Quaniaives Risikomanagemen Dynamische Kredirisikomodelle II Jens Brumhard Mahemaisches Insiu der Universiä zu Köln Winersemeser 9/1 Bereuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg
Inhalsverzeichnis 4 Pricing mi zweifach sochasischen Ausfallzeien 1 4.1 Recovery Zahlungen für Unernehmensanleihen................. 1 4.2 Das Modell..................................... 2 4.3 Pricing Formeln................................... 2 4.4 Anwendungen.................................... 5 5 Affine Modelle 7 5.1 Elemenare Ergebnisse............................... 8 5.2 Die CIR Wurzel-Diffusion.............................. 1 5.3 Erweierungen.................................... 11 6 Beding unabhängige Ausfälle 13 6.1 Inensiäsmodelle für Kredirisiko bei Porfolios................ 13 6.2 Beding unabhängige Ausfallzeien........................ 13 6.3 Beispiele und Anwendungen............................ 17 Lieraurverzeichnis i
4 Pricing mi zweifach sochasischen Ausfallzeien 4.1 Recovery Zahlungen für Unernehmensanleihen Zur Noaion: p 1, T bezeichne den Preis einer Unernehmens Nullkuponanleihe zum Zeipunk mi Laufzei T und p, T bezeichne den Preis der ensprechenden ausfallfreien Nullkuponanleihe. Der Nominalwer dieser Anleihen sei immer eins. Die Zufallsvariable δ τ modelliere die Verlusquoe. Die folgenden drei Modelle sind of in der Lieraur zu finden: Das Recovery of Treasury Modell, kurz RT, wurde 1995 vorgeschlagen von Rober Jarrow und Suar Turnbull. Falls zu einem beliebigen Zeipunk τ T ein Ausfall aufri, erhäl der Haler der ausgefallenen Anleihe eine Recovery Zahlung in Höhe von 1 δ τ. Zur Fälligkei T erhäl der Haler der ausfallgefährdeen Anleihe daher die Zahlung p 1 T, T = I {τ>t } + 1 δ τ I {τ T }. Insbesondere für ein δ τ δ, 1 erhalen wir p 1 T, T = 1 δ + δi {τ>t }. Somi is der Preis der Unernehmensanleihe zur Zei < T gleich p 1, T = 1 δp, T + δi {τ>t }. Im Recovery of Face Value Modell, kurz RF, erhäl der Haler der Anleihe, falls bei τ T ein Ausfall aufri, sofor zum Ausfallzeipunk τ eine Recovery Zahlung in Höhe von 1 δ τ. Der Wer zur Fälligkei T is somi p 1 T, T = I {τ>t } + 1 δτ p τ,t I {τ T }. Selbs bei deerminisischer Verlusquoe δ τ δ, 1 und deerminisischen Zinssäzen is der Wer der Recovery Zahlung zur Fälligkei T zufällig. Dies mach das Pricing der Recovery Zahlungen bei RF schwieriger als bei RT. Die Annahmen des Recovery of Marke Value Modells, kurz RM, wurden 1999 von Darrell Duffie und Kenneh Singleon vorgebrach. Der Haupvoreil lieg darin, dass es zu einfachen Pricing Formeln für Unernehmensanleihen führ. Uner RM wird angenommen, dass die Recovery Zahlung zur Ausfallzei τ T gegeben is durch einen Aneil 1 δ τ des Weres der Anleihe vor dem Ausfall. Dies is eine rekursive Definiion, da der Wer vor dem Ausfall von der Recovery Zahlung abhäng. Trozdem is es uner gewissen Annahmen möglich, einen spezifischen Preis für Unernehmensanleihen zu erhalen, wobei Recovery uner den Annahmen von RM modellier is Proposiion 4.4.1. 1
4.2 Das Modell Wir berachen eine Firma deren Ausfallzei durch eine zweifach sochasische Zufallszei gegeben is. Die ökonomische Hinergrundfilraion sell die Informaionen dar, die durch ein arbiragefreies und vollsändiges Modell für nich ausfallgefährdee Werpapierpreise erzeug worden sind. Konkreer, bezeichne mi Ω, F, F, Q einen filrieren Wahrscheinlichkeisraum, wobei Q bereis das risikoneurale Maß is. Die Preise von ausfallfreien Werpapieren, wie ewa ausfallfreie Anleihen, sind F -adapiere Prozesse. Bezeichne mi r den risikolosen Zinssaz, B = exp r s ds modelliere das Numéraire die risikolosen Spareinlagen. Sei τ die Ausfallzei und sei Y = I {τ } der dazugehörende Ausfall-Indikaorprozess. Wir sezen H = σ {Y s : s } und G = F H. Wir nehmen an, dass man Ausfall beobachen kann und dass Invesoren zu den in der Hinergrundfilraion F enhalenen Informaionen Zugang haben, so dass die den