Technische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esprz / Dr. M. Luttenerger, S. Sickert Lösung Einführung in die theoretische Informtik Klusur Bechten Sie: Soweit nicht nders ngegeen, ist stets eine Begründung zw. der Rechenweg nzugeen! Hinweise N ezeichnet die ntürlichen Zhlen einschließlich der 0. w mit Σ ezeichnet die Anzhl der s in w, z.b. = 3 und = 2. Aufge 1 Quiz 5P Begründen Sie, o die jeweilige Aussge korrekt oder inkorrekt ist. Beziehen Sie sich uf die entsprechenden Ergenisse us der Vorlesung. Beispiel : Behuptung: Sei A ein DFA mit n Zuständen. Dnn ht die Myhill-Nerode-Reltion zu L(A) genu n Äquivlenzklssen. Antwort: Inkorrekt. Sei A ein DFA. Konstruiere A us A durch Hinzufügen eines neuen, unerreichren Zustnds q mit δ(q, ) = q für lle Alphetszeichen. Dnn gilt L(A) = L(A ). Behuptungen: () Die Sprche L = L(( ) ) ht fünf Äquivlenzklssen ezüglich der Äquivlenzreltion L. Erinnerung : u L v ( w {, }.uw L vw L). () Sei A ein minimler DFA mit n Zuständen. Dnn ht der minimle DFA zu L(A) eenflls n Zustände. (c) Sei L eine kontextfreie Sprche und L eine deterministisch kontextfreie Sprche. Dnn ist L L eine kontextfreie Sprche. (d) Seien G 1, G 2 kontextfreie Grmmtiken. Dnn ist es entscheidr, o L(G 1 ) \ L(G 2 ) gilt. (e) Sei G eine kontextfreie Grmmtik. Dnn gilt L(G) p SAT. () Inkorrekt. Der minimle DFA für L ht vier Zustände. Somit git es genu vier Äquivlenzklssen. () Korrekt. D DFAs durch invertieren der Endzustände komplementiert werde können, ht der minimle DFA für L(A) mximl n Zustände. Angenommen er hätte m < n Zustände, dnn hätte der minimle DFA für L(A) mximl m < n Zustände. Widerspruch. Somit ht der minimle DFA für L(A) genu n Zustände. (c) Inkorrekt. Sei L 1 = { n n c m n, m N} und L 2 = { n m c m n, m N} und eide Sprchen sind sogr DCFL. Der Schnitt ist er nicht CFL (lut VL). (d) Inkorrekt: L(G 1 ) \ L(G 2 ) L(G 1 ) L(G 2 ), letzteres ist nch VL unentscheidr für kontextfreie Grmmtiken G 1, G 2. (e) Korrekt. Umwndlung in CNF und CYK sind in PTIME. Führe Algorithmus us und estimme w L(G) und reduziere dementsprechend uf true und flse. Aufge 2 Endliche Automten 7P () Konstruieren Sie zu folgenden DFAs A, B einen DFA C mit L(C) = L(A) L(B). Verwenden Sie die Produktkonstruktion us der Vorlesung, um C zu konstruieren.
DFA A strt q 0, q 1 q 3 q 2 q 4, DFA B strt p 0, p 1 p 2 Geen Sie C grphisch n. Konstruieren Sie nur den vom Strtzustnd von C us ttsächlich erreichren Teil von C. () Beschreien Sie, wie mn mittels der Produktkonstruktion für zwei DFAs A, B entscheiden knn, o L(A) L(B) gilt. Wenden Sie dnn Ihr Verfhren uf die Automten us () n. Sollte L(A) L(B) gelten, geen Sie ein kürzestes Wort w L(A) \ L(B) n. () Produktkonstruktion: DFA C q 3, p 1 q 4, p 1 strt q 0, p 0, q 1, p 1 q 1, p 2 q 2, p 2 q 4, p 2 () L(A) L(B) gdw. für jeden (vom Strtzustnd erreichren [nur die Zustände sollten j ngegeen werden]) Zustnd (q A, q B ) von C gilt q A F A q B F B Negiert: L(A) \ L(B) gdw. es existiert ein Zustnd (q A, q B ) in C mit q A F A q B F B Ein kürzestes Wort in L(A) \ L(B) soweit existent findet