Versuchsanleitung zum Versuch Fourieroptik. Karlsruher Institut für Technologie (KIT)

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1 Versuchsanleitung zum Versuch Fourieroptik Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Von: Kai Benjamin Pieper Karlsruhe, Oktober 2015 Aktualisierung: Juni

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 1 Theorie Beugung Beugung am Spalt Beugung am Gitter Fourieroptik Fouriertransformation Herleitung des Beugungsbilds eines Spalts mit der Fouriertransformation Die Linse als Fouriertransformator Optische Tief- und Hochpassfilterung Simulationen mit Gwyddion Bildbearbeitung Fourierfilterung Kohärenz und die Sichtbarkeit von Interferenzmustern Der komplexe Kohärenzgrad Fourierfilterung Aufbau Mikroskopie Aufbau Bildbearbeitung 26 5 Vorbereitende Aufgaben 26 6 Versuchsdurchführung 27 7 Auswertung 29 Anhang 30 2

3 Einleitung Die Fourieroptik, benannt nach Jean Baptiste Joseph Fourier, ist ein Teilgebiet der Optik und untersucht die Ausbreitung von Licht mit den Methoden der Fourier-Analyse. Den Grundstein hierfür legte Jean Babtiste Joseph Fourier indem er bewies, dass eine abschnittsweise stetige Funktion durch eine mathematische Reihe von periodischen Funktionen, der Fourierreihe, geschrieben werden kann. Physikalisch betrachtet heißt das, dass ein kontinuierliches Signal in der Akustik oder Optik aus Schwingungen unterschiedlicher Einzelfrequenzen besteht und in diese zerlegt werden kann. Der folgende Versuch beschäftigt sich mit der Fourierfilterung, der Mikroskopie und der optischen Bildbearbeitung in denen die Grundzüge der Fourieroptik angewendet werden. Es sollen die grundlegenden Möglichkeiten der Fourieroptik aufgezeigt und vertieft werden. Die theoretischen Grundlagen, die nötig sind um die folgenden Versuchsaufbauten zu verstehen und die Versuche durchzuführen sind in Kapitel 1 ausgeführt. Hierbei handelt es sich teilweise um Grundkonzepte, die schon aus der Schule oder dem Studium bekannt sind und nur aufgefrischt werden. Hierzu zählt beispielsweise die Beugung an Einzelspalt und Gitter (Abschnitt und Abschnitt 1.1.2) genauso wie die Anwendung der Fouriertransformation (Abschnitt 1.2.1). Andere Konzepte sind gänzlich neu. Hierzu gehört beispielsweise die optische Hoch- und Tiefpassfilterung (Abschnitt 1.2.4) von Beugungsbildern. Der Aufbau zur Fourierfilterung soll zeigen, wie die Informationen der Struktur in der Objektebene im Beugungsbild in der Fourierebene kodiert sind und welche Auswirkungen Veränderungen des Beugungsbildes haben. Der Aufbau zur Mikroskopie soll im Sinne der interdisziplinären Arbeit die Verbindung zwischen Physik und Biologie herstellen. Des Weiteren wird die Anwendung des Phasenkontrastverfahrens beim Mikroskopieren von hochtransparenten Präparaten gezeigt und durchgeführt. Der Bildbearbeitungsaufbau zielt auf die Vertiefung des Wissens um die Fourierfilterung und zeigt zusätzlich die Vorgehensweise von Bildbearbeitungsprogrammen am Computer auf experimentelle Weise. Die Aufgaben in den Abschnitten 1 und 2 sollen am Versuchstag beantwortet werden können. 3

4 1 Theorie 1.1 Beugung Wird Licht beim Passieren begrenzter Öffnungen und Kanten aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt, bezeichnet man dies als Beugung. Licht ist dann an Stellen beobachtbar, an denen nach der geometrischen Optik kein Licht auftreffen sollte. Im Folgenden sollen zwei grundlegende Beugungsstrukturen exemplarisch vorgestellt werden. Die Strukturen sind das optische Gitter und der Einzelspalt. Die folgenden Abschnitte wurden maßgeblich von [Dem08b] Abschnitt 10.5, Abschnitt 10.8 und Abschnitt 12.5 beeinflusst Beugung am Spalt Betrachtet man eine ebene Welle die auf einen Spalt der Breite b trifft und jeden Punkt P im Spalt als Startpunkt einer Kugelwelle, so überlagern sich alle Kugelwellen aus den Startpunkten P 1... P k mit k N nach dem Huygensschen Prinzip 1. Jeder Startpunkt P besitzt eine Umgebung, in der sich kein weiterer Startpunkt befindet. Diese Umgebung wird als Startpunktumgebung b bezeichnet. Es befinden sich also in einem Spalt der Breite b genau N = b Startpunktumgebungen und ebenso viele Startpunkte. Die Amplitude, der von den Startpunkten ausgesandten Kugelwellen A = N A 0 b, ist proportional b b zu der Länge der Startpunktstrecken b. Die Gesamtamplitude E der k Startpunkte ist dann für gleiche Teilamplituden gegeben durch (1), E = A k exp(i(ωt + ϕ j )) = A exp(iωt) j=1 k exp(i(j 1) ϕ) (1) wobei ϕ = 2π s = 2π b sin(θ) den Phasenunterschied zwischen zwei Kugelwellen λ λ bezeichnet, der durch den Gangunterschied s unter dem Winkel θ zur Horizontalen verursacht wird. Die Phase der Kugelwelle mit Startpunkt P 1 wurde ϕ 1 = 0 gesetzt, siehe hierzu Abbildung 1. j=1 k j=1 exp(i(j 1) ϕ) = exp(ik ϕ) 1 exp(i ϕ) 1 = exp(i k 1 2 ϕ) sin( k 2 ϕ) sin( ϕ 2 ) (2) Mit Hilfe der geometrischen Reihe kann (1), wie in (2) gezeigt, zu (3) umgeschrieben werden. An der Stelle wurde der Bruch mit der Komplexkonjugation des Nenners erweitert. Danach wurden die Euler-Identität und Additionstheoreme ausgenutzt. Die Intensität I = cɛ 0 E 2 einer Welle in Richtung des Winkels θ ist somit gegeben durch 1 [Dem08a] Abschn