Invesoren zur Zei verfügbaren Informaionen gegeben sind durch G. Wir berachen einen Mark für Krediproduke, der liquide genug is, dass wir den Maringal-Modell Ansaz nuzen können; wir nuzen Q als Pricing Maß für ausfallbedrohe Werpapiere. Ferner nehmen wir an, dass die Ausfallzei τ uner Q eine zweifach sochasische Zufallszei is mi Hinergrundfilraion F und Hazardrae Prozess γ. 4.3 Pricing Formeln Definiion 4.3.1 Vulnerable Claim und Recovery Zahlung Ein Vulnerable Claim is eine F T messbare, zugesichere Zahlung X, welche zum Zeipunk T erfolg, falls es keinen Ausfall gib. Dabei ensprich XI {τ>t } der eigenlichen Zahlung des Vulnerable Claims. Eine Recovery Zahlung zum Ausfallzeipunk τ is von der Form Z τ I {τ T }, wobei Z = Z ein F -adapierer sochasischer Prozess is und T die Fälligkei der Recovery Zahlung. Zu diesen Bauseinen ein Beispiel: Beispiel 4.3.2 Gefährdee Opion Berache eine europäische Call Opion mi Ausübungspreis K und Laufzei T auf einem ausfallfreien Werpapier S und nehme an, dass dessen Emien zahlungsunfähig sein kann. Angenommen der Haler der Opion erhäl im Falle eines Ausfalls des Emienen zur Zei τ < T einen Aneil 1 δ τ des Weres der Opion zum Zeipunk des Ausfalls, dann kann dies modellier werden als eine Kombinaion aus dem Vulnerable Claim S T K + I {τ>t } und der Recovery Zahlung 1 δ τ S τ K + I {τ T }. Für den Wer des Calls gil somi V = S T K + I {τ>t } + 1 δ τ S τ K + I {τ T }. 2
Gemäß der Preisformel H = BE Q BT 1 H G, T, erhalen wir für einen beliebigen, nichnegaiven, G T messbaren Claim H: H = E exp Q r s ds H G 4.3.4 Berache einen ausfallfreien Claim mi F T messbarem Pay-Off X. Da τ eine zweifach sochasische Zufallszei is, nüz uns die in G enhalene zusäzliche Informaion über den Ausfallverlauf nichs bei der Berechnung des bedingen Erwarungswers 4.3.4 und es läss sich schreiben E exp Q r s ds X G = E exp Q r s ds X F Saz 4.3.3 Pricing Formeln Angenommen τ is, uner Q, zweifach sochasisch mi Hinergrundfilraion F und Hazardrae Prozess γ und die Zufallsvariablen T T s exp R s ds X und Z s γ s exp R u duds sind inegrierbar bezüglich Q; definiere R s := r s + γ s. Dann gelen die folgenden Ideniäen: E exp Q r s ds I {τ>t } X G = I {τ>} E exp Q R s ds X F 4.3.3.1 für die Pricing Formel des Vulnerable Claim und E I Q {τ>} exp τ r s ds Z τ I {τ T } G = I {τ>} E Q für die Pricing Formel der Recovery Zahlung. Z s γ s exp s R u du ds F 4.3.3.2 Beweis. Wir saren mi der Pricing Formel 4.3.3.1. Definiere die F T messbare Zufallsvariable X T := exp r s dsx. Wir wenden Korrolar 2.8 an mi s = T und Γ = γ s ds und erhalen E Q XI {τ>t } G = I {τ>} E Q exp Γ T Γ X F 3
T Aus der Relaion Γ T Γ = γ s ds γ s ds = T γ s ds und der Definiion von X folg, dass exp Γ T Γ T X = exp r s + γ s ds X und mi R s = r s + γ s schließlich die reche Seie von 4.3.3.1. Als nächses berachen wir die Pricing Formel 4.3.3.2. Mi Lemma 2.7 erhalen wir E I Q {τ>} exp τ r s ds Z τ I {τ T } G Beache, dass P τ F T = 1 exp gegeben F T gleich f τ FT = γ exp E I Q {τ>} exp τ E Q τ I{τ>} exp r s dsz τ I {τ T } F = I {τ>} P τ > F γ s ds r s ds Z τ I {τ T } FT = 4.3.4.3 γ s ds. Somi is die bedinge Diche von τ. Daraus folg exp Wir blasen die reche Seie der Gleichung auf und bekommen exp s r u du Z s γ s exp s γ u du exp = exp Nun verwenden wir für F F T die Turmeigenschaf E I Q {τ>} exp τ r s ds Z τ I {τ T } F s r u du Z s γ s exp γ u du exp γ u du = E Q E I Q {τ>} exp τ Z s γ s exp s γ u du ds s γ u du ds R u du ds r s ds Z τ I {τ T } FT F 4
