Integrlrechnung Definition des bestimmten Integrls Die Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Grundufgbe der Integrlrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will mn beispielsweise den Inhlt der Fläche unter dem Grph der beschränkten Funktion f : [, b] R ermitteln, so zerlegt mn ds Intervll [, b] durch Punkte = x 0 < x < x <... < x n = b und bezeichnet eine solche Zerlegung mit Z n. Mn wählt ußerdem Zwischenpunkte ξ k [x k, x k ], k =,..., n. Die sogennnte Riemnnsche Summe S(Z n ) := n f(ξ k )(x k x k ) stellt die Summe der Flächen ller Rechtecke [x k, x k ] [0, f(ξ k )] dr. k= Wenn mn diese Zerlegung immer mehr verfeinert, d.h. die Zhl der Zerlegungspunkte erhöht und diese immer dichter zusmmenliegen, so ist intuitiv klr, dss die Riemnnsche Summe immer besser die gesuchte Fläche unter der Kurve pproximiert. Definition. Es sei f eine uf dem Intervll [, b] definierte Funktion. Existiert unbhängig von der Whl der Zerlegung und der Zwischenpunkte der Grenzwert lim n n f(ξ i )(x i x i ) =: i= b f(x), so heißt er ds bestimmte Integrl von f über [, b], die Rndpunkte heißen Integrtionsgrenzen. f wird Integrnd gennnt.
Stz. Es sei f eine uf dem Intervll [, b] definierte, beschränkte Funktion, die n höchstens endlich vielen Stellen nicht stetig ist (ein solche Funktion nennt mn stückweise stetig), dnn existiert ds Integrl b f(x). Beispiel: e x 0 Differentition und Integrtion Definition. Eine uf dem Intervll I differenzierbre Funktion F heißt Stmmfunktion von f, wenn F (x) = f(x) für lle x I gilt.
Stz. (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Es sei f : [, b] R eine stetige Funktion. Dnn gilt:. Existenz von Stmmfunktionen. Die durch F (x) := x f(t) dt, x [, b], definierte Funktion ist eine Stmmfunktion von f. Jede ndere Stmmfunktion von f ht die Form F(x) = F (x) + C, C R.. Integrlberechnung. Mit einer beliebigen Stmmfunktion F von f gilt: b f(x) = F(x) b := F(b) F(). Stz 3. (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es eine Stelle ξ (, b), so dss b f(x) = (b )f(ξ). 3 Integrtionsmethoden 3. Prtielle Integrtion Für je zwei uf einem Intervll I = (, b) stetig differenzierbre Funktionen u und v ist wegen der Produktregel der Differentilrechnung (uv) = u v + uv die Funktion uv eine Stmmfunktion von u v + uv, d.h. [u (x)v(x) + u(x)v (x) ] = u(x)v(x) + C 3
bzw. Formel der prtiellen Integrtion. u (x)v(x) = u(x)v(x) u(x)v (x). Für ds bestimmte Integrl lutet die entsprechende Formel: b u (x)v(x) = u(x)v(x) b b u(x)v (x). Beispiele: xe x ln x sin x 3. Substitutionsmethode Grundlge für die Substitutionsmethode der Integrlrechnung ist die Kettenregel der Differentition d F(g(x)) = F (g(x))g (x), d.h. mit f(x) = F (x), ist F(g(x)) eine Stmmfunktion von f(g(x))g (x). Substitutionsregel I. f(g(x))g (x) = F(g(x)) + C. Für ds bestimmte Integrl erhält mn dmit b f(g(x))g (x) = F(g(b)) F(g()). 4
Beispiele: f (x) f(x) e sin x cos x b ln x x Substitutionsregel II. Berechnung des Integrls f(x). Wir substituieren: x = g(y) mit einer umkehrbren Funktion g, dnn ist = g (y) dy und = g(y ) y = g () und b = g(y b ) y b = g (b) und dmit gilt für ds unbestimmte Integrl: f(x) = f(g(y)) g (y) dy = H(y) + C = H(g (x)) + C und für ds bestimmte Integrl: b f(x) = g (b) g () f(g(y)) g (y) dy. Beispiele: b cos (3x + 4) 3 x 3x + 9 0 5
