TU Ilmenu Institut für Mthemtik FG Numerische Mthemtik und Informtionsverrbeitung PD Dr. W. Neundorf Dtei: UEBG9.TEX Übungsufgben zum Lehrgebiet Numerische Mthemtik - Serie 9 Numerische Integrtion. Mn beweise. Zu ε > und gegebener Funktion f C[, b] existiert ein lgebrisches Polynom p n (x), so dss mit dem Funktionl I(f) = 2. Mn bestimme näherungsweise ds Integrl I = () Trpezregel, (b) Simpson-Regel, b f(x) stets I(f) I(p n ) < ε gilt. bei einer Einteilung des Integrtionsintervlls in N =, 2, 4 Teile. Mn vergleiche mit dem exkten Wert und berechne den Fehler. π sin(x) = 2 unter Benutzung der 3. Durch Linerkombintion von Integrtionsformeln knn mn Formeln höherer Genuigkeit gewinnen. Mn zeige, dss S = 3 (2R M + T) gilt. Dbei seien R M die Rechtecksregel (Mitte), T die Trpezregel und S die Simpson- Regel. 4. Zur näherungsweisen Berechnung des bestimmten Integrls I = betrchten wir folgende Integrtionsformeln: - Rechteckregel (Links) R L = (b )f() - Rechteckregel (Mitte) R M = (b )f( +b 2 ) - Trpezregel T = 2 (b )(f() + f(b)) - Simpson-Regel S = 6 (b )(f() + 4f(+b 2 ) + f(b)) b f(x), < b, - Zusmmengesetzte Trpezregel bei N = 2 i gleichgroßen Teilintervllen uf [, b] der Länge h = h i = b N T i = h [f() + 2f( + h) + 2f( + 2h) +... + f(b)], i =,,... 2 Mn notiere T und T.
Durch Linerkombintion von Integrtionsformeln knn mn neue Formeln mit höherer Genuigkeit gewinnen. Mn zeige, dss () S = 3 (2R M + T ) (b) S = 3 (R M + 2T ) (c) S = 3 (4T T ) 5. Mn bestimme näherungsweise ds Integrl I = unter Benutzung () der Rechteckregel, (b) der Trpezregel, (c) der Simpson-Regel, (d) der Milne-Regel, sin(x) x =.946 83 7 367 (e) der Guß-Tschebyscheff-Integrtionsformel für n = 2 und n = 3, bei der Einteilung des Integrtionsintervlles in N =, 2, 4 Teile. Mn bestätige ufgrund des gegebenen exkten Wertes (uf Stellen) die Gesetzmäßigkeit der Fehlerentwicklung. 6. Mn bestimme näherungsweise I = x+ = ln(2) =.693 47 8 559 bei einer Einteilung des Integrtionsintervlls in N = 2, 4, 8 Teile. () Mn benutze dzu die Rechteckregel (Rechts), Trpezregel und Simpson-Regel. (b) Mn gebe die Integrtionsfehler n. (c) Mn schätze die Fehler mit dem Runge-Prinzip und vergleiche mit (b). 7. Ds Integrl I = sin( π 2 x) = 2 π =.636 69 772 367 ist mit der zusmmengesetzten Trpezregel bei N Teilintervllen näherungsweise bestimmt worden. () Mn gebe für N =,, die Fehlerschrnken für die Näherungswerte n. (b) Mit wieviel Knoten knn mn einen Integrtionsfehler ε 3 4 grntieren? 8. Mn bestimme näherungsweise I = I = sin(x) =.946 83 7 367 x π sin(x) = 2 unter Benutzung der 2
- Trpezregel, - Simpson-Regel, - Newton-3/8-Regel, bei einer Einteilung des Integrtionsintervlls in N =, 2, 4 Teile. Mn vergleiche mit dem exkten Wert und berechne den Fehler. Mn bestätige die Gesetzmäßigkeit der Fehlerentwicklung. 9. Eine Funktion sei durch die folgende Wertetbelle gegeben. x.8 2. 2.2 2.4 2.6 f(x) 3.24 4.42569 6.424 8.34.46675 Mn pproximiere ds Integrl I = f(x) durch die Anwendung der zusmmengesetzten Trpezregel. 