Vorlesung Mathematik I

Vorlesung Mthemtik I Studiengng Chemieingenieurwesen/Umwelttechnik D. Oestreich

1 1 Grundlgen 1.1 Mengenlehre und mthemtische Logik 1.1.1 Mengen und Mengenopertionen Menge: Gednkliche Zusmmenfssung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten (gennnt Elemente) zu einem Gnzen. [Cntor] Element x gehört (nicht) zur Menge M: x M (x M). Flls eine Menge keine Elemente enthält: leere Menge. Die Definition einer Menge erfolgt ufzählend oder durch Angbe einer mengenbildenden Eigenschft. Menge A heißt Teilmenge von Menge B genu dnn, wenn für lle x A folgt x B: A B. Mengen A und B heißen gleich, wenn A B und B A: A = B. Andernflls A B. Mn sgt, A ist echt enthlten in B, wenn A B und A B. Mengenopertionen Gegeben Mengen A, B M mit Grundmenge M: Durchschnitt A B = {x M : x A und x B} Vereinigung A B = {x M : x A oder x B} Differenzmenge A \ B = {x M : x A und x B} Speziell: Komplement(ärmenge) A = M \ A = {x M : x A} Produktmenge A B = {(x, y) : x A, y B}, (x, y) geordnetes Pr Flls A B =, so nennt mn A und B disjunkte Mengen. Rechenregeln: A, B, C beliebige Mengen ) A A = A b) A B = B A (Kommuttivgesetz) c) (A B) C = A (B C) = A B C (Assozitivgesetz) d) A (B C) = (A B) (A C) (Distributivgesetz) e) A = ; A = A f) A B = A B (de Morgnsche Regel).

2 1 GRUNDLAGEN Anmerkung: ) f) gelten uch, wenn mn die Symbole und sowie und M (Grundmenge) jeweils vertuscht. Außerdem gilt: g) Wenn A B, dnn A B = A und A B = B. Abbildung F : Zuordnung zwischen gewissen Elementen einer Menge A und einer Menge B, d.h. F (A B). Sei (x, y) F (A B). Dnn heißen: x D: Urbild (Originlelement) y W : Bild (Bildelement). D A: Definitionsbereich W B: Wertebereich Mn spricht von Abbildungen von A, flls D = A bzw. us A, flls D A, D A und uf B, flls W = B bzw. in B, flls W B, W B. Insbesondere heißen Abbildungen von A uf B surjektiv. Eine Abbildung F heißt eindeutig oder Funktion, wenn jedem x D genu ein y W zugeordnet wird. Andernflls wird F mehrdeutig gennnt. Inverse Abbildung: F 1 = {(y, x) : (x, y) F }. Sind F und F 1 eindeutige Abbildungen, so nennt mn F eineindeutig. 1.1.2 Grundbegriffe der Logik Aussge: Behuptung, die entweder whr (w) oder flsch (f) zweiwertige Logik [Aristoteles]). Enthält Aussge eine (oder mehrere) Vrible (sogennnte Pltzhlter) us einer gewissen Grundmenge, so verwndelt sie sich in eine Aussgenform. Diejenigen Elemente, die Aussgenform zu whrer Aussge mchen, bilden Lösungsmenge L. Möglich: L =. In Zusmmenhng mit Aussgeformen kommen oft sogennnte Quntoren vor: : Für lle... gilt : Es existiert (mindestens) ein...

1.1 Mengenlehre und mthemtische Logik 3 Aussgenlogik: Verknüpfung von Aussgen bzw. Aussgenformen. Seien p, q zwei Aussgen Verknüpfung Bedeutung Zeichen Negtion nicht p p; p Konjunktion p und q p q Disjunktion p oder q p q Impliktion us p folgt q; wenn p, dnn q p q Äquivlenz p genu dnn, wenn q p q Die Festlegungen der Whrheitswerte der Verknüpfungen nennt mn Whrheitstfeln: p q p p q p q p q p q w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w Eine Aussgenform, die immer whr ist, heißt Tutologie. Ausgewählte Tutologien: Gesetz Form A) Ausgeschlosses Drittes p p B) Doppelte Verneinung ( p) p C) Kontrposition (p q) ( q p) D) Kettenschluß (p q) (q r) (p r) E) Abtrennungsregel p (p q) q F) Indirekter Schluß p ( q p) q G) De Morgnsche Regeln (p q) (p q) (p q) (p q) Anmerkungen: 1) Bei der Impliktion p q nennt mn die Aussge p Vorussetzung (Prämisse) und q Behuptung (Konklusion). Mn sgt uch p ist hinreichend für q und q ist notwendig für p. 2) Für die Äquivlenz gilt (p q) ((p q) (q p)). D.h. die Aussge p ist notwendig und hinreichend für q.

4 1 GRUNDLAGEN In der Mthemtik werden usgehend von ls whr ngenommenen Vorussetzungen mit Hilfe von Tutologien Behuptungen bewiesen. Mn unterscheidet folgende Beweisverfhren : I) Direkter Beweis uf Grundlge von E) II) Indirekter Beweis uf Grundlge von F) III) Vollständige Induktion für von ntürlichen Zhlen n bhängende Aussgen p(n), n n 0 : Es wird gezeigt 1) p(n 0 ) ist whr (Induktionsnfng) 2) p(n) p(n + 1) für beliebiges n n 0, d.h. unter der Vorussetzung, dß p(n) gilt (Induktionsnnhme), wird die Richtigkeit von p(n + 1) nchgewiesen (Induktionsbeweis). 1.2 Reelle Zhlen 1.2.1 Rechenopertionen Zhlenmenge Beschreibung Ntürliche Zhlen IN = {1, 2, 3,...} Gnze Zhlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Rtionle Zhlen CQ = {p/q : p, q Z q 0} endliche / unendlich periodische Dezimlbrüche Reelle Zhlen IR: unendliche Dezimlbrüche Anmerkung: CQ liegt dicht in IR, d.h. jede reelle Zhl läßt sich beliebig genu durch rtionle Zhlen nnähern. Bei Bechtung der üblichen Rundungsregeln ist eine mit r Dezimlstellen (Nchkommstellen) ngegebene reelle Zhl mit einem Fehler von 0, 5 10 r behftet. In IR sind lle Rechenopertionen +,,, : ußer Division durch 0 erlubt. Dbei gelten für Addition und Multipliktion die beknnten Beziehungen: Kommuttiv-, Assozitiv-, Distributivgesetze Existenz und Eindeutigkeit eines neutrlen Elements: + 0 = ; 1 =, IR Existenz und Eindeutigkeit eines inversen Elements: + x = 0, IR; x = 1, 0, und zwr x = bzw. x = 1/.