und erhalen dadurch E I Q {τ>} exp τ r s ds Z τ I {τ T } F = exp γ u du E Q wobei wir auch genuz haben, dass P τ > F T = exp da exp Z s γ s exp P τ > F = E Q P τ > F T F = exp γ s ds F messbar is. Die Ideniä 4.3.3.2 folg schlussendlich aus 4.3.4.3. s γ s ds und R u du ds F γ s ds 4.4 Anwendungen 1. Credi Defaul Swaps CDS 2. Recovery of Marke Value 3. Credi Spreads und Hazardraen 1. Credi Defaul Swaps: Wie beim lezen Mal schon vorgesell, sind die Prämienzahlungen fällig zu N Zeipunken < 1 < < N. Zu einem Zeipunk k vor dem Ausfall bezahl der Sicherungsnehmer proecion buyer eine Prämie in Höhe von x k k 1, wobei x der Swap Spread in Prozenpunken is. Falls τ N, gib es zudem noch eine angelaufene Prämienzahlung in Höhe von xτ k 1, vorausgesez dass k 1 < τ k. Falls also τ N, leise der Sicherungsgeber proecion seller die Ausfallzahlung in Höhe von δ τ an den Nehmer zum Ausfallzeipunk τ, wobei die Verlusquoe nun ein allgemeiner F -adapierer Prozess is. Mi Hilfe von Saz 4.3.3 können wir beides beweren. Die regulären Prämienzahlungen sellen eine Folge von 5
Vulnerable Claims dar. Somi erhalen wir miels 4.3.3.1 den fairen Preis in =, V Prämie,1 = = x N E exp Q k k=1 N k k 1 E exp Q k=1 r u du x k k 1 I {k <τ} k R u du Die angelaufenen Prämienzahlungen sellen eine Recovery Zahlung dar, wobei Z gegeben is durch Z s = x N s k 1 I {k 1 <s k }. Miels 4.3.3.2 erhalen wir auch hier den fairen Preis in =, k=1 V Prämie,2 = x N E Q k s k 1 γ s exp k 1 k=1 s R u du ds Die Ausfallzahlungen sellen ebenfalls eine Recovery Zahlung dar, diesmal mi Z s = δ s und Fälligkei N. Wir erhalen N k V Ausfall = E Q δ s γ s exp R u du ds 2. Recovery of Marke Value: Proposiion 4.4.1 Angenommen τ is, uner Q, zweifach sochasisch mi Hazardrae Prozess γ, X is inegrierbar und es gelen die RM-Annahmen. Dann is der Wer-Prozess vor dem Ausfall V eindeuig besimm und für T gegeben durch V = E exp Q r s + δ s γ s ds X F 4.4.1.1 Wir bemerken, dass der Claim für δ 1 ein gewöhnlicher Vulnerable Claim is. Dann reduzier sich 4.4.1.1 auf 4.3.3.1. Ferner is der Claim für δ im Wesenlichen ausfallfrei. Dann reduzier sich 4.4.1.1 auf die Sandard Pricing Formel für einen Claim X in einem ausfallfreien Werpapier-Markmodell. 6
3. Credi Spreads und Hazardraen: Mi zweifach sochsischen Ausfallzeien sind der risikoneurale Hazardraen-Prozess γ und der Credi Spread ausfallbedroher Anleihen c, T = 1 T ln p1, T ln p, T eng mieinander verwand. Analyische Resulae lassen sich am einfachsen für den soforigen Credi Spread c, = lim T c, T = T ln p1, T ln p, T 4.4.2 T = ableien. Nehmen wir τ > an, so dass p 1, = p, = 1 gil, erhalen wir für p 1, T und ensprechend für p, T T ln p 1, T = T = T p 1, T 4.4.3 T = Um die Ableiung in 4.4.3 zu berechnen, müssen wir zwischen den verschiedenen Recovery Modellen unerscheiden. Uner RM haben wir durch Proposiion 4.4.1 p 1, T = E Q exp T T T = T = Mi δ bei p, T und 4.4.4 ergib sich p, T = r T T = r s + δ s γ s ds F = r + δ γ 4.4.4 und folglich c, = r + δ γ r = δ γ. Der soforige Credi Spread is also das Produk aus Hazardrae und Verlusquoe. Mi analogen Berechnungen läss sich zeigen, dass auch uner RT und RF c, = δ γ gil. Allerdings unerscheide sich der Credi Spread ensprechend der verschiedenen Recovery Modelle für T >. 5 Affine Modelle In den meisen Modellen, in denen Ausfall mi einer zweifach sochasischen Zufallszei modellier wird, sind r und γ Funkionen einer p dimensionalen Markovschen Zusandsvariable Ψ mi Zusandsraum D R p, so dass R := r + γ von der Form R = RΨ is für eine Funkion R : D R p R +. Daher is die naürliche Hinergrundfilraion gegeben durch F = σ {Ψ s : s }. Wir müssen also bedinge Erwarungswere der Form 7
T E exp RΨ s ds gψ T F für g : D R p R + berechnen. Da Ψ ein Markov Prozess is, is der bedinge Erwarungswer gegeben durch eine Funkion f, Ψ der Zei und des akuellen Weres Ψ der Zusandvariable. Die Funkion f läss sich durch eine parabolische PDGL charakerisieren, was zu dem Ansaz führ, f mi Hilfe von analyischen oder numerischen Mehoden für PDGL zu besimmen. Falls Ψ zur Klasse der affinen Sprung Diffusionen zähl, wobei R eine affine Funkion is und gψ = exp u ψ für ein u R p, dann ha f folgende Gesal: f, ψ = exp α, T + β, T ψ 5.4 mi deerminisischen Funkionen α : [, T ] R und β : [, T ] R p, die durch ein p + 1 