ulersche Gerde und Feuerbchscher Kreis ns-gert Gräbe, Leipzig 6. Jnur 1999 Tripel von Gerden, wie etw die öhen, Seitenhlbierenden oder die Winkelhlbierenden eines reiecks, fsst mn unter dem Oberbegriff der cktrnsverslen zusmmen. Neben den gennnten gibt es noch eine Reihe nderer cktrnsverslen, die ebenflls oft bemerkenswerte igenschften besitzen. eknntlich schneiden sich die drei öhen, Seitenhlbierenden, Winkelhlbierenden und Mittelsenkrechten (letztere gehören llerdings nicht zu den cktrnsverslen) jeweils in einem Punkt. rei solche Gerden, die durch einen gemeinsmen Punkt gehen, bezeichnet mn ls konkurrent. Für die Winkelhlbierenden und Mittelsenkrechten ist dies leicht einzusehen, indem mn ihre igenschften ls geometrischer estimmungsort hernzieht. Sie sind beknntlich die Menge ller Punkte, die von zwei gegebenen Gerden (Winkelhlbierende) bzw. zwei gegebenen Punkten (Mittelsenkrechte) gleichweit entfernt sind. us diesen eweisen folgt zugleich die hrkterisierung des jeweiligen Schnittpunkts ls Mittelpunkt des Inbzw. Umkreises. uch für die Seitenhlbierenden ist ein eweis der Konkurrenz nicht besonders schwierig, wenn mn den Strhlenstz und seine Umkehrungen zu hndhben weiß. er Schnittpunkt ist der Schwerpunkt, ws sich besonders einfch us einer vektorgeometrischen Interprettion ergibt, uf die wir hier ber nicht weiter eingehen wollen. ufgbe 1 Überlege ir die etils der jeweiligen eweise. 1 s öhenfußpunktdreieck Schwieriger ist es schon zu beweisen, dss sich die drei öhen eines reiecks in einem Punkt schneiden. This mteril belongs to the Public omin KoSemNet dt bse. It cn be freely used, distributed nd modified, if properly ttributed. etils re regulted by the retive ommons ttribution License, see http://cretivecommons.org/licenses/by/2.0. For the KoSemNet project see http://lsgm.uni-leipzig.de/kosemnet. 1
in direkter eweis könnte etw wie folgt geführt werden: ie öhen us und us mögen sich im Punkt schneiden. ie beiden öhenfußpunkte und F liegen dnn uf zwei Thleskreisen, einem über dem Rdius und einem zweiten über dem Rdius. Zeige, dss die jeweils durch bzw. b mrkierten Peripheriewinkel in nebenstehender Figur gleichgroß sind und leite drus b, dss die dritte öhe des reiecks ist. F ufgbe 2 Überlege ir die etils dieses eweises. ild 1 Neben diesem direkten eweis gibt es noch zwei weitere eweise, die igenschften der öhen nutzen. uf den drei öhen des reiecks sei in den ckpunkten jeweils die Senkrechte errichtet (ild 2). iese drei Gerden bilden ihrerseits ein reieck. F b b ufgbe 3 Zeige (ohne die Konkurrenz der öhen zu verwenden), dss die öhen im lten reieck die Mittelsenkrechten im neuen reieck und somit konkurrent sind. b ild 2 in ähnlich interessntes reieck, ds sogennnte öhenfußpunktdreieck, erhält mn, wenn mn die öhenfußpunkte, und F miteinnder verbindet. 2