1.2 Reelle Zhlen 5 Die reellen Zhlen lssen sich ls Punkte einer (gerichteten) Gerden, der Zhlengerden, uffssen und der Größe nch ordnen. Dbei gilt für lle, b IR genu eine der drei Reltionen < b oder b < oder = b. Wichtige Eigenschften der Reltion <: 1) ( < b) (b < c) = < c 2) < b = + c < b + c c 3) ( < b) (c > 0) = c < b c 4) ( < b) (c < 0) = c > b c Intervlle (= Teilmengen von IR): [, b] = {x IR : x b} bgeschlossenes Intervll von bis b (, b) = {x IR : < x < b} offenes Intervll von bis b (, b] = {x IR : < x b} linksoffenes Intervll von bis b [, ) = {x IR : x} rechtsoffenes Intervll von bis Speziell (0, ) = {x IR : x > 0} =: IR + Sei x 0 I IR. Dnn heißt x 0 innerer Punkt von I, flls ε > 0: (x 0 ε, x 0 + ε) I. Andernflls stellt x 0 einen Rndpunkt dr. Betrg einer reellen Zhl = Abstnd von 0: {, flls 0 =, flls < 0. Dbei gilt: 1) 0 2) b 3) b = b, = b 4) b b b 5) + b + b (Dreiecksungleichung) Lösen von Gleichungen/Ungleichungen: Lösungsmenge bleibt unverändert bei äquivlenten Umformungen und zwr 1) Addition (Subtrktion) eines beliebigen Terms uf beiden Seiten 2) Multipliktion (Division) beider Seiten mit Zhl K > 0

6 1 GRUNDLAGEN 3) Multipliktion (Division) beider Seiten mit Zhl K < 0 = Änderung des Reltionszeichens: us < wird > us wird und umgekehrt. 1.2.2 Algebrische Gleichungen Algebrische Gleichung n-ter Ordnung (normierte Form): P n (x) = x n + n 1 x n 1 +... + 1 x + 0 = 0 (1) mit k IR, k = 0, 1,..., n 1. Speziell für n = 2: qudrtische Gleichung (Normlform): x 2 + px + q = 0. Lösung: x 1,2 = p 2 ± (p 2) 2 q Diskriminnte D = ( ) p 2 2 q Anzhl der Lösungen in IR > 0 2 verschiedene = 0 1 (doppelte) < 0 keine Allgemein gilt: (1) ht höchstens n reelle Lösungen. Sind x 1, x 2,..., x n Lösungen von (1), dnn gilt: P n (x) = (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ) (Linerfktor-Zerlegung) Nch Vietschem Wurzelstz gilt insbesondere: x 1 x 2... x n = ( 1) n 0 Bruch- und Wurzelgleichungen lssen sich uf lgebrische Gleichungen zurückführen. Zur Lösung von Wurzelgleichungen müssen uch nichtäquivlente Umformungen vorgenommen werden. Dbei knn sich die Lösungsmenge vergrößern, sogennnte Scheinlösungen tuchen uf. Diese sind mit Hilfe der Probe (in der Ausgngsgleichung) zu eliminieren.

1.2 Reelle Zhlen 7 1.2.3 Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Potenzieren: } {{... } =: n = b, IR, n IN. n-ml Bsis, n Exponent, b Potenzwert. Für 0 : 0 = 1, 1 =, n := 1 n. 1. Umkehrung: Rdizieren (Bsis unbeknnt): = n b n = b, 0, b 0, n IN. Speziell 2 b =: b sowie k b := k b für k ungerde Bechte: Wurzeln sind stets nichtnegtiv. Insbesondere IR, n gerde gilt: n n =. m n := n m, m, n IN; Verllgemeinerung : r mit r IR. Potenzgesetze: Seien, b IR + und m, n IR bzw., b IR \ {0} und m, n Z: m n = m+n, n b n = ( b) n, m n = m n, ( m ) n = m n. n ( ) n b n =, b Anmerkung: Wegen n = 1 n ufgefßt werden. können Wurzeln stets ls Potenzen 2. Umkehrung: Logrithmieren (Exponent unbeknnt): n = log b n = b, b > 0; > 0, 1. Speziell: log 10 x =: lg x dekdischer Logrithmus loge x =: ln x ntürlicher Logrithmus e = 2, 718281... Eulersche Zhl

8 1 GRUNDLAGEN Logrithmengesetze: Seien x, y, IR +, 1, r IR: log (x y) = log x + log y, log x y = log x log y, log x r = r log x. Weiterhin log c b = log b log c Insbesondere gilt (Bsiswechsel). ln 1 = 0; ln e = 1; e ln x = x, x > 0. 1.2.4 Der binomische Stz Binomilkoeffizient: ( ) n n(n 1)... [n (k 1)] :=, k, n IN, k n. k k (k 1)... 1 Bezeichnen k! := 1 2... k (lies: k Fkultät), 0! := 1 Dnn gilt: ( ) n n! = k k!(n k)! Rechenregeln: ( ) ( ) n n 0) = 0 n 1) 2) = 1 ( ) ( ) n n = k n k ( ) ( ) n n + = k k + 1 ( ) n + 1 k + 1

1.3 Funktionen 9 Anmerkung: Im Psclschen Zhlendreieck ist der Koeffizient in der (n + 1)-ten Zeile n (k + 1)-ter Stelle gleich ( n k). Summenzeichen : n k := m + m+1 +... + n 1 + n (m, n Z, m n) k=m Binomischer Stz: Für, b IR; n IN gilt n ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n ( + b) n = n k b k = n + n 1 b + n 2 b 2 + k 0 1 2 k=0 ( ) n... + n 1 b n 1 + 1.3 Funktionen 1.3.1 Definition und Drstellung ( ) n b n. (2) n (Reelle) Funktion: Eindeutige Abbildung f von D IR uf W IR, d.h. Vorschrift, die jedem Element x D genu ein Element y W zuordnet. Schreibweise: y = f(x). x: unbhängige Vrible oder Argument y: bhängige Vrible oder Funktionswert D = D(f): Definitionsbereich der Funktion f W = W (f): Wertebereich der Funktion f Anmerkung: Eine Funktion wird definiert durch die Zuordnungsvorschrift f und den Definitionsbereich D = D(f). Flls im weiteren kein Definitionsbereich ngegeben ist, wird jeweils der größtmögliche Defitionsbereich D IR ngenommen. Drstellung von Funktionen explizit: y = f(x) ) nlytisch Funktionsgleichung implizit: F (x, y) = 0 b) Wertetbelle c) Grphik d) Prmeterdrstellung: x = x(t), y = y(t), t 0 t t 1.

10 1 GRUNDLAGEN 1.3.2 Allgemeine Funktionseigenschften Gegeben Funktion y = f(x) mit Definitionsbereich D(f). Schnittpunkte mit Koordintenchsen S x = (x 0, 0) Schnittpunkt mit x-achse: x 0 D(f) Nullstelle von f: f(x 0 ) = 0. S y = (0, y s ) Schnittpunkt mit y-achse: y s = f(0). Monotonie Funktion f heißt in einem Intervll I D(f) monoton wchsend: x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) monoton fllend: x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) streng monoton wchsend: x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) streng monoton fllend: x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) jeweils für beliebige x 1, x 2 I. Beschränktheit Funktion f heißt in einem Intervll I nch oben beschränkt (bzw. nch unten beschränkt), wenn es eine Konstnte K o (K u ) gibt: f(x) K o (f(x) K u ) für lle x I. K o (K u ) obere (bzw. untere) Schrnke. Funktion f beschränkt f nch oben und unten beschränkt K : f(x) K, x I. Die kleinste obere (bzw. größte untere) Schrnke werden Supremum (bzw. Infimum) gennnt und bezeichnet sup f(x) bzw. inf f(x). x I x I Wenn die Funktion ihr Supremum (bzw. Infimum) nnimmt, spricht mn von Mximum (bzw. Minimum) und schreibt mx f(x) bzw. min f(x). x I x I