dimensionales GDGL Sysem besimm sind, welches einfach numerisch zu lösen is. 5.1 Elemenare Ergebnisse Wir nehmen an, dass die Zusandsvariable Ψ die eindeuige Lösung der SDGL dψ = µψ d + σψ dw Ψ = ψ D 5.1.3 mi Zusandsraum D R is. Hierbei is W eine Sandard eindimensionale Brownsche Bewegung auf einem filrieren Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, F, P, µ : D R und σ : D R + sind seige Funkionen. Berache Funkionen R, g : D R +. Da Ψ Markovsch is, gegeben der akuelle Wer Ψ, is die zukünfige Enwicklung Ψ s s der Zusandsvariable unabhängig von F, und wir erhalen E exp RΨ s ds gψ T F = f, Ψ 5.1.4 für eine Funkion f : [, T ] D R +. Das folgende Lemma liefer die oben angekündige Charakerisierung für f. Dabei bezeichnen unere Indizes die pariellen Ableiungen. 8
Lemma 5.1.1 Feynman-Kac Falls f einmal seig differenzierbar in und zweimal seig differenzierbar in ψ is, lös f das Endwerproblem f + µψf ψ + 1 2 σ2 ψf ψψ = Rψf, ft, ψ = gψ,, ψ [, T D ψ D Umgekehr heiß das: angenommen die Funkion g is beschränk, Rψ 5.1.1.1 ψ D und f : [, T ] D R + is eine beschränke Lösung des Endwerproblems 5.1.1.1. Sei Ψ eine Lösung der SDGL 5.1.3. Dann gil E exp RΨ s ds gψ T F = f, Ψ Die folgende Annahme garanier, dass die Lösung der PDGL 5.1.1.1 mi Endbedingung gψ = exp uψ, uψ für ψ D, von der Form 5.4 is. Beache, dass g 1 für u = ; dies is die dazugehörige Endbedingung für das Pricing von Nullkuponanleihen. Annahme: R, µ und σ 2 sind affine Funkionen von ψ, das heiß, es gib Konsanen ρ, ρ 1, k, k 1, h, h 1 so dass Rψ = ρ + ρ 1 ψ, µψ = k + k 1 ψ und σ 2 ψ = h + h 1 ψ. Für alle ψ D gil außerdem h + h 1 ψ und ρ + ρ 1 ψ. Sei T > vorgegeben. Wir versuchen eine Lösung der Form f, ψ = exp α, T + β, T ψ mi seig differenzierbaren Funkionen α, T und β, T für 5.1.1.1 zu finden. Wegen ft, ψ = gψ = exp uψ erhalen wir sofor die Endbedingungen αt, T = und βt, T = u. Auf Grund der Form von f erhalen wir f = α + βψ f, fψ = β f und f ψψ = β 2 f wobei α und β die Ableiungen von α und β nach der Zei sind. Uner obiger Annahme läss sich 5.1.1.1 nun so schreiben α + βψ f + k + k 1 ψβ f + 1 2 h + h 1 ψβ 2 f = ρ + ρ 1 ψ f Teilen durch f und Umformen liefer α + k β + 1 2 h β 2 ρ + β + k 1 β + 1 2 h1 β 2 ρ 1 ψ = 9
Da die Gleichung für alle ψ D gelen muss, erhalen wir folgendes GDGL Sysem: β, T = ρ 1 k 1 β, T 1 2 h1 β 2, T βt, T = u α, T = ρ k β, T 1 2 h β 2, T αt, T = 5.1.5 5.1.6 Proposiion 5.1.2 Angenommen es gil obige Annahme, das GDGL Sysem 5.1.5, 5.1.6 ha eine eindeuige Lösung α, β auf [, T ] und es gib ein C, so dass β, T ψ C [, T ], ψ D. Dann is E exp RΨ s ds exp uψ T F = exp α, T + β, T Ψ Beweis. β, T ψ C liefer die Beschränkhei für f, ψ = exp α, T + β, T ψ. Das Ergebnis folg aus Lemma 5.1.1. 5.2 Die CIR Wurzel-Diffusion In diesem Modell is Ψ gegeben durch die Lösung der SGDL dψ = κ θ Ψ d + σ Ψ dw Ψ = ψ > 5.2.1 mi Parameern κ, θ, σ > und Zusandsraum D = [,. Im Sinne unserer obigen Annahme sind die Parameer k = κ θ, k 1 = κ, h = und h 1 = σ 2. Es is bekann, dass 5.2.1 eine globale Lösung besiz. Im CIR-Modell können 5.1.5 und 5.1.6 explizi gelös werden. Mi Proposiion 5.1.2 haben wir mi E exp ρ + ρ 1 Ψ s ds F = exp αt + βt Ψ βτ = 2ρ1 e γτ 1 γ κ + e γτ γ + κ ατ = ρ τ + 2 κ θ σ 2 ln 2γe 1 2 τγ + κ γ κ + e γτ γ + κ 5.2.2 5.2.3 1
wobei τ := T und γ := κ 2 + 2σ 2 ρ 1. 5.3 Erweierungen Ein Sprung Diffusions Modell für Ψ. In diesem Abschni nehmen wir an, dass Ψ die eindeuige Lösung der SDGL dψ = µψ d + σψ dw + dz Ψ = ψ D 5.3.3 is. Hierbei is Z ein reiner Sprung Prozess, dessen Sprunginensiä zur Zei gleich λ Z Ψ is für eine Funkion λ Z : D R + und dessen Sprunghöhen Vereilung die Vereilungsfunkion ν auf R ha. Dies bedeue, dass, gegeben eine Trajekorie Ψ ω des Fakorprozesses, Z zu den Sprungzeien eines inhomogenen Poisson Prozesses 1 mi zeivariierender Inensiä λ Z, Ψ spring; die Höhe der Sprünge ha die Vereilungsfunkion ν. Wir nehmen nun an, dass