f(x + h) f(x) Ableitungsfunktion (kurz: Bemerkung 6.2: Ist eine Funktion an einem Punkt differenzierbar, so ist sie dort auch stetig:

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1 Kapitel 6 Differentialrecnung 6. Definitionen un Sätze Im Prinzip könnten ie meisten er folgenen Überlegungen un Definitionen one große Änerungen für komplexe Funktionen f : C C urcgefürt weren. Wir bescränken uns ier jeoc auf reelle Funktionen f : R R. Zunäcst ie Definition einer Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen : Definition 6.: (Die Ableitung einer Funktion) Eine Funktion f : D R eißt ifferenzierbar am Punkt x, wenn er Grenzwert f f(x + ) f(x) (x) := lim 0 existiert. Der Grenzwert f (x) eißt Ableitung von f am Punkt x. Alternative Screibweisen (mit y = f(x)): y x = y (x) = x f(x) = f (x). Ist f an jeem Punkt x es Definitionsbereics D ifferenzierbar, so eißt ie Abbilung f : x f (x) Ableitungsfunktion (kurz: Ableitung von f ) Bemerkung 6.2: Ist eine Funktion an einem Punkt ifferenzierbar, so ist sie ort auc stetig: f(x + ) f(x) lim 0 existiert f(x + ) f(x) = O() f(x + ) = f(x) + O() lim f(x + ) = f(x). 0 Damit kann eine Funktion nur an Stetigkeitspunkten ifferenzierbar sein. 83

2 84 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Geometrisce Interpretation er Ableitung 6.3: Für kleines x = 0 ist er Differenzenquotient f f(x + x) f(x) f(x + ) f(x) = = f (x) x (x + ) x ie Sekantensteigung vom Punkt (x, f(x)) zum Punkt (x +, f(x + )) auf em Grapen von x: Die Ableitung f (x) selbst,.., er Grenzwert er Sekantensteigung für x = 0, ist ie Steigung er Tangente an en Grapen von f am Punkt x. Zur Erinnerung an ie Scule: ie Tangente T urc en Punkt (x 0, f(x 0 )) mit er Steigung f (x 0 ) ist er Grap er linearen Funktion T (x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ). Interpretation er Ableitung 6.4: Die Ableitung gibt an, wie stark sic f(x) änert, wenn sic x um einen kleinen Wert x änert: f(x + x) f(x) x f (x),.. f(x + x) f(x) + f (x) x.

3 6.. DEFINITIONEN UND SÄTZE 85 Die Definition er Ableitung über en Grenzwert von Sekantensteigungen ist praktisc unnütz, a nur in en allereinfacsten Fällen anabbar, z.b., bei: Beispiel 6.5: Betracte f(x) = x 2 : f f(x + ) f(x) (x + ) 2 x 2 (x) = lim = lim 0 0 x x + 2 x 2 2 x + 2 = lim = lim = lim (2 x + ) = 2 x Für as praktisce Recnen verläßt man sic wieerum auf Recenregeln: Satz 6.6: (Recenregeln für s Ableiten) Ableitungen einiger spezieller Funktionen (sei ierbei c eine konstante Zal): x c = 0, x xn = n x n, x ex = e x, x ln(x) = x, sin(x) = cos(x), cos(x) = sin(x). x x Die Ableitung einer aus einfacen Funktionen zusammengesetzten Funktion ist über folgene Regeln zu berecnen. Seien f un g ifferenzierbare Funktionen. Die Ableitung er zusammengesetzten Funktion (f + g, f g etc.) existiert jeweils, wenn f un g ableitbar sin: x c f(x) = c f (x), ( ) f(x) + g(x) = f (x) + g (x) ( Summenregel ), x x f(x) g(x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( Prouktregel ) x f(x) g(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) 2 ( Quotientenregel ). Bei er Quotientenregel wir g(x) 0 vorausgesetzt (sonst teilt man urc 0). Beweis: Die Ableitung von x n, e x, sin(x), cos(x) wir in Übungsaufgaben beanelt. Die Ableitung von ln(x) wir später in Beispiel 6.8 ergeleitet. Die Linearität (c f) = c f un (f + g) = f + g folgt unmittelbar aus en Recenregeln für Grenzwerte von Funktionen. Die Prouktregel ergibt sic urc en Grenzwert von f(x + ) g(x + ) f(x) g(x)