1.3 Funktionen 11 Symmetrie f gerde Funktion: f ungerde Funktion f( x) = f(x), x D(f) f( x) = f(x), x D(f) Periodizität Funktion f heißt periodisch, wenn es eine Zhl p > 0 gibt: f(x + p) = f(x) für beliebige x D(f). Die kleinste Zhl p, für die ds zutrifft, nennt mn Periode von f. 1.3.3 Umkehrfunktion Eine Funktion y = f(x) mit Definitions- bzw. Wertebereich D(f) bzw. W (f) nennt mn umkehrbr eindeutig (oder eineindeutig oder invertierbr), wenn zu jedem y W (f) genu ein x D(f) existiert, so dß y = f(x) gilt. Die entsprechende Funktion, die y W (f) dnn x D(f) zuordnet, heißt Umkehrfunktion (oder inverse Funktion) f 1. Offenbr gilt: 1) f(x) ist umkehrbr eindeutig, wenn us x 1 x 2 stets f(x 1 ) f(x 2 ) folgt. 2) Streng monoton wchsende oder fllende Funktionen sind invertierbr. (hinreichende Bedingung) 3) D(f 1 ) = W (f), W (f 1 ) = D(f). Bestimmung der Funktionsgleichung der Umkehrfunktion i) Auflösung der Funktionsgleichung y = f(x) nch x: x = g(y). ii) Formles Vertuschen von x und y ergibt Umkehrfunktion y = g(x) = f 1 (x). (Die beiden Schritte können uch in umgekehrter Reihenfolge usgeführt werden.) Gegeben zwei Funktionen: z = f(x) mit Definitionsbereich D(f), Wertebereich W (f); y = g(z) mit Definitionsbereich D(g), Wertebereich W (g), wobei W (f) D(g). Funktion y = h(x) := g(f(x)) heißt zusmmengesetzt (oder verkettet) mit äußerer Funktion g und innerer Funktion f.

12 1 GRUNDLAGEN Insbesondere gilt: f 1 (f(x)) = x, x D(f), f(f 1 (x)) = x, x W (f). 1.3.4 Elementre Funktionen Grundfunktionen: Potenzfunktionen / Wurzelfunktionen Exponentilfunktionen / Logrithmusfunktionen trigonometrische Funktionen / Arcus-Funktionen hyperbolische Funktionen / Arefunktionen Elementre Funktionen: Funktionen, die sich us den Grundfunktionen ergeben mittels Rechenopertionen (+,,, :) bzw. Zusmmensetzungen Erläuterungen A) Ds Argument x der trigonometrischen Funktionen ist mßeinheitslos [Tschenrechner: RAD(int)], d.h. es wird in Bogenmß ngegeben: x = b r Bogenlänge des zugehörigen Winkels α =. Rdius des Kreises Umrechnung in Grd [DEG]: Außerdem α 360 = x 2π. 1 = 1 60, 1 = 1 60, 90 = 100 gon (Neugrd[GRA]). Werte trigonometrischer Funktionen für spezielle Argumente: α x sin x cos x tn x = sin x cos x 0 1 0 2 0 =0 1 2 4 = 1 0 30 π 1 6 2 1 = 1 1 2 2 3 3 1 45 π 1 4 2 2 1 2 2 1 60 π 1 3 2 3 1 2 1 = 1 2 3 90 π 1 2 2 4 =1 1 2 0 = 0

1.3 Funktionen 13 Wichtige Beziehungen cos 2 x + sin 2 x = 1 cot x = 1 tn x, (Stz von Pythgors), sin x = cos( π 2 x), cos x = sin(π 2 x), cot x = tn(π 2 x) bzw. Additionstheoreme (Auswhl) cos 2 x = 1 (1 + cos 2x), 2 sin2 x = 1 (1 cos 2x), 2 sin 2x = 2 sin x cos x = cos 2x = 1 tn2 x 1 + tn 2 x. 2 tn x 1 + tn 2 x, B) Die hyperbolischen Funktionen sinh x := ex e x, cosh x := ex + e x, tnh x := ex e x 2 2 e x + e x hben ähnliche Eigenschften wie trigonometrische Funktionen, sind jedoch nicht periodisch. Zum Beispiel gelten ähnliche Additionstheoreme, insbesondere cosh 2 x sinh 2 x = 1. Die Are-Funktionen lssen sich durch Logrithmusfunktionen drstellen, z.b. y = rsinhx = ln(x + x 2 + 1), (vgl. Tfeln). x IR C) Wegen f 1 (f(x)) = x, x D(f) folgt z.b. ln(e x ) = x, x IR; e ln x = x, x (0, ), rcsin(sin x) = x, x IR; sin(rcsin x) = x, x [ 1, 1]. Anwendung: Lösung von Gleichungen!

14 1 GRUNDLAGEN 1.3.5 Rtionle Funktionen I. Polynome Polynom (gnze rtionle Funktion) n-ten Grdes : n P n (x) = n x n + n 1 x n 1 +... + 1 x + 0 = k x k, 0, 1,... n Polynomkoeffizienten, wobei n 0. k=0 x IR, Berechnung von Funktionswerten P n (x 0 ) = (... (( n x 0 + n 1 )x 0 + n 2 )x 0 +... + 1 )x 0 + 0 }{{} n 1 Berechnung der Klmmern von innen nch ußen = Horner-Schem: Zu n n 1 n 2... 2 1 0 ddiere b n 1 x 0 b n 2 x 0... b 2 x 0 b 1 x 0 b 0 x 0 x 0 b n 1 = n b n 2 b n 3... b 1 b 0 r 0 wobei r 0 = P n (x 0 ) und Koeffizienten b n 1, b n 2, b n 3,..., b 1, b 0 Koeffizienten eines Polynoms Q n 1 (x): P n (x) = (b n 1 x n 1 + b n 2 x n 2 +... + b 1 x + b 0 )(x x 0 ) + r 0 }{{} Q n 1(x) Also: x 0 Nullstelle von P n (x) P n (x 0 ) = r 0 = 0 kein Rest! = Polynomdivision: P n (x) : (x x 0 ) = Q n 1 (x). Fktor-Zerlegung Jedes Polynom P n (x) läßt sich drstellen P n (x) = n (x x 1 )... (x x k )q 1 (x)... q l (x), wobei x 1,..., x k IR Nullstellen und q i (x) = A i x 2 + B i x + C i (i = 1,..., l) reell unzerlegbre Fktoren sind. Dbei ist k + 2l = n. Interpoltion Gegeben Punkte P i = (x i, y i ), i = 0, 1,..., n. Gesucht y = f(x) mit f(x i ) = y i, i = 0, 1,..., n.