x 3.3 Integrtion rtionler Funktionen Es geht hierbei um die Integrtion echt gebrochen rtionler Funktionen. Im Allgemeinen ist eine gebrochen rtionle Funktion von der Gestlt f(x) = P(x) Q(x) = g(x) + p(x) Q(x) () mit Polynomen P, Q, g, p. Die Funktion heißt echt gebrochen rtionl, wenn der Polynomgrd des Zählerpolynoms kleiner ls der Polynomgrd des Nennerpolynoms ist. Ist die gebrochen rtionle Funktion nicht echt gebrochen rtionl, so knn mn immer ein Polynom bdividieren, so dss die verbleibende gebrochen rtionle Funktion echt gebrochen rtionl ist. Dies ist in der Formel () drgestellt. Die gebrochen rtionle, wobei der Polynomgrd von P(x) größer ls der Polynomgrd von Q(x), knn durch Division in ein Polynom g(x) und eine echt gebrochen rtionle Funktion p(x) Q(x) zerlegt werden. Ds Polynom g(x) knn leicht integriert werden, so dss wir nur echt gebrochen rtionle Ausdrücke untersuchen müssen. Funktion P(x) Q(x) Beispiele: f(x) = x5 3x 3 + x + x x 6
f(x) = x4 x 3 x x + 3 x 3 3.3. Prtilbruchzerlegung Ausgngspunkt für die Prtilbruchzerlegung ist eine echt gebrochen rtionle Funktion f(x) = p(x) q(x) mit der Eigenschft, dss der Grd des Zählerpolynoms p(x) echt kleiner ls der Grd des Nennerpolynoms q(x) ist. Dnn werden folgende Schritte durchgeführt:. Schritt: Herstellen einer Produktdrstellung des Nennerpolynoms der folgenden Form: q(x) = c (x ) k (x ) k (x r ) k r (x + b x + c ) l (x + b x + c ) l (x + b s x + c s ) l s, dbei stehen die Terme in der ersten Zeile für reelle Nullstellen des Nennerpolynoms und die Exponenten k i geben die Vielfchheit der reellen Nullstelle i n. Die Terme in der zweiten Zeile stehen für Pre konjugiert komplexer Nullstellen des Nennerpolynoms (sind lso Polynome. Grdes ohne reelle Nullstellen) und der Exponent l i gibt die Vielfchheit dieses Pres nicht-reeller Nullstellen n.. Schritt: Gemäß der erhltenen Zerlegung des Nennerpolynoms folgt der Anstz: ({ p(x) q(x) = c A (x ) + A (x ) +... + A } k (x ) k { A + (x ) +... + A } k (x ) k +... + A rk r (x r ) k r { B x + C + (x + b x + c ) + B x + C (x + b x + c ) +... + B } l x + C l (x + b x + c ) l { B x + C + (x + b x + c ) +... + B } l x + C l (x + b x + c ) l +... + B ) sl s x + C sls (x + b s x + c s ) l s 7
mit unbeknnten Koeffizienten A jk, B il, C il. 3. Schritt: Berechnung der unbeknnten Koeffizienten A jk, B il, C il. Dzu wird zunächst die Anstzgleichung mit dem Nennerpolynom q(x) multipliziert. Nun ergeben sich Bestimmungsgleichungen für die unbeknnten Koeffizienten entweder durch Koeffizientenvergleich oder durch Einsetzen spezieller x-werte (z.b. x =,,...). Beispiele: f(x) = p(x) q(x) = x + 4x 9 (x )(x + 3)(x 4) f(x) = p(x) q(x) = 9x x + 9 (x ) (x + x + 5) 8
f(x) = p(x) q(x) = x3 + x x + (x + ) Die bisher behndelten Integrtionsregeln genügen, um jede gebrochenrtionle reelle Funktion zu integrieren. D mn eine solche stets in die Summe us einem Polynom und einer echt gebrochenrtionlen Funktion zerlegen knn und Polynome einfch zu integrieren sind, bruchen wir uns nur noch überlegen, wir wir mit dem echt gebrochenrtionlen Anteil verfhren. Dfür wenden wir die Zerlegung in reelle Prtilbrüche n. Wegen der Linerität des Integrls müssen wir lediglich die Integrle zu den Prtilbrüchen ngeben, nämlich folgende: (i) (ii) (iii) x, (x ) k, k >, x + px + q, (iv) (v) (vi) x + b x + px + q, (x + px + q) k, k >, x + b (x, k >, + px + q) k wobei die Nennerpolynome x + px + q keine reellen Nullstellen mehr hben, d.h. die Diskriminnte ( p ) q ist negtiv. Hndeln wir lle Fälle b: (i) Linere Substitution in einem Grundintegrl: x = ln x + C 9