2.6.8. Mn schreibe ein Progrmm zur numerischen Berechnung von b f(x) mit der zusmmengesetzten Mittelpunktformel und der zusmmengesetzten Trpezregel. Mn teste ds Progrmm n den Funktionen () f(x) = sin(x), x [, π 2 ], (b) f(x) = e x, x [, ], (c) f(x) = cos(x) x, x (, ]. Mn vergleiche die Resultte (soweit möglich) mit den exkten Werten.. Mn schreibe ein Progrmm, welches für Unterteilungen des Intervlles [,] in N = 8, 6, 32, 64, 28, 256, 52 und 24 gleichgroße Teilintervlle ds Integrl I = xsin(x) = sin() cos() =.3 68 678 94 mittels Rechteck-, Trpez- und Simpson-Regel berechnet und die Ergebnisse in einer Tbelle usgibt. Mn schreibe ds Progrmm so, dss vrible Integrtionsgrenzen und b ( < b) verwendet werden können. 2. Mn schreibe uf der Bsis des Ablufplnes für die Trpezregel mit Schrittweitensteuerung und Grob- und Feinrechnung eine geeignete Prozedur. Eingngsgrößen, b - Integrtionsgrenzen, < b f - Integrnd ε - Genuigkeitsschrnke h - Strtschrittweite Ergebnisgröße I - Näherungswert für Integrl 3
Mn ergänze den Ablufpln um Zähler, die die Gesmtzhl der Funktionswertberechnungen ls uch diejenige Anzhl ermitteln, die effektiv zum Näherungwert (Summe) beigetrgen hben. Mn teste die Prozedur nhnd von Beispielen. A h := h ; x := ; I := f := f(x) j x + 2h > b n f 3 := f(x + 2h) h := (b x)/2 f 2 := f(x + h) F := h/2 (f + 2f 2 + f 3 ) G := h (f + f 3 ) f 3 := f 2 h := h/2 est := (F G)/3 j est > ε n I := I + F + est f := f 3 x := x + 2h j x b > ε n E est < ε/5 j h := 2h n 3. Ist T(h, f) eine Abkürzung für die zusmmengesetzte Trpezregel mit Knotenbstnd h = b N zur Integrtion einer Funktion f(x), so zeige mn, dss T(h/2, f) = 2 T(h, f) + h 2 f(xi ), wobei in der letzten Summe nur über die neuen Knoten + h 2, + 3 2 h,..., b 3 2 h, b h 2 zu summieren ist. 4
4. Mn integriere uf [, ] mit der zusmmengesetzten Trpezregel die Funktionen f(x) = sin(x), g(x) = sin(x) x und bestimme jeweils experimentell die Fehlerordnung. Mn bechte I(f g) = 2 3. 5. Mn bestimme die Anzhl N der benötigten Teilintervlle konstnter Länge h = b N, mit der die zusmmengesetzte Trpezregel den Integrlwert I = e x2 =.746 824 32 82 mindestens uf 6 signifiknte Dezimlstellen genu liefert. Wie groß ist I uf 8 signifiknte Stellen genu? 6. Die Simpson-Regel heißt uch Keplersche Fssregel. Mn leite die Näherungsformel V = π h 2 (d2 + 2D 2 ) für den Inhlt eines Fsses her, in die die Höhe h, der Durchmesser D in hlber Höhe und der Durchmesser d n den Enden des Fsses eingehen. Für welche Fässer ist die Formel exkt bei beliebiger Höhe (kreisförmige Querschnitte vorusgesetzt). Wie ist die Genuigkeit von V im Vergleich zum Volumen des Fsses, dessen Mntellinie durch eine qudrtische Prbel beschrieben wird. 7. Mn leite in den Newton-Cotes-Formeln I n+ (f) = (b ) n A k f(x k ) = k= n w k f(x k ) k= die Integrtionsgewichte A k (w k ) her, indem der Integrnd f(x) durch ds Lgrngesche Interpoltionspolynom für n = und n = 2 ersetzt wird. Die Knotenreferenz lutet stets R = { x j : x j = + hj, j =,,...,n, h = b n 8. Mn leite die Integrtionsformel I n+ = h n A k f(x k ) und den zugehörigen Fehlerterm F = I I n+ für die Newton-Cotes-Formeln mit n = 3 und n = 4 her. 9. Zu gegebenem n N und Referenz R seien die Integrtionsgewichte w k mittels Interpoltionsqudrtur bestimmt worden. Die mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten ermittelten Gewichte A k, k = ()n, liegen ebenflls vor. Mn zeige, dss stets w k = ha k, k = ()n, gilt. k= }. 5
