II.Wahrscheinlichkeitsrechnung

6 II.Wahrschelchetsrechug Der Wahrschelchetstheore ommt ee wchtge Rolle als Bdegled zwsche der desrptve ud der dutve Statst zu. Aufgabe der dutve Statst st es a, Verfahre beretzustelle, de Schlüsse vo eer Stchprobe auf de zugehörge Grudgesamthet ermöglche. Herzu muss allerdgs erst e geegetes Modell für de Grudgesamthet etwcelt werde. Astelle der bsher betrachtete emprsche Verteluge habe wr es dabe u mt theoretsche Verteluge zu tu, de als mathematsche Modelle der Grudgesamthet aufgefasst werde öe.. Grudlegede Deftoe ud Sätze Physalsche Prozesse sd, zumdest aus marosopscher Scht, hrem Ablauf determert, d.h. vorhersagbar. Auch oftmalge Wederholuge ees Expermets führe mmer erhalb der Messgeauget zum selbe Ergebs. Im Gegesatz dazu bestze vele Vorgäge de Bo- oder Sozalwsseschafte de Charater vo Zufallsexpermete. Typsche Bespele vo Zufallsexpermete sd de Medelsche Kreuzugsversuche der Geet, das Werfe eer Müze oder ees Würfels, das Zehe eer Spelarte, das zufällge Auswähle eer Perso ud Feststelle hrer Körpergröße, hres Blutdrucs oder hres täglche Zgaretteverbrauchs. Jede ezele Durchführug ees Zufallsexpermets heßt e Versuch, se Ergebs e Versuchsausgag oder Elemetareregs. Alle Elemetareregsse ees Expermets blde zusamme de sogeate Eregsraum (oder Stchproberaum Ω. So glt etwa für das Werfe ees Würfels: Ω = {,,3,4,5,6}. Natürlch gbt es auch Expermete mt uedlchem Eregsraum. Be Größe- ud Gewchtsmessuge bespelswese sd de möglche Ausgäge belebge postve Zahle, d.h., Ω st desem Fall de Mege R + aller postve reelle Zahle. Allgemeer bezechet ma als e Eregs E ee belebge Telmege vo Ω ud ma sagt E trtt geau da e, we ees der E ethaltee Elemetareregsse etrtt. Ethält E dabe mehr als e Elemetareregs, so heßt es zusammegesetzt. (So st z.b. das Würfel eer gerade Augezahl e zusammegesetztes Eregs, ämlch zusammegesetzt aus de Elemetareregsse, de de Augezahle, 4 ud 6 etspreche. Isbesodere st also auch Ω selbst e Eregs, welches be eder Versuchsausführug etrtt ud deshalb auch das schere Eregs geat wrd. Ferer st es zwecmäßg, das Eregs zuzulasse, das eem möglche Ausgag etsprcht ud daher auch umöglches Eregs heßt. Sd A ud B Eregsse, so erhält ma durch Awedug der megetheoretsche Operatoe der Durchschtts-, Veregugs- ud Dfferezbldug sofort de wetere Eregsse A B, A B ud A \ B, welche aus ahelegede Grüde als A ud B, A oder B bzw. A, aber cht (glechzetg B bezechet werde. Zu edem A a daher sbesodere auch A := Ω \ A, das omplemetäre Eregs zu A, gebldet werde. Ferer heße zwe Eregsse A ud B dsut (oder uverebar, we se als Mege dsut sd, d.h. we glt A B =. Wr grefe ochmals auf das efache Zufallsexpermet Werfe ees Würfels zurüc ud stelle us u de Frage: We groß st de Wahrschelchet dafür, dass e bestmmtes Eregs A, z.b. ee gerade Augezahl auftrtt? Dazu betrachte wr uter alle möglche Ausgäge des Expermets deege, be dee das Eregs A etrtt. Je größer de Azahl deser für A güstge Fälle st, desto wahrschelcher wrd A etrete. Es st daher

7 aheleged, de Atel der für A güstge Ausgäge a alle sgesamt möglche Ausgäge des Zufallsexpermets als de Wahrschelchet P(A des Eregsses A zu bezeche. De sogeate lasssche Defto der Wahrschelchet P(A ees Eregsses A für e Zufallsexpermet mt edlch vele glechwahrschelche Ausgäge lautet also Azahl der für A güstge Ausgäge P (A =. Azahl der sgesamt möglche Ausgäge Aus deser Defto folgt übrges sofort, dass stets 0 P(A glt. Isbesodere st P( = 0 ud P(Ω =. De Atwort auf de vorh gestellte Frage ach der Wahrschelchet dafür, dass bem Ausspele ees Würfels ee gerade Augezahl auftrtt, st u lecht zu fde: Vo de sechs möglche Augezahle sd dre, ämlch ebe de gerade Zahle, für das betrachtete Eregs A güstg, d.h. P(A = 3/6 = /. Dese lasssche Eführug der Wahrschelchet futoert aber ur da, we e sog. Laplace-Expermet vorlegt, be dem es ur edlch vele möglche Versuchsausgäge gbt, welche alle glech wahrschelch sd. (Erfüllt e Würfel oder ee Müze bem Werfe dese Bedgug, so sprcht ma auch vo eem Laplace-Würfel bzw. eer Laplace-Müze. Sd dese Voraussetzuge cht erfüllt, so wäre es aheleged, de Wahrschelchet P(A ees Eregsses so festlegt, dass ma de Versuch -mal durchführt ud de Folge der relatve Häufgete h (A, =,, für das Auftrete vo A betrachtet. Es schet da so zu se, als ob dese Folge eem festem Wert zustrebe würde, sodass ee ahelegede Defto P(A = lm h wäre. Nmmt ma etwa ee Laplace-Würfel ud für A we obe das Eregs ee gerade Augezahl zu werfe, so erhält eem smulerte Expermet mt Derve de Graph für de relatve Häufgete, welche tatsächlch dem Wert / (dargestellt durch de Gerade zuzustrebe schet. (A Allerdgs st dese Defto der Wahrschelchet P(A (obwohl se mmer weder auch euere Lehrbücher auftaucht! deser Form cht statthaft, da es z.b. userem Bespel mmer weder mal Wurfsequeze gebe wrd, wo de relatve Häufget h (A auch für och so großes ebe cht eer vorgegebe ε Umgebug vo / legt, we des ach Defto des Grezwertes der Fall se müßte. Wr werde edoch später zege, dass de Wahrschelchet, dass des passert, mt wachsedem gege 0 geht. Für dese abgeschwächte Form der Kovergez sagt ma auch, h (A overgert fast scher gege de theoretsche Wahrschelchet P(A, userem Bespel /. Dese Aussage et ma auch das Gesetz der große Zahle.

