Numerische Untersuchung der Windlasten auf pyramidenförmige Körper Sunwater Factory

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1 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Foysi Numerische Untersuchung der Windlasten auf pyramidenförmige Körper Sunwater Factory Bachelorarbeit von Maria Höffer 1. Prüfer: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Holger Foysi 2. Prüfer: Dipl.-Ing. Jörg Franke März 2012

2 Vertretungsprofessur Dr.-Ing. Jörg Franke UNIVERSITÄT SIEGEN IFT - Department Maschinenbau Siegen Paul-Bonatz Strasse Siegen Telefon Telefax joerg.franke@uni-siegen.de Siegen, 15. April 2011 Studien-, Bachelor-, Master- oder Diplomarbeit (ab ) Numerische Untersuchung der Windlasten auf pyramidenförmige Körper Sunwater-Factory Die SUNWATER-FACTORY ( ist eine einfache und effektive Vorrichtung, um in abgelegenen Regionen, sog. Remote Areas, chemisch oder/und bakteriell belastetes Wasser zu reinigen und als Trinkwasser zu gewinnen. Durch die Sonneneinstrahlung verdunstet das belastete Wasser und kondensiert an der Innenseite der Pyramide, wo es schließlich gereinigt in die Auffangrinne tropft. Das System ist modular aufgebaut und erzeugt pro Einheit bis zu 1,5 Liter Trinkwasser, abhängig von der Sonneneinstrahlung, täglich. Im Testbetrieb (auch auf dem Dach des AR-Gebäudes, wo die Anlage zusammen mit Herrn Krah besichtigt werden kann) hat sich gezeigt, dass die Anlagen sehr stark auf Wind reagieren. Zur besseren Dimensionierung der Befestigung der Anlagen sollen in dieser Arbeit die windinduzierten Kräfte durch numerische Strömungssimulationen untersucht werden. Aufgaben im Detail: Literaturrecherche zu Windlasten auf Pyramiden Gittergenerierung um ein pyramidenförmiges Modul mit ICEM CFD Strömungssimulation um ein pyramidenförmiges Modul mit FLUENT oder OpenFOAM Gittergenerierung und Strömungssimulation für mehrere Module Dokumentation der Gittergenerierung und Simulationen, Darstellung der Ergebnisse Der Umfang wird der jeweiligen Arbeit (Studien-, Bachelor-, Master- oder Diplomarbeit) angepasst. Betreuer: Dr.-Ing. Jörg Franke (Tel.: , joerg.franke@uni-siegen.de ) Dipl.-Kfm. Eckehard Krah (Tel.: 02736/ , info@eckehardkrah.de )

3 Inhaltsverzeichnis Eidesstattliche Erklärung Symbolverzeichnis V VI 1 Einleitung Windlasten Pyramiden Sunwater-Factory c Zielsetzung und Struktur der Arbeit Grundgleichungen der Strömungsmechanik RANS Gleichungen für inkompressible Strömungen Das Turbulenzmodell Wandfunktionen Sandkornrauheit Numerisches Verfahren Das Rechengitter Finite-Volumen-Verfahren Approximation lokaler Werte Approximation des diffusiven Terms Das algebraische Gleichungssystem Unterrelaxation Untersuchte Fälle Pyramide von Ikhwan Geometrie Messtrecke Scharfkantige Pyramide Geometrie Kontrollraum Gitter Scharfkantige Pyramide mit Sockel Geometrie Kontrollraum III

4 Inhaltsverzeichnis Gitter verfeinertes Gitter Sunwater-Factory c Geometrie Kontrollraum Gitter Pyramidenfeld Geometrie Kontrollraum Gitter Randbedingungen Ergebnisse Iterative Konvergenz Ausgewertete Größen Kraftbeiwerte Druckverteilung Geschwindigkeiten und Turbulenz Pyramidenfeld Kraftbeiwerte Druckverteilung Geschwindigkeiten und Turbulenz Schlussfolgerung und Ausblick 66 7 Anhang IX 7.1 Maße der einzelnen Kontrollräume IX 7.2 Einfluss der Reynoldszahl XI IV

5 Eidesstattliche Erklärung Hiermit erkläre ich, Maria Höffer, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne unerlaubte fremde Hilfe angefertigt und andere als die angegebenen Quellen nicht benutzt habe. Die aus fremden Quellen direkt oder indirekt übernommenen Stellen sind als solche kenntlich gemacht. V

6 Symbolverzeichnis a A A proj b Koeffizient enthält geometrische Größen, Fluideigenschaften und die Geschwindigkeit Koeffizientenmatrix projizierte Fläche Rechte-Seite-Vektor C µ Konstante des k-ɛ Modells (C µ = 0.09) c A c p C s c W dimensionsloser Auftriebsbeiwert dimensionsloser Druckbeiwert Rauigkeitskonstante dimensionsloser Widerstandsbeiwert C ɛ1 Konstante des k-ɛ Modells (C ɛ1 =1.44) C ɛ2 Konstante des k-ɛ Modells (C ɛ2 =1.92) d Höhenunterschied E empirische Konstante (E = 9.793) e P E f F A f e F W h k k s k s + l Einheitsvektor entlang der Linie zwischen den Zellmittelpunkten P und E Funktion Auftriebskraft Wert im Mittelpunkt der Fläche e Widerstandskraft Höhe der Pyramiden turbulente kinetische Energie Sandkornrauigkeit dimensionslose Rauigkeitshöhe Basislänge der Pyramiden VI

7 Symbolverzeichnis M Anzahl der Unbekannten N Anzahl der benachbarten Zellen n Normaleneinheitsvektor N f N W P Re r m S s e s e T u u Anzahl der Knotenpunkte auf der Oberfläche Anzahl der ausgewählten Werte Quotient aus statischem Druck und Dichte, P = p/ρ Reynoldszahl Residuenvektor Spannungstensor Flächeninhalt der Fläche e Oberflächenvektor Zeitspanne Geschwindigkeit dimensionslose Geschwindigkeit u + dimensionslose Geschwindigkeit ( u ) u ref u ref,h u τ V P Referenzgeschwindigkeit bei z ref (u ref = m/s) Referenzgeschwindigkeit bei maximaler Pyramidenhöhe Schubspannungsgeschwindigkeit Volumen des zentralen Kontrollvolumens x, y, z kartesische Koordinaten y dimensionsloser Wandabstand y + dimensionsloser Wandabstand ( y ) z 0 z ref z ref,h α k α ɛ δ ij ɛ ζ Rauigkeitshöhe Referenzhöhe (z ref = 0.1m) maximale Pyramidenhöhe inverse Prandtl-Zahl für k inverse Prandtl-Zahl für ɛ Kronecker-Delta Dissipation Faktor der Unterrelaxation VII

8 Symbolverzeichnis θ Basiswinkel der Pyramiden κ Karman-Konstante (κ = ) ν kinematische Viskosität ν t ρ τ w ψ P e Γ turbulente Wirbelviskosität Dichte Wandschubspannung Limitierungsfaktor Diffusionskoeffizient µ dynamische Viskosität Nabla-Operator φ allgemeines Skalar φ Lösungsvektor φ n Wert des Skalars in Knoten n VIII

9 1 Einleitung 1.1 Windlasten Wind ist oft für erhebliche Schäden an Gebäuden verantwortlich. Ursache dafür sind Windlasten, die durch Druck- und Reibungskräfte auf der Oberfläche von Gebäuden entstehen. Druckkräfte wirken senkrecht auf die Oberfläche. Wird ein Körper parallel zur Oberfläche angeströmt, wirken Reibungskräfte und Sog. Eine parallele Anströmung findet sich zum Beispiel bei Windeinfluss auf Flachdächern. Dort sind die Reibungskräfte und der Sog von Bedeutung [1]. 1.2 Pyramiden Abbildung 1.1: Cheops-Pyramide [2] Pyramiden sind aus unterschiedlichen Kulturen bekannt. Die bekanntesten Pyramiden, die Pyramiden von Gizeh, stehen in Ägypten. Die größte und älteste ist die Cheops- Pyramide, die auch als eines der sieben Weltwunder bekannt ist (siehe Abbildung 1.1). Früher wurden Pyramiden meist für religiöse Zwecke, als Begräbnisstätte für Könige, gebaut. Heute wird die Pyramidenform bei vielen modernen Bauwerken aufgegriffen. Zum Beispiel wurde Ende des 20. Jahrhunderts als Museumseingang eine Glaspyramide im Innenhof des Louvre gebaut. Weitere Beispiele für moderne Pyramidenbauten sind das Luxor Hotel und Casino in Las Vegas, die Memphis Pyramide in Memphis, die Hotel- Pyramide in Fürth oder auch die Sauerland-Pyramiden in Lennestadt, die in Abbildung 1.2 zu sehen sind. Die alten ägyptischen Pyramiden wurden aus schweren Steinblöcken 1

10 1 Einleitung 1.3 Sunwater-Factory c errichtet. Durch das hohe Eigengewicht der Pyramiden war der Windeinfluss dort nur von geringem Interesse, da dieser den Gebäuden keinen Schaden zufügte [3]. Abbildung 1.2: Sauerland-Pyramiden in Lennestadt 1.3 Sunwater-Factory c Die Geometrie, die in der vorliegenden Arbeit untersucht wird, ist die der ebenfalls pyramidenförmigen Sunwater-Factory c Anlage. Die Sunwater-Factory c wird genutzt, um chemisch und bakteriell belastetes Wasser zu reinigen und Trinkwasser zu gewinnen. Eine Sunwater-Factory c -Einheit besteht aus einer Bodenwanne und einer transparenten pyramidenförmigen Abdeckung. In der Bodenwanne befindet sich zum einen das belastete Wasser, zum anderen wird dort auch das gereinigte Wasser in einer Auffangrinne aufgefangen. Die Sunwater-Factory c funktioniert wie folgt: Das belastete Wasser wird durch Sonneneinstrahlung erwärmt, es verdunstet und kondensiert an den Innenseiten der Pyramide. Von dort läuft das gereinigte Wasser an den Pyramidenwänden herunter und wird in der Auffangrinne der Bodenwanne gesammelt. Es besteht die Möglichkeit mehrere Einheiten der Sunwater-Factory c miteinander zu verbinden und ein Pyramidenfeld zu erstellen. Dadurch wird erreicht, dass alle Bodenwannen ständig mit belastetem Wasser versorgt werden. Am Austritt des Systems wird das gewonnene Trinkwasser in einem Behälter zusammengetragen. 1 An der Universität Siegen wurde auf dem Dach des Campus an der Adolph-Reichwein- Straße ein Feldtest durchgeführt. Die Sunwater-Factory c Einheiten wurden durch Wind 1 Die hier zusammengestellten Informationen über die Sunwater-Factory c Einheit beziehen sich auf ein von Krah veröffentlichtes Handout, [5]. 2

