1 Diskrete Fourier Transformation

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1 Disree Fourier Trnsormion Im vorhergehenden Kpiel wurde die Beschreibung des Verhlens signlverrbeiender Syseme im Zeibereich mi Hile des Flungsinegrls bzw. mi Hile der disreen Flung vorgesell. Häuig lssen sich solche Syseme llerdings eincher und nschulicher im Sperlbereich beschreiben. Beispielsweise läss sich ein digiles Filer im Sperlbereich einch ls mulipliive Vernüpung des Sperums des Eingngssignls mi der Überrgungsunion des Filers drsellen. Dher wird im Folgenden die disree Fourier Trnsormion DFT eingeühr, mi deren Hile ein die Abswere eines Zeisignls in den Sperlbereich rnsormier und dor nlysier werden önnen. Es wird ebenlls die zugehörige inverse Disree Fourier Trnsormion IDFT vorgesell, mi der ein DFT Sperum wieder in den Zeibereich zurücrnsormier werden nn. Die Eigenschen von DFT und IDFT werden erläuer. Anschließend wird die Verwendung der Fourier Trnsormion zur Beschreibung nchrichenechnischer Überrgungssyseme drgesell. Eine weiere Anwendung der DFT inde sich in der Sperlnlyse von Signlen oder urzen Signlbschnien, wobei dzu meis eine recheneiziene Vrine der DFT, die schnelle s Fourier Trnsormion FFT eingesez wird. Die disree Cosinus Trnsormion DCT wird bschließend vorgesell, die in verschiedenen Bereichen der Sprch- und Bildverrbeiung eingesez wird.. Einührung der disreen Fourier-Trnsormion DFT Besimme Eigenschen von Signlen oder Signlverrbeiungsvorgängen önnen im Sperlbereich besser und nschulicher drgesell werden. Bei den meisen Signlen önnen die sperlen Mermle durch Anwendung einer Fourier Trnsormion ermiel werden. Die Fourier Trnsormion is ür zeioninuierliche Signle deinier zu e jπ d [ cosπ j sinπ ]d Ds Ergebnis dieser Trnsormion bezeichne mn ls Fourier Sperum. Der omplee Wer des Fourier Sperums bei der Frequenz ergib sich dbei ls Inegrl über ds Produ des Signls und einer Cosinus- bzw. Sinusunion mi der Frequenz. Für zeidisree Signle geh ds H.G. Hirsch DSS-WS /

2 Inegrl in eine Summe über und ds requenzoninuierliche Sperum läß sich berechnen zu nt b n n T e jπ nt Zur prischen Anwendung der Fourier-Trnsormion beschrän mn die Berchung u einen zeilich begrenzen Signlbschni. Bei einer numerischen Berechnung über einen zeilich begrenzen Abschni und dmi eine begrenze Zhl von Absweren muss llerdings die Bedingung erüll sein, dss die Abswere genu einer oder mehrerer Perioden des Cosinus oder Sinus in den Abschni pssen. Somi nn ds Sperum jedoch nur ür endlich viele disree Frequenzen berechne werden. Bei der Berchung eines zeilichen begrenzen Signlbschnis mi Absweren und einer zeilichen Länge von T nn ds Sperum nur ür die Frequenzen besimm werden, bei denen der berchee Signlbschni der zeilichen Duer einer Periode oder eines gnzzhligen Vielches einer Periode ensprich: T Bei der Anwendung der Fourier-Trnsormion u einen zeilich begrenzen Signlbschni wird ds Sperum bei den gennnen Frequenzen besimm, ws mn uch ls eine Absung im Frequenzbereich nsehen nn. Als Ergebnis erhäl mn ein sogennnes Liniensperum, bei dem äquidisn im Absnd Sperlwere ureen, die Were ungleich ull uweisen. Berche mn eine Folge von Absweren, so nn ds requenzdisree Sperum bei den Frequenzen b berechne werden zu n n T e jπ nt jπ n n n T e Im Abschni zur Absung wurde gezeig, dss ds Sperum eines zeidisreen Signls n unendlich usgedehn is, wobei die Sperlneile im Bereich wiederhol bei Vielchen der Absrequenz ureen. Drus nn mn bleien, dss eine Berechnung der Were b im Bereich genüg, um ds Sperum vollsändig beschreiben und drsellen zu önnen. Beispielsweise würde dies ür einen gerden Wer von bedeuen, die Were b ür zu berechnen. Tsächlich berechne mn die Disree Fourier H.G. Hirsch DSS-WS /

