VORLESUNGEN ÜBER VEKTORRECHNUNG

Transkript

1 VORLESUNGEN ÜBER VEKTORRECHNUNG 5C172 VON MAX LAGALLY t 7. AUFLAGE BEARBEITET VON DR. WALTER FRANZ O. PROFESSOR DER THEORETISCHEN PHYSIK AN DER UNIVERSITÄT MÜNSTER IN WESTFALEN MIT 93 TEXTFIGUREN LEIPZIG 1964 AKADEMISCHE VERLAGSGESELLSCHAFT GEEST & PORTIG K.-G.

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Elementare Vektoralgebra 1. Begriff des Vektors; Summe von Vektoren 1. Translation Vektoren Skalare. Maßzahlen, Komponenten Lineare Beziehung Skalares Produkt 5. Betrag eines Vektors; Einheitsvektor Einführung des skalaren Produkts Auftreten des skalaren Produkts in der Mechanik Ein Dreibein als Basis Vektorprodukt 9. Einführung des Vektorprodukts Mechanische Anwendungen Geometrische Folgerungen Ein Dreibein als Basis Mehrfache Produkte 13. Gemischtes Produkt Einführung von kartesischen Koordinaten Dreifaches Vektorprodukt Vierfache Produkte Gramsche Determinante Anwendungen auf die Geometrie der Geraden und Ebene Reziproke Grundsysteme Eine Anwendung der reziproken Systeme Komplexe Vektoren und elliptische Schwingungen Tripel orthogonaler Schwingungen Dyadisches Produkt 23. Affine Abbildung Übergang zu Koordinaten Lineare Vektorfunktion Reduktion einer linearen Vektorfunktion 58

3 12 Inhaltsverzeichnis 27. Dyadisehes Produkt und Dyade _ Gesetze der dyadisehen Multiplikation Neunerform der Dyade Symmetrische Dyaden Antisymmetrische Dyaden Skalares Produkt zweier Dyaden Vektorprodukt einer Dyade mit einem Vektor Doppeltskalares Produkt Der Tensorbegriff 70 Kapitel 2. Von skalaren Parametern abhängige Vektoren 1. Differentiation eines Vektors nach einem Parameter 36. Erklärung der Differentiation eines Vektors Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung Differentiation eines Produkts Drehung eines Dreibeins Natürliche Geometrie der Raumkurven 40. Frenetsche Formeln Formeln für erste Krümmung und Torsion Die rektifizierende Flache Natürliche Geometrie der Kurven auf einer Fläche 43. Begleitendes Dreibein einer Kurve auf einer Fläche Geodätische Linien Gaußschc Parameter auf einer Fläche 45. Einführung Gaußscher Parameter; Parameterkurveh Metrische Fundamentalform Geodätische Krümmung Zweite Fundamentalform Haupttangentenkurven Sphärisches Bild einer Fläche Krümmungslinien Geodätische Torsion Eigenschaften der Krümmungslinien Natürliche Geometrie der Flächen 54. Rückkehr zur natürlichen Geometrie Richtungsdifferentialquotienten und Integrabilitätsbedingung Geometrische Deutung der Integrabilitätsbedingung Fundamentalformeln der Flächentheorie Formeln von GAUSS und CODAZZI Gaußsche und mittlere Krümmung 110

