(4.4.01) (4.4.02) (4.4.03)

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1 4.4 Magnetisches Feld Wesen und Darstellung des magnetischen Feldes 05 Der Lernende kann - Kraftwirkungen im Magnetfeld nennen und beschreiben - Die Einstellung einer Kompassnadel im Erdmagnetfeld erläutern - die Darstellung von Feldbildern mit Eisenfeilspänen beschreiben und begründen - die grundsätzliche Ursache und Wirkung des Magnetfeldes benennen - magnetische Feldbilder einfacher Leiteranordnungen - den egriff Rechtswirbel erklären und Hilfsmittel zur Darstellung des Rechtswirbels angeben - den Rechtswirbel auf den Zusammenhang tromrichtung Magnetfeldrichtung anwenden n Abschnitt hatten wir das Magnetfeld als das Feld ruhender Magnete klassifiziert. Magnete können dabei entweder Dauermagnete sein oder durch Gleichströme erregte Magnete sein. ach dieser Definition sind zeitliche Änderungen der magnetischen d dh Feldgrößen gleich ull ( = 0; = 0 ). Für die eschreibung des Magnetfeldes dt dt reduzieren sich damit die Maxwellschen Gleichungen auf: Hds = J da (4.4.01) da = 0 (4.4.0) = µh (4.4.03) Das magnetische Feld ist eine naturgegebene Erscheinung in der Umgebung von Magneten und stromdurchflossenen Leitern, die sich in Kraftwirkungen auf andere Magnete, auf ferromagnetische toffe z.. Eisen, ickel, Kobalt, auf bewegte Ladungen und stromdurchflossene Leiter äußert. a) Magnete Ein Magnet ist ein Körper, der Kräfte auf ferromagnetische toffe ausübt. n der atur kommen Magnete als Magneteisenerz vor. Die in der Umgebung des Magneten auftretenden Kraftwirkungen werden durch das magnetische Feld des Magneten verursacht. Die Wirkungen des Magneten werden mit zunehmender Entfernung schwächer, sie sind nicht an einen bestimmten toff gebunden und auch im Vakuum feststellbar. Ein ferromagnetischer toff wird im Magnetfeld magnetisiert und selbst zu einem Magneten. Alle anderen toffe weisen nur unwesentliche Wirkungen im Magnetfeld auf. Magnete können in unterschiedlicher Form ausgebildet sein. n Abb sind einige eispiele gezeigt. Die Kraftwirkung eines Magneten ist an zwei tellen des Magneten am größten, sie werden als Pole bezeichnet. Die beiden Pole eines Magneten haben unterschiedliches Verhalten. ie werden als ordpol () und üdpol () bezeichnet. Gleichartige Magnetpole stoßen sich ab, ungleichartige Magnetpole ziehen sich an. Ein spezieller Magnet ist die Magnetnadel, ein kleiner nadelförmiger tabmagnet, der drehbar gelagert ist. n einem Magnetfeld stellt sich die Magnetnadel an jedem Raumpunkt in die Richtung des Magnetfeldes.

2 06 Magnetnadel tabmagnet Pole Pole Pole Knopfmagnet Abb Ausführungsformen von Magneten und Kennzeichnung der Pole geografischer ordpol Rotationsachse Abb Magnetnadel im Erdmagnetfeld Die Polbezeichnung stammt aus der Verwendung der Magnetnadel als Kompass. Die Erde selbst ist ein Magnet. m Erdmagnetfeld stellt sich Magnetnadel in ord-üd-richtung ein. Dabei wird die nach dem Erdnordpol zeigende Magnetnadelspitze als ordpol definiert. n Abb sind die Verhältnisse gezeigt. Da sich ungleichnamige Magnetpole anziehen, zeigt der ordpol der Magnetnadel nach dem magnetischen üdpol des Erdmagnetfeldes, der sich damit in der ähe des geografischen Erdnordpols befindet. Zur Darstellung des Feldes werden ebene Feldbilder verwendet, die nach denselben Kriterien gezeichnet werden wie trömungsfelder und Ladungsfelder. Die Feldlinien des Magnetfeldes sind wie die Feldlinien im trömungsfeld in sich geschlossene Linien. Das magnetische Feld ist damit quellenfrei. Zerschneidet man einen tabmagneten in der Mitte entstehen zwei tabmagneten mit ord- und üdpol. Da sich das magnetische Feld in Kraftwirkungen äußert, muss es Richtungscharakter haben. Es wird im Raum durch vektorielle Feldgrößen beschrieben. Für die Richtung der Feldlinien ist festgelegt: Magnetische Feldlinien treten am ordpol eines Magneten aus und am üdpol in den Magneten ein. Der Feldverlauf eines Magneten kann mit einer Magnetnadel untersucht werden. Das Gesamtbild des Feldes lässt sich mit Eisenfeilspänen zeigen. Die

