Stetigkeit ud Dierezierbarkeit Vorlesug zur Didaktik der Aalysis
Ihalt Nachtrag: Fuktioegrezwert Stetigkeit Aschauliche Bedeutug Mathematische Präzisierug Topologische Charakterisierug Gleichmäßige Stetigkeit Iteressate Beispiele Dierezierbarkeit Formale Deiitio Zusammehag zur Stetigkeit Iteressate Beispiele Zusammeassug Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit
Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 3 Nachtrag: Fuktioegrezwert : lim N N a a a a : lim L L S S Für Folge habe wir deiiert: Köte ür reelle Fuktioe diese Zeile Si mache? : lim L L N N p Was ist aber, we ma de Prozess p betrachtet? Etwa:???
Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 4 Fuktioegrezwert II L L p p lim : lim :lim Deshalb deiiert ma: : : lim L p L D p Bzw. Epsilo-Delta Deiitio: Ma ka zeige, dass beide Deiitioe äquivalet sid
Stetigkeit Ituitive Deiitio: stetig Der Graph der Fuktio ka ohe abzusetze gezeichet werde. globale Eigeschat ka hier stetig ergäzt werde Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 5
Stetigkeit mathematische Präzisierug stetig i D : stetig i :lim lim Wird ür alle Folge geordert!!! stetig i lim lokale Eigeschat: Stetigkeit i Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 6
Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 7 Beispiel ür de Nachweis der Stetigkeit: **... : * :, aber Betrachte die Fuktio a der Stelle Die Gleichuge * ud ** ergebe zusamme:! : wähle
Topologische Charakterisierug: : X Y stetig gdw. das Urbild jeder oee Mege BY -1 B ist eie oee Teilmege vo X U oe gdw. Für alle U gibt es eie Umgebug, die gaz i U ethalte ist Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 8
Ituitiver Zugag kleie Schwakug i etspricht ebealls ur kleier Schwakug i Stetigkeit als globale Eigeschat: : D R stetig, we ür alle aus D stetig ist. Die Stetigkeit ka uterschiedlich gut sei; i dem Sie, dass ei kleies gewählt werde muss Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 9
Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 1 Stetigkeit vs. gleichmäßige Stetigkeit : D stetig i :, D gleichmäßig stetig Die gewöhliche Stetigkeit wird im Uterschied zur gleichmäßige Stetigkeit auch puktörmig geat. Puktörmige Stetigkeit: Gleichmäßig Stetigkeit:,
Beispiel ür puktörmig stetige aber icht gleichmäßig stetige Fuktioe User Beispiel ür DR ist geau so ei Beispiel! Je weiter ma ach rechts geht, desto kleier muss delta gewählt werde: Schräkt ma die Fuktio jedoch au Ei kompaktes Itervall ei DI, so ist Sie gleichmäßig stetig! Merke: Ohe Agabe des Deiitiosbereichs Ist eie Fuktio icht eideutig bestimmt! Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 11
Beispiel ür ustetige Fuktioe Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 1
Moster Peter Gustav Lejeue-Dirichlet 185 1859 im Jahre 189 kostruiert: D ist i ihrem gaze Deiitiosbereich ustetig! Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 13
Wichtige Sätze über stetige Fuktioe Zwischewertsatz das Bild eies Itervalls eier stetige Fuktio ist ei Itervall Satz vom Maimum eie stetige Fuktio au eiem kompakte Itervall immt Miimum ud Maimum a : [a,b] R stetig au dem kompakte Itervall, da ist gleichmäßig stetig. Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 14
Dierezierbarkeit Wir werde sehe: Dierezierbarkeit ist im Ker eie Aussage über die Eistez eies bestimmte Grezwertes Sie ist deshalb eg mit der Stetigkeit verküpt. die i der Schule praktisch keie Erwähug idet! Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 15
Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 16 Dierezierbarkeit h a h a h lim : D R, D oees Itervall, i a dierezierbar eistiert h a h a h m Klar: ür h icht deiiert!
Zusammehag: Dierezierbarkeit ud Stetigkeit m h a h h a Alterative Deiitio: i Pukt a dierezierbar, we die Sekatesteigugsuktio mh ür h stetig ergäzbar ist. Außerdem gilt: dibar stetig icht stetig icht dibar Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 17
Beispiel eier icht-dierezierbare Fuktio: z. Z.lim h etwa : h lim 1 1 1. 1 bzw 1 h eistiert h N bzw.lim N 1 1 icht 1 Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 18
Ituitive Vorstellug Dierezierbar bedeutet aschaulich glatt Aber: ür ür Q R Q Ohe Beweis: ist ür stetig ud dierezierbar. Es gibt also auch seltsame Fuktioe, die eie Ableitug besitze Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 19
Zum Abschluss I R di-bar impliziert Stetigkeit Eiige Fuktioe sid überall stetig aber a eiige Stelle icht dierezierbar Es gibt aber auch überall stetige Fuktioe, die irgeds dierezierbar sid! Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit
Takagi Fuktio 193 Iterpretiert ma die Ableitug als Mometageschwidigkeit, so bedeutet dies, dass die Bewegug au so eier icht-dierezierbare stetige Kurve keie eideutige Geschwidigkeit hat! Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 1
Zusammeassug Stetigkeit vo i bedeutet: Dierezierbarkeit bedeutet stetige Ergäzbarkeit der m-fuktio Bzw.: Eistez des Grezwertes vo mh lim Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit
Alle diese Begrie werde i der Schule icht erwäht, oder ur heuristisch erläutert. Wie ist verstehesorietierter Aalysis Uterricht da überhaupt möglich??? Oliver Passo Stetigkeit ud Dierezierbarkeit 3