8 Heute st es allerdgs üblch de Begrff der Wahrschelchet re axomatsch ezuführe. Dazu verüpft ma mt edem Versuch ee sogeate Eregsalgebra (oder σ -Algebra A, welche auf ede Fall de Hblc auf de Versuch (mt dem Eregsraum Ω teressate Eregsse ethalte sollte ud darüberhaus achfolgede Egeschafte bestzt: Def..: Für ee vorgegebe Eregsraum Ω heßt ee Mege A vo Telmege vo Ω ee Eregsalgebra über Ω, we se folgede Egeschafte bestzt: E. Ω A. E. Aus A A folgt auch A A. E3. Aus, A,... A A A. A folgt auch 7 = Aus deser Defto ergebe sch sofort zwe wetere wchtge Egeschafte, ämlch: Wege E ud E glt auch = Ω A. Wege E ud E3, sowe = 7 A A. A = = glt auch de zu E3 bez. symmetrsche Bedgug. Nach obger Defto st also sbesodere de Potezmege P( Ω stets ee Eregsalgebra über Ω ud sbesodere da, we Ω edlch st, werde wr der Regel dese zugrude lege. Nu aber zur ageüdgte axomatsche Eführug des Wahrschelchetsbegrffs ach Kolmogorov: Def..: Se A ee Eregsalgebra über Ω. Ee Abbldug P: A R heßt da e Wahrschelchetsmaß auf A, we se de folgede Bedguge erfüllt: W. 0 P(A. W. P( Ω =. W3. Sd A, A,... A paarwese dsute Eregsse, so glt P( 7 A = = P(A = Für e Eregs A A heßt P(A de Wahrschelchet vo A ud das Trpel (Ω, A, P wrd e Wahrschelchetsraum geat. Wederum lasse sch aus obge Egeschafte sofort ege efache Folgeruge ablete, de wr m folgede zusammefasse Folgerug.3: Se (Ω, A, P e Wahrschelchetsraum. Für belebge Eregsse A,B, A, A,.. glt da:. P( = 0.. P(A = P(A. 3. We A B, so folgt P(A P(B.

9 4. Spezell für edlch vele Eregsse A, A,..., A, welche paarwese dsut sd, erhält ma aus W3 (dem ma dort A + = A + =... = setzt ud P( = 0 verwedet zuächst de wchtge Spezalfall P( 7 A = = P(A = 5. Setzt ma 4. de Eregsse A, A,..., A cht mehr otwedgerwese als dsut voraus, so st Aaloge zum Ilusos-Exlusos-Przp der Kombator de folgede allgemeere Formel azuwede: P( 7 = A = P(A P(A A + P(A A A +... = <... + ( P(A A < <...A I vele Fälle wrd de Wahrschelchet P(A für das Etrete ees Eregsses A dadurch verädert, dass e aderes Eregs B berets egetrete st. Dese eue Wahrschelchet für das Etrete vo A wrd da de durch B bedgte Wahrschelchet vo A geat ud mt P (A B bezechet. Ist P(B=0, so glt da larerwese auch P (A B =0, für P(B 0 dagege ergbt sch hr Wert aus der Formel P(A B = P(A B P(B Ist dabe P (A B =P(A bzw. glechwertg dazu P (A B = P(AP(B so heße de Eregsse A ud B uabhägg. Wege der Symmetre der letzte Bedgug A ud B st des m Falle P(A 0 auch glechwertg zu P (B A =P(B. Daraus ergbt sch sbesodere auch de allgemee Formel P (A B = P(AP(B A = P(BP(A B de u auch glt, we A ud B cht uabhägg sd. Bespel.4: Für ee Famle mt Kder se Ω ={JJ,JM,MJ,MM} de Mege aller möglche Geschlechtsombatoe der Kder (J=Juge, M=Mädche, ach Geburtsdatum geordet. Wr betrachte u de Eregsse A={MM}, d.h. de zwe Kder sd bede Mädche, B ={JM,MJ,MM}, d.h. mdestes ees der bede Kder st e Mädche, B ={MJ,MM}, d.h. das ältere Kd st e Mädche. Setzt ma lecht verefachter Form voraus, dass her alle Elemetaregsse glech wahrschelch sd, so glt da offebar P(A=/4. Mt der Zusatzformato, dass B bzw. B zutrfft, erhöht sch edoch de Wahrschelchet für das Etrete vo A erwartugsgemäß, ud zwar uter Beutzug vo P( B =3/4, P( B =/ ud P(A B = P(A B = =P(A=/4 zu P = (A B = P(A B / P(B /3 bzw. (A B = P(A B / P(B / P =

