicht überein! g Wechselwinkel p 2 Welche Winkel in unserer obigen Zeichnung sin Wechselwinkel?... un un un un... β = 101 p 1 Welche Art von Winkelpaaren liegt vor? γ = γ egrünung: β = δ egrünung: β = δ egrünung: α = γ egrünung: 4

5 A zu Folie 7 Verstänliche Darstellung mit 2 Georeiecken: Auf em unteren Georeieck sollten eigentlich ie Winkel von 180 bis... stehen! eschrifte richtig! 90 Unkorrekte Darstellung! 180 Versuche en Wierspruch aufzuecken un schlage eine Lösung vor! egrüne iese! 0 Recherchiere, weshalb ie Winkelskala nicht nach em Dezimalsystem aufgeteilt wir? (z.. in 100 oer 400 Teile im Vollkreis) Wie viel Gra misst er feste Winkel zwischen en Schenkeln 1 un 2! Überprüfe jetzt eine Ergebnisse auf em ilschirm! Überprüfe wieer eine Ergebnisse auf em ilschirm!

6 A zu Folie 9 Dreiecke enennungen Arten von Dreiecken... Dreieck... Dreieck Wieerholungen von Grunkenntnissen Die Eckpunkte weren... benannt. (gegen en Uhrzeigersinn) Die Dreieckseiten weren entsprechen em... benannt. Die Winkel weren... benannt.... bei A... bei... bei C Die enennung richtet sich nach er Länge er Dreieckseiten : a b c... Dreieck a = b = c Die enennung richtet sich nach er Größe er Winkel: rei... Winkel Name:......Dreieck ein... Winkel+ zwei... Winkel Name:... Dreieck α =... β =... γ =... rei Möglichkeiten C Die em rechten Winkel gegenüber liegene Seite nennt man.... Die am rechten Winkel anliegenen Seiten nennt man... A... ein... Winkel + zwei... Winkel rei Möglichkeiten Setze ein: > oer < oer = α β...90 γ a = b oer oer α β γ Setze ein: > oer < oer = Name:... Dreieck 6

7 Wenn Probleme auftauchen, ann kehre kurzzeitig zum ilschirm zurück, betrachte en Lösungsgang un konstruiere ann aus em Geächtnis en Winkel. A zu Folie 10 Winkel zeichnen (Übung1) Zeichne mit em Georeieck ie Winkel! 35 S 90 S 76 S 125 S (Kontrolliere ann auf em ilschirm noch einmal ie Lösungen.)

8 A zu Folie 11 Winkel zeichnen (Übung2) Weg: Führe aus em Geächtnis ie zwei Lösungswege urch! Weg: 250 = = S S Mit em Winkelmesser kann man nur 180 messen bzw. abtragen. Zur Fortsetzung: Georeieck auf er Gegenseite anlegen. Den Rest zum geforerten Winkel berechnen. erechneten Winkelbetrag urch Anlegen es Georeiecks im Gegenuhrzeigersinn einrichten. Gesuchten Schenkel es Winkels als Gegenwinkel einzeichnen. Mit em Winkelmesser kann man nur 180 messen bzw. abtragen. Den Rest zum Vollwinkel 360 berechnen. Das Georeieck mit em negativen etrag es Restwinkels (im Uhrzeigersinn) einrichten. Schenkel es geforerten Winkels einzeichnen. (Kontrolliere ann noch einmal eine Ergebnisse auf em ilschirm!) 8

9 A zu Folie 12 Grunkonstruktionen in er zeichnerischen Geometrie Anleitung zum Zeichnen: Anleitung zum Zeichnen: Anleitung zum Zeichnen: A zu Folie 13 (Verwene abei auch ie am ilschirm gebrauchten enennungen er Punkte un Strecken.)

10 A zu Folie 14 Weitere Grunkonstruktionen in er zeichnerischen Geometrie Ein Punkt P liegt außerhalb einer Geraen g. Lot von P auf ie Gerae g Lot P Z 1 Z 2 P g Anleitung zum Zeichnen: Ein Punkt P liegt außerhalb einer Geraen g. Parallele zu g urch P Lot Z 1 Z 2 P P P g Z 1 Z 2 Anleitung zum Zeichnen: Überlege an Han er fertigen Zeichnungen, welche Arbeitsschritte mit em heutigen Hilfsmittel Georeieck leichter un schneller verlaufen wären! Jetzt zurück zum ilschirm! Vergleiche einen Text!

11 A zu Folie 16 eenke noch einmal, wie aufwenig er Weg mit Zirkel un Lineal war! Ein Punkt P liegt außerhalb einer Geraen g. Lot von P auf ie Gerae g P eschreite jetzt en einfachen Weg mit Georeieck! P Lot g g Z 1 Z 2 P Ein Punkt P liegt außerhalb einer Geraen g. Parallele zu g urch P P P P Lot g Z 1 Z 2 P Z 1 Z 2 Kontrolliere jetzt ein Verfahren auf em ilschirm!

