DEMO für ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gz ausführliches Traiig Datei Nr. 40012 Neu geschriebe ud sehr erweitert Std: 4. Februar 2010 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
Vorwort Die Texte über Folge wurde sehr erweitert ud überarbeitet. Daher sollte m sich auch i folgede Texte umsehe: 40011 Eiführug Rekursive ud explizite Berechugsformel Grudlage zu arithmetische ud geometrische Folge (Dies wird i vorliegedem Text wiederholt!) Geometrische Folge als Wachstumsfolge (kurze Eiführug) 4001 Arithmetische Folge 2. Ordug Dies wurde auch scho i 40011 gesproche. 40019 Geometrische Folge als Wachstumsfolge Prozetuales (expoetielles) Wachstum ud Abahme (wie Ziseszisrechug, radioaktiver Zerfall). Hier wird och eimal besproche, was kurz i 40011 gezeigt worde ist. Wer es also ausführlicher braucht, lese hier ach! 40020 Spezielle Wachstumsfolge Hier geht es um die rekursive Formel u = u 1 q+ r. ud die explizite Berechug der Formel. Zu de Aweduge gehöre auch schwierigere fizmathematische Vorgäge wie Ratespare, Retezahlug, Darlehesfizierug. Allgemei beschreibe diese Folge das beschräkte Wachstum. Dazu gehört auch die beschräkte Abahme (Abkühlugsvorgäge u.a.). 4000 Arithmetische ud geometrische Reihe 40060 Geometrische Figure als geometrische Folge Es komme auch Teilaufgabe zu Reihe vor. 40200 Aufgabesammlug zu ar./geom. Folge ud Reihe
Ihalt 1 Arithmetische Zahlefolge 4 1.1 Arithmetische Folge defiiere ud erkee 4 1.2 Arithmetische Folge rekursiv bereche 6 Traiigsaufgabe 1 7 1. Arithmetische Folge: Herleitug eier explizite Formel (Lesestoff) 8 1.4 Grudaufgabe mit Musterlösuge 11 1. Musterbeispiele mit Lösuge 1 Traiigsaufgabe 2 1 1.6 Schaubilder arithmetischer Folge 16 Traiigsaufgabe ud 4 (Textaufgabe) 18 2 Geometrische Zahlefolge 19 2.1 Defiitio ud rekursive Berechug 19 2.2 Beispiele rekursiver Berechug 21 Traiigsaufgabe ud 6 22 2. Explizite Berechug geometrischer Folge (Lesestoff) 2 Traiigsaufgabe 7 27 2.4 Grudaufgabe mit Musterlösuge 28 Traiigsaufgabe 8 4 Weitere Grudaufgabe ud Beispiele Traiigsaufgabe 9 8 Weitere Grudaufgabe ud Beispiele 9 Traiigsaufgabe 10 44 2. Schaubilder vo geometrische Folge 4 2.6 Mathematische Utersuchuge der geometrische Folge 48 1. Mootoie 48 Traiigsaufgabe 11 49 2. Wie groß oder wie klei werde die Glieder der Folge? 0 2.7 Eisatz des CAS-Rechers TI Nspire Traiigsaufgabe 12 6 Traiigsteil: Zusammestellug aller Traiigsaufgabe 7 Alle Lösuge dazu 6 90 Aweduge zu geometrische Folge i 40019 ud 40060
40012 Arithmetische ud geometrische Folge 4 1 Arithmetische Zahlefolge 1.1 Arithmetische Folge defiiere ud erkee M k arithmetische ud geometrische Folge auf uterschiedlichste Weise eiführe. Ich zeige Beispiele dazu im Ahg. Hier greife ich auf die vielleicht gebräuchlichste Defiitio zurück, die auch am beste zur Überprüfug dieser Folge geeiget ist. Beispiel 1 a1 = 12; a2 = 16; a = 20; a4 = 24;... Bei der Folge ist immer der Nachfolger um 4 größer als der Vorgäger. Dies k m als implizite Berechugsgleichug so aufschreibe: a a 4 + 1= + oder 1 bzw. a 1 a = + 4 oder 1 = 4 a = a + 4 mit a 1 = 12 M formuliert das als Pflichtsatz im Heft so: Die Differez zweier aufeider folgeder Glieder ist kostt (ud zwar hier gleich 4). MERKE: Eie Folge, bei der die Differez aufeider folgeder Glieder immer gleich groß ist, heißt eie arithmetische Folge. Beispiel 2 a1 = 20 ; a2 = 11; a = 42 ; a4 = 7 ;... Rechug: a2 a1 = 11 20 = 1 a a2 = 42 11 = 1 a 1 a = + 1 