Stzgruppe des Pythgors Jürgen Zumdik I. ntdeken des Stzes 1) Seilspnnergeshihte oder Zimmermnnsgeshihte (in Zimmermnn legt us Ltten der Länge 1,0 m, 1,60 m und,00 m ein Dreiek). ) us einer Werung von Ritter-Sport Shokolde: 3) us 3 Qudrten (z. B. mit den Mßen 3, 4 und 5) und 8 rehtwinkligen Dreieken (jeweils mit den Mßen 3, 4 und 5) sollen zwei kongruente Qudrte geildet werden 4) Prolem: Wie lng ist die Digonle in einem Qudrt, in einem Rehtek? (Jeweils zwei derrtige Figuren werden zu einem Qudrt zusmmengelegt) 5) ntdeken des Höhenstzes: in Tunnel ht einen hlkreisförmigen Quershnitt mit einem Durhmesser von 1 m. Die eidseitigen niht efhrren Seitenstreifen sind 1,50 m reit. Bis zu welher Höhe knn ein LKW den Tunnel efhren? (siehe weiter unten: Beweis mit Hilfe des Thlesstzes) II. Beweise ildungsgeometrishe Beweise 1) Verwndlung eines Qudrts in ein flähengleihes Rehtek (Sherung, Drehung, Sherung) Kthetenstz Pythgors (lgerisher Beweis) Höhenstz (lgerisher Beweis). 1
) Spiegelung und Drehung F G D B H J K Die Viereke JKD und KBD sind kongruent (Spiegelung n DK). Die Viereke HG und GFB sind eenflls kongruent (Spiegelung m Mittelpunkt des Hypotenusenqudrts). Ds Vierek KBD knn durh Rehtsdrehung um mit dem Drehwinkel 90 uf ds Vierek HG geildet werden. Somit ist ds Sehsek JKBD flähengleih zum Sehsek HGFB, worus der Stz des Pythgors folgt. Zerlegungseweise 1) Umwndlung zweier Qudrte in ein flähengleihes Qudrt ( Stuhl der Brut ) ) Die Qudrte sind gleih groß ) Die Qudrte sind untershiedlih groß S B X D
Wähle X so, dss die Streken X und DB gleih lng sind. XD ist dnn genu so lng wie ( XD = D - X = + = ). Die Dreieke X und XDB sind somit kongruent (SWS). D die Dreieke rehtwinklig sind, sind die Winkel X und DXB zusmmen 90 groß. Der Winkel BX ist lso ein rehter Winkel. Ds Dreiek BX ist folglih ein gleihshenklig rehtwinkliges Dreiek, welhes zu einem Qudrt ergänzt werden knn. Dreht mn ds Dreiek X um links herum mit dem Winkel 90 und ds Dreiek XDB um B rehts herum mit dem Winkel 90, so sieh t mn, dss die eiden Kthetenqudrte ds gestrihelte Qudrt usfüllen. ) Shufelrdeweis ine Prllele zur Hypotenuse des Dreieks und eine dzu Senkrehte shneiden sih im Mittelpunkt des größeren Kthetenqudrts. Die vier entstehenden Viereke sind kongruent. Vershiet mn sie in ds Hypotenusenqudrt, so leit innen ein zum kleinen Kthetenqudrt kongruentes Qudrt ürig. (Knn mn die Rollen vom kleinen und großen Qudrt uh vertushen?) rgänzungseweis 3
rgänzt mn die Figur um die gestrihelten Teile, so erhält mn ein großes Qudrt, in welhem die eiden Kthetenqudrte und 4-ml ds rehtwinklige Dreiek uftreten. Legt mn die vier Dreieke innerhl dieses Qudrtes um, so erhält mn folgende Figur: Im Inneren entsteht eine Rute der Seitenlänge, deren Fläheninhlt so groß ist wie die eiden Kthetenqudrte zusmmen. D n jeder ke der Rute die eiden Winkel α und β des Dreieks uftreten (α + β = 90 ), leit für den dritten Winkel uh nur 90 üer. Die Rute ist lso genu ds Hypotenusen qudrt, lso ² = ² + ². Dies lässt sih uh lgerish eweisen: ( + )² = 4 + ² ² + ² = ² oder: Fläheninhlt des Qudrtes, welhes die eiden Kthetenqudrte enthält: + + 4 Fläheninhlt des Qudrtes, welhes ds Hypotenusenqudrt enthält: 4 + ². us der Gleihheit dieser eiden Qudrte folgt: ² + ² = ² Ähnlihkeitseweise 1) β α h α q p β Die eiden Teildreieke sind untereinnder und zum großen Dreiek ähnlih. Durh nwendung der Ähnlihkeitssätze für Dreieke folgen der Kthetenstz und der Höhenstz. us den eiden Kthetensätzen folgt der Stz des Pythgors. Beispiel (Ähnlihkeit des linken Teildreieks zum großen Dreiek): 4
q = = q ) F D B B = = = k, folgt durh in- D D nwendung der Fläheninhltssätze liefert: B DF D B D + = B D wegen der Ähnlihkeit der Dreieke DF setzen der Stz des Pythgors. Weitere Beweise 1) Die gesmte Figur ist ein Trpez, dessen Fläheninhlt uf zwei rten erehnet werden knn: + ( + ) = + + ² + ² = ² 5