3 Trnsormion ber in der Regel ür die Indices. Dmi erhäl mn eine vollsändige Periode des sich bei Vielchen der Absrequenz wiederholenden Sperums, die benöig wird, um eine Rücrnsormion in den Zeibereich mi einer inversen Fourier Trnsormion zu ermöglichen. Mi einer leich vereinchen Schreibweise, bei der mn sich u den Zeiinde n und den Frequenzinde beschrän, ergib sich somi die Deiniion der Disreen Fourier Trnsormion DFT zu jπ n n e ür,,..., n Als Ergebnis der DFT ergeben sich somi omplee Were, die ein Liniensperum bei den L deinieren. Frequenzen Hz,,, 3,, Aus der Beschränung u die Besimmung einer disreen Anzhl von Sperlweren nn mn olgern, dss mi der DFT e eigenlich nur Signle nlysier werden önnen, die bgesehen von einem möglichen Gleichneil Hz nur Frequenzneile bei und bei Vielchen dieser Frequenz besizen. Diese Vorussezung wird von periodischen Signlen erüll, bei denen e eine oder mehrere Perioden in dem zu nlysierenden Signlbschni liegen. An dieser Selle läss sich uch ein Bezug zur Drsellung eines periodischen Signls ls Fourier- Reihe hersellen, mi der mn einen periodischen Signlverlu ls eine Summe gewicheer Cosinus- und Sinusschwingungen drsellen nn: Fourier Re ihe : + [ cos π + b sin π ] Die Rel-und Imginäreile der us der disreen Fourier-Trnsormion resulierenden Fourier- Koeizienen ensprechen den Wichungsoeizienen und b. Im ncholgenden Abschni wird gezeig, wie mn die Wichungsoeizienen us den Fourier-Koeizienen besimmen nn. Die schon erwähne Rücrnsormion der ompleen Were in den Zeibereich sieh orml rech ähnlich us wie die DFT. Die inverse disree Fourier Trnsormion IDFT is deinier zu j π n n e ür n,,..., H.G. Hirsch 3 DSS-WS /

4 . Eigenschen der Disreen Fourier Trnsormion Um einige Eigenschen der DFT uzuzeigen, werden beispielh in Bild 3. die Abswere n ür n 9 einer Periode eines periodischen Zeisignls sowie der Releil und der Imginäreil des mi Hile der DFT besimmen Sperums ür 9 drgesell. n n Re{} Im{} Bild 3.: Eine Periode eines Zeisignls und der Rel- und Imginäreil der zugehörigen DFT Es wird ngenommen, dss die Absung bei diesem Beispiel im Absnd von ms erolge, so dss sich die Absrequenz ergib zu: T ms Hz T Die Sperlwere önnen mi der DFT im Absnd Hz T 5 berechne werden. Somi nn ds Sperum mi,,,- ür Hz, 5 Hz, Hz,..., 95 Hz berechne werden. Ersez mn die Eponenilunion bei der DFT und der IDFT durch eine Summe us Cosinus und Sinus Termen, so lssen sich die DFT und die IDFT uch drsellen ls H.G. Hirsch 4 DSS-WS /