0 I der Praxs hat ma zur Ermttlug der Wahrschelchet vo P(A sehr oft ee Falluterschedug durchzuführe, welche eer dsute Zerlegug Ω = B B... B des Eregsraums Ω etsprcht. Da da A= ( A B (A B... (A B ebefalls ee dsute Zerlegug vo A darstellt, öe wr.3(4 awede ud erhalte P (A = P(A B = P(B P(A B = = was auch der Satz vo der totale Wahrschelchet geat wrd. Bespel.5: Zwe glech stare Speler S ud S verebare, dass derege de gesamte Esatz erhalte soll, welcher zuerst 3 Rude be eem gewsse Spel gewoe hat. Be eem Spelstad vo zwe Gewe für S ud eem Gew für S muss aber das Spel auf Grud höherer Gewalt abgebroche werde. We st der Esatz gerecht zu vertele? Ma beötgt dazu de Wahrschelchet für das Eregs A, dass S ach eer Fortsetzug des Spels gewoe hätte. Um dese lechter bereche zu öe, betrachte wr auch de Eregsse B ud B, dass der erste Speler de erste Folgeparte gewoe bzw. verlore hätte, vo dee geau ees hätte etrete müsse, sodass wr also de Satz vo der totale Wahrschelchet awede öe: P (A = P(B P(A B + P(B P(A B = 3 + = 4 Da de Gesamtgewchace für S omplemetär zu der vo S, d.h. also /4 st, wäre somt der Esatz m Verhälts 3: zwsche S ud S aufzutele. (Aus Fragestelluge deser Art hat sch übrges hstorsch gesehe de Wahrschelchetsrechug etwcelt! E efache Folgerug aus dem Satz vo der totale Wahrschelchet ud der Defto der bedgte Wahrschelchete st der Satz.6 (Bayes: Ist Ω = B B... B ee dsute Zerlegug vo Ω ud A e belebges Eregs, so glt P(B P(A B P(B A = = P(A P(B = P(A B P(B P(A B, =,,.., Vo der Aufgabestellug her a dabe de Eregsse B,B,.., B oft als möglche Ursache für das Eregs A deute. Ist u das Eregs A tatsächlch egetrete, so läßt des da Rücschlüsse auf de möglche Ursache zu, dem dere a pror-wahrschelchete P(B sch damt gewssermaße a posteror (ämlch durch das Etrete vo A zu P(B A äder, =,,..,. Bespel.7: I eem Betreb werde täglch 000 Stüc ees bestmmte Produts auf 3 Masche M, M ud M 3 hergestellt, geauer 00 Stüc auf M (mt 5% Ausschußatel, 400 Stüc auf M (mt 4% Ausschußatel ud 500 Stüc auf M 3 (mt % Ausschußatel. Se A das Eregs, dass e fehlerhaftes Stüc produzert wurde ud B das Eregs, dass e belebg ausgewähltes Stüc vo der Masche M, =,,3,, stammt. Uter der Aahme, dass e produzertes Stüc fehlerhaft st, we groß st st da achträglch de Wahrschelchet, dass es vo eer der Masche M, =,,3, stammt?

Zur Beatwortug deser Frage bestmme wr zuächst P(A ach dem Satz vo der totale Wahrschelchet we folgt: 3 P(A=P (B P(A B = 0.*0.05 + 0.4*0.04 + 0.5*0.0 = 0. 03 = Damt ergebe sch da de gesuchtge a posteror-wahrschelchete zu: P(BP(A B 0.*0.05 P(B A = = = 0. 6 P(A 0.03 P(B P(A B 0.4*0.04 P(B A = = = 0. 5 P(A 0.03 P(B3P(A B3 0.5*0.0 P(B 3 A = = = 0. 3 P(A 0.03 We cht aders zu erwarte, habe sch dese Wahrschelchete für Masche we M ud M mt eem relatv hohe Ausschußatel gegeüber de a pror Wahrschelchete erhöht (vo 0% auf 6% für M bzw. vo 40% auf 5% für M, dagege st de Wahrschelchet für Masche M 3 als möglche Ursache für de Fehler vo 50% auf 3% zurücgegage.. Zufallsvarable ud allgemee Egeschafte Für ee festgewählte Wahrschelchetsraum (Ω, A, P st ee Zufallsvarable X ee Futo vo Ω de Mege R der reelle Zahle mt der Egeschaft, dass für edes reelle Itervall I (egal ob offe, esetg offe oder geschlosse, sbesodere auch eputg, sowe mt als ler ud/oder rechter Greze de Urbldmege X (I : = { ω Ω X( ω I} stets A legt. Isbesodere st also das Wahrschelchetsmaß P für dese Mege stets defert. Jeder Wert x R, der als Bld ees ω Ω uter X auftrete a heßt dabe e Wert (oder ee Realsato vo X. Ählch we be Mermale uterschede wr dabe weder dsrete ud stetge Zufallsvarable, e achdem, ob de Mege aller Werte vo X edlch oder abzählbar uedlch st bzw. ob se sogar ede belebge Zahlewert für e reelles Itervall aehme a. Wr betrachte zuächst ee dsrete Zufallsvarable X mt de Werte x,x,... Als Wahrschelchet p, mt X de Wert x ammt erhalte wr da p = P(X = x = P({ ω Ω X( ω = x }, =,, De Wahrschelchetsfuto f(x: R R st da defert durch p für x = x f (x = 0 sost De Futo F : R [0,], welche defert st durch F (x : = P(X x = x x p

