atz von Gauß Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einem regulären räumlichen Bereich V, der durch eine Fläche mit nach außen orientiertem vektoriellen Flächenelement d berandet wird, gilt div F dv = F d. V atz von Gauß 1-1
atz von Gauß Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einem regulären räumlichen Bereich V, der durch eine Fläche mit nach außen orientiertem vektoriellen Flächenelement d berandet wird, gilt div F dv = F d. V Die Glattheitsvoraussetzungen an F und können abgeschwächt werden, indem man die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert. atz von Gauß 1-2
Beweis: Hauptsatz für mehrdimensionale Integrale = ν F ν dv = F ν nν d mit F ν den Komponenten von F V atz von Gauß 2-1
Beweis: Hauptsatz für mehrdimensionale Integrale = ν F ν dv = F ν nν d V mit F ν den Komponenten von F ummation über ν = 1, 2, 3, d = n d ν F ν = div F d.h. die behauptete Identität ν F ν nν d = = F n d = F d ν atz von Gauß 2-2
Beispiel: Illustration des atzes von Gauß für die Einheitskugel V : r 2 = x 2 + y 2 + z 2 1 mit Oberfläche und das Vektorfeld x F = xy z 3 unter Verwendung von Kugelkoordinaten x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ atz von Gauß 3-1
Beispiel: Illustration des atzes von Gauß für die Einheitskugel V : r 2 = x 2 + y 2 + z 2 1 mit Oberfläche und das Vektorfeld x F = xy z 3 unter Verwendung von Kugelkoordinaten x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ Volumen- und vektorielles Flächenelement (Radius R = 1) dv = r 2 sin ϑ drdϕdϑdr d = e r sin ϑ dϕdϑ }{{} d atz von Gauß 3-2
(i) I V = V div F dv : atz von Gauß 3-3
(i) I V = V div F dv : Divergenz div F = x x + y xy + z z 3 = 1 + x + 3z 2 atz von Gauß 3-4
(i) I V = V div F dv : Divergenz div F = x x + y xy + z z 3 = 1 + x + 3z 2 Darstellung mit Kugelkoordinaten I V = 1 π 2π (1 + r cos ϕ sin ϑ + 3r 2 cos 2 ϑ) r 2 sin ϑ dϕdϑdr }{{} dv atz von Gauß 3-5
(i) I V = V div F dv : Divergenz div F = x x + y xy + z z 3 = 1 + x + 3z 2 Darstellung mit Kugelkoordinaten I V = 1 π 2π (1 + r cos ϕ sin ϑ + 3r 2 cos 2 ϑ) r 2 sin ϑ dϕdϑdr }{{} dv Produktform des zweiten und dritten Terms, 2π cos ϕ dϕ = I V = vol V + + 2π 1 = 4 3 π + 2π [ 1 5 r 5 ] 1 r= r 4 dr π 3 cos 2 ϑ sin ϑ dϑ [ cos 3 ϑ ] π ϑ= = 4 3 π + 4 5 π = 32 15 π atz von Gauß 3-6
(ii) I = F d : atz von Gauß 3-7
(ii) I = F d : F r = F e r = sin ϑ cos ϕ sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos 3 ϑ = cos 2 ϕ sin 2 ϑ + sin 2 ϕ cos ϕ sin 3 ϑ + cos 4 ϑ sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ atz von Gauß 3-8
(ii) I = F d : F r = F e r = sin ϑ cos ϕ sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos 3 ϑ = cos 2 ϕ sin 2 ϑ + sin 2 ϕ cos ϕ sin 3 ϑ + cos 4 ϑ Flussintegral I = = π = π π 2π π F r sin ϑ dϕdϑ }{{} d sin ϑ(1 cos 2 ϑ) dϑ + + 2π ( [ cos ϑ] π + [ 1 3 cos3 ϑ ] π π ) + 2π sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ cos 4 ϑ sin ϑ dϑ [ 1 ] π 5 cos5 ϑ = 2π 2 3 π + 4 5 π = 32 15 π atz von Gauß 3-9
Beispiel: Illustration des atzes von Gauß für das radiale Feld F = r s e r und die Kugel V : r < R mit Oberfläche : r = R atz von Gauß 4-1
Beispiel: Illustration des atzes von Gauß für das radiale Feld F = r s e r und die Kugel V : r < R mit Oberfläche : r = R Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten = div F = 1 r 2 r (r 2 r s ) = (s + 2)r s 1 atz von Gauß 4-2
