6 Totle Differenzierbrkeit Sei U R offen. Eine Funktion f : U R ist differenzierbr in einem Punkt x U (Stz 14.6 in [EAI] genu dnn, wenn sie liner pproximierbr ist in x in dem Sinne, dss eine Zhl c R und eine Funktion h : U \ {x } R existieren mit f(x = f(x + c(x x + h(x (x U \ {x } und x x x x h(x x x =. Dies ist offensichtlich äquivlent dzu, dss eine offene Umgebung V R von R, eine Zhl c R und eine Funktion ϕ : V R existieren mit ϕ(ξ f(x + ξ = f(x + cξ + ϕ(ξ (ξ V und =. ξ ξ Mn gewinnt ϕ us h, indem mn V = U x setzt und ϕ : V R definiert durch ϕ(ξ = h(ξ + x für ξ und ϕ( =. Die umgekehrte Impliktion folgt gnz ähnlich. D die Abbildungen der Form R R, ξ cξ (c R genu die R-lineren Abbildungen von R nch R sind, stellt die folgende Definition eine direkte Verllgemeinerung des 1-dimensionlen Differenzierbrkeitsbegriffes uf den mehrdimensionlen Fll dr. Definition 6.1. Sei U R n offen und sei x U ein Punkt in U. Eine Abbildung f : U R m heißt totl differenzierbr in x (oder differenzierbr in x, flls eine linere Abbildung A : R n R m, eine offene Umgebung V R n von R n und eine Funktion ϕ : V R m existieren mit (i f(x + ξ = f(x + Aξ + ϕ(ξ für ξ V und ϕ(ξ (ii ξ ξ =. Mn bechte, dss in der obigen Sitution die Menge V immer utomtisch in U x = {u x; u U} enthlten ist. Indem mn ϕ(ξ = f(x + ξ f(x Aξ für ξ (U x V c definiert, knn mn immer erreichen, dss ϕ uf gnz U x definiert ist. Bemerkung 6.2. Seien in der Sitution von Definition 6.1 die Funktionen f = (f 1,..., f m und ϕ = (ϕ 1,..., ϕ m gegeben durch ihre Koordintenfunktionen. Ist ( ij M(m n, R die drstellende Mtrix der lineren Abbildung A : R n R m bezüglich der knonischen Bsen von R n und R m, ds heißt, gilt m Ae j = ij e i (1 j n, so ist die Gleichung (i in Definition 6.1 äquivlent zur Gültigkeit der Gleichungen f i (x + ξ = f i (x + ij ξ j + ϕ i (ξ für ξ V j=1 (1 i m. 41
Insbesondere folgt, dss eine Abbildung f = (f 1,..., f m : U R m genu dnn totl differenzierbr in x U ist, wenn lle Koordintenfunktionen f i : U R (1 i m totl differenzierbr in x sind. Sei V R n eine offene Umgebung von R n und ϕ : V R m eine Funktion mit ϕ( =. Mn schreibt ϕ(ξ = o( ξ für ϕ(ξ ξ ξ = und schreibt bkürzend für die Gleichungen (i und (ii in Definition 6.1 Beispiel 6.3. Sei A : R n differenzierbr, denn wegen f(x + ξ = f(x + Aξ + o( ξ. R m eine linere Abbildung. Dnn ist A in jedem Punkt x R n totl A(x + ξ = Ax + Aξ (x, ξ R n gelten (i und (ii us Definition 6.1 mit V = R n und ϕ. Wir hben in Beispiel 5.4 (c gesehen, dss mn us der prtiellen Differenzierbrkeit einer Funktion nicht uf ihre Stetigkeit schließen knn. Als nächstes zeigen wir, dss totl differenzierbre Funktionen prtiell differenzierbr und stetig sind und dss die linere Abbildung A in Gleichung (i us Definition 6.1 eindeutig bestimmt ist. Stz 6.4. Sei U R n offen und x U ein Punkt in U. Es gelte f(x + ξ = f(x + Aξ + ϕ(ξ und ϕ(ξ ξ ξ = wie in Definition 6.1. Sei ( ij M(m