Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-CHSE Wie wir die Fläche zwischen einer Funktion und der -chse erechnen, hen wir rechentechnische ereits geklärt. Es git er dei noch eine Besonderheit zu echten. Sehen wir uns dies n einem Beispiel n: Beispiel: Gegeen ist die Funktionsgleichung f ( ) 5 6. Gesucht ist der von der Funktion, der -chse und den Gerden und egrenzte Flächeninhlt. Lösung: Mchen wir uns zunächst einml eine Zeichnung der Funktion: Der Flächeninhlt der schrffierten Fläche soll erechnet werden. Dei ergit sich er ds Prolem, dss ein Teil der Fläche oerhl der -chse und ein Teil unterhl liegt. Beim Integrieren einer Funktion zwischen zwei Grenzen wirkt sich dies er us. Liegt eine Fläche oerhl der -chse so wird der Flächeninhlt positiv, liegt er unterhl der - chse, so wird der Flächeninhlt negtiv. Plus und Minus sind hier Orientierungszeichen, die die Lge der Fläche ezüglich der -chse ngeen.
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem Stz: Ermittelt mn mittels Integrlrechnung den Flächeninhlt zwischen einer Funktion und der -chse, dnn git ds Vorzeichen des erhltenen Flächeninhlts die Lge der Fläche ezüglich der -chse n. Plus edeutet, dss die Fläche oerhl der -chse liegt, Minus edeutet, sie liegt unterhl. Für unser Beispiel würde dies edeuten, dss die einzelnen Teilflächen folgendes Vorzeichen erhlten: - Wenn wir nun einfch die Funktion von is integrieren würden, hätte dies zur Folge, dss sich die mittlere Fläche von den nderen eiden Flächen sutrhieren würde, ws ntürlich nicht erwünscht ist. Folglich müssen wir lso unsere ufge in Teilschritten lösen. Wir rechnen uns die drei Teilflächen einzeln us und zählen dnn die Beträge der Teilflächen zusmmen. Mn drf lso hier nie üer Nullstellen hinwegintegrieren. Stz: Integriere ei der Ermittlung des Flächeninhlts zwischen einer Funktion und der -chse nie üer Nullstellen hinweg. Bei unserem Beispiel müssen wir lso zunächst die Nullstellen ermitteln. Dzu setzen wir die Funktion gleich Null: 5 6 5 ± 5
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem 5 ± Nun wissen wir lso wo, die einzelnen Teilflächen eginnen und enden: erhlten wir, wenn wir die Funktion von is integrieren: 5 6d Wir integrieren: 5 6 Nun setzen wir die Grenzen für ein (Oere Grenze Minus unterer Grenze): 8 5 6 Wir erhlten:,8 Nun erechnen wir. Wir integrieren die Funktion lso zwischen und. D ds Integrieren sich j uf diesele Funktion ezieht, können wir gleich ei den Grenzen einsetzen: 5 6
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem 5 8 9 8 Wir erhlten:,7 Nun ermitteln wir zwischen und : 5 6 6 5 (9 8) Wir erhlten:,8 Nun müssen wir die Beträge der Einzelflächen ddieren, um die gesuchte Fläche zu erhlten:,8 Noch ein Beispiel dzu: Beispiel: Die Funktion f : f ( ) egrenzt mit der -chse eine Fläche. Ermittle den Flächeninhlt dieser Fläche. Lösung: Ich zeichne zunächst einml den Grphen der Funktion: nmerkung: Die Zeichnung ist eigentlich ei dieser ufgenstellung nicht notwendig!
