Kapitel 4: Beispiele für Präferenzen und Nutzenfunktionen 1 / 17

Kapitel 4: Beispiele für Präferenzen und Nutzenfunktionen 1 / 17

Perfekte Substitute Coca Cola vs. Pepsi Cola 3 2 1 1 2 3 2 / 17

0,5l 3 2 1 0.5 1 1.5 1.0l Figure: Perfekte Substitute in anderen Maßeinheiten 3 / 17

Nutzenfunktion für Perfekte Substitute Wenn eine Präferenzordnung über Güterbündel (x 1, x 2 ) R 2 0 durch eine Nutzenfunktion der Form u(x 1, x 2 ) = ax 1 + bx 2 mit a > 0, b > 0 repräsentiert werden kann, dann sind Gut 1 und Gut 2 perfekte Substitute. 4 / 17

Perfekte Komplemente Tassen Kaffee vs. Würfelzucker 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 5 / 17

Nutzenfunktion für Perfekte Komplemente Wenn eine Präferenzordnung über Güterbündel (x 1, x 2 ) R 2 0 durch eine Nutzenfunktion der Form u(x 1, x 2 ) = min{ax 1, bx 2 } mit a > 0, b > 0 repräsentiert werden kann, dann sind Gut 1 und Gut 2 perfekte Komplemente. 6 / 17

Quasilineare Präferenzen 6-Pack Cola vs. sonstige Konsumausgaben 1 2 3 4 5 6 7 8 7 / 17

Nutzenfunktion für quasilineare Präferenzen Wenn eine Präferenzordnung über Güterbündel (x 1, x 2 ) R 2 0 durch eine Nutzenfunktion der Form u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + cx 2 mit v ( ) > 0, c > 0 repräsentiert werden kann, dann ist die Präferenzordnung quasilinear bzgl. Gut 1. 8 / 17

Homothetische Präferenzen Der Konsum bestimmter Güter (z.b. Wohnfläche in m 2 ) steigt für viele Konsumenten proportional mit dem Einkommen. Solch ein Konsumverhalten liegt dann vor (siehe Kapitel 5),... wenn die GRS zwischen zwei Gütern nur vom Verhältnis x 2 x 1 der konsumierten Mengen abhängt,... nicht aber von der tatsächlichen Höhe des Konsums des jeweiligen Gutes. Präferenzen, bei denen die GRS in einem gegebenen Güterbündel (x 1, x 2 ) (0, 0) nur vom Verhältnis der konsumierten Mengen abhängt, heißen homothetisch. 9 / 17

x 2 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1 10 / 17

Frage: Welche Nutzenfunktionen repräsentiert homothetische Präferenen? Nutzenfunktion für homothetische Präferenzen Wenn eine Präferenzordnung über Güterbündel (x 1, x 2 ) R 2 0 durch eine homogene Nutzenfunktion repräsentiert werden kann, dann ist die Präferenzordnung homothetisch. Homogenität vom Grad k Eine Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) heißt homogen vom Grad k genau dann, wenn sie für alle (x 1, x 2 ) R 2 0 folgende Eigenschaft erfüllt: u(tx 1, tx 2 ) t k u(x 1, x 2 ) für alle t > 0 11 / 17

Betrachte folgende Güterbündel: ( x 1, x 2 ) (0, 0) und ( x 1, x 2 ) = (t x 1, t x 2 ) mit t > 0 ( x 1, x 2 ) und (t x 1, t x 2 ) liegen beide auf der Geraden durch den Ursprung mit Steigung K = x 2 x 1. Bei homothetischen Präferenzen muss GRS( x 1, x 2 ) = GRS( x 1, x 2 ) gelten. Dies ist der Fall ist, wenn Präferenzen durch eine homogene Nutzenfunktion repräsentiert werden. 12 / 17

Sei u(x 1, x 2 ) homogen vom Grad k. Dann ist u(t x 1, t x 2 ) identisch zu t k u( x 1, x 2 ) für alle ( x 1, x 2 ) R 2 0. Die Veränderung von u(t x 1, t x 2 ) aufgrund einer marginalen Veränderung von x i (mit i = 1, 2) muss identisch sein... zu der Veränderung von t k u( x 1, x 2 ) aufgrund einer marginalen Veränderung von x i. Es muss gelten: u(t x 1, t x 2 ) x i t k 1 u(x 1, x 2 ) x i 13 / 17

Für ( x 1, x 2 ) und ( x 1, x 2 ) = (t x 1, t x 2 ) muss gelten: u( x 1, x 2 ) x i = t k 1 u( x 1, x 2 ) x i GRS im Güterbündel ( x 1, x 2 ): GRS( x 1, x 2 ) = u( x 1, x 2 )/ x 1 u( x 1, x 2 )/ x 2 = tk 1 u( x 1, x 2 )/ x 1 t k 1 u( x 1, x 2 )/ x 2 = u( x 1, x 2 )/ x 1 u( x 1, x 2 )/ x 2 = GRS( x 1, x 2 ) Folglich repräsentieren homogene Nutzenfunktionen stets homothetische Präferenzen. 14 / 17

Cobb-Douglas Nutzenfunktion Eine Nutzenfunktion der Form u(x 1, x 2 ) = x γ 1 xδ 2 mit γ > 0, δ > 0 heißt Cobb-Douglas Nutzenfunktion. Die Cobb-Douglas Nutzenfunktion ist... homothetisch mit GRS(x 1, x 2 ) = x 2 x 1 ; homogen vom Grad γ + δ. 15 / 17

x 2 4 3 2 1 1 2 3 4 x 1 Figure: Indifferenzkurven für Cobb-Douglas Nutzenfunktion mit γ = δ. 16 / 17

Essenzielle Güter Sei angenommen, dass die Präferenzordnung über Güterbündel (x 1, x 2 ) R 2 0 durch die Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) repräsentiert wird. (i) Gut 1 ist ein essenzielles Gut genau dann, wenn u(0, x 2 ) = u(0, 0) für alle x 2 > 0. (ii) Gut 2 ist ein essenzielles Gut genau dann, wenn u(x 1, 0) = u(0, 0) für alle x 1 > 0. 17 / 17