heßt da Vertelugsfuto vo X. Mt hrer Hlfe a ma auch lecht de Wahrschelchet dafür ausreche, dass X ur Werte dem halboffee Itervall (a,b] ammt, ämlch P(a < X b = P(X b P(X a = F(b F(a Dese gleche Bezehug glt auch für stetge Zufallsvarable X, we auch ma für se völlg aalog durch F(x:= P(X x ee Vertelugsfuto eführt. Um allerdgs ee zur obge Summedarstellug aaloge Darstellug vo F(x zu gewe, beötge wr folgede Def..: Ee Futo f: R R heßt ee Dchtefuto (oder Wahrschelchetsdchte, we se folgede dre Bedguge erfüllt:. f (x 0 für alle x R.. f st stetg mt höchstes edlch vele Ausahme. 3. f (xdx =. Ee Zufallsvarable X heßt da stetg vertelt mt der Dchte f(x, we f(x:=f (x ee Dchtefuto st. Isbesodere glt da also tatsächlch sowe F (x = x f (tdt P (a < X b = F(b F(a = f (xdx Be stetge Zufallsvarable st es dabe übrges völlg uerheblch, ob de Greze ees Itervalls mtegeschlosse werde oder cht, de es st z.b. P (a x b = P(a < x b = P(a x < b = P(a < x < b b a Wr habe berets etzt vele Etsprechuge vo Begrffe der Wahrschelchetsrechug zu Begrffe der Desrptve Statst aufgezegt, we z.b. Mermal Zufallsvarable, relatve Häufgete h Wahrschelchete p, Häufgetsfuto Wahrschelchetsfuto Emprsche Dchtefuto Dchtefuto Emprsche Vertelugsfuto Vertelugsfuto

3 Dese Aaloge setze sch auch fort, was de Lage- ud Streuugsmaße betrfft, we wr glech sehe werde. Was de Mttelwert x betrfft, so etsprcht hm dabe der sog. Erwartugswert µ oder auch E(X der Zufallsvarable X. Er st defert durch µ = E(X : = p x, xf (xdx, Herbe verlagt ma sogar de Kovergez vo x falls X dsret falls X stetg p bzw. xf (x dx, um cht ur de Exstez deser Erwartugswerte scherzustelle, soder auch glech ede Abhägget vo der Rehefolge der Aufsummerug auszuschleße. Für ee dsrete Zufallsvarable X st gelegetlch folgede (zuerst vellecht etwas merwürdg amutede Art der Berechug vo E(X ützlch: Satz.: Ist X ee dsrete Zufallsvarable, dere Werte alle N ={0,,, } lege, so glt E (X = = P(X Bespel.3: Aus eer Ure mt Kugel werde solage Kugel mt Zurüclege gezoge, bs ee ommt, welche scho emal da war. Es se X ewels de Azahl der bs dah gezogee Kugel, ohe de letzte, de scho da war. Es glt da offeschtlch P(X = ( (...( wobe glt P (X = 0 für >. Mt Hlfe vo. folgt daher daraus E(X= ( (...( = Für große a aus obger Formel och ee teressate Näherug herlete, dem ma exp( beützt, wobe exp(x= e x st. Es glt da ämlch ( x E(X = ( exp( = exp( exp( dx = = = = 0 = = 0 0 π Berets für =00 ergbt sch so der recht brauchbare Näherugswert 50π.53, der vo dem Wert., welcher mt der exate Formel gewoe wurde, ur um.6% abwecht. Häufg beötgt ma cht de Erwartugswert vo X selbst, soder de der Zufallsvarable Y=g(X, wobe g(x ee stetge reelle Futo st. Es glt da

E(g(X = g(x p g(xf (xdx Idem ma her z.b. für g(x de leare Futo g(x=ax+b mmt, erhält ma ach lechter Rechug de wchtge Bezehug E(aX+b=aE(X+b Allgemeer glt für ede Learombato a X + a X +... + a X vo rgedwelche Zufallsvarable X,X,.., X mt reelle Zahle a,a,..., a, dass E(a X + a X +... + a X = a E(X + a E(X +... a E(X + d.h. E st e sog. learer Operator. We schaut es desbezüglch mt dem Produt vo zwe Zufallsvarable X ud Y aus? Um dese Frage beatworte zu öe, beötge wr folgede Def. ud Satz.4: Zwe Zufallsvarable X ud Y heße uabhägg, we de Eregsse X x ud Y y für belebge Zahle x,y R uabhägg sd, d.h. we glt P((X x,y y = P(X xp(y y Im Falle vo dsrete Zufallsvarable X ud Y st des dabe glechwertg mt der efachere Bedgug, dass P((X für alle x m Werteberech vo X ud alle = x,y = y = P(X = x P(Y = y y m Werteberech vo Y. Tatsächlch a ma uter deser Voraussetzug da ee ählche Satz we E(X+Y=E(X+E(Y auch für das Produt X Y bewese, d.h. sd X ud Y uabhägge Zufallsvarable, so glt auch E(X Y = E(X E(Y Was de Aaloga zu de adere Lagemaße aus der desrptve Statst betrfft, we Meda ud Modus, sowe auch α -Quatle, so geügt für erste de Bemerug, dass dese geau der gleche Wese berechet we dort, dem ma ur statt mt relatve Häufgete mt Wahrschelchete rechet ud statt mt emprsche Dchte- ud Vertelugsfutoe u mt de echte durch de Theore vorgegebee. Wr werde dazu später der dutve Statst och vele Bespele reche. Aufbaued auf dem Begrff des Erwarugswertes ud see Egeschafte fällt es auch cht schwer ee zum Begrff der emprsche Varaz für Stchprobe aaloge Begrff für ee Zufallsvarable X ezuführe. Wr defere de Varaz V(X vo X mttels V(X= E((X µ Da V(X emals egatv st, öe wr auch σ := V(X blde, de sog. Stadardabwechug vo X. Es glt somt 4