a4 a = 7 42 = 1 Weil die Differeze aufeider folgeder Gleicher gleich groß sid, liegt eie arithmetische Folge vor. Rekursive Darstellug: + 1= + 1 mit a 1 = -20 WICHTIGER HINWEIS: Immer we m eie Folge aus eiige gegebee Glieder idetifiziert ud eiem Typ zuordet, muss m eigetlich sage: Es k sich um eie solche Folge dieses Typs hdel. Es gibt ämlich stets uedlich viele Folge, die i diese gegebee Glieder übereistimme, dahiter aber abweiche! Bei dieser arithmetische Folge ist a = 104. Würde aber m a = 10 verwede, läge scho keie arithmetische Folge mehr vor. I der Regel aber sid die Aufgabe so gestellt, dass m sage k, es liegt eie solche Folge vor. De der Aufgabesteller will ja, dass m gerade diese Typ idetifiziert. Aber vom Prizip her muss m wisse, dass es ebe auch dere gibt!
40012 Arithmetische ud geometrische Folge Beispiel a1 = 14; a2 = 4; a = 6; a4 = 16;... Differeze aufeider folgeder Glieder: a2 a1 = 4 14 = 10 a a2 = 6 4 = 10 a a = 16 6 = 16 + 6 = 10 4 a a 10 = + 1 Weil die Differeze aufeider folgeder Gleicher gleich groß sid, liegt eie arithmetische Folge vor. (Dies ist der Pflichtsatz zur Begrüdug des Ergebisses. Ud m muss alle mögliche Differeze aufeider folgeder Glieder utersuche! Ud m eriere sich de Hiweis!) Diese Folge fällt, weil fortgesetzt 10 subtrahiert, also -10 addiert wird. M k für diese Folge die rekursive Darstellug so schreibe: + 1= 10 mit a 1 = 14 Beispiel 4 Gegebe ist diese Folge: 2, 4, 11 2, 7, Um herauszufide, ob eie arithmetische Folge vorliege k, berechet m alle mögliche 8 Differeze: a a = 4 = = 2 1 2 2 2 2 a a = 4 = = 11 11 8 2 2 2 2 2 a a = 7 = =. 11 14 11 4 2 2 2 2 a + a = 1 2 Weil die Differeze aufeider folgeder Gleicher gleich groß sid, liegt eie arithmetische Folge vor. Rekursive Darstellug der Folge: a + = a + mit a = 1 2 1 2 Zu arithmetische Folge gibt es atürlich auch explizite Formel, die wir jetzt bestimme wolle.
40012 Arithmetische ud geometrische Folge 6 1.2 Arithmetische Folge rekursiv bereche Es gibt prizipiell zwei Arte der Berechug für Zahlefolge: 1. Art: Bei der rekursive Berechug muss m eie Afgswert kee ud eie Vorschrift, wie m de Nachfolger aus dem Vorgäger berechet. 2. Art: Bei der explizite Berechug k m direkt jedes beliebige Glied der Folge mittels eies Fuktiosterms bereche. Beispiel 1: Es sei a1 = 18 ud + 1= + 11 D folgt: a2 = a1 + 11 = 18 + 11 = 29 ud daraus: a = a2 + 11 = 29 + 11 = 40 ud daraus: a4 = a + 11 = 40 + 11 = 1 usw. Soll m jedoch a 40 bereche, geht das erst, we m zuvor alle Glieder bis a 9 berechet hat. D folgt: a40 = a9 + 11 =... Das war die rekursive Art der Berechug. Für dieselbe Folge gibt es auch eie Fuktiosterm: = 11 + 7 Wir überprüfe dies, idem wir die ermittelte Werte och eimal bereche: a1 = 11 1+ 7 = 18 a2 = 11 2+ 7 = 22+ 7 = 29 a = 11 + 7 = + 7 = 40 a4 = 11 4+ 7 = 44+ 7 = 1 Ud sogar: a40 = 11 40 + 7 = 440 + 7 = 447 M erket de Vorteil: Hier beötigt m keie Vorgäger, k also sofort jedes beliebige Glied bereche, also auch a628 = 11 628 + 7 = 6191. Dies war die explizite Art der Berechug. Beispiel 2: Es sei a1 = 60 ud = 1 6 Im Uterschied zu Beispiel 1 wird i der Berechugsformel der Nachfolger mit a bezeichet ud der Vorgäger mit a -1. M köte diese Vorschrift auch so schreibe: + 1= 6. Das ergibt dieselbe Methode ud dieselbe Werte. Die explizite Form für diese Folge ist = 66 6. Aufgabe: Bereche die folgede Glieder dieser Folge zuerst rekursiv, d explizit: a, 2 a, a, 4 a, a 100 Die Lösug steht auf der ächste Seite.