5 n [ cos π n j sin π n ] n n [ cos π n + j sin π n ] Diese modiiziere Schreibweise verdeulich nochmls die Inerpreion der mi Hile der DFT besimmen Koeizienen ls Wichungsoeizienen der zugehörigen Cosinus- und Sinusschwingungen. Dbei gil der olgende Zusmmenhng zwischen den DFT Koeizienen und den Koeizienen der Fourier Reihe: Fourier Reihe : Re + [ cos π + b sin π ] [ ] ür,,,..., b Im[ ] ür,,..., Besimm mn ür ds berchee Beispiel us den DFT Koeizienen ür die zugehörigen Wichungsoeizienen, so läss sich ds zur Drsellung in Bild 3. gehörige nloge, periodische Zeisignl beschreiben ls: Re b Im cos [ ] 3,3 5,5 3 [ ] 5,5 b Im[ 4] 4 π 5 +,3 cos π 5,5 cos π 5 sin π,7 sin π 5,5 7,7 + Die Absung eines zeioninuierlichen Signls ühr zu einer periodischen Wiederholung des TP- Sperums bei Vielchen der Absrequenz. Drus ergib sich uch die in Bild 3. zu sehende Symmerie der Ausgngswere der DFT bezüglich des Frequenzwers bei /, der der hlben Absrequenz ensprich. Es gil die olgende Beziehung zwischen den Sperlweren unerhlb und oberhlb von /: gerde : ungerde : * + l l mi l,,..., * + l l mi l, 3,..., Dmi ergib sich ür ds Beispiel in Bild 3., dss z.b. der Wer des Releils der DFT Komponene bei 5 Hz dem Wer bei 95 Hz ensprich und der Wer des Imginäreils bei Hz bei umgeehrem Vorzeichen dem Wer bei 8 Hz ensprich. H.G. Hirsch 5 DSS-WS /

6 Is mn nur n einer Drsellung des Ergebnisses der DFT ls Sperum ineressier, so nn mn die Berchung und uch die Berechnung von u den Bereich von,,,/ beschränen, der dem Frequenzbereich von Hz bis zur hlben Absrequenz ensprich. Zudem sell mn ds Sperum häuig nich ls Rel- und Imginäreil, sondern miels Berg und Phse dr..3 Beschreibung linerer, zeiinvriner Signlverrbeiungssyseme im Frequenzbereich Im vorhergehenden Kpiel wurde die Flung zur Beschreibung linerer, zeiinvriner Syseme im Zeibereich eingeühr: y h Ds Signl nn mi Hile der Fourier Trnsormion in den Sperlbereich rnsormier werden, wobei mn zur Beschreibung der Trnsormion die olgende Schreibweise benuz: jπ e d Ds Ergebnis is ein im llgemeinen omplees Fourier Sperum, ds mn uch ls Ampliudendichesperum bezeichne. In gleicher Weise läss sich die Sossnwor h in den Sperlbereich rnsormieren: jπ h H h e d Ds im llgemeinen omplee Fourier Sperum H bezeichne mn ls die Überrgungsunion des signlverrbeienden Sysems. D die Flung bei der Trnsormion in eine Mulipliion übergeh, ergib sich ds omplee Sperum Y des Ausgngssignls eines lineren zeiinvrinen Sysems ls ds lgebrische Produ von und H: Y H Dieser Zusmmenhng wird noch einml in Bild 3. visulisier. h y h H Y H Bild 3.: Lineres, zeiinvrines Sysem in Zei- und Frequenzbereich H.G. Hirsch 6 DSS-WS /

7 H.G. Hirsch 7 DSS-WS / Dem nn mn beispielsweise ennehmen, dss mn ds zeiliche Ausgngssignl y eines Sysems uch bei Kennnis der Fourier Speren durch die Mulipliion von und H und eine inverse Trnsormion des Sperums Y in den Zeibereich besimmen nn. Für zeidisree Signle gil ensprechend: H Y m n h m n h n n y b b b m Um die Fourier Trnsormion zur Anlyse verschiedener Augbensellungen us dem Bereich der Signlverrbeiung nwenden zu önnen, is es hilreich, einige Theoreme zu ennen. Aus der Kennnis der Beziehung δ nn mn bleien, dss die Fourier Trnsormiere des Dirc Impulses der Konsnen ensprechen muss. δ Dies bedeue, dss ds Sperum des Dirc-Sosses unbhängig von der Frequenz einen onsnen Wer nnimm und somi unendlich usgedehn is. Superposiion: + + Die linere Überlgerung von Zeisignlen ühr zu einer ebenlls lineren Überlgerung der zugehörigen Speren. Ähnlicheisheorem: b b b Wird ein Zeisignl beispielsweise gesuch, so wird ds zugehörige Sperum gedehn. Umgeehr ühr eine Dehnung im Zeibereich zu einer Suchung des Sperums. Verschiebungsheorem: j e π

