I. Grenzverhalten von Funktionen. Verhalten einer Funktion für bzw.. Bestimmen Sie den Grenzwert a) b) ) ( + ( ) c) ( + ) ( ) II. Symmetrie.Untersuchen Sie die Schaubilder der Funktion auf ihre Symmetrieeigenschaften. (Achsensymmetrie/ Punktsymmetrie) a) f ( ) = b) ( ) = + + f c) f ( ) = III. Nullstellen. Führen Sie die Polynomdivision aus. a) ( 6 + ) : ( + ) =. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f mit: a) f ( ) = ( 7)( )( + ) b) f ( ) = ( 6 + ). Ermitteln Sie eine Nullstelle (durch systematisches Probieren ), bestimmen Sie dann durch Polynomdivision alle übrigen Nullstellen. a) f ( ) = 6 + +. Ermitteln Sie mithilfe von Substitution die Nullstellen der biquadratischen Gleichung. a) f ( ) = +
IV. Etrempunkte. Untersuchen Sie f auf mögliche Etrempunkte. a) f ( ) = + + b) f ( ) = + 6 0 (Lösungen: a) HP (/), b) HP (0/) u. TP(/ )). Bestimmen Sie Stellen, an denen das Schaubild von f Punkte mit waagrechten Tangenten aufweist. Untersuchen Sie, um welche Art von Punkten (Hoch- oder Tiefpunkte) es sich handelt. Geben Sie auch die Nullstellen von f an und skizzieren Sie das Schaubild von f. a) f ( ) = 6 + V. Wendepunkte. Untersuchen Sie das Schaubild von f auf Wendepunkte. a) f ( ) = + VI. Kurvendiskussion (Lösung: TP(/0), HP (/)) (Lösung: WP (0/-), WP (/)) Untersuchen Sie das Schaubild der Funktion f mit f ( ) = + 8 auf Symmetrie, Verhalten für und für, gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild von f. (Lösungen: Nullstellen: N (- /0), N (- 6 /0), N ( 6 /0), N ( /0), Schnittpunkt mit y-achse: M(0/8), HP (0/8), TP (/-), TP (-/-), WP ( /), WP (- /))
! I. Grenzverhalten von Funktionen Aufg.) a) 0 = = 0 b) ( + ) = ( ) ( + ) = ( ) = c) 0 eistiert nicht II. Symmetrie a) f ( ) = f ( ) = ( ) = = f ( ) => f ( ) = f ( ), d.h. das Schaubild von f () ist achsensymmetrisch zur y-achse b) f ( ) = + + f ( ) = ( ) + ( ) + = + + = f ( ) => f ( ) = f ( ), d.h. das Schaubild von f () ist achsensymmetrisch zur y-achse c) f ( ) = f ( ) = ( ) ( ) = + = ( ) = f ( ) => f ( ) = f ( ), d.h. das Schaubild von f () ist punktsymmetrisch zum Ursprung III. Nullstellen Aufg.) a) ( 6 + ) : ( + ) = 7 + ( + ) 7 6 ( 7 ) + ( + ) - - Aufg. ) a) f ( ) = ( 7)( )( + ) f ( ) = ( 7)( )( + ) ( 7) oder ( ) oder ( + ) = 7 oder = oder = Nullstellen: = 7, =, = b) f ( ) = ( 6 + )
f ( ) = ( 6 + ) Aufg. Aufg. 6 + oder = oder Nullstellen: =, a) f ( ) = 6 + + eine Nullstelle ist = (durch systematisches Probieren bestimmt) Nullstelle abdividieren: (6 + + ) : ( + ) = 6 + 6 + = oder = Nullstellen von f () sind a) f ( ) = + =, =, = Ersetze durch z : z z + Mithilfe der abc- oder pq-formel erhält man die Lösungen der Gleichung: z = oder z = Rücksubstitution: = z = oder = = oder = oder = oder = Nullstellen von f () sind =, =, =, = IV. Etrempunkte Aufg. a) f ( ) = + + f ( ) = + f ( ) = Setzte f ( ) : +
= ist mögliche Etremstelle f ( ) = d.h. f ``( ) < 0 => es liegt ein Hochpunkt an der Stelle = vor y-wert des Hochpunktes ermitteln: f ( ) = => HP(/) b) f ( ) = + 6 f ( ) = f ( ) = Setzte f ( ) : oder = sind mögliche Etremstellen f ( 0) = d.h. f ( 0) < 0 => es liegt ein Hochpunkt an der Stelle vor f ( ) = d.h. f ( ) > 0 => es liegt ein Tiefpunkt an der Stelle = vor y-werte der Etrempunkte ermitteln: f ( 0) = => HP (0/) 0 0 f ( ) = => TP (/- ) Aufg. a) f ( ) = 6 + f ( ) = + f ( ) = 6 f ( ) f ( ) = + = oder = => waagrechte Tangenten an den Stellen = und = f ( ) = 6 => Tiefpunkt TP(/0) f ( ) = 6 => Hochpunkt HP(/) Nullstellen von f () 6 + Nullstellen:, =
,, //.. -- ++,, y Schaubild: ) ' ) '' (( "" ## $$ %% && ** + + V. Wendepunkte a) f ( ) = + f ( ) = + f ( ) = 6 f ( ) = 6 6 f ( ) 6 oder = => an den Stellen und = kann es Wendepunkte geben f ( 0) = 6 0 => Wendepunkt f ( ) = 6 0 => Wendepunkt => WP (0/-) WP (/) [Ist ein Wendepunkt ein Sattelpunkt? f ( 0) = 0 f ( ) => WP ist ein Sattelpunkt Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit einer waagrechten Tangente.]
VI. Kurvendiskussion f ( ) =. Ableitungen f ( ) = f ( ) = 8 f ( ) = + 8. Symmetrie zur y-achse bzw. zum Ursprung f ( ) = ( ) ( ) + 8 = + 8 = f ( ) 0 das Schaubild von f ist symmetrisch zur y-achse. Verhalten für und 8 f ( ) = + 8 = ( + ) Für ± geht der Klammerterm gegen, d.h. das Verhalten von f für ± wird durch den Faktor bestimmt. Für gilt: f (). Für gilt: f ().. Gemeinsame Punkte des Schaubildes mit den Koordinatenachsen Die Lösungen der Gleichung f ( ) sind die Nullstellen von f. Die Gleichung + 8 ist eine biquadratische Gleichung, die man durch Substitution = z lösen kann: z z + 8 z = 6 oder z = Rücksubstitution: = 6, = 6, =, = gemeinsame Punkt mit der -Achse: N (- /0), N (- 6 /0), N ( 6 /0), N ( /0) Schnittpunkt mit der y-achse: M(0/8)
66 :: 88. Etrempunkt Notwendige Bedingung: f ( ) Die Gleichung = ( ) hat die Lösungen, =, =. Dies sind die möglichen Etremstellen von f. f ( 0) = < 0 => HP (0/8) f ( ) = 8 > 0 => TP (/-) Wegen der Achsensymmetrie des Schaubildes liegt auch an der Stelle = ein Tiefpunkt vor: TP (-/-). 6. Wendepunkte Notwendige Bedingung für Wendestellen lautet: f ``( ). Die Gleichung 0 hat die Lösungen = oder =. Dies sind mögliche Wendestellen von f. Aus f ( 8 ) = 0 folgt, dass das Schaubild von f den Wendepunkt W ( /) hat. Aufgrund der Achsensymmetrie muss dann auch W (- /) ein Wendepunkt sein. 7. Schaubild y 77 66 77 77 77 77 77 66