5 x P 3 θ b b s P 2 θ y P 1 Abbildung 1: Skizze zur Herleitung der Intensitätsverteilung des Einzelspalts 5

6 (3), I(θ) = I 0 sin2 ( k ϕ) ( 2 b ) 2 sin 2 ( ϕ ) = k 2 sin 2 (π b I sin(θ)) λ 0 b sin 2 (π b sin(θ)) (3) 2 λ wobei I 0 = cɛ 0 A 2 0 die ( von ) einer Startpunktumgebung emittierte Intensität ist. Mit der b Substitution x = π sin(θ) und b = b folgt (4). λ k I(x) = I 0 sin2 (x) sin 2 ( x k ) (4) Betrachtet man den Grenzwert lim I(x), kann mathematisch gezeigt werden, dass sin 2 ( x) k k gegen x2 konvergiert. Des Weiteren geht k 2 I k 2 0 gegen die Gesamtintensität des Spalts I S. Es folgt schließlich (5). I(x) = I S sin2 (x) x 2 (5) Die Intensität in Abhängigkeit des Winkels θ ist in Abbildung 2 für verschiedene Verhältnisse b dargestellt. Die Intensität des Maximums erster Ordnung an der Stelle x = 0 wurde auf λ 1 normiert. Es zeigt sich in Abbildung 2, dass die Breite der Intensitätsverteilung vom Verhältnis b λ abhängt. Ist b > λ ergibt sich eine sehr schmale Intensitätsverteilung mit lokalisierten Beugungsmaxima. Ist b < λ wird das Beugungsmaximum nullter Ordnung immer breiter bis keine weiteren Beugungsmaxima mit zunehmendem Winkel θ mehr wahrnehmbar sind. Die höchste Lichtintensität erhält man bei θ = 0. Minima erhält man bei sin(θ) = nλ b mit n N. Die Maxima und Minima entstehen durch unterschiedliche Gangunterschiede zwischen Teilbündeln des gebeugten Lichts in Abhängigkeit vom Beugungswinkel θ. Die Intensität der Beugungsmaxima nimmt mit zunehmendem Winkel θ ab. Abbildung 3 zeigt die reale Intensitätsverteilung eines Einzelspalts, der mit einem roten Laser beleuchtet wurde, zu Abbildung 2. Deutlich zu sehen ist das Beugungsmaximum nullter Ordnung mit der höchsten Intensität unter dem Winkel θ = 0. 6

7 Abbildung 2: Plot der Intensitätsverteilung zu verschiedenen Verhältnissen b λ (5) Abbildung 3: Beugungsbild eines, mit einem roten Laser beleuchteten, Einzelspalts. Aufgenommen im physikalischen Demonstrationspraktikum am KIT Beugung am Gitter Für die Beugung am Gitter wird angenommen, dass sich in jedem Spalt des Gitters nur ein Startpunkt einer Kugelwelle befindet. Im Folgenden bezeichnet b die Spaltbreite und g den Abstand zwischen den Spalten. Für ein Gitter mit k N Spalten ergibt sich die Intensitätsverteilung (6). I(x) = I S sin2 (π b λ sin(θ) (π b λ sin(θ))2 sin2 (kπ g λ sin(θ)) sin 2 (π g λ sin(θ)) (6) Hierbei beschreibt der erste Faktor die Beugung am Einzelspalt mit Spaltbreite b. Der zweite Faktor beschreibt die Interferenz zwischen k Spalten. Die Intensitätsverteilung (6) wurde in Abbildung 4 grafisch dargestellt. Hierfür wurde ähnlich wie in Abschnitt substituiert. Die Maxima nullter, erster und zweiter Ordnung an den Stellen x = 0, x = 0.5, 0.5 und x = 1, 1 sind sehr gut erkennbar. Durch den Einfluss des Einzelspaltsbeugungsbildes auf das Beugungsbild des Gitters fällt in Abbildung 4 das Maximum dritter Ordnung aus. Abbildung 5 zeigt das reale Beugungsbild eines Gitters, welches mit 7

8 einem roten Laser beleuchtet wurde, zu Abbildung 4. Die Beugungsmaxima zeigen sich als helle lokalisierte Punkte. Zwischen den Beugungsmaxima fünfter und siebter Ordnung auf der linken Seite sind die Nebenmaxima deutlich sichtbar. Das Beugungsmaximum sechster Ordnung fällt durch den Einzelspalteffekt aus. Abbildung 4: Plot der Intensitätsverteilung eines Gitters (6) mit k = 8 und der Einhüllenden des Einzelspalts Abbildung 5: Beugungsbild eines, mit einem roten Laser beleuchteten, Gitters. Aufgenommen im physikalischen Demonstrationspraktikum am KIT. Aufgabe 1: Geben Sie die Formeln für Beugungsmaxima beim optischen Gitter und für Minima beim Einzelspalt an und diskutieren Sie den Ausfall von Beugungsmaxima im Beugungsbild des Gitters. 8