8 jπ Der Verschiebungsor e weis den Berg u. Eine Mulipliion dmi ühr somi zu einer bergsmäßigen Veränderung, sondern nur zu einer Phsenverschiebung. Symmerie: Fourier- und inverse Fourier Trnsormion unerscheiden sich nur durch ds Vorzeichen des Eponenen. Drus läss sich die olgende Symmeriebeziehung bleien: Mi Hile der Symmeriebeziehung läss sich weierhin bleien, dss ds Produ zweier Zeisignle zu einer Flung der zugehörigen Speren ühr: n Die Energie eines Signlbschnis läss sich im Zeibereich berechnen zu E [ n ] oder im Frequenzbereich zu E [ ] [ n ] Diesen Zusmmenhng zwischen der Berechnung der Energie im Frequenz- und im Zeibereich bezeichne mn ls ds Prsevlsche Theorem. n Die Theoreme der Fourier Trnsormion sollen beispielh ngewende werden, um die Fourier Trnsormiere eines Rechecimpulses zu besimmen und drus umgeehr ds zugehörige Zeisignl eines idel rechecörmigen verluenden Tiepss-Sperums bzuleien. rec -/ / Bild 3.3: Rechecimpuls mi der Bezeichnung rec Ein Einheis -Rechecimpuls mi der zeilichen Breie von und einer Ampliude von is deinier ls: rec ür / > / Ds Sperum des Rechecimpulses läss sich mi Hile der Fourier-Trnsormion besimmen zu H.G. Hirsch 8 DSS-WS /

9 Mi e rec e d e jπ d j π + jπ e d j π j + π jπ jπ [ e ] e e j π [ cos π j sin π cos π j sin π ] sin π π Bei dem Term sin π π ls Si-Funion bezeichne und ür ds Argumen hndel es sich um eine gedämpe Sinusschwingung, die mn uch π die Schreibweise Si π verwende. Die Fourier-Trnormiere des Rechecimpulses is die Si-Funion: rec Si π Uner Verwendung der Symmeriebeziehung ergib sich eine Si-Funion im Zeibereich ls Rechecunion im Frequenzbereich: Si π rec rec Die Funion rec beschreib einen idelen Tiepss mi unendlich großer Flnenseilhei. Um nun einen Tiepss mi einer rei wählbren Grenzrequenz zu berchen, wird ds Ähnlicheisheorem verwende, mi dem eine Funion im Zeibereich beliebig gedehn oder gesuch werden nn und in ensprechender Weise im Frequenzbereich gesuch oder gedehn werden nn: Si π T T rec T Der Zusmmenhng zwischen der Si-Funion im Zeibereich und dem Rechecimpuls im Frequenzbereich wird nochmls in Bild 3.4 vernschulich:.8.6 T.4. 3T -/T +/T Bild 3.4: Si-Funion im Zeibereich ls zugehörige Funion des idelen Tiepsses T T. Der idele Tiepss wird im Zeibereich durch die unendlich usgedehne Si-Funion beschrieben. Eine Tiepssilerung nn somi ls Flung eines Signls mi der Si-Funion relisier werden. D die Si-Funion unendlich usgedehn is, mn ber bei der prischen Relisierung die H.G. Hirsch 9 DSS-WS /

