Optische Nachrichtentechnik-Praktikum: CAE-Teil Chromatische Dispersion und Fasernichtlinearitäten

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1 Optische Nachrichtentechnik-Praktikum: CAE-Teil Chromatische Dispersion und Fasernichtlinearitäten Betreuer: Dr. Stefan Warm Raum HFT 34, Tel.: 34-43, Mail: 7. Dezember Zusammenfassung Nachdem in der theoretischen Einführung die nichtlineare Schrödingergleichung (NLSG und ihre numerische Lösung durch das Split-Step Fourier Verfahren vorgestellt wurden, sollen nun die einzelnen Effekte wie chromatische Dispersion und Fasernichtlinearitäten genauer behandelt werden. Chromatische Dispersion In diesem Abschnitt soll der Einfluss der Dispersion auf die Pulsausbreitung in Glasfasern diskutiert werden. Zur Vereinfachung wird ein dämpfungsfreies (Dämpfungskonstante α =, rein lineares (Nichtlinearitätskoeffizient γ = Medium angenommen. Darüberhinaus soll die Wellenlängenabhängigkeit der Dispersion vernachlässigt werden (β 3 =. Mit diesen Annahmen vereinfacht sich die NLSG zu A(z, T z = j β A(z, T T. ( In dieser Form kann die Differentialgleichung leicht durch Transformation in den Frequenzbereich gelöst werden. Ersetzt man die Funktion A(z, T durch ihre Fouriertransformierte Ã(z, ω und die Ableitung nach der Zeit durch jω, so ergibt sich Ã(z, ω = jω β Ã(z, ω. ( z Die Gl. ( wird gelöst durch wobei Ã(, ω die Fouriertransformierte des Signals am Ort z = ist, mit ( Ã(z, ω = Ã(, ω exp jω β z, (3 Ã(, ω = A(, T exp ( jωt dt. (4 Aus Gl. (3 ist ersichtlich, dass die Dispersion die Phase der spektralen Komponenten des Signals verändert. Diese Phasenänderung hängt sowohl von der Dispersion β, als auch von der Kreisfrequenz ω und dem Ort z ab. Trotz dieser Phasenänderung bleibt das Leistungsdichtespektrum des Signals konstant, während sich die Pulsform im Zeitbereich ändern kann. Die Pulsform im Zeitbereich kann mittels Rücktransformation von Gl. (3 in den Zeitbereich bestimmt werden. A(z, T = Ã(z, ω exp (jωt dω = ( Ã(, ω exp jωt jω β π π z dω (5 Mit Gl. (4 und Gl. (5 lässt sich jede Signalausbreitung unabhängig von der Signalform in rein dispersiven Medien beschreiben. Zur Illustration soll im folgenden Beispiel die Ausbreitung eines Gaußpulses in einer rein dispersiven Glasfaser betrachtet werden. Ein Gaußpuls mit normierter Amplitude hat die Form A(, T = exp ( T, (6 T

2 wobei T die halbe (/e-pulsbreite (bezogen auf die Intensität A(, T bezeichnet. Aus Gl. (4 folgt dann Ã(, ω = πt ( exp T ω. (7 Mit Gl. (5 nach Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt sich dann schließlich die Signalform an einer beliebigen Stelle z zu T ( A(z, T = T + jβ z exp T (T + jβ. (8 z Betrachtet man die Intensität (also die Pulsform, so ergibt sich aus Gl. (8 A(z, T = T ( T 4 + β exp T T z T 4 +. (9 β z Aus Gl. (8 und Gl. (9 ist ersichtlich, dass ein Gaußpuls bei der Ausbreitung in einem dispersiven Medium zwar seine Form beibehält, seine Pulsbreite aber größer wird. Die Pulsbreite nach einer Strecke z ergibt sich aus Gl. (9 zu ( z T = T +. ( L D Die Größe L D wird Dispersionslänge genannt und bestimmt das Ausmaß der Pulsverbreiterung. Sie ist definiert als