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem 5 Wir erkennen, dss sich uch hier die Fläche wieder us zwei Einzelflächen zusmmensetzt. Dmit wir die Integrtionsgrenzen wissen, müssen wir zuerst die Nullstellen der Funktion f ermitteln: Die erste Nullstelle erhlten wir mittels proieren: Nun dividieren wir die Funktion durch die eknnte Lösung: ) ( : ) ( Die restlichen Lösungen erhlten wir, wenn wir den Quotienten Null setzen: 8 ± ± Wir hen lso drei Nullstellen n den Stellen ; und. Wichtig ist wieder, dss wir nicht üer Nullstellen hinwegintegrieren dürfen. Die. Fläche erhlten wir lso, wenn wir f von is integrieren: d Wir integrieren: Nun setzen wir wieder die Grenzen ein: Wir erhlten: 8 Nun ermitteln wir die zweite Teilfläche: 6
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem Wir erhlten: 5 Nun ddieren wir die Beträge der Teilflächen: 7 FLÄCHE ZWISCHEN ZWEI FUNKTIONEN Sehen wir uns n einem Beispiel n, ws gemeint ist: Beispiel: Gegeen sind die Funktionen f ( ) und g ( ) den Flächeninhlt des von f und g eingeschlossenen Flächenstücks. Lösung: Ich fertige zunächst wieder eine Zeichnung n:. Berechne f g Wir sollen lso den Flächeninhlt der schrffierten Fläche erechnen. Üerlegen wir uns den Vorgng zunächst llgemein: ls Erstes ermitteln wir die -Werte der Schnittpunkte. Nennen wir diese llgemein und. Wenn wir nun die Funktion g zwischen und integrieren erhlten wir folgende Fläche: 6
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem Nun integrieren wir die Funktion f zwischen und. Dei erhlten wir folgende Fläche: Wenn wir nun uf die Zeichnung schuen, wird offensichtlich, dss wir nun nur die Differenz der eiden Flächen ilden müssen, um den gewünschten Flächeninhlt zu erhlten. 7
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem llgemein rechnen wir lso Folgendes (Ich vertusch f und g jetzt. Die Erklärung folgt sofort) f ( ) d g( ) d Vom Rechnen mit Integrlen wissen wir nun er, dss wir die eiden Integrle zu einem Integrl zusmmenfssen dürfen: ( f ( ) g( ) ) d Stz: Hen zwei Funktionen f und g die gemeinsmen Schnittpunkte und, so erhält mn den Flächeninhlt zwischen den eiden Funktionen folgendermßen: ( f ( ) g( ) ) d Nun zur Erklärung, wrum ich die eiden Funktionen oen vertuscht he. Wenn ich vom größeren Flächeninhlt den kleineren Flächeninhlt ziehe, so erhlten wir ein positives Ergenis. Ziehe ich jedoch vom kleineren Flächeninhlt den größeren Flächeninhlt, so ekomme ich die negtive Gegenzhl. Dies edeutet, dss in eiden Fällen der Betrg des Ergenisses den gewünschten Flächeninhlt ngit. Ds Vorzeichen Plus und Minus git er dnn wieder die Orientierung der Fläche n. Rechne ich ( f g) d und die Fläche wird positiv, so edeutet dies, dss die Fläche oerhl der Funktion g liegt, wird die Fläche hingegen negtiv, so liegt die Fläche unterhl der Funktion g. Stz: Ermittelt mn mit der Formel 8 ( f g) d den Flächeninhlt zwischen den Funktionen f und g, so edeutet ein positiver Flächeninhlt, dss die erechnete Fläche oerhl der Funktion g, ein negtiver Flächeninhlt, dss die Fläche unterhl der Funktion g liegt. So, nun können wir unser Beispiel lso wirklich rechentechnisch lösen. ls Erstes müssen wir die Schnittpunkte erechnen. Dzu setzen wir die Funktionen gleich: f g : / ± 8 ±
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem Dmit hen wir unsere Integrtionsgrenzen und. Nun setzen wir in unsere Formel ein: ( ) d Wir vereinfchen zunächst den usdruck im Integrl. Ich löse lso die Klmmer uf: d Ich integriere: 8,5 Der gesuchte Flächeninhlt ist lso,5 FE. Ds oen ngeführte Orientierungszeichen ei der Flächenerechnung zwischen zwei Funktionen liefert uns uch hier wieder ein Prolem, wenn sich die Fläche us mehreren Teilstücken zusmmensetzt. Dzu wieder ein Beispiel: Beispiel: Berechne den Flächeninhlt des Flächenstücks zwischen den Funktionen f ( ) und g( ). Lösung: Zunächst wieder eine Zeichnung: 9
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem Wie mn sieht, hen die Funktionen drei Schnittpunkte und folglich zwei gemeinsme Flächen. Mn knn er nun nicht die Differenz der eiden Funktionen vom ersten Schnittpunkt is zum letzten integrieren, denn vom ersten is zum zweiten Schnittpunkt liegt die Funktion f oerhl von g, dh. Wir ekommen hier eine positive Fläche. Vom zweiten zum dritten Schnittpunkt liegt er f unterhl von g, wodurch wir eine negtive Fläche ekommen würden. Würden wir nun uf einml integrieren, so würden sich die eiden Flächen voneinnder ziehen, ws nicht erwünscht ist. Folglich müssen wir lso die Gesmtfläche in zwei Schritten erechnen. Wir erechnen zuerst die Fläche vom ersten is zum zweiten Schnittpunkt, dnn die Fläche vom zweiten is zum dritten Schnittpunkt und ddieren dnn die Beträge der eiden Flächen. Stz: Integriere ei der Ermittlung des Flächeninhlts zwischen zwei Funktionen nie üer gemeinsme Schnittpunkte hinweg. Führen wir nun unseren Pln rechentechnisch durch. Wir ermitteln zunächst die Schnittpunkte: f g : / Wir heen herus: ( )
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem ± ± Nun erechnen wir die erste Fläche zwischen und : d Wir fssen den usdruck noch zusmmen: Wir integrieren: d 8 7 8,5 Nun erechnen wir die zweite Fläche zwischen und. Bechten Sie, dss wir uns ds Integrieren schenken können, d dies j dssele wie oen ergeen muss. Wir müssen lso nur die Grenzen ändern:,58 Nun ddieren wir die Beträge der eiden Teilflächen:, 8 FE