MESSUNSICHERHEITEN in der Praxis

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1 NTB INTERSTAATLICHE HOCHSCHULE FÜR TECHNIK BUCHS MESSUNSICHERHEITEN in der Praxis Ein Weg zum vollständigen Messergebnis Grundsatz der Messtechnik "Alles was messbar ist, messen, und was nicht messbar ist, messbar machen"; Galileo Galilei ( ) setzte dieses Motto an den Beginn zum technisch naturwissenschaftlichen Zeitalter V ± 0.01V geschätzter Überdeckungsbereich 95% Wie genau kann die Spannung 10V DC heute gemessen werden? Multimeter Garantiefehler Bspl. Eigenabweich. Hit 18S 0.8 Multimeter Kalibrier- Messunsicherheit ab Werk Bspl. Hit 6M Abs. K J SI- Einheiten NMI Nat. Mess. Inst.; Reproduzierbarkeit für Kunden METAS Josephson Reproduzierbarkeit für NMI s Vergleich- Zeit: Cs-Atomuhr Stabilität für NMI s untereinander 1% ppm 1ppb Messunsicherheit / SS 005 /Seite1

2 Inhaltsverzeichnis 1 EINFÜHRUNG 1.1 PRAKTISCHES BEISPIEL 1. HISTORIE DER MESSUNSICHERHEIT 1.3 WELTWIRTSCHAFT UND DIE MESSUNSICHERHEIT 1.4 URSACHEN DER MESSUNSICHERHEIT BERECHNUNG DER MESSUNSICHERHEIT NACH GUM: BASICS 3 VERTEILUNGEN VON MESSWERTEN 3.1 GRUNDLAGEN: STATISTIK 3. VERTEILUNG VON KENNGRÖSSEN IN DER SERIENFERTIGUNG 3.3 TYPISCHE VERTEILUNGEN / CHARAKTERISTIKA VON STÖRGRÖSSEN 4 FORTPFLANZUNG VON UNSICHERHEITSBEITRÄGEN 4.1 FORTPFLANZUNGSGESETZ FÜR WAHRSCHEINLICHE UNSICHERHEITEN/VERTEILUNGEN 4. PRAKTISCHES EINBEZIEHEN VERSCHIEDENER VERTEILUNGEN NACH GUM 5 KALIBRIEREN ELEKTRISCHER GRÖSSEN - RÜCKVERFOLGBARKEIT 5.1 GRUNDLAGEN DER KALIBRIERUNG 5. KALIBRIEREN VON MULTIMETER 5.3 KOSTEN UND NUTZEN DER KALIBRIERUNG 5.4 KALIBRIEREN DYNAMISCHER/TRANSIENTER GRÖSSEN 6 EINHEITEN, NORMALE ELEKTRISCHER GRÖSSEN 6.1 HISTORIE DES EINHEITENSYSTEMS ELEKTRISCHER GRÖSSEN 6. DAS SI EINHEITEN SYSTEM 6.3 NORMALE ELEKTRISCHER GRÖSSEN 7 REFERENZEN 7.1 BEGRIFFE, GLOSSAR 7. LEHRBÜCHER 7.3 NORMEN, RICHTLINIEN 7.4 LITERATUR, ZEITSCHRIFTEN 7.5 LINKS 8 BEISPIEL, ÜBUNGEN 8.1 KAPITEL 1 8. KAPITEL 8.3 KAPITEL KAPITEL KAPITEL KAPITEL 6 Definition: Unsicherheit eines Messergebnisses oder Messunsicherheit Das Internationale Wörterbuch der Metrologie 1 definiert Messunsicherheit als einen Kennwert, der den Bereich der Werte charakterisiert, die der Messgrösse durch die durchgeführte Messung vernünftigerweise zugeschrieben werden können. Die nach einem einheitlichen Verfahren berechnete und in einer bestimmten Weise mitgeteilte Messunsicherheit drückt so die Stärke des Vertrauens aus, mit der angenommen werden darf, dass der Wert der gemessenen Größe unter den Bedingungen der Messung innerhalb eines bestimmten Werteintervalls liegt. 1 International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology; second edition, 1993, International Organization for Standardization; (Geneva, Switzerland); Deutsche Übersetzung: Internationales Wörterbuch der Metrologie;. Auflage, 1994, Herausgeber: DIN Deutsches Institut für Normung e.v.; Beuth Verlag GmbH, Berlin-Wien-Zürich. Messunsicherheit / SS 005 /Seite

3 1 Einführung Warum das Thema Messunsicherheit eine Rolle spielt, welche Widersprüchlichkeiten in der Praxis auftauchen, dies soll nachfolgendes einfaches Beispiel veranschaulichen. 1.1 Praktisches Beispiel Zwei Widerstände sind in Serie geschalten und werden von einem Gleichstrom durchflossen. Es stehen drei baugleiche Multimeter Metra HIT 6M zur Verfügung. Damit werden gleichzeitig die beiden Teilspannungen an den Widerständen und die Gesamtspannung gemessen. Vier unmittelbar hintereinander durchgeführte Ablesungsdurchgänge liefern nachfolgende Anzeigewerte, wobei die Versuchsbedingungen nicht geändert wurden. Tab 1. Anzeigwerte der Digital Multimeter DMM (Messbereich 3V) Voltmeter A [V] Voltmeter B [V] Voltmeter C [V] 1. Messreihe Messreihe Messreihe Messreihe Tab. Auszug aus dem Datenblatt : Messunsicherheit / SS 005 /Seite3

4 Um die Fragen zu beantworten wie gross nun wirklich die Gesamtspannung ist, sollen folgende Aspekte betrachtet werden: 1. Berechnen sie aus den Anzeigewerten von Tab. 1 die Zahlenwerte der ihnen bekanntesten statistischen Kenngrössen. Geben sie zuerst die Formel der mathematischen Funktion der statistischen Kenngrösse an.. Skizzieren sie aus den obigen Daten die zugehörigen Verteilungsfunktionen. 3. Beschreiben sie mit Worten mögliche physikalisch, technische Ursachen für diese Verteilungen des hier vorliegenden Experiments. 4. Welche Bedeutung haben die Datenblatt Angaben des Multimeter Herstellers. Verdeutlichen sie die Datenblattangabe mit einer Verteilungsfunktion. 5. Anders wie in Tab. 1 wollen wir jetzt annehmen, dass die beiden Anzeigewerte der Teilspannungen A und B stabil bei genau 1V abgelesen wurden und in der Messreiche nicht geschwankt haben. Bestimmen sie daraus die Grenzen der Gesamtspannung C nach den Datenblattangaben in Tab.. 6. Wie sollten die statistischen Kenngrössen aus Teilaufgabe 1 mit den Datenblatt angaben des Multimeters sinnvoll zusammengeführt werden? Messunsicherheit / SS 005 /Seite4