obige Annahme gil und λ Z ψ = l + l 1 ψ is für Konsanen l, l 1, so dass λ Z ψ > ψ D. In diesem Fall sagen wir, dass Ψ einer affinen Sprung Diffusion folg. Bezeichne mi ˆνx = R e xy d νy [, die erweiere Laplace-Sieljes Transformaion von ν für x R mi Definiionsbereich R ansa dem üblichen Definiionsbereich [,. Berache die folgende Erweierung des GDGL Sysems 5.1.5 5.1.6: β, T = ρ 1 k 1 β, T 1 2 h1 β 2, T l 1ˆν β, T 1 α, T = ρ k β, T 1 2 h β 2, T l ˆν β, T 1 5.3.4 5.3.5 mi Endbedingungen βt, T = u für ein u und αt, T =. Angenommen das Sysem 5.3.4, 5.3.5 ha eine eindeuige Lösung α, β und β, T ψ C [, T ], ψ D für l oder l 1 implizier dies, dass ˆν β, T <. Definiere f, ψ = exp α, T + β, T ψ. Dann kann mi ähnlichen Argumenen wie oben gezeig werden, T dass E exp RΨ s ds exp uψ T F = f, Ψ. Beispiel 5.3.1 Das Modell von Darrell Duffie und Nicolae Gârleanu 21 Die Dynamik von Ψ is gegeben durch dψ = κ θ Ψ d + σ Ψ dw + dz 5.3.1.1 1 Die konsane Inensiä λ wird ersez durch eine deerminisische Funkion λ. Das Inegral Λ = λs ds wird als Inensiäsmaß oder auch kumulaive/zunehmende Inensiäsfunkion bezeichne. 11
mi Parameern κ, θ, σ > und einem Sprung Prozess Z mi konsaner Sprunginensiä l > und exponenialvereiler 2 Sprunghöhe mi Parameer 1 µ. Nach Duffie und Gârleanu wird das Modell 5.3.1.1 auch als grundlegende affine Sprung Diffusion bezeichne. Als Nächses berechnen wir die Laplace-Sieljes Transformaion ˆν. Für u > 1 µ erhalen wir ˆνu = e ux 1 µ e x µ dx = 1 1 + µu Für u 1 µ bekommen wir ˆνu =. Wir haben also alle nöigen Zuaen, um die Gleichungen 5.3.4 und 5.3.5 aufzusellen. Im Falle des Modells 5.3.1.1 is es asächlich möglich, diese Gleichungen explizi zu lösen. Allerdings is die explizie Lösung sehr lang, wir verzichen deshalb auf Deails. Anwendung für Recovery Zahlungen. In einem Modell mi einer zweifach sochasischen Ausfallzei τ mi risikoneuraler Hazardrae γψ is der Preis in einer Recovery Zahlung in Höhe von 1 δ zur Ausfallzei τ gemäß Saz 4.3.3 gleich 1 δe γψ s exp s RΨ u du ds F 5.3.6 wobei wieder Rψ = rψ + γψ. Uner Verwendung des Sazes von Fubini-Tonelli is dies gleich 1 δ E γψ s exp s RΨ u du F ds 5.3.7 Wir nehmen nun an, dass γψ = γ + γ 1 ψ, dass Rψ = ρ + ρ 1 ψ und dass Ψ gegeben is durch eine affine Diffusion wie oben eingeführ. In diesem Fall is der Erwarungswer in 5.3.7 gegeben durch eine Funkion F, s, Ψ s, die ausgerechne werden kann, so dass 5.3.7 durch eindimensionale numerische Inegraion berechne werden kann. Definiere für s die Funkion f, s, ψ = exp α, s + β, sψ, wobei α, s und β, s die GDGL 5.3.4 und 5.3.5 mi Endwerbedingungen αs, s = βs, s = lösen. Bezeichne mi ˆν x die Ableiung der Laplace-Sieljes Transformaion von ν. Dann kann man zeigen, dass F, s, ψ = f, s, ψ A, s + B, sψ, wobei A, s und B, s das folgende GDGL Sysem lösen: Ḃ, s + k 1 B, s + h 1 βb, s l 1ˆν βb, s = 5.3.8 A, s + k B, s + h βb, s l ˆν βb, s = 5.3.9 2 Für X Exp 1 µ, µ >, is die Diche fx = 1 µ e x µ, x >, die Vereilungsfunkion F x = 1 e x µ, x >, der Erwarungswer EX = µ und die Varianz V arx = µ 2. 12
mi Endwerbedingungen As, s = γ und Bs, s = γ 1. 5.3.8 und 5.3.9 können wieder direk numerisch ausgewere werden. 6 Beding unabhängige Ausfälle 6.1 Inensiäsmodelle für Kredirisiko bei Porfolios Zur Noaion: Wir berachen ein Porfolio von m Kredinehmern mi Ausfallzeien τ i und Ausfall Indikaorprozessen Y,i = Y i = I {τi }, 1 i m, auf einem Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, P, wobei die Auslegung von P, ob physisches Real World Maß oder risikoneurales Maß, vom Konex abhäng. In den dynamischen Porfolio Kredirisiko Modellen is es voreilhaf, Überlebensfunkionen zu berachen ansa Vereilungsfunkionen. Fi = P τ i > bezeichne die Überlebensfunkion von Kredinehmer i ; F 1,..., m = P τ 1 > 1, τ 2 > 2,..., τ m > m bezeichne die gemeinsame Überlebensfunkion. Wir beschränken uns bei unserer Analyse durchgehend auf Modelle ohne