40012 Arithmetische ud geometrische Folge 7 Lösug: Rekursiv: Explizit: Aus a1 = 60 ud = 1 6 Aus = 66 6 folgt a1 = 66 6 1= 66 6 = 60 folgt: a2 = a1 6 = 60 6 = 4 a2 = 66 6 2 = 66 12 = 4 a = a2 6 = 4 6 = 48 a = 66 6 = 66 18 = 48 a4 = a 6 = 48 6 = 42 a4 = 66 6 4 = 66 24 = 42 a = a4 6 = 42 6 = 6 a = 66 6 = 66 0 = 6 a100 = a99 6 =? 6 =? a100 = 66 6 100 = 66 600 = 4 Es ist atürlich klar, dass m a 100 icht mehr rekursiv berechet, de m müsste ja zuvor a 1 bis a 99 kee! Beispiel : Gegebe sei = 1+ 14 ud a4 = 20. Bereche rekursiv a 1 bis a 6.. Jetzt ket m plötzlich icht a 1 soder a 4. Zuerst reche wir vo a 4 aus ach obe : a = a4 + 14 = 20 + 14 = 6 a6 = a + 14 = 6+ 14 = 8 Nu müsse wir zurückreche, also die Vorgäger aus de Nachfolger bestimme. Dazu stelle wir die Formel um: Aus = 1 + 14 wird d 1= 14. Das ist aber eigetlich klar, de we m für de Nachfolger immer 14 dazuaddiere muss, d etsteht der Vorgäger aus dem Nachfolger durch Subtraktio vo 14! Traiigsaufgabe 1 a = a4 14 = 20 14 = 4 a2 = a 14 = 4 14 = 48 a1 = a2 14 = 48 14 = 62. (1) Bereche a 2 bis a zu a) + 1= + 24, a 1 = 1 b) a =, a 1 = 2 1 2 (2) Bereche a 1 bis a 6 zu: a) = 1 10, a = 100 b) + 1= + 12, a 7 = 6 () Bereche a 1 bis a 6 mit: a) + 2= 0, a 1 = 1 a = a + 1, a = -1 b) + 1 1 (4) Bereche a 2 bis a 4 mittels = 1+ 100. Lösuge am Textede
40012 Arithmetische ud geometrische Folge 8 1. Arithmetische Folge: Herleitug eier explizite Formel (Bitte grüdlich mitdeke ud verstehe!) (1) Bei der Folge a1 = 18; a2 = 21; a = 24; a4 = 27; a = 0;... stellt m schell fest, dass die Differez aufeider folgeder Glieder ist: a 1 a = +. Der Nachfolger etsteht also immer durch Additio der Zahl d = : Beachte diese Grafik: 18 + 21 + 24 + 27 + 0 + + 6 + 9... + 4d = + 12 + 4d = + 12 + 4d =+ 12 Der rote Pfeil zeigt, wohi m kommt, we m statt um d gleich um 4d weiter geht: M kommt etweder vo a 1 ach a ( a = a1 + 4d), oder vo a 2 ach a 6 ( a6 = a2 + 4d) oder vo a 4 ach a 8 ( a8 = a4 + 4d), usw. We also a 4 = 27 gegebe ist ud außerdem a 8 = 9, d wisse wir, dass a8 a4 = 4d ist, also köe wir aus 4d = 9 27 = 12 auf d = schließe. Umgekehrt köe wir vo a 1 aus durch Additio vo 4d direkt a bereche: a = a1+ 4d. Dekt m sich eie Pfeil vo a 2 = 21 ach a 8 = 9 eigezeichet, d k m feststelle, dass die Differez 6d = 18 ist: a8 a2 = 18 = 6d. Es gilt also a8 = a2 + 6d. Dasselbe gilt d für die Strecke vo a 1 ach a 7. a7 = a1+ 6d M k also auch a 12 aus a 1 bereche, idem m 11 Differeze d dazuaddiert: a12 = a1 + 11 d = 18 + 11 = 18 + = 1. Dies ist das so gete Lattezau-Prizip: Zwische 2 Latte ist 1 Lücke, zwische Latte sid es 2 Lücke, zwische 12 Latte 11 Lücke, ud zwische Latte sid es (-1) Lücke. Zwische dem Glied a 1 ud dem -te Glied a sid es (-1) Lücke, also gilt: 1 a = a + 1 d Setze wir hier die Gegebeheite ei, also a 1 = 18 ud d =, d folgt: = 18+ ( 1) Umgeformt: = 18+ Explizite Formel: = 1+ Damit k m jetzt jedes beliebige Glied der Folge bereche.