1.3 Funktionen 15 ) Newtonsches Interpoltionspolynom Anstz: f(x) = c 0 + c 1 (x x 0 ) + c 2 (x x 0 )(x x 1 ) +... +c n (x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1 ) Die unbeknnten Koeffizienten c 0, c 1,..., c n werden ncheinnder durch Einsetzen von x 0, x 1,... x n bestimmt. b) Lgrngesches Interpoltionspolynom n (x x 0 )(x x 1 )... (x x i 1 )(x x i+1 )... (x x n ) f(x) = y i (x i x 0 )(x i x 1 )... (x i x i 1 )(x i x i+1 )... (x i x n ). i=0 II. Gebrochen rtionle Funktionen: y = f(x) = P m(x) Q n (x) mit Polynomen P m (x), Q n (x), wobei n > m echt gebrochen rtionle Funktion n m unecht gebrochen rtionle Funktion D(f): IR, ußer Nullstellen von Q n (x) x 0 IR ist Nullstelle von f(x), wenn P m (x 0 ) = 0 und Q n (x 0 ) 0 Polstelle von f(x), wenn P m (x 0 ) 0 und Q n (x 0 ) = 0 Flls P m (x 0 ) = Q n (x 0 ) = 0, liegt eine Lücke oder Polstelle vor (siehe Abschnitt. 2.1.3). Jede gebrochen rtionle Funktion y = f(x) läßt sich (wenn unecht gebrochen rtionl durch Polynomdivision) zerlegen: f(x) = p(x) + r(x), wobei Polynom p(x) Asymptote r(x) echt gebrochen rtionle Funktion. 1.3.6 Polrkoordinten Punkt P in ebenem Koordintensystem: (x, y) krtesische Koordinten (r, ϕ) Polrkoordinten, wobei r: Abstnd des Punktes P vom Koordintenursprung ϕ: Winkel zwischen Rdiusvektor und positiver x-achse.

16 1 GRUNDLAGEN Anmerkung: Es gilt stets r 0 (für r = 0 ist ϕ beliebig). In der Regel wählt mn den sogennnten Huptwert π < ϕ π (oder 0 ϕ < 2π), wobei { ϕ = Umrechnung: ϕ für ϕ [0, π] ϕ + 2π für ϕ ( π, 0). Polrkoordinten krtesische Koordinten: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Krtesische Koordinten Polrkoordinten: r = x 2 + y 2, ϕ = ± rccos x r, wobei oberes (unteres) Vorzeichen für y 0 (y < 0).

17 2 Differentil- und Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen 2.1 Grenzwerte und Stetigkeit 2.1.1 Unendliche Zhlenfolgen (Reelle Zhlen-)Folge: Vorschrift, die jeder ntürlichen Zhl n eine reelle Zhl n zuordnet. Schreibweise: ( n ) = 1, 2,... Die Zuordnungsvorschrift n = f(n) heißt Bildungsgesetz der Folge. Eine reelle Zhl g heißt Grenzwert oder Limes der Zhlenfolge ( n ), wenn es zu jedem ε > 0 eine ntürliche Zhl n 0 gibt, so dß für lle n n 0 gilt: n g < ε. Anmerkungen: 1) Die Zhl n 0 ist bhängig von ε, d.h. n 0 = n 0 (ε). 2) Es läßt sich zeigen, dß eine Folge ( n ) höchstens einen Grenzwert besitzt. Eine Folge ( n ) heißt konvergent: Grenzwert g IR von ( n ) existiert. Schreibweise: lim n = g n divergent: kein Grenzwert existiert beschränkt: K IR : n K, n IN monoton wchsend: n n+1, n n 0 monoton fllend: n n+1, n n 0 (n 0 IN fest) Flls lim n n = ist, spricht mn uch von einem uneigentlichen Grenzwert und ( n ) heißt bestimmt divergent. Rechenregeln für konvergente Folgen Aus lim n n = und lim n b n = b folgt: lim n ( n + b n ) = + b, lim ( n b n ) = b, n lim n ( nb n ) = b,

18 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) n lim = n b n b, wenn b 0; b n 0, n IN, lim n = für n 0, n N, 0, n lim n = 1, 0. n Weiterhin gilt: 1) Flls n c n b n, n IN und lim n = lim b n = c n n = lim c n = c (Vergleichskriterium) n 2) Flls ( n ) beschränkt und monoton (entweder fllend oder wchsend) = ( n ) konvergent. 2.1.2 Grenzwert einer Funktion Eine Funktion y = f(x) sei in einer Umgebung von x 0 definiert. Gilt für jede Folge (x n ), x n D(f), x n x 0, die gegen x 0 konvergiert, stets lim f(x n) = g, so heißt g Grenzwert von y = f(x) für x n x 0. n Schreibweise: lim f(x) = g x x 0 Anmerkungen: 1) y = f(x) brucht n der Stelle x = x 0 nicht definiert zu sein. 2) Gilt für jede von links (rechts) strebende Folge lim f(x) =: lim f(x) = g x x l 0 x x x<x 0 0 ( x x0 lim f(x) =: lim f(x) = g r ), x x x>x 0 0 heißt g l linksseitiger (g r rechtsseitiger) Grenzwert von f(x) für x x 0. 3) f(x) besitzt Grenzwert g für x x 0 f(x) besitzt links- und rechtsseitigen Grenzwert für x x 0 und g r = g l =: g. Strebt die Folge der Funktionswerte (f(x n )) für jede über lle Grenzen hinus wchsende Zhlenfolge (x n ), x n D(f), gegen die Zhl g, so heißt g Grenzwert der Funktion f(x) für x +. Schreibweise: lim f(x) = g x + Anlog: x-werte kleiner ls jede noch so kleine Zhl (x ): f(x) = g. lim x

2.1 Grenzwerte und Stetigkeit 19 Eine Funktion g(x) heißt Asymptote einer gegebenen Funktion f(x), wenn f(x) lim x ± g(x) = 1. Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen Vorussetzung: lim f(x) und lim g(x) existieren = x x 0 x x 0 lim x x 0 [cf(x)] = c lim x x 0 f(x), c IR lim x x 0 [f(x) ± g(x)] = lim x x 0 f(x) ± lim x x 0 g(x) lim x x 0 [f(x)g(x)] = lim x x 0 f(x) lim x x 0 g(x) lim f(x) f(x) lim x x 0 g(x) = x x 0 lim g(x) x x 0 ( g(x), ) lim g(x) 0. x x 0 Diese Regeln gelten nlog für x ± sowie einseitige Grenzwerte, flls die entsprechenden Grenzwerte existieren. 2.1.3 Stetigkeit einer Funktion Eine Funktion f(x) heißt stetig n der Stelle x 0, wenn der Grenzwert für x x 0 existiert und mit dem Funktionswert übereinstimmt, d.h. lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Anmerkung: Ersetzt mn x n x 0 durch x n x 0 (bzw. x n x 0 ), nennt mn f(x) linksseitig (bzw. rechtsseitig) stetig in x 0. Eine Funktion f(x), die n der Stelle x 0 wenigstens eine der obigen Bedingungen nicht erfüllt, heißt dort unstetig. Unstetigkeitsstellen 1. Art: Insbesondere Flls lim lim x x 0 f(x), lim f(x) x x 0 f(x) lim f(x) : Sprungstelle x x 0 x x 0 Flls lim f(x) = lim f(x) f(x 0 ) : Lücke x x 0 x x 0 2. Art: lim f(x) und/oder lim f(x) unendlich : Pol x x 0 x x 0