5 1. Historie der Messunsicherheit Galilei legte den Grundstein auch in der Messtechnik Galileo Galilei ( ) entwickelte den naturwissenschaftlichen Experimentierstil und bediente sich dabei einer ausgeklügelten Messtechnik, um seine mathematischen Modell zu testen. Zum Problem der Messung der Fallgeschwindigkeit schrieb Galilei in seinem DIALOG: Zuerst wurde ein Brett oder Balken aus Holz ausgesucht, ungefähr zwölf Ellen lang, eine halbe Elle breit und drei Fingerbreit dick; sodann wurde in die Oberseite eine Rinne von wenig mehr als einem Finger Durchmesser gegraben; nachdem wir diese Hohlrinne ganz gerade gezogen und glatt poliert und sie mit Pergament ausgelegt hatten, das gleichfalls so glatt und poliert wie möglich war, liessen wir in ihr eine feste, glatte und vollkommen runde Bronzekugel rollen. Nachdem wir das Brett in eine abfallende Lage gebracht hatten, indem wir das eine Ende ein oder zwei Ellen über das andere erhöhten, liessen wir die Kugel die Rinne entlang rollen und massen dabei - in einer Weise, die sogleich noch beschrieben werden soll - die Zeit, die sie zum Hinabrollen brauchte. Dieses Experiment wiederholten wir mehrere Male, um die Zeit so genau zu messen, dass die Abweichung zwischen zwei Beobachtungen nie mehr als das Zehntel eines Pulsschlags betrug. Nachdem wir diese Operation ausgeführt und uns von ihrer Zuverlässigkeit überzeugt hatten, liessen wir beim nächsten Mal die Kugel nur ein Viertel der Länge der Rinne hinabrollen; und als wir dann die Zeit für das Hinabrollen massen, sahen wir, dass sie genau die Hälfte von der zuvor gemessenen betrug. Sodann machten wir den Versuch mit anderen Entfernungen, wobei wir die Zeit für die ganze Länge mit der für die Hälfte, mit der für zwei Drittel, für drei Viertel, kurz für alle möglichen Bruchteile der Länge der Rinne verglichen; und bei all diesen Experimenten, die wir wohl hundert Mal und öfter wiederholten, stellten wir fest, dass die zurückgelegten Strecken sich zueinander verhielten wie die Quadrate der betreffenden Zeiten, und dies traf zu für jedes Gefälle der Ebene, d.h. der Rinne, die wir die Kugel entlang rollen liessen. Wir stellten auch fest, dass die Zeiten für das Hinabrollen bei verschiedenem Gefälle in einem Verhältnis zueinander standen, das - wie wir gleich sehen werden - der Experimentator vorausgesagt und demonstriert hatte. Zur Messung der Zeit benutzten wir ein grosses Gefäss voll Wasser, das wir an einen erhöhten Ort gestellt hatten; in den Boden des Gefässes war ein Rohr von sehr kleinem Durchmesser eingelötet, durch welches das Wasser in dünnem Strahl austrat; während die Kugel rollte, fingen wir das Wasser in einem kleineren Glas auf, entweder solange sie die ganze Länge oder nur einen Bruchteil entlang rollte; das dergestalt aufgefangene Wasser wurde dann nach jedem Hinabrollen, mit Hilfe einer sehr präzisen Waage gewogen, und die Unterschiede im Gewicht und die Verhältnisse der einzelnen Gewichte zueinander drückten dann die Unterschiede der Zeiten und ihr Verhältnis zueinander aus, und dies mit solcher Genauigkeit, dass, obwohl wir die Operation viele, viele Male wiederholten, nie eine nennenswerte Abweichung in den Ergebnissen auftrat. Messunsicherheit / SS 005 /Seite5

6 Gedanken zu Messtechnik und Naturwissenschaft 3 Die Entwicklung der Naturwissenschaft und der auf sie aufbauenden Technik nahm ihren Anfang mit einer qualitativen Naturbeobachtung. Im Altertum und bis ins Mittelalter hat man sich damit im Wesentlichen begnügt und aus diesen vordergründigen Beobachtungen eine Naturphilosophie aufgebaut. Ein entscheidend neuer methodischer Schritt wurde durch Galileo Galilei vollzogen, nämlich die Durchführung von Experimenten als aktive und quantitative Form der Naturbeobachtung. Dabei wird das Verhalten der Natur unter der für das Experiment geschaffenen Bedingung durch Messungen zahlenmässig erfasst. Die erhaltenen Messergebnisse können dann mit Hilfe der Mathematik zu so genannten "Naturgesetzen" zusammengefasst werden, welche auf die Frage " Wie verhält sich die Natur?" Antwort geben. Seit Galilei kann man folglich die Physik als Wissenschaft des Messens bezeichnen. Andere Gebiete der Naturwissenschaften haben sich ebenfalls in diese Richtung entwickelt und insbesondere haben die Ingenieurwissenschaften darauf aufgebaut: Alle diese Disziplinen stützen sich wesentlich auf die in der Physik entwickelte Mess- und Experimentiertechnik ab. Für die Verdichtung von experimentellen Ergebnissen zu Naturgesetzen, für die Bestätigung oder Widerlegung von theoretischen Hypothesen und für zahllose Anwendungen in technischen und naturwissenschaftlichen Bereichen ist die Frage der Zuverlässigkeit von Messresultaten, d.h. die Beherrschung der Probleme der Messfehler von entscheidender Bedeutung, denn einem Ergebnis von ungenügender oder zweifelhafter Genauigkeit kommt kein Nutzwert zu. Fig. 1 Historische Fortschritte der Reduktion von Messunsicherheiten 4 3 Prof. W.H. Gränicher, ETHZ; Messung beendet was nun?; Teubner Verlag, 1996; ISBN Dr. Beat Jeckelmann; Tagung IG elektrische Mess- und Prüftechnik; am 17 Nov 004, METAS, Bern Messunsicherheit / SS 005 /Seite6

7 Fig. Messunsicherheiten in ppm bei einem Vergleich der Gleichspannungsmessung der weltbesten/genauesten nationalen Messlabors Metrologie Institute (Stand 004). 5 Der technische Fortschritt war stets eng verzahnt mit der Verbesserung der Messmethoden und damit der Erhöhung der Genauigkeit. In Zahlen kann dies aus Fig. 1 beispielsweise für die Längenmessung ausgedrückt werden: Seit dem Mittelalter konnte die relative Messgenauigkeit der Längenmessung, um etwa zehn Grössenordnungen und bei der Zeitmessung sogar von der Pendeluhr zur heutigen Atomuhr um 13 Zehnerpotenzen verbessert werden. Bei der Gleichspannungsmessung erreichen heute die weltbesten Messlabors eine relative Unsicherheit von ca. 1ppm beim Vergleich der Messergebnisse untereinander. (Fig. ) 1.3 Weltwirtschaft und die Messunsicherheit Das Messen ist heute aus unserem Alltagsleben nicht weg zu denken. Als Beispiel sei die pünktliche Zeitmessung mit dem Wecker am Morgen, die Personenwaage im Bad, die Zapfsäule an der Tankstelle, die Radarfalle oder besser das Tachometer im Auto, die Obst-Waage im Supermarkt, der Strom-, Gas- und Wasserzähler im Haus usw. genannt. Auch bei der Produktion von Gütern und beim Handel ist das Messwesen ein notwendiger Bestandteil. Deshalb ist es nicht verwunderlich, dass in der Schweiz das Messwesen einen Anteil von 6% am Bruttosozialprodukt hält.(fig. 3) Oder anders gesagt, unter 17 Franken wird einer fürs Messen ausgegeben. Dies entspricht beispielsweise einem höheren Anteil als dem gesamten Bausektor zukommt. 5 Dr. Beat Jeckelmann; Tagung IG elektrische Mess- und Prüftechnik; am 17 Nov 004, METAS, Bern Messunsicherheit / SS 005 /Seite7