gleichzeiige Ausfälle. Dafür bezeichnen wir die geordneen Ausfallzeien mi T < T 1 < < T m, wobei T = und T n = min {τ i : τ i > T n 1, 1 i m} für 1 n m. Mi ξ n {1,..., m} bezeichnen wir die Ideniä der Firma, die zur Zei T n Ausfall erleide, d.h. ξ n = i, falls τ i = T n. Die Menge der Firmen ohne Ausfall unmielbar nach T n is A n = {1 i m : Y i T n = } = {1,..., m} \ {ξ 1,..., ξ n } für n 1. Wie in den vorigen Abschnien sell F unsere Hinergrundfilraion dar, ypischerweise von einem beobachbaren Prozess Ψ erzeug, der ökonomische Fakoren repräsenier. Außerdem führen wir die Filraionen {H i }, 1 i m, H und G ein mi H i = σ {Y s,i : s }, H = H i H m und G = F H 6.1.1 6.2 Beding unabhängige Ausfallzeien In diesem Abschni diskuieren wir allgemeine mahemaische Eigenschafen von Modellen mi beding unabhängigen Ausfällen. Wir saren mi einer formalen Definiion von beding unabhängigen Ausfällen. 13
Definiion 6.2.1 Beding unabhängige, zweifach sochasische Zufallszeien Seien ein Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, P mi Hinergrundfilraion F und Zufallszeien τ i,..., τ m gegeben. Die τ i sind beding unabhängige, zweifach sochasische Zufallszeien, falls i jedes der τ i eine zweifach sochasische Zufallszei im Sinne von Definiion 2.9 is mi Hinergrundfilraion F und F -bedingem Hazardrae-Prozess γ,i und ii die Zufallsvariablen τ i,..., τ m, gegeben F, beding unabhängig sind, das heiß, für alle 1,..., m > haben wir m P τ 1 1, τ 2 2,..., τ m m F = P τ i i F 6.2.1.1 i=1 Konsrukion und Simulaion einer beding unabhängigen, zweifach sochasischen Zufallszei miels Schranken Das folgende Lemma erweier Lemma 2.1. Lemma 6.2.2 Seien γ,1,..., γ,m posiive, F -adapiere Prozesse, so dass Γ,i := γ s,i ds sreng monoon seigend und für jedes > endlich is. Sei E = E 1,..., E m ein Vekor unabhängiger, sandard exponenialvereiler Zufallsvariablen, der unabhängig von F is. Definiere τ i durch τ i = Γ 1 i E i. Dann sind τ 1,..., τ m beding unabhängige, zweifach sochasische Zufallszeien. Beweis. Gemäß Lemma 2.1 is jedes der τ i eine zweifach sochasische Zufallszei mi F - bedingen Hazardrae Prozessen γ,i. Es bleib die bedinge Unabhängigkei zu zeigen. Wir verwenden τ i E i Γ,i und bekommen P τ 1 1, τ 2 2,..., τ m m F = P E 1 Γ 1,1, E 2 Γ 2,2,..., E m Γ m,m F m = P E i Γ i,i F i=1 m = P τ i i F 6.2.2.1 i=1 6.2.2.1 gil, da die Zufallsvariablen Γ i,i messbar sind bezüglich F, während die E i gegenseiig unabhängig und unabhängig von F sind. Wie auch im univariaen Fall besiz Lemma 6.2.2 eine Umkehrung vgl. [1]. 14
Algorihmus 6.2.3 Mulivariae Schranken-Simulaion Lemma 6.2.2 is die Grundlage für den folgenden Simulaionsalgorihmus: 1 Erzeuge eine Trajekorie der Hazardrae Prozesse γ,i für i = 1,..., m. Hierbei können die gleichen Mehoden genuz werden wie im univariaen Fall. Beache jedoch, dass dieser Schri für einen hoch dimensionalen Fakorvekor ziemlich zeiaufwändig werden kann. 2 Erzeuge einen Vekor E unabhängiger, sandard exponenialvereiler Zufallsvariablen der Schrankenvekor und seze τ i = Γ 1 i E i, 1 i m. Rekursive Ausfallzei Simulaion Lemma 6.2.4 Seien τ i,..., τ m beding unabhängige, zweifach sochasische Zufallszeien mi Hazardrae- Prozessen γ,1,..., γ,m. Dann is T 1 eine zweifach sochasische Zufallszei mi F - bedingem Hazardrae-Prozess γ := m γ,i,. i=1 Beweis. Uner Verwendung der bedingen Unabhängigkei τ i erhalen wir P T 1 > F = P τ 1 >, τ 2 >,..., τ m > F m = exp γ s,i ds i=1 m = exp γ s,i ds i=1 m = exp γ s,i ds = exp i=1 γ s ds Da lezerer Ausdruck F messbar is, folg das Ergebnis. Proposiion 6.2.5 Uner den Annahmen von Lemma 6.2.5 bekommen wir P ξ 1 = i F σt 1 = γ it 1, i {1,..., m} γt 1 15