4 86 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG = f(x + ) f(x) g(x + ) + f(x) für 0. Die Ableitung von /g(x) ergibt sic aus zu g(x+) g(x) g(x + ) g(x) g(x + ) g(x) = g(x + ) g(x) ( ) g (x) = g(x) g(x) 2. Zusammen mit er Prouktregel liefert ies ie Quotientenregel ( f(x) ) ( ) f (x) = f(x) = g(x) g(x) g(x) f(x) g (x) g(x) 2. Q.E.D. Beispiel 6.7: x 3 x = x x 3 = 3 x 3 = 3 x 2 3 = 3 x 2 3 = 3 3 x 2. Beispiel 6.8: Summen- un Prouktregel: = x ( x + x 2 e x) ( ) = x x + (x 2 e x) x ( x x ) + ( x x2) e x + x 2 ( x ex) = + 2 x e x + x 2 e x. Beispiel 6.9: Quotientenregel: x e x x = ( x ex ) x e x ( ) x x x 2 = ex x e x x 2 = ex x ex x 2.

5 6.. DEFINITIONEN UND SÄTZE 87 Beispiel 6.0: = cos(x) e x = x x (( ) x cos(x) e x + cos(x) = ( ) x (cos(x) ex ) x cos(x) e x x 2 ( x ex )) x cos(x) e x x 2 ( sin(x) e x + cos(x) e x ) x cos(x) e x = sin(x) ex x + cos(x) e x x cos(x) e x x 2 x 2 sin(x) ex cos(x) ex cos(x) ex = + x x x 2. ( x x ) ( x x ) Beispiel 6.: Bequemer get s mit MuPAD. Die Funktion iff ist für s Differenzieren von Ausrücken zustänig: >> iff(cos(x)*exp(x)/x, x) cos(x) exp(x) cos(x) exp(x) sin(x) exp(x) x 2 x x (Vergleice mit Beispiel 6.0.) Alternativ können Funktionen (aber keine Ausrücke) mittels ifferenziert weren: >> f:= x -> cos(x)*exp(x)/x: >> f (x) cos(x) exp(x) cos(x) exp(x) sin(x) exp(x) x 2 x x So setzt man konkrete Werte in ie Ableitung ein: >> f (), f (2) cos(2) exp(2) sin(2) exp(2) -sin() exp(),

6 88 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG >> f (PI) = float(f (PI)) exp(pi) exp(pi) = PI PI Wie stet s mit er Ableitung von Hintereinanerscaltungen ( Komposition ) von Funktionen wie z.b. sin( x )? Satz 6.2: (Die Kettenregel) Sei g : D g D f R ifferenzierbar am Punkt x D g. Sei f : D f R ifferenzierbar am Punkt g(x) D f. Dann ist ie Funktion (x) = f(g(x)) ifferenzierbar am Punkt x, un es gilt: x (x) = x f(g(x)) = f (g(x)) }{{} äußere Ableitung Als Merkregel für y = g(x), z = f(y) = f(g(x)): x g (x) }{{}. Ableitung innere f(g(x)) = z x = z y y x = f (y) g (x). Beweis: Es gilt = ( f g(x) + g(x+) g(x) f(g(x + )) f(g(x)) ) f(g(x)) g(x+) g(x) Für 0 konvergiert g(x+) g(x) ( f lim 0 g(x) + g(x+) g(x) g(x + ) g(x). gegen g (x) un k := g(x+) g(x) gegen 0: ) f(g(x)) g(x+) g(x) f(g(x) + k) f(g(x)) = lim = f (g(x)). k 0 k Q.E.D.

7 6.. DEFINITIONEN UND SÄTZE 89 Beispiel 6.3: Für g(x) = x gilt g (x) = x x 2 = 2 x 2 = 2 x 2 = 2 x. Zusammen mit f(y) = sin(y), f (y) = cos(y) folgt: x sin( x ) = }{{} y ( ) ( y sin(y) x ) x = cos(y) 2 = cos( x ) x 2 x. Definition 6.4: (Höere Ableitungun) Die Funktion f sei ifferenzierbar, sei f ie Ableitungsfunktion. Ist iese wieerum ifferenzierbar, so eißt f = (f ) ie zweite Ableitung von f. Ist iese wieerum ifferenzierbar, so eißt f = (f ) ie ritte Ableitung von f. Usw. Screibweisen für ie n-te Ableitung einer Funktion f: n x n f(x) = f (n) (x) = f n {}}{ (x). Die nullte Ableitung f (0) ist ie Funktion f selbst. Ist ie n-te Ableitung f (n) eine stetige Funktion in x, so eißt f n-fac stetig ifferenzierbar. Beispiel 6.5: Offensictlic gilt exp = exp = exp = exp etc. Die 4-te Ableitung er trigonometriscen Funktionen ist jeweils wieer ie Ausgangsfunktion: x sin(x) = cos(x), 2 x 2 sin(x) = sin(x), 3 x 3 sin(x) = cos(x), 4 x cos(x) = sin(x), 2 x 2 x 4 3 x 3 cos(x) = sin(x), 4 sin(x) = sin(x), cos(x) = cos(x), x 4 cos(x) = cos(x).