2. Mn zeige für die Konstnten A k = n n n j=,j k s j k j ds der Newton-Cotes-Formeln I n+ (f), dss () A n k = A k und n (b) A k =. i= 2. Die Newton-Cotes-Formeln I n+ (f) sind exkt für Polynome bis zum Grd n. Mn zeige, flls n gerde ist, dss die Formel I n+ (f) sogr für Polynome bis zum Grd n + exkt ist. Hinweis: Mn benutze die Restgliedformel der Polynominterpoltion und bechte die Symmetrie bezüglich +b 2. 22. Seien < b und x = (3 + b)/4, x = ( + b)/2, x 2 = ( + 3b)/4. Mn zeige b f(x) = b 3 [2f(x ) f(x ) + 2f(x 2 )] + R mit R 7 72 ( ) b 5 mx f (4) (x). 2 x [,b] Hinweis: Die ngegebene Formel ist eine Newton-Cotes-Formel mit negtivem Gewicht. 23. Von einer gltten Funktion f : [, 3] R seien die folgenden Funktionswerte beknnt: f = f(), f = f(.5), f 2 = f(), f 3 = f(2), f 4 = f(3). Gesucht sind Näherungsformeln (Qudrturformeln) für ds bestimmte Integrl I(f) = f(t)dt. () Notieren Sie für I(f) mit den oben gegebenen Knoten (Referenz) {(t i, f i ), i =,, 2, 3, 4} (lso keine weiteren oder weniger Knoten) eine zusmmengesetzte (summierte) Trpezregel T zus sowie eine zusmmengesetzte Simpson-Regel S zus. 6
(b) Es sei f(t) = /(t + ) und somit I(f) = ln(4) =.386 294 36 99. Berechnen Sie dmit die in () ngegebenen Größen T zus und S zus und vergleichen Sie die Ergebnisse mit I(f). Welche Qudrturformel liefert ds genuere Ergebnis und wrum? (c) Finden Sie mit der Funktion f(t) = /(t + ) zu den beiden Referenzen t.5 f(t) f f f 2 und t 2 3 f(t) f 2 f 3 f 4 die jeweiligen Interpoltionspolynome p(t) bzw. q(t) und berechnen Sie ds Integrl I pq = p(t)dt + Wrum gilt I pq = S zus? q(t)dt. 24. Mn berechne mittels Romberg-Verfhren bei N = 2 k Teilintervllen () I = x+ = ln(2) =.693 47 8 559 uf 4 bzw. 6 Stellen nch dem Komm genu. Die Werte der zusmmengesetzten Trpezregel T m, m = ()4, für die. Splte des Romberg-Tbleus sind (.75,.78 333 3,.697 23 8,.694 2 8,.693 39 2). Mn konstruiere zu diesen Werten uch ds Interpoltionspolynom p 4 (h). Mn berechne und vergleiche p 4 () mit I. (b) I = x e x = e =.78 28 828 459 mit folgender Tbelle von Stützwerten e x /8.33 49 2/8.284 625 3/8.454 99 4/8.648 72 5/8.868 246 6/8 2.7 7/8 2.398 275 2.78 282 25. Mn bestimme mit dem Romberg-Verfhren I = 2 x = ln(2) =.693 47 8 559. () Wie lutet die Berechnungsvorschrift der Werte T ik im Romberg-Tbleu? (b) Mn gebe die ersten 4 Zeilen des Romberg-Schems n. 7