40012 Arithmetische ud geometrische Folge 9 (2) Bei der Folge a1 = 4; a2 = 1; a = 2; a4 = ; a = 8 stellt m schell fest, dass die Differez aufeider folgeder Glieder - ist, d. h. der Nachfolger etsteht immer durch Additio der Zahl d = -: 4 1 2 8 11 14 17... Die rote Pfeile zeige, wohi m kommt, we m statt um d gleich um d bzw. 6b oder d weiter geht. Dazu die Rechuge: 8 ( ) a6 = a1 + ( 6 1) d = 4+ = 4 1 = 11 a8 = a2 + ( 2) d = 1+ 6 = 1 18 = 17 a7 = a4 + 7 4 d = + = 9 = 14 Wir wolle auch hier eie explizite Berechugsformel, also eie Fuktiosterm erstelle: Wir wolle also a aus a 1 bereche. Dazu muss m zu a 1 (-1)-mal d addiere: 1 a = a + 1 d Ausführlich: () Allgemeie Darstellug + d = 1 + 6d = 18 a = 4+ 1 = 4 + = 7 = + 7 + d = 9 a a a a a a a 1 + d 2 + d + d 4 + d + d 6 + d 7 a = a1+ 2d a7 = a + 2d a4 = a1+ d a = a2 + d a6 = a1+ d a7 = a + 4d Betrachte wir a6 a2 = 4d. Dies bedeutet a6 = a2 + 4d. (Zwische der 6. ud der 2. Latte sid 4 Zwischeräume) Oder: a4 a1 = d also a4 = a1 + d (Zwische der 1. ud 4. Latte sid drei Zwischeräume). Allgemeie Berechugsformel: a a = 1 d bzw. 1 a a 1 d MERKE: 1 a = a + m d = + ud m
40012 Arithmetische ud geometrische Folge 10 (4) Traiig: Wir schaue us die Beispiele aus 1.1 : Beispiel 1 war: + 1= + 4 mit a 1 = 12. M erket d= + 1 = 4 ud folgert: a = a + 1 d. h. 1 a = 12+ 1 4 d. h. = 12+ 4 4 Ergebis: = 8+ 4 Beispiel 2 war: + 1= + 1 mit a 1 = -20. M erket d= + 1 = 1 ud folgert: a = 20+ 1 1 d. h. = 20+ 1 1 = 1+ 1 Beispiel war: + 1= 10 mit a 1 = 14. M erket d= + 1 = 10 ud folgert: a = 14+ 1 10 d. h. = 14 10+ 10 = 24 10 Beispiel 4 war: a + = a + mit a =. M erket d = a a = ud folgert: 1 2 2 2 1 2 a = + 1 d. h. a = + 2 2 2 + 1 2 a = 1+ 2 () Weitere Beispiele: a) 4; 9; 14; 19;..24;... Es ist a2 a1 = 9 4 = a a2 = 14 9 = a4 a = 19 14 = ud a a4 = 24 19 = Aufstellug der explizite Folge mit der Formel 1 = + ( ) Pflichttext: Da die Differez aufeiderfolgeder Glieder kostt ist, ud zwar, liegt eie arithmetische Folge vor. a = a + 1 d: a 4 1 = 4+ = 1 b) 28 ; 12 ; 4 ; 20 ;... Es ist a2 a1 = 12 28 = 16 a a2 = 4 12 = 16 a a = 20 4 = 20 + 4 = 16 Pflichttext: Da die Differez aufeiderfolgeder Glieder kostt ist, ud zwar, liegt eie arithmetische Folge vor. 4 Aufstellug der explizite Folge mit der Formel = a1 + ( 1) d: a = 28+ ( 1) ( 16) = 28 16+ 16 = 16+ 44