10 Funion zeilich begrenzen muss, läss sich drus die grundsäzliche Erennnis bleien, dss mn einen idelen Tiepss nich relisieren nn. Der Frequenzgng eines relen Tiepssilers besiz dher im Bereich der Grenzrequenz eine endliche Flnenseilhei..4 Sperlnlyse mi Hile der DFT Die DFT wird in vielen Geräen zur Besimmung der Frequenzzusmmensezung unbenner Signle verwende. Wie im Abschni 3. gezeig wurde, düren die zu nlysierenden Signle sreng genommen nur periodische Signle sein. Zudem müsse die Bedingung erüll sein, dss der zu rnsormierende Signlbschni, der us Absweren beseh, genu eine oder mehrere Perioden des periodischen Signls beinhle. D eine oder beide Bedingungen von einem zu nlysierenden Signl häuig nich erüll werden, wird im Folgenden unersuch, welchen Einluss dies u ds Ergebnis der DFT besiz. Die Beschränung u einen Signlbschni, der us Absweren beseh und dmi eine zeiliche Länge von Rechecunion der Länge T besiz, nn mn mhemisch ls eine Mulipliion mi einer T beschreiben. Ausgehend von einem nlogen Signlverlu läss sich die Absung ls Mulipliion mi der Summe us Dirc-Impulsen δ n T und n die zeiliche Beschränung u einen Abschni der Länge der Rechecunion n rec drsellen: T δ n T rec T T ls eine weiere Mulipliion mi T n δ n T Si π T Trnsormier mn ds Produ mi einer Fourier-Trnsormion in den Frequenzbereich, so ergib sich eine Flung des TP-Sperums mi der Folge von Dirc-Sößen bei Vielchen der Absrequenz sowie eine weiere Flung mi der zur Rechecunion gehörigen Si-Funion. Die Flung mi der Folge von Dirc-Sößen ühr zu einer sperlen Wiederholung bei Vielchen der Absrequenz. Der Einluss der zeilichen Beschränung u einen Signlbschni spiegel sich dher im Wesenlichen in der Flung des TP-Sperums mi der Si-Funion wieder. H.G. Hirsch DSS-WS /

11 Beispielh werden dzu in Bild 3.5 eine Rechecunion mi einer Länge von ms und der Berg des zugehörigen, Si-örmig verluenden Sperums drgesell. Bild 3.5: Zeisignl und Sperum eines Rechecensers Ds Sperum der Rechecunion nimm bei der Frequenz Hz T,s 5 und Vielchen dieser Frequenz den Wer n. Die Flung des Si-örmigen Sperums mi dem Sperum eines Cosinussignls wird in Bild 3.6 vernschulich. Dbei besiz ds Cosinussignl eine Frequenz von 5 Hz, so dss ds zugehörige Fourier Sperum us Dirc-Impulsen bei -5 Hz und bei +5 Hz beseh. Anlysier mn einen Signlbschni mi einer Länge von ms, so äll genu eine Periode in ds berchee Zeienser. Die zugehörige Si-örmige Frequenzchrerisi ensprich dbei dem in Bild 3.5 drgesellen Verlu. Ds Lösen des Flungsinegrls wird in nschulicher Form in Bild 3.6 durch eine Verschiebung des Si-örmigen Verlus über der Frequenz ngedeue. Als Ergebnis der Flung ergib sich die ddiive Überlgerung zweier Si-Funionen. D bei der Disreen Fourier- H.G. Hirsch DSS-WS /

12 Trnsormion nur die Were bei Vielchen der Frequenz Hz T 5 berche werden, besiz ds DFT Sperum nur Were ungleich ull bei der sächlichen Frequenz des Cosinussignls. Mn nn dies uch ls eine Absung des Ergebnisses der Flung bei Vielchen von nsehen..5 Sperum eines 5 Hz Cosinussignls Anschuliche Lösung des Flungsinegrls durch Verschieben der Si-Funion über der Frequenz.5 Ergebnis der Flung DFT Sperum nch Absung des Ergebnisses der Flung Bild 3.6: Flung des Sperums eines 5Hz-Cosinussignls mi der Si-örmigen Frequenzchrerisi eines ms lngen Anlyseensers Vergleichend wird die Anlyse des ms lngen Abschnis eines Cosinussignls mi einer Frequenz von 75 Hz berche. In diesem Fll llen,5 Schwingungen des Cosinus in ds berchee Zeienser, so dss die Vorussezungen zur Anwendung der DFT nich erüll sind. Ds sich dbei einsellende Ergebnis wird in Bild 3.7 vernschulich, in dem wiederum die Flung des Signlsperums mi dem Sperum der Rechecunion gezeig wird. H.G. Hirsch DSS-WS /

