Kapitel 6. Funktionen

Kpitel 6 Funktionen Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen / 49 Reelle Funktion Reelle Funktionen sind Abbildungen, in denen sowohl die Definitionsmenge ls uch die Wertemenge Teilmengen von R (üblicherweise Intervlle) sind. Bei reellen Funktionen wird meist weder Definitionsmenge noch Wertemenge ngegeben. In diesem Fll gilt: Die Definitionsmenge ist die größtmögliche sinnvolle Teilmenge von R, in der die Zuordnungsvorschrift definiert ist. Die Wertemenge ist die Bildmenge f (D) = {y y = f () für ein D f }. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen / 49 Beispiel Die Produktionsfunktion f () = ist eine Abkürzung für f : [0, ) [0, ), f () = (Es gibt keine negtiven Produktionsmengen. Ausserdem ist für < 0 nicht reell!) Die bgeleitete Funktion f () = ist eine Abkürzung für f : (0, ) (0, ), f () = (Bechten sie ds offene Intervll (0, ). ist für = 0 nicht definiert!) Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 3 / 49

Grph einer Funktion Jedem Pr (, f ()) entspricht ein Punkt in der y-ebene. Die Menge ller dieser Punkte bildet eine Kurve und heißt Grph der Funktion. G f = {(, y) y = f () für ein D f } Wir können Funktionen mit Hilfe des Grphen vernschulichen. Viele Eigenschften von Funktionen lssen sich bereits us deren Grphen heruslesen. f () 5 4 3 f () = ln() 0 0 3 4 5 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 4 / 49 Zeichnen eines Grphen. Wir überlegen uns zuerst wie der Grph whrscheinlich ussehen wird. Grphen von elementren Funktionen sollten bereits us dem Gedächtnis skizziert werden können.. Wir wählen einen geeigneten Bereich uf der -Achse us. (Er sollte einen chrkteristischen Ausschnitt zeigen.) 3. Wir erstellen eine Wertetbelle und zeichnen die entsprechenden Zhlenpre in der y-ebene ein. Chrkteristische Punkte wie etw lokle Etrem oder Wendepunkte sollten verwendet werden. 4. Wir überprüfen, ob us den gezeichneten Punkten der Verluf der Kurve ersichtlich ist. Andernflls verlängern wir die Wertetbelle um einige geeignete Werte. 5. Die eingezeichneten Punkte werden in geeigneter Weise miteinnder verbunden. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 5 / 49 Beispiel f () 5 4 3 0 0 3 4 5 Grph der Funktion f () = ln Wertetbelle: f () 0 ERROR,307 3,90 4,64 5 3,39 0,5,93 0,5,636 0,,403 0,05 3,046 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 6 / 49

Stückweise definierte Funktionen Die Zuordnungsvorschrift einer Funktion knn uch in verschiedenen Intervllen des Definitionsbereichs verschieden definiert sein. An den Intervllgrenzen müssen wir dnn kennzeichnen, welche Punkte Bestndteil des Grphen sind: (Bestndteil) und (nicht Bestndteil). f (), für < 0 f () =, für 0 <, für Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 7 / 49 Bijektivität Jedes Argument besitzt immer genu ein Bild. Die Anzhl der Urbilder eines Elementes y W knn jedoch beliebig sein. Wir können dher Funktionen nch der Anzhl der Urbilder einteilen. Eine Abbildung f heißt injektiv, wenn jedes Element us der Wertemenge höchstens ein Urbild besitzt. Sie heißt surjektiv, wenn jedes Element us der Wertemenge mindestens ein Urbild besitzt. Sie heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv ls uch surjektiv ist. Eine Funktion besitzt genu dnn eine Umkehrfunktion wenn sie bijektiv ist. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 8 / 49 Horizontlen-Test Wie knn mn feststellen, ob eine reelle Funktion injektiv / surjektiv ist? Wie viele Urbilder knn ein y W f besitzen? () Wir zeichnen den Grphen der zu untersuchenden Funktion. () Wir zeichnen ein y W uf der y-achse ein und legen eine Gerde prllel zur -Achse (Horizontle) durch diesen y-wert. (3) Die Anzhl der Schnittpunkte von Horizontle und Grph ist die Anzhl der Urbilder von y. (4) Wir wiederholen () und (3) für eine repräsenttive Auswhl von y-werten. (5) Interprettion: Schneidet jede Horizontle den Grphen in () höchstens einem Punkt, so ist f injektiv; (b) mindestens einem Punkt, so ist f surjektiv; (c) genu einem Punkt, so ist f bijektiv. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 9 / 49

