Mathe-Abitur ab 24: Fundus für den Pflichtbereich Lösungen () Die Autoren übernehmen keine Garantie für die Richtigkeit der Lösungen. Auch wurde sicher nicht immer der kürzeste und eleganteste Lösungsweg eingeschlagen. Einfache Berechnungen sind häufig nicht ausführlich dargestellt, Lösungsideen aber in der Regel skizziert. Damit können diese Lösungen sowohl den Weg weisen, wie die Aufgaben zu lösen sind, als auch zur Überprüfung eigener Berechnungen dienen. An wenigen Stellen werden auch alternative Lösungsstrategien dargestellt. Dies geschah dann, wenn sehr unterschiedliche Wege zur Lösung der Aufgabe führen. Analysis 2. f () = ² cos 2 + 2) + sin 2 + 2) 2 2 2 2 2 2. a. f () = 2 e + ( 2)e = 2 e ( ) (Produktregel) b. g () = e 2(k + e ) (Kettenregel) c. h () = 6 + 3² (Kettenregel) d. k () = 3 ln(3) 9,5 ln(3) + 3 + = (Produkt- u. Kettenregel) 2 3 3. a. F() = 8 + 6 b. F() = 3( 3 ³ - 4-2 e-2 ) = ³ + 6 e -2 (lin. Subst.) c. F() = - 2 2 9 + 2 = - 9 + 2 (lin. Subst.) 4. a.. Probieren liefert: = - 2. Pol.div.: (³+ 2² - 4 5):( + ) = ² + 5 3. ² + 5 = ± 2 2,3 = 2 b. Substitution: 2 z = e liefert z = und z 2 = - 2 => = (einzige Lsg.)
= 5. a. Substitution: z = ² liefert z =,25 und z 2 = - => ±,2 2 b. Durchmultiplizieren mit HN = ² - 6: 2( + 4) + 3( 4) = 4(² + 2 8) = 4 D 2 = 8 L = {8} 6. f() = a³ + b² + c + d f () = 3a² + 2b + c f () = 6a + 2b Ursprung ist Kurvenpunkt: f() = a + b + c + d = => d = berührt -Achse im Ursprung : f () = 3a + 2b + c = => c = W(- 2) ist Kurvenpunkt: f(- ) = -a + b = 2 a = W(- 2) ist Wendepunkt: f (- ) = -6a + 2b = b = 3 Gesuchte Funktionsgleichung: f() = ³ + 3² 7. Das Schaubild muss durchgehend und knickfrei sein, also müssen die beiden Teilfunktionen h und h 2 in = 2 denselben Funktionswert und dieselbe Steigung haben. Es ist h 2 (2) = 6 und h 2 () = 2, also h 2 (2) = 4 Somit muss gelten: h (2) = 6 und h (2) = 4, die entsprechenden Gleichungen liefern s = 8 und t = -6. 8. a. y y 5 5 O 5 O 5 y O 5
b. f f 2 f 3 trifft zu: - - trifft nicht zu: - 2 - - 3-4 - - - 5 - - 9. waagr. Tangente, da die Funktion die. Ableitung der Stammfunktion ist.. a. Ableitung Integralfunktion b. (A): richtig, da nur bei = 2 eine waagerechte Tangente vorhanden ist. (A2): falsch, denn:. Nullstelle bei =. 2. Nullstelle ergibt sich, wenn man von aus ins Positive fortschreitend die Flächen oberhalb der -Achse mit denen unterhalb verrechnet. Ein Ausgleich (Nullst. der Integralfkt.) ergibt sich irgendwo zw. = und = 2. (A3): richtig, die Etremstellen befinden sich bei den Nullstellen der Fkt. f (Begründung siehe Aufg. 9!).. a.