13 .5 Sperum eines 75 Hz Cosinussignls Anschuliche Lösung des Flungsinegrls durch Verschieben der Si-Funion über der Frequenz.5 Ergebnis der Flung Resulierendes DFT Sperum Bild 3.7: Flung des Sperums eines 75Hz-Cosinussignls mi der Si-örmigen Frequenzchrerisi eines ms lngen Anlyseensers Ds DFT Sperum, ds us der Absung des Ergebnisses der Flung bei Vielchen von 5 Hz resulier, besiz bei llen bercheen Frequenzweren von ull bweichende Were. Mn bezeichne diese Beobchung ls lege Lec- Ee. Ds DFT Sperum weis Sperlomponenen us, die rel nich in dem Signl enhlen sind. Es gib verschiedene Möglicheien, um die Fehler bei der Sperlnlyse mi der DFT zu verleinern. Eine einche Möglichei beseh in der Anlyse eines längeren Signlbschnis, so dss die Anzhl der Abswere vergrößer wird. Dmi wird ds Sperum mi einer größeren Anzhl von Weren bei einer Verringerung des Absnds zwischen den Sperlomponenen beschrieben. Mn erziel eine höher ugelöse Sperlnlyse, bei der die Fehler u Grund des Lecees geringer usllen. H.G. Hirsch 3 DSS-WS /

14 In der Pris nn die Anzhl jedoch nich immer beliebig erhöh werden. Eine weiere Möglichei beseh in der Wichung der Abswere mi einer Fenserunion wn. Die DFT wende mn u die mi den Foren wn gewicheen Abswere n n: jπ n n w n e ür,,..., n Berche mn die unveränderen Abswere, so wurde dies zuvor mhemisch ls die Mulipliion mi einer Rechecunion beschrieben. Die Fenserunion is lso in diesem Fll die Rechecunion, die die in Bild 3.5 drgeselle Frequenzchrerisi besiz. Die Überlegungen gingen dhin, Wichungsunionen zu inden, deren Sperum ein deulich geringeres Schwingungsverhlen über einen weien Frequenzbereich besizen. Dbei nd mn herus, dss Wichungsunionen geeigne sind, bei denen die Abswere in der Mie des Fensers mi großen Foren im Bereich von und die Abswere n den Rändern des Fensers mi Foren nhe ull muliplizier werden. Ds Muliplizieren mi leinen Foren n den Rändern des Fensers nn mn im Zeibereich uch so inerpreieren, dss mn die Ampliudensprünge zwischen den Weren m Ende und m Anng eines Fensers reduzieren möche. Solche Ampliudensprünge önnen dnn ureen, wenn mn ein nichperiodisches Signl oder ein nich gnzzhlig Vielches einer Periode des Signls nlysier. Als Beispiel einer Wichungsunion wird in Bild 3.8 ds sogennne Hmmingenser mi seinem zugehörigen logrihmieren Bergssperum drgesell. Im Vergleich zum Sperum des Rechecensers in Bild 3.5, ds liner drgesell wurde, weis die Frequenzchrerisi des Hmmingensers eine wesenlich höhere Dämpung der ebenzipel u. Somi resulieren us diesen leinen Weren im Sperum der Fenserunion uch eine größeren Fehler bei der Flung. cheilh is die im Vergleich zum Si-örmigen Sperum breiere Hupeule. Drus resulier eine Anlyse mi einer geringeren Frequenzulösung. Es gib verschiedene Fenserunionen, die in den meisen Fällen nch den Personen, die sie eingeühr hben, bennn wurden, z.b. Hmming-Fenser, Hnning-Fenser, Blcmn-Fenser, Kiser-Fenser, Die Speren der Fenserunionen unerscheiden sich in der Höhe der ebenzipeldämpung und der Breie der Hupeule. Funionen, die eine höhere ebenzipeldämpung gewährleisen, besizen eine bereiere Hupeule. Umgeehr weisen Funionen mi einer schmäleren Hupeule eine geringere ebenzipeldämpung u. H.G. Hirsch 4 DSS-WS /

