Methode der Trennung der Variablen

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1 Die homogene Differentialgleichung Lösungsverfahren zu ganz einfachen Differentialgleichungen Jetzt, da wir eine Teilmenge der möglichen Probleme und die dazugehörigen Lösungen kennen, wird es uns einfacher fallen, die allgemeinen Lösungsverfahren für unbekannte Probleme zu verstehen und anzuwenden. Als ganz einfache DGLn definieren wir dabei: Ganz einfache Differentialgleichungen sind solche, bei denen neben und auch noch genau eine Funktion u(x) mit diesen durch Multiplikation verknüpft ist Gemäß der Klassifikation von DGLn wären dies Gewöhnliche, Homogene, Lineare DGLn I. Ordnung. Welche Gestalt haben diese Gleichungen? Wir schrieben sie in expliziter Form als: = u(x), die implizite Form wäre: ± u(x) = 0 Die DGL heißt homogen, weil außer der mit verbundenen Funktion u(x) keine weitere Funktion s(x) in der Gleichung vorhanden ist, wie in = u(x) + s(x) bzw. + u(x) = s(x). Eine solche Funktion würde uns stören, man nennt sie deswegen auch Störfunktion. Die DGL wäre dann inhomogen. Eine homogene DGL besitzt keine Störfunktionen, ansonsten wäre sie inhomogen Solche DGLn besitzen die grundsätzliche Lösung = c e L(x) mit einer noch unbekannten Lösungsfunktion L(x), die wir zur Lösung der DGL eben herauszufinden haben. Der Weg zur Ermittlung der unbekannten Funktion L(x), also zur Lösung solcher DGLn nennt sich: Methode der Trennung der Variablen Sie ist grundlegend wichtig, deswegen werden wir sie auf der nächsten Seite ausführlich herleiten. Beginnen wir mit der einfachsten Form, wenn nämlich einer der Partner in der DGL mit einer Konstanten multipliziert wird: = n (n R).

2 DGLn lösen: Allgemeines Verfahren = n n = const. Die DGL liegt schon in expliziter Darstellung vor. Ansonsten hätten wir sie umformen müssen. = n 2 Wir identifizieren die zusätzliche Funktion: u(x) = n 3 Wir schreiben das in d dx um : = n d = n dx = d dx 4 Wir multiplizieren mit dx : d = n dx 5 Wir dividieren durch 6 Wir wollen beide Seiten integrieren : d d = n dx = n dx 7 Dafür schreiben wir das linke Integral etwas um : d = n dx 8 Jetzt führen wir die eigentliche Integration durch. ln d ist ein Stammintegral : d = ln = n dx 9 Das Integral n dx ist gleich n x + c ln = n x + c 0 Die Integrationskonstante c ist unbestimmt. Wir können sie also genauso gut als ln c schreiben: ln = n x + ln c Wir bringen die Int. konstante auf die linke Seite: ln ln c = n x 2 Wir wenden an: ln a ln b = ln a ln = n x b c 3 Wir schreiben beide Seiten als Potenz von e auf: e ln c = e n x 4 Wir wenden an : e ln a = a n x = e c 5 Wir bringen c auf die rechte Seite: = c e n x Wir gewöhnen uns an, die Integrationskonstante bei DGLn immer c ; c 2 ; c 3 zu nennen!