ufgbe 4 Zeige, dss die öhen die Winkelhlbierenden im öhenfußpunktdreieck (und dmit konkurrent) sind. F Zeige dzu, dss die in nebenstehender Figur mit mrkierten Winkel lle gleichgroß sind. (inweis: etrchte die Thleskreise über und.) O ieses öhenfußpunktdreieck ht eine Reihe weiterer bemerkenswerter igenschften: 1. ie reiecke F, F und sind einnder ähnlich. 2. ie Lote us uf F, us uf F und us uf sind konkurrent. (Sie schneiden sich im Umkreismittelpunkt O des reiecks.) 3. ezeichnen wir mit α, β, γ die Größen der Innenwinkel im reieck, so gilt O = β γ, O = α γ, O = α β. ufgbe 5 eweise diese eziehungen. 2 s Mittendreieck und die ulersche Gerde in weiteres interessntes reieck, ds in enger eziehung zum reieck steht, erhält mn, wenn mn die drei Seitenmitten,, miteinnder verbindet. ieses sogennnte Mittendreieck ist dem ursprünglichen reieck nicht nur ähnlich, sondern knn us diesem sogr durch eine Streckung um den Fktor 1 2 gewonnen werden, wie mn sofort erkennt, wenn mn die einnder entsprechenden ckpunkte verbindet. In der Tt, diese Verbindungsgerden sind die Seitenhlbierenden, die durch einen gemeinsmen Punkt gehen und von diesem im Verhältnis 2 : 1 geteilt werden, worus die ehuptung nch der Umkehrung des Strhlenstzes folgt. S s Mittendreieck Zwei Figuren heißen in Ähnlichkeitslge, wenn mn zwischen den Punkten der beiden Figuren eine solche Zuordnung treffen knn, dss einnder entsprechende Strecken prllel sind. ie beiden reiecke und befinden sich lso in Ähnlichkeitslge. Interessnterweise folgt us der Prllelität homologer Strecken bereits die xistenz eines Streckungszentrums wie in unserem Fll (ds mn überdies durch Verbinden einnder entsprechender Punkte finden knn). 3
Stz 1 (Stz von esrgue) efinden sich die reiecks und RST in Ähnlichkeitslge, d.h. gilt RS, RT und ST, so gehen die drei Gerden R, S und T durch einen gemeinsmen Punkt (und werden von diesem im selben Verhältnis geteilt). ufgbe 6 Leite diesen Stz us dem Strhlenstz her. (inweis: ie Gerden R und S mögen sich in O schneiden. Zeige, dss dnn O durch T geht.) o <- oehenschnittpunkt N = O o =O Schwerpunkt S -> o Umkreismittelpunkt O -> o ie ulersche Gerde Wenden wir uns nch diesem kleinen inschub wieder unserem Mittendreieck zu. Um einzusehen, dss sich und in Ähnlichkeitslge befinden, benötigen wir die oben gennnte igenschft der Seitenhlbierenden nicht. Um etw die Prllelität von und zu zeigen, reicht eine einfche rgumenttion in der Strhlenstzfigur mit Zentrum usw. ierus und us dem Stz von esrgue folgt nun, dss sich die Seitenhlbierenden in einem Punkt S schneiden und von diesem im Verhältnis 2 : 1 geteilt werden. Wir erhlten einen neuen eweis für die Konkurrenz der Seitenhlbierenden eines reiecks. ber uch die Verbindungsstrecke nderer Pre homologer Punkte geht durch dieses Streckungszentrum und wird von ihm im selben Verhältnis geteilt. etrchten wir die Verbindungsstrecke der öhenschnittpunkte und der beiden reiecke. die öhen im Mittendreieck gerde die Mittelsenkrechten im usgngsdreieck sind, fällt mit dem Umkreismittelpunkt O des reiecks zusmmen. Wir erhlten folgenden Stz 2 ie Verbindungsstrecke O von Umkreismittelpunkt O und öhenschnittpunkt des reiecks geht durch dessen Schwerpunkt S und wird von diesem im Verhältnis 2 : 1 geteilt. ie drei Punkte, S und O liegen lso uf einer gemeinsmen Gerden, die mn ls die ulersche Gerde bezeichnet. en Umkreismittelpunkt O des Mittendreiecks finden wir uf dieselbe Weise: die Verbindungsstrecke OO ebenflls durch ds gemeinsme Streckungszentrum S verlufen muss und von diesem im Verhältnis 2 : 1 geteilt wird, liegt O ebenflls uf der ulerschen Gerden und fällt mit dem Mittelpunkt N der Strecke O zusmmen. ie etils erschließen sich leicht us nebenstehender Figur. 4