3 07 Eisenfeilspäne werden im Magnetfeld magnetisiert und richten sich im Magnetfeld wie Magnetnadeln aus. n Abb a ist das Feld eines tabmagneten durch Eisenfeilspäne dargestellt. Experimente mit Eisenfeilspänen zeigen neben dem Richtungscharakter des Magnetfeldes auch dessen unterschiedliche ntensität. x a) tabmagnet b) gerader stromdurchflossener Leiter c) stromdurchflossene Leiterschleife d) stromdurchflossene pule Abb Felddarstellungen mit Eisenfeilspänen b) Magnetfeld stromdurchflossener Leiter Magnetische Erscheinungen treten nicht nur in Magneten auf, sondern auch in der Umgebung stromdurchflossener Leiter. n Abb sind die Felddarstellungen durch Eisenfeilspäne für drei einfache Leiteranordnungen gezeigt. Für einen langen, geraden stromdurchflossenen Leiter mit Kreisquerschnitt (Abb.4.303b) stellen die Feldlinien konzentrische Kreise dar. Der stromdurchflossene Leiter wird von einem Magnetfeld umwirbelt. Ein solches Feld wird als Wirbelfeld bezeichnet. Das Magnetfeld lässt sich in einer Ebene senkrecht zur Leiterachse als parallelebenes Feld darstellen. n Abb wird mit einer Magnetnadel die Feldrichtung bestimmt. Das Ergebnis zeigt, dass zwischen der tromrichtung und der Feldrichtung ein Rechtswirbel besteht, der durch Daumen und Finger der rechten Hand nachgebildet werden kann (Abb ). Die magnetischen Feldlinien umschließen den trom im Richtungssinn einer Rechtsschraube. Die Anwendung dieses Richtungszusammenhangs ist in den ildern c) und d) in Abb auch für die stromdurchflossene Leiterschleife und die stromdurchflossene pule gezeigt.

4 08 Richtung des Magnetfeldes Abb trom- und Magnetfeldrichtung Abb Rechtswirbel Zusammenfassend können wir feststellen: Das magnetisches Feld ist ein eigenständiger Raumzustand, der von bewegten Ladungen verursacht wird und sich in Kraftwirkungen auf bewegte Ladungen und ferromagnetische toffe äußert. ach dem heutigen Erkenntnisstand werden Elektronenbewegungen oder allgemeiner die ewegung elektrischer Ladungen als primäre Ursache magnetischer Erscheinungen betrachtet. m Dauermagneten handelt es sich dabei um die ewegung der Ladungsträger im atomaren Verband. Eine Ursache ist die ewegung der Elektronen um den positiven Kern, eine andere Ursache die Rotationsbewegung der Elektronen um eine Achse (Elektronenspin). Diese komplizierten elektrophysikalischen Mechanismen wollen wir im Rahmen dieser etrachtung nicht näher beschreiben. Fließen in einem tromkreis Gleichströme, so ist die Ursache des dabei entstehenden Magnetfeldes die durch elektrische Felder angetriebene ewegung der freien Ladungsträger. n metallischen Leitern ist es die Driftbewegung der Elektronen. eben den Kraftwirkungen auf stromdurchflossene Leiter, bewegte Ladungen und ferromagnetische toffe bewirkt das magnetische Feld aber auch Kräfte im nneren elektrischer Leiter. Diese Kräfte sind allerdings an eine zeitliche Änderung des magnetischen Feldes gebunden. Das Auftreten diese Kräfte wird als elektromagnetische nduktion bezeichnet. Die ehandlung der elektromagnetischen nduktionsvorgänge erfolgt gesondert in Kapitel 4.5.

5 4.4. Physikalische Größen zur eschreibung des Magnetfeldes 09 Der Lernende kann - die physikalischen Größen zur Magnetfeldbeschreibung nennen und definieren - die Richtung des Flussdichtevektors angeben - die Gleichung zur erechnung des magnetischen Flusses im homogenen und inhomogenen Magnetfeld angeben und den Flusszählpfeil bestimmen - das Umlaufintegral der Flussdichte bei Umfassung eines tromes angeben und den egriff Durchflutung erläutern - die Durchflutung einer pule mit der Windungszahl bestimmen - die magnetische Feldstärke definieren - die Permeabilität, die relative Permeabilität und die magnetische Feldkonstante definieren a) Magnetische Flussdichte, nduktion Das magnetisches Feld hat in einem Raumpunkt eine bestimmte Richtung und einen bestimmten etrag, die beide durch den Feldvektor beschrieben werden. Dieser Feldvektor wird als nduktion oder magnetische Flussdichte bezeichnet. eine Maßeinheit ist: [] = T = Vs/m (Tesla) Die Richtung des nduktionsvektors kann durch eine frei bewegliche Magnetnadel bestimmt werden. ie ist gleich der Längsrichtung der sich im Magnetfeld ausgerichteten Magnetnadel von deren üdpol zum ordpol. n Abb ist die ausgerichtete Magnetnadel im Magnetfeld gezeigt. Der etrag des nduktionsvektors wird aus der Kraft abgeleitet, die eine mit der Geschwindigkeit v durch das Magnetfeld bewegte Ladung +Q erfährt. Der etrag dieser Kraft ist mit den Größen aus Abb : F = Q v sinα (4.4.04) Die Kraftwirkungen im Magnetfeld werden wir in Abschnitt behandeln. Der etrag des Flussdichtevektors kann mit einer Hall-onde (eispiel 4.4. ) gemessen werden. +Q F v α Abb Zu Richtung und etrag des Flussdichtevektors Tesla, ikola, amerikanischer Physiker ( ) Hall, Edwin Herbert, ( )

