Matrizenrechnung. AM - Oberstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname:

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1 Matrizenrechnung AM - Oberstufe KZN Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname: 16. Juni 2013

2 Inhaltsverzeichnis 1 Überblick 2 2 Lineare Gleichungssysteme Was ist ein lineares (2 2) - Gleichungssystem? Lösungsverfahren Lineare (3 3) - Gleichungssysteme Lineare (n n) - Gleichungssysteme Lineare (m n) - Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit Parametern Matrizen - Grundbegriffe & Definitionen Der Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen Die Rechenoperationen Die Inverse einer Matrix 23 5 Die Determinante Die Berechnung einer Determinante Matrizen & Mathematica 39 7 Mehrstufige Prozesse 40 8 Lineare Abbildungen in der Ebene - deren Darstellung durch Matrizen & Eigenschaften Abbildungen in der Ebene Abbildungen im Raum Die Gruppe der Drehmatrizen Der Begriff der Gruppe Die Drehmatrizen im Raum Der Äquivalenzsatz für orthogonale Matrizen Die Determinante & ihre geometrische Bedeutung Eigenwert & Eigenvektoren 61 1

3 1 Überblick Wir beginnen mit einer Repetition zu den Linearen Gleichungssystemen und werden im Zusammenhang mit den Lösungsmethoden den Begriff der Koeffizientenmatrix und somit unsere erste Matrix kennenlernen. Die Definition einer Matrix und die Einführung der Rechenoperationen wird uns dann ermöglichen, den Zusammenhang zwischen einem Linearen Gleichungssystem und einer Matrizengleichung darzustellen. In diesem Zusammenhang werden wir auch die wichtigen Begriffe der Inversen und der Determinante einführen und besprechen. Da das Rechnen mit Matrizen sehr zeitaufwendig ist, werden wir uns auch mit den Einsatzmöglichkeiten von Mathematica befassen, um unsere ersten Anwendungen aus dem Bereich der mehrstufigen Prozesse schneller berechnen zu können. Weitere Anwendungen werden die Linearen Abbildungen sein, welche sich durch Matrizen darstellen lassen, wobei wir uns insbesondere mit der Gruppe der Drehmatrizen befassen werden. Abschliessend werden wir uns nocheinmal den Determinanten und ihren geometrischen Bedeutungen zuwenden und uns noch mit den Eigenwert & Eigenvektoren befassen. 2

4 2 Lineare Gleichungssysteme 2.1 Was ist ein lineares (2 2) - Gleichungssystem? (I) ax + by = e (II) cx + dy = f Geometrische Interpretation: Lösungsmenge: Anzahl Lösungen: 3

5 Entscheidend für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems (I) ax + by = e (II) cx + dy = f ist somit folgender Ausdruck: Beispiel 2.1 Bestimme die Lösungen nur in den Fällen, wo sie existiert und eindeutig bestimmt ist: 2x + y = 3 2x + 2y = 5 2 y = 3x 3y + 9x = 6 2x 3y = 4 9y + 6x = 12 4

6 2.2 Lösungsverfahren Beispiel 2.2 Löse das folgende Gleichungssytem auf verschiedenen Wegen: 5x y = 7 4x + y = 7 5x y = 7 4x + y = 7 5x y = 7 4x + y = 7 5

7 2.3 Lineare (3 3) - Gleichungssysteme sind Als Lösungsverfahren (im Allgemeinen) nicht mehr zu gebrauchen sind Beispiel 2.3 Löse das folgende lineare (3 3) - Gleichungssystem x + 2y + z = 3 2x y z = 2 x + y 2z = 1 6

8 Die Idee des Gauβ-Algorithums: 7

9 2.4 Lineare (n n) - Gleichungssysteme Wir sprechen von einem linearen (quadratischen) n n Gleichungssystem, wenn... Beispiel 2.4 Wir werden die folgenden Gleichungssyteme gemeinsam lösen und mögliche Vereinfachungen in den Darstellungen besprechen: 2x + y 2z = 10 3x + 2y + 2z = 1 5x + 4y + 3z = 4 8

10 4x + 7y = 10 3x + 8z = 13 3y + 5z = 16 9

11 Aufgaben : Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme: x + 2y + 3z = 2 2x y + z = 1 x 3y + 2z = 3 3x + 2y = 1 2y z = 0 8y + 4z = 0 10