20 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) Eine Funktion y = f(x), die n jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist (in Rndpunkten entsprechend links- bzw. rechtsseitig stetig), heißt stetige Funktion. Stz: Jede elementre Funktion ist stetig in ihrem Definitionsbereich. 2.1.4 Eigenschften stetiger Funktionen Flls f(x), g(x) stetige Funktionen = f(x) ± g(x); f(x)g(x); f(x) g(x), (g(x) 0); f(g(x)); f 1 (x) stetige Funktionen (im jeweiligen Definitionsbereich). Stz von Weierstrß: Jede uf einem bgeschlossenen und beschränkten Intervll [, b] stetige Funktion f(x) ht dort eine Stelle, wo der Funktionswert mximl ist, und eine Stelle, wo der Funktionswert miniml ist. Insbesondere ist f(x) dnn beschränkt uf [, b]. Stz von Bolzno: Sei f(x) eine uf [, b] stetige Funktion und v eine Zhl zwischen f() und f(b). Dnn existiert mindestens eine Stelle u (, b) mit f(u) = v. Speziell: f() f(b) < 0 = f(x) besitzt mindestens eine Nullstelle x 0 (, b): f(x 0 ) = 0. Bestimmung einer Nullstelle x 0 (Annhme: f() < 0, f(b) > 0) A) Intervllschchtelung (Bisektionsverfhren): 0) Setzen x 1 =, x 2 = b 1) Berechnen x = x 1 + x 2 (I) 2 f(x ) berechnen Flls f(x ) = 0 x 0 = x :Ende bzw. f(x ) < ε (ε vorgegebene Genuigkeit) x 0 x :Ende Sonst 2) Flls f(x ) < 0, setze x 1 = x 1) Flls f(x ) > 0, setze x 2 = x 1)

2.1 Grenzwerte und Stetigkeit 21 B) Seknten -Verfhren (Regul flsi): Anlog zu Algorithmus von A), wobei mn sttt (I) verwendet: x x 2 x 1 = x 1 f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) (II)

22 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) 2.2 Die Ableitung einer Funktion 2.2.1 Definition Die Funktion y = f(x) sei uf dem Intervll I IR definiert und x 0 I. Mn sgt, f ist in x 0 differenzierbr, wenn der folgende Grenzwert existiert: f f(x) f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) := lim := lim = lim. x x 0 x x x 0 x x 0 h 0 h Die Funktion f ist im Intervll I differenzierbr, wenn f (x) in jedem Punkt x I existiert. Die so erhltene Funktion f (x) heißt Ableitung von f(x). Schreibweise uch: f (x) = df(x) dx = dy dx. Den Übergng von f(x) zu f (x) nennt mn differenzieren oder bleiten. Ableitungen der Grundfunktionen f(x) f(x) f (x) Bemerkungen x n n x n 1 n IR x x ln > 0, 1 e x ln x sin x cos x tn x rcsin x rccos x rctn x sinh x cosh x e x 1 x cos x sin x 1 cos 2 x 1 1 x 2 1 1 x 2 1 1 + x 2 cosh x sinh x x > 0 x π 2 + kπ, k Z x < 1 x < 1

2.2 Die Ableitung einer Funktion 23 Gleichung der Tngente n der Stelle x 0 von f(x): y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) (1) Gleichung der Normle n der Stelle x 0 von f(x): y = 1 f (x 0 ) (x x 0) + f(x 0 ) Flls x = x(t) mit t Prmeter (z.b. Zeit) (oder x(ϕ), ϕ Winkel) wird die Ableitung in der Regel wie folgt bezeichnet: ẋ := dx dt Stz: Jede differenzierbre Funktion f in x 0 I ist dort stetig. 2.2.2 Ableitungsregeln Vorussetzung: Funktionen differenzierbr! Fktorregel: y = C f(x) = y = C f (x) Summenregel: y = f 1 (x) + f 2 (x) = y = f 1(x) + f 2(x) Produktregel: y = u(x) v(x) = y = u (x)v(x) + u(x)v (x) Quotientenregel: y = u(x) v(x) = y = u (x)v(x) v (x)u(x) v 2 (x) Kettenregel: y = h(x) = f(g(x)) = y = dh dx = df(g) dg(x) dg dx Anmerkung: Summen-, Produkt- und Kettenregel lssen sich durch wiederholte Anwendung uf beliebige endliche Anzhl von Summnden, Fktoren bzw. zusmmengesetzten Funktionen erweitern. Spezielle Ableitungsverfhren I) Logrithmische Ableitung Sei f(x) = [u(x)] v(x), u(x) > 0. 1. Logrithmieren der Funktionsgleichung 2. Differenzieren der logrithmierten Gleichung (Kettenregel!)

24 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) II) Implizite Differentition Gegeben implizite Funktionsgleichung: F (x, y) = 0. 1. Gliedweise Differentition von F (x, y) = 0 nch x, wobei y = y(x), d.h. y ist ls Funktion von x nzusehen (Kettenregel!) 2. Auflösung der differenzierten Gleichung nch y = dy dx Spezilfll: Die Ableitung ( f 1) der Umkehrfunktion g(x) = f 1 (x) ergibt sich us g (x) = ( f 1 (x) ) = 1 f (f 1 (x)). III) Ableitung einer Funktion in Prmeterform (Polrkoordinten) Flls x = x(t), y = y(t) gilt y = ẏ ẋ Insbesondere für Polrkoordinten x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ; r = r(ϕ) gegeben : y = ṙ(ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ ṙ(ϕ) cos ϕ r(ϕ) sin ϕ (2) 2.2.3 Ds Differentil und höhere Ableitungen Differentil einer Funktion y = f(x): dy = f (x) dx beschreibt Zuwchs der Ordinte y uf der n der Stelle x errichteten Kurventngente bei einer Änderung der Abszisse x um dx. Anmerkungen: 1) Die Ableitung einer Funktion knn ls Quotient zweier Differentile ufgefßt werden, nämlich f (x) = dy dx = lim y x 0 x. Dbei heißen dy y : Differentilquotient, dx x : Differenzenquotient.

2.3 Anwendungen der Differentition 25 dy dx y 2) Für kleine x ist dy y bzw. x und der Differentilquotient (= Ableitung) knn durch Differenzenquotient ersetzt werden (= Näherungsverfhren, z.b. zur Lösung von Differentilgleichungen). Berechnung von Meßfehlern Sei x 0 whrer (unbeknnter) Wert einer Meßgröße und x (fehlerbehfteter) Meßwert. Bezeichnen x mx ( x x 0 ) (geschätzter) bsoluter Mximlfehler x mx x x mx reltiver Mximlfehler 100% prozentuler Mximlfehler x Gesucht: Mximlfehler der Zielgröße y = f(x). Es gilt: y mx dy f (x) x mx. Höhere Ableitungen Wenn die Ableitung y = f (x) selbst eine differenzierbre Funktion drstellt, so knn mn durch nochmliges Differenzieren die 2. Ableitung von f(x) erhlten und zwr: y = f (x) = d dx f (x) = d ( ) dy =: d2 y dx dx dx 2. Wiederholtes Differenzieren liefert n-te Ableitung mit y (n) = f (n) (x) = d dx f (n 1) (x) = d ( d n 1 ) y dx dx n 1 =: dn y dx n, wobei dn y Differentilquotient n-ter Ordnung. dxn 2.3 Anwendungen der Differentition 2.3.1 Untersuchung von Funktionen I) Monotonie und reltive Extremwerte Stz 1. Sei y = f(x) differenzierbre Funktion uf dem Intervll I: ) f (x) 0 uf I f ist uf I monoton wchsend