6 10 b) Magnetischer Fluss Die Wirkung des magnetischen Feldes ist außer von etrag und Richtung des Feldes (Feldvektor ) auch noch von der Größe und der Lage der Fläche abhängig, die an der Wirkung beteiligt ist. Zur eschreibung der Verhältnisse werden wie im elektrischen trömungsfeld Feldröhren eingeführt. Feldröhren sind parallel zu den Feldlinien des Feldvektors verlaufende Röhren (chläuche) mit einem bestimmten Querschnitt A (Abb ). Φ Flussröhre A Φ Flussröhre A α Abb Zur Definition des magnetischen Flusses Abb chräge Fläche im Magnetfeld Die diese Fläche durchsetzende magnetische Größe wird als magnetischer Fluss Φ bezeichnet. Φ = A (4.4.05) Wird der senkrecht zu den Feldlinien stehende Querschnitt genügend klein gewählt (differenziell kleine Fläche da ), so kann das Feld über diesen Querschnitt als konstant angesehen werden. Der magnetische Fluss dφ durch diese Fläche ist dφ = da (4.4.06) Wird eine Fläche nicht senkrecht vom Magnetfeld durchsetzt, kann das Problem wie im trömungsfeld gelöst werden. Der Fluss ist dann nur mit der Komponente des nduktionsvektors zu berechnen, der die Fläche senkrecht durchsetzt. Mathematisch wird durch Einführung eines Flächenvektors, der senkrecht auf der Fläche steht, mit dem skalaren Produkt aus nduktionsvektor und Flächenvektor der Fluss berechnet. Die Verhältnisse sind in Abb dargestellt. Φ= A = A cosα (4.4.07) oll der Fluss eines magnetischen Feldes durch eine beliebige nichtebene Fläche berechnet werden, muss die Fläche in differentielle Teilflächen unterteilt werden. Die umme der durch diese Teilflächen tretenden Teilflüsse dφ bildet den Gesamtfluss Φ.

7 Φ = A da = da cos α (4.4.08) Der Fluss ist eine skalare Größe. Er hat damit etrag und Vorzeichen. Das Vorzeichen wird durch einen Zählpfeil festgelegt. Der positive Flusszählpfeil ist immer identisch mit der Richtung des Flächenvektors. 11 A α A 1 Φ1 α 1 Φ Abb Festlegung des Flusszählpfeils Wird der Zählpfeil des Flusses in Abb durch Φ 1 festgelegt, dann wird der Fluss für homogene Feldverhältnisse nach Gl.(4.4.07) berechnet: Φ = α. 1 A1 cos 1 Wird er dagegen durch den Zählpfeil Φ bestimmt, dann errechnet sich der Fluss nach Gl.(4.4.07) zu Φ = A cosα. Da A1 A = ; α =π α1 und cosα 1 = cosα Φ = Φ1 c) Durchflutung Zur Quantifizierung der eziehungen zwischen dem elektrischem trom und dem Magnetfeldwirbel werden Umläufe im Magnetfeld durchgeführt. Umläufe sind in sich geschlossene Wege im Feldraum. ei den Umläufen wollen wir zwei Fälle unterscheiden: 1. Der Umlauf im Magnetfeld umfasst keinen trom:. Der Umlauf im Magnetfeld umfasst tröme: Mathematisch wird der Umlauf durch die ildung des Umlaufintegrals der magnetischen Flussdichte ds gebildet:

8 1. Umlauf im Magnetfeld umfasst keinen trom: 1 A ds 1 ds 4 ds D ds 3 C Abb Umlauf im Magnetfeld umfasst keinen trom Um einfach rechnen zu können, wird der Umlauf im homogenen Feld durchgeführt. C D A ds = ds + ds + ds + ds = 0 (4.4.09) A C D o ;ds1 = 0 ;ds = 90 ;ds3 = 180 ; ds4 = 0 ds= a+ 0+ a + 0= 0 ds 0 ( ) = Umfasst ein Umlauf im Magnetfeld keinen trom, ergibt sich der Wert ull. Die eziehung gilt auch allgemein im inhomogenen Feld bei beliebigen Umläufen.. Umlauf im Magnetfeld umfasst tröme: C c A a b d Abb Umlauf im Magnetfeld umfasst einen trom Ein stromdurchflossener Leiter hat ein magnetisches Feld, dessen Feldlinien konzentrische Kreise sind. Wird der Umlauf entlang einer Feldlinie durchgeführt, ist ;ds = 0, beide Vektoren verlaufen tangential zur Feldlinie. Damit gilt: ds = K 0 (4.4.10) Das Umlaufintegral ergibt einen von ull verschiedenen Wert K. D

9 13 Dass jeder andere den trom umfassende Weg den gleichen Wert K ergibt, soll durch folgende etrachtung bewiesen werden. n Abb sollen zwei Umläufe ohne tromumfassung durchgeführt werden. eide Umläufe ergeben nach Gl den Wert ull. Umlauf über Weg a;c: A C D ds + ds + ds + A C D ds = 0 Umlauf über Weg b;d: A C D ds + ds + ds + A C D ds = 0 C Da die ntegrale ds= 0 und o ds= 0, weil ;ds = 90, folgt A D ds + ds = 0 und ds+ ds= 0. Daraus ergibt sich b a,b d ds = c,d ds a c (4.4.11) Das Umlaufintegral entlang der Feldlinie ist gleich dem Umlaufintegral eines beliebigen den trom umfassenden Weges. Dabei ist es gleichgültig, an welcher telle der vom Umlauf umrandeten Fläche der trom angeordnet ist. Durchstoßen mehrere tröme die Fläche, dann wird als wirksamer feldaufbauender trom die vorzeichenbehaftete tromsumme verwendet. Experimentell ist nachweisbar, dass das Umlaufintegral proportional der vorzeichenbehafteten umme der umfassten tröme ist ds= k ν = k Θ (4.4.1) ν ist die vorzeichenbehaftete umme der tröme, die die vom Umlauf umrandete Fläche durchstoßen. Diese tromsumme ist als Antrieb Magnetflusses zu verstehen und wird Durchflutung Θ genannt. des Θ= ν (4.4.13) Die Durchflutung ist eine skalare Größe, deren Vorzeichen nach Gl.(4.4.13) durch das Vorzeichen der tromsumme bestimmt wird. Es ist festgelegt, dass eine positive Durchflutung die positive tromsumme als Rechtswirbel umwirbelt. Der Zusammenhang ist durch die rechte Hand in Abb dargestellt. Die Maßeinheit der Durchflutung ist : [Θ] = [] = 1 A (4.4.14) Zum Aufbau von Magnetfeldern werden im allgemeinen pulen mit einer Windungszahl verwendet. Wird der Umlauf entlang einer Feldlinie des Magnetfeldes der pule gelegt, so ergibt sich die zum Feldaufbau wirksame Durchflutung: Θ=Σ = (4.4.15) ν

