2. Die Friedmann-Gleichungen in Newtonscher Näherung.

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1 . Die Friedmnn-Gleichungen in Newonscher Näherung..1. Skleninvrinz und Hubble-Konsne Die homogene Expnsion oder Konrkion is eine Sklenrnsformion des Rumes, so dss wir schreiben können r r ( ) ( ) = (.1) Wenn die sei Beginn der kosmischen Enwicklung vergngene Zei is, dnn können wir ( ) = 1 und r( ) r sezen, womi der gegenwärig gemessene Absnd gemein is. Es wird dnn r r = ( ) (.) Der Absnd von zwei Glxien zur Zei wird dnn r = r ( ). Wir sezen vorus, dss ihre Eigenbewegung vernchlässig werden knn. Dnn is die Geschwindigkei, mi welcher sie sich durch den Hubble-Fluss voneinnder enfernen d & r = & r ( ) = r (.) d ( ) Wenn wir mi dem Hubble-Gesez vergleichen & υ = r( ) = cz (.4) läss sich H wie folg usdrücken H & = (.5) Allerdings is H vermöge Gl.. zeibhängig. Für die Gegenwr ( = ) is es eine Konsne, eben die Hubble-Konsne H( ) H (.6) Unsere nächse Aufgbe is es, us einer Bewegungsgleichung für () die explizie Zeibhängigkei des Sklenprmeers zu finden. 1

2 .. Sphärisches Modell Um ein Modell des Kosmos zu erhlen, können wir uns die Merie durch ein klssisches Gs relisier denken. Ein Gs üb llerdings uch einen Druck us, den wir in der llgemein relivisischen Behndlung späer berücksichigen müssen. Den Druck wollen wir vernchlässigen, weshlb unser Modell nur subförmige Merie enhlen soll. In einem solchen mi Sub homogen und isorop erfüllen Kosmos denken wir uns eine Kugel vom Rdius r um einen beliebigen Punk O geleg. Die Kugel sei durch eine Kugelschle der Msse m bgeschlossen. Die Merie im Innern der Kugel hbe die Msse M und übe Grviion uf die Kugelschle us. Die kosmische Expnsion veränder den Rdius r. Die Energie der Kugelschle der Msse m wird dnn Fig..1. Vernschulichung der Grviion, welche eine homogen mi Sub der Msse M gefüllen Kugel uf eine konzenrische Kugelschle der Msse m usüb. m υ GM m r = E ges (.7) Hier is G die Grviionskonsne. Der Beirg der Mssen im Außenrum verschwinde, ws sich für kosmologische Modelle, bei welchen der Rum beliebig usgedehn sein knn, llerdings nur mi Hilfe der Allgemeinen Reliviäsheorie zeigen läss (s. Birkhoff-Theorem im Anhng A). 1

3 Wir können M durch Diche ρ 4π M = r ρ (.8) ersezen. In Gl..7 eingesez ergib ds υ 8πGρ r = C (.9) C bedeue die Gesmenergie pro Msseneinhei. Im Vorgriff Kp. sezen wir κ c C= (.1) wobei κ =±1, und c die Lichgeschwindigkei is. Nch Einsezen von r= r und υ = & r und Division durch r können wir Gl..9 wie folg schreiben & 8πG κ c ρ= r (.11) Ds is die gesuche Bewegungsgleichung für (), uch 1. Friedmnn- Gleichung gennn. Wir werden späer sehen, dss in der Inerpreion der llgemeinen Reliviäsheorie r im Nenner der rechen Seie die Krümmung des Rumes beschreib. Die Ableiung von Gl..9 wäre ohne Rückgriff uf die llgemeine Reliviäsheorie nich einwndfrei. Für die Wechselwirkung von m und M muss die Inegrion nürlich uch über den Außenrum der Kugel (Fig..1) usgeführ werden. Wir sind us der Poenilheorie gewöhn, dss der Außenrum nichs beiräg, wenn die Msse endlich is. Aber im vorliegenden Fll hben wir es bei einem unendlich usgedehnen Kosmos uch mi einer unendlich großen Msse zu un, M ( r ). Deshlb is es keineswegs klr, wie dmi im Rhmen der Newonschen Grviion umzugehen is. In der llgemeinen Reliviäsheorie finden diese Frgen eine Lösung durch Birkhoffs Theorem (s. dzu Anhng ). Im Vorgriff uf die llgemeine Reliviäsheorie wollen wir noch die Bedeuung der Inegrionskonsnen Gl..1 erläuern. Die Friedmnn- Gleichung h zwei Lösungsmengen. Jede enhäl unendlich viele Lösungen. Die Lösungen κ =+ 1 sind mi einer posiiven Rumkrümmung verbunden, die 14