4 Inhaltsverzeichnis Dreifache Orthogonalsysteme Linienelement des Raumes Anwendungen auf die Mechanik 62. Freie Bewegung eines Massenpunktes Planetenbewegung Bewegung unter allgemeiner Zentralkraft Dynamik des Punkthaufens Der Schwerpunkt als Bezugspunkt Bewegung eines Massenpunktes auf einer Raumkurve Bewegung auf einer Fläche Relativbewegung Die Schemkräfte Lotabweichung eines fallenden Körpers 140 Kapitel 3. Theorie der Felder 1. Grundlagen der Analyst» der Felder 72. Definition des Begriffes: Feld Der Ortsvektor als Integrationsvariable Gradient eines skalaren Feldes Differentiation nach einem Vektor Auftreten des Gradienten in der Hydrodynamik Komponentendarstellung von djdx Vektorfeld Richtungsdifferentialquotient einer vektoriellen Feldfunktion Tensorfelder Invarianten eines Vektorfeldes: Divergenz und Rotation Divergenz 82. Quelldichte Gaußscher Integralsatz Ergiebigkeit einer punktförmigen Quelle Allgemeiner Gaußscher Integralsatz Rotation 86. Mechanische Deutung der Rotation Hilfsformel für die Komponenten der Rotation Stokesscher Integralsatz Allgemeiner Stokesscher Integralsatz Wirbelfreie Felder Konservative Kräfte 164

5 14 Inhaltsverzeichnis 4. Algebra des V'Operators 92. Differentiation von Summen und Produkten Doppel-V Formeln für den Ortsvektor Partielle Integration vektorieller Differentialausdrücke Anwendungen auf die Hydrodynamik 96. Vorbemerkungen Kontinuitätsgleichung Substantielle Änderung einer Feldgröße Eulersche Gleichung der Bewegung Integrale der Eulerschen Gleichung Wirbelbewegung Helmholtzsche Wirbelsätze Sätze aus der Potentialtheorie 103. Greensche Formeln Eindeutigkeitssatz Laplacesches Feld Folgerungen aus den Greenschen Formeln Gravitationspotential Poissonsche Gleichung Berechnung eines Vektorfeldes aus seinem Quellen- und Wirbelfeld 109. Vorbemerkung: Ziel der Untersuchung Reines Quellenfeld von unendlicher Ausdehnung Reines Wirbelfeld von unendlicher Ausdehnung Berechnung eines unendlich ausgedehnten Feldes aus seinen Quellen und Wirbeln Begrenztes Feld Feld eines einzelnen Wirbelfadens Räumlicher Sehwinkel Doppelquellen Wirbelschichten Richtungsdifferentialquotienten höherer Ordnung 118. Taylorsehe Entwicklung einer Feldfunktion, Differentiation nach verschiedenen Richtungen Kugelfunktionen Der Maxwellsche Ansatz Aufstellung allgemeiner Kugelfunktionen Differentiation in Richtung der Feldlinien eines Vektorfeldes Azimutale Differentiation 211 i 25. Vektorielle Kugclfunktionen Geometrie der Vektorfelder Flächennormale Felder Mittlere und Gaußsche Krümmung der Orthogonalflächen 218

6 Inhaltsverzeichnis Äquidistanzflächen Laplacesche Felder Allgemeine Koordinaten im Kaum 131. Einführung der Parameterflächen Reziproke Systeme von Grundvektoren Berechnung von \/ für eine veränderliche Basis Potentialflachen und Stromflächen Zerlegung eines Strömungsfeldes in Zellen 226 Kapitel 4. Dyaden 1. Elemente der Dyadenrechnung 136. Lineare Vektorfunktion und affine Abbildung Produkt zweier Dyaden Quotient zweier Dyaden Konjugierte Dyade Zerlegung in symmetrischen und antisymmetrischen Teil Einfachste Invarianten einer Dyade Der Vektor & x Kinematische Deutung Heine Dehnung 144. Tensorflächen zweiter Ordnung Reziproke Tensorflächen Tangentialebene und Normale der Mittelpunktsflächen Ordnung Die reine Deliung Das Maßellipsoid Eine Beziehung zwischen Einheitskugel und Maßellipsoid Drehung des Raumes 150. Der Versor als Operator der Drehung Aufstellung eines Versors Zusammensetzung zweier Umklappungen Vektor der Drehung Cayleysche Formeln Zusammensetzung zweier Drehungen Konstruktion der resultierenden Drehung Der Vektor der resultierenden Drehung Skalare Invarianten einer Dyade 158. Dritter Skalar Zweiter Skalar Zusammenhang mit dem ersten Skalar der reziproken Dyade Verwendung des Vektors 0 X zur Bildung skalarer Invarianten 261