12 x + 2y = 3z 1 3x y = 2z + 7 4z + 2 = 5x + 3y 11

13 2.5 Lineare (m n) - Gleichungssysteme Wir sprechen von einem linearen m n Gleichungssystem, wenn... Aufgaben : Gib ein Beispiel eines linearen 4 3 Gleichungssystems an und löse es mit Hilfe des Gauβ - Verfahren: 12

14 Aufgaben : Gib ein Beispiel eines linearen 3 5 Gleichungssystems an und löse es mit Hilfe des Gauβ - Verfahren: 13

15 Zusammenfassung der Interpretationsmöglichkeiten der letzten Zeile: 14

16 2.6 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern Neben den Variablen lassen sich in einem Gleichungssytem auch Parameter einführen. Die Lösungsmethoden bleiben die gleichen, nur die Fragestellungen lassen sich interessanter gestalten: Beispiel 2.5 Bestimme k so, dass das folgende Gleichungssystem 1. genau eine Lösung, 2. keine Lösung, 3. unendlich viele Lösungen hat: x + 2y + kz = 4 5x + 6y 7z = 8 9x 10y 11z = 12 15

17 Aufgaben : Diskutiere vollständig das folgende Gleichungssystem: x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 + x 2 + x 3 = 2 3x 1 + αx 2 x 3 = β 16

18 3 Matrizen - Grundbegriffe & Definitionen Def.: Eine rechteckige Anordnung von skalaren Grössen (aus R) der folgenden Form a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n.. a m1 a m2 a m3... a mn heisst eine (m n) - Matrix mit m Zeilen und n Spalten Bem.: a ij heisst und steht M(m n, R) := M n (R) := Beispiel 3.1 Wir betrachten die folgende Matrix: A = A ist eine (......)-Matrix. a 11 =..., a 22 =..., a 52 =... 2te Zeile = 3te Spalte = 17

19 Beispiel 3.2 Die Koeffizienten der Matrix A M(6, R) sind wie folgt definiert: 1, j i 0, j = 1 i > 2 a ij = 2, i = j + 2 j > 1 1, sonst Konstruiere A. Beispiel 3.3 Gib jeweils ein Beispiel an, einer 1. (1 5) - Matrix: 2. (3 1) - Matrix: 3. (1 1) - Matrix: 18

20 3.1 Der Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation wollen wir erreichen, dass sich jedes lineare (m n) - Gleichungssytem in der folgenden Form darstellen lässt: mit A = x = b = A x = b und wir das Gleichungssystem lösen können, in dem wir die zugehörige augmentierte Matrix mit Hilfe des Gauβ-Verfahren in Dreiecksform bringen und die Lösungsvariablen durch Rückwärtseinsetzen bestimmen oder mit Hilfe der Inversen der Koeffizientenmatrix (falls existent) und den Regeln der Matrizenrechnung arbeiten: A x = b A 1 A x = A 1 b I n x = A 1 b x = A 1 b Beispiel 3.4 Zerlege das folgende Gleichungssytem in A, x und b: x + 2y + 3z = 3 2x = 4 3y 8z 2y + 3x = 1 17z Auf alle Fälle müssen wir zuerst die Rechenoperationen mit Matrizen definieren, welche uns überhaupt erlauben, unsere Gleichungssyteme in der Matrizenschreibweise darzustellen. 19

21 3.2 Die Rechenoperationen Def.: Seien A = (a ij ), B = (b ij ), C = (c ij ) M n (R) und k R Dann definieren wir: Die Addition/ Subtraktion: C = A ± B, mit c ij := a ij ± b ij Die skalare Multiplikation: C = k A, mit c ij := k a ij Die Matrizenmultiplikation: n C = A B, mit c ij := a ik b kj k=1 Beispiel 3.5 Gegeben sind die folgenden Grössen: A = 2 2 2, B = Berechne 1. A + B, k = 1 2. k B 3. A B 20

22 Bem.: Erkläre die Äquivalenz zwischen einem linearen (m n)- Gleichungssystem und der Gleichung A x = b Wir betrachten nun noch die Verknüpfungen von Matrizen beliebiger Form: Addition/ Subtrakion: Skalare Multplikation: (Matrizen-) Multiplikation: Hierzu verwenden wir die folgenden Beispiele: ( ) A =, B = Wir wollen für die Multiplikation folgendes festhalten: 21