8 Fig. 3 Wirtschaftliche Bedeutung der Metrologie in der Schweiz. 6 Das reibungslose, wirtschaftlich effiziente Funktionieren des Market, der heute globaler den je ist, erfordert den Abbau von technischen Handelshemmnissen. Dabei ist das Vertrauen in die Vergleichbarkeit von Messergebnissen im nationalen Handel und internationalen Warenaustausch entscheidend. Als Ziel wird gefordert: Einmal gemessen, einmal geprüft = weltweit anerkannt. Dies bedingt aber weltweit anerkannte Messmethoden, Produktnormen, Zertifizierungen. Häufig soll ein Messwert mit Grenzwerten verglichen werden, die in einer Spezifikation oder normativen Vorschrift festgelegt sind. In diesem Falle kann man anhand der Messunsicherheit erkennen, ob das Messergebnis deutlich innerhalb der vorgegebenen Grenzen liegt oder ob die Forderungen nur knapp erfüllt werden. Liegt der gemessene Wert sehr nahe bei einem Grenzwert, so besteht ein grosses Risiko, dass die Messgrösse doch nicht die gestellten Forderungen einhält. Die beigeordnete Messunsicherheit ist in diesem Fall eine wichtige Hilfe, dieses Risiko realistisch einzuschätzen. Nehmen wir an, ein Anwender lässt die gleiche Messung in mehreren Laboratorien an einem Exemplar eines Produktes durchführen, oder, was wahrscheinlicher ist, an mehreren Exemplaren, die er untereinander als gleichwertig und damit als identische Realisierungen des gleichen Produktes ansieht. Erwarten wir wirklich, das die verschiedenen Prüflaboratorien das gleiche Ergebnis an den Auftraggeber zurückliefern? Nur in gewissen Grenzen natürlich, werden wir antworten. Liegen die mitgeteilten Ergebnisse nun sehr dicht an einer Spezifikationsgrenze, so kann es schon vorkommen, dass die Werte des einen Laboratoriums dazu führen, ein fehlerhaftes 6 Dr. Beat Jeckelmann; Tagung IG elektrische Mess- und Prüftechnik; am 17 Nov 004, METAS, Bern Messunsicherheit / SS 005 /Seite8

9 Exemplar zu prognostizieren, während die Werte eines anderen demgegenüber anzeigen, dass das Exemplar den Forderungen genügt. 7 Von Zeit zu Zeit müssen akkreditierende Körperschaften strittige Fragen dieser Art klären. Das hätte meist vermieden werden können, wenn der Anwender die Messunsicherheit gekannt hätte, die den Ergebnissen beigeordnet werden muss. Er hätte dann gewusst, wie verlässlich die Werte sind. (Auszug aus Kessler 8 ) Fig. 4 Prinzip Darstellung der Rückverfolgbarkeit in der ununterbrochen Messkette von den zentralen Realisierungen der SI Einheiten über die nationalen Normale der NIMs über die Kalibrierlabors zum Anwender. (Jeckelmann, 005) Damit der Grundsatz der weltweiten Vergleichbarkeit von Messwerten auch bei einmaliger anerkannter Messung erreicht werden kann, müssen die Labors untereinander im permanenten Austausch und Vergleich stehen. Dieses System baut heute auch auf klar strukturierte Hierarchien auf, wie dies Fig. 5 am Beispiel innerhalb der Schweiz zeigt. Den internationalen Austausch auf der europäischen bzw. internationaler Eben übernimmt dabei in der Schweiz das METAS in Bern (ehemals Eichamt). Für Deutschland belegen die Zahlen aus dem Jahr 003 deutlich den Multiplikationsfaktor durch die Hierachische Struktur: Die DKD Kalibrierscheine für den Anwender wurden von den 34 im DKD akkreditierten Labors ausgestellt, die wiederum beim nationalen Labor, der PTB 4000 Kalibrierungen durchführten. 9 Ein zentrales Element stellt dabei das im Jahr 1993 von der internationalen Dachinstitution der Metrologiestellen eingeführte gemeinsame Verfahren, zur Bestimmung der Messunsicherheit, der ISO/BIPMLeitfaden oder GUM dar. 10 (siehe Kapitel ) 7 Leitfaden für die Angabe der Unsicherheit beim Messen; Deutsche Übersetzung des Guide, 1. Auflage, 1995, Herausgeber: DIN Deutsches Institut für Normung e.v.; Beuth Verlag GmbH, Berlin, Wien, Zürich. 8 W. Kessler, Fachbeitrag aus den PTB-Mitteilungen 108 (1998), S ; 9 Bachmann, PTB Seminar 193, Mai GUM Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement; first edition, 1993, corrected and reprinted 1995, International Organization for Standardization; (Geneva, Switzerland). Messunsicherheit / SS 005 /Seite9

10 Fig. 5 Die Hierachien in der Schweizer Welt des Messens unterteilt in Eich- und Kalibrierdienste.( Jeckelmann, 005) (Bachmeier, PTB Seminar 193, Mai 004) Messunsicherheit / SS 005 /Seite10

11 1.4 Ursachen der Messunsicherheit 11 Die oben gegebene Definition der Messunsicherheit drückt die bekannte Tatsache aus, dass Messungen keinen exakten Wert liefern, ja gar nicht liefern können. Messungen sind Unzulänglichkeiten und Unvollkommenheiten unterworfen, die nicht exakt quantifiziert werden können. Einige von ihnen haben ihre Ursache in zufälligen Effekten, wie kurzzeitigen Schwankungen der Temperatur, der Feuchtigkeit und des Luftdruckes der Umgebung. Auch die nicht gleichmäßige Leistungsfähigkeit des Beobachters, der die Messung ausführt, kann Ursache zufälliger Effekte sein: sei es, dass bei der Ablesung eines Wertes gewisse Abweichungen von einem Skalenwert geschätzt werden müssen oder ein Parameter in einem Messprozess eingestellt werden muss. Messungen, die unter den gleichen Bedingungen wiederholt werden, zeigen auf Grund dieser zufälligen Einflüsse unterschiedliche Ergebnisse. Andere Unzulänglichkeiten und Unvollkommenheiten haben ihre Ursache darin, dass gewisse systematische Effekte nicht exakt korrigiert werden können oder auch nur näherungsweise bekannt sind. Hierher gehören u. a. die Nullpunktsabweichung eines Messinstrumentes, die Veränderung der charakteristischen Werte eines Normales zwischen zwei Kalibrierungen (Drift), die Voreingenommenheit des Beobachters, einen zuvor erhaltenen Wert bei der Ablesung wieder zu finden, oder auch die Unsicherheit, mit der der Wert eines Referenznormales oder Referenzmaterials in einem Zertifikat oder Handbuch angegeben wird. 11 W. Kessler, Fachbeitrag aus den PTB-Mitteilungen 108 (1998), S ; Messunsicherheit / SS 005 /Seite11

12 Beispiel: Resistive Temperaturmessung Was beeinflusst das Messergebnis? In Bild 1 ist ein Messaufbau zur Messung der Temperatur eines flüssigen Mediums mittels resistivem Temperatursensor, Zuleitung und Ohmmeter dargestellt. Wassertemperatur ϑ 1 Widerstand R1 Umgebungstemperatur ϑ Zuleitung Ω Anzeigewert Bild: 1 Prinzip Temperaturmessung in einem Rohr R1 10. Ω 10.1 Ω t1 Zeit Bild: Zeitlicher Verlauf der angezeigten Widerstandswerte des Ohmmeters (ϑ 1 konstant). Welche weiteren Einflussfaktoren können den Anzeigewert verändern, wobei ϑ 1 konstant angenommen werden soll? Ergänzen Sie in Bild schematisch die zu erwartenden Anzeigewerte des Ohmmeters, wenn ab dem Zeitpunkt t1 die Umgebungstemperatur um 0Grad höher sei. (ϑ 1 konstant) Häufigkeit der Widerstandsklasse n ϑ A 10.1 Ω 10. Ω 10.3 Ω Bild 3 Häufigkeitsverteilungen für die Messwerte. Ergänzen Sie schematisch die Anzeigewerte nach t1. Markieren Sie den Wert für den Wert der Grösse R1 bei ϑ 1. R1 Nachfolgend ist der Unterschied zwischen wahrem Wert und Anzeigewert dargestellt. Temperatur ϑ 1 Messgrösse wahrer Wert Bild 4 Signalflussdiagramm Sensor/Messaufnehmer- Funktion z. B. Gerade R1 SENSOR =f(ϑ 1 ) Systematischer Fehler vorhersehbar R1 SENSOR R GES Umkehrfunktion ϑ Α =f -1 (R GES ) Zufälliger Fehler ± nicht vorhersehbar, weitere Unsicherheit ϑ Α Berechnung des Messergebnisses 40 ºC ±1ºC z.b. 95% Vertrauensbereic h Messunsicherheit / SS 005 /Seite1