Beispiel 5 4 f : [,] R, ist nicht injektiv; ist nicht surjektiv; 3 f : [0,] R, ist injektiv; ist nicht surjektiv; f : [0,] [0,4], ist bijektiv; Definitions- und Wertemenge sind Bestndteil der Funktion! Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 0 / 49 Die zusmmengesetzte Funktion Seien f : D f W f und g : D g W g Funktionen mit W f D g. Dnn heißt die Funktion g f : D f W g, (g f )() = g( f ()) zusmmengesetzte Funktion ( g zusmmengesetzt f ). Seien g : R [0, ), g() =, f : R R, f () = 3. Dnn ist (g f ) : R [0, ), (g f )() = g( f ()) = g(3 ) = (3 ) und ( f g) : R R, ( f g)() = f (g()) = f ( ) = 3 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen / 49 Inverse Funktion Eine bijektive Funktion f : D f W f besitzt eine Umkehrfunktion f : W f D f mit der Eigenschft f f = id und f f = id, i.e., f ( f ()) = f (y) = und f ( f (y)) = f () = y Die Zuordnungsvorschrift der inversen Abbildung einer reellen Funktion erhlten wir durch Vertuschen der Rollen von Argument und Bild y. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen / 49

Beispiel Zur Berechnung der inversen Funktion drücken wir ls Funktion von y us. Wir suchen die Umkehrfunktion von y = f () = Durch Umformung erhlten wir: y = y + = (y + ) = Die Umkehrfunktion lutet dher f (y) = (y + ). D es üblich ist, ds Argument mit zu bezeichnen, schreiben wir f () = ( + ) Die Umkehrfunktion von f () = 3 ist f () = 3. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 3 / 49 Geometrische Interprettion Ds Vertuschen von und y spiegelt sich uch im Grphen der Umkehrfunktion wieder.. Medine f () f () (, y) (y, ) (Grph der Funktion f () = 3 und ihrer Inversen.) Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 4 / 49 Linere Funktion und Absolutbetrg linere Funktion f () = k + d k... Steigung d... konstntes Glied d k Betrgsfunktion f () = = { für 0 für < 0 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 5 / 49

Potenzfunktion Potenzfunktion mit gnzzhligen Eponenten: { f : n R flls n 0 n Z D = R \ {0} flls n < 0 n = 3 n = n = 4 n = n = 0 n = n = 3 n = n = 4 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 6 / 49 Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln n = n 0 = ( = 0) n+m = n m m = m ( 0) n m = n m n m = m n ( 0) ( y) n = n y n n m = m n ( n ) m = n m ( 0) Achtung! ist nicht gleich ( ) ( + y) n ist nicht gleich n + y n n + y n knn (im Allgemeinen) nicht vereinfcht werden! Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 7 / 49 Potenzfunktion II Potenzfunktion mit reellen Eponenten: f : α α R α = α > α = α < α = 0 α < 0 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 8 / 49

Polynome und rtionle Funktionen Polynome von Grd n: i R, für i =,..., n n = 0 f () = n k k k=0 Rtionle Funktionen: D R, p() q() p() und q() sind Polynome D = R \ {Nullstellen von q} Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 9 / 49 Rechenregeln für Brüche und Bruchterme Seien b, c, e = 0 c c b = b b d c = d b c b + d b = + d b b e c = c b e b = c c b b : e c = b c e b + d c = c + d b b c Bei der Addition zuerst uf gemeinsmen Nenner bringen! Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 0 / 49 Rechenregeln für Brüche und Bruchterme Achtung! + c b + c + y b b + c ist nicht gleich ist nicht gleich ist nicht gleich b + y + b b + c + y + = y + 3 = 5. + y = + y Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen / 49