L D = T β. ( Aus Gl. ( und Gl. ( ist zu entnehmen, dass schmale Pulse bei gleicher durchlaufener Strecke eine stärkere Verbreiterung erfahren als breite Pulse. Unabhängig von der ursprünglichen Pulsbreite wird ein Gaußpuls nach Durchlaufen einer Dispersionslänge um den Faktor verbreitert. Die Abb. zeigt die Verbreiterung eines Gaußpulses nach dem Durchlaufen verschieden langer Faserstücke. Bei zunehmender Verbreiterung des Pulses sinkt aufgrund des Energieerhaltungssatzes die Pulsspitzenleistung ab. normierte Intensität A(z,T / A(, z= z=l D z=3 L D normierte Zeit ( T / T Abbildung : Pulsverbreiterung durch Dispersion am Beispiel eines Gaußpulses. Die verschiedenen Kurven zeigen den Puls am Anfang der Strecke (durchgezogene Linie, nach einer Dispersionslänge (gestrichelte Linie und nach drei Dispersionslängen (gepunktete Linie. Die in diesem Praktikum verwendete Software VPItransmissionMaker verwendet als Maß für die Dispersion den Dispersionsparameter D, der über folgende Beziehung mit β verknüpft ist: D = πc λ β. (

3 Die in den vorangegangenen Betrachtungen vernachlässigte Wellenlängenabhängigkeit der Dispersion wird durch den differentiellen Dispersionsparameter S (auch als Dispersionssteigung bezeichnet beschrieben. Dieser hängt sowohl von D, als auch von β 3 ab und ist gegeben durch S = dd dλ = Die nichtlinearen Effekte ( πc λ β 3 λ D. (3 Die nichtlinearen Effekte können in zwei Gruppen unterteilt werden: Bei den unelastischen Prozessen nimmt die Glasfaser aktiv an der Wechselwirkung zweier oder mehrerer optischer Wellen teil, indem sie zum Energiebzw. Impulsausgleich Phononen bereitstellt. Mithin erfolgt bei diesen Prozessen ein partieller Energietransfer der propagierenden Felder an das Medium und umgekehrt. Zu dieser Gruppe gehören die stimulierte Raman- Streuung (SRS und die stimulierte Brillouin-Streuung (SBS. Im Gegensatz hierzu wirkt die Faser bei den elastischen oder parametrischen Prozessen lediglich als passiver Vermittler, indem eine Welle auf einen Faserparameter (z.b. die Brechzahl einwirkt, wodurch eine zweite Welle in ihrer Ausbreitung beeinflusst wird. Hierunter fällt die Selbstphasenmodulation (SPM und die Kreuzphasenmodulation (XPM sowie die Vierwellenmischung (FWM - zusammengenommen mit dem Begriff Kerr-Effekt bezeichnet. Je nach Modulationsverfahren und Systemkonfiguration haben oben aufgeführte Effekte unterschiedliche Auswirkungen auf die Systemeigenschaften. Die Brillouin-Streuung und Selbstphasenmodulation treten bereits bei optischen Einkanalsystemen auf. Bei hohen Datenraten über Gbit/s kann darüber hinaus auch die Raman- Streuung bereits zu einer Selbstbeeinflussung eines einzelnen Wellenlängenkanals führen. In Mehrkanalsystemen treten zusätzlich zwischen den Wellenlängenkanälen Kreuzphasenmodulation, Vierwellenmischung und Raman- Streuung auf. Hierbei ist für den Einfluss der Nichtlinearitäten in diesen Systemen insbesondere der Kanalabstand zwischen den Wellenlängenkanälen und die Signalleistung je Wellenlängenkanal von Bedeutung. 