13 Berechnung der Messunsicherheit nach GUM: Basics Literaturhinweise: In der Praxis werden Messwerte aufgenommen, meist eine Stichprobe von N- Messungen. Daraus lässt sich der Mittelwert F m und die empirische Standardabweichung s A des Mittelwerts berechnen. Diese Messunsicherheit basiert auf statistischer Analyse und wird gemäss ISO Guide mit Typ A - Standardunsicherheit bezeichnet. Das Messgerät selbst ist aber laut Herstellerangaben zusätzlich mit Fehler behaftet, Nullpunktsfehler, Empfindlichkeitsfehler, Temperaturdrift und weitere Einflussfaktoren sind zu berücksichtigen. Der Messaufbau, das Messverfahren bringt jedoch nochmals Fehler ein. Diese Art von Unsicherheiten, die nicht auf "statistische Weise" bestimmt wurde, sind unter Typ B - Standardunsicherheiten zusammen gefasst. Zusammen mit dem wahrscheinlichsten Schätzwert, dem Mittelwert F m führen sie zum vollständigen Messergebnis (DIN : , vgl. GUM) Es wird ein Schlussresultat erwartet mit folgendem Inhalt: F = F m ± U Optional Zusatzangabe: Vertrauenswahrscheinlichkeit, Anzahl an Messwerten Mit dem arithmetischen Mittelwert F m als dem wahrscheinlichsten Wert und der zugeordneten Messunsicherheit U. Die Messunsicherheit U = k u ist üblicherweise mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 68.3% angegeben, dabei ist der Faktor k=1 und steht für das 1σ Intervall bei normalverteilten Messgrössen. Bei Kalibiermessungen wird eine erweiterte Unsicherheit, mit Faktor k= bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95%, verwendet (vielfach ist auch k=3, bei 99% Vertrauenswahrscheinlichkeit im Einsatz, siehe Normen) Die Messunsicherheit des Schlussresultats wird als kombinierte Standardabweichung aus den beiden obigen Typen A zu u A und Typ B zu u B mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes berechnet: U = k u A + u B Voraussetzung bleibt, dass beide Typen als Standardunsicherheiten angegeben werden. 1 Alfred Stähli; Kurze Einführung in die mathematische Statistik, NTB Mathemaik Skript, 3 Semester; WS 003/04 13 W. Gränicher, Messung beendet was nun?; Teubner Verlag Stuttgart, 1996; ISBN ; besonders Kapitel GUM, Guide to the expression of uncertainty in measurement 1995 Geneva, Switzerland; Deutsche Ausgabe vom Deutsches Institut für Normung, Beuth Verlag: Leitfaden zur Angabe der Unischerheit beim Messen Norm: DIN1319 und Kalibrierung von Messmittel für elektrische Grössen, Digitalmultimeter VDI/VDE/DGQ/DKD 6 Blatt 1, 1997 Messunsicherheit / SS 005 /Seite13

14 Beispiel für die Berechnung der Messunsicherheit des Typs B (vgl. Norm VDI/VDE 6 ) Im Zuge der Kalibrierung von Digitalmultimeter nach VDI/VDE Norm sollen vier unterschiedliche Messunsicherheitsanteile zusammengefasst werden. Sie repräsentieren die Messunsicherheitsanteile aus der Nullpunktsabweichung, Schwankung der Anzeige, Auflösung der Anzeige und aus Umgebungseinflüssen. Diese Grössen sollen nicht normalverteilt sondern gleichverteilt sein, mit einer Rechteckverteilung. Die Grösse a soll jeweils die halbe Weite des Unsicherheitsbereichs sein (± Garantiefehler nach Datenblatt). u = k 1 3 a a a a r a Resultierende Standard-Messunsicherheit aller vier Messunsicherheitsanteile. u Berechnung der Messunsicherheiten Typ A und B einer gewöhnlichen Messung Vorgehen: Für gewöhnliche Messungen wird eine Vertrauenswahrscheinlichkeit von 68% (k=1) gewählt, zum Unterschied von Kalibriermessungen (siehe Normenentwurf VDE/VDI 6 ). Typ A Unsicherheitsbeitrag durch Messstatistik (Standardabweichung des Mittelwertes s m ) Typ B - weitere Unsicherheitsbeiträge aus Messgerät, -verfahren (± Herstellerangaben üblich Rechteckverteilung z.b. mit a 0 Nullpunktsfehler, a U Umgebungseinfluss) Resultierende Messunsicherheit des Messergebnisses (wahrscheinlicher Fehler, 68% Vertrauensniveau) u = s n = u A s m B = a0 + a u RES A u = u + u B Erläuterung zum Verfahren: Für den Fall, dass die zu messende Grösse während der Stichprobenmessung konstant ist, wird die zufällige Schwankung der Anzeigewerte durch unbekannte Einflussgrössen hervorgerufen. Die exakte Lage des wahren Mittelwertes µ der Verteilung sollte dann, der zu messenden konstanten Grösse entsprechen. Es stellt sich also die Frage nach dem Bereich um den arithmetischen Mittelwert m in dem mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% der Wert liegen wird. Dieser Bereich entspricht somit der doppelten empirischen Standardabweichung des Mittelwertes s m. Die genaue Analyse der Verteilungsfunktion dieser störenden Einflussgrösse, wie die Bestimmung der Breite der Verteilung, also die Standardabweichung s, ist nur insofern notwendig als sie zur Berechnung von s m dient. Besteht die Stichprobe aus vielen Messwerten (n gross) so kann auch der Mittelwert genauer bestimmt werden und damit kann der Beitrag der Messstatistik zur resultierenden Messunsicherheit klein gehalten werden. Der Unsicherheitsbeitrag Typ A, der Messstatistik, beinhaltet noch keine Fehler durch das Messgerät oder des Messaufbaues selbst. Messunsicherheit / SS 005 /Seite14