3 er Feuerbchsche Kreis s Mittendreieck entstnd us durch Streckung mit dem Zentrum S. Strecken wir es um den Fktor 1 2 mit dem Zentrum, so gehen die ckpunkte,, in die Mitten der oberen öhenbschnitte U, V, W über. iese Punkte sind bemerkenswert, weil sich dort die Zentren der Thleskreise befinden, die sich z.. für die Lösung der ufgbe 2 ls nützlich erwiesen. Offensichtlich befinden sich ds reieck UV W und ds Mittendreieck in Ähnlichkeitslge mit dem Fktor 1 2 : 1 2 = 1, d.h. beide reiecke gehen durch eine Punktspiegelung n ihrem gemeinsmen Streckungszentrum, dessen Lge wir sogleich bestimmen wollen, ineinnder über. wir den Streckungsfktor schon kennen, finden wir ds Zentrum ls Mittelpunkt jeder Strecke, die Originl- und ildpunkt miteinnder verbinden. Offensichtlich ist der öhenschnittpunkt im reieck UV W. wir schon wissen, dss O der öhenschnittpunkt im reieck ist, erhlten wir lso ls Streckungszentrum in diesem Fll den uns bereits wohlbeknnten Punkt N. UV W entsteht lso durch rehung von um N um einen Winkel von 180. Wir erinnern uns, dss N zugleich der Umkreismittelpunkt von ist. er Umkreis dieses reiecks ist dmit zugleich Umkreis des reiecks UV W. in Kreis, der durch 6 derrt bemerkenswerte Punkte in einem reieck verläuft, verdient einen eigenen Nmen. Mn nennt diesen Kreis den Feuerbchschen Kreis. uf nebenstehender Figur erkennen wir, dss er (in dieser Figur) drei weitere bemerkenswerte Punkte pssiert, die öhenfußpunkte. s ist kein Zufll: U ein urchmesser des Feuerbchkreises ist, muss nch dem Thlesstz der öhenfußpunkt uf dessen Peripherie liegen. Ähnliches gilt für die beiden nderen öhenfußpunkte und F. 5
U N O V W er Feuerbchsche Kreis Stz 3 er Feuerbchkreis ist der gemeinsme Umkreis des Mittendreiecks und des öhenfußpunktdreiecks. r verläuft weiterhin durch die drei Mittelpunkte der oberen öhenbschnitte. ss der Feuerbchkreis der gemeinsme Umkreis des Mittendreiecks und des öhenfußpunktdreiecks ist, wusste schon uler (1765), weshlb mn diesen Kreis oft uch den ulerschen Kreis nennt. Whrscheinlich wr diese igenschft ber bereits vorher beknnt. inen vollständigen eweis ller ussgen obigen Stzes findet mn erstmls bei Poncelet (1821). Feuerbch fnd eine weitere wirklich bemerkenswerte igenschft dieses Kreises, weshlb mn heute seinen Nmen mit diesem Kreis verbindet: er Feuerbchkreis berührt den Inkreis und die drei nkreise des reiecks. in eweis knn n dieser Stelle nicht geführt werden, weil dzu weitere (elementrgeometrische) ilfsmittel erforderlich sind. der Feuerbchkreis des reiecks ber zugleich der Feuerbchkreis der reiecke, und ist (wrum?), berührt er uch deren In- und nkreise, lso insgesmt 16 spezielle Kreise. in wirklich bemerkenswertes geometrisches Objekt! ttribution Section grebe (2004-09-09): ontributed to KoSemNet 6