15 Hmming-Fenser: n +,5,54,46 cos π w n ür n,,,- Bild 3.8: Zeisignl und logrihmieres Bergssperum des Hmmingensers Eine eiziene Berechnung der DFT is möglich, wenn mn Signlbschnie, die Abswere beinhlen, nlysier. Diese recheneiziene Relisierung der DFT bezeichne mn ls Fs Fourier Trnsormion FFT. Der Rechenuwnd einer DFT ergib sich im Wesenlichen us der Anzhl der durchzuührenden Mulipliionen. Zur Besimmung der Were n [ cos n j sin π n ] n π ür werden Mulipliionen zur Besimmung der Releile Mulipliionen von n mi den Absweren der Cosinusunionen und Mulipliionen zur Besimmung der Imginäreile Mulipliionen von n mi den Absweren der Sinusunionen benöig. Bei einer Beschränung u Signlbschnie, die Abswere beinhlen, nehmen die Abswere der Cosinus- und Sinusunionen n mehreren Sellen den gleichen Wer n, so dss bei einer vorherigen Addiion der Abswere n n diesen Sellen die Anzhl der Mulipliionen H.G. Hirsch 5 DSS-WS /

16 deulich reduzier werden nn. Konre läss sich die Anzhl von Mulipliionen u ld reduzieren. Beispielsweise läss sich so die Anzhl der Mulipliionen bei einer 56 8 u Pune FFT von reduzieren. Möche mn einen Signlbschni, der weniger ls Abswere beinhle, in Form einer FFT nlysieren, so nn mn ensprechend viele ullen nügen bis zum Erreichen der Länge von. Diese Vorgehensweise bezeichne mn ls zero pdding. Dbei ergib sich uch eine größere Anzhl von Sperlweren, so dss sich eine höhere Aulösung des Sperums einsell..5 Periodische Flung im Frequenzbereich Die DFT läss sich zur Relisierung einer periodischen Flung im Frequenzbereich einsezen. Bei Einsz der FFT verwende mn uch die Bezeichnung ls schnelle Flung. Will mn beispielsweise ein digilisieres Signl einer Filerung mi einer deinieren Chrerisi unerweren, so nn dies durch Anwendung der disreen Flung im Zeibereich geschehen, bei der ds Signl mi der Impulsnwor des Filers gele wird. Is die Impulsnwor des Filers jedoch sehr lng, so nn es eiziener sein, die Filerung durch - eine Trnsormion des Signls und der Impulsnwor des Filers in den Sperlbereich mi Hile einer DFT FFT, - einer Filerung des Signls durch Mulipliion der beiden Speren und - einer Rücrnsormion des berechneen Sperums in den Zeibereich mi Hile einer IDFT IFFT zu relisieren. Berche mn die Flung eines zeilich begrenzen Signls n mi einer ebenlls zeilich begrenzen Impulsnwor hn, so läss sich ds Ausgngssignl durch Einsz der Disreen Fourier Trnsormion besimmen, mi der sowohl n ls uch hn in den Sperlbereich rnsormier werden. n besiz L Abswere ungleich ull ür n<l, nsonsen gil n ür n< und n L. hn besiz P Abswere ungleich ull ür n<p, nsonsen gil hn ür n< und n P. Die Länge der DFT muss dbei der zeilichen Länge L+P- des Flungsprodus von n und hn ensprechen. y n n h n DFTs der Länge L+P- H Y y n H.G. Hirsch 6 DSS-WS /