26. Berechnung von π nch Archimedes (im Kreis ein- und umbeschriebene regelmäßige Vielecke: Dreieck, Sechseck, Zwölfeck,...) und Romberg-Integrtion. π = 3.4 592 653 589 793 238 462 643 383 279 52 884 97 hlber Umfng des Einheitskreises N Anzhl der Ecken des Vielecks T i, i = ()4, hlber Umfng des Vielecks Mn ergänze die Romberg-Schemt. () Einbeschriebene Vielecke i N T i T i T i2 T i3 T i4 3 2.598 76 6 3 2 2 3.5 829 3 24 3.32 63 4 48 3.39 352 (b) Umbeschriebene Vielecke i N T i T i T i2 T i3 T i4 3 5.96 52 6 3.464 2 2 2 3.25 388 3 24 3.59 624 4 48 3.46 83 27. Sei T(n) der Umfng des regulären n-ecks mit Umkreisdurchmesser d =. () Mn begründe die Existenz einer symptotischen Entwicklung T(n) = π π3 3! für n. n 2 + π5 5! n 4 π7 7! n 6 +... (b) Mn bestimme mit T(3), T(6), T(2) eine Näherung für π mit dem Romberg- Schem. (c) Mn verbessere mittels T(24) die gefundene Näherung weiter. 28. Mn entwickle eine Pscl-Procedur oder eine C-Funktion procedure Romberg(m:integer;,b:rel; f:funktion); die die ersten m Zeilen des Romberg-Schems zur Berechnung des bestimmten Integrls I = b f(x) berechnet und usgibt. Dbei seien und b die Integrtionsgrenzen mit < b und Funktion der Funktionstyp des Integrnden f(x). 8
b 29. Sei I = f(x) mit f C [, b]. Mn zeige, dss für lle k N die Werte der k-ten Splte des Romberg-Schems die symptotische Entwicklung T k (h) = I + c k h 2(k+) + c 2k h 2(k+2) + c 3k h 2(k+3) +... besitzen, wobei die c ik unbhängig von der Schrittweite h sind. 3. Es seien die folgenden Integrle gegeben I n (α) = t 2n+α sin(πt)dt mit α > und n =,, 2,... Mn beweise, dss die Größen I n (α) der Rekursion I n (α) = π genügen. Mn zeige ußerdem (2n + α)(2n + α ) π 2 I n (α) () lim n I n(α) =, (b) I n+ (α) I n (α), n. 3. Mn bestimme die Werte der folgenden Integrle mit geeigneten Progrmmen/ Softwre bis uf eine Genuigkeit von signifiknten Dezimlstellen. () I = (b) I 2 = (c) I 3 = 2π sin 64 (x) =.624 24 63 465 x 2 + 4 = 34.39 265 359 8 x = 3.948 96 63 395 Mn ermittle die benötigten Rechenzeiten und vergleiche die numerischen Rechnungen mit den ngegebenen exkten Integrlwerten. 32. Mn wende geeignete Guß-Formeln für die Berechnung folgender Integrle n und stelle den Fehler fest. () I = (b) I = (c) I = sin(x) = cos() =.459 697 694 e x = e =.78 28 828 459 e cos2 (x) = 2.9 77 77 9
33. Mn wende die Guß-Formeln G n+, n =, 2, n für die Berechnung folgender Integrle und vergleiche mit den exkten Werten. () I = (b) I = (c) I = 2 4 2 sin(x) =.53 294 82 469 cos(x) =.768 77 48 766 x 3 = 6 34. Mn gebe die Gußsche Integrtionsformel n, die für () gerde Polynome höchstens 2. Grdes genu ist, (b) ungerde Polynome höchstens 3. Grdes genu ist. Für ds Integrtionsintervll [, b] gelte < b. Mn wende die Eregebnisse n für die Integrle in Aufgbe 32. 35. Mn zeige die Existenz von Koeffizienten w, w 2,...,w n in Abhängigkeit von den Intervllgrenzen, b und den Stützstellen x < x <... < x n b, so dss b f(x) = n w i f(x i ) i= für lle Polynome p(x) vom Grd n gilt. 36. Mn finde eine Integrtionsformel der Form xf(x) A f(x ) + A f(x ), welche exkt für lle Polynome vom Grd 3 ist. 37. Gibt es eine Formel der Form x x f(x) A(f(x ) + f(x )) welche exkt für lle Polynome vom Grd 2 ist? 38. Mn leite eine Formel der Gestlt 2π f(x) A f() + A f(π) her, welche exkt für jede Funktion der Art f(x) = + b cos(x) ist. Mn zeige, dss die erhltene Formel ußerdem exkt ist für lle Funktionen der Form n f(x) = [ k cos((2k + )x) + b k sin(kx)]. k=