9 1.2 Fourieroptik Fouriertransformation Die Fouriertransformation bezeichnet ein mathematisches Hilfsmittel zur eleganten Beschreibung von Beugung an beliebig geformten Öffnungen. Hierbei wird eine Funktion des Ortsraums auf eine Funktion im Frequenzraum abgebildet. In der Physik wird die Fouriertransformation dazu benutzt, ein kontinuierliches, aperiodisches Signal in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen. Sei hierzu f(x) eine beliebige quadratintegrable Funktion, dann ist die Fouriertransformierte F (u) gegeben durch (7). F (u) = 1 2π f(x) exp( iux)dx (7) Um f(x) aus F (u) zu bestimmen, multipliziert man (7) mit exp(i2πux ) und integriert über u. Man erhält nach Umbennen von x in x (8). f(x) = 1 2π F (u) exp(iux)du (8) Hierbei sind x und u fourierkonjugierte Variablen, deren Produkt dimensionslos ist. Da in der Beugungstheorie meist zweidimensionale Blenden bzw. Strukturen betrachtet werden, ist es nötig die zweidimensionale Fouriertransformation (9) und (10) zu benutzen. F (u, v) = 1 2π f(x, y) exp( i2π(ux + vy))dxdy (9) f(x, y) = 1 2π F (u, v) exp(i2π(ux + vy))dudv (10) Des Weiteren gilt die leicht nachzuprüfende Eigenschaft (11), wobei F[f(x, y)] die Fouriertransformierte der Funktion f(x, y) bezeichnet. F[F[f(x, y)]] = f( x, y) (11) Das heißt, die Fouriertransformierte der Fouriertransformierten ist die Ausgangsfunktion mit vertauschten Seiten. 9

10 1.2.2 Herleitung des Beugungsbilds eines Spalts mit der Fouriertransformation Es wird ein Spalt mit endlicher Länge a, Breite b und a b betrachtet. Gegeben sei die Transmissionsfunktion τ(x, y) in (12). 1 für a < x < a, 2 2 τ(x, y) = b 2 < y < b, (12) 2 0 sonst Fällt auf den Spalt eine ebene ausgedehnte Lichtwelle, dann ist die Amplitudenverteilung der Welle vor dem Spalt E e (x, y) = E 0 = const.. Direkt hinter dem Spalt ist die Amplitudenverteilung gegeben durch (13). E(x, y) = τ(x, y) E e (x, y) = f(x, y) (13) Die Amplitudenverteilung in einer Ebene z 0 0 hinter dem Spalt kann durch das Beugungsintegral berechnet werden 2. Es ergibt sich mit den Größen u = x λz 0 und v = y λz 0 und den Näherungen zum Fraunhoferbeugungsbild 3 im allgemeinen Fall die Amplitudenverteilung des Fraunhoferbeugungsbildes E(x, y ) in der Ebene z 0 nach (14). E(x, y ) = A(x, y, z 0 ) ( i2π(x x + y y) ) E e (x, y) τ(x, y) exp dxdy (14) λz 0 mit A(x, y, z 0 ) = i exp( ikz 0) λz 0 exp( iπ λz 0 (x 2 +y 2 )). Im obigen speziellen Fall für einen Spalt mit Länge a und Breite b erhält man die Amplitudenverteilung E S (x, y ) in (15). E S (x, y ) = E 0 a 2 a 2 ( i2πx x ) exp dx λz 0 b 2 b 2 ( i2πy y ) exp dy (15) λz 0 Führt man die Integration in (15) aus erhält man (16). E S (x, y ) = E 0 λ 2 z0 2 ( πx π 2 x y sin a ) ( πy b ) sin λz 0 λz 0 (16) Die Intensität in der Ebene z 0 ist gegeben durch I(x, y ) = A(x, y, z 0 ) 2 E(x, y ) 2. Hieraus folgt die Intensitätsverteilung des Beugungsbildes des Spalts (17). Zusätzlich wur- 2 Seite 340 und 341 in [Dem08b] 3 Seite 340 und 341 in [Dem08b] 10

11 de A(x, y, z 0 ) 2 = 1 ausgenutzt. Es gilt, dass I(x, y ) E(x, y ) 2. I(x, y ) = I 0 sin2 ( πx a λz 0 ) sin2 ( ( πx a λz 0 ) 2 ( πy b πy b λz 0 ) λz 0 ) 2 (17) Betrachtet man nun πx a λz 0 = x und πy b λz 0 = y und vergleicht (17) mit (5) wird deutlich, dass die Intensitätsverteilung des Spaltes (17) aus den Beugungsbildern zweier Spalte in x-richtung und y-richtung zusammengesetzt ist. Betrachtet man diese nun unabhängig voneinander und lässt man die Länge des Spaltes a gegen unendlich gehen, also a erhält man (18). Es bleibt nur das Interferenzmuster bestehen, dass durch die endliche Ausdehnung b verursacht wird. I(x, y ) = I 0 sin2 ( πx b λz 0 ) ( πx b λz 0 ) 2 (18) Es wird deutlich, dass das Anwenden der Fouriertransformation zur gleichen charakteristischen Intensitätsverteilung des Beugungsbildes wie in (5) führt Die Linse als Fouriertransformator Dieser Abschnitt soll zeigen, dass eine Linse als Fouriertransformator dient, insbesondere dann, wenn das abzubildende Objekt in der vorderen Brennebene der Linse liegt. Hierzu wird eine ebene Welle mit einem Wellenvektor, der in x-richtung um den Winkel α und in y-richtung um den Winkel β gegen die z-achse geneigt ist, betrachtet. Die ebene Welle wird durch eine Linse mit der Brennweite f B in die hintere Brennebene abgebildet. Siehe hierzu auch die Skizze in Abbildung Die y-achse zeigt aus der Bildebene heraus, weshalb der Winkel β nicht zu sehen ist. 11