Eponentilfunktion Eponentilfunktion: R R +, ep() = e e =,7888... Eulersche Zhl Allgemeine Eponentilfunktion: R R +, > 0 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen / 49 Logrithmusfunktion Logrithmusfunktion: Inverse Funktion zur Eponentilfunktion. R + R, log() = ln() Allgemeine Logrithmusfunktion zur Bsis R + R, log () Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 3 / 49 Rechnen mit Eponenten und Logrithmus Eine Zhl y heißt Logrithmus von zur Bsis, flls y =. Der Logrithmus ist der Eponent einer Zhl bezüglich einer Bsis. Wir schreiben dfür y = log () [ = y ] Wichtige Logrithmen: ntürlicher Logrithmus ln() zur Bsis e =,7888... (Eulersche Zhl) dekdischer Logrithmus lg() zur Bsis 0 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 4 / 49

Rechnen mit Eponenten und Logrithmus Umrechnungsformel: = e ln() log () = ln() ln() Achtung: Oft schreibt mn nur log() ohne Bsisngbe. In diesem Fll ist (sollte) die verwendete Bsis us dem Zusmmenhng oder einer Konvention ersichtlich sein. Im mthemtischen Bereich: ntürlicher Logrithmus Finnzmthemtik, Progrmme wie R, Mthemtic, Mim,... Im technischen Bereich: dekdischer Logrithmus Wirtschftswissenschften, Tschenrechner, Ecel,... Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 5 / 49 Rechenregeln für Eponenten und Logrithmus +y = y log ( y) = log () + log (y) log () = log ( ) = log ( y ) = log () log (y) log () = 0 log ( β ) = β log () log () = Achtung: log () ist nur für > 0 definiert! log ( + y) ist nicht gleich log () + log (y). Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 6 / 49 Winkelfunktionen Sinusfunktion: R [,], sin() Cosinusfunktion: π π 3π π cos() sin() R [,], cos() Achtung! wird im Bogenmß (Rdint) ngegeben, d.h., ein rechter Winkel entspricht = π/. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 7 / 49

Sinus und Cosinus = (cos α, sin α) α cos α sin α Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 8 / 49 Grenzwert einer Folge Betrchten wir die Folge von Zhlen ( n ) n= = ( ( ) n n ) n= = (,, 3, 4, 5, 6,...) 3 5 0 4 Die Folgenglieder streben mit wchsendem n gegen 0. Wir sgen, die Folge ( n ) konvergiert gegen 0. Wir schreiben dfür ( n ) 0 oder n = 0 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 9 / 49 Grenzwert einer Folge / Definition Definition: Eine Zhl R heißt Grenzwert (Limes) einer Folge ( n ), wenn es für jedes noch so kleine Intervll ( ε, + ε) ein N gibt, sodss n ( ε, + ε) für lle n N. M..W.: lle Folgenglieder b N liegen im Intervll. Äquivlente Formulierung: Eine Folge ( n ) konvergiert gegen den Grenzwert R, wenn für jedes ε > 0 ein N eistiert, sodss n < ε für lle n N. [Mthemtiker verwenden gerne ε für eine gnz kleine positive Zhl.] Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Sie konvergiert gegen ihren Grenzwert. Nicht jede Folge besitzt einen Grenzwert. So eine Folge heißt divergent. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 30 / 49