Beweis. Vgl. [1] Algorihmus 6.2.6 Rekursive Ausfallzei Simulaion Dieser Algorihmus simulier eine Umsezung der Folge T n, ξ n bis zu einem Fälligkeisermin T. Seze A := {1,..., m} zur Erinnerung: A n = {1 i m : Y i T n = } = {1,..., m} \ {ξ 1,..., ξ n }, n 1, is Menge der Firmen ohne Ausfall unmielbar nach T n. Definiere γ n := i A n γ,i, n m. Dann verfähr der Algorihmus nach folgenden Schrien. 1 Erzeuge eine Trajekorie der Hazardraen Prozesse γ,i. 2 Erzeuge T 1 mi der Sandard univariaen Schranken Simulaion und verwende dabei, dass T 1 die Hazardrae γ ha Lemma 6.2.4. 3 Besimme ξ 1 als Realisierung einer Zufallsvariablen ξ mi P ξ = i = γ it 1 γ T 1 Proposiion 6.2.5. 4 Soppe, falls T 1 T. Andernfalls beache, dass für beding unabhängige Ausfälle P T 2 T 1 > T 1, ξ 1, F = P τ j > T 1 +, j A 1, T 1, ξ 1, F P τ j > T 1, j A 1, T 1, ξ 1, F T 1 + = exp γ s 1 ds 6.2.6.1 Erzeuge die Warezei T 2 T 1 miels univariaer Schranken Simulaion uner Verwendung von 6.2.6.1. Besimme ξ 2 wie zuvor und benuze dabei, dass für i A i T 1 P ξ 2 = i T 1, T 2, ξ 1, F = γ it 2 γ 1 T 2. 5 Fahre auf diese Weise for bis T n T für ein n m oder bis alle Firmen Ausfälle erlien haben. Maringal Inensiäen Die folgende Proposiion zeig, dass Maringal Inensiäen und Hazardraen übereinsimmen für beding unabhängige Ausfälle. Proposiion 6.2.7 Seien τ i,..., τ m beding unabhängige, zweifach sochasische Zufallszeien mi Hazardrae τ i Prozessen γ,1,..., γ,m. Dann is der Prozess M,i := Y,i γ s,i ds ein G - Maringal mi G wie in 6.1.1. Beweis. Vgl. [1] 16
6.3 Beispiele und Anwendungen In den meisen Modellen mi beding unabhängigen Ausfällen werden Hazardraen durch Linearkombinaionen unabhängier affiner Diffusionen, möglicherweise mi Sprüngen, modellier. Ein ypisches Modell is das folgende: p γ,i = γ i + γ ij Ψ sys,j j=1 + Ψ id,i, 1 i m. 6.3.1 Hierbei sind Ψ sys, 1 j p, und Ψid, 1 i m, unabhängige CIR Wurzel Diffusionen,j,i oder, ewas allgemeiner, grundlegende affine Sprung Diffusionen wie in 5.3.1.1; die Fakorgewiche γ ij sind nichnegaive Konsanen. Ψ sys = Ψ sys,1,..., Ψsys,p repräsenier die sysemaischen Fakoren, wohingegen Ψ id,i ein spezifischer Fakor is, der nur die Hazardrae von Kredinehmer i beeinfluss. Beache, dass das Gewich des spezifischen Fakors in die Parameer für die Dynamik von Ψ id mi eingebau werden kann, so dass wir kein zusäzliches Fakorgewich brauchen. In diesem Kapiel werden wir durchweg annehmen, dass die Hinergrundfilraion von Ψ sys und Ψ id,i, 1 i m erzeug is. In prakischen Anwendungen des Modells wird der gegenwärige Wer dieser Prozesse von beobacheen Preisen ausfallbedroher Anleihen abgeleie. Darrell Duffie 1999 ha ein Modell der Form 6.3.1 mi p = 2 berechne. In diesem Modell sind alle Fakorprozesse CIR Wurzel Diffusionen, so dass deren Dynamik durch das Parameerripel κ, θ, σ charakerisier is. In ihrer einflussreichen Fallsudie über das Pricing von CDO benuzen Duffie und Gârleanu 21 grundlegende affine Sprung Diffusionen der Form 5.3.1.1, um die Fakoren, die die Hazardraen besimmen, zu modellieren. Sprünge in γ sellen Schocks dar, welche die Ausfallwahrscheinlichkei einer Firma erhöhen. Sie berachen ein homogenes Modell mi einem sysemaischen Fakor, das heiß γ,i = Ψ sys + Ψ id,i, 1 i m, und nehmen an, dass die Geschwindigkei der Mean Reversion κ, die Volailiä σ und die durchschniliche Sprunghöhe µ idenisch sind für Ψ sys und Ψ id,i. Man kann zeigen, dass dies implizier, dass die Summe γ,i = Ψ sys + Ψ id,i einer grundlegenden affinen Sprung Diffusion mi Parameern κ, θ sys + θ id, σ, l sys + l id und µ folg. Pricing von Single-Name Krediproduken. Angenommen τ 1,..., τ m sind beding unabhängige, zweifach sochasische Zufallszeien. Berache ein Single-Name Krediproduk mi Laufzei T dessen Pay-Off H nur von dem Ausfallverlauf von Firma i und von der Enwicklung der Preise ausfallfreier Werpapiere abhäng und dadurch GT i messbar is. Ein ypisches Beispiel is ein Vulnerable Claim der Form H = I {τi >T }X für eine F T messbare Zufallsvariable X. Man kann zeigen, dass E exp T Q r s ds H G i = E Q exp r s ds H G, T 17