8 90 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Beispiel 6.6: Höere Ableitungen in MuPAD: >> iff(exp(x^2), x, x) // zweite Ableitung exp(x ) + 4 x exp(x ) >> n := 6: >> iff(exp(x^2), x $ n) // n-te Ableitung exp(x ) x exp(x ) x exp(x ) + 64 x exp(x ) Mit er Funktion subs (engl.: substitute = ersetze; gemeint ist: ersetze x urc einen Wert) kann man konkrete Werte in Ausrücke einsetzen. Berecne en Wert er 50-ten Ableitung von sin(x 2 ) e x an er Stelle x = 0: >> iff(sin(x^2)*exp(x), x $ 50): >> subs(%, x = 0) cos(0) exp(0) sin(0) exp(0) Hier kommt eine Besonereit von subs zutage: er ersetzte Ausruck wir nict sofort ausgewertet. D.. in iesem Fall, ass ie Vereinfacungen cos(0) =, exp(0) =, sin(0) = 0 nict automatisc gesceen. Die Funktion eval (engl.: evaluate = werte aus) erzwingt ie Evaluation: >> eval(%) Kennt man ie Ableitung einer invertierbaren Funktion f, so kennt man auc ie Ableitung er Umkerabbilung f. Es gilt f (f(y)) = y. Leitet man beie Seiten er Gleicung nac y ab, so liefert ie Kettenregel f (f(y)) f (y) = y y = = f (f(y)) = f (y).

9 6.2. DER MITTELWERTSATZ 9 Satz 6.7: (Ableitung er Inversen) Sei f ifferenzierbar un invertierbar, sei f ie Umkerfunktion. Ist f (y) 0, so ist f an er Stelle x = f(y) ifferenzierbar, un es gilt (f ) (x) = f (y) = f (f (x)). Merkregel: mit y = f (x), x = f(y): (f ) (x) = y x = x y = f (y). Beispiel 6.8: Für f = ln als Umkerfunktion er Funktion f = exp mit f = exp folgt mit x = exp(y), y = ln(x): x ln(x) = f (y) = exp(y) = exp(ln(x) = x. Hierbei ist x > 0 vorausgesetzt (amit ln(x) efiniert ist). Für x < 0 gilt x ln( x) = ln ( x) x ( x) = x ( ) = x. Für x > 0 ist x = x, für x < 0 ist x = x. Zusammengefaßt gilt amit: x ln( x ) = x für alle x 0. An er Stelle x = 0 ist ln( x ) unstetig un amit erst rect nict ifferenzierbar. 6.2 Der Mittelwertsatz Satz 6.9: (Der Satz von Rolle) Sei f : [a, b] R ifferenzierbar auf em Intervall [a, b]. Es gelte f(a) = f(b). Dann gibt es ein ξ (a, b) mit f (ξ) = 0. Beweis: O.b..A. sei f nict konstant (sonst ist ie Beauptung sicerlic rictig). Da f ifferenzierbar ist, ist f auc stetig. Nac Satz 4.22 gibt es ein Minimum oer ein Maximum ξ von f im Inneren es Intervalls (liegen sowol as Minimum als auc as Maximum am Ran, müßte ie Funktion konstant sein). Sei o.b..a. ξ ein Maximum (sonst betracte f). Mit f(ξ +) f(ξ) für jees folgt für ie einseitigen Grenzwerte f(ξ + ) f(ξ) lim 0, 0+0 Es folgt f f(ξ + ) f(ξ) (ξ) = lim = 0. 0 f(ξ + ) f(ξ) lim Q.E.D.