15 Üblicherweise sind in Datenblättern für elektronische Messinstrumente die Garantiefehlergrenzen oder Eigenabweichungen vom Messwert also ± Werte angegeben. Sie drücken üblicher Weise aus, dass der Fehler mit Sicherheit, also 100% Vertrauensniveau, kleiner als die Toleranzangabe ist. Sind keine weiteren Angaben wie z.b. 5 σ - Bereich (bezieht sich auf eine Gauss-Verteilung) bekannt, so muss eine Rechtecksverteilung dieses Fehlers angenommen werden. Wenn der Beitrag der Typ A Messunsicherheit (Messstatistik - Messwert Schwankung) unbedeutend, im Vergleich zum Messunsicherheitsbeitrag nach Typ B (des Messgerätes) ist, so führt eine weitere Erhöhung der Anzahl an Messungen zu keiner merklichen Verbesserung der resultierenden Messunsicherheit. Generell kann eine minimale resultierende Messunsicherheit u RES nur durch die optimale Wahl der Anzahl der Messungen und der notwendigen Genauigkeit der Messinstrumente erreicht werden. Messgerät zu ungenau Messgeräte optimal Messgerät zu genau u RES u B u RES u B ures u B u A u A u A Fig. 4a Veranschaulichung der Verhältnisse von Typ A und Typ B Fehler bei der Bildung der resultierenden Messunsicherheit nach GUM. Hier sei angenommen, dass der Typ B Fehler wie üblich von der Grundgenauigkeit des Messgeräts dominiert ist. Für die drei dargestellten Fälle soll jeweils die Schwankungen der Anzeigewerte, Typ A Unsicherheitsbeitrag, gleich sein, da die Annahme zutreffen soll, dass sie durch externe Störungen unabhängig vom Messgerät hervorgerufen werden. Der im Messergebnis angegebene wahrscheinlichste Erwartungswert m korr ist obiger arithmetische Mittelwert m abzüglich, aller bekannten systematischen Fehlerbeiträge. Resultierendes Messergebnis: m korr ± u RES mit einem geschätzten Vertrauensbereich von 68% Nachfolgend ein erläuterndes Beispiel einer Anmerkung zur Unsicherheitsangabe entsprechend DKD 3 (Deutscher Kalibrierdienst): Der ermittelte konventionelle Wägewert des Gewichtsstücks mit dem Nennwert 10 kg beträgt 10, kg ± 59 mg. Angegeben ist die erweiterte Messunsicherheit, die sich aus der Standardmessunsicherheit durch Multiplikation mit dem Erweiterungsfaktor k = ergibt. Sie entspricht bei einer Normalverteilung der Abweichungen vom Messwert einer Überdeckungswahrscheinlichkeit von 95 %. Messunsicherheit / SS 005 /Seite15

16 Fig. 4b Veranschaulichung des Vorgehens bei der Berechnung der Messunsicherheit. Messunsicherheit / SS 005 /Seite16

17 3 Verteilungen von Messwerten 3.1 Grundlagen: Statistik Aus der Mathematik sind die Eigenschaften der Normalverteilung nach Gauss bekannt.(fig. 4) Wir nehmen an, dass unsere Messwerte x normalverteilt sind. Das bedeutet. Die Wahrscheinlichkeit P(a x b) für eine Realisation des Messwertes x im Intervall [a,b] ist gegeben durch: P ( a x b) f( x) b a dx mit 1 f(x) = e σ π (x µ ) σ Man nennt f(x) Dichte der Normalverteilung mit Erwartungswert µ und der Varianz σ. Erwartungswert und Varianz sind wie folgt definiert: µ = σ = x f(x) dx (x µ ) f(x) dx Normalverteilung Häufigkeitsdichte Häufigkeitsdichte f Summenhäufigkeit Summenhäufigkeit ±1σ 68.3% ±σ 95.4% ±3σ 99.7% Fig. 5 Häufigkeitsdichte und -summe der normierten Gaussverteilung µ=0 und σ=1 mit der Angabe der Wahrscheinlichkeit einen Wert innerhalb der 1, bzw. 3 Sigma Grenze anzutreffen. Messwert x-achse ; Nach obiger Gleichung folgt f(0)= Hinweis: EXCEL-Befehl: NORMVERT(x;Mittelwert;Standabwn;Kumuliert) Messunsicherheit / SS 005 /Seite17

18 Zusammenfassung wichtiger Kenngrössen für Messtechnik Das Problem beim Messen stellt sich wie folgt: Man weiss, dass die Messwerte x 1,...,x n normalverteilt sind, aber man kennt den Erwartungswert µ und die Varianz σ nicht. Diese Grössen werden aus den Messwerten geschätzt. Schätzerfür µ : Schätzerfür σ : 1 m = x = n s = 1 n 1 n i= 1 n x i= 1 i arithmetischermittelwerteiner Stichprobe (x m) i = 1 n 1 n i= 1 ( x ) i 1 n empirische S tandardabweichung einer Stichprobe n i= 1 x i Die Schätzwerte m und s gehen für n in die zu schätzenden Werte µ und σ über : limm =µ und lims = σ n n Für obige empirische Standardabweichung 15 steht oft auch: mittlerer quadratischer Fehler der Stichprobenmesswerte, Wiederholstandardabweichung, experimental standard deviation; ISO , RMSD root mean square deviation); Bemerkung: den Term 1/(n-1) bezeichnet man als Besselsche Korrektur. Die Verkleinerung des Nenners n-1 ist als Verlust eines Freiheitsgrades zu verstehen, da µ nicht exakt bekannt ist. 16 Schwankungsbreite des Mittelwertes Wenn die Messung x i mit der Standardabweichung σ um den Erwartungswert µ schwankt, so schwankt das arithmetische Mittel m der Messwerte nur noch mit σ m = σ / n um den Erwartungswert. Zur Schätzung der Standardabweichung des Mittelwertes (mittlerer Fehler des Mittelwertes, experimental standard deviation of the mean nach ISO ) kann s m verwendet werden: s s 1 n(n 1) n m = = i = (x 1 i m) n Für n geht σ m gegen null. Die Standardabweichung s m des Mittelwertes einer Stichprobe (Serie von Messwerten -experimental standard deviation of the mean ) ist somit um den Faktor n kleiner als die Standardabweichung der Verteilung der einzelnen Messwerte. Eine Genauigkeitssteigerung in der Schätzung des Mittelwertes um einen Faktor 10 erfordert aber 100 mal mehr Messwerte. (vgl. Students t-verteilung ) Weitere Begriffe: Standardabweichung: σ, mittlerer quadratischer Fehler, 1 n Varianz der Grundgesamtheit: σ = (x i 1 i µ ) n = mittlere quadratische Abweichung (mean square deviation MSD), Diese Formel für die Varianz der Grundgesamtheit verwenden wir in der Messtechnik nicht. Wir benutzen stets die Formel ganz oben für Standardabweichung der Stichprobe mit dem Nenner n Befehl STABW in EXCEL 16 W. H. Gräncher, Messung beendet was nun?; ISBN Messunsicherheit / SS 005 /Seite18

19 Erweiterte Grenzen für endlichen Stichprobenumfang Student-t Verteilung Wirtschaftliche Gründe sprechen meist dagegen einen Stichprobenumfang sehr gross zu machen. In der Praxis ist die Voraussetzung für die Gültigkeit der Wahrscheinlichkeitsangaben nach Fig. 5, z.b. 68% dass ein Wert innerhalb der Grenzen der Standardabweichung um den Mittelwert einer normal verteilten Grösse liegt, selbstverständlich nie gegeben. Sie bedingt nämlich eine unendliche Zahl der Elemente der Stichprobe. Aus den statistischen Grundlagen ist bekannt, dass für jene Fälle, wenn der Stichprobenumfang klein ist, einfach der Bereich als Vielfaches der Standardabweichung vergrössert werden muss, im Vergleich zu den Verhältnissen bei einer unendlichen Zahl der Stichprobenelemente. Die Student-t Verteilung erlaubt die Berechnung dieses Erweiterungsfaktors c (grösser 1) mit dem die Standardabweichung multipliziert werden muss, um eine Wahrscheinlichkeit angeben zu können einen Wert innerhalb dieser Grenzen anzutreffen bei endlicher Zahl N des Stichprobenumfangs. (vgl. Tab. ) Als Beispiel sie hier ein Stichprobenumfang von 10 Messwerten angegeben. Der Bereich um den Mittelwert beträgt das.37 fache der Standardabweichung, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 95.45% einen Wert innerhalb dieser Grenzen anzutreffen. Tab. Student-t Verteilung Der Erweiterungsfaktor c in der Tabelle für n Elemente des Stichprobenumfangs (entspricht der Anzahl der einzelnen Messwerte in der Messreihe) ist ein Mass für die Grenzen eines symmetrischen Bereichs um den Mittelwert der Normalverteilten Grösse, damit die Wahrscheinlichkeit einen einzelnen Wert innerhalb diese Bereiches zu finden der Prozentangabe in der ersten Zeile entspricht. Dabei ist die obere und untere Grenze des Bereichs definiert als das Produkt der Zahl im Tabellenelement c und der Standardabweichung s der Normalverteilung. (Grenzen für Bereich +/- c*s) n Anzahl Element im Stichprobenumfang. Students t-verteilung: Vertrauensfaktor t (1-α)= 68.7 % (1-α)= % (1-α)= % (1-α)= % (1-α)= % (1-α)= % (1-α)= % n Messunsicherheit / SS 005 /Seite19