mn somit durch Anwendung z.b. von Breitensuche, um einen kürzesten Pfd vom Strtzustnd zu einem Zustnd us F A (Q B \ F B ) zu estimmen. Im oigen Beispiel gilt F A (Q B \ F B ) = {(q 4, p 1 ), (q 4, p 0 )} mit, L(A) \ L(B). Aufge 3 Pumping-Lemm 4P Zeigen Sie mittels des Pumping-Lemms für reguläre Sprchen: L = {w {, } : w = w } ist nicht regulär. Sei L regulär und n eine dnn existierende Pumping-Lemm-Konstnte für L. Wähle z = n n L. Offensichtlich gilt z L und z n und somit existiert eine Zerlegung z = uvw mit (1) uv n, (2) v ε und (3) i N: uv i w L. Wegen (1) muss uv = k mit k n gelten. Wegen (2) folgt v = j mit 1 j n. Mit (3) folgt schließlich der Widerspruch L uw = n j n, d n j < n. L ist somit nicht regulär. Aufge 4 Kontextfreie Sprchen 6P Geen Sie jeweils eine kontextfreie Grmmtik für die folgende Sprchen n. Die Grmmtiken müssen jeweils höchstens 10 Vrilen und 10 Produktionen esitzen, und für jede Produktion X w muss w 3 gelten. Sie müssen nicht egründen, wrum die Grmmtik korrekt ist. () L 1 = {w {,, c, d} w + w = w c + w d } () L 2 = { 256 } (c) L 3 = {w 1 w 2 {0, 1} w 1 = w 2 w 1 w 2 }
() () (c) S XSY Y SX SS ε X Y c d Begründung: Zunächst können, zw. c, d ls jeweils ein Zeichen X zw. Y ufgefsst werden (dher: X zw. Y c d). Jedes Wort w {X, Y } lässt sich eindeutig (vlg. korrekte Klmmerusdrücke üer einem Klmmertyp) in minimle Blöcke mit w X = w Y fktorisieren (dher S SS), im Gegenstz zu den Klmmerusdrücken, knn jedoch uch mit ) egonnen werden (dher sowohl S XSY ls uch S Y SX). Zzgl. noch S ε. X 256 X 128 X 128 X 128 X 64 X 64 X 64 X 32 X 32... X 2 X 1 X 1 X 1 Begründung: Iteriertes Qudrieren entsprechend schneller Exponenttion zw. direktes Codieren eines perfekten Binärums der Höhe 8 (ohne Blätter für Terminle) ls CFG. S AB BA A XAX 0 B XBX 1 X 0 1 Begründung: Stzformen sind von der Form X i AX i X j BX j = X i AX i+j BX j = X i AX j X i BX j zw. X i BX i X j AX j =... = X i BX j X i AX j mit i, j N. Jedes erzeugte Wort der Länge 2(i + j + 1) unterscheidet sich dmit zumindest in den eiden Zeichen n den Positionen i + 1 und (i + j + 1) + (i + 1) (woei die Positionen 1 nummeriert werden). Aufge 5 CYK 6P Wir etrchten die Grmmtik G = ({S, T, U, X, Y, Z}, {x, y, z}, P, S) in CNF mit den folgenden Produktionen P : S SZ T S ZT z T UT XU y U SY XY X x Y y Z z Bestimmen Sie mit dem CYK-Algorithmus, o folgende Wörter w 1, w 2 in L(G) liegen. Der CYK-Algorithmus muss entsprechend der Vorlesung drgestellt werden. Geen Sie weiterhin für jedes der eiden Wörter n, wie viele verschiedene Aleitungsäume es ezüglich G für ds jeweilige Wort git. () w 1 = yzzzy () w 2 = xxyzz () Es gilt yzzzy L(G), d S V 1,5. Somit git es keine Aleitungsäume. 15 U 14 S 25 U () Es gilt xxyzz L(G), d S V 1,5. 13 S 24 S 35 U 12 S 23 S 34 S 45 S, U 11 T, Y 22 Z, S 33 Z, S 44 Z, S 55 T, Y 15 S y z z z y 14 S 25 13 T 24 35 S 12 23 U 34 S 45 S 11 X 22 X 33 T, Y 44 Z, S 55 Z, S x x y z z Es git zwei verschiedene Aleitungsäume, ws mn durch Anpssen des CYK-Algorithmus direkt miterechnen knn (vgl. Erweiterung des CYK zur Bestimmung der Aleitungsäume selst).