12 x f B x' f B Abbildung 6: Skizze zur Linse als Fouriertransformator Ähnlich zu (14) wird die Amplitudenverteilung in der hinteren Brennebene (19), auch Fourierebene genannt, durch die Fouriertransformierte der Amplitudenverteilung in der Objektebene E O (x, y) gegeben, wobei A(x, y, z) = i exp(ikz) exp( iπ λz λz (x 2 + y 2 )) einen Phasenvorfaktor mit A 2 = 1 bezeichnet. E(x, y ) = A(x, y, f B ) E O (x, y) exp( i2π(ν x x + ν y y))dxdy (19) Hierbei bezeichnet man (20) und (21) als Raumfrequenzen des Beugungsbildes. ν x = x λz = f tan(α) B λz α λ (20) ν y = y λz = f tan(β) B λz β λ (21) Die Näherung gilt unter der Bedingung, dass z = f B, tan(α) α und tan(β) β gilt. Das heißt, die Linse bildet die Amplitudenverteilung der Objekebene auf deren Raumfrequenzen ab. Hierbei ist zu beachten, dass kleine Strukturen in der Objektebene großen Raumfrequenzen in der Fourierebene und große Strukturen in der Objektebene kleinen Raumfrequenzen in der Fourierebene zugeordnet werden. 5 5 Seite 397 in [Dem08b] 12

13 Aufgabe 2: Erklären Sie anschaulich, in eigenen Worten und ohne Formeln, warum die Objektivlinse als Fouriertransformator dient, d.h. warum in der hinteren Brennebene der Objektivlinse das Beugungsbild des Objekts in der vorderen Brennebene zu sehen ist. Aufgabe 3: Was sind Raumfrequenzen? Optische Tief- und Hochpassfilterung Die optische Filterung bedient sich der Eigenschaft der Linse, ein Fouriertransformator zu sein. Beim Abbilden eines Objekts mit einer Linse, wird die Amplitudenverteilung des Objekts auf dessen Raumfrequenzen (20) und (21) abgebildet. Bildet man nun die Fourierebene mit einer zweiten Linse in eine Bildebene ab, siehe hierzu Abbildung 7, erhält man ein Bild des umgekehrten Objekts. Wird in der Fourierebene das Beugungsbild durch Blenden oder Filter verändert, verändert sich auch das Bild in der Bildebene. f B f B f B f B Objektebene Fourierebene Bildebene Abbildung 7: Veranschaulichung des 4f-Aufbaus zur optischen Filterung in der Fourierebene 13

14 Optischer Tiefpass Beim optischen Tiefpass werden die hohen Raumfrequenzen in der Fourierebene zum Beispiel durch eine Lochblende herausgefiltert. Dadurch verschwinden die feinen Strukturen in der Bildebene und nur die groben Strukturen bleiben übrig. Siehe hierzu auch Abschnitt Bilder weichzeichnen. Oft wird diese Art der Filterung benutzt, wenn eine homogene Ausleuchtung in der Bildebene erzeugt werden soll, zum Beispiel beim Raumfiltern in der Holographie. Durch die Lochblende werden dann die höheren Beugungsordnungen in denen Staubkörner und Kratzer auf den Linsen enthalten sind blockiert und es entsteht die gewollte homogene Ausleuchtung der Bildebene. Optischer Hochpass und Phasenkontrast Im Gegensatz zum optischen Tiefpass werden beim optischen Hochpass die niedrigen Raumfrequenzen in der Fourierebene herausgefiltert. Dadurch werden die groben Strukturen abgeschwächt, so dass nur die feinen Strukturen in die Bildebene abgebildet werden. Siehe hierzu auch Abschnitt Bilder schärfen. Der optische Hochpass wird auch in der Mikroskopie angewendet, um durchsichtige Objekte sichtbar zu machen. Als Beispiel wird eine Kugel mit der Transmissionsfunktion (22) betrachtet, wobei a R eine Konstante bezeichnet. τ(x, y) = a exp(iϕ(x, y)) (22) Aus der Transmissonsfunktion (22) folgt die Amplitudenverteilung (23) bei einer ebenen einfallenden Welle. E(x, y) = a E 0 exp(iϕ(x, y)) (23) Die Intensität (24) ist dann konstant und es ist keine Struktur der Kugel in der Bildebene wahrnehmbar. I(x, y) E(x, y) 2 = a 2 E 2 0 (24) Für schwache Phasenstrukturen (ϕ(x, y) 1) gilt die Entwicklung der Exponentialfunktion in (25). E(x, y) = a E 0 [1 + iϕ(x, y)] (25) 14