V (X = σ = - (x µ (x -µ f (xdx, p, falls X dsret falls X stetg Für de pratsche Berechug der Varaz V(X macht ma oft Gebrauch vo der mt Hlfe der Leartät des Erwartugswertes efach zu bewesede Glechhet E ((X µ = E(X µ Ferer hat auch Kovaraz s XY der desrptve Statst ee Etsprechug der Kovaraz Cov(X,Y, welche defert st durch ud für welche weder de Glechug Cov(X,Y= E((X µ (Y X µ Y Cov(X,Y=E(XY µ X µ Y ee m allgemee efachere Berechugsmöglchet darstellt. Aus hr a ma sbesodere sofort ersehe, dass für uabhägge Zufallsvarable X ud Y, für welche a E (XY = E(XE(Y = µ µ glt, Cov(X,Y=0 st. Auf Grud der lecht zu bewesede Bezehug V(X+Y=V(X+V(Y+Cov(X,Y hat des de wchtge Kosequez, dass für uabhägge Zufallsvarable X ud Y also V(X+Y=V(X+V(Y glt. Allgemeer glt für paarwese uabhägge Zufallsvarable X da Cov(X, X = 0 für st ud belebge a, a,.., a R, dass V(a X + a X +... + a X = av(x + a V(X +... + a Besoders hervorgehobe se dabe weder der achfolgede Spezalfall V(aX+b= a V(X X Y,X,.., X V(X 5 (für de also d.h. de Varaz st m Gegesatz zurm Erwartugswert gegeüber eer belebge Traslato mt b R varat, dagege wrt sch de Multplato vo X mt a R so aus, dass V(X mt a multplzert wrd! Als efache Folgerug aus obgem ergbt sch sbesodere, dass de Varable Z := X µ σ de ma aus X durch sog. Stardardsere mt dem Erwartugswert µ ud der Stadardabwechug σ vo X erhält, de Egeschafte E(Z=0 ud V(Z= bestzt. Z heßt de zu X gehörede stadardserte Varable. Ee wetere wchtge Kosequez aus dem obe Gesagte st

6 Satz.5: Sd X,X,..., X uabhägge ud detsch vertelte Zufallsvarable, de alle deselbe Erwartugswert µ ud deselbe Varaz σ bestze, so glt da für das arthmetsche Mttel X = (X + X +... X /, dass E (X = µ ud V(X = σ /. + We also cht aders zu erwarte, hat e Stchprobemttel deselbe Erwartugswert we de Grudgesamthet, edoch st de Varaz erheblch leer, geauer um de Fator /. Wr sd u auch der Lage, ee wchtge Zusammehag zwsche Erwartugswert ud Stadardabwechug zu bewese, ämlch Satz.6: Für ede Zufallsvarable X mt Erwartugswert µ ud der Stadardabwechug σ glt de sog. Tschebyscheffsche Uglechug P( x µ > σ für alle >0 Der Wert deser Aussage legt vor allem dar, dass se uter gaz allgemee Voraussetzuge glt ud damt e wchtges bewestechsches Hlfsmttel darstellt. (Legt ee orete Vertelug vor, so sd oft och vel wetergehede Aussage möglch, we wr später och sehe werde. Als Bespel für de Awedug vo.6 wolle wr das scho früher zterte Gesetz der große Zahle bewese, ud zwar der folgede etwas allgemeere Form: Satz.7: Sd X,X,..., X uabhägge Zufallsvarable, de weder alle deselbe Erwartugswert µ ud deselbe Varaz σ bestze solle, so glt für edes ε > 0, dass Ma sagt dazu auch, dass X für Setzt ma dar spezell X = I A bedeutet, welche durch A lm P( X µ < ε = fast scher gege µ overgert., =,,..,, wobe I A de Idatorvarable für e Eregs, falls A zutrfft I A = 0, sost defert st, so st da offebar X = h (A, d.h. glech der relatve Häufget vo A be Versuche, sowe µ=p(a, ud damt st tatsächlch de scho früher gemachte Aussage bewese, dass ämlch de relatve Häufgete h (A fast scher gege de Wahrschelchet P(A overgere. Als letztes wolle auch Aaloga zu de Formmaße g ud g aus der Desrptve Statst für ee Zufallsvarable X eführe. Dese sd de Schefe E((X µ γ = 3 σ bzw. de Wölbug (oder Exzess bzw. Kurtoss 4 E((X µ γ = 3 4 σ Ihaltlch gesehe habe se deselbe Bedeutug we g ud g (sehe dort, d.h. se messe Abwechuge vo der Symmetre bzw. vo der Form der Normalvertelug. 3

7 3. Dsrete Verteluge Ees der wchtgste Bespele für de Vertelug eer dsrete Zufallsvarable st de sog. Bomalvertelug. Wr betrachte dazu rgede Zufallsexpermet ud teressere us dafür, ob e bestmmtes Eregs A etrtt oder cht. Ma sprcht desem Zusammehag auch vo eem Beroull-Expermet. Es wrd -mal durchgeführt ud dabe de Azahl X des Etretes vo A regstrert. I aderer Sprechwese st also X = X + X +... + X mt X = IA, =,,..,, wobe de Zufallsvarable X uabhägg voeader sd. De Wahrschelchet für e -malges Etrete des Eregsses A st da gegebe durch p f ( = ( p 0 für = 0,,..., sost Ee Zufallsvarable X mt eer solche Wahrschelchetsfuto heßt bomalvertelt mt de Parameter ud p. Für de Werte f( glt stets f ( 0 für alle sowe = 0 f ( =. De achstehede Abbldug zegt als efaches Bespel de Wahrschelchetsfuto der Bomalvertelug für = 8 ud p = 0., 0.5 bzw. 0.8. Isbesodere a ma daraus ersehe, dass de Vertelug ur für p=0.5 symmetrsch, dagege für p<0.5 rechtsschef bzw. für p>0.5 lsschef st. Für ee bomalvertelte Zufallsvarable X mt de Parameter ud p gelte de Formel µ = E(X = p, σ = V(X = p( p.