26 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) b) f (x) 0 uf I f ist uf I monoton fllend. Gelten die Ungleichungen ) bzw. b) streng, so ist f streng monoton wchsend bzw. fllend uf I. Eine Funktion y = f(x) besitzt n der Stelle x 0 ein reltives Mximum (reltives Minimum) f(x 0 ), wenn für lle lle x us einer Umgebung von x 0 gilt f(x 0 ) f(x) (bzw. f(x 0 ) f(x)). ( ) Anmerkungen: Gelten die Ungleichungen ( ) für lle x D(f), so spricht mn von bsolutem Mximum bzw. Minimum in x 0. Mxim und Minim werden oft ls Extrem zusmmengefßt, die zugehörigen y-werte sind die Extremwerte von f. Notwendige Bedingung: Sei f eine uf dem offenen Intervll I differenzierbre Funktion: In x 0 I reltives Extremum f (x 0 ) = 0. Kndidten für Extrem sind: Sttionäre Punkte us dem Innern von I, d.h. innere Punkte x 0, wo f (x 0 ) = 0 Rndpunkte von I Punkte us I, in denen f nicht differenzierbr ist. Hinreichende Bedingung: Die Funktion y = f(x) besitzt n der Stelle x 0 ein reltives Extremum, wenn f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0. Für f (x 0 ) > 0 liegt ein reltives Minimum, für f (x 0 ) < 0 ein reltives Mximum vor. II) Krümmungsverhlten und Wendepunkte Eine Funktion y = f(x) heißt konvex (bzw. konkv) im Intervll I, wenn x 1, x 2 I, λ (0, 1) gilt: f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) (bzw. f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 )). Stz 2. Sei y = f(x) zweifch differenzierbre Funktion uf dem Intervll I:

2.3 Anwendungen der Differentition 27 ) f (x) 0 uf I f ist uf I konvex b) f (x) 0 uf I f ist uf I konkv. Kurvenpunkte, in denen y = f(x) ds Krümmungsverhlten ändert, heißen Wendepunkte. (Speziell werden Wendepunkte mit horizontler Tngente ls Sttelpunkte bezeichnet.) Notwendige Bedingung: In x 0 I Wendepunkt f (x 0 ) = 0. Kndidten für Wendepunkte sind: Punkte x 0 I, wo f (x 0 ) = 0. Punkte us I, wo f (x) nicht existiert. Hinreichende Bedingung: Die Funktion y = f(x) besitzt n der Stelle x 0 einen Wendepunkt, wenn f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0. Allgemeines Kriterium für Extremwerte und Wendepunkte: Sei f (x 0 ) = 0 und f (n) (x 0 ) die erste nichtverschwindende Ableitung: f ht Extremwert in x 0, wenn n gerde ist und zwr Minimum für f (n) (x 0 ) > 0 bzw. Mximum für f (n) (x 0 ) < 0. Ist n ungerde, so besitzt die Funktion f in x 0 einen Sttelpunkt. Anmerkung: Reltive Extrem bzw. Wendepunkte können uch nchgewiesen werden nhnd des Vorzeichenwechsels der 1. bzw. 2. Ableitung in der Umgebung der Stelle x 0 : f (x 0 ε) > 0, f (x 0 + ε) < 0 In x 0 reltives Mximum f (x 0 ε) < 0, f (x 0 + ε) > 0 In x 0 reltives Minimum f (x 0 ε) f (x 0 + ε) < 0 In x 0 Wendepunkt, wobei ε > 0 jeweils eine (beliebige) hinreichend kleine reelle Zhl bezeichnet. τ Krümmung einer Kurve: κ = lim mit τ Winkel zwischen s 0 s Tngenten in den Endpunkten des Bogenstückes s. Für zweifch differenzierbre Funktionen y = f(x) gilt: κ = y (1 + y 2 ) 3, ρ = 1 κ, (3) wobei ρ den Krümmungsrdius bezeichnet.

28 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) 2.3.2 Unbestimmte Ausdrücke Regel von L Hospitl: Sind f(x) und g(x) 0 uf dem Intervll (, b) differenzierbre Funktionen, wobei g (x) 0, mit den Eigenschften ) f(x) 0, g(x) 0 oder f(x), g(x) für x x 0 (, b), f (x) b) lim x x 0 g = L IR {, }, (x) dnn gilt: f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). (4) Entsprechendes gilt für einseitige Grenzwerte x x 0, x x 0 und x, x. 2.3.3 Kurvendiskussion Die Diskussion einer Funktion (Kurve) y = f(x) beinhltet: Definitionsbereich von f; eventuell Wertebereich, Symmetrie (gerde oder ungerde?) Nullstellen; Schnittpunkt mit y-achse Unstetigkeitsstellen, insbesondere Pole, vertikle Asymptoten reltive Extremwerte (Mxim oder Minim?) Wendepunkte Verhlten der Funktion für x ±, Asymptoten im Unendlichen Skizze (im geeigneten Mßstb) 2.3.4 Die Tylorsche Formel Ziel: Möglichst gute Annäherung einer Funktion y = f(x) durch ein Polynom P n (x), indem Funktionswerte und erste n Ableitungen von f(x) und P n (x) im Punkt x 0 zusmmenfllen. Bezeichnen f(x) =: f (0) (x). Stz von Tylor: Sei f(x) uf [x 0, x] n-ml stetig differenzierbr und uf (x 0, x) n + 1-ml differenzierbr. Dnn gilt: f(x) = n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k + R n (x) (5)

2.3 Anwendungen der Differentition 29 Tylorsche Formel mit dem Restglied [Lgrnge]: R n (x) = f (n+1) (x 0 + ϑ(x x 0 )) (n + 1)! (x x 0 ) n+1, ϑ (0, 1). Anmerkungen: Ds Restglied gibt den Fehler n, den mn begeht, wenn f(x) ersetzt wird durch ds Tylor-Polynom P n (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k. Abbruch der Formel (5) nch n-tem Glied (ohne Restglied) heißt uch n-te Näherung P n (x) der Funktion y = f(x) in der Nähe von x = x 0. Mittelwertstz der Differentilrechnung: Sei f(x) uf [, b] stetig und uf (, b) differenzierbr, dnn existiert eine Stelle c (, b), so dß gilt f(b) f() b = f (c). (6) 2.3.5 Näherungsweise Lösung einer Gleichung Ziel: Lösung der Gleichung y = f(x) = 0 Bestimmung der Nullstellen x von f: f(x ) = 0. Flls keine exkte Lösung möglich = Näherungsverfhren. I) Itertionsverfhren (llgemein) Betrchten F (x) = x: 0) Whl des Strtwerts x 0 1) 1. Näherung x 1 = F (x 0 ) 2) 2. Näherung x 2 = F (x 1 ) usw. Allgemeine Itertionsvorschrift: x n = F (x n 1 ), n 1. Abbruch des Verfhrens, wenn x n x < ε oder F (x n ) F (x ) < ε mit vorgegebenen Genuigkeiten ε > 0 bzw. ε > 0.