4 Fig... Vernschulichung der Krümmung durch -dimensionle Flächen: Ebene Fläche ( κ = ), Kugelfläche ( κ = 1) und hyperbolisch gekrümme Fläche ( κ = 1). Der Kreisumfng C is uf der Kugelfläche kleiner ls in der Ebene, m Hyperbelpunk (negiver Krümmung) größer ls in der Ebene. Lösungen miκ = 1 mi einer negiven Rumkrümmung. Die Lösung κ = beschreib einen Grenzfll mi verschwindender Rumkrümmung, d.h. mi euklidischer Geomerie (zur Vernschulichung s. Fig..). Für den Fll κ = wollen wir jez die Friedmnn-Gleichung, Gl..8, lösen, indem wir = sezen H 8πG = ρc, (.1) Die Diche im Flleκ= heiß kriische Diche, ws durch den Index c usgedrück is. Mi dem Wer von H (Gl. 1.) finde mn 6 ρ c, = 1,88 1 h kg/m 6 =,95 1 kg/m (.1) ( h =, 71). Mi dem Fkor h läss sich ρ c, nch dem gegenwärigen Wer der Hubble-Konsnen, der z. Z. kum besser ls uf 1% beknn is, korrigieren. Es is weierhin üblich, die gemessene heuige Diche ρ in Vielfchen der (heuigen) kriischen Diche ρc, nzugeben ρ Ω = (.14) ρ c, Wir werden späer sehen, dss die Beobchungen die Lösung κ= fvorisieren. Die us sronomischen Beobchungen bgeleiee Meriediche mch 15

5 llerdings höchsens ew,4 ρc, us. Ds Räsel der nderen 96% Mssenund Energiediche wird uns späer noch beschäfigen.. Lösungen der Friedmnn-Gleichung Wir wollen jez die kosmische Dynmik für den Fll κ = berechnen. Dzu bruchen wir noch einen Ausdruck fürρ. Wenn die Msse erhlen bleiben soll, muss für die Mssendiche gelen oder nch Gl..1 und. ρ r = ρ r ρ =ρ (.15) Dnn wird us Gl..11 mi κ = 8πGρ c, & = = H (.16) wobei wieder die kriische Diche ρ c, zur Zei ufri. Die Inegrion von Gl..16 erfolg nch Ziehen der Wurzel uf beiden Seien und ergib oder d = H d = H (.17) = H (.18) 1 Gl..18 läss sich, usgedrück durch die Hubble Zei H =, uch schreiben oder = (.19) H 1 = z 1 + H Gl..18 bis. beschreiben den Fll κ =, d.h. Ω 1. = H (.) 16

6 Wir geben noch die Ergebnisse n für κ > d.h. Ω > 1.Wir erinnern uns, dss Ω die ole Meriediche in Einheien der kriischen Diche bedeue, die in der Gegenwr gemessen wird (s. Gl..14). mi und für κ < ( Ω 1) mi < 1 Ω = (.1) Ω 1 [ 1 cos x] 1 Ω / H = sin ( Ω 1) [ x ( x) ] 1 Ω = [ cosh x 1] (.) 1 Ω 1 Ω / H = sinh ( 1 Ω ) [ ( x) x] Die Hubblekonsne gib jeweils die Seigung bei = n (s. Fig..). Die Lösung für Ω = 1beginn bei = mi einer unendliche großen Seigung. Die Kurve flch sich im Lufe der Zei immer weier b. D für große Zeien ρ geh, verschwinde nch Gl..8 uch die Seigung. Aus Gl.. erhlen für z = die Zei =, die bis heue vergngen is, = / H und 9 = 9,19 1 Jhre. Diese Zei is kürzer ls ds Aler der älesen Serne. Enweder riff die Lösung nich zu oder sie is unvollsändig (mehr dzu in Kp. 5). Die Lösungen für Ω < 1 hben immer eine nich verschwindende Seigung. Die Expnsion sez sich bis in lle Ewigkei for. In diesem Fll is die Meriediche im. Glied von Gl..4 nich groß genug, um sich gegen den ersen Term (kineische Energie pro Msseneinhei) zu behupen. 17

7 Fig... Drei Lösungen der Friedmnn-Gleichung für Ω < 1 mi negiver Rumkrümmung, Ω = 1 mi euklidischem Rum und Ω > 1 verbunden mi posiiver Rumkrümmung.. Die Lösungen Ω > 1 beschreiben eine Expnsion bis zu einem Mximum bei / H =π, dem sich ein Kollps mi einer Nullselle des Sklenprmeers bei dem Argumen = π nschließ. Diese Verhlen sez sich periodisch for. / H.4. Roverschiebung, Aler und vergngene Zei. Wir können jez den Überlegungen, die zu Gl..9 und.1 geführ hben,eine nschuliche Inerpreion geben. Wenn die Wellenlänge der Spekrllinie einer fernen Glxie λ mi der ensprechenden Lborwellenlänge λ verglichen wird (z.b. für die Linien des Wssersoffs H oder Ly ), dnn läss sich ds Verhälnis durch den Sklenprmeer beknnlich wie folg usdrücken λ ( ) 1 = z+ 1= = (.) λ ( ) Offensichlich h die Wellenlänge des Lichs sei der Emission um den Fkor z + 1 zugenommen, weil der Rum um eben diesen Fkor expndiere (s. Fig..4). Der ensprechende Fkor z knn im Hubble Gesez 18 β H = r (.4) c z jez beliebig große Were nnehmen z >. α