23 Beispiel 3.6 Wir betrachten die folgenden Matrizen: ( ) ( A =, B = D = ( ), C = ) ( ) Berechne die folgenden Matrizen: 1. A + B = 2. B C = 3. A B = B A = 4. C D = Wir wollen weiter noch folgendes festhalten: Bem.: 22

24 4 Die Inverse einer Matrix Wie im vorherigen Abschnitt schon angekündigt, benötigen wir für das Lösen eines Gleichungssystems mit Hilfe der Matrizenrechnung die sogenannte Inverse, welche wir wie folgt definieren: Def.: Bem.: B heisst eine Inverse zu A M n (R) : B A = I n Aufgaben : Beweise die folgenden Aussagen: 1. Wegen der Assoziativität gilt: A 1 A = I A A 1 = I 2. Die Inverse ist eindeutig bestimmt. 23

25 Aufgaben : 3. Beweise auch die folgende Implikation: ( ) ( a b A = A 1 1 d b = c d ad bc c a ) und bestimme die Inversen zu folgenden Matrizen: ( ) ( ) C =, D =

26 Beispiel 4.1 Bestimme die zugehörige Inverse: A =

27 Aufgaben : Bestimme die zugehörigen Inversen und verifiziere Deine Ergebnisse: A = 3 4 1, B = Lösg.: A 1 = , B 1 =

28 Noch drei letzte Bemerkungen zu den Inversen: Bem.: Beh.: (A 1 ) 1 = A Beweis: Beh.: (A B) 1 = B 1 A 1 Beweis: Für die Existenz genau einer Lösung eines linearen Gleichungssystems ist... 27

29 5 Die Determinante Wie wir schon bemerkt haben, ist die Determinante bestimmend für die Anzahl Lösungen eines quadratischen linearen Gleichungssystems. Die Determinante eines linearen (2 2) Gleichungssystems haben wir schon kennengelernt: ( ) a b det = ad bc c d Die Determinante eines linearen (3 3) Gleichungssytems wird wie folgt berechnet: a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 Für die Berechnung der Determinanten von quadratischen Gleichungssytemen höherer Ordnung gibt es sog. Entwicklungssätze, welche wir hier nicht besprechen werden. Wir werden uns im Folgenden mit den Eigenschaften von Determinanten befassen und diese soweit möglich zur Berechnung der Determinante von gut konditionierten Matrizen verwenden. Wir müssen dafür den folgenden, sehr wichtigen Begriff der Mathematik einführen: Def.: Eine Abbildung f : R n R m, mit n, m N heisst linear : (i) f( a + b) = f( a) + f( b) (ii) f(λ a) = λ f( a), a, b R n, λ R Bem.: 28

30 Eine lineare Abbildung hat die folgenden Eigenschaften: Beh.: f : R n R m ist linear f(λ a + b) = λf( a) + f( b) Beweis: Beh.: f : R n R m ist linear f( 0) = 0 Beweis: Die letzte Behauptung führt dazu, dass die lineare Funktion f(x) = ax+b nicht linear ist: Aufgaben : Beweise, dass f(x) = x 2 2x nicht linear ist. 29

31 Beispiel 5.1 Beweise, dass die folgende Abbildung linear ist: ( ) f : R 2 R 2 x, mit f( x) :=, mit x = x y ( x y ) und bestimme die zugehörige Matrix A: Bestimme weiter die zugehörige Inverse A 1 und verifiziere Deine Lösung: ( x Was gibt (ohne nachzurechnen!) A 1 x y ) =...? 30

32 Aufgaben : Untersuche die folgenden Abbildungen auf Linearität und bestimme die zugehörige Matrix und Inverse: x 1. f : R 3 R 3, mit f( x) := y z 2. f : R 2 R 2, mit f( x) := ( x 1 + y ) 31

33 Eine Determinante hat wichtige Eigenschaften, welche in folgendem Satz zusammengefasst sind: Satz: Die Determinante ist eine multilineare und alternierende R- wertige Funktion. Beweis: - Zur Bedeutung dieser Aussage: R wertig : alternierend multilinear 32

34 Zu Anwendungen der Eigenschaften: ( ) ( ) det = det det det = det = Wir wollen die letzte Eigenschaft in folgendem Satz zusammenfassen: Satz: Die Determinante einer Matrix mit zwei identischen Spalten verschwindet. Beweis: 33

35 Weitere Anwendungen der Eigenschaften: ( ) ( ) det = 5 det ( 5 2 det 10 7 det ) ( 2 2 = det 4 7 = ) ( det 6 7 ) Wir wollen auch dieses mal die letzte Eigenschaft in einem Satz zusammenfassen: Satz: Die Determinante einer Matrix, in welcher eine Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte ist, verschwindet. Beweis: 34

36 Der vorherige Satz lässt sich noch zu folgender Aussage verallgemeinern: Satz: Die Determinante einer Matrix, in welcher sich eine Spalte als eine Linearkombination der anderen Spalten darstellen lässt, verschwindet. Formuliere ein eigenes Beispiel: Beweis: Ohne Beweis wollen wir noch die folgenden Eigenschaften festhalten: Satz: Die Determinante einer Matrix in Dreiecksform ist gleich dem Produkt der Diagonalelemente: det A = n i=1 a ii det A = det A T 35

37 5.1 Die Berechnung einer Determinante Wir formulieren die Eigenschaften der Determinante in der transponierten Darstellung, also mit Zeilenvektoren: und arbeiten folgendes Beispiel durch: Beispiel 5.2 det A = A = =... A = =... A = =... A = =... A = =... 36

38 Aufgaben : Bestimme die Determinanten der folgenden Matrizen: A = , B =

39 Zum Abschluss noch ein gemeinsames Beispiel: Beispiel 5.3 Bestimme die Determinante der folgenden Matrix: C =

40 6 Matrizen & Mathematica 39

41 7 Mehrstufige Prozesse Mehrstufige Prozesse sind dadurch gekennzeichnet, dass eine durch einen Zustandsvektor beschriebene Startsituation Schritt für Schritt mit Hilfe von Übergangsmatrizen in Folgesituationen überführt wird. Dabei kann diese Überführung durch von Stufe zu Stufe verschiedene Matrizen (z.b. Materialverflechtungen) oder durch das mehrfache Anwenden ein und derselben Matrix erfolgen (z.b. Populationsentwicklungen). Als Quelle verwenden wir die Unterlagen von J. Bemetz: Materialen zu Mehrstufigen Prozesse, Martin-Heidegger-Gymnasium Meβkirch Wir werden uns an den folgenden drei Beispielen mit der Thematik vertraut machen: Materialverflechtung In einem Produktionsprozess werden zur Herstellung von 2 Zwischenprodukten Z1 und Z2 drei verschiedene Rohstoffe R1, R2, und R3 benötigt. Aus den beiden Zwischenprodukten entstehen dann 3 verschiedene Endprodukte E1, E2 und E3. Der untenstehenden Figur kann entnommen werden, wieviel Mengeneinheiten der Rohstoffe für die jeweiligen Zwischenprodukte und wieviel Mengeneinheiten der Zwischenprodukte für die jeweiligen Endprodukte benötigt werden. Gesucht ist der Rohstoffbedarf für die verschiedenen Endprodukte. 40

42 Diskussion der Lösung: 41

43 Maikäferpopulation Ein Maikäferweibchen legt 80 Eier und stirbt bald danach. Von den sich daraus entwickelnden Larven (Engerlinge) überleben nur ein Viertel das darauffolgende Jahr. Auch im zweiten Jahr überleben nur ein Viertel der Larven. Im dritten Jahre verpuppen sich die Larven und aus einem Fünftel von ihnen entwickeln sich im folgenden Jahr Maikäferweibchen, die wieder 80 Eier legen. Wir untersuchen die Entwicklung einer Startpopulation aus 6000 Larven 1, 2000 Larven 2, 300 Larven 3 und 500 Käfernweibchen. 42

44 Diskussion der Lösung: 43

45 Vererbung von Merkmalen Eine Population von Insekten enthält Tiere mit zwei verschiedenen Merkmalen A und B (z.b. Farbe). Beobachtungen über längere Zeit zeigen, dass Insekten mit Merkmal A zu 70% Nachkommen mit Merkmal A und zu 30% solche mit Merkmal B haben. Insekten mit Merkmal B haben zu 80% wieder Nachkommen mit diesem Merkmal, zu 20% solche mit Merkmal A. Die Vermehrungsrate wird durch die Merkmale nicht beeinflusst. x A (0) sei der Anteil der Insekten mit Merkmal A zu Beobachtungsbeginn, x B (0) entsprechend derjenige mit Merkmal B. 44