40012 Arithmetische ud geometrische Folge 11 1.4 GRUNDAUFGABEN mit Musterlösuge Grudaufgabe 1 Vo eier arithmetische Folge ket m a4 = 17 ud a10 = 9 Bereche a, a 1 ud a 1. Stelle eie Fuktiosterm für a auf. LÖSUNG Zwische a 4 ud a 10 liege 6 Differeze: 6d = a10 a4 = 9 17 = 42 d = 7 Also erhält m a = a4 + d= 17+ 7= 24 a1 = a10 + d a = a d = 17 7 = 17 21= 4 1 4 ud Ergebis: = a1 + 1 d= 4+ 1 7= 4+ 7 7= 7 11 = 7 11 Übriges k m die explizite Berechugsformel (bzw. de Fuktiosterm) aus jedem beliebige Glied der Folge bereche. M muss icht vo a 1 ausgehe: Berechug vo a aus a 4 = 17: 4 Berechug vo a aus a 10 = 9: usw. a = a + 4 d = 17 + 4 7 = 17 + 7 28 = 7 11 a = a + 10 d = 9 + 10 7 = 9 + 7 70 = 7 11 10 Grudaufgabe 2 LÖSUNG Vo eier arithmetische Folge ket m a12 = 80 ud a20 = 176. Sid b = 44 oder c = 142 Glieder dieser Folge? Zwische a 12 ud a 20 liege 8 Differeze: 8d = a a = 176 80 = 96 d = 12 20 12 Fuktiosterm der Folge: a = a + 12 d= 80+ 12 12= 80+ 12 144= 12 64 12 408 Überprüfug vo b = 44: = = = = 12 206 Überprüfug vo c = 142: = = = = 12 Ergebis: b = 44 = a 4, c ist kei Glied der Folge, de es gibt dazu keie passede atürliche Zahl. 12 64 44 12 408 4 12 64 142 12 206 17,1...
40012 Arithmetische ud geometrische Folge 12 Grudaufgabe Beweise, dass die Folge a mit eie arithmetische Folge ist. = 48 16 BEWEIS Methode: M muss überprüfe, ob die Bedigug für eie arithmetische Folge erfüllt ist, also ob die Differez aufeider folgeder Glieder kostt ist. Aus a = 48 16 berechet m a +1. Dazu muss m durch +1 ersetze: a 48 16 ( 1) Der eigetliche Beweis begit jetzt: d= a a = 48 16 (+ 1) 48 16 + 1 1 + = +. d = 48 16 16 48 + 16 = 16 Ergebis: Das muss m aufschreibe! Weil die Differez aufeiderfolgeder Glieder kostt ist, liegt eie arithmetische Folge vor. Grudaufgabe 4 2 Zeige, dass die Folge a mit = 2 + 4 + 2 ud b mit b = + 4 keie arithmetische Folge sid. BEWEIS Achtug: Jetzt reicht je ei Zahlebeispiel, das zeigt, dass die Differeze aufeider folgeder Glieder icht kostt sid! a1= 1 2+ 4= ; a2 = 4 4+ 4= 4; a = 9 6+ 4= 7 Also ist a 2 a 1 = 1 ud a a 2 =. b = ; b = = ; b = Also ist = = 10 9 = ud b b = = 2 21 = 4 4 2 1 2 6 7 b 2 1 2 b1 1 1 1 Ergebis: 2 7 Weil die Differeze aufeider folgeder Glieder icht kostt sid, liege i beide Fälle keie arithmetische Folge vor.
40012 Arithmetische ud geometrische Folge 1 1. Musterbeispiele mit Lösuge Fortsetzug auf der CD