5 K I A F J E > E E J J K A = I J E I? D A H A I I A A = I J E I? D A F = H = A J H E I? D A H A I I A * H E K E 5 J H A K K C 5 * 5 4 = = 5 J H A K K C A > I J F D = I K = J E 5 H A K F D = I A K = J E 8 E A H M A A E I? D K C. 9 Abbildung : Schematische Darstellung der in Glasfasern aufgrund der Suszeptibilität 3. Ordnung χ (3 auftretenden nichtlinearen Effekte. Wie in Abb. schematisch dargestellt entstehen die nichtlinearen Eigenschaften einer Glasfaser durch den Einfluss der Suszeptibilität (Polarisierbarkeit des Mediums. Durch die Suszeptibilität 3. Ordnung χ (3 verändert sich der Brechungsindex der Glasfaser abhängig von der Leistung P der in der Glasfaser geführten Wellen gemäß n P = n + n, (4 A eff wobei die Größe n als nichtlinearer Indexkoeffizient (auch nichtlinearer Brechungsindex bezeichnet wird und über n = 3 8n χ(3 (5 mit der Suszeptibilität verknüpft ist. A eff ist die effektive Kernfläche und beträgt ca. 8 µm bei Einmodenfasern. 3

4 Durch den leistungsabhängigen Brechungsindex wird auch die Ausbreitungskonstante β leistungsabhängig. Dies führt zu β = β + γp. (6 Der Koeffizient γ (Einheit: [/Wm] wird Nichtlinearitätskoeffizient genannt. Er ist gegeben durch γ = k n A eff = n ω ca eff. (7 Die Software VPItransmissionMaker erlaubt die Skalierung der Leistungsabhängigkeit der Ausbreitungskonstante über die beiden Parameter n und A eff. Der Nichtlinearitätskoeffizient γ kann dagegen nicht direkt angegeben werden. Nach diesen grundlegenden Betrachtungen sollen im Folgenden die einzelnen nichtlinearen Effekte und ihr Einfluss auf die Signalausbreitung in Glasfasern genauer untersucht werden.. Selbstphasenmodulation (SPM Durch die Leistungsabhängigkeit der Ausbreitungskonstante erfährt ein sich ausbreitender Puls eine nichtlineare Phasenverschiebung. Um diese genauer zu quantisieren wird zunächst eine normierte Pulsform U(z, T gemäß U(z, T = A(z, T P exp ( αz (8 eingeführt. Dabei ist P die Pulsspitzenleistung an der Stelle z =. Durch diese Normierung ist U(z, T unabhängig von der Faserdämpfung. Für die weiteren Betrachtungen soll an dieser Stelle die effektive Länge L eff einer Faser eingeführt werden. Sie ist definiert als die Länge einer verlustlosen Glasfaser, bei der die Integration der Leistung über die Faserlänge den gleichen Wert ergibt wie bei einer verlustbehafteten Glasfaser. Als Formel ausgedrückt heißt das P L eff = L P exp ( αz dz, (9 wobei L die Länge der verlustbehafteten Glasfaser bezeichnet. Aus Gl. (9 ergibt sich nach Integration die effektive Länge L eff zu exp ( αl L eff =. ( α Zur Anschauung ist dieser Sachverhalt in Abb. 3 dargestellt. Aufgrund der Definition von L eff über Gl. (9 ist die Fläche unter beiden Graphen gleich groß..5 normierte Leistung P(z / P.5 L eff P(z=P exp ( z z [km] Abbildung 3: Anschauliche Darstellung der Definition der effektiven Länge L eff. Unter Vernachlässigung der Dispersion (β, β 3 = ergibt sich durch Einsetzen von Gl. (8 in die NLSG für U(z, T folgende Differentialgleichung: U(z, T z = jγp exp ( αz U(z, T U(z, T. ( 4