11 1 Einleitung 1.4 Zielsetzung und Struktur der Arbeit Abbildung 1.3: Sturmschaden der Sunwater-Factory c Anlage [4] stark beeinflusst. In Abbildung 1.3 ist zu erkennen, dass die Abdeckungen der Einheiten unter Windeinfluss abheben und umhergeweht werden. Daher sollen die Kräfte, die durch Wind auf die Sunwater-Factory c Einheiten ausgeübt werden, durch eine numerische Strömungssimulation untersucht werden. 1.4 Zielsetzung und Struktur der Arbeit Das Ziel dieser Arbeit ist es, den Windeinfluss auf Pyramiden, insbesondere auf die Sunwater-Factory c Anlage, mithilfe einer numerischen Strömungssimulation zu untersuchen. Die Strömungssimulationen werden mit dem Programm ANSYS Fluent 13 durchgeführt. Es soll die Frage im Mittelpunkt stehen, wie es zum Abheben der Abdeckungen der Sunwater-Factory c Einheiten kommen kann. Bislang wurden kaum Untersuchungen an Pyramiden durchgeführt. Die jüngste Untersuchung wurde von Ikhwan im Jahr 2005 in seiner Doktorarbeit Investigation of Flow and Pressure Characteristics around Pyramidal Buildings [6] durchgeführt. Dort wird der Windeinfluss auf Pyramiden mit verschiedenen Basiswinkeln experimentell und numerisch untersucht. Die Ergebnisse der Experimente von Ikhwan werden in dieser Arbeit zur groben Validierung der Simulationsergebnisse genutzt. Die hier vorliegende Arbeit ist in sechs Kapitel unterteilt. In Kapitel 2 und 3 werden zunächst die Grundgleichungen der Strömungsmechanik und das numerische Verfahren erläutert. Im vierten Kapitel folgt die Beschreibung der untersuchten Modelle anhand der jeweiligen Geometrien, dem zugehörigen Kontrollraum und dem Gitter der einzelnen Modelle. Zunächst wurde eine Pyramide betrachtet, die sich an die von Ikhwan unter- 3

12 1 Einleitung 1.4 Zielsetzung und Struktur der Arbeit suchten Geometrien anlehnt. Um einen Vergleich dieser vereinfachten Geometrie mit der Sunwater-Factory c Einheit zu ermöglichen, werden zwei Zwischenmodelle eingeführt, die zunächst an die Höhe und später an die Randbedingungen der realen Geometrie angepasst werden. Des Weiteren wird in diesem Kapitel das zu untersuchende Pyramidenfeld beschrieben. In Kapitel 5 werden die Ergebnisse der Simulationen ausgewertet. Dazu wird zunächst die Konvergenz der untersuchten Fälle betrachtet und die ausgewerteten Größen werden definiert. Anhand der Experimente von Ikhwan wird eine grobe Validierung der für das erste Modell vorliegenden Ergebnisse durchgeführt. Im Anschluss daran werden die Ergebnisse der Simulationen im Detail betrachtet und einander gegenübergestellt. Am Ende des Kapitels wird diskutiert, wie sich der Windeinfluss auf das gesamte Pyramidenfeld auswirkt. In dem letzten Kapitel dieser Arbeit werden die Ergebnisse der Untersuchungen noch einmal zusammengefasst. 4

13 2 Grundgleichungen der Strömungsmechanik Dieses Kapitel ist an das Buchkapitel Introduction to the Prediction of Wind Loads on Buildings by Computational Wind Engineering (CWE) angelehnt, das 2007 von Franke veröffentlicht wurde [7]. Die Luftschicht, die sich bis zu einer Höhe von ein bis zwei Kilometern über der Erdoberfläche erstreckt, nennt man atmosphärische Grenzschicht. Diese Schicht ist der Bereich der Troposphäre in dem die Reibung immer größer wird, je näher sich die Strömung am Boden befindet. Die Strömungen in diesem Bereich sind turbulent. Sowohl die großen als auch die kleinen Pyramiden liegen innerhalb dieser Grenzschicht [12]. Turbulente Strömungen enthalten eine Vielzahl von Wirbeln verschiedener Größe. Bei numerischen Simulationen turbulenter Strömungen muss darauf geachtet werden, dass sowohl die kleinsten Wirbel aufgelöst, als auch die größten Wirbel im Simulationsgebiet untergebracht werden können. Es ist also einerseits nötig ein sehr feines Gitter zu generieren, andererseits muss ein großes Rechengebiet vorliegen. Soll die turbulente Strömung direkt numerisch simuliert werden, sind besonders viele Rechenschritte notwendig, um statistische Größen der Strömungsvariablen zu ermitteln. Aufgrund der übermäßig langen Rechenzeit und dem hohen Bedarf an Speicherplatz sind so genannte direkte numerische Simulationen also nur für kleine Reynoldszahlen möglich. Um (quasi-)stationäre turbulente Strömungen simulieren zu können, werden die Navier-Stokes-Gleichungen gemittelt. Die am häufigsten eingesetzte Methode ist die zeitliche Mittelung, die zu den RANS-Gleichungen führt. 2.1 RANS Gleichungen für inkompressible Strömungen Anhand der Mach-Zahl können kompressible und inkompressible Strömungen unterschieden werden. Die Machzahl ist eine dimensionslose Kennzahl, die das Verhältnis einer charakteristischen Geschwindigkeit zur jeweiligen Schallgeschwindigkeit angibt. Bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten liegt die Mach-Zahl der Luft unter 0,2, somit kann Luft als inkompressibel angesehen werden und es gelten die RANS Gleichungen für inkompressible Strömungen. RANS Gleichungen sind zeitlich-gemittelte Navier-Stokes Gleichungen, wobei hier un- 5

14 2 Grundgleichungen der Strömungsmechanik 2.2 Das Turbulenzmodell ter Navier-Stokes Gleichungen sowohl die Massen- als auch die Impulserhaltung verstanden wird. Bei der statistischen Mittelung der Navier-Stokes-Gleichungen liegen als Ergebnis nur noch die zeitlich gemittelten Werte der Strömungsvariablen vor. Die Gleichung für die Bildung der zeitlichen Mittelwerte lautet φ(x i ) = lim T 1 2T T T φ(x i, t) dt. (2.1) Mithilfe dieser Gleichung kann der momentane Wert beschrieben werden, indem der zeitliche Mittelwert und die jeweilige Schwankung um diesen Wert angegeben werden φ(x i, t) = φ(x i ) + φ (x i, t). (2.2) Wird die zeitliche Mittelwertgleichung in die Grundgleichungen der Strömungsmechanik eingesetzt und werden konstante Dichte und Viskosität angenommen, so folgt für die Massenerhaltungsgleichung und für die Gleichung der Impulserhaltung folgt, u i u j x j = P x i + ν u j x j = 0 (2.3) x j ( ui + u ) j u iu j. (2.4) x j x i x j Laut den Reynolds Bedingungen sind der zeitliche Mittelwert und die partiellen Ableitungen kommutativ und können vertauscht werden. Wird das gemittelte Produkt der Geschwindigkeitskomponenten in der Impulserhaltungsgleichung durch das Produkt der Mittelwerte ersetzt, so ergibt sich der Reynolds Spannungstensor u iu j = u i u j u i u j. (2.5) Der Reynolds Spannungstensor beschreibt die Wirkung der Fluktuationen auf die mittleren Geschwindigkeiten und stellt das einzige Schließungsproblem der RANS Gleichungen dar. Zum Modellieren des Spannungstensors wird in dieser Arbeit das ReNormalisierungsGruppen (RNG) k-ɛ Modell benutzt [8, 9]. 2.2 Das Turbulenzmodell Turbulenzmodelle sind Approximationen, die gemacht werden, um die RANS Gleichungen zu schließen. Durch die so genannte Boussinesq Hypothese wird das Wirbelviskositätsmodell eingeführt. Die Hypothese ist wie folgt definiert 6

15 2 Grundgleichungen der Strömungsmechanik 2.3 Wandfunktionen u iu j 2 3 kδ ij = 2ν t S ij, k = 1 2 u iu j, S ij = 1 2 ( ui + u ) j. (2.6) x j x i Die turbulente Wirbelviskosität ν t beschreibt die scheinbare Erhöhung der Viskosität durch Turbulenz. In Fluent werden so genannte Zwei-Gleichungs Modelle benutzt. Mithilfe dieser Modelle werden zwei zusätzliche Gleichungen gelöst, um den Reynolds Spannungstensor zu bestimmen. In dem, in dieser Arbeit ausschließlich verwendeten RNG k-ɛ Modell, wird eine Gleichung für die turbulente kinetische Energie, k, und eine Gleichung für die skalare Dissipation, ɛ, gelöst. Die Transportgleichungen für dieses Modell lauten [7] ɛ u j x j = x j k u j = x j x j ( α k ν eff k x j ( k α k ν eff x j ) ) + ν t S 2 ɛ, (2.7) + C ɛ1 ν t S 2 ɛ k C ɛ 2 ɛ2 S = k, (2.8) 2 S ij S ij. (2.9) α k und α ɛ sind die jeweiligen inversen Prandtl-Zahlen für k und ɛ, die in Fluent wie folgt berechnet werden [10]: α α α α = ν mol ν eff. (2.10) Mithilfe des RNG k-ɛ Modells können, inbesondere für den Druck, genauere Werte berechnet werden als mit dem Standard k-ɛ Modell Wandfunktionen Gebäude und andere Hindernisse befinden sich in unmittelbarer Bodennähe und somit innerhalb der atmosphärischen Grenzschicht. Auf diese wirken Gebäude und Hindernisse wie eine Rauheit. An den Hindernis- und Gebäudewänden bilden sich aufgrund der Haftbedingung ebenfalls Strömungsgrenzschichten aus. Diese Grenzschichten werden in der Simulation auch modelliert. Betrachtet man die Geschwindigkeitsverteilung in Wandnähe, so wird deutlich, dass dort große Geschwindigkeitsgradienten vorliegen, deren numerische Auflösung zu einer 1 Zitat Franke (2007) und daraus auch Wright und Easom (2003) [7] 7