gil, wobei r der F -adapiere risikolose Momenanzins is. Die linke Seie obiger Gleichung sell den Preis des Claim H in einem Einzelfirma Modell dar, bei dem die den Invesoren zur Zei verfügbaren Informaionen durch G i gegeben sind, während die reche Seie den Preis von H in dem Porfolio Modell darsell, bei dem die Invesoren zur Zei Zugang zur größeren Informaionsmenge G haben, die die Ausfallinformaionen aller Firmen im Porfolio beinhale. Somi bleiben die Preisformeln für ein Single-Name Krediproduk, die man in einem Einzelfirma Modell mi einer zweifach sochasisch Ausfallzei erhäl, wie ewa die Pricing Formeln aus Saz 4.3.3, gülig in einem Porfolio Modell mi beding unabhängigen Ausfallzeien. Außerdem können mi Hazardraen wie in 6.3.1 die meisen asächlichen Berechnungen reduzier werden auf ein eindimensionales Problem mi affinen Prozessen, auf das die Ergebnisse aus Abschni 5 zureffen. Als einfaches, spezielles Beispiel berachen wir die Berechnung der bedingen Überlebenswahrscheinlichkei von Kredinehmer i. Wie erhalen aus obiger Bemerkung und Saz 4.3.3, dass P τ i > T G = P τ i > T G i = I {τi >}E exp γ s,i ds F Für Hazardraen Prozesse der Form 6.3.1 gleich dies I {τi >}e γ it E exp Ψ id s,i ds p F E exp j=1 Ψ sys s,j ds F 6.3.2 Jede der bedingen Erwarungen in 6.3.2 können nun berechne werden mi Hilfe der Ergebnisse für eindimensionale affine Modelle aus Abschni 5. Ausfallkorrelaion. Wie wir in Kapiel 8 gesehen haben, sind Ausfallkorrelaionen definier als Korrelaion ρy T,i, Y T,j, i j, der Ausfallindikaoren enscheidend für die Flanke der Krediausfall Vereilung. Für die Berechnung der Ausfallkorrelaionen in Modellen mi beding unabhängigen Ausfällen is es günsiger mi dem Überlebensindikaor 1 Y T,i zu arbeien. Nach Definiion der Sandard linearen Korrelaion haben wir ρy T,i, Y T,j = ρ1 Y T,i, 1 Y T,j = P τ i > T, τ j > T F i T F j T Fi T 1 F i T 1 2 Fj T 1 F j T 1 2 6.3.4 Für die gemeinsame Überlebenswahrscheinlichkei erhalen wir miels bedinger Unabhän- 18
gigkei P τ i > T, τ j > T = E P τ i > T, τ j > T F = E P τ i > T F P τ j > T F = E exp γ s,i + γ s,j ds 6.3.5 Für Hazardraen der Form 6.3.1 kann der Ausdruck 6.3.5 auf ähnlicher Weise zerleg werden wie die Zerlegung 6.3.2 und kann folglich berechne werden uner Verwendung von unseren Ergebnissen für eindimensionale affine Modelle. Es wird of beansande, dass die Were der Ausfallkorrelaion, die in Modellen mi bedinger Unabhängigkei erziel werden können, zu niedrig sind verglichen mi den empirischen Ausfallkorrelaionen. Da Ausfallkorrelaionen eine erhebliche Auswirkung auf die durch ein Modell erzeuge Verlusvereilung haben, diskuieren wir diesen Aspek weier. Als konkrees Beispiel nuzen wir das Duffie-Gârleanu Modell und nehmen an, dass Ψ id verschwinde Ψ id. Im Duffie-Gârleanu Modell können hohe Niveaus der Ausfallkorrelaion erreich werden, falls die Varianz der Zufallsvariable Γ T := T Ψ sys s ds hinreichend hoch is. Eine hohe Varianz von Γ T kann erlang werden, indem man ein hohes Niveau für die Volailiä σ von Ψ sys wähl oder indem man ein hohes Niveau für den Erwarungswer µ der Sprunghöhe Vereilung oder für die Sprunginensiä l wähl. Ein hohes Niveau für σ schläg sich in sehr unbesändige Schwankungen der Credi Spreads von Tag zu Tag nieder, die den realen Preisdaen von Anleihen widersprechen können. Dies zeig, dass es schwierig sein kann, sehr hohe Niveaus der Ausfallkorrelaion in Modellen, in denen die Hazardraen reinen Diffusionensprozessen folgen, zu erzeugen. Im Duffie-Gârleanu Modell können wir alernaiv die Häufigkei oder Höhe der Sprünge in der Hazardrae seigern, indem wir l oder µ erhöhen. Diese zusäzliche Flexibiliä in der Modellierung von Ausfallkorrelaionen is sogar eine wichige Moivaion, affine Sprung Diffusionen ansa die einfacheren CIR Modelle zu berachen. 19
Lieraur [1] McNeil, Frey, Embrechs 25. Quaniaive Risk Managemen: Conceps, Techniques and Tools. Princeon Universiy Press, Princeon and Oxford. i