30 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) II) Newton-Verfhren: Itertionsvorschrift: x n = x n 1 f(x n 1) f, n = 1, 2,... (7) (x n 1 ) Die Konvergenz der Folge der Näherungwerte x 1, x 2,..., x n gegen die exkte Lösung x ist grntiert, wenn im Intervll [, b], in dem lle Näherungswerte liegen sollen, gilt q = f(x) f (x) [f (x)] 2 < 1 (+) (hinreichende Konvergenzbedingung). Als Strtwert x 0 geeignet sind Werte, wo die hinreichende Konvergenzbedingung (+) möglichst erfüllt ist. Ungeeignet sind Werte mit f (x 0 ) 0. 2.3.6 Splines Gegeben n + 1 Stützpunkte P i = (x i, y i ), i = 0, 1,... n, mit x 0 < x 1 <... x n. Eine uf [x 0, x n ] definierte Funktion s = s(x) heißt Spline-Funktion vom Grde k durch diese Punkte, wenn gilt: i) s(x i ) = y i, i = 0, 1,..., n ii) iii) s(x) ist (k 1)-ml stetig differenzierbr (k = 1: stetig) s(x) ist in jedem Teilintervll [x i, x i+1 ] ein Polynom vom Grde k Kubische Splines (k = 3) Anstz: Betrchten n Polynome 3.Grdes s i (x) = y i + b i (x x i ) + c i (x x i ) 2 + d i (x x i ) 3, i = 0, 1,..., n 1 mit b i, c i, d i noch unbeknnten Koeffzienten. Setzen s(x) = s i (x), flls x i x < x i+1, i = 0, 1,... n 1.

2.3 Anwendungen der Differentition 31 Die n 1 Unbeknnten c i, i = 1, 2,..., n 1, ergeben sich bei beliebig vorgegebenen c 0, c n IR ls eindeutige Lösung des folgenden lineren Gleichungssystems [ yi+1 y i h i 1 c i 1 + 2(h i 1 + h i )c i + h i c i+1 = 3 y ] i y i 1, h i h i 1 i = 1, 2,..., n 1, wobei h i := x i+1 x i. Die restlichen Unbeknnten ergeben sich dnn us d i = c i+1 c i 3h i, i = 0, 1,..., n 1, b i = y i+1 y i 2c i + c i+1 h i, i = 0, 1,..., n 1. h i 3 Anmerkungen: Liegen keine weiteren Bedingungen vor, wählt mn oft c 0 = c n = 0 ntürliche Spline-Funktion. Es läßt sich zeigen, dß ihre summrische Krümmung von llen zweiml stetig diffenzierbren Funktionen durch die Punkte P i miniml ist.

32 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) 2.4 Integrtion 2.4.1 Bestimmte und unbestimmte Integrle Sei f(x) eine uf dem Intervll [, b] definierte, beschränkte Funktion, die n höchstens endlich vielen Stellen nicht stetig ist (stückweise stetige Funktion). Zerlegen [, b] in n Teilintervlle [x i 1, x i ] mit = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b, wählen Zwischenpunkte ξ i [x i 1, x i ] und berechnen Z n := n f(ξ i ) x i, i=1 (Riemnnsche Zwischensumme). Der Grenzwert n lim f(ξ i ) x i n i=1 wobei x i = x i x i 1 heißt, flls er existiert und zwr bei mx 1 i n x i 0 und beliebiger Whl von ξ i [x i 1, x i ], (i = 1, 2,..., n), bestimmtes Integrl der Funktion f(x) in den Grenzen von x = bis x = b und wird gekennzeichnet durch ds Symbol f(x) dx. Elementre Integrtionsregeln Seien f(x), g(x) stückweise stetige Funktionen uf [, b]: (1) (2) f(x) dx = b f(x) dx [αf(x) + βg(x)] dx = α f(x) dx + β g(x) dx (α, β IR)

2.4 Integrtion 33 (3) f(x) dx = c (4) f(x) g(x) f(x) dx + c f(x) dx f(x) dx ( c b) g(x) dx Insbesondere folgt us m f(x) M, x [, b] m (b ) f(x) dx M (b ). Eine uf dem Intervll I differenzierbre Funktion F heißt Stmmfunktion von f, wenn gilt F (x) = f(x) für lle x I. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung: Sei f eine uf I stetige Funktion,, b I. Dnn gilt: ) (Existenz von Stmmfunktionen) Die durch F (x) := x f(t) dt (x I) definierte Integrlfunktion ist eine Stmmfunktion von f, d.h. d x f(t) dt = f(x). dx Jede ndere Stmmfunktion von f ht die Form F (x) = F (x) + C, C IR. b) (Integrlberechnung) Mit einer beliebigen Stmmfunktion F von f gilt f(x) dx = F (x) b := F (b) F (). Die Menge ller Stmmfunktionen von f(x) wird unbestimmtes Integrl gennnt und symbolisiert mit f(x) dx.

34 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) Offenbr gilt f(x) dx = F (x) + C, C IR mit irgendeiner Stmmfunktion F (x), d.h. F (x) = f(x). Ausgewählte Grundintegrle f(x) f(x) dx Bemerkungen x n 1 n + 1 xn+1 + C n 1 1 x ln x + C x 0 e x e x + C sin x cos x + C cos x sin x + C 1 cos 2 x tn x + C x π 2 + kπ, k Z 1 1 x 2 rcsin x + C x < 1 1 1 + x 2 rctn x + C sinh x cosh x + C cosh x sinh x + C Mittelwertstz der Integrlrechnung: Wenn f(x) stetig uf [, b] ist, existiert eine Stelle u (, b) mit f(u) = 1 f(x) dx. (8) b Der Wert m = f(u) heißt Mittelwert der Funktion f(x) uf [, b]. 2.4.2 Integrtionsmethoden Vorussetzung: Funktionen stetig, gegebenenflls differenzierbr

2.4 Integrtion 35 0) Linerität [αf(x) + βg(x)] dx = α f(x) dx + β g(x) dx (α, β IR) 1) Prtielle Integrtion u(x) v (x) dx = u(x) v(x) u (x) v(x) dx bzw. u(x) v (x) dx = u(x) v(x) b 2) Substitutionsmethode f(g(x)) g (x) dx = F (g(x)) + C mit F Stmmfunktion von f bzw. f(g(x)) g (x) dx = g(b) g() u (x) v(x) dx. f(t) dt = F (g(b)) F (g()). 2.4.3 Integrtion rtionler Funktionen A. Prtilbruchzerlegung Sei R(x) = P m(x) echt gebrochen rtionle Funktion, d.h. Grd m von Q n (x) P m (x) < Grd n von Q n (x). 1. Schritt: Fktorzerlegung von Q n (x) Q n (x) = c(x b 1 ) k1 (x b 2 ) k2... (x b r ) kr q 1 (x) l1... q s (x) ls b i : k i : q j (x) : l j : prweise verschiedene reelle Nullstellen Vielfchheit dieser Nullstellen qudrtische Polynome, die keine reellen Nullstellen hben Vielfchheit dieser Terme