n, R die drstellende Mtrix von A bezüglich der knonischen Bsen von R n und R m. Dnn gilt: (i f ist stetig in x, (ii lle Koordintenfunktionen f i (i = 1,..., m von f sind in x prtiell differenzierbr mit f i x j (x = ij (1 i m, 1 j n. Insbesondere ist die linere Abbildung A eindeutig bestimmt. Beweis. D die linere Abbildung A : R n R m nch Lemm 2.2 stetig ist, folgt ξ Aξ = A =. Aus der Gültigkeit von Bedingung (ii in Definition 6.1 folgt, dss ξ ϕ(ξ = erhält mn die Stetigkeit von f in x ξ ξ ϕ(ξ ξ =. Dmit ξ f(x + ξ = (f(x + Aξ + ϕ(ξ = f(x. ξ 42
Für i = 1,..., m und ξ V gilt f i (x + ξ = f i (x + ij ξ j + ϕ i (ξ. Insbesondere gilt für lle reellen Zhlen h mit genügend kleinem Absolutbetrg und für j = 1,..., n f i (x + he j f i (x h j=1 = ij + ϕ i(he j (h sgn(h ij. he j Also ist jede Koordintenfunktion f i von f in jeder Koordintenrichtung x j prtiell differenzierbr in x mit fi x j (x = ij. D die linere Abbildung A : R n R m in Definition 6.1 eindeutig bestimmt ist, mcht es Sinn, diese linere Abbildung ls Ableitung von f im Punkt x zu interpretieren. In der Sitution der Anlysis I (ds heißt n = m = 1 bedeutet dies, dss mn sttt der Zhl f (x die linere Abbildung R R, t f (xt ls Ableitung von f in x betrchtet. Definition 6.5. Seien U R n offen, x U ein Punkt und f : U R m eine differenzierbre Abbildung in x mit wie in Defintion 6.1. f(x + ξ = f(x + Aξ + ϕ(ξ und ϕ(ξ ξ ξ = ( Die eindeutig bestimmte linere Abbildung A : R n R m heißt ds Differentil (oder totle Differentil von f in x. Mn schreibt für ds Differentil von f in x. Df(x (oder f (x = A (b Die drstellende Mtrix von A (bezüglich der knonischen Bsen von R n und R m, ds heißt die Mtrix ( fi (x M(m n, R x j 1 i m 1 j n heißt die Jcobi-Mtrix oder Funktionlmtrix von f in x (geschrieben ls J f (x. Ist A : R n R m liner, so sind die Koeffizienten der drstellenden Mtrix ( ij M(m n, R von A die eindeutigen reellen Zhlen mit m Ae j = ij e i (1 j n. 43
In diesem Fll wirkt die linere Abbildung A uf einen Vektor x = (x i n Rn wie die Mtrixmultipliktion mit der drstellenden Mtrix Ax = ( n m ij x j. j=1 Oft identifiziert mn die linere Abbildung A mit ihrer drstellenden Mtrix. Nch Stz 6.4 impliziert die totle Differenzierbrkeit einer Funktion f : U R m ihre prtielle Differenzierbrkeit (ds heißt, die prtielle Differenzierbrkeit ller Koordintenfunktionen. Die Umkehrung ist flsch, d die totle Differenzierbrkeit nch Stz 6.4 die Stetigkeit impliziert, die prtielle Differenzierbrkeit ber nicht (Beispiel 5.4(c. Stz 6.6. Seien U R n offen, x U und f : U R eine prtiell differenzierbre Funktion. Sind lle prtiellen Ableitungen D i f (i = 1,..., n stetig in x, so ist f totl differenzierbr in x. Beweis. D U offen ist, gibt es ein δ > mit B δ (x U. Sei ξ B δ ( und sei i z (i = x + ξ ν e ν ν=1 (i =,..., n. Dnn ist z ( = x, z (n = x + ξ und z (i x ξ < δ für i =,..., n. Der erste Mittelwertstz der Differentilrechnung (Korollr 15.4 