16 2 Grundgleichungen der Strömungsmechanik 2.3 Wandfunktionen Abbildung 2.1: Geschwindigkeitsverteilung in Wandnähe (glatt) [11] sehr großen Zahl von Rechenpunkten führt. Abbildung 2.1 stellt die dimensionslose Geschwindigkeit u + in Hauptströmungsrichtung über dem dimensionslosen Wandabstand y + dar. u + = u u τ, y + = ρyu τ µ, u τ = τ W ρ (2.11) Die wandnahe Zone wird in drei Bereiche eingeteilt. Bis y + = 5 liegt eine viskose Unterschicht vor, in der turbulente Schwankungen stark gedämpft werden. Zwischen y + = 5 und y + = 30 liegt die Übergangsschicht. Ab y + = 30 gilt das logarithmische Wandgesetz u + = 1 κ ln(y+ ) + B = 1 κ ln(ey+ ), E = exp(κb). (2.12) Dabei ist κ die von-karman-konstante (κ = ) und B = Die empirische Konstante E hat einen Wert von Bei Strömungen über raue Wände entsteht durch die Wandrauigkeit ein zusätzlicher Widerstand. Mit steigendem Widerstand nimmt die Geschwindigkeit ab. In der logarithmischen Geschwindigkeitsgleichung kann die Rauigkeit mithilfe der aerodynamischen Rauigkeitshöhe z 0 ausgedrückt werden u + = 1 ( ) z d κ ln z 0 oder u + = 1 ( ) z + κ ln z0 d z 0. (2.13) 8

17 2 Grundgleichungen der Strömungsmechanik 2.4 Sandkornrauheit Wenn sich die Wand auf der Höhe z=0 befindet und der Höhenunterschied d gegen Null geht wird die zweite Gleichung benutzt. So wird verhindert, dass das Argument im Logarithmus gleich Null wird. Dies ist notwendig, da der Logarithmus bei Null nicht definiert ist. Unterlage Rauigkeitshöhe [m] Eis Wasser kurzes Gras langes Gras 0.02 Buschwerk 0.2 Wald 1-2 Tabelle 2.1: Rauigkeitshöhen für verschiedene Unterlagen Einige Werte für z 0 bei verschiedenen Unterlagen sind Tabelle 2.1 zu entnehmen Sandkornrauheit In Fluent wird die Rauigkeit durch die so genannte Sandkornrauheit k S ausgedrückt. Dazu wird eine zusätzliche Konstante B eingeführt, die von der dimensionslosen Rauigkeitshöhe k + S abhängt. Die dimensionslose Rauigkeitshöhe k+ S setzt sich dabei wie folgt zusammen k + S = u τk S ν. (2.14) Die logarithmische Geschwindigkeitsgleichung lautet nun wie folgt u = 1 κ ln(ey ) B[k + S ]. (2.15) In Abhängigkeit von k + S wird die Rauigkeit in drei Bereiche eingeteilt. Bis k+ S 2.25 gilt die Oberfläche als hydraulisch glatt. Für k + S > 90 ist der Einfluss der Oberflächenrauigkeit sehr groß, die Oberfläche ist hydraulisch rau. Der Bereich zwischen diesen Werten für k + S wird als Übergangsbereich bezeichnet. In dem hydraulisch rauen Bereich gilt für B in Fluent die folgende Gleichung 2 Foken [12], S. 64 B = 1 κ ln(1 + C Sk + S ). (2.16) 9

18 2 Grundgleichungen der Strömungsmechanik 2.4 Sandkornrauheit Die Konstante C S liegt in Fluent zwischen 0 und 1. Bei Eingabe über benutzerdefinierte Funktionen sind auch Werte möglich, die nicht in diesem Bereich liegen. Um die Rauigkeitslänge z 0 im hydraulisch rauen Bereich in die Sandkornrauigkeit k S umzuformen, wird folgende Approximation verwendet k S E C S z 0. (2.17) Gleichung 2.17 gilt, wenn der Höhenunterschied d gegen Null geht. Hier wurde die Approximation ln(1 + C S k + S ) ln(c Sk + S ) angewendet [10]. 10

19 3 Numerisches Verfahren 3.1 Das Rechengitter Um Differentialgleichungssysteme numerisch lösen zu können, müssen in der zu berechnenden Geometrie durch ein Rechengitter diskrete Stellen festgelegt werden. Dazu wird zunächst ein Kontrollraum bestimmt. Der Kontrollraum ist der Ausschnitt des realen Problems, der berechnet werden soll. Die Ränder dieses Raumes sollen dabei so weit von der umströmten Geometrie entfernt liegen, dass sie das Ergebnis nur geringfügig beeinflussen. Eintritt und Austritt der Strömung müssen definiert werden. Anschließend wird der gesamte Kontrollraum mit einem numerischen Gittter vernetzt. Abbildung 3.1: randangepasstes Gitter Bei numerischen Gittern wird zwischen randangepassten, kartesischen und überlappenden Gittern unterschieden, des Weiteren werden sie in strukturierte und unstrukturierte Gitter eingeteilt. Da in dieser Arbeit ausschließlich randangepasste, strukturierte Gitter verwendet werden, soll auch nur dieser Gittertyp beschrieben werden. Abbildung 3.1 zeigt ein randangepasstes Gitter. Um die umströmte Geometrie möglichst genau wiedergeben zu können, werden hier die Kontrollvolumina immer kleiner, je näher sie an dem Körper liegen. Strukturierte Gitter zeichnen sich durch die einfache und eindeutige Indizierung der einzelnen Kontrollvolumina aus. Im dreidimensionalen Raum gibt es dabei drei Familien von Gitterlinien, die sich selbst nicht und die Gitterlinien der anderen Familien genau einmal schneiden. 11

20 3 Numerisches Verfahren 3.2 Finite-Volumen-Verfahren Die Erzeugung strukturierter Gitter bedeutet mehr Zeitaufwand als die Erzeugung unstrukturierter Gitter, der Speicherbedarf und der Rechenaufwand sind jedoch deutlich geringer [11]. 3.2 Finite-Volumen-Verfahren Bei dem Finite-Volumen-Verfahren definieren die Gitterlinien die Oberflächen der Kontrollvolumina, in denen der Volumenmittelwert der Strömungsgrößen berechnet wird. Die zellzentrierte Definition der Kontrollvolumina gibt an, dass deren Randflächen durch die Mitte der Verbindungslinien der Gitterpunkte verlaufen. Die Lagebeziehung zwischen den einzelnen Kontrollvolumina kann zum Beispiel durch Kompassnotation definiert werden. Dabei wird das jeweilige Nachbarvolumen des zentralen Kontrollvolumens mit den großen Anfangsbuchstaben der englischen Bezeichnung der entsprechenden Himmelsrichtung benannt. Die Flächen, die zwischen zwei benachbarten Kontrollvolumina liegen, werden mit dem zugehörigen Kleinbuchstaben bezeichnet (siehe Abbildung 3.2). Abbildung 3.2: Kompassnotation [11] Die allgemeine skalare Erhaltungsgleichung für dieses Kontrollvolumen in integraler Form ist wie folgt definiert: d ρφdv + n (ρvφ) dσ n (Γ φ φ) dσ = 0. (3.1) dt V P V } P V {{ } } P {{ } konvektiver T erm diffusiver T erm 12

21 3 Numerisches Verfahren 3.2 Finite-Volumen-Verfahren φ ist dabei allgemein eine skalare Größe. Γ bezeichnet den Diffusionskoeffizienten. Der instationäre Term wurde in Gleichung 3.1 angegeben, um die Definition der berechneten Größen zu veranschaulichen. Mit dem Volumenmittelwert der Größen für die einzelnen Kontrollvolumina ergibt sich V P ρφdv = V ρφ P V P V ρφ = 1 V P V P ρφ dv. (3.2) Der Fluss über den Rand des Kontrollvolumens ist gleich der Summe der Integrale über die Seiten des Kontrollvolumens fdσ = l Demnach lautet der konvektive Term s s l fdσ. (3.3) Für den diffusiven Term gilt V P n (ρvφ) dσ = V P n (Γ φ φ) dσ = l=w,n,s,e l=w,n,s,e n l n l V l ρvφ dσ. (3.4) V l Γ φ φ dσ. (3.5) Die Oberflächenintegrale werden aus den berechneten Volumenmittelwerten approximiert. Dazu sind zwei Schritte erforderlich. Zunächst werden die Oberflächenintegrale durch numerische Integration ausgewertet. Da das Geschwindigkeitsfeld und die Eigenschaften des Fluids in der folgenden Ableitung als bekannt vorausgesetzt werden, müssen nur die lokalen Werte von Skalar und Gradienten durch die berechneten Volumenmittelwerte approximiert werden. Im Folgenden wird als Beispiel die e-seite des Kontrollvolumens betrachtet. Laut Mittelpunktsregel der numerischen Integration kann das Integral als Produkt aus Flächeninhalt und einem oder mehreren lokalen Werten approximiert werden. Daraus ergibt sich s e fdσ = f e s e f e s e. (3.6) Diese Approximation hat eine Genauigkeit zweiter Ordnung [11]. 13

22 3 Numerisches Verfahren 3.3 Approximation lokaler Werte 3.3 Approximation lokaler Werte Abbildung 3.3: UPWIND Ansatz erster Ordnung [11] Da Dichte und Geschwindigkeit als konstant vorausgesetzt werden, muss nun nur noch die skalare Größe φ approximiert werden. Dazu werden zunächst lokale Größen an anderen Orten durch die bereits berechneten Volumenmittelwerte approximiert, d.h. der lokale Wert im geometrischen Mittelpunkt des Kontrollvolumens wird gleich dem Volumenmittelwert gesetzt. In Abbildung 3.3 ist der UPWIND-Ansatz erster Ordnung graphisch dargestellt. Bei diesem Verfahren wird anhand der Strömungsrichtung entschieden, welcher der entsprechenden Werte aus den Mittelpunkten der angrenzenden Kontrollvolumina als Wert im Mittelpunkt der Fläche angenommen wird (beispielhaft für φ e dargestellt) φ e { φp für u e > 0 φ E für u e < 0. (3.7) Durch das UPWIND-Verfahren erster Ordnung wird der Strömung eine zusätzliche numerische Diffusion zugefügt, durch welche die Lösung verfälscht wird. Dieses Verfahren sollte lediglich für die ersten Iterationsschritte genutzt werden. Danach wird die Interpolation mit dem UPWIND-Verfahren zweiter Ordnung verwendet. Das UPWIND-Verfahren zweiter Ordnung hat eine Genauigkeit von bestenfalls zweiter Ordnung. Bei Verwendung dieses Verfahrens wird in Fluent der Flächenmittelwert mithilfe des folgenden Ausdrucks berechnet φ e = { φp + ψ P ( φ) P r, (n u e ) > 0 φ E + ψ E ( φ) E r, (n u e ) < 0. (3.8) 14