10 14 Σ ν Θ Θ Θ Abb Rechtswirbel zwischen trom und Durchflutung Abb Durchflutung einer pule n Abb ist die durch den Umlauf entlang einer Feldlinie umrandete Fläche schraffiert. Diese Fläche wird -mal vom trom durchstoßen, so dass sich als Durchflutung Gl.(4.4.15) ergibt. Das positive Vorzeichen wird wieder durch den Rechtswirbel nach der rechten Hand bestimmt, wobei dieses Mal die Finger in Richtung des tromflusses durch die Windungen zeigen und der Daumen in Richtung der Durchflutung. d) Magnetische Feldstärke n Gl.(4.4.1) hatten wir festgestellt, dass das Umlaufintegral der Flussdichte proportional der umfassten tromsumme war. Experimentell ist nachweisbar, dass die stoffliche eschaffenheit des Feldraumes den Wert k bestimmt. m Vakuum wird die Konstante k in Gl.(4.4.1) zur magnetischen Feldkonstante µ o ds = µ o Θ (4.4.16) µ o = 0.4 π 10-6 Vs/Am = Vs/Am (4.4.17) Die magnetische Feldkonstante ist eine aturkonstante analog zur elektrischen Feldkonstante ε 0. Zwischen der magnetischen Feldkonstante, der elektrischen Feldkonstante und der Lichtgeschwindigkeit c besteht folgender Zusammenhang: 1 c = µ ε (4.4.18) 0 0 Hinsichtlich des Materialeinflusses auf das Magnetfeld können die toffe in zwei Gruppen eingeteilt werden: 1. Es existiert kein merklicher Einfluss auf das Magnetfeld. Hierzu zählen fast alle toffe.

11 15. ei gleicher Durchflutung erfolgt eine erhebliche Verstärkung des Magnetfeldes. Diese toffe werden als ferromagnetische toffe bezeichnet. Zu den ferromagnetischen toffen gehören Eisen, ickel, Kobalt, Kupfer- Mangan- Legierungen u.a. Der Materialeinfluss wird in Gl.(4.4.1) durch die Permeabilität oder magnetische Durchlässigkeit µ erfasst. ds = µ Θ (4.4.19) Die Maßeinheit der Permabilität ist: Vs µ = (4.4.0) Am [ ] Wird bei einer bestimmten Durchflutung die nduktion im Vakuum mit o und die nduktion bei stofflicher Ausfüllung des Feldraumes mit eingeführt, so wird der Quotient aus und 0 als relative Permeabilität µ r eingeführt. µ r = o Die relative Permeabilität erfasst die Vergrößerung oder Verkleinerung der nduktion im stofferfüllten Feldraum gegenüber dem Vakuum. Aus Gl.(4.4.19) gewinnen wir durch Division durch die Permeabiltät ds = Θ (4.4.1) µ Da die Durchflutung nach Gl.(4.4.13) eine materialunabhänge Größe ist, muss in Gl.(4.4.1) der Quotient materialunabhängig sein und wird als magnetische µ Feldstärke H eingeführt. H = (4.4.) µ Die Feldstärke ist ein Vektor, der richtungsgleich mit dem nduktionsvektor ist und den etrag: H = (4.4.3) µ hat. Die Maßeinheit der Feldstärke ist: [ H] [ ] [ µ ] A = = m Gl.(4.4.) hatten wir bereits als Materialgleichung in den Maxwellschen Gleichungen kennen gelernt = µ H (4.4.4)

12 4.4.3 Durchflutungsgesetz 16 Der Lernende kann - das Durchflutungsgesetz formelmäßig angeben - den Umlauf entlang einer Feldlinie erklären - die tromsumme bilden und die Vorzeichenzuordnung zwischen tromsumme und Durchflutung angeben - die edingungen für die erechnung der Feldstärke mit dem Durchflutungsgesetz formulieren - den erechnungsweg für die Feldstärke eines geraden Leiters, einer Ringkernspule und einer Zylinderspule angeben a) Definition des Durchflutungsgesetzes Führen wir in Gl.(4.4.1) die Feldstärke nach Gl.(4.4.) so erhalten wir Hds = Θ = ν (4.4.5) Gl.(4.4.5) wird als Durchflutungsgesetz bezeichnet. Das Umlaufintegral der magnetischen Feldstärke ist gleich der. Das Durchflutungsgesetz ist das. Maxwellsches Gesetz: Hds = JdA (4.4.6) Die umme der vorzeichenbehafteten tromstärken der vom ntegrationsweg umfassten tröme in Gl.(4.4.5) wird in der. Maxwellschen Gleichung durch das Flächenintegral der tromdichte über die vom Umlauf umrandete Fläche bestimmt. ei der ildung der tromsumme werden wir nur Konvektionsströme in Leitern berücksichtigen. Werden auch Verschiebungsströme einbezogen, führt das nach Gl.(4.1.4 bis 4.1.6) zur Ausbildung von Wellenfeldern. ei der praktischen estimmung der tromsumme sollten ie immer die Fläche, die vom ntegrationsweg umrandet wird markieren. Es brauchen dann nur alle tröme, die diese Fläche durchstoßen, vorzeichenbehaftet zur Durchflutung summiert werden. Für das Vorzeichen der Durchflutung gilt die bereits definierte Wirbelverkettung nach dem Rechtswirbel. Die Feldstärke umwirbelt den positiven trom im inne einer Rechtsschraube. Die positive Durchflutung wirkt in Richtung des Feldstärkevektors. Die Zuordnungen sind in Abb dargestellt. Θ, H Abb Richtungszuordnung zwischen trom, Durchflutung und Feldstärke