15 Aus (25) ergibt sich nun durch Anwenden der Fouriertransformation (7) die Amplitudenverteilung in der Fourierebene (26), wobei δ(x) die Deltadistribution bezeichnet. E(ν x, ν y ) = a E 0 [δ(ν x )δ(ν y ) + F[ϕ(x, y)]] (26) Wird nun die nullte Ordnung ausgeblendet (d.h. δ(ν x )δ(ν y ) = 0) und die Fouriertransformation ein zweites Mal angewendet, ergibt sich die Amplitudenverteilung (27) und dadurch die Intensitätsverteilung (28) in der Bildebene. E(x B, y B ) = i a E 0 ϕ( x, y) (27) I(x B, y B ) E(x B, y B ) 2 = a 2 E 2 0 ϕ 2 ( x, y) (28) Das heißt, die Phasenstruktur der Kugel bleibt erhalten und wird in der Bildebene sichtbar. Dieses Verfahren wird Phasenkontrastverfahren genannt. 1.3 Simulationen mit Gwyddion Bildbearbeitung Bei Gwyddion handelt es sich um ein Programm zur Visualisierung und Auswertung von Aufnahmen von Rastersondenmikroskopen 6. Mit Hilfe von Gwyddion kann bei Bildern eine FastFourierTransformation (FFT) durchgeführt werden. Dadurch ist es möglich die Beugungsbilder der Strukturen in der Fourierebene anzeigen zu lassen und bestimmte Raumfrequenzen zu blockieren, so dass Veränderungen in der Bildebene entstehen. Bilder schärfen Mit der Unterstützung des Programms Gwyddion und dessen eingebauter FFT-Funktion können Bilder durch Blockieren der niedrigen Raumfrequenzen ihres Beugungsbildes geschärft werden. Beim Schärfen eines Bildes (Abbildung 8 (a)) muss die helle Mitte und die kleineren Ordnungen der Beugungsmaxima, welche den niedrigen Raumfrequenzen entsprechen, aus dem Beugungsbild (Abbildung 8 (b)) blockiert werden (Abbildung 8 (c)), so dass nur die höheren Ordnungen der Beugungsmaxima, die den hohen Raumfrequenzen entsprechen, übrig bleiben. Im bearbeiteten Bild zeigt sich eine deutliche Schärfung des Bildes (Abbildung 8 (d)). Die sogenannte Edge-Detection ist eine übertriebene Schärfung des Bildes. Es handelt sich also um einen optischen Hochpass, wie in Abschnitt Optischer Hochpass beschrieben. Durch das Blockieren der niedrigen Raumfrequenzen im

16 Beugungsbild werden die groben Strukturen im Bild abgeschwächt und die feinen Strukturen, die den hohen Raumfrequenzen entsprechen, sind deutlicher zu sehen. Die Kanten treten stärker hervor. (a) Unbearbeitetes Bild (b) Unbearbeitetes Fourierbild (c) Bearbeitetes Fourierbild (d) Bearbeitetes Bild Abbildung 8: Schärfen eines Bildes Aufagbe 4: Erklären Sie in eigenen Worten wie das Weichzeichnen von Bildern im Bildbearbeitungsaufbau funktioniert. Erstellen Sie eine Simulation eines beliebigen Bildes mit Gwyddion. (Daten aufbereiten/correct Data/ 2D FFT Filtering) 16

17 1.3.2 Fourierfilterung Die Strukturen wurden als Bilddateien mit Inkscape erstellt. Bei Inkscape handelt es sich um ein Programm zum Erstellen von Vektorgrafiken. Es wurden die Grafiken in den Abbildungen 9 (a) und 10 (a) erstellt. Die Beugungsbilder zu den erstellten Strukturen sind in den Abbildungen 9 (b) und 10 (b) dargestellt. Die folgende Simulation mit Gwyddion soll nur die Möglichkeit des Filterns zeigen, die Gitterkonstanten werden deshalb vernachlässigt. Die Beugungsbilder mit Raumfrequenzmasken sind in den Abbildungen 9 (c) und 10 (c) dargestellt. Durch die in Abbildung 9 (c) blockierten Intensitätsmaxima, welche auf die vertikalen Gitterlinien zurückzuführen sind, verschwinden die Gitterlinien in Abbildung 9 (d) und es bleibt nur das Smiley zu sehen. Wie in Abbildung 10 (d) dargestellt verschwinden die horizontalen Gitterlinien. Dies geschieht durch das Blockieren von Intensitätsmaxima wie es in Abbildung 10 (c) gezeigt wird. Aufgabe 5: Erklären Sie, wie Raumfrequenzen im Beugungsbild eines Kreuzgitters blockiert werden müssen, um auf dem Schirm ein diagonales Strichgitter zu sehen. 17

18 (a) Struktur mit Smiley und Gitter (b) Beugungsbilbild Smiley und Gitter (c) Beugungsbild mit Maske zum Ausblenden bestimmter Raumfrequenzen von Smiley und Gitter (d) Gefilterte Struktur Smiley ohne Gitter Abbildung 9: Fourierfilterung mit Gwyddion zur Struktur Smiley und Gitter 18

19 (a) Struktur Kreuzgitter (b) Beugungsbild Kreuzgitter (c) Beugungsbild mit Maske zum Ausblenden bestimmter Raumfrequenzen der Struktur Kreuzgitter (d) Gefilterte Struktur ohne Kreuzstruktur Abbildung 10: Fourierfilterung mit Gwyddion zur Struktur Kreuzgitter 19