23 3 Numerisches Verfahren 3.3 Approximation lokaler Werte φ P und φ E stellen dabei den jeweiligen Wert im Volumenmittelpunkt dar. ( φ) P ist der Gradient von φ P, analog dazu stellt ( φ) E den Gradienten von φ E dar. Der Verschiebungsvektor r gibt jeweils den Vektor zwischen dem Volumenmittelpunkt des stromaufwärts liegenden Kontrollvolumens und dem Flächenmittelpunkt an. Der UPWIND- Ansatz zweiter Ordnung verwendet zusätzlich skalare Limitierungsfaktoren ψ P und ψ E, um zu vermeiden, dass durch die Interpolation neue Extremwerte in der numerischen Lösung erzeugt werden. Die Faktoren liegen dabei zwischen Null und eins. Nehmen sie den Wert Null an, so ergibt sich das UPWIND-Verfahren erster Ordnung, für den Wert 1 gilt das lineare UPWIND-Verfahren. Die Ordnung der Approximation schwankt daher zwischen eins und zwei. Wie bei Franke [13] angegeben, basieren die Gleichungen zur Bestimmung von ψ E auf dem Ansatz von Barth und Jesperson. Der interpolierte Wert wird durch die umliegenden Minima und Maxima der Zellmittelpunkte begrenzt. Diese Extremwerte müssen daher zuerst bestimmt werden. Im Folgenden wird nur der Fall (n u) e > 0 betrachtet. φ P,min = min(φ L ), φ P,max = max(φ L ), L = P, W, E, N, S (3.9) Um das Auftreten neuer Extrema zu vermeiden wird folgende Gleichung angewendet φ P,min φ e = φ P + ψ P e ( φ) P (x e x P ) φ P,max. (3.10) Für den Limitierungsfaktor ψ P e gilt ψ P e = [ min min 1, [ 1, φ P,max φ P ( φ) P (x e x P ) φ P,min φ P ( φ) P (x e x P ) ] ], ( φ) P (x e x P ) > 0, ( φ) P (x e x P ) < 0. 1, ( φ) P (x e x P ) = 0 (3.11) Die Berechnung des Gradienten von φ ist in jedem Zellmittelpunkt notwendig. In Fluent wurde dazu für diese Arbeit das Green-Gauss Theorem verwendet. Es gilt folgende Approximation ( φ) P 1 V P φe s e. (3.12) Der Oberflächenvektor s e berechnet sich dabei aus dem Produkt des Flächeninhalts mit dem Normaleneinheitsvektor [13]. Der Wert im Flächenmittelpunkt wird durch das Green-Gauss Node-Based Verfahren als arithmetischer Mittelwert der Knotenwerte φ n anhand folgender Gleichung approximiert 15

24 3 Numerisches Verfahren 3.4 Approximation des diffusiven Terms φ e = 1 φ n. (3.13) N f n N f ist dabei die Anzahl der Knotenpunkte auf der Oberfläche. Die Knotenwerte φ n berechnen sich nach dem gewichteten Mittelwert der Zell-Werte, die den jeweiligen Knoten umgeben. Dazu wird die folgende Formel genutzt [14] N f φ n = N i=1 N i=1 φ P,i r n r P 1 r n r P. (3.14) Dabei ist N die Anzahl der benachbarten Zellen. r n r P gibt den Abstand zwischen Knotenpunkt und Zellmittelpunkt an. 3.4 Approximation des diffusiven Terms Um den diffusiven Term bestimmen zu können, müssen sowohl der Diffusionskoeffizient Γ φ,e als auch der Gradient von φ, ( φ) e, im Flächenmittelpunkt e approximiert werden. Die Approximation des Diffusionskoeffizienten Γ φ,e in Fluent ist dort nicht näher erläutert. Der Gradient von φ folgt aus [ ] φ E φ P s s e (Γ φ φ) e = Γ e s e φ,e + Γ φ,e s x E x P s e e e ( φ) e e s ( φ) s e s e e P E s e e P E. (3.15) Dabei steht e P E für den Einheitsvektor, der entlang der Linie verläuft, welche die Mittelpunkte der Zellen P und E verbindet. e P E ist wie folgt definiert e P E = (x E x P ) x E x P. (3.16) Der mittlere Gradient von φ auf der Fläche, ( φ) e, folgt aus den Gradienten ( φ) E, die in den Zentren der Zellen definiert sind, durch eine gewichtete Mittelung [13]. 3.5 Das algebraische Gleichungssystem Dieses Unterkapitel ist angelehnt an das Buchkapitel Introduction to the Prediction of Wind Loads on Buildings by Computational Wind Engineering (CWE), das 2007 von Franke veröffentlicht wurde [7]. 16

25 3 Numerisches Verfahren 3.5 Das algebraische Gleichungssystem Die algebraische Gleichung für ein einzelnes Kontrollvolumen lautet a P ( V φ) P + l=w,e,s,n,b,t a l ( V φ) l = b P. (3.17) b P enthält alle bekannten Werte. Der Koeffizient a enthält geometrische Größen, Fluideigenschaften und die Geschwindigkeit. Da die numerische Simulation im dreidimensionalen Raum durchgefürt wird, durchläuft der Index l auch die Nachbarn bottom und top. Der so genannte Rechenstern in drei Dimensionen ist in Abbildung 3.4 dargestellt. Abbildung 3.4: Rechenstern im dreidimensionalen Raum [9] Für das gesamte Rechengebiet existieren genau so viele Gleichungen und Unbekannte, wie Kontrollvolumina vorhanden sind. In Matrix-Notation hat das algebraische Gleichungssystem für das gesamte Lösungsgebiet die folgende Form A φ = b. (3.18) φ stellt den Lösungsvektor dar und b wird als Rechte-Seite-Vektor bezeichnet. Die Anzahl der Zeilen und Spalten der Koeffizientenmatrix A ist gleich der Anzahl der Kontrollvolumina. Bei strukturierten Gittern sind nur wenige Elemente der Koeffizientenmatrix von Null verschieden. Im dreidimensionalen Raum sind nur die Hauptdiagonale, die beiden Nebendiagonalen und noch vier weitere Nebendiagonalen besetzt. Um das Gleichungssystem 3.18 zu lösen wird in Fluent ein iteratives Lösungsverfahren genutzt. Die dabei berechnete Lösung erfüllt das algebraische Gleichungssystem nicht exakt. Es ergibt sich folgende Gleichung A φ m = b r m. (3.19) 17

26 3 Numerisches Verfahren 3.6 Unterrelaxation Die Abweichung von der exakten Lösung wird Residuum r m genannt. Der Verlauf des Residuums r m in Abhängigkeit der Anzahl der Iterationen wird anhand der L 1 - oder der L 2 -Norm kontrolliert, die wie folgt definiert sind L 1 Norm : r m 1 = M r m k ; L 2 Norm : r m 2 = M r m k 2 (3.20) k=1 k=1 M ist dabei die Anzahl der Unbekannten. In Fluent wird das Residuum für die Kontinuitätsgleichung normalisiert, indem die tatsächliche Norm durch das entsprechende Maximum der Norm aus den ersten fünf Iterationen geteilt wird. In Fluent wird die L 1 - Norm verwendet. Für alle anderen Gleichungen wird das Residuum wie folgt definiert [7] r m = r m M k=1 (a P V φ P ) k. (3.21) 3.6 Unterrelaxation Um die Konvergenz der Lösung in Fluent zu stabilisieren, können Variablen unterrelaxiert werden. Dazu wird φ m nach Aktualisierung der Koeffizientenmatrix durch die neue Lösung φ m neu überschrieben. φ m neu berechnet sich in Fluent wie folgt φ m neu = φ m + ζ φ m. (3.22) ζ stellt dabei den Faktor der Unterrelaxation dar, der vom Benutzer vorgegeben werden kann. φ m ist die berechnete Änderung von φ m [10]. Standardmäßig werden in Fluent die Werte für Impuls, Druck, turbulente kinetische Energie und Dissipation unterrelaxiert. Durch das Unterrelaxieren von weiteren Variablen erhöht sich die Stabilität der Konvergenz, gleichzeitig konvergiert die Lösung jedoch langsamer. Die Werte, die für die jeweiligen untersuchten Fälle genutzt wurden, sind im nächsten Kapitel im Unterpunkt Randbedingungen (Kapitel 4.6) angegeben. 18

27 4 Untersuchte Fälle In der numerischen Simulation wurde zunächst eine Geometrie untersucht, die sich an die von Ikhwan experimentell untersuchte Pyramidengeometrie anlehnt. Anschließend wurde die Geometrie nach und nach an die Sunwater-Factory c Geometrie angepasst. Durch diese kleinschrittige Veränderung des untersuchten Modells ist es möglich die einzelnen Simulationen miteinander zu vergleichen und so schließlich eine Aussage über das reale Problem zu machen. Da mehrere Pyramiden miteinander verknüpft werden können, wurde abschließend ein Pyramidenfeld untersucht. So kann eine Aussage darüber gemacht werden, wie sich die Windeinwirkung bei Verwendung von mehreren Pyramiden entwickelt. In diesem Kapitel sollen zunächst die verwendeten Geometrien, der jeweilige Kontrollraum und die unterschiedlichen Gitter beschrieben werden. Anschließend werden die genutzten Randbedingungen erläutert. 4.1 Pyramide von Ikhwan In seiner Dissertation beschäftigt sich Ikhwan mit dem Strömungs- und Druckfeld um pyramidenförmige Gebäude. Dazu werden Pyramiden mit variierten Basiswinkeln θ zwischen 30 und 70 untersucht. Da das Sunwater-Factory c Modell einen Basiswinkel von 33 aufweist, sind für diese Arbeit nur Ikhwans Pyramiden mit 30 - und 40 -Winkel von Interesse. Diese werden im Folgenden näher beschrieben Geometrie Untersucht wurden gerade Pyramiden mit quadratischer Grundfläche, wie auch in Abbildung 4.1 zu entnehmen ist. Die Basislänge l der Pyramiden beträgt 200mm. Die Pyramide mit Basiswinkel θ=30 hat eine Höhe h von 57.74mm, die Pyramide mit 40 - Basiswinkel eine Höhe von 83.91mm Messtrecke Die Experimente von Ikhwan wurden in einem Umlauf-Windkanal (Göttinger-Kanal) mit geschlossener Messstrecke durchgeführt. Die Messstrecke ist 8000mm lang und die Breite und Höhe der Messstrecke betragen je 1500mm. Der Querschnitt der Messstrecke ist in Abbildung 4.2 dargestellt. 19

28 4 Untersuchte Fälle 4.1 Pyramide von Ikhwan Abbildung 4.1: Geometrie der Pyramiden [6] Abbildung 4.2: Querschnitt der Messstrecke 20