Grenzwert / Beispiele Die Folge ( n ) n= = ( ) n n= = (, 4, 8, 6,...) konvergiert gegen 0: n = 0 Die Folge (b n ) n= = ( n n+ ) n= = (0, 3, 4, 3 5, 4 6, 5 7,...) ist konvergent: b n = Die Folge (c n ) n= = (( )n ) n= = (,,,,,,...) ist divergent. Die Folge (d n ) n= = (n ) n= = (,4,8,6,3,...) ist divergent, strebt ber gegen. Mn schreibt dher (nicht gnz korrekt): d n = Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 3 / 49 Grenzwerte wichtiger Folgen n = qn = 0 für < 0 für = 0 für > 0 0 für q < für q = für q > für q n q n = 0 für q > für 0 < q < für < q < 0 ( q {0,}) Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 3 / 49 Rechenregeln Seien ( n ) n= und (b n) n= konvergente Folgen mit n = und b n = b; und (c n ) n= eine beschränkte Folge. () (k n + d) = k + d () ( n + b n ) = + b (3) ( n b n ) = b (4) n = b n b für b = 0 (5) ( n c n ) = 0 flls = 0 (6) k n = k Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 33 / 49

Rechenregeln / Beispiele ( + 3n ) = + 3 n = + 3 0 = }{{} =0 ( n n n ) = n = 0 + n 3 n = ( ) + n ( 3 n ) = sin(n) }{{} beschränkt }{{} n 0 = 0 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 34 / 49 Die Eulersche Zhl ( + ) n = e =,788884590... n Dieser Grenzwert ist in der Finnzmthemtik wichtig (stetige Verzinsung). ( + ) ( n = + n = ( = m m ( + m ) n n/ ) m ( m = n ) ( + ) m ) = e m Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 35 / 49 Dreiecksungleichung Für zwei beliebige Zhlen, b R gilt + b + b Beweis: Wir verwenden Zwei Fälle: = { flls 0 flls < 0 und. ( + b) 0: + b = + b + b.. ( + b) < 0: + b = ( + b) = ( ) + ( b) + b. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 36 / 49

Dreiecksungleichung / Anwendung Seien ( n ) und (b n ) b zwei konvergente Folgen. Dnn gilt ( n + b n ) = + b (Regel ) Beweis: Sei ε > 0 beliebig. ( n ) heißt: Es gibt ein N sodss n < ε für lle n N. (b n ) b heißt: Es gibt ein N b sodss b n b < ε für lle n N b. Dher gilt für lle n N = m(n, N b ): ( n + b n ) ( + b) = ( n ) + (b n b) [Dreiecksungleichung] n }{{} < ε + b n b < ε }{{} + ε = ε < ε I.e.: ( n + b n ) ( + b) q.e.d. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 37 / 49 Grenzwert einer Funktion Ws pssiert mit dem Funktionswert einer Funktion f, wenn ds Argument gegen einen bestimmten Wert 0 strebt? Wenn für jede konvergente Folge von Argumenten ( n ) 0 die Folge der Funktionswerte ( f ( n )) gegen eine Zhl konvergiert, so heißt der Grenzwert (oder Limes) der Funktion f n der Stelle 0. Wir schreiben dfür 0 f () = oder f () für 0 0 muss nicht in der Definitionsmenge liegen und knn dher uch sein. Genuso muss nicht in der Wertemenge der Funktion liegen. Für Limiten von Funktionen gelten nloge Rechenregeln wie für Grenzwerte von Folgen. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 38 / 49 Bestimmen eines Grenzwertes Für einfche Funktionen eignet sich folgende Vorgngsweise:. Wir zeichnen den Grphen der Funktion.. Wir zeichnen den Wert 0 uf der -Achse ein. 3. Wir setzen den Bleistift uf dem Grphen und führen ihn uf dem Grphen von rechts bis zum 0 -Wert. 4. Wir lesen den y-wert dieses Punktes von y-achse b. Dieser Wert heißt der rechtsseitige Grenzwert von f n der Stelle 0 : f (). 0 5. Anlog erhlten wir von der linken Seite den linksseitige Grenzwert von f n der Stelle 0 : f (). 0 6. Wenn beide Limiten gleich sind, so eistiert der Grenzwert und es gilt f () = f () = f () 0 0 0 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 39 / 49