20 1.4 Kohärenz und die Sichtbarkeit von Interferenzmustern Kohärenz bezeichnet das Vermögen zweier oder mehrerer Wellen, egal ob mechanischer oder elektromagnetischer Natur, ein statisches Interferenzmuster zu erzeugen. Ein beobachtbares Interferenzmuster entsteht genau dann, wenn die Phasendifferenz zweier oder mehrerer Wellen konstant ist, d.h. die Wellen zueinander korreliert sind Der komplexe Kohärenzgrad Das Maß für die Korrelation zweier Wellen mit Amplituden u(r 1, t 1 ) und u(r 2, t 2 ) in beliebigen Punkten r 1, r 2 und beliebigen Zeiten t 1, t 2 ist durch die Kreuzkorrelationsfunktion G(r 1, r 2, t 1, t 2 ) in (29) gegeben und wird in diesem Fall auch als gegenseitige Kohärenzfunktion bezeichnet, die sowohl die Kohärenz als auch die Intensität beschreibt. G(r 1, r 2, t 1, t 2 ) =< u (r 1, t 1 ), u(r 2, t 2 ) > (29) Hierbei bezeichnet <.,. > den zeitlichen Mittelwert. Die Kreuzkorrelation vergleicht die Wellen zu den Zeitpunkten t 1, t 2 an den Orten r 1, r 2. Je größer die Ähnlichkeit der Wellen, desto größer ist der Wert der Kreuzkorrelationsfunktion. Um ein Maß für die Kohärenz zweier Wellen zu erhalten, müssen Intensität und Kohärenz voneinander getrennt werden. Dies führt zu der nomierten Größe des komplexen Kohärenzgrads g(r 1, r 2, t 1, t 2 ) in (30). g(r 1, r 2, t 1, t 2 ) = G(r 1, r 2, t 1, t 2 ) I(r1 )I(r 2 ) (30) Mit Hilfe des Betrages des komplexen Kohärenzgrades kann Licht nun in drei Kategorien eingeteilt werden. 1. Für g(r 1, r 2, t 1, t 2 ) = 1 spricht man von kohärentem Licht. 2. Für 0 < g(r 1, r 2, t 1, t 2 ) < 1 handelt es sich um partiell kohärentes Licht. 3. Für g(r 1, r 2, t 1, t 2 ) = 0 ist Licht inkohärent. Des Weiteren gilt für eine ebene, monochromatische Welle (31). g(r 1, r 2, t 1, t 2 ) = exp(ik(r 1 r 2 ) ω(t 1 t 2 )) = 1 (31) Dies zeigt, dass eine ebene, monochromatische Welle zur Kategorie des kohärenten Lichts gehört. 20

21 Betrachtet man beispielsweise einen Doppelspalt im Abstand a von einem Schirm mit dem Spaltabstand g, erhält man auf dem Schirm die Intensitätsverteilung (32). I(r) =< u(r 1, t 1 ) + u(r 2, t 2 ) 2 > (32) =< u 1 2 > + < u 2 2 > + < u 1, u 2 > + < u 1, u 2 > = I 1 + I 2 + G(r 1, r 2, t 1, t 2 ) + G (r 1, r 2, t 1, t 2 ) = I 1 + I I 1 I 2 R(g(r 1, r 2, t 1, t 2 )) = I 1 + I I 1 I 2 g(r 1, r 2, t 1, t 2 ) cos(ϕ) Wobei u(r 1, t 1 ) = u 1 die Amplitude des Lichts vom ersten und u(r 2, t 2 ) = u 2 die Amplitude des Lichts vom zweiten Spalt ist. Aus (32) ist deutlich zu ersehen, dass der Betrag des komplexen Kohärenzgrads direkt für die Sichtbarkeit des Interferenzmusters des Doppelspalts verantwortlich ist. Es ergeben sich drei Fälle bezüglich der Beleuchtung. 1. Bei kohärenter Beleuchtung ist das Interferenzmuster sehr gut zu sehen. (Laser) 2. Bei partiell kohärenter Beleuchtung ist das Interferenzmuster zu sehen, allerdings sehr viel schwächer als bei kohärenter Beleuchtung. (LED) 3. Bei inkohärenter Beleuchtung ist kein Interferenzmuster zu erkennen. (I = I 1 + I 2 ) Im Speziellen spricht man für r 1 = r 2 von zeitlicher und für t 1 = t 2 von räumlicher Kohärenz. Der komplexe Kohärenzgrad hängt zusätzlich direkt von der Ausdehnung der benutzten Lichtquelle (Van-Cittert-Zernike-Theorem) und von deren spektraler Breite (Wiener-Khinchin-Theorem) ab. Zusammenfassend kann davon ausgegangen werden, dass der Grad der räumlichen Kohärenz mit kleiner werdender Lichtquelle zunimmt. Der Grenzfall wird durch das Van-Cittert-Zernike-Theorem behandelt, dessen Schluss darin besteht, dass eine punktförmige Lichtquelle räumlich kohärent ist. Das Licht einer ausgedehnten Lichtquelle, beispielsweise einer LED, kann durch Linsen parallelisiert werden. Die Parallelisierung führt zu einer Erhöhung des räumlichen Kohärenzgrads. Das Wiener- Khinchin-Theorem beschreibt den Zusammenhang zwischen zeitlichem Kohärenzgrad und spektraler Breite der Lichtquelle. Eine monochromatische Lichtquelle ist zeitlich kohärent. 21