) Sherungseweis für den Höhenstz: G H J K L D F B G H J K L D F B Sherungsfolge: FD FGH FBJH FBLK D die Dreieke F und FH kongruent sind (die Seiten F und F sind gleih lng, eide Dreieke hen einen rehten Winkel, die Winkel F und HF sind genu so 6
groß wie der Winkel β des Dreieks B die Shenkel des Winkels F stehen prweise senkreht uf den Shenkeln des Winkels β, der Winkel HF ist Stufenwinkel zu β). Somit gilt H = F = q. D FB = p und FK = H, ht ds Vierek FBLK den Fläheninhlt p q. Wegen der Flähengleihheit mit dem Qudrt FD folgt: h² = p q. lgerishe Beweise der eiden nderen Sätze, flls ein Stz eknnt ist 1) Beknnt: Kthetenstz ² = p ² = q ² + ² = p + q = ( p + q) = ² ² = h² + q² ² = q h² = q q² = q( q) = qp ) Beknnt: Pythgors h² = ² p² h² = ² q² h² = ² + ² p² q² = ² p² q² = ( q + lso : h² = qp ² = h² + p² = qp + p² = p( q + p) = p p)² p² q² = qp lterntive: M B M = nh Thlesstz. h ² = q = q q² = q( q) = qp III. rgänzungen und Vertiefungen Umkehrung des Stzes von Pythgors Sei in einem Dreiek ² + ² = ². Konstruiere ein weiteres Dreiek mit ' =, ' = und γ = 90. In diesem Dreiek gilt '² + '² = '². W egen ' = und ' = gilt dher uh '² = ², lso ' =. Dmit sind die eiden Dreieke kongruent. s folgt γ = 90. Pythgoräishe Zhlentripel 1) ntdekung einer Formel 3 4 5 6 8 10 5 1 13 1 0 15 36 39 8 15 17 30 34 140 81 149 Beohtung: ine Zhl ist gerde oder lle drei sind gerde. Shreie die Telle so um, dss gerde ist. 7
4 3 5 6 8 8 6 10 10 1 5 13 1 1 0 0 36 15 39 8 15 17 30 30 34 34 140 81 149 Beohtung: ist gerde, ist ds Doppelte einer Qudrtzhl. Wir hlten fest: = x, = k². insetzen in ² + ² = ² liefert: (x)² + ² = ( + k²)² 4x² = 4k² + 4 k 4 x = k² k x muss lso durh k teilr sein, lso x = k l. Zusmmenfssung: = k l, = l² - k², = k² + l² - k² = l² + k² ) = mn, = (n² - 1)m, = (n² + 1)m 3) ufge us einem Wettewer: n ein Qudrt mit gnzzhliger Seitenzhl sollen vier rehtwinklige niht kongruente Dreieke, die eenflls gnzzhlige Seitenzhlen hen, gelegt werden. Welhes ist die kleinste Summe ller Kntenlängen? 5 13 1 37 1 1 0 35 15 1 9 Verllgemeinerung des Stzes von Pythgors 1) Üer den Seiten eines rehtwinkligen Dreieks werden ähnlihe Polygone errihtet. Dnn ist die Summe der Fläheninhlte der Kthetenpolygone gleih dem Fläheninhlt des Hypotenusenpolygons. Beweis mit Hilfe des Ähnlihkeitsfktors k und der Äquivlenz ² + ² = ² k² + k² = k² ) Pppos: B ist ein elieiges Dreiek und '' zw. BB''' sind elieige Prllelogrmme üer den Seiten zw. B. Die Gerden '' und B''' shneiden sih in S. '' und BB'' seien prllel zu S und gleihlng wie S. Dnn ist die Flähe des Prllelogrmms ''B''B gleih der Summe der Flähen der Prllelogrmme '' und BB'''. 8
(Sherungseweis) 3) Gegeen ist ein rehtwinkliges Tetreder (d.h. die Knten, die sih in der Spitze shneiden stehen prweise senkreht ufeinnder). Dnn gilt: In einem rehtwinkligen Tetreder ist die Summe der Qudrte der drei Seitenflähen gleih dem Qudrt der Flähe des Bsisdreieks. Beweise: http://did.mt.uni-yreuth.de/~mtthis/geometrieids/pythgors/html/node10.html IV. nwendungen us der Fülle der nwendungsproleme seien hier nur gennnt: 1. In ein 50 m hohes Zimmer führt eine 00 m hohe und 100 m reite Tür. Knn ein zusmmengeuter Shrnk mit den Mßen 40 m (Höhe), 180 m (Breite) und 80 m (Tiefe) in dem Zimmer ufgestellt werden (ohne ihn zu zerlegen)?. Wie weit ist für eine Person mit einer ugenhöhe von 170 m die Horizontlinie entfernt? 3. Die Digonle eines Fernsehildshirms mit dem ildungsformt 4:3 eträgt 6 m. s wird ein Breitwndfilm im ildungsmßst :9 gezeigt. Wie reit sind die shwrzen Steifen n der Shirmseite? 4. in uto der Länge 4,80 m ist zwishen zwei nderen Fhrzeugen geprkt und ht zu diesen jeweils einen stnd von 0,3 m. Ds Fhrzeug ist 1,80m reit. Knn es us der Prklüke herusfhren? 5. Tunnelprolem (siehe m nfng dieser usführungen) 9