8 Des a ma etweder dret aus der Defto vo E(X bzw. V(X ablete, oder auch als efache Folgerug aus obger Summedarstellug vo X erhalte uter Beachtug vo E(I A = p bzw. V(I A = p( p sowe der Leartät vo E(X bzw. V(X uter de gegebee Voraussetzuge. Deser wchtge Spezalfall = der Bomalvertelug, wo also da X = IA st, wrd der Lteratur auch oft Beroullvertelug für das Eregs A geat. Bespel 3.: We groß st de Wahrschelchet, be dremalgem Ausspele ees Würfels mdestes emal ee Sechser zu würfel? De Azahl X der Sechser uter dre Würfe st ee bomalvertelte Zufallsvarable mt de Parameter = 3 ud p = /6. Demach beträgt de gesuchte Wahrschelchet P(X = f( + f( + f(3 oder efacher 0 3 3 5 P(X = f (0 = = 0.43 4%. 0 6 6 Damt beträgt der Erwartugswert für de Azahl der Sechser dre Würfe µ = 3 = 0.5 6 ud de Stadardabwechug 5 σ = 3 = 0.645. 6 6 De Bomalvertelug trtt auch atürlcher Wese auf bem -malges Zehe mt Zurüclege aus eer Ure mt weße ud schwarze Kugel, wobe der Atel der weße Kugel der Ure p se, we wr de Wahrschelchet betrachte, dass geau weße Kugel gezoge werde. Her sd de ezele Zehuge lar voeader uabhägg ud alle habe deselbe Erfolgswahrschelchet p. Des st edoch cht mehr der Fall, we wr Zehuge ohe Zurüclege durchführe. Geauer glt folgedes: Sd der Ure sgesamt N Kugel ud davo M weß, so st de Wahrschelchet, ach -malgem Zehe ohe Zurüclege geau weße Kugel zu erhalte gegebe durch f ( M N M, falls = 0,,.., M = N 0, sost Es st des de Wahrschelchetsfuto der sog. Hypergeometrsche Vertelug. Für se glt M M M N µ = E (X = bzw. σ = V(X = ( N N N N Setzt ma her p:=m/n, so werde dese Formel zu N µ = E (X = p bzw. σ = V(X = p( p N d.h. se sd da sehr ählch de etsprechede Formel für de Bomalvertelug mt p=m/n. Be der Varaz hat ma allerdgs de sog. Korreturfator für edlche Grudgesamthete

9 N N zu berücschtge, der edoch für großes N ud m Verglech dazu lees ahezu de Wert hat Überestmmug mt der Überlegug, dass da der Utersched zwsche Zehuge mt Zurüclege ud ohe Zurüclege aum s Gewcht fällt. Bespel 3.: Bem Lotto 6 aus 45 st de Wahrschelchet für geau rchtge Zahle mt =0,,,6 ach obgem allgeme gegebe durch de Formel 6 39 6 45 6 d.h. es legt her ee hypergeometrsche Vertelug mt de Parameter N=45 ud M=6 vor. Für ee bomalvertelte (ud och mehr für ee hypergeometrsch vertelte Zufallsvarable X st de Berechug der Wahrschelchete f( ud hre Tabellerug aufgrud der vele Parameterwerte für großes recht mühsam. Ist sehr groß, p aber glechzetg ahe be Null, da glt guter Näherug f( (λ /!e λ mt λ = p ud = 0,,...,. Als Faustregel für de Brauchbaret deser Approxmato glt 30 ud p 0.. Ma bezechet ee Zufallsvarable mt der Wahrschelchetsfuto λ λ f ( = e für = 0,,,...! 0 sost als Posso-vertelt mt dem Parameter λ. Se wrd, um es och emal gaz geau zu sage, als Grezvertelug der Bomalvertelug erhalte, we p 0 ud geht, wobe aber stets p=λ glt. Auch hre Erwartugswert ud hre Varaz, ämlch µ = E (X = λ ud σ = V(X = λ erhält ma aus de etsprechede Werte der Bomalvertelug, dem ma dort p durch λ ud -p durch ersetzt. Außer als Grezvertelug eer bomal bzw. hypergeometrsch vertelte Zufallsvarable X spelt se de Aweduge auch ee wchtge egestädge Rolle, sbesodere be sog. Warteschlagemodelle, be dee es darum geht, de Wahrschelchet dafür zu bereche, dass erhalb vo x Zetehete geau mal e gewsses cht allzu häufges Eregs etrtt. Bespel 3.3: E Agler macht de Erfahrug, dass m Mttel 3 Fsche pro Stude abeße. We groß st da de Wahrschelchet, dass er ach eer Stude weger als 3 Fsche gefage hat? 0 3 3 P(X < 3 = f (0 + f ( + f ( = ( + + 0!! 3 e! 3 = 7 e 3 4.3% Ee wetere Vertelug, de eer gewsse Bezehug zur Bomalvertelug steht st de sog. egatve Bomalvertelug, wobe her aber X de Azahl der Versuche bezechet, bs geau Erfolge egetrete sd. Spezell für = wrd dese Vertelug auch geometrsche Vertelug geat. Ählch we de Bomalvertelug a ma X da auch weder deute als Summe X = X + + X +... X