5 Diese Differentialgleichung wird gelöst durch U(z, T = U(, T exp ( jφ NL (z, T. ( Der Term Φ NL (z, T beschreibt die durch SPM verursachte nichtlineare Phasenverschiebung und ergibt sich nach einer durchlaufenen Strecke L zu Φ NL (L, T = U(, T L eff L NL. (3 Dabei ist L eff die in Gl. ( eingeführte effektive Länge. Die Größe L NL wird als Nichtlinearitätslänge bezeichnet und ist definiert als L NL =. (4 γp Aus Gl. ( ist ersichtlich, dass die Pulsform bei der Übertragung erhalten bleibt, SPM aber zu einer intensitätsabhängigen Phasenverschiebung Φ NL führt. Die maximale Phasenverschiebung tritt dabei in der Pulsmitte (T = auf. Da die Pulsform U(z, T so normiert ist, dass U(, =, ergibt sich die maximale Phasenverschiebung zu Φ max = L eff L NL = γp L eff. (5 Aus Gl. (5 wird auch die physikalische Bedeutung der Nichtlinearitätslänge L NL deutlich. Sie entspricht der effektiven Länge, bei der die maximale Phasenverschiebung Φ max = wird. Die zeitabhängige Phasenänderung führt dazu, dass die instantane Kreisfrequenz während der Pulsdauer von der zentralen Kreisfrequenz ω abweicht. Diese Abweichung δω ist durch die Ableitung der Phasenänderung nach der Zeit bestimmt. δω(t = Φ NL(L, T T U(, T L eff = (6 T L NL Die Zeitabhängigkeit von δω kann als Frequenzchirp aufgefasst werden. Zur Vereinfachung der Betrachtungen sollen auch hier wieder Gaußförmige Pulse der Form ( T U(, T m = exp angenommen werden, wobei über den Parameter m verschiedene Pulsformen realisiert werden können (Abb. 4. T m (7 normierte Intensität U(z,T m= m= 3 3 normierte Zeit ( T / T Abbildung 4: Gaußförmige Pulse für m = (durchgezogene Linie und m = (gestrichelte Linie. Den Zusammenhang zwischen Phasenänderung Φ NL und Frequenzchirp δω für die in Abb. 4 abgebildeten Gaußpulse verdeutlicht Abb. 5. In Abb. 5(b ist zu erkennen, dass die steileren Flanken des Gaußpulses mit m = zu einem größeren Frequenzchirp führen. Desweiteren ist Abb. 5(b zu entnehmen, dass die spektralen 5

6 .8 m= m= m= m= Blauverschiebung NL ( T.6.4 ( T (a. 3 3 normierte Zeit ( T / T Rotverschiebung 3 3 (b normierte Zeit ( T / T Abbildung 5: (a Nichtlineare Phasenverschiebung Φ NL (T, (b Frequenzchirp δω(t Anteile des Pulses an seiner steigenden Flanke eine Rotverschiebung (zu niedrigeren Frequenzen und an seiner fallenden Flanke eine Blauverschiebung (zu höheren Frequenzen erfahren. Während ein Puls entlang der Faser propagiert, werden durch den Frequenzchirp kontinuierlich neue spektrale Komponenten erzeugt, was eine Verbreiterung des Spektrums zur Folge hat. Die Abb. 6 zeigt die Spektren beispielhaft für verschiedene nichtlineare Phasenverschiebungen. normierte Intensität (a m= m= max = m= max = m= = max 3 3 Frequenz ( / normierte Intensität (b Frequenz ( / normierte Intensität (c m= m= 3 3 Frequenz ( / Abbildung 6: (a Spektrum der Gaußpulse ohne nichtlineare Phasenverschiebung, (b Spektrum bei Φ max = π, (c Spektrum bei Φ max = π. Ohne Dispersion kann die Selbstphasenmodulation nur zu spektralen Veränderungen führen. Da alle spektralen Komponenten bei Vernachlässigung der Dispersion die gleiche Laufzeit aufweisen, sind unmittelbare zeitliche Pulsverzerrungen jedoch ausgeschlossen. Im Allgemeinen führen die faseroptischen Nichtlinearitäten nicht unmittelbar sondern nur mittelbar über die Wechselwirkung mit der Faserdispersion zu Systemstörungen.. Kreuzphasenmodulation (XPM Ein weiterer Effekt, der als Folge der Intensitätsabhängigkeit der Ausbreitungskonstante β zustande kommt, ist die Kreuzphasenmodulation (XPM. Bei einem Mehrkanalsystem wird die Phase eines Signals in einem Wellenlängenkanal durch Intensitätsschwankungen der Signale in den Nachbarkanälen moduliert. Dies führt zu einem Übersprechen zwischen den benachbarten Wellenlängenkanälen. Wie bei der Selbstphasenmodulation entstehen auch hier neue spektrale Komponenten, doch die Signalform an sich bleibt (unter der Annahme eines dispersionsfreien Mediums unverändert. Im Vergleich mit SPM zeigt XPM eine doppelte Effizienz hinsichtlich der nichtlinearen Phasenänderung. Die Kreuzphasenmodulation nimmt mit steigendem Abstand zwischen den 6

7 Wellenlängenkanälen ab. Für den allgemeinen Fall nicht verschwindender Dispersion und Dämpfung ist eine vereinfachte Betrachtung der XPM nur schwer möglich, da die Relativbewegung der einzelnen Kanäle aufgrund der unterschiedlichen Gruppengeschwindigkeiten der Wellenlängenkanäle berücksichtigt werden muss..3 Vierwellenmischung (FWM Die Vierwellenmischung tritt wie die Kreuzphasenmodulation nur in Systemen mit mehreren Wellenlängenkanälen auf. Die Intensitätsabhängigkeit der Brechzahl führt dabei zu Mischprodukten von verschiedenen Wellenlängenkanälen im Frequenzbereich. Bei der nichtlinearen Interaktion von drei unterschiedlichen optischen Wellen mit den Kreisfrequenzen ω i, ω j und ω k werden durch den nichtlinearen Brechungsindex neue optische Frequenzen ω ijk generiert: ω ijk = ω i + ω j ω k, mit ω i, ω j ω k. (8 Abbildung 7: Schematische Darstellung der durch die Vierwellenmischung entstehenden Mischprodukte bei drei äquidistant (Abstand ω bei den Kreisfrequenzen ω, ω und ω 3 angeordneten Wellenlängenkanälen. In Abb. 7 sind diese Mischprodukte schematisch (Annahme von monochromatischen Wellen für den Fall von drei wechselwirkenden Wellenlängenkanälen dargestellt. In diesem Fall äquidistant angeordneter Wellenlängenkanäle fallen einige Mischprodukte mit den zur Signalübertragung genutzten Frequenzen zusammen, was zu einem nichtlinearen Übersprechen zwischen den einzelnen Wellenlängenkanälen führt. Die Spitzenleistung der generierten Mischprodukte P ijk nach Durchlaufen einer Faser der Länge L ergibt sich zu P ijk = ( D ijk γl eff P i P j P k exp ( αl η. (9 3 Dabei ist D ijk = 3 für ein Zwei-Ton-Mischprodukt (ω i = ω j ω k und D ijk = 6 für ein Drei-Ton-Mischprodukt (ω i ω j ω k. P i, P j und P k bezeichnen jeweils die Spitzenleistung der Wellenlängenkanäle i, j und k. Der Koeffizient η beschreibt die Effizienz der Vierwellenmischung. Diese hängt unter anderem von dem Abstand zwischen den Wellenlängenkanälen ω und dem Dispersionsparamter D ab. Im allgemeinen wird die Effizienz der Vierwellenmischung kleiner, je größer der Kanalabstand und je größer die Dispersion ist. 3 Stimulierte Streuprozesse Neben den Kerr-Nichtlinearitäten treten in Quarzglas stimulierte Streuprozesse wie stimulierte Brillouin-Streuung (SBS und stimulierte Raman-Streuung (SRS auf. Diese stimulierten Streuprozesse führen zu einem Leistungstransfer zwischen unterschiedlichen Frequenzanteilen. 