Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Frühjahrssemester Übung Mai 2014

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1 Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Frühjahrssemester 2014 Übung Mai 2014 Aufgabe 11.1 Lineare Abbildung ' A = 1 0 0' ' a) Was ist A 2 = AA, A = AAA, A 4,? Kommentar? b) Skizzieren Sie das Bild des Würfels bei der Abbildung A. Um welche Abbildung handelt es sich? Urbild Ergebnis a) A 2 ' = 0 1 0', A ' = 1 0 0', A 4 = E, A 5 = A,, A n = A n4, ' ' b) Drehung um e um 2.

2 Mathematik 2 für Naturwissenschaften. Übung 11 2 / 8 Urbild und Bild Aufgabe 11.2 Abbildungstyp? Urbild und Bild Das Urbild ist oben. Um was für eine Abbildung handelt es sich? Abbildungsmatrix? Bearbeitung Erster Lösungsweg Drehung um die Achse e 1 + e 2 ( ) um den Winkel. Zweiter Lösungswerg Zuerst Drehung um e 1 um. Dann Drehung um e um 2. Abbildungsmatrix ' A = ' 0 0 1'

3 Mathematik 2 für Naturwissenschaften. Übung 11 / 8 Aufgabe 11. Vom Raum auf die Ebene Welche Abbildung beschreibt die Rechtecksmatrix: Bearbeitung Bei der Rechtecksmatrix A = ist: A = u 1 u 2 u = u 1 u 2 Die dritte Koordinate, also u, geht verloren. Die räumliche Figur wird auf die Grundrissebene (mit nur noch den Koordinaten u 1 und u 2 ) plattgedrückt. Diese Abbildung heißt Normalprojektion auf die Grundrissebene. Das sieht dann so aus (der Würfelkopf hängt schräg im Raum, also nicht parallel zu den Koordinatenachsen): Urbildkopf Urbildkopf und flacher Bildkopf Von vorne sehen wir vom Bildkopf nichts, weil er flach gedrückt ist, und auch von oben sehen wir vom Bildkopf nichts, weil er unter dem räumlichen Würfelkopf versteckt ist.

4 Mathematik 2 für Naturwissenschaften. Übung 11 4 / 8 Sicht von vorne (Aufriss) und von oben (Grundriss) Bei dieser Abbildung haben wir einen Dimensionsverlust. Das heißt aber auch, dass wir aus der Bildfigur die Urbildfigur nicht mehr rekonstruieren können. Die Abbildung ist nicht umkehrbar. Aufgabe 11.4 Eigenvektoren und Eigenwerte Gesucht sind Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix A = 1 ' 8 4. Ergebnis u 1 = 1 8 ' 1 = 5, u 2 = 1 1 ' ( 2 = 4 Aufgabe 11.5 Eigenvektoren und Eigenwerte Gesucht sind Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix A = 1 1 ' 1 1. Ergebnis Keine reelle Lösung. Aufgabe 11.6 Eigenvektoren und Eigenwerte Gesucht sind Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix A =

5 Mathematik 2 für Naturwissenschaften. Übung 11 5 / 8 Ergebnis 1 ' 1 = 1 u 1 = 0' 0' 1 ' 2 = 2 u 2 = 1' 0' ' = u = 4' 2' Aufgabe 11.7 Matrix gesucht Eine (2, 2)-Matrix A hat zum Eigenwert 2 den Eigenvektor 5 den Eigenvektor 2. 2 und zum Eigenwert 7 1 Ergebnis A = ' Bearbeitung Wir machen den Ansatz: Dann muss gelten: und ebenso: A 2 1 = also A 5 2 = also a c A = a c a c b d b 2 d 1 = 4 2 ( ' ) 2a + b = 4 * 2c + d = 2 b 5 d 2 = 5 14 ' Somit haben wir vier Gleichungen für die Unbekannten a, b, c, d. ( 5a + 2b = 5 ) * 5c + 2d = 14 Aufgabe 11.8 Wechselwähler. Freiwillige Aufgabe In Yellowland gibt es nur zwei politische Parteien, die Schwarzen und die Roten. Die Wähler bleiben in der Regel ihrer Partei treu. Allerdings wechseln bei jeder Wahl 20 der bisherigen Schwarz-Wähler zu Rot, während 10 der Rot-Wähler zu Schwarz wechseln. Bei den letzten Wahlen erhielten die Schwarzen 95 der Stimmen und bildeten daher die Regierung. Wie sieht die politische Zukunft von Yellowland aus? Wie sah die politische Vergangenheit von Yellowland aus?

6 Mathematik 2 für Naturwissenschaften. Übung 11 6 / 8 Bearbeitung Die politische Zukunft Anteilmäßig wechseln mehr Schwarz-Wähler zu rot als umgekehrt. Der Stimmenanteil der Schwarzen wird daher abnehmen, jedenfalls so lange Schwarz eine solide Mehrheit hat. Die Frage ist, ob Rot je eine Mehrheit erreichen kann. Mit Excel ergibt sich: Wahlperiode Anteil Schwarz Anteil Rot Bereits nach vier weiteren Wahlgängen hat Rot eine Mehrheit. So schnell kann das wechseln. Auf Grund der Zahlen vermuten wir, dass sich schließlich eine stabile 2 -Mehrheit für Rot ergibt. Die Abbildung zeigt die Datenpunkte.

7 Mathematik 2 für Naturwissenschaften. Übung 11 7 / 8 Datenpunkte Wir fassen die Anteile von Schwarz und Rot zu einem Vektor zusammen und indizieren gemäß der Wahlnummerierung: v 0 = , v 1 = ,v 2 = , Damit gilt folgende Rekursion: Die Matrix v n+1 = v n A = heißt Übergangsmatrix. Manchmal spricht man auch von einer Prozessmatrix oder stochastischen Matrix. Die Spaltensummen der Übergangsmatrix sind 1. Es hat keine negativen Matrixeinträge. Für die Matrix A finden wir die Eigenwerte und Eigenvektoren: 1 = 1, u 1 = = 0.7, u 2 2 = '1 Beim Handrechnen ist man angenehm überrascht, wie schlank das geht. Liegt da ein präpariertes Lehrerbeispiel vor?

8 Mathematik 2 für Naturwissenschaften. Übung 11 8 / 8 Weiter ist der Eigenwert 1 = 1 überraschend, der zugehörige Eigenvektor kann in der Form u 1 = geschrieben werden und gibt die vermutete Grenzlage der Stimmenverteilung wieder. Wir vermuten also: 1 2 lim v n = u 1 n Der zweite Eigenvektor kann nicht so justiert werden, dass eine Spaltensumme 1 ergibt. Wir möchten zeigen: lim v n = n Für den Beweis schreiben wir v n in der Form: 1 2 ( ( '( 1 + n v n = ( 2 ( n '( Diese Schreibweise ist immer möglich, da die Vektoren die Spaltensumme 1 haben. Damit erhalten wir: ' 1 v n+1 = n + 0.7' = n ( ' 2 n ( 0.7' n Somit ist n+1 = 0.7 n, der Fehler ist eine geometrische Nullfolge. Die politische Vergangenheit Nun rechnen wir einen Wahlgang zurück in die Vergangenheit. Dann muss gelten: v 0 = v '1 = = ' v '1 = ' Der Stimmenanteil von Schwarz war mehr als 100, der Stimmenanteil von Rot negativ. Da sieht man, dass entweder die Aufgabe unsinnig ist oder bei der damaligen Wahl noch nicht diese Übergangsmatrix gültig war.