3 Anwendungen der Differentialgleichungen III. Lineare, inhomogene Differentialgleichungen I. Ordnung Das Wachstumsmodell des beschränkten Wachstums befriedigt nicht in allen Fällen. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist am Anfang sehr hoch und wird dann stetig kleiner. Es wird bei den meisten realen Wachstumsprozessen wohl eher so sein, dass das Wachstum zu Beginn (ohne eine Hemmung) exponentiell stattfindet, dann die Hemmung doch eine Wirkung zeigt und das Wachstum dann in ein beschränktes übergeht. Man kann beide Modelle miteinander verbinden. Anfangs soll das Wachstum exponentiell sein und dann allmählich in ein beschränktes Wachstum übergehen. Dazu verbinden wir die beiden Prozesse = k (exponentielles Wachstum) und = k (S ) (beschränktes Wachstum) miteinander zu: = k (S ) Diese Gleichung nennt man Logistische DGL. Es handelt sich um eine nichtlineare, jedoch homogene DGL zweiten Grades. Will man für sie auch das Anfangswertproblem lösen, darf der Anfangswert (0) nicht 0 sein. Nachfolgend die Kurve nach den Daten des Hefepilzbeispiels des beschränkten Wachstums. Ihre Gestalt nennt man Schwanenhalsform oder Sigmoidform. Die rechnerische Herleitung geschieht auf der nächsten Seite. Die DGL gehört zur Klasse der Bernoulli- und Riccati- DGLn, lässt sich aber auch ohne deren schwierige Anwendung lösen.

4 Lösung der Logistischen Differentialgleichung : = k (S ) Löst man die Klammer auf, erkennt man eine nichtlineare DGL zweiten Grades: = k S k 2 Wir belassen die Funktion faktorisiert: = k (S ) 2 Wir dividieren durch (S ) : Damit haben wir die Gleichung separiert. 3 Wir integrieren beide Seiten : (S ) = k (S ) = k 4 Wir lösen die rechte Seite : k = k x + c 5 Wir lösen die linke Seite : Wir substituieren: = u Dann ist: = du Wir lösen das Integral: u (S u) du (S ) und erhalten als Lösung: ln u ln u S du = u (S u) S S 6 Wir setzen zusammen : ln S ln S ln S S ln S = k x + c S ln ln S 7 Wir multiplizieren mit S : = k S x + c 8 ln ln S schreiben wir als: ln ln S S = k S x + c 9 Wir müssen jetzt nach auflösen. Dazu wenden wir die e-funktion an: 0 Wir bilden den Kehrwert: Nach diversen Umformungen erhalten wir als Lösung : 2 Lösung für: (0) = ; S = 5; k = 0. 0 = e ln S = S = ek x+c S = e k x+c = S + e S k x c 5 + e 0,5 x 4

5 Anwendungen der Differentialgleichungen V. Inhomogene Differentialgleichungen II. Ordnung Schwingungen: DGL des harmonischen Oszillators - Ungedämpfte Schwingungen Ruhelage Min. Auslenk. Max. Auslenk. Wenn eine erzwungene Ortsveränderung eine rücktreibende Kraft erzeugt, entstehen Schwingungen. 0 Federkonstante. Auf die Kugel wirkt konstant die Gewichtskraft F = m g. Dieser entgegen wirkt als elastische Gegenkraft die Federkraft, die dem Hookeschen Gesetz unterliegt: F = m D s In dieser Gleichung ist D die Wir setzen x als Smbol für den Weg. Dann ist die Erdbeschleunigung g die 2. Ableitung nach dem Weg: x. Auch in der Federkraft ersetzen wir den Weg s durch x. In der Ruhelage sind beide Kräfte gleich groß, jedoch entgegengesetzt gerichtet: F g = m x = F D = m D x. Wir dividieren durch m und erhalten unsere DGL für den Ort: x = D x Dies ist eine homogene DGL II. Ordnung. Wir lösten sie in ähnlicher Form bereits als: = Wir ersparen uns Schreibarbeit, ersetzen x mit und lösen nun Herleitung der allgemeinen Lösung von : = D Wir addieren D auf beiden Seiten : + D = 0 2 Wir schreiben beide in Differentialform: 3 Wir vermuten eine e-funktion. Wir substituieren = e k x : d 2 + D = 0 dx2 d 2 dx 2 ek x + D e k x = 0 4 Die zweite Ableitung von e k x ist k 2 e k x : k 2 e k x + D e k x = 0 5 Wir klammern e k x aus : e k x (k 2 + D) = 0 6 Wir lösen (k 2 + D) = 0 : ( D > 0! ) k 2 = D k = i D ; k 2 = i D 7 Die Lösung ist rein imaginär. Wir nehmen es gelassen hin : = + 2 = c e +i D x 2 = c 2 e i D x