b. Kurve geht durch P(2 3), welcher Wendepunkt ist. Die Wendetangente ist parallel zur 2. Winkelhalbierenden (y = -). 2. () r, da f (- ) = und. Abl. hat pos. Steigung, d. h. f (- ) > (2) unentscheidbar, da f nur Aussagen über die Steigung, nicht aber über absolute Werte von f zulässt. (3) r, da f () =. Also hat das Schaubild von f die Steigung, ebenso wie die Gerade y = 7. (4) f, da die Ableitung in diesem Bereich negative (für < - ) wie positive (für > - ) Werte besitzt, die Funktion h also für < - streng mon. fallend, für > - streng mon. steigend ist. 3. a. In den ersten 4 Tagen steigt die Zahl der Besucher pro Tag an, d.h. die Homepage erfreut sich zunehmender Beliebtheit. Nach ca. 8 Tagen (Wendepunkt) nimmt das Wachstum nicht mehr zu, d.h. der Neuigkeitswert der Homepage sinkt. Nach ca. 4 Tagen (Hochpunkt) nimmt die Zahl der Besucher pro Tag absolut ab, allerdings mit nachlassender Geschwindigkeit. Die Firma sollte neue Inhalte auf ihre Homepage bringen oder mehr für sie werben. Nach ca. 8 Tagen ist die tägliche Besucherzahl auf die Hälfte ihres Spitzenwerts abgesunken: Alarmsignal b. Eine Stelle E heißt lokale Etremstelle, wenn es eine Umgebung von E gibt, in der f( E ) der größte bzw. kleinste aller Funktionswerte ist. Bestimmung: Man sucht Stellen, an denen f () = (notw. Bdg.) und f () bzw. die. Abl. einen VZW hat. Beispiel: f () = 3 (-2) e -² = -6 e -² = = Da e -² > für alle, sieht man sofort, dass f () bei = einen VZW hat. c. z. B.: f() = oder f() = e oder eine beliebige streng monotone Fkt. 4. f () = 2 e- + 2 (-e- ) = 2 e- ( ) f () = 2e = und die. Abl. hat bei einen VZW, denn dort wechselt die Klammer ihr Vorzeichen, während 2 e- > (immer)
5. f () = 4 ³ + 2 ² + 2 + 4 f () = 2 ² + 24 + 2 f (- ) = (*) notw. Bdg. erfüllt f (- ) = 2. Abl. als hinr. Bdg. ungeeignet VZW der. Abl. bei? Faktorisieren des Terms der. Abl.: f () = 4(³ + 3² + 3 + ) = 4( + )(² + 2 +), denn ist Nullst.(s. (*)!) = 4( + ) ( + )² bin. Formel = 4( + )³ Man sieht leicht, dass dieser Term bei = - einen VZW von nach + hat (Hinr. Bdg. f. Tiefpkt.) 6. a. f () = - + 2 = 2 - Normalhyperbel, zuerst an der -Achse gespiegelt, sodann um 2 LE nach oben verschoben. b. f() = 2 sin( ) + 2 Sinuskurve, um LE nach rechts verschoben, um den Faktor 2 in y-richtung gestreckt und um 2 LE nach oben verschoben 7. a. f g Bei = und bei = 2 sind die Funktionswerte von f und g betragsgleich, haben aber unterschiedliches Vorzeichen. Die Summenfkt. hat demzufolge an diesen Stellen eine Nullstelle. oder: h() = 2 + - 4 ² - = 2 ( - 2 ) 2 = für = ; ( - 2 ) = für = 2
8. Gerade in üblicher Darstellung: y = - 6 + 2 Steigung: - 6 Orth. Gerade hat die Steigung 6. Wo hat das Schaubild von f die Steigung 6? f () = 3² + 6 = 6 = Die gesuchte Tangente ist somit die Ursprungsgerade mit der Gleichung y = 6. 9. Die Ableitung der Funktion f an der Stelle ist die Steigung der Tangente des Schaubilds von f im Punkt P( f( ) ). oder: Die Ableitung der Funktion f an der Stelle ist oder: Die Ableitung der Funktion f an der Stelle ist f'( f'( ) = ) = f() f( lim f( lim h h ) + h) f( ) 2. Sei die Länge der Rechteckseite, die die Einfahrt enthält. y A = y und 2y + 2 2 = 6 y = - + 3 (*) Einsetzung: A() = (- + 3) = -² + 3 A () = -2 + 3 = = 6,5 A () = -2 für alle Man wähle also = 6,5 m, wegen (*) auch y = 6,5 m, also das Quadrat.
2. P f(u) A B u A(u) = 2 (u + 2) f(u) = 2 (u + 2) (2 u² 2 = - u³ 4 - u² 2 + u + 2 A (u) = - 3 4 u² - u+ = u = 2 3 ; u 2 = -2 (Hier Dreieck minimal, siehe Zeichnung!) A (u) = - 3 2 u A ( 2 3 ) = -2 Maimum Das Dreieck ist für u = 2 3 von maimalem Flächeninhalt. + 22. a. A = e )d = [ e + e ] = + ( e e) = (e b. lim f() = e, also ist die Gerade mit der Gleichung y = e waagerechte Asymptote. A a a a a [ e + e ] = ae + e ( + ) ae + e = (e e )d = = 2 Dieser Term strebt für a gegen unendlich. Es gilt also nicht A = A 2. 23. a. Asymptote: y = 2 Die As. markiert die Grenztemperatur, der sich die Flüssigkeit während des Erwärmungsvorgangs annähert. Im vorliegenden Fall ist dies die Raumtemperatur. b. Die Erwärmungsgeschwindigkeit ist die Ableitung der Temperaturfunktion, im Schaubild also die Steigung der Kurve. Diese ist zu Beginn des Erwärmungsvorgangs, also für t = am größten.
c. (2 5e )d = 2 + 5 ( )e 5 5 = (2 ( + 5)) = 5 + e e Die zugehörigen Aufgaben findet man im Internet unter http://www.sembs.rv.bw.schule.de/pfeiffer/abiaufg/pflfun.pdf