29 4 Untersuchte Fälle 4.2 Scharfkantige Pyramide Um den Druck messen zu können, der auf die Pyramiden ausgeübt wurde, wurde eine halbe Pyramidenseite mit Wandbohrungen versehen. Die genaue Anordnung dieser Bohrungen zeigt Abbildung 4.3 beispielhaft für eine Pyramide mit 45 -Basiswinkel. Der Abstand der äußeren Bohrungen zur Kante der Pyramiden beträgt etwa 6,5mm. Abbildung 4.3: Wandbohrungen für die Druckmessung [6] (Pyramide Ikhwan, 45 Basiswinkel) 4.2 Scharfkantige Pyramide Geometrie Für die erste numerische Simulation wurde ein Modell verwendet, das wie die reale Sunwater-Factory c Geometrie einen 33 -Basiswinkel aufweist. Um gleichzeitig den von Ikhwan untersuchten Pyramiden möglichst nahe zu kommen wird ein Modell verwendet, das mit 200mm die gleiche Basislänge besitzt, wie dessen Pyramiden. Die Höhe beträgt damit 64.94mm. 21

30 4 Untersuchte Fälle 4.2 Scharfkantige Pyramide Kontrollraum Die Ränder des Kontrollraumes müssen so weit von der Geometrie entfernt sein, dass sie die Ergebnisse nicht negativ beeinflussen. Andererseits soll der Kontrollraum jedoch nicht zu groß gewählt werden, um die Rechenleistung nicht unnötig zu erhöhen. Eine Richtlinie wie groß der Abstand zwischen dem Modell und der jeweiligen Wand sein sollte ist Abbildung 4.4 zu entnehmen [7]. Die dort angegebenen Werte richten sich nach der Höhe des Modells. Auf der linken Seite befindet sich der Strömungseintritt, auf der rechten Seite der -austritt. Abbildung 4.4: Abstände der Ränder des Kontrollraumes zum Modell Die Höhe der scharfkantigen Pyramide beträgt nur 64.94mm. Da diese Höhe im Vergleich zu der Seitenlänge von 200mm recht gering ist, wurden die Abstände zwischen Modell und Einlass, sowie zwischen Modell und Auslass größer gewählt als durch die Vorgabe verlangt wird. Der Abstand des Modells zum Einlass des Kontrollraumes beträgt damit 475mm. Zu den Seitenrändern liegt ein Abstand von 337mm vor. Zwischen dem Modell und dem Strömungsaustritt des Kontrollraumes beträgt der Abstand 1238mm. Die Höhe beläuft sich auf 391mm Gitter Das Gitter wurde mithilfe des Programms ICEM CFD erstellt. Dazu wurde das Pyramidenmodell zunächst in mehrere Blöcke eingeteilt. Das fertige Blocking und das darauf aufbauende Gitter sind in Abbildung 4.5 zu sehen. Sowohl das Blocking als auch das Gitter sind dort exemplarisch für eine Seite der Pyramide dargestellt. Durch die Aufteilung in Vierecke ist es möglich trotz der dreiecksförmigen Seitenflächen der Pyramide ein Hexaeder-Gitter zu erstellen. Das Oberflächengitter für den gesamten Kontrollraum zeigt Abbildung 4.6. Die Höhe der ersten Zelle über dem Boden muss mindestens zweimal so groß sein wie die Sandkornrauigkeit k s. Diese Rauigkeit lässt sich bestimmen, wenn die Rauhigkeitslänge z 0 bekannt ist. Bei Ikhwan wurde eine Rauhigkeitslänge von z 0 = 2.49mm 22

31 4 Untersuchte Fälle 4.3 Scharfkantige Pyramide mit Sockel Abbildung 4.5: Blocking (oben) und Gitter (unten) der scharfkantigen Pyramide angenommen. Damit muss die Höhe der ersten Zelle 6.4mm betragen. Die Gleichungen, die für die Berechnung der Sandkornrauheit notwendig sind, wurden bereits in Kapitel 2.4 eingeführt. Die ausführliche Rechnung ist im Unterpunkt Randbedingungen (Kapitel 4.6) zu finden. Das Gitter des gesamten Kontrollraumes besteht aus Hexaeder-Zellen. Der kleinste Winkel in diesem Gitter beträgt und der maximale Winkel beträgt Das Volumen von einer Zelle zur nächsten ändert sich minimal mit einem Faktor von 0.989, der maximale Änderungsfaktor beträgt Die genaue Aufteilung der Winkel und der Volumenänderung ist den in Abbildung 4.7 gezeigten Histogrammen zu entnehmen. Die Verteilung der Winkel und der Volumenänderung ist dabei jeweils prozentual bezogen auf die gesamte Zellenanzahl aufgetragen. Anhand dieser beiden Größen kann die Qualität des Gitters beurteilt werden. Die höchste Qualität würde das Gitter ereichen, wenn ausschließlich 90 -Winkel und ein Volumenänderungsfaktor von eins vorliegen würden. Liegt der Winkel zwischen 45 und 90 und der Volumenänderungsfaktor zwischen 1 und 1.3, so ist die Gitterqualität als sehr gut zu betrachten. Das für diesen Fall erstellte Gitter weist demnach eine ausreichend gute Gitterqualität auf. 4.3 Scharfkantige Pyramide mit Sockel Geometrie Um die vereinfachte Pyramide weiter an die reale Sunwater-Factory c Geometrie anzupassen, wurde unter der Pyramide ein Sockel eingefügt. Die Sunwater-Factory c Einheit ist im Verhältnis um den Faktor 1.33 höher als die vereinfachte scharfkantige Pyrami- 23

32 4 Untersuchte Fälle 4.3 Scharfkantige Pyramide mit Sockel Abbildung 4.6: Oberflächengitter im gesamten Kontrollraum 24

33 4 Untersuchte Fälle 4.3 Scharfkantige Pyramide mit Sockel Abbildung 4.7: Winkel (links) und Volumenänderung (rechts) des Gitters der scharfkantigen Pyramide de, die zunächst untersucht wurde. Die Höhe der scharfkantigen Pyramide mit Sockel beträgt nun 86.55mm. Die Basislänge beträgt weiterhin 200mm Kontrollraum Da sich das hier untersuchte Modell ausschließlich in der Höhe verändert hat, muss auch bei dem Kontrollraum nur die Höhe angepasst werden. Der Sockel, der zu der Pyramide hinzugefügt wurde, hat eine Höhe von 21.6mm. Die Höhe des neuen Kontrollraumes sollte ungefähr der Höhe des Kontrollraumes der scharfkantigen Pyramide plus der Höhe des Sockels entsprechen. Die Höhe des neuen Kontrollraumes beträgt also 412.4mm. Die genauen Maße des gesamten Kontrollraumes sind im Anhang auf Seite IX abgebildet Gitter Das Gitter des Kontrollraumes besteht aus Hexaeder-Zellen. Da die Pyramide nur um einen Sockel erweitert wurde, ist das Gitter mit dem in Abbildung 4.5 gezeigten Gitter nahezu identisch. Der minimale und der maximale Winkel betragen unverändert und Die minimale Volumenänderung beträgt hier 0.959, die maximale Es ist auch hier nur eine geringe Abweichung zu den Werten der Pyramide ohne Block vorhanden. Abbildung 4.8 zeigt die genaue Verteilung der Winkel und der Volumenänderung. Etwa 90% der Zellen weisen einen Winkel zwischen 88 und 90 auf. Der Volumenänderungsfaktor liegt in einem Bereich zwischen 1 und 1.3. Aufgrund der guten Winkelverteilung und der ausreichenden Verteilung des Volumenänderungsfaktors wird in diesem Fall eine hohe Gitterqualität erreicht. 25

34 4 Untersuchte Fälle 4.3 Scharfkantige Pyramide mit Sockel Abbildung 4.8: Winkel (links) und Volumenänderung (rechts) des Gitters der Pyramide mit Sockel Abbildung 4.9: Verfeinertes Gitter 26

35 4 Untersuchte Fälle 4.3 Scharfkantige Pyramide mit Sockel verfeinertes Gitter Durch die grosse Rauigkeit, die bei Ikhwans Experimenten angenommen wurde, ist die vertikale Auflösung des Gitters der Pyramide mit Sockel in Bodennähe sehr grob. Wird diese grobe vertikale Auflösung auch für die Sunwater-Factory c Geometrie verwendet, können dort Details des Sockels nicht dargestellt werden. Daher wird dort eine kleinere Rauigkeitshöhe z 0 verwendet. Um eine kleinste Zellhöhe von 3mm zu ermöglichen, wurde als Rauigkeitshöhe das z 0 von Wasser angenommen, welches mit 0.15mm sehr gering ist. Für die praktische Anwendung ist dieses z 0 dennoch relevant, da die Sunwater-Factory c Anlage auch auf dem Wasser schwimmend eingesetzt werden soll. Um einen Vergleich des Einflusses der verschiedenen Werte für z 0 zu ermöglichen, wird ebenfalls das Gitter der Pyramide mit Sockel verfeinert. Dabei ist jedoch zu beachten, dass zwei sehr unterschiedliche Gitter verwendet werden. Die Zellenanzahl des verfeinerten Gitters der Pyramide mit Sockel beträgt In Abbildung 4.9 ist exemplarisch das Gitter auf einer Seite der Pyramide dargestellt. Des Weiteren wurden bei diesem Modell durch eine neue Skalierung die Maße der Pyramide an die der realen Geometrie angenähert. Die Höhe des Modells beträgt damit mm, die Kantenlänge 870mm. Die genauen Maße des zugehörigen Kontrollraumes sind im Anhang (Seite IX) dargestellt. Die Verteilung der Winkel und die Volumenänderung sind den in Abbildung 4.10 gezeigten Histogrammen zu entnehmen. Fast 80% der Winkel liegen zwischen 88 und 90 im optimalen Bereich. Die weiteren Winkel sind alle größer als 45 und liegen damit auch in einem Bereich, der eine sehr gute Qualität des Gitters ergibt. Der Volumenänderungsfaktor liegt zu etwa 95% zwischen 1 und Insgesamt liegt in diesem Fall also ein Gitter mit hoher Qualität vor. Abbildung 4.10: Winkel (links) und Volumenänderung (rechts) des Gitters der verfeinerten scharfkantigen Pyramide mit Sockel 27

36 4 Untersuchte Fälle 4.4 Sunwater-Factory c 4.4 Sunwater-Factory c Geometrie Abbildung 4.11 zeigt die Geometrie einer Sunwater-Factory c Einheit. Im Gegensatz zu den bisher vorgestellten Pyramidenmodellen sind die Kanten der realen Geometrie abgerundet. Die Höhe beträgt hier mm und die Kantenläge beträgt 922mm. Dass die Höhe dieses Modells etwas geringer ist als die Höhe der Pyramide mit Sockel (h=376.49mm), lässt sich durch die abgerundete Spitze der Einheit erklären. Die Höhe der Pyramide mit Sockel entspricht der Höhe der Sunwater-Factory c Einheit mit scharfen Kanten. Im Vergleich zu der realen Sunwater-Factory c Einheit wurde die Geometrie für die Simulation in soweit vereinfacht, dass Bodenwanne und Abdeckung der Einheit zusammenhängend konstruiert wurden und nicht voneinander zu trennen sind. Diese Vereinfachung ist legitim, da hauptsächlich die Kräfte untersucht werden sollen, die auf die Oberfläche der Abdeckung wirken und diese zum Abheben bringen. Abbildung 4.11: Sunwater-Factory c Geometrie Kontrollraum Die Maße des Kontrollraumes der Sunwater-Factory c Geometrie wurden im Vergleich zum vorangegangenen Kontrollraum etwas vergößert, um sicherzustellen, dass die Wände die Lösung nicht beeinflussen. Die genauen Abmessungen des Kontrollraumes sind im Anhang auf Seite X zu finden Gitter Die Anzahl der Zellen für den Kontrollraum der Sunwater-Factory c Geometrie beträgt Abbildung 4.12 zeigt das Gitter der Sunwater-Factory c Einheit. Die Verteilung der Winkel und die Volumenänderung sind Abbildung 4.13 zu entnehmen. Bis 28