15 (S, 2) 14 (S, 1) 25 13 (T, 1) 24 35 (S, 2) 12 23 (U, 1) 34 (S, 1) 45 (S, 1) 11 (X, 1) 22 (X, 1) 33 (T, 1), (Y, 1) 44 (Z, 1), (S, 1) 55 (Z, 1), (S, 1) x x y z z Aufge 6 Primitiv rekursive Funktionen 4P Zeigen Sie: Wenn f, g : N N primitiv rekursiv sind, dnn sind uch die folgenden Funktionen h 1, h 2 : N N primitiv rekursiv. () h 1 (x) = { 1 flls f(x) = g(x) 0 sonst f(x) () h 2 (x) = g(i) Bechten Sie: h 1, h 2 müssen unter Verwendung des (erweiterten) Schems der primitiven Rekursion und der (erweiterten) Komposition jeweils explizit us den primitiv rekursiven Bsisfunktionen zzgl. der primitiv rekursiven Funktionen +, und konstruiert werden. i=0 () Wir definieren die Funktion eq(x, y): Und somit ist h 1 (x): eq(x, y) := 1 ((x y) + (y x)) h 1 (x) := eq(f(x), g(x)) () Setze g sum (0) := 0 und g sum (m + 1) := g sum (m) + g(m) (primitive Rekursion) und somit gilt: m g sum (m + 1) = g(k) k=0 Und somit ist h 2 (x): f(x) h 2 (x) := g sum (f(x) + 1) = g(i) i=0 Aufge 7 Entscheidrkeit 4P Begründen Sie entsprechend Aufge 1, o die jeweilige Aussge korrekt oder inkorrekt ist. Wenn die Sprche L entscheidr (semi-entscheidr) ist, eschreien Sie einen Algorithmus, der die chrkteristische Funktion χ L (die Funktion χ L ) erechnet. Wenn L unentscheidr ist, leiten Sie einen Widerspruch zu einem Ergenis der Vorlesung. Behuptungen: () Wenn A und B entscheidre Sprchen sind, dnn ist A B entscheidr. () Wenn A und A B entscheidr sind, dnn ist B entscheidr. (c) Ds Prolem, o L(M) für eine gegeene Turingmschine M gilt, ist semi-entscheidr. (d) Ds Prolem, o L(M) = für eine gegeene Turingmschine M gilt, ist semi-entscheidr.
() Korrekt. Sei T A DTM, die A entscheidet, T B DTM, die B entscheidet. DTM zu A B: Gegeen x, erechne T A (x). Flls T A (x) = 0, lehne x, nsonsten erechne T B (x). Gilt T B (x) = 0, lehne x, sonst kzeptiere x. D T A, T B die jeweiligen Mengen entscheiden, terminieren eide DTM immer, womit uch die DTM zu A B stets mit dem korrekten Ergenis terminiert, womit A B entscheidr ist. () Inkorrekt. Sei B = H 0 {0, 1} ds Hlteprolem uf leere Einge und A = {0, 1}. Dnn sind A und A B entscheidr, er B nicht. (c) Korrekt. Dove-Tiling : NTM, die ein Wort in L(M) rten knn, soweit es existiert, determinisieren. (d) Inkorrekt. Knn nicht semi-entscheidr sein, sonst wäre L(M) entscheidr, womit ds Hlteprolem uf leere Einge entscheidr wäre mittels der Reduktion: Bilde TM-Codierung w uf Codierung w der TM Flls x ε, lehne x, sonst wrte, is M w (ε) terminiert ht, und kzeptiere dnn ε. Offensichtlich kzeptiert M w höchstens ε und ds genu dnn, wenn M w uf ε terminiert. Aufge 8 NP-Schwere 4P Zeigen Sie, dss folgendes Prolem NP-schwer ist, indem Sie eine Reduktion von 3KNF-SAT uf ds Prolem ngeen. Gegeen: Reguläre Ausdrücke r 1, r 2,..., r n. Entscheide: L(r 1 ) L(r 2 )... L(r n ). Vernschulichen Sie Ihre Reduktion nhnd der Formel (x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 3 x 4 ). Hinweis : Konstruieren Sie für jede Klusel C i einer gegeenen Formel ϕ = k i=1 C i in 3KNF einen geeigneten regulären Ausdruck r i. Identifiziere minimle pssende Belegungen β für gegeene 3KNF-Formel ϕ (obd üer den Vrilen {x 1,..., x n }, insesondere kommt jede Vrile mindestens einml in ϕ vor, d.h. n ϕ ) mit Wort β(x 1 )β(x 2 )... β(x n ) {0, 1} n. Bilde jede Klusel uf den regulären Ausdruck, der genu die Wörter/minimlen Belegungen kzeptiert, unter denen die Klusel erfüllt ist Bsp: n = 4 und Klusel x 1 x 2 x 4 wird uf 1(0 1)(0 1)(0 1) (0 1)0(0 1)(0 1) (0 1)(0 1)(0 1)1 geildet. (Bemerkung: 1(0 1) n muss vollständig usgeschrieen werden, nsonsten wird Prolem schwieriger.) Der reguläre Ausdruck ht dei mximl die Länge 3 (5(n 1)+1)+2 und knn dmit in der Zeit O( ϕ ) konstruiert werden. Dmit lssen sich in Zeit O(kn) O( ϕ 2 ) zu einer Formel mit n Vrilen und k Klusen k reguläre Ausdrücke konstruieren, deren Schnitt gerde lle Wörter/minimlen Belegungen codiert, welche die Formel erfüllen. Der Schnitt ist dher genu dnn nicht leer, wenn die gegeene Formel erfüllr ist. Dmit ist ds Prolem NP-schwer.