20 3. Verteilung von Kenngrössen in der Serienfertigung Bei der Produktion von Operationsverstärkern gibt der Hersteller Linear Technology die Verteilung der Offsetspannung für einen Stichprobenumfang von 1140 an. (Fig. 6) Dies ist für den Anwender sehr hilfreich, kann er doch damit die Standardabweichung abschätzen. Sie entspricht in diesem Beispiel in etwa der Zahlenangabe des typischen Fehlers von 0uV. Die dargestellte Verteilung lässt vermuten, dass in diesem Fertigungsprozess die Angabe des Maximalen Fehlerbereiches mit 100uV im Datenblatt in etwa der 5 Sigma Grenze entspricht (Würde die Verteilung mit einer Normalverteilung genähert werden, so entspräche dies einer Fehlerrate von einer unter 1.7 Millionen ausserhalb dieses Bereichs von +/- 100uV, auch wenn nicht alle Bauteile einzeln getestet werden. Der Grossteil der Halbleiterhersteller begnügt sich in den Datenblättern meist mit Angabe von Toleranzen +/- wobei meist offen bleibt was diese Grenzen zu bedeuten haben. Zahlenwerte aus dem Datenblatt LT101C CN8 pricing $3.33 (100p) Typ Max Units mv m V/month m V/K Fig. 6. Verteilung der Offset-Spannung des Operationsverstärkers LT101C. Werden alle Bauteile auf die Toleranzen hin zu 100% geprüft, so kann der Kunde ausschliessen Werte ausserhalb der Toleranz zu finden. Der renommierte Hersteller von elektronischen Messgeräte, Agilent (ehemals HP) gibt in seinen Manuels der Messgeräte meist einen Toleranzbereich an, der dem dreifachen der Standardabweichung (+/- 3 σ) entspricht. Selbstverständlich kann auch aus derselben Produktionscharge z.b. von elektrischen Widerständen jene mit der 1% Toleranz herausgelesen werden (teure Einzelmessungen nötig). Die verbleibenden Bauteile werden dann automatisch der nächst höheren Toleranzklasse zugeteilt, z.b. 5%. In diesem Fall entspricht bei einem Normalverteilten Produktionsprozess die 1% Toleranz Bauteile einem abgeschnitten Gausverteilung, die fast einer Rechtecksverteilung entsprechen und einer Verteilung mit zwei Maxima in der Häufigkeitsdicht mit dem Fehlen des Zentrums für die verbleibende 5% Toleranzklasse. Messunsicherheit / SS 005 /Seite0

21 Beispiel: Elektrische Widerstände Darstellung der Häufigkeitsverteilung inklusive der geschätzten Gauss-Verteilung Messung vom von F.Felix/Ch. Eugster Zweipunktmessung mit Korrektion des mittleren gemessenen Zuleitungswiderstandes. Klassenbreite 0.01 Ohm Klassen [kohm] M_Häufigkeit Gauss Klassenmitte Gesamtzahl Darstellung in Excel mit Diagramm " Säule" Fig. 7a Häufigkeitsdichte Darstellung in Excel mit Diagramm "Punkt (X,Y)" -u m +u Nennwert 10kOhm Fig. 7b Häufigkeitsdichte Gauss (Anmerkung: Exakten Wert der Klassenmitte beachten!) Messunsicherheit / SS 005 /Seite1

22 3.3 Typische Verteilungen / Charakteristika von Störgrössen Die häufigste Störgrösse ist, weisses Rauschen, welches sich durch eine Gaussverteilung der Momentanwerte auszeichnet. Die Analyse des Spektralbereichs durch die Anwendung der FFT Analyse (z.b. mit einem einfachen Digitaloszi) liefert hiezu zusätzliche Klarheit. Liegt beispielsweise als Störgrösse die Temperatur vor, die sich mit einem Temperaturdrift einer charakteristischen Grösse beschreiben lässt, (z.b. Temperaturdrift der Eingangsoffset-Spannung eines OPamps, vgl. Fig. 6) so kann eine zeitliche Verschiebung des Mittelwerts der Verteilung beobachtet werden, wenn sich diese Temperatur ändert. Ist dieser Temperaturdrift immer konstant (z.b. Durchlassspannung einer Diode -.mv/k) so kann bei Kenntnis der Hilfsgrösse Temperatur, dieser Störeinfluss abgeschätzt und damit reduziert werden (Korrektion). Daraus resultiert auch die Empfehlung bei genauen Messungen elektronische Messgeräte schon mindestens 15 Minuten vorher einzuschalten, damit sich im gesamten Gerät eine stabile und reproduzierbare Temperaturverteilung einstellen kann. In der Praxis unterscheiden sich aber die Temperaturdriftwerte auch bei baugleichen Bauelementen. Beispielsweise trifft dies bei elektrischen Widerständen die zwar ähnliche TK (Temperaturkoeffizienten) haben aber eben nicht exakt gleiche. Dies hat beispielsweise bei der Beschaltung von Operationsverstärkerschaltungen zur Folge, dass sich um diesen Unterschied auch der Verstärkungsfaktor der gesamten Schaltung unterscheiden wird. Dabei kann trotzt gleichem Vorzeichen der einzelnen TK nichts über das Vorzeichen der Abweichung der Gesamtverstärkung ausgesagt werden! Ebenfalls eine zeitliche Verschiebung des Mittelwerts, von Verteilungen wird beobachte, wenn die Ursache Alterungserscheinungen (Zeiträumen von Tagen, Wochen, Monate, Jahre vgl. z.b. Spezifiktion von genauen Multimetern) sind. Resultieren die Störungen allerdings aus der klassischen Induktionsspannung von magnetischen Wechselfeldern, so zeigen sie oft sinusförmige Zeitverläufe. Sie können optimal mit der FFT Analyse zugeordnet werden. Eine reine sinusförmige Störung, z.b. mit der Netzfrequenz mit stets konstanter Amplitude würde dabei eine U-förmige Verteilung der Momentanwerte zur Folge haben. (vgl. Übung Ü3. ) Die neue Generation von Digitaloszis hat meist schon im mittleren Preissegment standardmässig statistische Signalanalysefunktionen, wobei die relevanten Kenngrössen wie Standardabweichung direkt angezeigt werden und oft auch der zeitliche Aufbau der Verteilungen grafisch anschaulich unterstützt wird. Obige Störungen sind oft auch bei der Produktion von Bauteilen, Sensoren bzw. Messgeräten die häufigsten Ursachen für die Ausbildung von Verteilung der bestimmenden Kenngrössen. Messunsicherheit / SS 005 /Seite