Beispiel: Illustration des atzes von Gauß für das radiale Feld F = r s e r und die Kugel V : r < R mit Oberfläche : r = R Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten = dv = 4πr 2 dr = div F = 1 r 2 r (r 2 r s ) = (s + 2)r s 1 div F dv = 4π R (s + 2)r s+1 dr = 4πR s+2 (s > 2) V atz von Gauß 4-3
Beispiel: Illustration des atzes von Gauß für das radiale Feld F = r s e r und die Kugel V : r < R mit Oberfläche : r = R Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten = dv = 4πr 2 dr = V div F = 1 r 2 r (r 2 r s ) = (s + 2)r s 1 div F dv = 4π R (s + 2)r s+1 dr = 4πR s+2 (s > 2) d = e r d = F d = R s d = area() R s = (4πR 2 ) R s atz von Gauß 4-4
Beispiel Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i atz von Gauß 5-1
Beispiel Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i Hesse-Normalform r d = r }{{ n } d = r i d =const atz von Gauß 5-2
Beispiel Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i Hesse-Normalform r d = r }{{ n } d = r i d =const Volumenberechnung mit dem atz von Gauß 3 vol(v ) = r d = r i d = r i area() atz von Gauß 5-3
Beispiel Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i Hesse-Normalform r d = r }{{ n } d = r i d =const Volumenberechnung mit dem atz von Gauß 3 vol(v ) = r d = r i d = r i area() atz von Gauß 5-4
Beispiel Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i Hesse-Normalform r d = r }{{ n } d = r i d =const Volumenberechnung mit dem atz von Gauß 3 vol(v ) = r d = r i d = r i area() Hexaeder mit Kantenläge a: atz von Gauß 5-5
Beispiel Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i Hesse-Normalform r d = r }{{ n } d = r i d =const Volumenberechnung mit dem atz von Gauß 3 vol(v ) = r d = r i d = r i area() Hexaeder mit Kantenläge a: Oberfläche 6a 2, Inkugelradius a 2, Volumen a3 = (6a 2 a/2)/3 atz von Gauß 5-6
Beispiel Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i Hesse-Normalform r d = r }{{ n } d = r i d =const Volumenberechnung mit dem atz von Gauß 3 vol(v ) = r d = r i d = r i area() Hexaeder mit Kantenläge a: Oberfläche 6a 2, Inkugelradius a 2, Volumen a3 = (6a 2 a/2)/3 Tetraeder mit Kantenläge a: atz von Gauß 5-7
Beispiel Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i Hesse-Normalform r d = r }{{ n } d = r i d =const Volumenberechnung mit dem atz von Gauß 3 vol(v ) = r d = r i d = r i area() Hexaeder mit Kantenläge a: Oberfläche 6a 2, Inkugelradius a 2, Volumen a3 = (6a 2 a/2)/3 Tetraeder mit Kantenläge a: Oberfläche 4 1 2 3a 2 2 = a 2 3, Volumen 2a 3 12 Inkugelradius 6a 12 atz von Gauß 5-8
Beispiel Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i Hesse-Normalform r d = r }{{ n } d = r i d =const Volumenberechnung mit dem atz von Gauß 3 vol(v ) = r d = r i d = r i area() Hexaeder mit Kantenläge a: Oberfläche 6a 2, Inkugelradius a 2, Volumen a3 = (6a 2 a/2)/3 Tetraeder mit Kantenläge a: Oberfläche 4 1 3a 2 2 2 = a 2 3, Volumen 2a 3 12 Inkugelradius Kugel (Grenzfall): 6a 12 atz von Gauß 5-9
Beispiel Polyeder V mit Inkugel (berührt jede Fläche), Radius r i Hesse-Normalform r d = r }{{ n } d = r i d =const Volumenberechnung mit dem atz von Gauß 3 vol(v ) = r d = r i d = r i area() Hexaeder mit Kantenläge a: Oberfläche 6a 2, Inkugelradius a 2, Volumen a3 = (6a 2 a/2)/3 Tetraeder mit Kantenläge a: 3a 2 2a 3 12 Inkugelradius Oberfläche 4 1 2 2 = a 2 3, Volumen Kugel (Grenzfall): Volumen 4πr 3 3, Oberfläche 4πr 2 korrektes Verhältnis r : 3 6a 12 atz von Gauß 5-1