30 wobe de ezele X, =,,..,, uabhägg ud geometrsch vertelt sd. De Wahrschelchetsfuto für dese Vertelug st gegebe durch p ( p für =, +,... f ( = 0 sost Spezell für =, d.h. für de allerefachste Fall der geometrsche Vertelug, verefacht sch dese Formel zu p( p für =,,... f ( = 0 sost Für dese Spezalfall lasse sch hr Erwartugswert ud Varaz lecht bestmme zu p µ = E (X = bzw. σ = V(X = p p Wege X = X + X +... + X glt da für de allgemee Fall eer egatv bomalvertelte Zufallsvarable X, dass p µ = E (X = bzw. σ = V(X = p p Bespel 3.4: Ee Blutba beötgt Blut vo 0 Persoe mt Rhesusfator postv. We groß st de Wahrschelchet, dass ma dazu mt höchstes 4 Blutspeder ausommt, we p=0.85 de Wahrschelchet dafür st, ee postve Rhesusfator zu habe. Es se dazu X de Azahl der Blutspeder, be der das Zel, 0 Blutoserve mt postve Rhesusfator zu habe, erstmals errecht st. Nach obgem st da X egatv bomalvertelt mt p=0.85 ud =0 ud es glt 4 0 0 P(X 4 = 0.85 0.5 95.33% = 0 9 4.Stetge Verteluge Wr bege mt der efachste stetge Vertelug, der stetge Glechvertelug. Se st das Gegestüc zur dsrete Glechvertelug, be der Eregsse A, A,..., A ewels mt der gleche Wahrschelchet / auftrete (we etwa bem Werfe ees Würfels, wo =6 st. Im Gegesatz dazu lege de Realsatoe eer Zufallsvarable be eer stetge Glechvertelug alle eem Itervall [a,b] (mt edlche Greze ud de Dchtefuto f(x st gegebe durch f (x = b a 0 für x [a, b] sost Daraus ergbt sch sofort auch de Formel für de Vertelugsfuto F(x, ämlch sowe F (x 0 x - a = b - a für x < a für a x b für x > b

3 a + b (b a E(X = bzw. V(X = Ählch efach sd de Rechuge für de sog. Expoetalvertelug, de wr daher als ächstes bespreche wolle. Se hat ee ezge Parameter λ >0 ud hre Dchtefuto f(x st gegebe durch λx λe für x 0 f (x = 0 sost Daraus ergebe sch ach lechter Rechug de Vertelugsfuto F(x zu 0 für x < 0 F(x = - λx - e für x 0 sowe Erwartugswert ud Varaz zu = E (X bzw. V(X = λ λ De Expoetalvertelug st gewsser Wese das stetge Aalogo zur geometrsche Vertelug, dem se de Aweduge typscherwese de Zetdauer t agbt, bs rgede Eregs zum erste Mal aufttrtt, z.b. das Ablebe ees Bautels der Eletro oder der Zerfall ees radoatve Telches. Dabe sollte dese Wartezet uabhägg davo se, we lage ma vorher scho auf das Eregs gewartet hat. Ist des cht der Fall (wel z.b. Abützugserscheuge vorlege, so öte ma ee Modellerug mt der wesetlch omplzertere Webull-Vertelug mt zwe reelle Parameter α, β >0 versuche, dere Dchtefuto f(x ud Vertelugsfuto F(x gegebe sd durch β β αβx exp( αx für x > 0 f (x = 0 sost bzw. F (x β exp( αx für x > 0 = 0 sost De Expoetalvertelug erhält ma daraus als de Spezalfall β =. (Erwartugswert ud Varaz lasse sch für de Webull-Vertelug leder cht mehr allgeme agebe. bestzt de Verte- Bespel 4.: De Lebesdauer T ( Jahre des Kohlestoffsotops lugsfuto F(t e 0.000t = für t>0 4 C ud 0 sost. De Wahrschelchet, dass es 0000 Jahre überlebt, st da P(T > 0000 = F(0000 30.% ~ De Halbwertszet t 0. 5, d.h. der Meda der Vertelug, berechet sch aus der Glechug ~ F( t0. 5 = / ~ ach efacher Rechug zu t0.5 = l / 0.000 5776 Jahre. Vo de der Praxs vorommede stetge Verteluge st de sogeate Normalvertelug mt Abstad de wchtgste. Ncht ur sd zahlreche Größe wegstes aäherd ormalvertelt bzw. lasse sch ormalvertelte Zufallsgröße trasformere; es öe uter bestmmte Voraussetzuge auch verschedee adere Verteluge durch de Normalvertelug ageähert werde. Dese Soderstellug der Normalvertelug wrd durch de Zetrale Grezwertsatz zum Ausdruc gebracht. Nach desem st ee Summe vo Zufallsvarable

3 X = X +... + X wobe dese alle uabhägg voeader sd ud der gleche Vertelug gehorche, be großem aäherd ormalvertelt, geauer gesagt, für geht de Vertelugsfuto F(x vo X ee Normalvertelug über. (Als typsche Bespele, wo des zutrfft, habe wr scho de Bomalvertelug ud de egatve Bomalvertelug eegelert, wo de ezele X alle Beroull- bzw. geometrsch vertelt ware. Dese Tatsache st auch der Grud dafür, dass der Praxs so oft aäherd ormalvertelte Zufallsvarable beobachtet werde, was ebe mest see Ursache eem addtve Zusammewre vo vele voeader uabhägge Eflüsse hat. De Wahrschelchetsdchte eer ormalvertelte Zufallsvarable X st durch de Formel f (x = e σ π x µ σ gegebe, wobe her de Parameter µ bzw. σ larerwese de Mttelwert bzw. de Stadardabwechug vo X bedeute. Der Verlauf vo f(x st folgeder Abbldug für ege Werte vo µ ud σ dargestellt. Besoders auffalled st das gloceförmge Aussehe deser Kurve ud de Symmetre bezüglch x = µ. A de Stelle x = µ ± σ hat se überdes Wedepute. Ee Veräderug vo µ bewrt ledglch ee Verschebug der betrachtete Gloceurve lägs der x-achse. Dagege beeflusst der zwete Parameter σ wesetlch de Stelhet der Kurve; e größer σ, desto leer st das Maxmum vo f ud desto flacher der Abfall ach bede Sete. Im Soderfall µ = 0, σ = sprcht ma vo der Stadardormalvertelug. Wr wsse a berets, dass wr durch Stadardsere, d.h. durch Bldug eer eue Zufallsvarable Z = X µ σ