23 4 Fortpflanzung von Unsicherheitsbeiträgen 4.1 Fortpflanzungsgesetz für wahrscheinliche Unsicherheiten/Verteilungen Das Messergebnis F soll eine Funktion von N Einzelmesswerten f i sein F=F(f 1, f,..f N ). Der Mittelwert F m wird aus den einzelnen Mittelwerten f mi berechnet F m =F(f m1, f m,..f mn ). Von der Einzelmessung sind Mittelwert und Standardabweichung bekannt f mk ± s fk. Aus der Taylor-Reihen Entwicklung folgt das Fehlerfortpflanzungsgesetz für die Varianz s F des Mittelwertes F m des Messergebnisses. Als Multiplikationsfaktor für die Summe der einzelnen Varianzen stehen die partiellen Ableitungen der Gesamtfunktion F nach den Grössen der Einzelwerte f k zum Quadrat. s F N = k = 1 F fk s fk Voraussetzung für das obige Gausssche Fehlerfortpflanzungsgesetz ist, dass die einzelnen Messungen f k von einander statistisch unabhängig sind. (siehe Gräncher 3-40 bzw. 8.5) Beispiel: Addition - Gesamtspannung aus der Summe der Teilspannungen ermittelt Zwei Zweipole sind in Serie geschalten, wobei die jeweilige Teilspannungsmessung den Mittelwert und die empirische Standardabweichung liefert. Berechnen sie die Standardabweichung der Gesamtspannung. Beispiel: Multiplikation Leistung aus den Teilmessungen von Strom und Spannung An einem Zweipol wurden jeweilige Storm und Spannung gemessen. Es liegen jeweils der Mittelwert und die empirische Standardabweichung vor. Berechnen sie die Standardabweichung der Leistung. (Hinweis: stellen sie im Ergebnis die Standardabweichung relativ zum jeweiligen Mittelwert dar) Messunsicherheit / SS 005 /Seite3

24 4. Praktisches Einbeziehen verschiedener Verteilungen nach GUM Zu Beginn soll ein einfacher Fall betrachtet werden, bei dem der vorliegende Fertigungsprozess eines Voltmeters zu einer Verteilung des Nullpunktsfehlers entsprechend einer Gaussverteilung führt. Als eines der Ziel des Messens soll ja gelten, dass die Messwerte vergleichbar sind Einmal Messen, weltweit anerkannt. (siehe Seite 8) Dies gilt es im Folgenden speziell zu beachten! Die 1 Sigma Toleranz Würde der Hersteller eine Toleranz von 1 Sigma (± 1 die einfache Standardabweichung der Verteilung) angeben und die Anwender die jeweiligen Messwerte die sie mit den unterschiedlichen baugleichen Voltmeter ermitteln, auch mit dieser gleichen Toleranz versehen, dann würden nur in 68% der Fälle die Messungen mit den unterschiedlichen Multimeter am gleichen Objekt (hier Kurzschluss) innerhalb der Toleranz übereinstimmen. Die 3 Sigma Toleranz Gibt der Hersteller die Toleranz des Nullpunktsfehlers mittels der ± 3 Sigma Grenze an und erfolgt kein Endtest dieser Abweichung für alle Voltmeter, dann führt die gleiche Vergleichsmessung der Messgeräte wie oben, nur in drei von tausend Fällen zu keiner Übereinstimmung innerhalb der gewählten Toleranzen. Liegt als Verteilung der Produktionscharge eine andere Verteilung vor (Trapez, Dreieck ), so müsste jeweils ermittelt werden, welche Wahrscheinlichkeit sich für die aus der Stichprobe ermittelte empirische Standardabweichung und die zugehörigen Bereiche (z.b. ± 1 Sigma) ergibt. (vgl. Übungsbeispiel U3.) Sind keine Angaben zur Verteilungsart gegeben, so wird die Toleranzangabe einer Rechtecksverteilung zugeschrieben. (wobei die Toleranzgrenzen auch den Grenzen der Rechtecksverteilung entsprechen) Überlagerung von Verteilungen in der Praxis: Die resultierende Messunsicherheit wird von Störungen der individuellen Messung und statistischen Abweichung der Messgerätegenauigkeit innerhalb der Produktionscharge des Messgerätes beeinflusst. Ziel muss in allen Überlegungen des Messens der Vergleich des aktuellen Messwertes mit anderen Vergleichsmessungen sein, die z.b. mit dem baugleichen Messgerät durchgeführt würden. Die dabei im obigen Sinn auftretende Wahrscheinlichkeit, dass die Bereiche der Unsicherheiten/Toleranzen sich überlappen, ist für die Bewertung ebenfalls entscheidend. Das resultierende Messergebnis wird aus einer Stichprobe der Anzeigewerte ermittelt und die können bekanntlich schwanken. Grundsätzlich kann in einer einfachen Messung ohne sonstige Hilfsgrössen nicht unterschieden werden, ob diese Schwankung von einer ungewollten externen Störung der Messung oder von der Messgrösse selbst stammt. Diese Schwankung aus den Anzeigewerten (Typ A Unsicherheit) wird nach GUM mit den Beiträgen der Unsicherheiten der Messgeräte Toleranzen (Typ B) mit der Methode der Fehlerfortpflanzung der wahrscheinlichen Unsicherheiten verknüpft. (vgl. Kapitel ). Dies ist zulässig, da beide Verteilungen statistisch unabhängig sind. Dabei werden die typischen Wahrscheinlichkeiten (68% bzw. 95%) für die ermittelte resultierende Standardabweichung nur als geschätzte Wahrscheinlichkeiten angegeben. Sie entsprechen meist keiner exakten Gaussverteilung, können aber damit innerhalb weniger Prozent genähert werden. Messunsicherheit / SS 005 /Seite4

25 Tab. 3 Tabellarische Übersicht der Arbeitsschritte beim Einbeziehen des Fehlerfortpflanzungsgesetztes (vgl. Seite 3) in das Vorgehen zur Messunsicherheitsanalyse nach GUM (siehe Fig. 4b, Seite 16). Die gesuchte Zielgrösse F setzt sich dabei aus den Messergebnissen der Teilgrössen fk zusammen (z.b. Zielgrösse F sei die elektrische Leistung dann könne der Strom und die Spannung die Teilgrössen f k sein) Formel Anmerkung Die einzelnen n Messwerte werden im Rahmen einer x i muss für alle k Teilergebnisse Bei gleichen Versuchsbedingungen Stichprobenmessung erfasst erfasst werden Analyse Typ A Unsicherheitsbeitrag des k-ten Teilergebnisses arith. Mittelwert m 1 n m = x = i = x 1 i n empirische Standardabweichung 1 n der Stichprobe s = (x i 1 i m) n 1 = Standardabweichung des s Ist n klein so soll die Mittelwerts, entspricht dem Typ A s m = = u A Student t Verteilung n Unsicherheitsbeitrag berücksichtigt werden. Analyse Typ B Unsicherheitsbeitrag des k-ten Teilergebnisses Nullpunktsabweichung Garantiefehlergrenze =a N Rechtecksfehler (a N Bereichsbreite) Empfindlichkeitsabweichung Garantiefehlergrenze =a E Rechtecksverteilung (a E Bereichsbreite) Zusätzlicher Fehler aus der Geräte Spezifikation= a Z Gaussverteilung (z.b durch Hersteller bekannt) Zusammenfassung aller 1 1 Standardabweichung der Unsicherheitsbeiträge nach Typ B u B = an + ae + a Z Typ B Unsicherheit 3 3 Analyse resultierender Unsicherheitsbeitrag des k-ten Teilergebnisses Für eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von resultierende Messunsicherheit u RES = k u A + ub 68% ist k=1 für 95% ist k= Korrektion des Messleitungswiderstandes Zusatzmessung (z.b. Messung Leitungswiderstand) kor Korrekturfaktor des Mittelwertes Ergebnis für den besten Schätzer für m m-kor=f mk k Index des k-ten Teilerebnisses Fehlerfortpflanzungsgesetz für die Unsicherheitsbeiträge der k Teilmessungen Verketteter Unsicherheitsbeitrag der Teilmessung u RES,k = s fk Wahrscheinlichkeitsniveau angeben Verketteter Unsicherheitsbeitrag N F Wahrscheinlichkeitsniveau angeben der Gesamtmessung s F = s fk k 1 ergibt ± Abweichung d. Resultats f = k (vgl. Seite 3) Mittelwert der Gesamtmessung F m =F(f m1, f m,..f mn ). als der beste Schätzwert wobei hier schon die Korrektion berücksichtigt sei. Messunsicherheit / SS 005 /Seite5