b 39. Mn konstruiere Qudrturformeln für p(x) möglichst niedrigen Grdes ersetzt, ds die Eigenschften () p() = f(), p ( x) = f ( x), p(b) = f(b), (b) p () = f (), p( x) = f( x), p (b) = f (b) f(x), indem mn f(x) durch ein Polynom für ein x [, b] besitzt. Ist eine derrtige Konstruktion immer möglich? Welche Ordnung hben die gewonnenen Formeln? Mn teste die gewonnenen Formeln n f(x) = (x.5) 2 und f(x) = (x.5) 3 für [, b] = [, ]. 4. Ds Integrl Regeln. π sin(x) = 2 soll näherungsweise bestimmt werden mittels folgender - S mit den Stützstellen, π 2, π, - H 2 mit den Stützstellen, π, - Zus. S mit den Stützstellen, π 4, π 2, 3π 4, π, - Zus. H 2 mit den Stützstellen, π 2, π. 4. Mn zeige, dss für hinreichend gltte periodische Funktionen (Periode = b, f() = f(b), f () = f (b)) bez. der zusmmengesetzten Qudrturformeln gelten () R L = T = H 2, (b) S und H 2 sind von gleicher Genuigkeitsordnung. 42. Es soll die Zhl e mittels eines Extrpoltionsverfhrens näherungsweise berechnet werden. () Mn zeige: T(h) = ( + h) /h, h, h <, besitzt die für lle h, h <, konvergente Entwicklung T(h) = e + α i h i. i= (b) Wie ist T(h) bzuändern, dmit die Extrpoltion für h = einen Näherungswert für e x, x fest, liefert? 43. Mit T(f, h) werde die Trpezsumme zur Schrittweite h für ds Integrl f(x) bezeichnet. Es lässt sich zeigen, dss für α > die Größe T(x α, h) folgende symptotische Entwicklung besitzt T(x α, h) = x α + h +α + 2 h 2 + 4 h 4 + 6 h 6 +....
Mn zeige, dss zu jeder nlytischen Funktion f(x) dnn die folgende symptotische Entwicklung existiert T(x α f(x), h) = x α f(x) + b h +α + b 2 h 2+α + b 3 h 3+α +... + c 2 h 2 + c 4 h 4 + c 6 h 6 +.... Hinweis: f ist nlytisch und es gilt llgemein T(φ + ψ, h) = T(φ, h) + T(ψ, h). 44. Mn bestimme die Integrlwerte () I = (b) I 2 = (c) I 3 = π sin(x) = 2 x 2 + 4 = 34.39 265 359 8 x = 3.948 96 63 395 mit einer dptiven Trpezformel uf 5 signifiknte Ziffern genu. Mn entwickle dzu ein geeignetes Pscl- oder C-Progrmm. 45. Mn entwickle nlog zur dptiven Trpezregel eine rekursive Prozedur Integrl zur dptiven Simpson-Regel. Mn teste diese n folgenden Beispielen. () I = (b) I 2 = (c) I 3 = π sin(x) x 2 + 4 8 x 46. Für ds Integrl I = G n = n k f(x k ), k= f(x) betrchten wir die Guß-Formel die für lle Polynome bis zum Grd 2n exkt ist. Sie ist eine offene Formel mit Stützstellen x k (, ). Fordert mn den mximlen Exktheitsgrd unter der zusätzlichen Bedingung x =, x n =, so erhält mn die Lobtto-Formel L n, die für Polynome vom Grd 2n 3 richtige Werte ergibt. () Mn zeige L 2 = T. 2
(b) Mn finde die Freiheitsgrde x 2,...x n,, 2,... n ufgrund der Exktheitsforderung für die Lobtto-Formeln L 2, L 3, L 4, L 5. 2 e (c) Mn berechne I = x x = 3.59 6 539 646 mittels L 2, L 3, L 4, L 5. 