46 Diskussion der Lösung: 45

47 8 Lineare Abbildungen in der Ebene - deren Darstellung durch Matrizen & Eigenschaften Aus eurem Geometrieunterricht kennt ihr schon verschiedene Abbildungen in der Ebene. Das sind Abbildungen der Ebene, welche wieder in die Ebene abbilden, d.h wir haben Abildungen mit folgendem Definitions- und Wertebereich: Wir wollen uns im Folgenden mit denjenigen Abbildungen beschäftigen, welche linear sind, also durch Matrizen darstellbar sind und die geometrischen Eigenschaften mit Eigenschaften der zugehörigen Abbildungsmatrizen in Zusammenhang bringen. 8.1 Abbildungen in der Ebene 46

48 47

49 48

50 49

51 50

52 Zu untersuchende Eigenschaften: Aufgaben : Untersuche unsere Abbildungen auf die obigen Eigenschaften hin. 51

53 8.2 Abbildungen im Raum Untersuche die folgenden Abbildungen im Raum auf ihre geometrische Eigenschaften: , , , , s , s , s 3, s s s 3 52

54 9 Die Gruppe der Drehmatrizen Bevor wir uns mit der Gruppe der Drehmatrizen befassen, müssen wir uns zuerst die notwendigen Begriffe und Eigenschaften definieren: 9.1 Der Begriff der Gruppe Def.: Eine nicht-leere Menge A heisst abgeschlossen bezüglich einer Verknüpfung : a, b A : a b A Def.: e A heisst ein Neutralelement bzgl. : a e = a = e a, a A Beispiel :... Def.: a 1 heisst ein Inverses zu a (bzgl ) : a 1 a = e mit e = zugehöriges Neutralelement. Beispiel :... Def.: (A, ) heisst eine Gruppe : 1. ist assoziativ 2. A ist abgeschlossen bzgl. 3. ein Neutralelement e bzgl., mit e A 4. a A ein Inverses a 1 bzgl., mit a 1 A 53

55 Drei wichtige Eigenschaften zum Neutralelement und zur Inversen: Beispiel 9.1 Beweise: ({ 1, 0, 1}, ) ist eine kommutative Gruppe. 54

56 9.2 Die Drehmatrizen im Raum Die Drehungen in der Ebene haben wir schon kennengelernt... Die Drehungen im Raum werden durch folgende Matrizen dargestellt: cos ϕ 0 sin ϕ cos ϕ sin ϕ 0 0 cos ϕ sin ϕ, 0 1 0, sin ϕ cos ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ sin ϕ 0 cos ϕ Aufgaben : Beweise, dass die Menge aller Drehmatrizen (mit der z-achse als Drehachse) bzgl. der Matrizenmultiplikation eine kommutative Gruppe bildet. 55

57 . 56

58 Aufgaben : Überprüfe die Winkel- & Längentreue der Drehung im Raum. 57

59 9.3 Der Äquivalenzsatz für orthogonale Matrizen Wir verwenden dazu eine Vorlage der Uni-Paderborn: Die reelle euklid sche Ebene Der Link für den donwload des zugehörigen Word-Dokuments lässt sich finden, wenn die folgenden Begriffe gesucht werden reelle euklidsche ebene uni-paderborn 58

60 Der Begriff der Gruppe, Herleitung der Drehmatrix, Die Gruppen GL n (R), SL n (R), O n (R) Längen- & Winkeltreue 59

61 10 Die Determinante & ihre geometrische Bedeutung Multiplikationssatz, Volumen & Orientierung, Geometrische Interpretation der Eigenschaften einer Determinaten: uk/8 determinanten gz.pdf Äquivalenzsatz zu O 2 (R) martine/veranstaltungen/geometrieseminar0506/ euklidischeebene.doc 60

62 11 Eigenwert & Eigenvektoren 61

63 Lineare Abbildungen: Verschiebungen, Spiegelungen, Streckungen, Scherungen, Projektionen, Der Begriff der Basis. 62