10 92 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Satz 6.20: (Der Mittelwertsatz) Sei f : [a, b] R ifferenzierbar auf em Intervall [a, b]. Dann gibt es ein ξ (a, b) mit f(a) f(b) = f (ξ). a b Beweis: Betracte g(x) = f(x) (f(a) f(b)) x b a b. Dies Funktion erfüllt g(a) = g(b) = f(b). Nac Satz 6.9 existiert ξ (a, b) mit g (ξ) = f (ξ) f(a) f(b) a b = 0. Q.E.D. 6.3 Taylor Reien Betracte folgene Funktion, ie nur in einer kleinen Umgebung eines Punktes x 0 bekannt ist (genauer: es sin f(x 0 ), f (x 0 ), f (x 0 ) etc. bekannt). Man interessiert sic für en Funktionswert an einem Punkt x in er Näe von x 0 : In allereinfacster Näerung würe man (für x ict bei x 0 ) f(x) f(x 0 ) setzen. Die näcstbessere Approximation bestet arin, er Tangente am Punkt x 0 zu folgen: f(x) f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ).

11 6.3. TAYLOR REIHEN 93 Im obigen Fall ist eutlic, ass er Funktionswert oberalb er Tangente zu sucen ist (ie Funktion ist gebogen : es gilt f (x 0 ) > 0). Es bietet sic an, einen quaratiscen Term inzuzufügen, um eine bessere Approximation zu erreicen: f(x) f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + c (x x 0 ) 2. Wie sollte ie Konstante c gewält weren, wie get es weiter? Vorüberlegung zu Taylor-Polynomen 6.2: Zu einer merfac ifferenzierbaren Funktion f fine ein Polynom T n (x) = c 0 + c (x x 0 ) + + c n (x x 0 ) n, ass sic an einem Punkt x 0 möglicst eng an en Grapen von f anscmiegt. D.., es soll gelten: f(x 0 ) = T n (x 0 ), f (x 0 ) = T n(x 0 ),..., f (n) (x 0 ) = T (n) n (x 0 ). Hierurc ist as Polynom eineutig bestimmt als T n (x) = f(x 0 )+f (x 0 ) (x x 0 )+ f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Begrünung: Die k-te Ableitung von T n an er Stelle x 0 ist f (k) (x 0 ) (!) = T (k) n (x 0 ) = c k (x x 0 ) 0 + c k+ (k + ) k 2 (x x 0 ) x=x0 + = c k c k = f (k) (x 0 ). Definition 6.22: (Taylor Polynome un Reien) Sei f merfac am Punkt x 0 ifferenzierbar. Das Polynom T n (x) = n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k eißt Taylor Polynom n-ten Graes von f am Entwicklungspunkt x 0. Die unenlice Reie T (x) = f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k eißt Taylor Reie von f am Entwicklungspunkt x 0.

12 94 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Wozu Taylor Polynome? Taylor Polynome ienen azu, komplizierte Funktionen in unmittelbarer Umgebung eines Punktes x 0 urc einface Funktionen, nämlic Polynome, zu approximieren. Daurc kann man oft as Veralten er Funktion in er Näe spezieller Punkte einfac stuieren Taylor Polynome näern ie Funktion an für Werte x, ie ict beim Entwicklungspunkt x 0 liegen: T n (x) f(x). Je öer n un je kleiner er Abstan x x 0, um so besser ist ie Approximation. Hier eine Grapik einiger Taylor Polynome er Funktion f(x) = sin(x) um en Punkt x 0 = 0: Eine erste Taylor Reienberecnung: Beispiel 6.23: Wir berecnen ie Taylor Reie von f(x) = e x um x 0 = 0. Wegen f(x 0 ) = f (x 0 ) = f (x 0 ) = = e x0 = e 0 = ist ie Taylor Reie e x = +! (x 0) + 2! (x 0)2 + = + x + x Die in Beispiel 3.24 vorgestellte Reienarstellung er Exponentialfunktion ist also nicts aneres als ie Taylor Entwicklung um en Nullpunkt. Das selbe gilt für ie Reienarstellung er trigonometriscen Funktionen aus Definition 5.0: mit f(x) = sin(x), f (x) = cos(x), f (x) = sin(x), f (3) (x) = cos(x), f (4) (x) = sin(x) folgt f (0) (0) = f (4) (0) = f (8) (0) =... = 0, f () (0) = f (5) (0) = f (9) (0) =... =, f (2) (0) = f (6) (0) = f (0) (0) =... = 0, f (3) (0) = f (7) (0) = f () (0) =... = sin(x) = f (k) (0) x k = x x3 3! + x5 5!.