7 16 Inhaltsverzeichnis 162. Vollständiges System von skalaren Invarianten Doppeltskalares Produkt zweier Dyaden Beispiel für die Reduktion einer Invarianten Identitäten Die duale Dyade Cayley-Hamiltonsche Gleichung Die Wurzeln der Cayley-Hamiltonschen Gleichung Ausartungen der Cayley-Hamiltonschen Gleichung 271 Kapitel 5. Die wichtigsten Dyaden der Physik 1. Trägheitsdyade und Kreiselbewegung 170. Bewegung eines starren Körpers Trägheitsmoment und Trägheitsdyade Einführung von Koordinaten Trägheitsellipsoid Drall und Drallellipsoid Kräftefreier Kreisel Hauptgleichung der Kreiselbewegung Moment der Zentrifugalkraft Eulersche Gleichungen der Kreiselbewegung Einführung der Eulerschen Winkel Umrechnung der Eulerschen Kreiselgleichungen auf Eulersche Winkel Feld der Trägheitsdyade ' Der Komplex der Haupträgheitsachsen Deformation eines Kontinuums 183. Zerlegung des Verschiebungsfeldes Dilatation und Richtungsänderung Winkelverzerrung Deformationskoeffizienten für rechtwinklige Koordinaten Dilatationsflächen Hauptdilatationen Maßellipsoid der Deformation Volumdilatation Abspaltung einer volumtreuen Verzerrung Kompatibilitätsbedingungen Geschwindigkeitsfeld Spannungszustand 194. Reduzierte Spannung Gleichgewicht eines Spannungszustandes Spannungsdyade Gleichgewichtsbedingungen im Spannungsfeld Formeln für rechtwinklige Koordinaten Spannungsflächen 302

8 Inhaltsverzeichnis Hauptspannuiigen Lamesches Spannungsellipsoid Spannungsrichtflächen Cauchysches Spannungsellipsoid Elastische Spannungen 204. II oo kesehes Gesetz für isotrope Medien Zusammenhang mit den Elastizitätsmoduln Virtuelle Formänderungsarbeit Wirkliche Formäiiderungsarbeit bei elastischem Spannungszustand Elastisches Potential Elastisches Potential für rechtwinklige Koordinaten Dielektrische Dyade 210. Maxwellsche Gleichungen, Feldarbeit Erhaltung der elektrischen Feldenergie Isotrope und kubische Substanzen Rhombische Kristalle Trikline und monokline Kristalle 314 Kapitel 6. Vektorräume höherer Dimension und Cliffordsche Algebra 1. Affine Vektorrechnung 215. ra-dimensionaler Vektorraum V n Der Vektor als Menge Die Plan-große Plangrößen höherer Stufe Die Plangröße als Inhaltsmaß Das ra-simplex Orientierte Polyeder Vektoranalysis 222. Skalares Produkt Einführung eines «(-Beins Skalare Maßbestimmung Ergänzung einer Plangröße Flächen und Flächenintegrale Differentiation nach dem Ortsvektor G a ußscher Integralsatz Stokesscher Integralsatz Komponentendarstcllung von d/ilx Hyperkomplexe Zahlen 231. Arithmetische Einführung hyperkomplexer Zahlen Multiplikation Lagally, Vektorrechnung. 7. Aufl.