22 2 Fourierfilterung Der Versuchsaufbau zur Fourierfilterung soll den Zusammenhang zwischen Abbildung und Beugungsbild des abgebildeten Gegenstandes verdeutlichen. Es soll gezeigt werden, dass alle Informationen der Struktur des abgebildeten Gegenstandes in seinem Beugungsbild vorhanden sind. Außerdem soll gezeigt werden, dass eine Filterung des Beugungsbildes Auswirkungen auf die Abbildung hat. Es handelt sich hierbei um achromatische Linsen verschiedener Brennweiten, zwei Blenden, zwei Kameras und einen Strahlteiler, wie es in Abbildung 11 erkennbar ist. Des Weiteren werden zwei Objekthalter in der Objektivbrennweite eingebracht. Die Aufbauskizze befindet sich in Abschnitt 2.1. Eine Schrittfür-Schritt-Aufbauanleitung befindet sich im Anhang. Die einzelnen Linsenbrennweiten können ebenfalls dem Anhang entnommen werden. Abbildung 11: Aufbau zur Fourierfilterung 2.1 Aufbau Abbildung 12 zeigt eine mit Inkscape erstellte Skizze des fertigen Aufbaus mit allen Brennweiten. Hier bezeichnet g die Gegenstandsweite und b die Bildweite der Projektionslinse. Aufgabe 6: Erklären Sie die Funktionsweise der Linsen und Blenden im Aufbau zur Fourierfilterung. Wofür wird der Grünfilter benötigt? 22

23 Kamera 150mm Tubuslinse 150mm 30mm 30mm 50mm 50mm g Strahlteiler & Projektionslinse b Objektivlinse Gitter Kondensorlinse Apertur-Blende Schirm 150mm Feldlinse 150mm Feld-Blende Grünfilter LED Abbildung 12: Aufbauskizze zur Fourierfilterung 23

24 3 Mikroskopie Der Versuchsaufbau zur Mikroskopie beinhaltet ein möglichst einfach gehaltenes Mikroskop, bestehend aus achromatischen Linsen verschiedener Brennweiten, zwei Blenden und einer Kamera, wie in Abbildung 13 gezeigt. Es sollen verschiedene Präparate mikroskopiert und bei Bedarf das Phasenkontrastverfahren (Kapitel 1 Abschnitt 1.2.4) angewendet werden. Die Aufbauskizze mit allen Brennweiten befindet sich in Abschnitt 3.1. Eine Schritt-für-Schritt-Aufbauanleitung befindet sich im Anhang. Die Linsenbrennweiten können ebenfalls dem Anhang entnommen werden. Abbildung 13: Mikroskopieaufbau 3.1 Aufbau Der Aufbau unterscheidet sich nur gering vom Aufbau zur Fourierfilterung. Es fehlen lediglich der Strahlteiler, die Projektionslinse und der Schirm. Da das Beugungsbild eines Objekts in diesem Teil nicht betrachtet werden soll und es somit uninteressant ist, ob das Beugungsbild eine Spektralaufspaltung zeigt, kann der Grünfilter ebenfalls aus dem Aufbau entfernt werden. Es ergibt sich der Aufbau in Abbildung

25 Kamera 150mm Tubuslinse 150mm 30mm 30mm Objektivlinse Gitter 50mm Kondensorlinse 50mm Apertur-Blende 150mm Feldlinse 150mm Feld-Blende LED Abbildung 14: Aufbauskizze zur Mikroskopie 25

26 4 Bildbearbeitung Der Versuchsaufbau zur Bildbearbeitung soll zeigen, dass durch Blockieren bestimmter Raumfrequenzen im Beugungsbild das Bild geschärft oder weichgezeichnet werden kann. Für die Bildbearbeitung ist der in Abbildung 15 abgebildete Versuchsaufbau notwendig. Der Versuchsaufbau ist identisch zum Mikroskopieaufbau. Eine Skizze zum Aufbau befindet sich in Abschnitt 3.1, da der Aufbau exakt dem Aufbau zur Mikroskopie entspricht. Eine Schritt-für-Schritt-Aufbauanleitung befindet sich im Anhang. Abbildung 15: Aufbau zur Bildbearbeitung 5 Vorbereitende Aufgaben Siehe Aufgaben 1-6 in den Abschnitten 1 und 2. Die Aufgaben sollen am Versuchstag beantwortet werden können. 26

27 6 Versuchsdurchführung Speichern Sie im Folgenden alle Ergebnisse ab. Bringen Sie einen USB-Stick am Versuchstag mit. Zum Verständnis der Kondensoroptik 1. Stellen Sie die LED ohne Kollimatorlinse in einem beliebigen Abstand d entfernt von einem Schirm auf. 2. Bringen Sie das Edmund Optics Kreuzgitter g = 10µm in den Strahlengang ein. 3. Justieren Sie den Abstand von Gitter zu Schirm so, dass Sie erwarten ein Interferenzmuster zu sehen. Warum sehen Sie kein Interferenzmuster? 4. Bringen Sie die Kondensorlinse f = 50mm zwischen LED und Gitter ein. 5. Justieren Sie die Abstände von Linse zu LED und von Linse zum Gitter, sodass Sie ein Interferenzmuster auf dem Schirm sehen. Wieso erkennen Sie jetzt ein Interferenzmuster? Womit ist das Interferenzmuster überlagert? 6. Fügen Sie zwischen LED und Linse eine Lochblende ein. Justieren Sie die Abstände von Linse zu Blende und von Linse zu Gitter, sodass Sie wieder ein Interferenzmuster sehen können. Gibt es Unterschiede zum Interferenzmuster ohne Blende? Warum? 7. Fügen Sie jetzt die Kollimatorlinse und die Feldlinse in den Aufbau ein, sodass der LED-Chip auf der Blende zu sehen ist. Wofür benötigt man Feldlinse und Kollimatorlinse? Fourierfilterung 1. Bauen Sie den Aufbau zur Fourierfilterung gemäß der Aufbauanleitung im Anhang auf. Achten Sie auf eine geraden Verlauf des Strahlengangs. Berühren Sie nicht das Glas der Linsen. 2. Messen Sie das Beugungsbild des Kreuzgitters mit g = 10µm in der hinteren Brennebene der Objektivlinse aus. 3. Filtern Sie das Kreuzgitter mit g = 10µm, so dass ein horizontales, vertikales und diagonales Strichgitter zu sehen ist. 4. Filtern Sie ein gröberes/feineres Kreuzgitter, so dass ein Liniengitter zu sehen ist. 27