in [EAI] ngewendet uf die differenzierbren Funktionen liefert eine Zhl θ i = θ i (ξ (, 1 so, dss f g i : [, 1] R, g i (t = f (z (i 1 + tξ i e i (i = 1,..., n ( z (i ( f z (i 1 = g i (1 g i ( = g i(θ i = ξ i D i f (z (i 1 + θ i ξ i e i. Zur Berechnung der Ableitung benutze mn die 1-dimensionle Kettenregel mit innerer Funktion t tξ i. Definiert mn y (i = z (i 1 + θ i ξ i e i, so folgt f(x + ξ f(x = f ( z (n ( f z ( = ( ( f z (i f (z (i 1 = = D i f ( y (i ξ i D i f(xξ i + ϕ(ξ mit ϕ(ξ = n ( Di f ( y (i D i f(x ξ i. D die Funktionen D i f (1 i n nch Vorussetzung stetig sind in x und d y (i = (x 1 + ξ 1,..., x i 1 + ξ i 1, x i + θ i ξ i, x i+1,..., x n (ξ x 44
konvergiert, folgt Also ist f totl differenzierbr in x. n ϕ(ξ ξ D i f(y (i D i f(x ξ i x (ξ. Korollr 6.7. Sei U R n offen und sei f : U R m stetig prtiell differenzierbr (ds heißt lle Koordintenfunktionen f i : U R von f seien stetig prtiell differenzierbr. Dnn ist f totl differenzierbr und insbesondere uch stetig in jedem Punkt x U. Beweis. Stz 6.6 zeigt, dss lle Koordintenfunktionen von f totl differenzierbr in jedem x U sind. Nch Bemerkung 6.2 ist f in jedem x U totl differenzierbr und nch Stz 6.4 uch stetig. Forml gilt für die Differentile von totl differenzierbren Abbildungen dieselbe Kettenregel wie für die Ableitungen von Funktionen einer Veränderlichen (siehe Stz 14.1 in [EAI]. Stz 6.8. (Kettenregel Seien U R n, V R m offen, x U ein Punkt und f : U R m, g : V R k Abbildungen mit f(u V. Ist f differenzierbr in x und ist g differenzierbr in f(x, so ist g f differenzierbr in x, und es gilt (g f (x = g (f(x f (x, ds heißt ds totle Differentil von g f in x ist die Komposition der totlen Differentile von g in f(x und f in x. Beweis. Mit A = f (x : R n R m und B = g (f(x : R m R k gilt f(x + u = f(x + Au + ϕ(u für u U x, g(f(x + v = g(f(x + Bv + ψ(v für v V f(x mit Funktionen ϕ : U x R m, ψ : V f(x R k, für die gilt Für u U x folgt ϕ(u ψ(v =, u u v v =. g f(x + u = g(f(x + u = g(f(x + B(Au + ϕ(u + ψ(au + ϕ(u = (g f(x + B A(u + χ(u mit χ(u = Bϕ(u + ψ(au + ϕ(u. Also genügt es zu zeigen, dss χ(u u u =. D nch Lemm 2.21 χ(u u B ϕ(u u + ψ(au + ϕ(u u 45
gilt, genügt es zu zeigen, dss ( u ψ(au + ϕ(u u ist. Dzu definieren wir ψ (v = ψ(v v für v V f(x mit v und ψ ( =. Für u U x mit hinreichend kleiner Norm u, ist ϕ(u < 1 und dmit u = ψ(au + ϕ(u ( A + 1 u ψ (Au + ϕ(u. Indem mn durch u dividiert und benutzt, dss v ψ (v = ist, sieht mn, dss Bedingung ( erfüllt ist. Dies beendet den Beweis. D die drstellende Mtrix einer Komposition linerer Abbildungen ds Mtrixprodukt der drstellenden Mtrizen der lineren Abbildungen ist, gilt in der Sitution von Stz 6.8 J g f (x = J g (f(x J f (x (Mtrixprodukt. Korollr 6.9. Seien U R n, V R m offen, f = (f 1,..., f m : U R m, g : V R differenzierbre Abbildungen mit f(u V. Dnn ist g f : U R differenzierbr mit (g f x j (x = für x U und j = 1,..., n oder äquivlent m g x i (f(x f i x j (x grd (g f(x = (grd g(f(xj f (x für lle x U. Beweis. Nch der Bemerkung zu Stz 6.8 gilt ( (g f (g f (x,..., (x x 1 x n = grd (g f(x = J g f (x = J g (f(x J f (x = grd g(f(x J f (x ( ( g g fi = (f(x,..., (f(x (x x 1 x m x j ( m g = (f(x f m i g (x,..., (f(x f i (x. x i x 1 x i x n Korollr 6.1. Seien U R n, V R m offen und k N. Ist f C k (U mit f(u V und ist g C k (V, so ist g f C k (V. Beweis. Mit der Produktregel und Induktion nch k folgt, dss für zwei Funktionen u, v C k (U ds Produkt uv C k (U gehört und dss die prtiellen Ableitungen von uv der Ordnung k endliche Summen von Produkten us einer prtiellen Ableitung von u und einer prteillen Ableitung von v jeweils der 46
Ordnung k sind. Dmit folgt die Behuptung von Korollr 6.1 durch Induktion nch k. Der Induktionsnfng k = 1 folgt direkt us Korollr 6.9. Sei k 2 und die Behuptung gezeigt für k 1. Für f, g wie in Korollr 6.1 und i 1,..., i k {1,..., n} ist dnn nch Korollr 6.9, der Induktionsvorussetzung und der obigen Bemerkung über Produkte m D i1 (g f = ( i g f ( i1 f C k 1 (U. Also existiert D ik D i2 (D i1 (g f und ist stetig. Die prtiellen Ableitungen sind Ableitungen in Richtung der Koordintenchsen. Entsprechend knn mn Ableitungen in Richtung beliebiger Vektoren im R n bilden. Definition 6.11. (Richtungsbleitungen Seien U R n offen, x U, v R n mit v = 1 und f : U R eine Funktion. Mn nennt (flls dieser Limes existiert D v f(x = d dt f(x + tv f(x + tv f(x t= = R t t die Richtungsbleitung von f im Punkt x in Richtung v. Für v = e i (1 i n ist offensichtlich D ei f(x = D i f(x. Stz 6.12. Sei U R n offen und f : U R differenzierbr. Für x U und v R n mit v = 1 ist D v f(x = grd f(x, v = f (x(v. Beweis. Nch der Kettenregel (Stz 6.9 ist die Funktion W = {t R; x + tv U} R, t f(x + tv differenzierbr mit d n f(x + tv = dt für lle t W. f (x + tv d(x i + tv i = grd f(x + tv, v = x i dt Bemerkung 6.13. Ist grd f(x in Stz 6.12, so gilt v i f (x(e i = f (x(v D v f(x = grd f(x, v = cos θ grd f(x, wobei θ [, π] der Schnittwinkel zwischen v und grd f(x ist. Die Richtungsbleitung in x wird mximl in Richtung v = grd f(x grd f(x. 47
Sei I R ein Intervll positiver Länge und f : I R stetig differenzierbr. Sind x, ξ R mit x, x+ξ I, so folgt us der Substitutionsregel mit der inneren Funktion ϕ(t = x + tξ (t [, 1] f(x + ξ f(x = x+ξ=ϕ(1 f (udu = 1 f (ϕ(tϕ (tdt = ξ 1 x=ϕ( f (x + tξdt. Diese Version des Mittelwertstzes der Differentilrechnung gilt uch mehrdimensionl. Dbei ersetzen wir die Ableitung von f unter dem letzten Integrl durch die Jcobi-Mtrix von f. Die dbei uftretenden Integrle mtrixwertiger stetiger Funktionen definiert mn koeffizientenweise. Definition 6.14. Seien m, n N,, b R mit < b und sei A : [, b] M(m n, R, t A(t = ( ij (t stetig. Dnn definiert mn ( b A(tdt = ij (tdt M(m n, R. Mn bechte dbei, dss nch Bemerkung 2.22 lle Koeffizientenfunktionen [, b] R, t ij (t stetig sind. Stz 6.15. (Mittelwertstz