9 18 Inhaltsverzeichnis 233. Division Systeme von n 2 Einheiten Beweis der charakteristischen Gleichung Zusammenhang mit der dreidimensionalen Vektorrechnung 23(i. Vektoren und Dyaden Quaternionen Kartesische Darstellung, Betrag, Richtung und Phase einer Quaternion Division der reellen Quaternionen Die Gaußsche Zahlenebene Drehung des Raumes um eine feste Achse Zusammensetzung zweier Drehungen Komplexe Quaternionen Quaternionische Kugelfunktionen (Spin-Kugelfunktionen) Nomonen, Duale Vektoren 353! 5. Gllffordsche Vektoralgebra 247. Reziprokes eines Vektors Unbestimmtes und alternierendes Produkt extensiver Größen Alternierende verjüngte Produkte Cliffordsehe Multiplikation alternierender Größen Division durch einen Vektor Einführung eines ra-beins Einheitsplangrößen, nichtplane alternierende Größen Bildung der Ergänzung Zusammenhang mit der Quaternionenrechnung Diracsche Gleichung des Elektrons Drehungen des Raumes, Spinortransformation, Algebra der Clilfordschen Zahlen 258. Basis des Cliffordschen Zahlsysteins Zusammenhang zwischen C 2, Quaternionen und System von 2 2 Einheiten Clif fordscher Isomorphiesatz Zahlentypen der Bereiche C 2n ; Reduktionsgrad Zahlentypen in C 0, C 2, C Eigenschaften der C 2n Quaternionen und Biquaternionen 373 Kapitel 7. Transformationstheorie 1. Wechsel des Dreibeins 265. Ziel der Untersuchung Transformation der Einheitsvektoren Transformation der Komponenten eines invarianten Vektors 376

10 Inhaltsverzeichnis Invarianz des skalaren Produktes Transformation der Komponenten des Vektorpoduktes Allgemeiner Basiswechsel 270. Einführung einer neuen Basis Kogredienz und Kontragredienz Koordinatentransformation und affine Abbildung Gruppe der Drehungen und Spiegelungen Bildung von Invarianten 274. Einführung der reziproken Basis Transformation reziproker Systeme Über den Gebrauch des Wortes Vektor" Übergang von einer Basis zur reziproken Metrische Fundamentalform Invarianter Ausdruck für die Arbeit einer Kraft Invarianten Metrische Fundamentaldyade Größen mit mehreren Indizes Verschiedene Gestalten einer Dyade Transformation einer Dyade Transformation der Komponenten invarianter Vektorprodukte Die einfachsten Ditlerentialinvarianten 286. Die invariante DifferentiationV Divergenz und Rotation, bezogen auf eine beliebige Basis Mechanische Anwendung 288. Vorbemerkung Die Verzerrungskoeffizienten Die Spannungskomponenten Hookesches Gesetz Elastisches Potential 400 Kapitel 8. Vektoren im Riemannschen Raum 1. Vektoren in einem Punkt eines Riemannschen Raumes 293. Definition des Riemannschen Raumes Begleitender Vektorraum Metrik in einer Fläche des euklidischen Vektorraumes Koordinatentransformation im R n Übergang zum reziproken System Reziproke Systeme auf einer Fläche Bildung von Invarianten; Tensoren Verjüngung und Multiplikation von Tensoren Differentiation nach dem Vektor des begleitenden Raumes 408 2*

11 20 Inhaltsverzeichnis 2. Absolutes Differential und lineare Übertragung 302. Richtungsvergleich im euklidischen Raum Metriktreue Abbildung benachbarter V n Absolutes Differential der Dyade / Lineare Übertragungen Lineare Übertragungen im euklidischen Raum Bahnkurven einer linearen Übertragung Geodätische Linien Geodätische Übertragung Formeln für die geodätische Übertragung Frenetsche Formeln im R n Differentialinvarianten 312. Bildung von Differentialinvarianten Differentialinvarianten im dreidimensionalen Raum Zylinder- und Polarkoordinaten als Beispiel Differentialinvarianten einer Fläche Theorie des Krttmmungstensors 316. Krümmung als Differentialinvariante Abhängigkeit der linearen Übertragung vom Weg Lineare Übertragung um ein infinitesimales Viereck Krümmungstensor einer Fläche Gaußsche Krümmung einer Fläche Verjüngungen des Krümmungstensors im li n Verschwindender Krümmungstensor 439 Namen- und Sachverzeichnis 441