36 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) (k 1 + k 2 +... + k r + l 1 +... + l s = n) 2. Schritt: Prtilbruchnstz In Fktorzerlegung von Q n (x) Anstz Linerfktor (x b) k A 1 x b + A 2 (x b) 2 +... + A k (x b) k qudrtischer Fktor q(x) l B 1 x + C 1 + B 2x + C 2 q(x) q(x) 2 mit unbeknnten Koeffizienten A i, B j, C j IR P m (x) ( ) = Summe ller dieser Prtilbrüche. Q n (x) +... + B l + C l q(x) l 3. Schritt: Koeffizientenvergleich Multipliktion von ( ) mit Q n (x) Bestimmungsgleichungen für A i, B j, C j : Gleichsetzen der Koeffizienten entsprechender x-potenzen links und rechts: Koeffizientenvergleich lineres Gleichungssystem für Koeffizienten A i, B j, C j Lösen! B. Integrtion Sei R(x) gebrochen rtionle Funktion. I) Flls f(x) unecht gebrochen: Polynomdivision R(x) = g(x) + P m(x) Q n (x), wobei g(x) Polynom und m < n. Sonst: g(x) = 0. II) Prtilbruchzerlegung von P m(x) [siehe A.] Q n (x) III) Integrtion von g(x) und der Prtilbrüche. Dbei gilt: dx = ln x + C x dx (x ) k = 1 k 1 1 + C (k > 1) (x ) k 1

2.4 Integrtion 37 Weiter bei p 2 4q < 0 dx x 2 + px + q = 2 rctn 4q p 2 2x + p 4q p 2 + C x + b x 2 + px + q dx = ( 2 ln x2 + px + q + b p 2 dx (x 2 + px + q) k = 2x + p (k 1)(4q p 2 )(x 2 + px + q) k 1 + + 2(2k 3) (k 1)(4q p 2 ) dx (x 2 + px + q) k 1 (k > 1) x + b (x 2 + px + q) k dx = 2(k 1)(x 2 + px + q) k 1 + ( + b p 2 ) dx (x 2 + px + q) k (k > 1). IV) R(x) dx = Summe der Teilintegrle. ) dx x 2 + px + q C. Integrtion zusmmengesetzter (rtionler) Funktionen ) Integrtion von R(e x ) dx, wobei R rtionle Funktion Substitution: e x = t dx = 1 dt, d.h. t R(e x ) dx = R(t) 1 t dt = Prtilbruchzerlegung! b) R(sin x, cos x) dx Substitution: x = 2 rctn t dx = 2 dt 2t 1 t2, sin x =, cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t 2 = Einsetzen = Prtilbruchzerlegung!

38 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) 2.4.4 Uneigentliche Integrle Flls eine Funktion f(x) unbeschränkt uf dem Intervll I oder ds Intervll selbst unendlich ist, existiert ds bestimmte Integrl nicht. Wir betrchten im folgenden diese Fälle. Die Funktion f(x) sei uf dem Intervll [, b) definiert und uf jedem Teilintervll [, c], c < b, stückweise stetig, b IR { }. Der Grenzwert bzw. f(x) dx := lim c c b f(x) dx := f(x) dx lim c c + f(x) dx heißt uneigentliches Integrl. Mn sgt, ein uneigentliches Integrl konvergiert (bzw. divergiert), wenn der Grenzwert existiert (bzw. nicht existiert). Anloge Definition für untere Grenzen. Weiterhin f(x) dx := = lim c u u c f(x) dx + c f(x) dx = v f(x) dx + lim f(x) dx. v c Die beiden Grenzwerte sind unbhängig voneinnder zu bestimmen. Nur wenn beide existieren, konvergiert ds uneigentliche Integrl. Anmerkung: Wird im letzten Fll beim Grenzübergng u = v gesetzt, spricht mn vom Cuchy-Huptwert des Integrls. Anloge Definitionen für die Integrtion über Stellen, wo der Integrnd unbeschränkt wird.

2.5 Anwendungen der Integrtion 39 2.5 Anwendungen der Integrtion 2.5.1 Einige Anwendungen 1. Flächeninhlt A Flächeninhlt zwischen 2 Kurven y = f(x) und y = g(x), x b, mit f(x) g(x): A = [g(x) f(x)] dx (9) 2. Bogenlänge s eines ebenen Kurvenstücks Sei y = f(x), x [, b], stetig differenzierbr: s = 1 + [f (x)] 2 dx = 1 + y 2 dx (10) 3. Volumen V eines Rottionskörpers Bei Rottion von y = f(x), x b, um die x-achse: V = π f 2 (x) dx (11) Bei Rottion von x = g(y), c y d, um die y-achse: V = π d c g 2 (y) dy 4. Mntelfläche M eines Rottionskörpers Bei Rottion von y = f(x), x b, um die x-achse: M = 2π f(x) 1 + [f (x)] 2 dx (12)

40 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) Bei Rottion von x = g(y), c y d, um die y-achse: M = 2π d c g(y) 1 + [g (y)] 2 dy 5. Schwerpunkt (x S, y S ) einer (homogenen) Fläche Sei Fläche berndet von den Kurven y = f(x) und y = g(x), x b, mit f(x) g(x): x S = 1 A y S = 1 2A x [g(x) f(x)] dx wobei A Flächeninhlt der Fläche. 6. Arbeit W eines Gses [g 2 (x) f 2 (x)] dx, (13) Bezeichnen p Druck, V Volumen und V 1 bzw. V 2 Anfngs- bzw. Endvolumen, wobei p = p(v ): W = V 2 V 1 p(v ) dv (14) Andere Kurvendrstellungen: ) Polrkoordinten: r = r(ϕ), α ϕ β = zu 1. A = 1 2 zu 2. s = β α β α r 2 (ϕ) dϕ [r (ϕ)] 2 + [r(ϕ)] 2 dϕ

2.5 Anwendungen der Integrtion 41 zu 3. V = π β α r 2 (ϕ) sin 2 ϕ [r (ϕ) cos ϕ r(ϕ) sin ϕ] dϕ zu 4. β M = 2π r(ϕ) sin ϕ [r (ϕ)] 2 + [r(ϕ)] 2 dϕ α b) Prmeterform: x = x(t), y = y(t), α t β = β zu 1. A = 1 [x(t)ẏ(t) ẋ(t)y(t)] dt 2 zu 2. s = zu 3. β α α V = π [ẋ(t)]2 + [ẏ(t)] 2 dt β α y 2 (t)ẋ(t) dt zu 4. β M = 2π y(t) [ẋ(t)] 2 + [ẏ(t)] 2 dt α 2.5.2 Numerische Integrtionsmethoden Gegeben stetige Funktion y = f(x), x b, f(x) > 0. Wählen n Anzhl der Teilintervlle (Feinheit der Diskretisierung). Trpezregel f(x) dx [ ] 1 2 (y 0 + y n ) + y 1 + y 2 +... + y n 1 h, wobei h = b n ; y k = f( + kh), k = 0, 1,..., n.

42 2 DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (I) Simpsonregel Gerde Anzhl von Intervllen, d.h. n = 2m f(x) dx [(y 0 + y 2m ) + 4(y 1 + y 3 +... + y 2m 1 ) + + 2(y 2 + y 4 +... + y 2m 2 )] h 3, wobei h = b 2m ; y k = f( + kh), k = 0, 1,..., 2m. Fehlerbschätzungen Bezeichnen mit I = f(x) dx und I n die Ergebnisse der obigen Regeln. Dnn gilt für die Trpezregel Simpsonregel I I n b 12 h2 mx x [,b] f (x) I I n b 180 h4 mx x [,b] f (4) (x)