13 6.3. TAYLOR REIHEN 95 Analog für f(x) = cos(x): cos(x) = f (k) (0) x k = x2 2! + x4 4!. Nun eine Anwenung er Taylor Entwicklung: Beispiel 6.24: (Vergleice auc mit Beispiel 4.2) Betracte ie Funktion cos(x) x f(x) = 2 für x 0, für x = 0. 2 Wir beaupten, ass f auc an er Stelle x = 0 stetig ist. Wir approximieren cos(x) urc ie Taylor Entwicklung um en Punkt x 0 = 0. Für x 0 gilt ( ) f(x) = cos(x) x2 2 + O(x4 ) x 2 2 x 2 = x 2 = + O(x4 ) x 2 = 2 + O(x4 ) x 2 = 2 + O(x2 ). Hiermit ist nun klar: ( ) lim f(x) = lim x 0 x O(x2 ) = 2. Beispiel 6.25: In MuPAD ist ie Funktion taylor afür zustänig, en Beginn einer Taylor Entwicklung zu berecnen: >> taylor(exp(x), x = 0) x x x x 6 + x O(x ) Die Taylor Entwicklung von f(x) = x um x 0 = 0 ist ie geometrisce Reie aus Beispiel 3.3. Es weren 0 Terme berecnet: >> taylor(/( - x), x = 0, 0) x + x + x + x + x + x + x + x + x + O(x ) Der folgene Befel berecnet eine Taylor Entwicklung um x 0 = π:

14 96 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG >> taylor(2 + sin(x)*cos(x), x = PI) (x - PI) 2 (x - PI) (x - PI) O((x - PI) ) 3 5 Beispiel 6.26: Betracte f(x) = x = ( x) 2. Wie kann man Werte f(x) für kleines x one tecnisce Hilfsmittel ausrecnen? Zunäcst ie Berecnung er ersten Taylor Polynome. Als Entwicklungspunkt wälen wir x 0 = 0, a wir uns für kleine Werte von x interessieren. Man brauct Ableitungen von f(x) am Entwicklungspunkt x 0 = 0: Hiermit folgt ie Entwicklung f(x) = ( x) 2, f(0) = 0, f (x) = 2 ( x) 2, f (0) = 2, f (x) = 4 ( x) 3 2, f (0) = 4,... f(x) = x f(0) + f (0) (x x 0 ) + f (0) 2! (x x 0 ) 2 + = 0 + x 2 + x Nun ja, ie Terme er Entwicklung sin in er Tat so alle berecenbar, aber as ist ziemlic müselig. Bequemer mit MuPAD: >> taylor( - sqrt( - x), x) x x x 5 x 7 x O(x ) Aus iesen Taylor Approximationen bekommt man z.b. für x = 0.: f(0.) = = = Man siet er Entwicklung geraezu an, ass ie noc nict berücksictigten Terme er Entwicklung ie angegebenen Dezimalstellen nict mer beeinflussen,.., ie ersten 3 bis 4 Ziffern sin korrekt. Probe mit MuPAD:

15 6.3. TAYLOR REIHEN 97 >> - sqrt(0.9) Für Taylor Polynome enlicen Graes ist es zuminestens intuitiv klar, ass sie eine Approximation er Funktion liefern, wenn nur x ict genug beim Entwicklungspunkt x 0 liegt. Es verbleibt jeoc zu klären, ob ie unenlice Reie gegen f(x) konvergiert (bzw., wie weit entfernt x von x 0 liegen arf, amit f(x) urc ie Taylor Reie argestellt wir). Satz 6.27: (Restglieformel er Taylor Approximation) Sei f(x) in einer Umgebung es Punktes x 0 (n + )-fac stetig ifferenzierbar. Sei x aus ieser Umgebung. Dann existiert ein Punkt ξ im offenen Intervall zwiscen x un x 0, so ass gilt: n f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k + f (n+) (ξ) (x x 0 ) n+. }{{} Taylor Polynom vom Gra n (n + )! }{{} Restglie Beweis: (für tecnisc Interessierte) Wir alten x fest un fassen as Taylor Polynom als Funktion es Entwicklungspunkts x 0 auf: n f (k) (t) T n (t) = (x t) k. Die Ableitung ieser Funktion ist eine Teleskopsumme: n t T f (k+) (t) n n(t) = (x t) k f (k) (t) = = n n f (k+) (t) f (k+) (t) (x t) k = f (n+) (t) (x t) n. n! Betracte ie Hilfsfunktion n k= n (x t) k k (x t) k f (k) (t) (x t)k (k )! f (k+) (t) (x t) k g(t) = (x x 0 ) n+ T n (t) + (x t) n+ (f(x) T n (x 0 )) mit festem x un x 0, für ie g(x 0 ) = (x x 0 ) n+ T n (x 0 ) + (x x 0 ) n+ (f(x) T n (x 0 )) g(x) = (x x 0 ) n+ f(x), = (x x 0 ) n+ T n (x) = (x x 0 ) n+ f(x)