8 Fig..4. Die Wellenlänge λ verhäl sich wie eine räumliche Srecke und vergrößer sich im Lufe der kosmischen Enwicklung. Der Zusmmenhng knn dzu benuz werden, um die Zei, die sei dem Urknll bis zur Aussrhlung des Lichs vergngen is, us der Roverschiebung zu besimmen. Für ds kosmologische Modell Ω 1erhäl mn us Gl.. ( z) ( 1 z) = 1 = (.5) H + Häufig ineressier die Zei, welche sei der Lichemission vergngen is, die look-bck-ime L. Für Ω = 1erhlen wir 1 L = ( z) = H 1 (.6) ( 1+ z) Die folgende Tbelle.1 gib für verschiedene Roverschiebungen eines Objeks ds Aler ( z) in Brucheilen der Hubble-Zei H. Z / H nch Gl..6 / H nch Gl nch Gl. 5.14,5,5,64 8,8 1 9 Jhre 1,,,41 5, Jhre,,16,1, Jhre,,8,151,7 1 9 Jhre 5,,45,89 1, 1 9 Jhre 7,,9,54, Jhre Tbelle.1. Es wurden / H nch Gl..6 berechne. In Kp. 5 wird eine relisischere Rechnung usgeführ (Gl. 5.14), deren Ergebnisse in den beiden lezen Splen ngegeben sind. Die Beobchungen ergeben näherungsweise H ns = H nch Gl. 9.6, ws zu einem zu kleinen Weller von 9,1 1 Jhren führen würde. Der 19

9 Grund dfür is ds Vorhndensein einer dunklen Energie, die hier nich berücksichig wurde und uf welche wir in Kp. 5 zurückkommen werden. Als Beispiel berchen wir jez ein Objek mi der Roverschiebung z = 5. Wir sehen ds Objek zu einer Zei, ls ers 9% der Hubble-Zei H vergngen wr. Ds Beispiel einer srk ro-verschobenen Glxie mi z =,9 zeigen die Fig. z =, 16.. und.4. Für (z) erhäl mn in diesem Fll ( ) H Fig..5. Glxie EIS 47 bei z =,9 nch einem Pressephoo der ESO vom Fig..6.Spekrum der Glxie EIS 47. Mn beche die Lyα - und Ly β-linien des Wssersoffs im sichbren Spekrlbereich In den lezen Jhren h sich die insrumenelle Ausrüsung die den Asronomen zur Verfügung seh, sändig verbesser. Ddurch konnen die

10 Grenzen der Sichbrkei wesenlich erweier werden. Diese Enwicklung wird gu sichbr, wenn mn wie in Fig..7. geschehen die mximl erreiche Roverschiebung gegen die Jhreszhl ufräg. Fig..7. Die beobchee mximle Roverschiebung gegen die Jhreszhl ufgergen zeig eindrucksvoll den Forschri in der insrumenellen Beobchungsechnik (nch Jenny Hogn us Nure Vol. 44/ 14.Sepember 6, p. 18)..5. Lierur Brdley W. Crroll Dle A. Oslie: An Inroducion o Modern Asrophysics Addison Wesley Comp US C19 (s. Ch. 7) A. Weiger / H.J. Wendker: Asronomie und Asrophysik Ein Grundkurs. Aufl. VCH US 1 W419() J.N. Islm: An inroducion o mhemicl cosmology Cmbridge Universiy Press US I8 M. Berry: Principles of cosmology nd grviion. Cmbridge Univ. Press

11 .6. Zusmmenfssung Es werden die Bewegungsgleichung des Sklenprmeers mi Hilfe der Newonschen Theorie bgeleie. Mn finde Lösungsmengen, je nchdem die milere Mssendiche kleiner oder größer ls eine kriische Diche is. Ein Grenzfll sell sich ein, wenn gerde die kriischer Mssendiche erreich wird. Zu dieser Lösung gehör eine sändige Expnsion, die nch sehr lnger Zei zum Erliegen komm. Nur dieser Fll is mi einem euklidischen Rum verbunden. Der Sklenprmeer is umgekehr proporionl zur Roverschiebung. Mi dieser einfchen Theorie, welche nur Meriediche berche, erhäl mn ein zu kleines Weller.