37 4 Untersuchte Fälle 4.5 Pyramidenfeld auf wenige Ausnahmen liegen die Winkel zwischen 45 und 90 und 80% der Volumenänderungsfaktoren liegen zwischen 1 und 1.3. Somit liegt hier eine ausreichend gute Gitterqualität vor. Abbildung 4.12: Gitter der Sunwater-Factory c Geometrie Abbildung 4.13: Winkel (links) und Volumenänderung (rechts) des Gitters der Sunwater- Factory c Geometrie 4.5 Pyramidenfeld Geometrie Die Sunwater-Factory c wird normalerweise aus mehreren Einzelpyramiden aufgebaut, die miteinander verbunden werden. Daher soll auch ein Pyramidenfeld bestehend aus mehreren Sunwater-Factory Einheiten untersucht werden. 29

38 4 Untersuchte Fälle 4.5 Pyramidenfeld Da die Gittergenerierung für die Sunwater-Factory c Geometrie (vgl. Kapitel 4.4.3) viel komplexer ist als die der scharfkantigen Pyramide mit Sockel (vgl. Kapitel 4.3.4), wurde das Pyramidenfeld aus 5x2 Modulen dieser vereinfachten Geometrie aufgebaut. Neben der vereinfachten Geometrie wurde zusätzlich zur Vereinfachung des Pyramidenfeldes der sonst übliche Abstand von ca. 2cm zwischen den einzelnen Sunwater- Factory c Modulen vernachlässigt. In Abbildung 4.14 ist die Geometrie des gesamten Pyramidenfeldes abgebildet. Abbildung 4.14: Geometrie des Pyramidenfeldes Kontrollraum Die Abstände zwischen den einzelnen Pyramiden und den Wänden des Kontrollraumes entsprechen den Abständen, die auch bei der Pyramide mit Sockel mit verfeinertem Gitter verwendet wurden. Die genauen Maße sind im Anhang auf Seite X dargestellt Gitter Das Gitter für das Pyramidenfeld wurde erstellt, indem das verfeinerte Gitter der Pyramide mit Block kopiert und wieder um den Kontrollraum erweitert wurde. Das gesamte Gitter besteht aus insgesamt Zellen. Die Verteilung der Winkel in diesem Gitter und die Volumenänderungsfaktoren sind in Abbildung 4.15 dargestellt. Zu fast 98% liegen die Volumenänderungsfaktoren im optimalen Bereich zwischen 1 und 1.1. Die Winkel liegen in einem Bereich von 45 bis 99. Insgesamt liegt also ein Gitter mit guter Qualität vor. 30

39 4 Untersuchte Fälle 4.6 Randbedingungen Abbildung 4.15: Winkel (links) und Volumenänderung (rechts) des Gitters des Pyramidenfeldes 4.6 Randbedingungen Für die Strömungssimulation der scharfkantigen Pyramide und der Pyramide mit Sockel wurde das Geschwindigkeitsprofil übernommen, das für die Experimente von Ikhwan verwendet wurde [6]. Dabei handelt es sich um ein Potenzprofil, ( ) α z u(z) = u ref, (4.1) z ref mit einem Exponenten α = Als Referenzgeschwindigkeit u ref wird m/s bei der Referenzhöhe z ref =0.1m gemäß dem Experiment verwendet. Diese Referenzgeschwindigkeit und -höhe werden auch für die Simulationen der Pyramide mit Sockel mit verfeinertem Gitter übernommen, wobei für das Geschwindigkeitsprofil jedoch eine logarithmische Verteilung verwendet wird u(z) = u ( ) τ z + κ ln z0. (4.2) Als Rauigkeitshöhe wird, wie in Kapitel beschrieben, z 0 = 0.15mm gewählt. Die Schubspannungsgeschwindigkeit u τ folgt aus diesem z 0 zusammen mit Referenzgeschwindigkeit und -höhe (u τ = m/s). Der Grund für den Wechsel zum logarithmischen Profil ist zum einen die einfachere Umsetzung einer veränderten Bodenrauigkeit. Zum anderen lassen sich mit der logarithmischen Verteilung der Geschwindigkeit die zugehörigen Verteilungen von k und ɛ einfacher definieren. Für k ergibt sich ein konstanter Wert nach k = z 0 u2 τ Cµ. (4.3) Diese Vorgehensweise konnte nur bedingt für die Simulationen mit dem Potenzprofil 4.1 übernommen werden. Der Grund dafür ist in Abbildung 4.16 gezeigt. 31

40 4 Untersuchte Fälle 4.6 Randbedingungen Abbildung 4.16: k am Einlass Für eine Rauigkeitshöhe von z 0 =2.49mm ergibt sich für u τ ein Wert von m/s. Die analytisch am Strömungseinlass berechnete turbulente kinetische Energie entspricht hier einem Wert von m 2 /s 2. Um die Messwerte von Ikhwan [6] besser wiedergeben zu können, wurde in Fluent am Einlass ein Wert von k=0.77m 2 /s 2 vorgegeben. Dieser Wert passt jedoch nicht zu der Bodenrauigkeit und dem zugehörigen Geschwindigkeitsprofil. Die von Ikhwan ermittelten Werte, der daraus ermittelte Wert für k, der am Einlass vorgegeben wird und der analytisch berechnete Wert sind in Abbildung 4.16 gegenübergestellt. Zwischen dem vorgegebenen und dem analytisch berechneten Wert von k liegt eine Differenz von deutlich mehr als 50%. Abbildung 4.17 zeigt sowohl Ikhwans Geschwindigkeitsprofil (Potenzfunktion), als auch das logarithmische Profil. Mithilfe der Referenzhöhe und der Referenzgeschwindigkeit wurden die Höhe und die Geschwindigkeit dimensionslos gegeneinander aufgetragen. Des Weiteren ist der Verlauf der Profile für den bodennahen Bereich vergrößert dargestellt, um die unterschiedlichen Verläufe zu verdeutlichen. Zur Berechnung der Sandkornrauheit k S wird die in Kapitel 2.4 eingeführte Approximation 2.17 verwendet. Bei Ikhwans Experimenten wurde eine Rauigkeitshöhe von z 0 = 2.49mm angenommen. Mit einer Rauigkeitskonstante von C S = 7.65 und der empirischen Konstante E=9.793 ergibt sich für k S : 32

41 4 Untersuchte Fälle 4.6 Randbedingungen Abbildung 4.17: Geschwindigkeitsprofil (Potenzfunktion) von Ikhwan und logarithmisches Geschwindigkeitsprofil (links), vergrößerte Darstellung in Bodennähe (rechts) k S E C S z 0 = mm = mm. (4.4) Die erste Zelle über dem Boden, z, muss mindestens doppelt so hoch sein wie k S. Daraus folgt, dass z mindestens mm betragen muss. Dieser Wert wurde auf 6.4mm aufgerundet. Für die Pyramide mit Sockel mit verfeinertem Gitter und für die Sunwater-Factory c Geometrie wurde eine Rauigkeitshöhe von z 0 = 0.15mm angenommen. Die Rauigkeitskonstante in diesem Fall beträgt C S = 1. Die Rechnung wird analog zu Rechnung 4.4 durchgeführt. Daraus folgt für die Sandkornrauigkeit ein Wert von k S =1.4690mm. Die Höhe der ersten Zelle über dem Boden muss mindestens zweimal k S, also mm betragen. Gewählt wurde eine Höhe von z = 4.5mm. Um die einzelnen Simulationen miteinander vergleichen zu können muss die Reynoldszahl in etwa gleich sein. Diese dimensionslose Kennzahl wird wie folgt berechnet Re = ρ u ref,h h µ. (4.5) Die Dichte ρ hat dabei einen Wert von 1.225kg/m 3, für die dynamische Viskosität gilt µ=1.7894e 5. Die Werte für die jeweilige Referenzhöhe und -geschwindigkeit, sowie die Reynoldszahlen der einzelnen Modelle sind in Tabelle 4.1 angegeben. 33

42 4 Untersuchte Fälle 4.6 Randbedingungen Modell z ref,h [m] u ref,h [m/s] Re [-] a b c d Tabelle 4.1: Referenzhöhen und -geschwindigkeiten, sowie Reynoldszahlen der einzelnen Modelle (a: scharfkantige Pyramide, b: scharfkantige Pyramide mit Block, c: scharfkantige Pyramide mit Block - verfeinertes Gitter, d: Sunwater- Factory c Wie Tabelle 4.1 zu entnehmen ist, erhöht sich von Modell b zu Modell c sowohl die Referenzhöhe als auch die -geschwindigkeit. Dadurch ist die Reynoldszahl der Pyramide mit Sockel mit verfeinertem Gitter etwa fünfmal so groß wie die Reynoldszahl der Pyramide mit Sockel. Um für Modell b ebenfalls eine Reynoldszahl von zu erhalten, muss die Referenzgeschwindigkeit auf m/s erhöht werden. Es wird eine Simulation des Modells b mit verändertem Geschwindigkeitsprofil durchgeführt, um die einzelnen Fälle miteinander vergleichen zu können. 34