26 5 Kalibrieren elektrischer Grössen - Rückverfolgbarkeit Die Kalibrierung ist eine Vergleichsmessung mit einer bekannten Referenz. Die Genauigkeit dieser Messung wird mit dem Kalibrierschein nachgewiesen. Mit einem anerkannten Kalibrierschein ist die Rückführung der Kalibriermessung auf das jeweilige nationale Normal gegeben und somit die internationale Vergleichbarkeit garantiert. Der Vorgang des Kalibrierens ist in internationalen und nationalen Normen 17 festgelegt und ist damit ein wesentlicher Grundstein für eine Qualitätssicherung in der Industrie. Erst die Kalibrierung erlaubt es einem Hersteller eines Voltmeters dem Kunden einen Garantiefehler von z.b. 0.1% verlässlich anzugeben. Fig. 8 Die Kalibrierung ist Teil des internationalen Qualitätssystems. 17 VDI Richtlinie 6, Kalibrieren von Messmitteln für elektrische Grössen, Beuth Verlag Berlin, Jan 001 Messmittelüberwachung DIN ISO , Prüfmittelüberwachung DIN EN ISO 9000 Messunsicherheit / SS 005 /Seite6

27 International harmonisierte Angabe der Meßunsicherheit? 18 Akkreditierende Körperschaften haben die Verantwortung, sicherzustellen, daß die von ihnen akkreditierten Laboratorien in ihren Tätigkeiten den in der Europäischen Norm EN gestellten Forderungen entsprechen. Sofern die Körperschaften das Problem der Bestimmung einer quantitativen Unsicherheitsangabe angehen, lieferten die in der Vergangenheit veröffentlichten Leitfäden meist nur ein grobes und selten konsistentes Vorgehensmuster. In den letzten Jahren wird von den akkreditierenden Körperschaften, wie etwa dem DAR oder dem DKD, und anderen bedeutenden metrologisch orientierten Organisationen (EUROMET - European Collaboration on Measurement Standards)) mehr und mehr eine allgemeine Vorgehensweise akzeptiert. Sie fußt auf den Begriffen und Verfahren, die in dem ISO/BIPMLeitfaden veröffentlicht und von den internationalen Dachinstitutionen auf dem Gebiet der Messtechnik als grundlegend und allgemein verbindlich anerkannt wurden. Dieser Leitfaden, der in deutscher Übersetzung vom Deutschen Institut für Normung herausgegeben wird, ist mit einem Umfang von 11 Seiten ein im wahrsten Sinne des Wortes gewichtiges Dokument. Verschiedene Institutionen, unter ihnen auch der DKD, haben deshalb vereinfachte und verfahrenorientierte Leitfäden aus dem Guide abgeleitet oder sind dabei, dies zu tun. Die akkreditierenden Körperschaften, die sich in der European cooperation for Accreditation5 (EA, früher EAL - European cooperation for Accreditation of Laboratories) zusammengefunden haben, haben auf der Grundlage des ISO/BIPM-Leitfadens ihre Vorschriften über die Berechnung der Meßunsicherheiten bei Prüfungen und Kalibrierungen harmonisiert und als Dokument EAL-R [4,5,6] vorgelegt. Es ist in deutscher Übersetzung als DKD-3 unter den Schriften des DKD erschienen. 18 W. Kessler, Fachbeitrag aus den PTB-Mitteilungen 108 (1998), S ; Messunsicherheit / SS 005 /Seite7

28 5.1 Grundlagen der Kalibrierung Das Kalibrieren, das Vergleichen des Ergebniswerts eines Messobjektes mit der zu Grunde liegenden genaueren Referenz, Normal kann selbst wieder nur mit einer gewissen Unsicherheit erfolgen. Es können folgende Unsicherheitsquellen auftreten: 19 Unsicherheit des zu kalibrierenden Messobjekt selbst Kalibrierung, Abgleich, Drift, Linearität, Auflösung, Rauschen, Temperatur und andere Umgebungseinflüsse Unsicherheit der Referenz Schaltungsaufbau Ein- und Ausgangsimpedanz, Leitungs- und Kontaktübergangswiderstand, Isolationswiderstände, Thermospannung, Rauschquellen, Schirmung und Erdungsverhältnisse, Leitungsführung, elektromagnetische Beeinflussung. Beobachter, Messverfahren Auswahl der Eingangs- und der Einflussgrössen, Ablese- und Programmfehler Messunsicherheitsbudget bei der Kalibrierung Ein Beispiel für die Berechnung die Messunsicherheiten nach anerkannten Methoden 0 zeigt nachfolgende Tabelle 4. Dabei wird ein 6½-stelligen Digital- Multimeter mit einem kommerziellen Kalibrator(Referenzspannungsquelle) kalibriert. Tab. 4 Der Kalibrator hat nach Datenblatt eine beigeordnete relative Messunsicherheit von (Erweiterungsfaktor k= für 95% Wahrscheinlichkeit; es liegt eine Normalverteilung vor) Die Messunsicherheit des Digital-Multimeters soll durch den Quantisierungsfehler dominiert werden. Der Messunsicherheitsbeitrag verursacht durch den Schaltungsaufbau bzw. durch Impedanzanpassung kann vernachlässigt werden. 1 Standardmessunsicherheit Varianz Quelle der Messunsicherheit k=1 in 10-1 in 10-6 Messunsicherheit bei 19V - Normalverteilung 3 9 Kalibrator zeitlicher Drift - Rechteckverteilung ± 4 * 5,33 Gesamt-Unsicherheit Kalibrator 3,79 14,33 Quantisierungsfehler 6 ½ stellig -Rechteckverteilung ± 0,50 * 0,08 Empirische Standardabweichung d. Mittelwerts, 1,03 Digital-Multimeter 5 Einzelmessungen; Student-t Verteilung 1,06 Gesamt-Unsicherheit Multimeter 1,07 1,14 Messunsicherheit Kalibrator inklusive Multimeter 3,93 15,47 erweiterte Messunsicherheit k= (95% Vertrauensbereich) für die Kalibrierung für k= Anmerkung: Datenblattangaben mit vergleichbaren Messgeräten zu obigen Kennwerten Messunsicherheit: Calibrator/Source Keithley 63; Messbereich 0V: 175ppm Messwert + 500µV; für 1 Jahr bei (3±5)ºC Messunsicherheit 6½-Multimeter Keithley 000; Messbereich 10V: 30ppm Messwert + 5ppm Messbereich; für 1 Jahr bei (3±5)ºC. 19 U. Feller; Bulletin SEV 80 (1989), S und Bulletin SEV 80 (1989), S VDI Richtlinie 6, Kalibrieren von Messmitteln für elektrische Grössen, Beuth Verlag Berlin, Jan 001 Messmittelüberwachung DIN ISO , Prüfmittelüberwachung DIN EN ISO H. Bachmair, M. Klonz; 147. PTB-Seminar Einsatz komplexer elektronischer Präzisionsmessgeräte in Kalibrierlaboratori ; 5.Mai 1999; PTB-Bericht PTB-E-64; ISBN Messunsicherheit / SS 005 /Seite8