Beispiel f () f () f () f () =, für < 0, für 0 < +, für 0,5 = f () = f () =,5 d.h., der Grenzwert n der Stelle 0 = eistiert nicht. Der Grenzwert n nderen Stellen eistiert hingegen, z.b. f () =. 0 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 40 / 49 Stetigkeit Beim Zeichen von Grphen fällt uf, dss es Funktionen gibt, die sich ohne Absetzen des Bleistifts zeichnen lssen. Solche Funktionen heißen stetig. Andere Funktionen besitzen Sprungstellen und mn muss beim Zeichnen den Bleistift vom Ppier heben. Solche Stellen heißen Unstetigkeitsstellen der Funktion. Forml lässt sich ds so usdrücken: Definition: Eine Funktion f heißt stetig n der Stelle 0 D, flls 0 f () eistiert und gleich dem Funktionswert f ( 0 ) ist. Die Funktion heißt stetig, flls sie in llen Punkten des Definitionsbereichs stetig ist. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 4 / 49 Stetigkeit Vorgngsweise für einfche Funktionen: () Wir zeichnen den Grphen der Funktion. () In llen Punkten des Definitionsbereichs, in denen wir beim Zeichnen nicht den Bleistift bsetzen müssen, ist die Funktion stetig. (3) In llen Punkten des Definitionsbereichs, in denen wir bsetzen müssen ist, die Funktion nicht stetig. f (), für < 0 f () =, für 0 < +, für f ist überll stetig ußer im Punkt =. Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 4 / 49

Funktionen in mehreren Vriblen Eine reelle Funktion in mehreren Vriblen ist eine Abbildung, die jedem Vektor eine reelle Zhl zuordnet. f : R n R, f () = f (,,..., n ) Die Komponenten i des Vektors heißen die Vriblen der Funktion f. Funktionen in zwei Vriblen lssen sich durch den Grphen (Funktionengebirge) vernschulichen: G f = {(, y) y = f () für ein D f } (Der Grph einer Funktion mit vielen Vriblen ist nlog definiert, er dient ber nicht mehr zur Vernschulichung.) Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 43 / 49 Grph einer bivriten Funktion z f (, y) = ep( y ) y Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 44 / 49 Niveulinien einer bivriten Funktion Die Menge ller Punkte (, y) mit f (, y) = c für ein c R wird ls Niveulinie der Funktion f bezeichnet. Die Funktion f ht dher uf einer Höhenlinie den gleichen Funktionswert. Andere Bezeichnungen: Indifferenzkurve Isoqunte (Isonutzenlinie) Höhenlinie Contourlinie Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 45 / 49

Niveulinien einer bivriten Funktion z y y Grph Niveulinien f (, y) = ep( y ) Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 46 / 49 Weg Eine Funktion s (t) s : R R n, t s(t) =. s n (t) heißt ein Weg (oder Pfd) im R n. Die Vrible t wird oft ls Zeit interpretiert. ( ) [0, ) R cos(t), t sin(t) t = 3 π t = 0 Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 47 / 49 Vektorwertige Funktion Allgemeine vektorwertige Funktionen: f () f (,..., n ) f : R n R m, y = f() =. =. f m () f m (,..., n ) Univrite Funktionen: R R, y = Multivrite Funktionen: R R, y = + Wege: [0,) R n, s (s, s ) t Linere Abbildungen: R n R m, y = A A... m n-mtri Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 48 / 49

Zusmmenfssung Abbildung Reelle Funktionen Grph einer Funktion Injektive, surjektiv, bijektiv Zusmmengesetzte und inverse Funktion Potenzfunktion, Polynome und rtionle Funktionen Eponentilfunktion und Logrithmus Winkelfunktionen Grenzwert Stetigkeit Funktionen in mehreren Vriblen Wege und vektorwertige Funktionen Josef Leydold Mthemtik für VW WS 07/8 6 Funktionen 49 / 49