43 5 Ergebnisse 5.1 Iterative Konvergenz An dieser Stelle werden zunächst die Residuen der untersuchten Fälle betrachtet. Um so kleiner der jeweilige Wert der Residuen ist, desto kleiner ist auch der Konvergenzfehler der Lösung. Wie weit die Lösungen der einzelnen Modelle konvergiert sind, ist den in Tabelle 5.1 angegebenen Residuen zu entnehmen. Aufgrund der hohen Zellenanzahl des Pyramidenfeldes wurde die Rechnung in diesem Fall mit einfacher Genauigkeit durchgeführt. Die Simulationen mit nur einer Pyramide verwenden doppelte Genauigkeit, d.h. die doppelte Anzahl von Nachkommastellen im Programm. a b c d e Iteration Kontinuität e e e e e-03 x-geschwindigkeit e e e e e-06 y-geschwindigkeit e e e e e-06 z-geschwindigkeit e e e e e-06 k e e e e e-05 epsilon e e e e e-04 Tabelle 5.1: Residuen der einzelnen Modelle (a: scharfkantige Pyramide, b: scharfkantige Pyramide mit Block, c: scharfkantige Pyramide mit Block - verfeinertes Gitter, d: Sunwater-Factory c, e: Pyramidenfeld) Variable Unterrelaxationsfaktor Druck 0.15 Impuls 0.5 Turbulente kinetische Energie 0.6 Turbulente Dissipationsrate 0.6 Tabelle 5.2: Unterrelaxationsfaktoren der Simulation der Pyramide mit Sockel mit verfeinertem Gitter Die Konvergenz der Pyramide mit Sockel mit verfeinertem Gitter wurde durch Nutzung des RNG k-ɛ-modells stark verschlechtert. Daher wurde durch Unterrelaxation die 35

44 5 Ergebnisse 5.1 Iterative Konvergenz Konvergenz stabilisiert (siehe auch Kapitel 3.6). Die in Fluent eingegebenen Faktoren sind Tabelle 5.2 zu entnehmen. Da für die Simulation des Pyramidenfeldes das Modell der Pyramide mit Block mit verfeinertem Gitter genutzt wurde, wurden zur Stabilisation dieser Lösung ebenfalls die in Tabelle 5.2 angegebenen Unterrelaxationsfaktoren genutzt. Die für diese zwei Fälle in Tabelle 5.1 angegebenen Residuen sind jeweils die mithilfe der Unterrelaxation erreichten Werte. Die Kraftbeiwerte der einzelnen Rechnungen sind je nach Konvergenz der Residuen konstant, oder weisen noch geringe Schwankungen auf. Um einen möglichst realistischen Wert zur Auswertung zu erhalten, wurden jeweils die letzten 200 Werte der berechneten Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte ausgewählt und aus diesen Werten anhand folgender Gleichung der Mittelwert gebildet. mit c A,i = c A = 1 N W N W i=1 F z,i ρ 2 u2 ref,h A proj c A,i, (5.1). (5.2) Die Standardabweichung berechnet sich wie folgt σ A = 1 N W (c A,i c A ) N W 1 2. (5.3) i=1 Modell maximale Standardabweichung [%] a 0 b 0 c 0.5 d 0.5 e 36.1 Tabelle 5.3: maximale Standardabweichung der einzelnen Modelle bezogen auf den jeweiligen Mittelwert (a: scharfkantige Pyramide, b: scharfkantige Pyramide mit Block, c: scharfkantige Pyramide mit Block - verfeinertes Gitter, d: Sunwater-Factory c, e: Pyramidenfeld) Tabelle 5.3 zeigt die maximale Standardabweichung der ermittelten Kraftbeiwerte der jeweiligen Modelle bezogen auf den entsprechenden Mittelwert. Da die maximale Standardabweichung der ersten vier Simulationen jeweils unter einem Prozent liegt, wird diese im Folgenden vernachlässigt. Zu berücksichtigen ist nur die Standardabweichung der Werte im Pyramidenfeld, da diese mit 36.1% sehr groß ist. 36

45 5 Ergebnisse 5.2 Ausgewertete Größen 5.2 Ausgewertete Größen Um die Druckverteilung der einzelnen Modelle beschreiben zu können wird der dimensionslose Druckbeiwert verwendet. Dieser stellt das Verhältnis von statischem zu dynamischem Druck dar und berechnet sich wie folgt c p = p p ref ρ 2 u2 ref,h. (5.4) Dabei ist u ref,h die Antrömgeschwindigkeit, p ref der statische Druck in der Zuströmung und ρ die Dichte der Luft. Als Anströmgeschwindigkeit wird in dieser Arbeit in Anlehung an Ikhwan die Referenzgeschwindigkeit bei maximaler Höhe der jeweiligen Pyramide, z ref,h, verwendet. Weitere dimensionslose Beiwerte sind der Widerstandsbeiwert c W und der Auftriebsbeiwert c A. In den Widerstandsbeiwert gehen nur die Kräfte in x-richtung ein, der Auftriebsbeiwert berücksichtig ausschließlich die Kräfte in z-richtung. Die Definitionen dieser Beiwerte lauten wie folgt [6] c W = F W ρ 2 u2 ref,h A proj, c A = F A ρ 2 u2 ref,h A proj. (5.5) Die Werte, die bei den verschiedenen Modellen für z ref,h und u ref,h gelten, sind Tabelle 5.4 zu entnehmen. Modell z ref,h [m] u ref,h [m/s] a b c d e Tabelle 5.4: Referenzhöhen und -geschwindigkeiten der einzelnen Modelle (a: scharfkantige Pyramide, b: scharfkantige Pyramide mit Block, c: scharfkantige Pyramide mit Block - verfeinertes Gitter, d: Sunwater-Factory c, e: Pyramidenfeld) 5.3 Kraftbeiwerte Im Folgenden werden zunächst jeweils die scharfkantige Pyramide und die Pyramide mit Sockel miteinander verglichen. Um die ermittelten Werte miteinander vergleichen zu 37

46 5 Ergebnisse 5.3 Kraftbeiwerte können, werden in diesem Vergleich die jeweils gleichen Flächen betrachtet, d.h., dass an dieser Stelle der Sockel des zweiten Modells außer Acht gelassen wird. Der Flächeninhalt der projizierten Fläche beträgt in beiden Fällen m 2. Anschließend werden die Pyramide mit Sockel, die Pyramide mit Sockel mit verfeinertem Gitter und die Sunwater-Factory c miteinander verglichen. Schließlich werden die Werte, die für das Pyramidenfeld ermittelt wurden, im Vergleich zu den Ergebnissen der Pyramide mit Sockel mit verfeinertem Gitter betrachtet. Modell A proj [m 2 ] b c d e Tabelle 5.5: projizierte Flächen der einzelnen Modelle (b: scharfkantige Pyramide mit Block, c: scharfkantige Pyramide mit Block - verfeinertes Gitter, d: Sunwater-Factory c, e: Pyramidenfeld) Bei den Pyramiden mit Sockel wurde in der Auswertung die jeweilige Fläche des Sockels zu der entsprechenden Pyramidenseite gezählt. Der Flächeninhalt der jeweiligen projizierten Fläche ist Tabelle 5.5 zu entnehmen. Abbildung 5.1: Vergleich der Widerstandsbeiwerte (ohne Sockel) 38

47 5 Ergebnisse 5.3 Kraftbeiwerte Zunächst werden die Widerstandsbeiwerte der scharfkantigen Pyramide und der Pyramide mit Sockel betrachtet (Abbildung 5.1). Der Widerstandsbeiwert auf der Rückseite der Pyramiden liegt bei der Pyramide mit Sockel deutlich höher als bei der scharfkantigen Pyramide. Auf der Vorderseite liegt der c W -Wert der scharfkantigen Pyramide etwas über dem Wert der Pyramide mit Sockel. Bei beiden Modellen ist der Widerstandsbeiwert auf der rechten und linken Seite vernachlässigbar klein. In den Widerstandsbeiwert gehen nur die Kräfte ein, die in Strömungsrichtung wirken. Daher haben die Widerstandskräfte auf die Seitenflächen der Pyramiden keinen Einfluss. Abbildung 5.2: Vergleich der Auftriebsbeiwerte (ohne Sockel) Betrachtet man dagegen die Auftriebsbeiwerte dieser beiden Modelle (Abbildung 5.2), so wird deutlich, dass hier die Werte auf den Seitenflächen sogar höher liegen, als die Auftriebsbeiwerte auf der Vorder- und Rückseite der Modelle. Auf allen vier Flächen der Pyramiden liegt der c A -Wert der Pyramide mit Sockel über dem Wert der scharfkantigen Pyramide. Die für die jeweilige Vorderseite bestimmten Werte liegen im negativen Bereich und damit deutlich unter den Werten, die für die anderen Seiten gelten. Abbildung 5.3 zeigt die von Ikhwan ermittelten Widerstandsbeiwerte, sowie den c W - Wert der insgesamt für die scharfkantige Pyramide ermittelt wurde. Ikhwans Wert für die Pyramide mit 30 Basiswinkel und der Wert der scharfkantigen Pyramide (33 Basiswinkel) weichen nur wenig voneinander ab. Analog zu Abbildung 5.3 sind in Abbildung 5.4 die Auftriebsbeiwerte der Pyramiden von Ikhwan und der Wert für die scharfkantige Pyramide im Vergleich zueinander dargestellt. Der Auftriebsbeiwert, der für die scharfkantige Pyramide ermittelt wurde, 39

48 5 Ergebnisse 5.3 Kraftbeiwerte Abbildung 5.3: Vergleich der Widerstandsbeiwerte mit Ikhwan Abbildung 5.4: Vergleich der Auftriebsbeiwerte mit Ikhwan 40

49 5 Ergebnisse 5.3 Kraftbeiwerte liegt etwa fünfmal höher als Ikhwans Werte. Bei Ikhwans Experimenten wurden ausschließlich Drücke gemessen, die auf die jeweilige Pyramidenseite wirken. Die Reibung wurde dort nicht beachtet. Die Kraftbeiwerte wurden aus den gemessenen Drücken abgeschätzt. Des Weiteren wurden keine Werte in direkter Kantennähe gemessen. Trotz der deutlichen Abweichung der Auftriebsbeiwerte der scharfkantigen Pyramide zu den von Ikhwan ermittelten Werten, liegen die hier für die scharfkantige Pyramide ermittelten Werte also im realistischen Bereich. Als Nächstes werden die Kraftbeiwerte der Pyramide mit Sockel, der Pyramide mit Sockel mit verfeinertem Gitter und die der Sunwater-Factory c Geometrie vergleichend betrachtet. Abbildung 5.5: Vergleich der Widerstandsbeiwerte Abbildung 5.5 zeigt die Widerstandsbeiwerte der verschiedenen Modelle für jede der vier Pyramidenseiten. Sowohl auf der Vorder- als auch auf der Rückseite liegt der Widerstandsbeiwert der Pyramide mit Block am höchsten, es folgt der Wert der Pyramide mit Block mit verfeinertem Gitter. Den niedrigsten Wert weist die Sunwater-Factory c Geometrie auf. Auch hier sind die Widerstandsbeiwerte auf den Seitenflächen der Pyramiden vernachlässigbar klein. Abbildung 5.6 zeigt die Auftriebsbeiwerte der einzelnen Modelle für jede der vier Pyramidenseiten im Vergleich zueinander. Auf der Hinterseite und auf der linken und rechten Pyramidenseite ist die gleiche Anordnung der Auftriebsbeiwerte der verschiedenen Pyramiden zu erkennen. Den höchsten Auftriebsbeiwert weist dort jeweils die Pyramide mit Block auf, den niedrigsten die Sunwater-Factory c Einheit. Dazwischen liegt jeweils 41