17 Viele Signle sind jedoch zeilich nich begrenz. In diesem Fll nn mn ds Prinzip der schnellen Flung dennoch nwenden, in dem mn ein Signl n zunächs in zeilich begrenze Abschnie der Länge L zerleg. Die einzelnen Abschnie des Signls n, ds nur Ampliudenwere ungleich ull ür n besizen soll, werden mi dem Inde r durchnummerier. Die Abswere des Abschnis mi dem Inde r lssen sich dnn beschreiben ls r i r L + i mi i,,..., L und r,,,..., wobei i ür i < und i L r Umgeehr läss sich ds Signl n dnn drsellen ls ddiive Überlgerung ller Abschnie: n r r n r L Jeder dieser Abschnie nn mi Hile einer DFT FFT in den Sperlbereich rnsormieren werden, um so ds Kurzzei-Sperum r dieses Abschnis zu besimmen. Jedes Kurzzei- Sperum r wird mi dem Sperum H der ebenlls in den Frequenzbereich rnsormieren Impulsnwor des Überrgungssysems muliplizier: Y H Ds Ergebnis Y r der Mulipliion wird wieder mi Hile einer IDFT IFFT in den Zeibereich zurücrnsormier. Die rücrnsormieren Signlbschnie werden bschließend ddiiv zum r Ausgngssignl yn überlger: y n y n r L r r r.6 Disree Cosinus Trnsormion Eine weiere Trnsormion, die in einigen Verhren der Bildcodierung JPEG, MPEG und uch in der Sprchverrbeiung verwende wird, is die disree Cosinus Trnsormion DCT. Die DCT is deinier zu DCT π n n +.5 n cos ür,,..., Die Besimmung der inversen disreen Cosinus Trnsormion IDCT ühr zu einer nhezu gleich ussehenden Deiniion wie die DCT selbs: n +.5 n DCT π n cos ür n,,..., Die DCT wird u ein reeles Signl ngewende und erzeug im Gegensz zur DFT uch ls Ausgngswere reele Were. Im Vergleich zur DFT werden die Abswere n bei der DCT nur mi den Weren bgeseer Cosinusunionen muliplizier. Sinusunionen werden nich H.G. Hirsch 7 DSS-WS /

18 verwende. Die DCT bsier olglich u dem Ansz einen Signlverlu nur ls Summe gewicheer Cosinusunionen zu beschreiben. Die Cosinus Bsisunionen ür,,,6 sind in Bild 3.9 drgesell. Bild 3.9: Bsisunionen der DCT ür,,,6 Dieser Drsellung nn mn ennehmen, dss die Bsisunion ür eine hlbe Periode einer Cosinusschwingung is, wobei die zeiliche Länge dieser hlben Periode der Fenserlänge T ensprich. Die DCT Koeizienen höherer Ordnung ergeben sich ensprechend durch die Mulipliion der Abswere des Eingngssignls mi Vielchen dieser hlben Periode. Prinzipiell erhäl mn durch die DCT und den drus resulierenden Koeizienen uch eine Beschreibung der sperlen Eigenschen des Signls. Die DCT wird z.b. ngewende bei der Codierung von Einzelbildern nch dem JPEG Join Phoogrphic Eper Group Sndrd und von Bewegbildern nch dem MPEG Moving Picure H.G. Hirsch 8 DSS-WS /

19 Eper Group Sndrd. Dbei wird Crominnz- und Luminnzinormion von Blöcen, die us 8 ml 8 Bildpunen besehen, mi einer DCT rnsormier. In der Sprchverrbeiung wird die DCT verwende, um ds logrihmiere Bergs- oder Leisungsdichesperum, ds miels einer FFT besimm wurde, wiederum sperl zu nlysieren und miels der DCT in den sogennnen Cepsrl bereich zu rnsormieren. Die Cepsrloeizienen niedriger Ordnung beschreiben die Einhüllende des FFT Sperums und dmi die Überrgungsunion des menschlichen Volrs. Dher eignen sich diese Koeizienen gu ls usische Prmeer zur Sprcherennung. H.G. Hirsch 9 DSS-WS /