13 b) Anwendung des Durchflutungsgesetzes Durchflutungsgesetz gibt die eziehung zwischen den trömen und dem Umlaufintegral an. 17 Die Feldstärke kann mit dem Durchflutungsgesetz nur dann berechnet werden, wenn sie über den gesamten ntegrationsweg oder zumindest über Teile des ntegrationsweges konstant ist und wenn der Winkel zwischen Feldstärkevektor und Wegvektorkonstant ist. n der Anwendung des Durchflutungsgesetzes zur erechnung der magnetischen Feldstärke wird der ntegrationsweg des Umlaufintegrals entlang einer Feldlinie gelegt. Damit besteht Richtungsgleichheit zwischen dem Feldstärkevektor und dem Wegvektor. Der Winkel H,ds =α= 0 und cosα = 1. Aus Gl wird damit Hds = Hdscos α = Hds = ν (4.4.7) st nun der Feldstärkebetrag längs des ntegrationsweges konstant, ergibt sich H ds = ν (4.4.8) Damit kann die Feldstärke aus der tromsumme berechnet werden: H = ν ds (4.4.9) Für die erechnung ergibt sich dann der in Abb dargestellte Algorithmus ν H = ν ds H =µ H Abb erechnungsalgorithmus im Magnetfeld Φ= da Φ eispiel Es soll die Feldstärke im nneren und außerhalb eines unendlich langen, geraden, gleichstromstromdurchflossenen Leiters mit Kreisquerschnitt (Radius R) und über dem Querschnitt gleichmäßig verteilter tromdichte J = /A berechnet werden. Magnetfeld außerhalb des Leiters: r R Die Feldlinien bilden sowohl im Leiter als auch außerhalb des Leiters konzentrische Kreise. Wird der Umlauf entlang dieser Feldlinie gelegt, ist die Feldstärke konstant und nur vom Abstand zur Leiterachse abhängig. Es wird deshalb zur eschreibung der Feldstärke eine Radialkoordinate r mit r = 0 in der Leiterachse eingeführt. Abb stellt die Verhältnisse am geraden Leiter dar.

14 18 R H ds r Abb Magnetfeld des geraden Leiters Die umfasste tromsumme ist außerhalb des Leiters einheitlich und unabhängig von der Entfernung zum Leiter: Σ ν = (4.4.30) Da der ntegrationsweg eine Feldlinie und die Feldstärke entlang dieser Feldlinie außerdem auch konstant ist gilt Gl.(4.4.9): H = (4.4.31) ds Das Umlaufintegral entlang der kreisförmigen Feldlinie ergibt den Kreisumfang: ds = π r (4.4.3) Damit ist die Feldstärke außerhalb des Leiters () Hr = (4.4.33) π r Der größte Wert ergibt sich für r = R mit Gl.(4.4.33) zu: H(R) = π R Von diesem Wert nimmt die Feldstärke radial hypervbolisch mit r ab. Magnetfeld innerhalb des Leiters: r R Der Umlauf entlang einer Feldlinien im nneren des Leiters umfasst nur einen Teilstrom, der wegen der konstanten tromdichte der markierten Kreisfläche in Abb proportional ist. = J A r = J π r (4.4.34)

15 19 R A r H ds r Abb Magnetfeld innerhalb des geraden Leiters Mit Gl.(4.4.9) und Gl.(4.4.3) errechnet sich damit die Feldstärke im Leiterinneren: Hr () = (4.4.35) π r Unter Verwendung von Gl.(4.4.34) () Hr J π r J r = = π r (4.4.36) Mit der konstanten tromdichte J = = (4.4.37) A π R erhält man: Hr = r (4.4.38) π R () n Leitermitte bei r = 0 ist die Feldstärke H = 0. Die Feldstärke nimmt radial nach außen linear zu und erreicht an der Leiteroberfläche den größten Wert für r = R mit Gl.(4.4.38): R (R) = = R π π R H n Abb ist der Verlauf der Feldstärke über der Radialkoordinate r dargestellt. Der Verlauf gilt bei der Radialkoordinate in jeder Richtung von der Leitermitte aus. Werte r < 0 sind nicht definiert.