50 5 Ergebnisse 5.4 Druckverteilung Abbildung 5.6: Vergleich der Auftriebsbeiwerte der Wert der Pyramide mit Sockel mit feinerem Gitter. Auf der Vorderseite der Modelle liegen die Auftriebsbeiwerte in umgekehrter Reihenfolge vor. Der Wert der Pyramide mit Sockel liegt im negativen Bereich. Es fällt auf, dass die Auftriebsbeiwerte der Sunwater-Factory c Einheit alle im positiven Bereich liegen. Es wirken also auf jeder der vier Seiten der Pyramide Auftriebskräfte in z-richtung. Diese Kräfte sind der Grund für das Abheben der Abdeckung der Sunwater-Factory c Einheit. 5.4 Druckverteilung Abbildung 5.7 zeigt die Verteilung der Druckbeiwerte auf der Vorderseite der verschiedenen Pyramiden. In Abbildung 5.8 sind die Druckverteilungen in Draufsicht dargestellt. Modell a weist an den Kanten der Pyramide negative Druckbeiwerte auf. Die minimalen Werte finden sich an der Pyramidenspitze und der höchste Druckbeiwert wurde in der Mitte der Vorderseite berechnet. Auch bei Pyramide b liegen die minimalen Beiwerte an den Kanten, das Minimum an der Spitze der Pyramide. Der Bereich mit den höchsten Druckbeiwerten ist in diesem Fall bis auf den Sockel ausgeweitet und zieht sich bis zur Unterkante. Auch bei Modell c befinden sich an den Kanten die negativen Druckbeiwerte, das Minimum liegt in diesem Fall jedoch nicht an der Spitze der Pyramide, sondern im mittleren Bereich der Kanten an der Pyramidenvorderseite. Weiter fällt bei dieser Pyramide auf, dass die maximalen Druckbeiwerte an den horizontalen Kanten des Sockels liegen. Im Bereich der vertikalen Kanten des Sockels wurden negative Druckbeiwerte 42

51 5 Ergebnisse 5.4 Druckverteilung Abbildung 5.7: Druckverteilung (c P ) Frontansicht (a: scharfkantige Pyramide, b: scharfkantige Pyramide mit Block, c: scharfkantige Pyramide mit Block - verfeinertes Gitter, d: Sunwater-Factory c ) 43

52 5 Ergebnisse 5.4 Druckverteilung Abbildung 5.8: Druckverteilung (c P ) Draufsicht (a: scharfkantige Pyramide, b: scharfkantige Pyramide mit Block, c: scharfkantige Pyramide mit Block - verfeinertes Gitter, d: Sunwater-Factory c ) 44

53 5 Ergebnisse 5.4 Druckverteilung ermittelt. Die Druckverteilung bei Pyramide d ist ähnlich aufgebaut wie bei Modell c. Es ist zu erkennen dass die Bereiche der minimalen und maximalen Werte dort größer sind als bei Modell c. Abbildung 5.9: Druckverteilung (c P ) auf der Unterseite der Auffangrinne der Sunwater- Factory c Einheit Abbildung 5.8 d zeigt deutlich, dass fast auf der gesamten Oberfläche der Sunwater- Factory c Einheit ein negativer Druck angreift. Nur in einem Teilbereich auf der Vorderseite der Pyramide können positive Werte abgelesen werden. Durch diesen Sog, der auf dem größten Teil der Oberfläche vorliegt, kommt es zu negativen Auftriebskräften (siehe Abbildung 5.6). Durch diese in z-richtung wirkenden Kräfte kommt es zum Abheben der Abdeckung der Sunwater-Factory c Anlage. Die Verteilung der c p -Werte auf der Unterseite des Auffangringes der Sunwater-Factory c Einheit ist in Abbildung 5.9 zu sehen. Auf dem gesamten vorderen Bereich ist ein positiver Druckbeiwert abzulesen, für den hinteren Bereich wurde ein negativer Druckbeiwert berechnet. In Abbildung 5.10 sind die von Ikhwan gemessenen maximalen c p -Werte auf der Vorderseite der Pyramide dargestellt. Im Vergleich dazu ist der maximale c p -Wert auf der Vorderseite der in dieser Arbeit untersuchten scharfkantigen Pyramide abgebildet. Es ist zu erkennen, dass der Simulationswert etwas unter dem aus Ikhwan s Experimenten ermittelten Wert liegt. Abbildung 5.11 ist zu entnehmen, dass der minimale c p -Wert auf der Vorderseite der Pyramide von Ikhwan bei einem Basiswinkel von 33 bei etwa liegt. In Abbildung 45

54 5 Ergebnisse 5.4 Druckverteilung Abbildung 5.10: Vergleich der maximalen c p -Werte mit Ikhwan Abbildung 5.11: Vergleich der minimalen c p -Werte mit Ikhwan 46

55 5 Ergebnisse 5.5 Geschwindigkeiten und Turbulenz Abbildung 5.12: Minimale c p -Werte bis auf der Vorderseite 5.12 sind die c p -Werte abgebildet, die kleiner oder gleich diesem minimalem c p -Wert von Ikhwan sind. Es ist zu erkennen, dass sich in der Simulation die minimalen c p - Werte in direkter Wandnähe befinden. Bei Ikhwan liegt die wandnächste Bohrung für die Druckmessung etwa 6.5mm von der Wand entfernt. Daher können dort die minimalen Werte an den Kanten der Pyramide nicht gemessen werden. 5.5 Geschwindigkeiten und Turbulenz Wie in Kapitel 4.6 erläutert wurde, liegen bei der Untersuchung der scharfkantigen Pyramide mit Block und der Pyramide mit verfeinertem Gitter zwei sehr unterschiedliche Reynoldszahlen vor. Um die einzelnen Fälle dennoch miteinander vergleichen zu können, wurde eine Simulation des scharfkantigen Pyramide mit Block mit verändertem Geschwindigkeitsprofil durchgeführt. Die Ergebnisse dieser zusätzlichen Simulation unterscheiden sich nur wenig von den eigentlichen Ergebnissen. Daher sind diese nicht relevant für die nachfolgende Diskussion und werden nur im Anhang (S. XI) dargestellt. Abbildungen 5.13 und 5.14 zeigen die dimensionslosen Geschwindigkeiten in x-richtung, die in den verschiedenen Modellen auftreten. Um dimensionslose Geschwindigkeiten zu erhalten, wurden die Geschwindigkeiten in x-richtung auf die Referenzgeschwindigkeit u ref = m/s bezogen. Abbildung 5.13 zeigt eine Ebene, die durch y=0 verläuft. Für Abbildung 5.14 wurde die Schnittebene so gewählt, dass immer der gleiche Abstand zur jeweiligen Pyramidenspitze vorliegt. Der Abstand entspricht dabei immer der halben Höhe der scharfkantigen Pyramide in der jeweiligen Skalierung. Durch die Auswahl dieser Schnittebenen wird erreicht, dass ein immer gleich großer Pyramidenquerschnitt umschlossen wird. Für die Modelle a und b wurde das Geschwindigkeitsprofil von Ikhwan verwendet (Potenzfunktion), für c und d wurde das logharitmische Geschwindigkeitspro- 47

56 5 Ergebnisse 5.5 Geschwindigkeiten und Turbulenz Abbildung 5.13: dimensionslose Geschwindigkeiten in x-richtung - Seitenansicht - Schnitt bei y=0 (a: scharfkantige Pyramide, b: scharfkantige Pyramide mit Block, c: scharfkantige Pyramide mit Block - verfeinertes Gitter, d: Sunwater-Factory c ) 48

57 5 Ergebnisse 5.5 Geschwindigkeiten und Turbulenz Abbildung 5.14: dimensionslose Geschwindigkeiten in x-richtung - Draufsicht - Schnitt bei z=h Schnitt (a: scharfkantige Pyramide, b: scharfkantige Pyramide mit Block, c: scharfkantige Pyramide mit Block - verfeinertes Gitter, d: Sunwater-Factory c ) 49

58 5 Ergebnisse 5.5 Geschwindigkeiten und Turbulenz fil verwendet (siehe Kapitel 4.6). Sowohl in Abbildung 5.13 als auch in Abbildung 5.14 ist das Ablösegebiet der einzelnen untersuchten Fälle zu sehen. In beiden Abbildungen ist zu erkennen, dass das Ablösegebiet bei Modell a sehr klein ist. Modell b weist bereits ein größeres Ablösegebiet auf, für Modell c ist das Gebiet am größten. Bei der Sunwater-Factory c Geometrie ist das Ablösegebiet wiederum etwas kleiner als bei Modell c, jedoch immer noch deutlich größer als bei den Modellen a und b. Der Verlauf der Geschwindigkeiten spiegelt die Verteilung des Druckes auf den Pyramidenoberflächen wieder (siehe Abbildungen 5.7 und 5.8). Durch die direkte Antrömung entsteht der größte Druck jeweils auf der Vorderseite der Pyramiden. Auf den Rückseiten der Modelle a und b stellen sich aufgrund des kleineren Ablösegebietes verschiedene Druckbeiwerte ein. Im oberen Teil der Modelle liegen durch den negativen Druckbeiwert positive Geschwindigkeiten vor. Die Bilder 5.15 bis 5.18 zeigen die x-geschwindigkeiten der einzelnen Modelle als Verlauf der Stromlinien. Werden die Stromlinien gekrümmt, so ändert sich der Druckgradient und damit die Geschwindigkeit. Besonders deutlich wird dies, wenn man Abbildung 5.17 betrachtet. Dort, wo die Stromlinien auf die Pyramide treffen erhöht sich der Druck infolge der Verdrängung und die Geschwindigkeit wird kleiner. An den Kanten des Modells nimmt der Druck ab und die Geschwindigkeit zu. Die Ablösegebiete der Pyramide mit Sockel mit verfeinertem Gitter und der Sunwater- Factory c Einheit, welche größer ausfallen als die der anderen beiden Modelle (siehe auch Abbildung 5.13), werden im Verlauf der Stromlinien nochmal verdeutlicht. Im Nachlauf dieser Modelle sind deutlich Verwirbelungen der Stromlinien zu erkennen, die sich auf das jeweilige Ablösegebiet auswirken. Abbildung 5.15: Stromlinien, Geschwindigkeit in x-richtung, scharfkantige Pyramide 50

59 5 Ergebnisse 5.5 Geschwindigkeiten und Turbulenz Abbildung 5.16: Stromlinien, Geschwindigkeit in x-richtung, Pyramide mit Block Abbildung 5.17: Stromlinien, Geschwindigkeit in x-richtung, Pyramide mit Block - feineres Gitter 51