12 esonere Linien im Dreieck Die Höhen im Dreieck Zeichne ie rei enkbaren Höhen(linien) h a, h b un h c ins Dreieck ein! Fertig, ann zurück zur Kontrolle! A C Die rei Höhen h a, h b un h c schneien sich in einem gemeinsamen Punkt H. Die Mittelsenkrechten auf en Seiten es Dreiecks Zeichne ie rei enkbaren Mittelsenkrechten m a, m b un m c ins Dreieck ein! Fertig, ann zurück zur Kontrolle! A A zu Folie 17 b C c a H ist er... schnittpunkt. Konstruktionen jeweils bei Grunfertigkeiten (Folie...) nachschauen! Die rei Mittelsenkrechten m a, m b un m c schneien sich in einem gemeinsamen Punkt M. M ist er Mittelpunkt es.... Zeichne iesen ein!. A Die Seitenhalbierenen im Dreieck A b C S c Der Schwerpunkt teilt ie Seitenhalbierene jeweils im Verhältnis :. a Die rei Seitenhalbierenen s a, s b un s c schneien sich in einem gemeinsamen Punkt S. S ist er...punkt es Dreieckes. Die Winkelhalbierenen im Dreieck C Die rei Winkelhalbierenen w α, w β un w γ schneien sich in einem gemeinsamen Punkt W. CS : SM c = : Zeichne ie rei enkbaren Seitenhalbierenen s a, s b un s c ins Dreieck ein! Fertig, ann zurück zur Kontrolle! W ist er Mittelpunkt es.... Zeichne ie rei enkbaren Winkelhalbierenen w α w β un w γ ins Dreieck ein! Fertig, ann zurück zur Kontrolle! 12

13 A Anwenung: zu Folie 18 Der verlorene Mittelpunkt Von iesem Kreis ist er Mittelpunkt verloren gegangen. Recherchiere, wie er Mittelpunkt eines Kreises rekonstruiert weren kann! Kleine Tipps als Hilfe: Zeichnerische Hilfe(n):... H 1 ei Schwierigkeiten kannst u ich auch schrittweise mit Hilfe es ilschirms voranarbeiten. A H 2 Siehe Folie! Ein egriff:... Eine Regel zum Thema Dreieck :... im Dreieck Ermittle zeichnerisch en Mittelpunkt! Siehe Folie 17! Fertig, ann zur Kontrolle am ilschirm!

14 A zu Folie Du siehst rei verschieene Dreiecke. Miss eren Winkel un trage ie Messergebnisse in ie Tabelle ein! Dreieck 1: A Dreieck 2: α γ C β C Wenn es ir leicht fällt, ann arbeite ieses A in einem Zug urch! 2. Zeichne ein stumpf- un ein spitzwinkliges Dreieck auf ein Extrablatt un miss auch eren Winkel! Dreieck: α β γ α + β + γ 3. Ermittle ann für jees Dreieck ie Summe er rei Innenwinkel! 4. Formuliere eine Vermutung, ie u aus einen Ergebnissen ableitest! A 5. Worauf führst u ie Abweichungen von ieser vermutlich für alle Dreiecke geltenen Regel zurück? Dreieck 3: C A 5. Vorausblick: Wie groß ist wohl ie Summe er Innenwinkel in Vierecken? α + β + γ + δ =

15 A Anwenung: zu Folie 20 Die WINKELSUMME im Viereck Es geht auch aufweniger: γ Zerlege as Viereck in zwei Dreiecke! ei jeem Dreieck beträgt ie Summe er Innenwinkel =... δ α Trage ie Winkel α, γ un δ richtig ein! β Die Summe aller vier Innenwinkel in einem allgemeinen Viereck beträgt immer... Wie groß sin iese vier Winkel zusammen? α + β + γ + δ =... δ = α = weil:...verschiebung weil:...winkel Setze für α, γ un δ richtig ein! γ = weil:...winkel...+ β =... 15

16 A zu Folie 21 Die WINKELSUMME im n-eck (Vieleck) (Weiterführener Lernstoff) Zerlege jees Vieleck vom Punkt P aus in Dreiecke! In einem Viereck entstehen so... Dreiecke. Färbe ie Winkel aller Dreiecke rot ein, ie nicht zur Summe er Innenwinkel es Vieleckes zählen! Wieviel Gra messen ie roten Winkel um en gemeinsamen Scheitelpunkt P zusammen?... erechne! Viel ecke 4-Eck 7-Eck Winkelsumme aller Dreiecke: abzügl. Summe er roten Winkel an P: mal mal Summe aller Innenwinkel: In einem Siebeneck entstehen so... Dreiecke. 9-Eck 12-Eck 15-Eck 3-Eck n-eck mal mal mal mal mal allg. Formel? In einem Neuneck entstehen so... Dreiecke. Gib en Sinn, er sich für as n-eck ergibt, als Merksatz (sprachliche Formulierung) wieer! P In einem Zwölfeck entstehen so... Dreiecke. Kanst u ie obige Formel urch eine Äquivalenz-Umformung (Prouktbilung, ann Ausklammern) eleganter ausrücken? Ein Vieleck mit n-ecken hat auch... Innenwinkel.

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