16 0 H r R : Hr () = r π R r = R H(R) = π R r R H r = π R Abb Verlauf des etrags der Feldstärke eines geraden Leiters mit Kreisquerschnitt r eispiel Zu berechnen sind Feldstärke, Flussdichte und Fluss einer Ringkernspule (Torroidspule). Eine Ringkernspule ist eine pule konstanter pulenfläche A, die zu einem Kreisring mit dem nnenradius r i und dem Außenradius r a gebogen ist (Abb ). n der Ringkernspule bilden sich die Feldlinien als konzentrische Kreise aus. Die Feldstärke ist entlang einer Feldlinie mit dem Radius r konstant. Die pule hat die gleichmäßig am Umfang verteilte Windungszahl. µ Φ ds r i H a r a r A Abb Ringkernspule Wird das Umlaufintegral entlang einer Feldlinie gebildet, kann die Feldstärke nach Gl berechnet werden. Für den Drahtdurchmesser d des pulendrahtes soll gelten: d ri. Für einen Umlauf auf einem konzentrischen Kreis mit r < ri ist die

17 1 umfasste tromsumme ull. Gleiches gilt für einen Umlauf mit r > r a. Für einen Umlauf mit r r r durchstoßen alle innen liegenden tröme die vom Umlauf umrandete Fläche. i a Mit Σ = (4.4.39) H ν = ds ds = π r wird die Feldstärke nach Gl.(4.4.40) (4.4.40) H = (4.4.41) π r Für eine Luftspule ergibt sich die Flussdichte mit und Gl = µ o H (4.4.4) µ o = (4.4.43) π r Der pulenfluss kann nach Gleichung berechnet, wobei innerhalb der pulenfläche das Feld als homogen mit einer mittleren Flussdichte ( r ) mit r + r r angesetzt wird. µ A Φ= = = a i = (4.4.44) o da A (4.4.45) π r A eispiel Es soll das Feld einer Zylinderspule (Abb.4..0) berechnet werden, für deren Verhältnis Durchmesser D zu pulenlänge s gilt: D/s1 ach Abb.4..0 ist der Abstand zweier benachbarter Feldlinien nur näherungsweise im nnern der Zylinderspule konstant, wobei das umso besser gewährleistet ist, je kleiner das Verhältnis D/s ist. Für den Außenraum nimmt der Abstand der Feldlinien sehr rasch zu. m Außenraum ist die Feldstärke entlang einer Feldlinie nicht mehr konstant. Der Umlauf entlang einer Feldlinie, die durch alle Windungen der pule geht, ergibt die tromsumme Σ = (4.4.46) ν Das Umlaufintegral wird in zwei Linienintegrale zerlegt, ein Linienintegral erfasst den nnenraum der pule, das zweite den Außenraum. i s außen Hds = H ds+ H ds a (4.4.47)

18 D D H s Abb Zylinderspule Für D/ s 1 gilt in guter äherung sn H ds H ds i außen a (4.4.48) Da das Feld im puleninneren homogen ist, ist die Feldstärke entlang der Feldlinie konstant Hi = (4.4.49) ds s Mit ds = s ergibt Gl.(4.4.49) für D/ s 1 näherungsweise die Feldstärke s Hi = (4.4.50) s Die genaue erechnung der Feldstärke für einen Punkt P in der Mitte der pule in Abb ergibt 1 H(P) = (4.4.51) s D 1+ s Für das Verhältnis D = 1 ergibt die äherung nach Gl.(4.4.50) den Fehler s 7 Hi H(P) F= = 0.01= 1% (4.4.5) H(P)

19 4.4.4 Magnetisches Feld in toffen 3 a) Grundsätzliches Verhalten der toffe im Magnetfeld Der Lernende kann - die Wirkung von atomaren Elementarmagnete in toffen erklären - einen magnetisch neutralen und einen magnetisch nicht neutralen toff definieren - diamagnetische und paramagnetische magnetische toffe definieren - ferromagnetische toffe definieren n toffen bildet sich das Magnetfeld anders aus als im Vakuum. ach dem heutigen Erkenntnisstand sind Ursache des Magnetfeldes ausschließlich bewegte Ladungen. Verhält sich das Magnetfeld in toffen anders als im Vakuum, so müssen in toffen Ladungsbewegungen stattfinden, die ein dem toff eigenes zusätzliches Magnetfeld erzeugen. Für die eschreibung des stofflichen Verhaltens gehen wir von folgender Modellvorstellung aus: m nneren des toffes (Atome, Moleküle, größere Volumeneinheiten) bilden sich Kreisströme i aus, die ein zu ihrer Kreisbahn senkrecht stehendes Elementarmagnetfeld erregen. Ohne eine äußere Erregung sind sie unregelmäßig orientiert (Abb.4.4.1). ei äußerer Erregung durch den trom in einer um den toff gelegten Ringwindung erfolgt eine regelmäßige Orientierung.(Abb.4.4. a). Die umme der elementaren Kreisströme führt zu einem resultierenden Kreisstrom µ (Abb b), und das Feld der elementaren Kreisströme überlagert sich dem äußeren Feld. m unmagnetisierten Zustand sind die Elementarfelder so unregelmäßig orientiert, dass kein resultierendes Feld nach außen in Erscheinung tritt. Abb Elementare Kreisströme ohne äußere Erregung a) µ b) Abb Elementare Kreisströme unter dem Einfluss einer äußeren Erregung Für die im Rahmen der grundlagenorientierten Elektrotechnik angewandte eschreibung des Magnetfeldes wird auf die etrachtung der Vorgänge im elementaren ereich verzichtet. Für die quantitative erechnung von Magnetfeldern wird noch weiter vereinfacht und die resultierende Elementarerregung der toffe durch die Permeabilität und die Permeabilitätszahl oder relative Permeabilität beschrieben.