47. Seien G n und G m zwei Guß-Qudrturformeln, die exkt sind für Polynome vom Grd d und deren Stützstellen in (, ) liegen. Mn zeige. Für beliebige l N, c R existiert eine Funktion f C d+l [, ] mit ) f (d+s), s =, 2,..., l, 2) G n (f) = G m (f), 3) R n (f) = I(f) G n (f) = c. D. h. zwei Guß-Qudrturen können übereinstimmen, obwohl ihr gemeinsmer Fehler zu I(f) noch beliebig groß sein knn. Der Abstnd zweier Näherungen ist lso noch kein usreichendes Gütekriterium für den Näherungswert selbst. Hinweis: Stützstellen { von G n, G m in (, ε), ε >,, x [, ε] g = [x ( ε)] l, f (d+) cg, x ( ε, ] 48. Doppelintegrle lssen sich oft durch Hintereinnderführen zweier einfcher Integrtionen bestimmen. () Gesucht sind die Gewichte w ij von I = b d c f(x, y)dy n i= j= m w ij f(x i, y j ), x i = + ih, y j = c + jk, h = (b )/n, k = (d c)/m. Dbei soll zur Bestimmung von F(x) = d c f(x, y)dy und I = b F(x) die zusmmengesetzte Trpezregel benutzt werden. (b) Mn bestimme näherungsweise I = e x+y dy = e x 2 = (e ) 2 = 2.952 492 442 3 bei n = m = und n = m = 2 und vergleiche mit dem exkten Wert. 3
Auswhl von Integrlen zur numerischen Berechnung. Eigentliche Einfchintegrle () (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) 5 2 4 4 sin(x) = cos() =.459 697 694 32 sin(x) =.946 83 7 367 x e x2 =.746 824 32 82 xe 3x2 = 6 4 34 e x = e =.78 28 828 459 e x = e 2 = 6.389 56 98 93 e cos2 (x) = 2.9 77 77 282 x + 2 = 2 3 2 3 = 2.797 434 948 47 ( 25x 4 + 45x 2 8) = 4 x (2 x) 3 =.25 3 x( x 2 ) =.64 599 788 78 73 x( + x 2 ) =.792 485 65 98 = ln(2) =.693 47 8 559 x + x = ln(3) =.98 62 288 668 9 + x 2 = rctn() = π 4 =.785 398 63 397 448 = 2 rctn(4) = 2.65 635 327 336 7 + x2 e x sin(x) =.9 896 964 783 4
(r) (s) (t) (u) (v) π/2 e 5x sin(x) = 2.933 494 35 86 xcos(x) =.53 22 683 85 cosh(x)cos(x) =.933 42 496 2 5 e π 2 e2x cos(x) = ( x 2 ) 3/2 cos(x) = 3πJ 2 () =.82 939 832 42, J 2 (x) Besselfunktion. Art J k+ (x) = 2k x J k(x) J k (x), (w) f(x) = (x) f(x) = J k (x) = { e 3x sin(3x), flls x < 3π 6 5e (x3π/6), flls x 3π 6 f(x) = 4.566 735 69 4 43 { e 3x sin(3x), flls x < 3π 6 5e (x3π/6)2, flls x 3π 6 f(x) = 4.484 97 65 786 8 m= () m x 2m+k 2 2m+k, k =,, 2,... m!(k + m)! 2. Uneigentliche Integrle Anwendung der Qudrturformeln von Guß-Legendre, -Tschebyscheff, -Lguerre und -Hermite. () (b) (c) (d) (e) + x x = 8 3, Substitution x = z x e x = 3.422 93 x e x, >, Substitution x = cosh(z) x 2 x 4 x = π 2 =.57 796 326 795 x 2 cos(x) = πj () = 2.43 939 43 634 5
(f) (g) (h) (i) (j) π/2 π x 4 x8 = π cos 8 (z)dz = 35π 28 3x = 3π = 9.424 779 67 694 x 2 e x x = 2(e ) = 3.436 563 656 98 3 x(3 3x x 2 ) =.859 29 24 25 959 2π = 3 =.29 99 576 56 45 3 ln(sin(x)) = π 2 ln(2) =.88 793 45 52 (k) (l) (m) (n) (o) e x + e 2x = π 4 =.785 398 63 397 45 e x sin(x) = =.9 9 99 99 x π2 + ex = =.822 467 33 424 2 e x + x2 =.62 449 624 235 e x x k = k!, k (p) (q) (r) e x2 = (s) f(x) = π 2 e 3x2 x = 3 =.886 226 925 45 e x2 cos(x) = π e =.38 388 447 43 { e 3x sin(3x), flls x < 3π 6 5e (x3π/6)2, flls x 3π 6 f(x) = 4.489 57 85 865 46 3. Doppelintegrle () ( π e y ) + cos(2x) + cos(y) dy = 3.659 879 45 478 6
(b) (c) (d) (e) (f) 2 ( 4 3 dy xy = π2 6 ) (x + y) 2 ( 5 (5x 2 y 2y 3 ) 2.5 ( 3 x 2 =.644 934 66 848, Punktsingulrität bei x = y = dy = ln( 25 ) =.4 82 934 52 26 24 ) dy = 66 + y 2dy = π =.26 799 387 799 44 9 2 32 π 2(3y2 + ) 9 x 2 e 4x 2 ) π (3y2 +) 6 dy =.499 997 425 32 7
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