33 mmer zu eer Vertelug mt µ = 0, σ = übergehe öe. Im Fall eer Gaußsche Normalvertelug erhält ma durch Stadardsere weder ee Normalvertelug. Des st e Spezalfall vo folgedem allgemee Satz 4. (Addtvtät der Normalvertelug: Sd de Zufallsvarable X, X,..., X uabhägg ud ormalvertelt mt de Parameter µ ud σ, =,,..,, so st de Zufallsvarable X = a + +b X + a X +... a X für belebge reelle Zahle a, =,,,, ud b da ebefalls ormalvertelt ud zwar mt µ = a µ + a µ +... + µ +b bzw. σ = a σ + a σ +... + a σ a Isbesodere a ma daraus ersehe, dass m Spezalfall X = X + + X +... X wobe de X alle detsch ormalvertelt sd, X cht ur ageähert, we des ach dem zetrale Grezwertsatz berets der Fall se muß, soder sogar exat ormalvertelt st. Für de Dchtefuto f(x ud de Vertelugsfuto F(x eer stadardormalvertelte Zufallsvarable Z habe sch dabe de Bezechuge ϕ (x bzw. Φ (x egebürgert, de wr daher achfolged ebefalls verwede werde. Zwsche der Vertelugsfuto F eer ormalvertelte Zufallsvarable X mt de Parameter µ ud σ ud der Vertelugsfuto Φ der stadardserte Zufallsvarable Z = (X µ/σ besteht somt der Zusammehag x µ F(x = Φ(. σ Damt st es möglch, de Werte der Vertelugsfuto eer belebge ormalvertelte Zufallsvarable mt Hlfe der Tabelle für Φ(z zu bestmme. Für egatve Argumete macht ma dabe Gebrauch vo der Bezehug Φ( x = Φ(x Bespel 4.3: Se X ee ormalvertelte Zufallsvarable mt de Parameter µ = 5 ud σ = 4. Ma bestmme (a P(X < 0, (b P(X > 0, (c P(6 < X < 0. Es st uter Verwedug der obe ageführte Formel m Fall (a P(X < 0 = F(l0 = Φ( l.5 = Φ(l.5 = 0.056. De Frage (b a umttelbar auf (a zurücgeführt werde: P(X > 0 = P(X 0 = F(l0 = 0.8944. Schleßlch st m Fall (c P(6 < X < 0 = F(0 F(l6 = Φ(.5 Φ(0.5 = 0.957. Für ee ormalvertelte Zufallsvarable X mt de Parameter µ ud σ glt äherugswese P( µ σ < X < µ + σ = 68% P( µ σ < X < µ + σ = 95.5%. P( µ 3σ < X < µ + 3σ = 99.7%

34 Deses Ergebs lässt sch folgedermaße terpretere: Be geüged großer Azahl vo Beobachtugswerte eer ormalvertelte Größe lege ca. /3 aller Werte erhalb der efache, ca. 95% erhalb der zwefache ud 99.7% erhalb der drefache Stadardabwechug um de Mttelwert herum. Pratsch lege also fast alle Beobachtugswerte eer ormalvertelte Zufallsvarable erhalb der 3σ-Greze (Dre-Sgma-Regel. Wr habe uter bestmmte Voraussetzuge de Bomalvertelug berets durch de Posso-Vertelug ageähert. Für 30 ud 0. p 0.9 a de Bomalvertelug aber auch guter Näherug durch de Normalvertelug mt µ = p ud σ = p( p approxmert werde. Be Ausutzug deser Tatsache sollte ma aber dara dee, dass durch de Übergag vo der dsrete Vertelug mt gazzahlge Werte zu eer stetge Vertelug, we der Normalvertelug, u de Zahl gewsser Wese das gaze Itervall (-/,+/] repräsetere muss, d.h. ma sollte de Näherug b + / p a / p P(a < X b Φ( Φ( p( p p( p verwede, wobe her a ud b vor dem Esetze mttels der sog. Stetgetsorretur / ach ute bzw. obe modfzert wurde. De theoretsche Grudlage zu obger Näherug, welche ach eer alte Faustregel für p(-p > 9 recht gut futoert, st der Lteratur auch als Grezwertsatz vo De Movre ud Laplace beat, der egetlch, we wr gesehe habe, ur ee Spezalfall des Zetrale Grezwertsatzes darstellt. Außer de bsher geate stetge Verteluge gbt es och ee Rehe vo sehr wchtge sog. Prüfverteluge, vor allem de χ -, t- ud F-Vertelug, vo dee der Idutve Statst m Zuge vo Testverfahre vor allem spezelle Quatle beötgt werde. Da de Formel für hre Dchte ud Vertelugsfutoe sehr omplzert sd, verzchte wr her auf hre explzte Aführug. Des wetere werde de Sätze, de hre egetlche Bedeutug erhelle, m ächste Kaptel m geegete Kotext ageführt.