16 98 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG gilt, also g(x) = g(x 0 ). Nac em Satz von Rolle 6.9 gibt es ein ξ im offenen Intervall zwiscen x un x 0, wo ie Ableitung t g(t) = (x x 0) n+ t T n(t) (n + ) (x t) n (f(x) T n (x 0 )) = (x x 0 ) n+ f (n+) (t) (x t) n (n + ) (x t) n (f(x) T n (x 0 )) n! ( = (x t) n (x x 0 ) n+ f (n+) (t) ) (n + ) (f(x) T n (x 0 )) n! verscwinet: ( 0 = (x ξ) n (x x 0 ) n+ f (n+) (ξ) ) (n + ) (f(x) T n (x 0 )) n! f(x) T n (x 0 ) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0 ) n+. Q.E.D. Interpretation 6.28: Das Restglie f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0 ) n+ = f(x) n k= f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k ist ie Differenz zwiscen er Funktion f(x) un em n-ten Taylor Polynom um x 0. Die Funktion wir genau ann urc ie unenlice Taylor Reie argestellt, wenn as Restglie bei festem x, x 0 für n gegen 0 konvergiert. Sin z.b. alle Ableitungen von f bescränkt, so ist ies für beliebiges x un x 0 er Fall, enn n! wäcst scneller gegeben als x x 0 n für jeen Wert von x x 0. Dies erklärt z.b., ass ie trigonometriscen Funktionen sin un cos, eren Ableitungen nur Werte in [, ] annemen, global urc ire Taylor Reien argestellt weren (wir aben sie in Definition 5.0 ja auc über iese Reien eingefürt). Beispiel 6.29: Wir betracten ie Taylor Entwicklung von f(x) = ln( + x) um en Punkt x 0 = 0: f(x) = ln( + x), f (x) = + x, f (x) = ( + x) 2, f (3) 2 (x) = ( + x) 3,..., f (k) (x) = ( )k (k )! ( + x) k.

17 6.4. MONOTONIE, EXTREMWERTE 99 Mit f (k) (0) = ( ) k (k )! folgt als Taylor Reie ln( + x) = f (k) (0) x k = ( ) k xk k = x x2 2 + x3 3, k= ie ie Funktion arstellt, solange ie Restglieer f (n+) (ξ) (n + )! x n+ = ( ) n x n+ ( + ξ) n+ (n + ) gegen 0 konvergieren. Dies ist für positives x mit 0 < ξ < x offensictlic er Fall: x n+ ( + ξ) n+ (n + ) xn+ n + n 0. n + Speziell für x = ergibt sic er Wert er alternierenen armoniscen Reie: ln(2) = ±. Für negatives x 2 gilt 2 x < ξ < 0: x n+ x n+ ( + ξ) n+ = (n + ) ( + ξ) n+ (n + ) (/2) n+ (/2) n+ (n + ) = n 0, n +.., auc ier konvergiert as Restglie gegen 0. Weiterin konvergiert ie Taylor Reie auc für < x < 2 gegen ln( + x), was wir aus unserer Restglieformel allerings nict erausbekommen (es gibt alternative Restglieformeln, ie ieses Resultat liefern). Zusammengefaßt: ln( + x) = x x2 2 + x3 ± für x (, ]. 3 Für x > sowie für x = ivergiert ie Taylor Reie. 6.4 Monotonie, Extremwerte Eine er wictigsten Anwenungen er Differentiation ist as Auffinen von Extremwerten. Dazu stellen wir zunäcst fest, ass Ableitungswerte (= Tangentensteigungen) auf ansteigenes oer abfallenes Veralten er Funktion inweisen: Satz 6.30: (Ableitungen weisen auf Monotonie in) Sei f ifferenzierbar, ie Ableitungsfunktion f sei stetig. Gilt f (x 0 ) > 0, so ist f auf einer Umgebung von x 0 streng monoton steigen. Gilt f (x 0 ) < 0, so ist f auf einer Umgebung von x 0 streng monoton fallen