Seien U R n offen, f C 1 (U, R m, x U und ξ R n so, dss x + tξ U für lle t [, 1]. Dnn gilt ( 1 f(x + ξ f(x = J f (x + tξ ξ. Beweis. Sei f : U R m, f(x = (f 1 (x,..., f m (x stetig differenzierbr. Nch der Kettenregel (Korollr 6.9 sind die Funktionen g i : [, 1] R, t f i (x + tξ (1 i m stetig differenzierbr. Mit dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (Stz 17.7 in [EAI] und der Kettenregel folgt, dss f i (x + ξ f i (x = g i (1 g i ( = 1 g i(tdt = = 1 f i (x + tξ d x j=1 j dt (x j + tξ j dt ( 1 f i (x + tξ dt ξ j x j j=1 gleich der i-ten Zeile des Produktes ( 1 ( f 1 µ (x + tξdt (ξ ν n ν=1 = x ν 1 µ m 1 ν n ist. J f (x + tξdt ξ 48
Für Anwendungen des Mittelwertstzes ist es nützlich, eine Verllgemeinerung der Stndrdbschätzung für Riemnn-Integrle (Stz 16.13(b in [EAI] zur Verfügung zu hben. Lemm 6.16. Für stetige Funktionen f : [, b] R n, A : [, b] M(m n, R gilt f(tdt f(t dt und A(tdt wobei uch ds erste Integrl komponentenweise definiert ist. A(t dt, Beweis. Für eine Teilung T = (t i r i= von [, b] und eine Zwischenfolge Z = (z i r von T definieren wir wie in der Anlysis I (Definition 16.1 in [EAI] die zugehörige Riemnn-Summe der stetigen Funktion f : [, b] R n durch S(f, T, Z = r (t 1 t i 1 f(z i R n. Dnn ist S(f, T, Z = (S(f j, T, Z n j=1. Sei (T k k 1 eine Folge von Teilungen des Intervlls [, b] mit k ω(t k = und (Z k k 1 eine Folge von Zwischenfolgen Z k von T k. Nch Stz 16.11 in [EAI] und Lemm 2.2 gilt ( f dt = f j dt n j=1 = k (S(f j, T k, Z k n j=1 = k S(f, T k, Z k. D die Normfunktion stetig ist (Beispiel 2.13 (b, folgt f dt = S(f, T k, Z k S( f, T k, Z k = k k f dt, wobei wir die Dreiecksungleichung für die euklidische Norm und noch einml Stz 16.11 us [EAI] (diesesml für die stetige Funktion f benutzt hben. D uch Konvergenz in M(m n, R äquivlent zur koeffizientenweisen Konvergenz ist (Bemerkung 2.22, knn mn die Integrlbschätzung im mtrixwertigen Fll gnz genuso beweisen. Kombiniert mn den Mittelwertstz mit der obigen Integrlbschätzung, so hält mn die Mittelwertbschätzung der mehrdimensionlen Differentilrechnung. Korollr 6.17. (Mittelwertbschätzung Seien U R n offen, f C 1 (U, R m, x U, ξ R n mit x + tξ U für lle t [, 1]. Dnn gilt f(x + ξ f(x M ξ mit M = sup J f (x + tξ = sup f (x + tξ <. t [,1] t [,1] 49
Beweis. Mit dem Mittelwertstz (Stz 6.15 sowie Lemm 2.21 und Lemm 6.16 enthält mn ( 1 f(x + ξ f(x = 1 J f (x + tξdt J f (x + tξ dt ξ M ξ. 1 ξ J f (x + tξdt ξ D f C 1 (U, R m ist, ist die Funktion [, 1] M(m n, R, t J f (x+tξ nch Bemerkung 2.22 stetig. Die Stetigkeit bleibt erhlten, wenn mn die Mtrixnorm (Lemm 2.21 hinter diese Funktion schltet. Also ist M <. D die Norm einer Mtrix A M(m n, R definiert wurde ls die Opertornorm des zugehörgien Multipliktionsopertors R n R m, x Ax (Lemm 2.21, folgt die Gleichheit der beiden Suprem. Litertur [EAI] Eschmeier, J., Anlysis I, Vorlesungsskript, Universität des Srlndes, 213. 5