20 4 Hinsichtlich ihres magnetischen Verhaltens werden die toffe in folgende Gruppen eingeteilt: 1. leibt im toff die regellose Orientierung der Elementarfelder erhalten, wenn ein von außen eingeprägtes Magnetfeld wirkt, dann liegt ein magnetisch neutraler toff vor. eispiel Luft: Die Permeabilitätszahl oder relative Permeabilität ist wie im µ r = 1. Vakuum. Orientieren sich die dagegen die Elementarfelder unter der Einwirkung des äußeren Feldes, so baut sich eine von ull verschiede resultierende innere Erregung auf, die ein zusätzliches inneres Feld erzeugt, das sich dem äußeren Feld überlagert. Es handelt sich dann um einen magnetisch nicht neutralen toff. ei den magnetisch nicht neutralen toffen werden zwei Wirkungen unterschieden: Diamagnetische toffe: µ r < 1 Die innere Erregung wirkt dem äußeren Feld entgegen und schwächt dieses. Die Wirkung des Gegenfeldes ist allerdings sehr gering. Die Permeabilitätszahl ist unabhängig von der Feldstärke des äußeren Feldes und hat einen konstanten Wert. eispiel: Wismut: µ r = Paramagnetische toffe: µ r > 1 Die innere Erregung verstärkt das äußere Feld. Die verstärkende Wirkung des inneren Feldes ist allerdings sehr gering. Die Permeabilitätszahl ist unabhängig von der Feldstärke des äußeren Feldes und hat einen konstanten Wert. eispiel: Palladium: µ r = Ferromagnetische toffe: µ r > >1; bis 10 5 Die verstärkende Wirkung durch die innere Erregung ist sehr groß. Außerdem wird die Permeabilitätszahl eine nichtlineare Funktion der der äußeren Feldstärke. Die in den ferromagnetischen toffen vorliegenden elementaren Magnete werden als Weißsche ezirke bezeichnet und haben die Größenordnung ( ) mm 3. n den Weißschen ezirken wirken atomare Elementarmagnete. Die einmal orientierten Weißschen ezirke fallen bei Wegfall des äußeren Feldes nicht vollständig in ihre regellose Ausgangslage zurück, so dass ein eigenes remanentes Feld verbleibt. ach der tärke dieses Eigenfeldes werden weichmagnetische und hartmagnetische toffe unterschieden.

21 5 b) Ferromagnetische Eigenschaften Der Lernende kann - einen Weißschen ezirk in ferromagnetischen toffen definieren und seine Größe angeben - das Verhalten ferromagnetischer toffe im äußeren Feld erklären - remanente Flussdichte und koerzitive Feldsträke definieren - den egriff Hystereseschleife erläutern - die Magnetisierungskennlinie eines ferromagnetischen toffes definieren - die egriff Permeabilität und differenezielle Permeablität erläutern - den egriff magnetische Polarisation erklären - die Hystereseschleife eines Dauermagneten skizzieren Auffallendste Eigenschaften der ferromagnetischer toffe ist die extrem verstärkende Wirkung auf das resultierende Magnetfeld und die starke nichtlineare Abhängigkeit der nduktion von der erregenden Feldstärke. Offensichtlich wirkt hier ein anderer Mechanismus als bei den paramagnetischen toffen. Große Gebiete der ferromagnetischen toffe (Weißsche ezirke) sind spontan magnetisiert. ie richten sich unter der Wirkung des äußeren Feldes aus und erhöhen die Flussdichte. Der Zusammenhang zwischen nduktion und Feldstärke wird bestimmt durch - die Eisensorte - die auftretenden nduktion - die Vorbehandlung in magnetischer Hinsicht - die Temperatur - mechanische pannungen. m praktischen Umgang mit ferromagnetischen toffen wird der Zusammenhang = f(h) experimentell aufgenommen, als Magnetisierungskennlinie und grafisch oder tabellarisch angegeben. nteressiert die Permeabilität oder die Permeabilitätszahl werden diese Größen aus der Magnetisierungskennlinie berechnet: µ = H (4.4.53) µ r = µ H (4.4.54) 0 Wird eine Torroidspule (Kerndurchmesser D, Windungszahl ) mit einem ferromagnetischen Kern versehen, dann kann die nduktion im Kern als Funktion der Feldstärke experimentell ermittelt werden. Die Feldstärke berechnet sich nach Gl.(4.4.41) als Funktion des pulenstromes zu H =. n Abb sind die Ergebnisse dieser π r Untersuchung für zwei ferromagnetische toffe dargestellt.

22 6 Die experimentelle Untersuchung nach Abb zeigt typische Eigenschaften ferromagnetischer toffe: die Abhängigkeit der nduktion von der Feldstärke H ist in hohem Maße nichtlinear die Abhängigkeit = f(h) ist nicht eindeutig, bei ansteigender magnetischer Feldstärke (Kurventeile 3 und 5) werden kleinere nduktionswerte erhalten als bei fallender (Kurventeile und 4). weichmagnetische Werkstoffe (Kurve a) und hartmagnetische Werkstoffe (Kurve b) zeigen sehr unterschiedliches Verhalten die nduktionswerte im Eisen sind erheblich größer als bei gleicher Feldstärke in einer Luftspule (H = 100 A/cm: Fe 1.5T; 0 = 0.16T).0 a /T r b 3 0 H C 1 H C H/A/cm r Abb Experimentelle Aufnahme des Zusammenhangs zwischen Feldstärke und Flussdichte a) weichmagnetischer toff b) hartmagnetischer toff Wird eine bestimmte Eisensorte von einem völlig unmagnetisierten Zustand ausgehend erregt, ist bei = 0 und damit H = 0 auch = 0. Der Anstieg erfolgt nach der eukurve (1). eim hartmagnetischen Werkstoff (Kurve b) wird für H = 10 A/cm die Flussdichte = 1.4 T ermittelt. Eine Verringerung der Feldstärke (Kurve ) ergibt bei H = 0 r = 1.1 T. Dieser Wert ist die remanente nduktion oder Remanenz r. Das Feld verschwindet erst bei H = - H c = -45 A/cm. Diese Feldstärke wird koerzitive Feldstärke oder Koerzitivkraft genannt. un wird die Erregung mit negativen Vorzeichen bis H = -10 A/cm und = -1.4 T durchgeführt. Die Verringerung der negativen Erregung (Kurve 3) führt zu -r; +H c ;. Es wird bei einer solchen Wechselmagnetisierung eine chleife durchlaufen, die als Hystereseschleife bezeichnet wird. erechnet man die chleifenfläche erhält man ein Maß für die zur Ummagnetisierung notwendige Energie.