18 00 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Beweis: Da f stetig ist, gilt für f (x 0 ) > 0, ass f auc noc auf einer Umgebung von x 0 positiv ist. Für x, y aus ieser Umgebung von x 0 mit x < y liefert er Mittelwertsatz 6.20 f(y) f(x) = f (ξ) (y x) > 0 mit einem Zwiscenwert ξ zwiscen x un y. Damit ist f(x) monoton steigen auf einer Umgebung es Punktes x, auf er für en Zwiscenwert f (ξ) > 0 gilt. Analog folgt, ass f(x) monoton fallen ist, wenn mit f (x 0 ) < 0 ie Ableitung auf einer Umgebung von x 0 negative Werte annimmt. Q.E.D. Intuitiv: mit er Interpretation er Ableitung 6.4 ist ies unmittelbar klar. Für kleines x gilt: f(x 0 + x) f(x 0 ) + f (x 0 ) x. Extrema sin ie Stellen, wo ie Funktion auf er einen Seite steigen, auf er aneren Seite fallen ist: Satz 6.3: (An Extremstellen verscwinet ie Ableitung) Sei f ifferenzierbar. Ist ie Stelle x 0 ein (lokales) Maximum oer Minimum, so gilt f (x 0 ) = 0. Man finet also alle Kaniaten für Extremstellen einer Funktion f, inem man ie Nullstellen von f suct. Beweis: Genau wie im Beweis es Satzes von Rolle 6.9. Q.E.D. Beispiel 6.32: Betracte f(x) = 2 x x 2 : x f(x) = x (2 x x2 ) = 2 2 x (!) = 0 = x =. Damit ist x 0 = er einzige Punkt, an em (möglicerweise) ein Extremum vorliegen kann. Es gibt allerings Stellen x 0 mit f (x 0 ) = 0, ie keine Extremstellen (sonern sogenannte Sattelpunkte ) sin. Beispiel: ie Funktion f(x) = x 3 ist streng monoton steigen. Am Punkt x 0 = 0 gilt f (x 0 ) = 3 x 2 0 = 0, aber x 0 ist kein Extremum.

19 6.4. MONOTONIE, EXTREMWERTE 0 Satz 6.33: (Hinreicene Kriterien für Extrema) Sei f merfac ifferenzierbar. Gilt an einer Stelle x 0 so ist x 0 ein lokales Maximum. Gilt so ist x 0 ein lokales Minimum. f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) < 0, f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) > 0, Beweis : Approximiere f(x) in einer Umgebung von x 0 urc as Taylor Polynom zweiten Graes: f(x) f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) 2 An einem Punkt x 0 mit f (x 0 ) = 0 gilt näerungsweise: f(x) f(x 0 ) + f (x 0 ) 2 (x x 0 ) 2. (x x 0 ) 2. Da (x x 0 ) 2 > 0 für x x 0 ist, sin ie Funktionswerte in er Umgebung größer als f(x 0 ), wenn f (x 0 ) > 0 gilt (Minimum). Für f (x 0 ) < 0 sin ie Funktionswerte in er Umgebung kleiner als f(x 0 ) (Maximum). Beispiel 6.34: Betracte f(x) = x + 4 x 2 x 4 : >> f:= x -> x + 4*x^2 - x^4 - : >> plotfunc2(f(x), x = -2..2) Um ie Kaniaten für ie Extrema zu finen, weren (numerisce Approximationen er) Lösungen er Gleicung f (x) = 0 berecnet. Für numerisce Lösungen sin ie MuPAD-Funktionen numeric::solve oer auc numeric::fsolve zustänig. Für polynomiale Gleicungen wir eine Menge aller Lösungen geliefert. Die einzelnen Lösungen lassen sic urc inizierten Zugriff Kaniaten[] etc. auswälen:

20 02 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG >> Kaniaten:= numeric::solve(f (x) = 0, x) { , , } Diese Werte weren in ie 2-te Ableitung von f eingesetzt: >> f (Kaniaten[]) >> f (Kaniaten[2]) >> f (Kaniaten[3]) Nac Satz 6.33 ist er erste Kaniat ein Maximum, er zweite Kaniat ein Minimum, er ritte Kaniat ein Maximum. Die Grapik bestätigt ies. 6.5 Die e l Hospitalsce Regel In 0 0 Situationen kann man urc Ableiten auc Grenzwerte bestimmen. Satz 6.35: (e l Hospitalsce Regel) Seien f un g ifferenzierbar, es gelte f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0. Dann gilt falls er recte Grenzwert existiert. f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x), Beweis: Intuitiv: Approximiere Zäler un Nenner urc as Taylor Polynom ersten Graes: f(x) g(x) f(x 0) + f (x 0 ) (x x 0 ) g(x 0 ) + g (x 0 ) (x x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) g (x 0 ) (x x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ). Für eine saubere Durcfürung es Beweises benutze man en Mittelwertsatz 6.20 (unter er Zusatzanname, ass f un g stetig seien. Die Regel gilt aber auc one iese Stetigkeit.) Q.E.D. Beispiel 6.36: Betracte erneut ie Funktion e x für x 0, f(x) = x für x = 0

21 6.5. DIE DE L HOSPITALSCHE REGEL 03 aus Beispiel 4.2. Für en Punkt x 0 = 0 liegt eine 0 0 Situation vor. Mit e l Hospital folgt e x lim = lim x 0 x x 0 x (ex ) e x x x = lim x 0 = lim x 0 ex = e 0 =, wobei in jeem Scritt ie Existenz es jeweils rects steenen Grenzwerts vorausgesetzt wir (was gerectfertigt ist, sobal man ganz rects angekommen ist). Die e l Hospitalsce Regel kann auc merfac intereinaner angewenet weren: e 2 x 2 x Beispiel 6.37: Betracte lim x 0 x 2. Nac einer Anwenung von e l Hospital trifft man beim Quotienten er Ableitungen wieer auf eine 0 0 Situation un kann e l Hospital erneut anwenen: e 2 x 2 x lim x 0 x 2 = lim x 0 e 2 x = lim = lim x 0 x x 0 (e2 x x 2 x) 2 e 2 x 2 = lim x x2 x 0 2 x (e2 x x ) 2 e 2 x x x = lim = 2 e 2 0 = 2. x 0 Bemerkung 6.38: Die e l Hospitalsce Regel f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) gilt auc für lim x x 0 f(x) = lim x x 0 g(x) =. Beispiel 6.39: Mit f(x) = ln(x + ), g(x) = ln(x), f (x) = x+, g (x) = x : ln(x + ) lim = lim x ln(x) x x+ x x ( ) = lim = lim x x + x =, wobei in ( ) e l Hospital ein zweites Mal angewenet wure. Beispiel 6.40: Mit kleinen Tricks bekommt man eine e l Hospital-Tecnik auc sofort für Situationen wie z.b. 0 oer auc. Für 0 ist er Stanartrick, als /0 (oer mancmal 0 als / ) zu screiben. Z.B.: lim x e /x x (e/x x ) = lim = lim (e/x ) x /x x x x

22 04 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG x e /x = lim 2 x = lim x 2 x e/x =. Hierbei wure ie ursprünglice 0 Situation urc as Umscreiben x = eine 0 0 Situation verwanelt, auf ie e l Hospital anwenbar ist. /x in Für eine Situation ist er Stanartrick, ie ientisce Abbilung in er Form y = exp(ln(y)) einzubringen, was ie Situation in ein 0 Problem verwanelt (welces ann wie oben zu beaneln ist). Beispiel: lim x 0+0 xx = lim x 0+0 eln(xx) = lim ex ln(x) = e lim (x ln(x)) x 0+0. x 0+0 Hier ist as 0 ( ) Problem lim x 0+0 x ln(x) entstanen, was wie oben per e l Hospital gelöst wir, inem es in ein Problem (genauer: in ein Problem) umgescrieben wir: lim x ln(x) = lim ln(x) x 0+0 x 0+0 /x = lim x 0+0 x x ln(x) x lim x 0+0 xx = e lim x ln(x) x 0+0 = e 0 =. Der Grenzwert wir urc ie folgene MuPAD Grapik bestätigt: >> plotfunc2(x^x, x = 0.., ViewingBox = [0.., 0..]) x = lim x 0+0 = lim ( x) = 0 x 2 x 0+0