(ii) Linere Substitution in einem Grundintegrl: (x ) k = k (x ) k + C (iii) Linere Substitution in einem Grundintegrl: x + px + q = = ( x + p q p 4 q p 4 ) + ( q ( p )) = rctn x + p q p 4 q ( p ) + C, ( x+ p q p 4 ) + x + px + q = rctn x + p + C. 4q p 4q p (iv) Wir frisieren den Zähler so, dss wir uf die oben besprochene Form Ableitung durch Funktion kommen: x + b x + px + q = x + p x + px + q + b p x + px + q, x + b x + px + q = ( ln x + px + q + b p ) x + px + q. Ds verbleibende Integrl ist in (iii) gelöst worden. (v) Wir gehen von (x + px + q) k us und integrieren prtiell, wobei v (x) =, u(x) = (x + px + q) k gesetzt wird, d.h. v(x) = x, (k )(x + p) u (x) = (x + px + q) k : = (x + px + q) k = x x(k )(x + p) (x + px + q) k + (x + px + q) k x (x + (k ) + px + q) k x + px + q (x + px + q) k } {{} = (x + px + q) k +(k ) px q (x + px + q) k 0
Fsst mn die beiden gleichen Integrle zusmmen, ergibt sich = (3 k) (x + px + q) k = x (x + px + q) k + ( k)p x + p (x + px + q) k ( k) p + 4q + (x + px + q) k x (x + px + q) k + p (x + px + q) k + ( k)( p + 4q) (x + px + q) k. Dmit sind wir beim gesuchten Integrl ngekommen und können nch diesem umstellen: (x + px + q) k = x + p (k )(4q p )(x + px + q) k + (3 k) ( k)(4q p ) (x + px + q) k. Dies ist eine Rekursionsformel, die ds gesuchte Integrl für k > uf ein Integrl desselben Typs mit Exponent k bzw. für k = uf den Fll (iii) zurückführt. (vi) Unsere Strtegie ist wieder, den Zähler dditiv zu zerlegen: x + b (x + px + q) k = x + p (x + px + q) k + x + b (x + px + q) k = ( ( k + )(x + px + q) k + b p (x + px + q) k b p Ds verbleibende Integrl ist schon in (v) behndelt worden. ) (x + px + q) k Beispiele: x + 4x 9 (x )(x + 3)(x 4) 9x x + 9 (x ) (x + x + 5)
x 3 + x x + (x + ) 4 Uneigentliche Integrle Bisher hben wir bestimmte Integrle b f(x) untersucht, bei denen eine beschränkte Funktion f über ein ebenflls beschränktes, bgeschlossenes Intervll integriert wurde. Nun erweitern wir den Integrlbegriff. Definition 3. Wir sgen, ds uneigentliche Integrl f(x) konvergiert, flls f integrierbr ist uf [, b] für lle b > und f(x) := lim b existiert. Sonst sgen wir, ds Integrl divergiert. b f(x) Auf nloge Weise wird uch die Konvergenz oder Divergenz des Integrls b erklärt. Beispiele: x f(x) x
Auch ds uneigentliche Integrl lässt sich ls (vorzeichenbehftete) Fläche unter einer Kurve deuten. Definition 4. Flls f : R R eine Funktion ist, so dss existieren, so sgen wir, dss f(x) := 0 f(x) und f(x) konvergiert, mit dem Wert 0 f(x) + 0 f(x). 0 f(x) beide Mn bechte, dss ds nicht gleichwertig zur Existenz des Grenzwertes lim f(x) ist. Dieser ist z.b. für die Funktion f(x) = x Null, während beide uneigentlichen Integrle divergieren. Es gibt noch ndere Arten unbestimmter Integrle: Definition 5. Mn schreibt für eine Funktion f : [, b) R b und sgt, ds uneigentliche Integrl f(x) := lim ε 0+ b b ε f(x), f(x) konvergiert, flls der rechtsstehende Grenzwert und die in ihm uftretenden Integrle existieren. Andernflls nennt mn ds Integrl divergent. 3
Für Funktionen f : (, b] R geht mn nlog vor. Beispiele: x 0 x 0 Definition 6. Ist f : [, b] \ {c} R uf einem Intervll [, b] mit Ausnhme eines Punktes c definiert, so bedeute b f(x) := c f(x) + b c f(x), flls beide rechtsstehenden uneigentlichen Integrle existieren. Beispiel: x Mn bechte, dss obige Definition nicht gleichwertig ist zur Existenz des Grenzwertes ( c ε ) b lim f(x) + f(x). () ε 0+ c+ε 4
Dieser ist z.b. für die Funktion f(x) = x uneigentlichen Integrle divergieren. uf [, ] \ {0} gleich Null, obwohl beide Flls nur () existiert, dnn spricht mn vom Cuchyschen Huptwert des Integrls, geschrieben v.p. v.p. steht für vleur principle. Wir hben lso b f(x). v.p. x = 0. Beispiel: { x, wenn x < 0 f(x) mit f(x) = x + x, wenn x > 0 5