23 Maßeinheit der Fläche: Vs A Ws [][H] = = (4.4.55) 3 m m m Ws/m 3 ist die Maßeinheit einer Energiedichte. 7 Vergleicht man die Flächen der Hystereseschleifen eines weichmagnetischen und eines hartmagnetischen Werkstoffs, so hat der weichmagnetische Werkstoff eine wesentlich kleiner Fläche. Zur Ummagnetisierung wird eine kleinere Energie benötigt. Der Unterschied zwischen den nduktionswerten bei steigender oder fallender Magnetisierung ist abhängig von der Eisensorte und vom maximalen nduktionswert bei der Ummagnetisierung. m praktischen Umgang mit weichen ferromagtnetischen toffen, vor allem bei der erechnung magnetischer Kreise, wird nicht die vollständige Hysteresekurve benutzt, sondern eine Kennlinie, die eine eindeutige Zuordnungen zwischen magnetischer Feldstärke und Flussdichte aufweist. Diese Kennlinie wird als Magnetisierungskennlinie bezeichnet. ie wird wie in Abb dargestellt aus Hysteresekurven ermittelt. Dazu wird die Hysteresekurve mit unterschiedlichen maximalen Flussdichtewerten ausgesteuert. Die Magnetisierungskennlinie ist die Verbindungslinie aller maximalen nduktionswerte bei der Magnetisierung. 1 H Abb Experimentelle estimmung der Magnetisierungskennlinie () aus Hysteresekurven unterschiedlicher Aussteuerung (1) Die Magnetisierungskurven zeigen typischen Verläufe. ach einem steilen Anstieg gehen die Kurven in die ättigung über. Die Erklärung ist mit dem Verhalten der Weißschen ezirke der ferromagnetischen toffe im äußeren Magnetfeld zu erklären. m Gegensatz zu den paramagnetischen toffen sind die atomaren Elementarmagnete in den Weißschen ezirken gleich ausgerichtet, wodurch mikroskopische Dauermagnete entstehen. n einem nicht magnetisierten ferromagnetischen toff kommen im Mittel alle Ausrichtungen der Weißschen ezirke gleich oft vor, so dass sich ihre Wirkung nach außen kompensiert..

24 8 vollständiges Eindrehen der Weißschen ezirke irreversible Vorgänge reversible Vorgänge H Abb ewegungen der Weißschen ezirke in Abhängigkeit von der Feldstärke ringt man den ferromagnetischen toff in ein äußeres Magnetfeld, so richten sich die Weißschen ezirke durch das äußere Feld aus und verstärken mit ihrem magnetischen Fluss das äußere Feld. ei kleinen äußeren Feldstärkewerten sind diese Ausrichtungen reversibel. ei weiterer teigerung der äußeren Feldstärke kommt es zu irreversiblen Verschiebungen der Weißschen ezirke und zu ihrer vollständigen Eindrehung in das äußere Feld. Dieser Zustand wird als ättigung bezeichnet. ei weitere teigerung des äußeren Feldes steigt die Flussdichte nur noch in gleicher Weise wie im Vakuum. Die Kurven nähern sich in der ättigung Geraden mit dem Anstieg µ o. n Abb sind Magnetisierungskennlinien für einige typische technische weiche ferromagnetische Werkstoffe angegeben, die wir auch für die erechnung benutzen werden. Kurve a ist die Magnetisierungskennlinie für kaltgewalztes Elektroblech mit der Typbezeichnung V A wie es in Elektromotoren und kleinen Transformatoren verwendet wird. Die gleiche Kennlinie ist auch für tahlguss zu benutzen. Die Kurve c gibt die Magnetisierungskennlinie für Grauguss. Kurve b ist die Magnetisierungskennlinie für ein speziell im Großtransformatorenbau eingesetztes Elektroblech mit der Typbezeichnung VM Es ist ein so genanntes kornorientiertes Elektroblech. ei eanspruchung mit einem Magnetfeld, dessen Richtung mit der Walzrichtung des leches übereinstimmt, werden zur Erreichung einer bestimmten Flussdichte außerordentlich geringe Feldstärken benötigt.

25 Magnetisierungskurven a) kaltgewalztes Elektroblech V400-50A; tahlguss b) kornorientiertes Elektroblech VM97-30; Magnetisierung in Walzrichtung c) Grauguss 9 /T b a 1.4 c H ka /m /T b a c Kurve a und c: Kurve b: H A /m Abb Magnetisierungskennlinien von Werkstoffen