28 5. Filtern Sie die Mikrostruktur, so dass möglichst nur das Smiley zu sehen ist. 6. FREIWILLIG: Filtern Sie eine weitere Struktur auf dem Target. Mikroskopie 1. Entfernen Sie die Projektionslinse und den Strahlteiler aus dem Aufbau. 2. Wenden Sie ein Phasenkontrastverfahren beim Kieselalgenpräparat an. (Optischer Hochpass) Bildbearbeitung 1. Wenden Sie den Scharfzeichner auf eine Mikrostruktur an. 2. Wenden Sie den Weichzeichner auf eine Mikrostruktur an. 28

29 7 Auswertung Vorbereitende Aufgaben Bearbeiten Sie alle in Abschnitt 1 und 2 gestellten Aufgaben. Fourieroptik Stellen Sie ihr Messergebnis übersichtlich dar und berechnen Sie die Gitterkonstante aller zu sehenden Gitter inkulsive der Feherbetrachtung. Beschreiben Sie, wie Sie ihre Ergebnisse erhalten haben. Mikroskopie Beschreiben Sie den Vorgang des Phasenkontrastverfahrens und gehen Sie auf ihre Ergebnisse ein. Bildbearbeitung Gehen Sie auf ihre Ergebnisse ein und erklären Sie eventuelle Unstimmigkeiten. 29

30 Anhang Bauteile Fourieraufbau Linse Brennweite Objektivlinse Kondensorlinse Projektionslinse Tubuslinse Feldlinse Grünfilter 30 mm 50 mm 50 mm 150 mm 150 mm 532 ± 10 nm Brennweiten Mikroskopie- und Bildbearbeitungsaufbau Linse Objektivlinse Kondensorlinse Tubuslinse Feldlinse Brennweite 30 mm 50 mm 150 mm 150 mm Bezugsquelle zum Programm Gwyddion Rufen Sie die Seite auf und wählen Sie den Bereich Download. Wählen Sie die passende Installationsdatei für ihr Betriebssystem und installieren Sie Gwyddion. 30

31 Aufbauanleitung Achten Sie auf einen geraden Verlauf des Strahlengangs! Abbildung 16: Bild des fertigen Aufbaus zur Bildbearbeitung Für die Aufbauten zur Mikroskopie und Bildbearbeitung sind die Schritte 1 bis 6 ausreichend. 1. Stellen Sie die Kamera in einer Entfernung von ca. 90cm zur Lichtquelle auf, damit Sie im späteren Verlauf genug Platz haben. Kollimieren Sie die LED, indem Sie ein Bild des Chips (rechteckiger heller Fleck) auf einer weit entfernten Wand erzeugen. 2. Regeln Sie die Intensität der LED auf ca. 10% herunter, damit die Kamera nicht überbelichtet wird und positionieren Sie das Target direkt vor der Lichtquelle. Fangen Sie ein scharfes Bild mit Hilfe der Tubuslinse (f = 150mm) auf der Kamera ein. 3. Stellen Sie das Target und die Objektivlinse (f = 30mm) ca. in die Mitte des Aufbaus (siehe Abb. 16). Justieren Sie den Abstand der Objektivlinse zum Target, bis auf der Kamera ein scharfes Bild entsteht. 4. Stellen Sie die Kondensorlinse (f = 50mm) in den Strahlengang und fokussieren Sie das Lichtbündel auf dem Target. 5. Bringen Sie nun die Apertur-Blende in den Strahlengang. Stellen Sie die Apertur- Blende in die Brennebene der Kondensorlinse. 31

32 6. Fokussieren Sie den LED-Chip (runder Fleck mit bläulichem Rand) mit Hilfe der Feldlinse (f = 150mm) auf der Apertur-Blende und stellen Sie die Feld-Blende so in den Strahlengang, direkt hinter der LED, dass ein scharfes Bild der Feld-Blende auf dem Objekt entsteht. Hinweis: Schließen Sie die Feld-Blende zur Hälfte und öffnen Sie die Apertur-Blende. 7. Stellen Sie den Grünfilter in den Strahlengang. 8. Bringen Sie den Strahlteiler möglichst nahe hinter der Objektivlinse in einem 45 Winkel in den Strahlengang. 9. Wählen Sie ein Gitter (g = 10µm) aus, welches eine starke Beugung hervorruft. 10. Betrachten Sie das Beugungsbild in der hinteren Brennebene der Objektivlinse mit einem Schirm und stellen Sie die Apertur-Blende so ein, dass alle Maxima getrennt wahrgenommen werden können. Hinweis: LED-Intensität auf 95% stellen. 11. Stellen Sie die Projektionslinse (f = 50mm) für die hintere Brennebene möglichst nahe am Strahlteiler auf und bringen Sie das Beugungsbild möglichst groß auf einen Schirm. 32

33 Literatur [Add] Abbe Diffraction Demonstration. ibioeducation/taking-courses/abbe-diffraction-demonstration.html. Letzter Zugriff: [Bad] Building an Abbe Diffraction setup. Letzter Zugriff: [Dem08a] W. Demtröder. Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. Springer, [Dem08b] W. Demtröder. Experimentalphysik 2: Elektrizität und Optik. Springer, [Hec02] E. Hecht. Optik. Oldenburg, [Stö93] W. Stößel. Fourieroptik. Springer,