3. Stimulierte Brillouin-Streuung Stimulierte Brillouin-Streuung (SBS kommt durch Streuung an akustischen Wellen (Phononen zustande. Eine einfallende Welle wird an Brechzahlschwankungen durch statistische Dichteänderungen gestreut. Durch Interferenz zwischen rückgestreuter Welle und einfallender Welle kommt es durch Elektrostriktion (Zusammenziehen des Mediums durch die elektrische Feldstärke zu verstärkten Dichteschwankungen in Form einer akustischen Welle. Die maximale Streuung tritt auf, wenn sich das von den lokalen Brechzahlschwankungen gestreute Licht phasenrichtig überlagert. Dies wird allgemein durch die sogenannte Bragg-Bedingung beschrieben. Es kommt nahezu ausschließlich zu einer Rückstreuung der optischen Welle, d.h. entgegengesetzt zur eigentlichen Ausbreitungsrichtung der einfallenden Welle. Die reflektierte Welle weist eine um etwa GHz reduzierte Frequenz auf. Die Bandbreite dieses Prozesses wird durch die akustische Dämpfung des Materials bestimmt. Für Quarzglas liegt diese Wechselwirkungsbandbreite bei λ = 55 nm bei ca. bis MHz. 7

8 3. Stimulierte Raman-Streuung Stimulierte Raman-Streuung (SRS entsteht durch die Wechselwirkung der optischen Welle mit Molekularschwingungen in der Glasfaser. Licht, das in die Glasfaser eingekoppelt wird, wird teilweise gestreut und dabei zu niedrigeren Frequenzen verschoben. Diese Frequenzverschiebung entspricht der Frequenz der Molekularschwingung. SRS tritt sowohl in Vorwärts- als auch in Rückwärtsrichtung auf. Der Ramangewinnkoeffizient ist ca. um eine Größenordnung kleiner als der Brillouin-Gewinnkoeffizient, so dass dieser Effekt im allgemeinen in Einkanalsystemen vernachlässigbar ist. Die Wechselwirkungsbandbreite von SRS ist jedoch viel größer als bei der Brillouin-Streuung und liegt im Bereich von ca. THz bzw. nm. Hierdurch kommt es zu nichtlinearem Nebensprechen und Leistungstransfer zwischen den Wellenlängenkanälen eines optischen Mehrkanalsystems. Langwellige Kanäle werden entsprechend dem Ramangewinnprofil durch kurzwellige Kanäle verstärkt, was insbesondere zu einer Verschlechterung des Signal-Rausch-Verhältnisses der kurzwelligen Kanäle führt. Geht man von einer zulässigen SNR-Degradation von maximal,5 db aus, so muss folgende Bedingung in erster Näherung erfüllt sein: P ges B ges L eff 4 mw THz km, (3 d.h. das Produkt aus Gesamteingangsleistung P ges, Gesamtbandbreite B ges und effektiver Länge L eff darf den Wert 4 mw THz km nicht überschreiten. Bei dieser Abschätzung wurde davon ausgegangen, dass alle Wellenlängenkanäle gleichzeitig eine logische führen und damit miteinander wechselwirken, was in realen Systemen mit unterschiedlichen Informationen auf den verschiedenen Wellenlängekanälen sehr selten auftritt. Aus diesem Grund kann obige Abschätzung als worst-case betrachtet werden. Dieser nichtlineare Effekt, der wie oben beschrieben zur Systemdegradation führen kann, wird allerdings auch nutzbringend in sogenannten Raman-Faserverstärkern eingesetzt. Durch zusätzliches Einspeisen einer Pumpwellenlänge in den Lichtwellenleiter können niederfrequentere Signale (Wellenlängenkanäle verstärkt werden. 8