6 7 8 Übertrag vorherige Seite : Wir wenden die Eulersche Identität an: e (α+ i β) x = e α cos(β x) + i e α sin(β x) Wir beachten: α = 0 e α = (!); β = D = c e +i D x 2 = c 2 e i D x = c (cos( D x) + i sin( D x)) 2 = c 2 (cos( D x) i sin( D x)) Wir addieren jetzt nicht, sondern überlegen, ob wir auch ohne dies auf die richtige Lösung kommen... Wir setzen vorläufig als Lösung : = c cos( D x) + c 2 sin( D x) Um die Lösung richtig interpretieren zu können, müssen wir noch einmal zu den grundlegenden Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktionen zurückkehren. Hier ein Graph beider Funktionen. Aus der Cosinusfunktion wird die Sinusfunktion durch Verschieben um π 2 und umgekehrt. Zusätzlich ein Graph für die Summe beider Funktionen. Die Funktionswerte erhöhen sich auf das,5-fache, der Graph selbst ist um π gegenüber den beiden 4 anderen verschoben. Wir lösen nun das Anfangswertproblem, d.h. wir weisen den Konstanten c und c 2 konkrete Werte zu. Der Zeitpunkt des Starts in unserem Experiment ist derjenige, in dem die angehobene oder heruntergezogene Kugel losgelassen wird. Dann ist die Auslenkung dx gerade gleich oder -. Dies ist die Cosinusfunktion, die Sinusfunktion können wir ausschließen. Selbst wenn wir für die Summe c cos(x) + c 2 sin (x) die Integrationskonstanten so geschickt wählen, dass sie zum Zeitpunkt 0 gerade ergeben würden, bekämen wir zu einem späteren Zeitpunkt irgendwann > und das ist aus Gründen der Energieerhaltung ausgeschlossen. Darum gilt c = ± und c 2 = 0 und unsere Lösung wird zu: = ± cos( D x) + 0 sin( D x) = ± cos( D x) Umso schöner, dass beim Addieren der Teillösungen der imaginäre Teil sowieso entfallen wäre

7 Allzweckprogramme im Internet Da kommt natürlich niemand vorbei an: Es bietet einen reduzierten Funktionsumfang des Computeralgebrasstems (CAS) Mathematica an. Aber selbst der reduzierte Funktionsumfang ist noch beeindruckend. Außerdem kann man auch Wissensdatenbanken für andere Gebiete, wie Phsik und Chemie nutzen. In der Grundversion ist es kostenlos, für ca. 6$/Monat kann man einen erweiterten Funktionsumfang mieten, der u.a. für bestimmte Berechnungen auch den Lösungsweg anzeigt. Die Bedienung geschieht ausschließlich in Englisch. Das Sstem versucht, mittels einer Art Künstlicher Intelligenz, auch umgangssprachlich formulierte Probleme zu lösen und allfällige Fehleingaben abzufangen. Das funktioniert mal so, mal so. Jedenfalls nur auf Englisch. Die besten Resultate erzielt man, wenn man sich der Sntax und Semantik von Mathematica bedient, das ja auch hinter der Weboberfläche steckt. Hier sei auf die spätere Beschreibung von Mathematica verwiesen, die diese Sntax darstellt. Beim Aufruf erhält man eine Eingabemaske, in der man das Problem eingibt. Als spezielle App für Smartphones ist es auch erhältlich. Ein Beispiel: Gleiche DGL wie bei smbolab, man erhält die gleiche Lösung. Zahlende Kundschaft erhält auch den Lösungsweg, sogar nach zwei verschiedenen Methoden:

8 Allgemeine DGL lösen (mit Lösungsausgabe): Die graphische Ausgabe erfolgt als Lösungsschar: Eine Differentialgleichung mit Randbedingungen und der exakten Lösung: DGL numerisch lösen: Allgemeine Ssteme von Differentialgleichungen lösen (mit Lösungsausgabe):

9 Ssteme von DGLn mit Randbedingungen lösen, auch Lotka-Volterra: