Seminar WS 1999/2000: Robotik in der Medizin. Computer Tomographie. Matthias Bonn

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1 Seminar WS 1999/2000: Robotik in der Medizin Computer Tomographie Matthias Bonn

2 Allgemeines 1. Allgemeines 1.1 Medizinische Motivation Bei der Computertomographie handelt es sich um ein spezielles Röntgenverfahren zur Erstellung von Transversaltomogrammen. Klassische Röntgenverfahren erzeugen zweidimensionale Schattenbilder. Dies hat zur Folge, daß sich die unterschiedlichen Dichtestrukturen überlagern. Die Computertomographie dagegen ermöglicht es, eine Körperschicht als Schwächungs- bzw. Dichtebild wiederzugeben. Im Vergleich zur klassischen Röntgentechnik weist sie eine höhere Kontrastauflösung und eine geringere Strukturauflösung auf. Gerade die hohe Kontrastauflösung, die durch ein normales Röntgenbild nicht zu erreichen ist, verhalf der CT dazu, sich als nicht zu ersetzende Diagnosemethode zu etablieren. 1.2 Anwendungsgebiete Da bei der Computertomographie Röntgenstrahlen zum Einsatz kommen, werden vor allem Körperstrukturen, die ein hohes Strahlungsschwächungsvermögen haben, deutlich dargestellt. Dies sind vor allem Knochenstrukturen. Dagegen können andere Strukturen, wie etwa Weichteile, weniger gut aufgelöst werden. Verbessert werden kann der Weichteilkontrast durch die Verwendung von kontrastverstärkenden Mitteln, die meist per Injektion verabreicht werden. Abbildung 1.1 zeigt eine typische Anwendung der CT: Das Schädeltomogramm. Gewebe mit hohem Absorptionskoeffizienten erscheint hell (Knochen), Gewebe mit niedriger Absorption dagegen dunkel (Wasser, Luft). Abb. 1.1: Schädel-CT 2

3 Aufbau eines CT Scanners und physikalische Grundlagen 2. Aufbau eines Computertomographen und physikalische Grundlagen 2.1 Aufbau eines CT-Scanners Im wesentlichen besteht ein Computertomograph aus einem Patientenlagerungstisch, einem Bedienpult mit Auswerteeinheit, Rechner, Bildwiedergabeeinrichtungen, Archivspeicher und der Gantry (= Faßöffnung ). Diese enthält die Röntgenröhre, die Detektoren, das Lichtvisier und eventuell den Hochspannungsgenerator. Abbildung 2.1 zeigt einen typischen Computertomographen. Im folgenden wollen wir uns ein wenig genauer mit dem zentralen Element eines CT- Scanners, der Gantry, beschäftigen. Abb. 2.1: CT-Scanner mit Patiententisch, Gantry, Bedien- und Auswerteeinheit Das Grundprinzip der Bildgewinnung bei der CT besteht darin, daß der Patient von einem Strahlenfächer durchleuchtet wird und die abgeschwächten Strahlen von Detektoren registriert werden. Ein solcher Datensatz wird Projektion genannt. Nimmt man mehrere Projektionen zu verschiedenen Durchleuchtungswinkeln auf, läßt sich aus diesen das gewünschte Schichtbild rekonstruieren. Abbildung 2.2 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Parallelstrahl CT Scanners. Eine Projektion wird gewonnen, indem sich die Röhre und der Detektor parallel zueinander bewegen. Der Detektor registriert zu vorgegebenen Zeitintervallen die Strahlenmenge. Hat man eine Projektion aufgenommen, rotiert das ganze System um einen vorgegebenen Winkel weiter, um die nächste Projektion zu gewinnen. Parallelstrahl CT Scanner sind heute nicht mehr im Einsatz. 3

4 Aufbau eines CT Scanners und physikalische Grundlagen s Abb 2.2: Parallel- Strahl - Scanner Abb 2.3: CT-Scanner mit stehendem Detektor-Ring Abb 2.4: Fächer-Strahl - Scanner Abbildung 2.3 zeigt ein Rotationsgerät mit feststehendem Detektor Ring. Hier sind mehr als 4000 Detektoren ringförmig fixiert. Um eine Projektion zu gewinnen, wird der Patient fächerförmig auf seiner vollen Breite durchstrahlt. Die Röhre strahlt während einer Umdrehung kontinuierlich, die Detektoren werden in festgelegten Intervallen an- und ausgeschaltet. Beim sogenannten Fächerstrahl Scanner (fan beam) rotiert auf der gegenüberliegenden Seite der Röhre das Detektorfeld mit (Abb. 2.4). Die Strahlung kann bei diesem System an- und abgeschaltet werden, um die verschiedenen Projektionen zu gewinnen. Oder aber man arbeitet mit kontinuierlicher Strahlung und schaltet die Detektoren an und aus. Bei dieser Art von Scanner hat man eine zusätzliche Möglichkeit, mit einer Umdrehung des Systems mehr Daten zu gewinnen: Da die Projektionen, die bei den Projektionswinkeln von 180 bis 360 gewonnen werden, redundant sind zu denen der ersten halben Umdrehung, wird bei diesen Projektionen die Röntgenröhre leicht gekippt, so daß die nun ermittelten Projektionen versetzt zu denen der ersten halben Umdrehung liegen. Dieses sogenannte springende Fokus Verfahren ermöglicht eine genauere Bildrekonstruktion. Das Detektoren Feld besteht aus 700 bis 1000 Detektoren. Beide Systeme ermöglichen eine Aufnahmezeit von 1 2 Sekunden. Die Gantry Öffnung in der Mitte hat einen Durchmesser von etwa 70 cm. Bei den meisten Systemen ist die Gantry in der Horizontalachse um ± 25 kippbar, was die Anfertigung schräger Schichten ermöglicht. 2.2 Röntgenröhre und Detektoren Die bei der CT eingesetzten Hochleistungsröntgenröhren erreichen eine hohe Dosisleistung und verkraften Anodenbelastungen von 150 kw. Sie erreichen mit 2 Brennfleckgrößen kurze Aufnahmezeiten mit ausreichender Quantenzahl am Detektorsystem. Es werden Röhrenspannungen von 125 bis 150 kv verwendet. Die dazu nötigen Hochfrequenzgeneratoren sind meist in der Gantry integriert. Für die Spiral Volumen Technik (siehe Abschn. 7) werden Röhren mit permanent rotierender Anode und verstärkter Wärmeabführung verwendet. Bei der CT werden überwiegend 2 Typen von Detektoren eingesetzt: Xenon Hochdruckionisationskammern und Szintillationskristalle mit Photodiode. Die Abbildung 2.5 zeigt den schematischen Aufbau. 4

5 Aufbau eines CT Scanners und physikalische Grundlagen Röntgen- Quanten Röntgen- Quanten - - e - e - Xe Xe + Xe ca. 10 cm Szintillations- Kristall Licht- Quanten ca. 1 cm e - Xe + Photodiode A + - V Abb 2.5 Schematischer Aufbau von Xenon Hochdruckionisationskammern (links) und Szintillationskristall mit Photodiode (rechts) Die Ionisationskammer ist etwa 10 cm lang und mit Xenongas gefüllt, welches unter hohem Druck steht. Weiterhin befinden sich in der Kammer 2 Elektroden, die unter Spannung stehen. Einfallende Röntgenquanten ionisieren das Gas, das bedeutet, es wird in positiv geladene Xenon-Ionen und negativ geladene Elektronen gespalten. Die Xenon-Ionen wandern zur negativen Elektrode, die freien Elektronen zur positiven: es fließt ein Strom. Diesen Strom mißt man, er verhält sich proportional zur einfallenden Röntgenleistung. Mit diesen Detektoren können etwa 60% der Strahlung nachgewiesen und gut 1000 Messungen pro Sekunde aufgenommen werden. Beim Szintillations Detektor verwendet man ca. 1 cm lange CsI Kristalle, die die einfallende Röntgenstrahlung in Lichtstrahlen umwandeln, welche mittels einer Photodiode nachgewiesen werden können. Mit dieser Art von Detektoren sind noch höhere Abtastraten möglich. 5

6 Bilderzeugung und Darstellung 3. Bilderzeugung und Darstellung 3.1 Bilderzeugung Das Ziel der Computertomographie ist es, Schichtbilder zu erzeugen, bei denen jedes einzelne Pixel einen Gewebeteil repräsentiert. Zur Bildberechnung wird das Körperquerschnittsbild in eine Rekonstruktionsmatrix mit Pixeln eingeteilt. Der Schicht wird ein Dicke zugeordnet. Somit besteht eine Schicht aus sogenannten Voxeln (räumliche Bildelemente). Üblicherweise besteht eine Bildmatrix aus bzw Elementen, die Schichtdicke kann zwischen 1 mm und 12 mm liegen. Das Ziel besteht nun darin, für jeden einzelnen Pixel den Röntgenschwächungskoeffizienten zu bestimmen und diesen mit einem charakteristischen Grauwert darzustellen. Das genaue Verfahren zur Bildrekonstruktion wird im Kapitel 4 behandelt. Zunächst soll erläutert werden, was für Meßwerte von den Röntgendetektoren an das Computersystem geliefert werden. Betrachten wir einen einzelnen nadelförmigen Röntgenstrahl, mit Anfangsintensität 0, der ein homogenes Gewebe der Länge l mit konstantem Abschwächungskoeffizienten µ durchdringt. Der Detektor mißt eine Röntgenintensität des abgeschwächten Strahls. Es verhält sich die Abschwächung eines Röntgenstrahls nicht linear, sondern exponentiell. Somit gilt: = 0 e µx Gewünscht ist der Abschwächungskoeffizient µ, also: µ = 1 0 ln x Nun besteht der menschliche Körper allerdings nicht aus einem homogenen Gewebe, sondern aus der Hintereinanderanordnung vieler verschiedener Gewebesorten mit verschiedenen Abschwächungskoeffizienten µ i, die jeweils die Länge l besitzen (Abb. 3.1). So berechnet sich die gemessene Röntgenintensität zu N µ i l i e = 1 0 N ln µ i 0 l i= 1 Das Bildrekonstruktionsverfahren, die gefilterte Rückprojektion, berechnet aus diesen logarithmierten Werten die Funktion µ(x,y) ( Röntgenschwächungskoeffizient als Funktion des Ortes in einer Körperscheibe ). Diese Dichtefunktion wird mittels Grauwerten nach der sogenannten Hounsfield Skala dargestellt. l 0 µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 µ N Abb. 3.1: Durchgang eines nadelförmigen Röntgenstrahls durch den Körper 6

7 Bilderzeugung und Darstellung 3.2 Die Hounsfield Skala Die Hounsfield Skala (G. N. Hounsfield, 1970) repräsentiert die Dichtewerte der einzelnen Volumenelemente. Wasser gilt als Referenz und besitzt einen Wert von 0 Hounsfield Einheiten (HE), für Luft sind es HE, für Knochen 3000 HE. Bei einer Aufnahmespannung von kv besteht eine fast lineare Beziehung zwischen Absorptionswert und physikalischer Dichte eines Körperpunktes. Es ergibt sich die folgende Dichtedifferenzierung: HE = µ Objekt µ µ Wasser Wasser 1000 Nun hat man aber das folgende Problem: Praktisch alle Weichteile liegen im Bereich von ±100 HE. Der menschliche Betrachter allerdings kann nicht mehr als 30 Grauwerte unterscheiden. Daher kommt die sogenannte Fenstertechnik zum Einsatz (Abb. 3.4): Man wählt einen Ausschnitt auf der Hounsfield Skala. Dieses Fenster ist sowohl in der Lage als auch in der Größe variabel. Die Werte innerhalb des Fensters werden nun über den gesamten Graubereich gespreizt. Alle Hounsfield Werte, die unterhalb des Fensters liegen, werden schwarz dargestellt; alle, die darüber liegen, weiß Knochen Weichteile Wasser Fett 0 Luft Abb. 3.2: Die Hounsfield Skala und Wahl eines Fensters, das den Weichteil Bereich differenzierter darstellt 7

8 Die Bildrekonstruktion 4. Die Bildrekonstruktion 4.1 Die Radon Transformation Die Radontransformation (. Radon, 1917) ermöglicht es, eine beliebige integrierbare Funktion f(x,y) durch alle geraden Linienintegrale über das Definitionsgebiet zu beschreiben. Da jedoch einige dieser Integrale redundant sind, führt man ein Ordnungsschema ein, bei dem alle Integrale nur einmal auftauchen: y f(x,y) r e r = s f ( x, y) dl = p(, s) s x r mit : e = Einheitsvektor in Richtung, = Winkel zwischen der Integrationslinie und der Normalen durch Null Abb. 4.1: Ordnungsschema für die Linienintegrale Werden alle Winkel von 0 bis 180 und alle Werte s von s min bis s max der Reihe nach gewählt, so erhält man alle Linienintegrale p(,s) über die Funktion f(x,y). Die Werte dieser Linienintegrale können in ein sogenanntes p(,s) Diagramm eingetragen werden. Eine Linie in der Radontransformation mit = const. nennt man Projektion p (s). Es ist die Zahlenfolge aller Linienintegrale über f mit konstantem Winkel und variablem Abstand s zum Koordinatenursprung. Als Beispiel betrachten wir eine Funktion f(x,y), die in einem kreisförmigen Gebiet um (0, 0) den Wert a und sonst den Wert 0 hat (Abb. 4.2). 0 y f(x,y) s s +R 0 a R 0 x p (s) R 0 Abb. 4.2: Beispiel einer Radontransformation Für a = ½ stellt sich ein Projektion als Kreishälfte mit Radius R 0 dar. Dies gilt offenbar für alle Winkel. 8

9 Die Bildrekonstruktion 4.2 Das Fourier Scheiben Theorem Es ist nun bekannt, wie man von einer Funktion f(x,y) deren Radontransformierte berechnen kann. Für die Praxis relevanter ist allerdings der umgekehrte Weg: Ist es möglich und wenn ja, wie) aus der Radontransformierten einer Funktion f(x,y) zurück zur Funktion f selbst zu kommmen? In der Tat kann dieses Problem mit Hilfe des sogenannten Fourier Scheiben Theorems gelöst werden: Sei eine Funktion f(x,y) gegeben sowie deren 2D Fouriertransformierte F(u,v): 2D-FT f ( x, y) F( u, v) Sei weiter p (s) eine Projektion von f(x,y) zu einem beliebigen Winkel und P (s) deren 1D Fouriertransformierte: 1D-FT p (s) (w) P Dann beschreibt P (w) die Funktion F(u,v) längs des Winkels durch den Ursprung. Es ergibt sich also die folgende Möglichkeit, von der Radontransformierten p(,s) zur Funktion f zurückzukommen: Man bildet von allen Projektionen p (s) deren 1D Fouriertransformierte P (w) und trägt deren Werte auf dem zu gehörenden Radialstrahl in die Funktion F(u,v) ein. Durch eine inverse 2D Fouriertransformation von F(u,v) erhält man dann f(x,y) zurück (Abb. 4.3). Zu beachten ist jedoch folgendes: Dadurch, daß im Fourierraum die Projektionen P (w) in Ursprungsnähe immer dichter liegen, werden die tiefen Frequenzen verstärkt, was eine Unschärfe des rücktransformierten Bildes zu Folge hätte. Deshalb muß vor der Rücktransformation mit der w -Funktion multipliziert also gefiltert werden. Dieser Filter dämpft tiefe Frequenzen und verstärkt hohe. Bei der praktischen Anwendung des Fourier Scheiben Theorems, der gefilterten Rückprojektion, kommt dieser Aspekt besonders zum Tragen. f(x,y) 2D-Fourier- Transformation F(u,v) p (s) 1D-Fourier- Transformation P (w) Abb. 4.3: Fourier Scheiben - Theorem 9

10 Die Bildrekonstruktion 4.3 Radon Transformation und CT, Fourier Rekonstruktion Das Ziel der Computertomographie ist es, Schichtbilder zu erzeugen, den Körper quasi in dünne Scheiben zu zerschneiden. Um den Zusammenhang zwischen der CT und der Radon Transformation zu verstehen, betrachten wir zunächst einen dünnen Röntgenstrahl, der den Körper durchdringt. Das gemessene Signal ist die Rest Intensität bezogen auf die Ausgangs Intensität 0. Sei l die Länge des Weges, die der Strahl durch den Körper zurücklegt und sei µ(l) eine Funktion, die den Röntgenschwächungskoeffizient in Abhängigkeit des zurückgelegten Weges beschreibt. Die transmittierte Röntgenintensität ergibt sich dann aus dem Verlauf der Schwächungskoeffizienten längs des Strahls: = e µ ( l) 0 ln 0 dl = µ( l ) dl Bei der CT wird die Funktion µ(x,y) gesucht. Sie beschreibt den Röntgenschwächungskoeffizienten in Abhängigkeit des Ortes in einer Körperscheibe. Man mißt alle Linienintegrale zu einem festen Winkel mit laufendem Parameter s und erhält somit eine Projektion p (s). Dies wird für ausreichend viele Winkel 0 < 180 wiederholt. Damit ist die Radontransformierte der gesuchten Funktion µ(x,y) bekannt. Es ist nun naheliegend, wie CT Bilder erzeugt werden können: Man nimmt möglichst viele Projektionen unter verschiedenen Winkeln auf. Anschließend werden diese 1D fouriertransformiert, die transformierten Projektionen dann in eine Matrix F(u,v) eingetragen. Dabei muß zwischen den bekannten Werten der Radialstrahlen und den benötigten Werten in einem quadratischen Gitter interpoliert werden. Durch eine inverse 2D Fouriertransformation gewinnt man dann das gewünschte Bild µ(x,y). 10

11 Die Bildrekonstruktion 4.4 CT Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion Die am häufigsten eingesetzte Methode zur Rekonstruktion der Bilder aus den CT Meßdaten ist die gefilterte Rückprojektion. Abb. 4.4 zeigt noch einmal, wie eine Projektion entsteht. y f(x,y) x s p (s) Abb. 4.4: Gewinnung einer Projektion Grundlegend für die gefilterte Rückprojektion ist eine Gleichung, die im folgenden hergeleitet wird: Die gesuchte Funktion f(x,y) kann beschrieben werden durch die inverse Fouriertransformation von F(u,v). f ( x, y) + + i2 π( ux+ vy) = F( u, v) e dudv Werden im Fourierraum Polarkoordinaten (u = w cos, v = w sin, dudv = w dw d) eingeführt, so ergibt sich f ( x, y) = f ( x, y) = 2π 0 0 π + 0 Bei der Umformung wird der Absolutbetrag w gewählt, da negative Radien vorkommen können. Es wird noch folgende Abkürzung eingeführt: s = x cos + y sin F( w, ) e F( w, ) e i2πw ( x cos+ y sin ) i2πw ( x cos+ y sin ) wdwd w dwd 11

12 Die Bildrekonstruktion Nach dem Fourier Scheiben Theorem gilt: F( w, ) = P ( w) p (s) (w) die 1D Fouriertransformierte einer Projektion. Damit erhält man die Grundgleichung f ( x, y) π + = 0 P ( w) w e i2πws dw d Diese Gleichung soll im folgenden erläutert werden. Dazu kürzen wir das Argument des äußeren Integrals ab mit P + ~ i2πws p ( s) = P ( w) w e dw Dies bedeutet, daß (vor der Rücktransformation) die Funktion P (w) im Fourierraum mit w multipliziert wird. Ein Multiplikation im Fourierraum bedeutet eine Filterung (Multiplikation im Fourierraum = Faltung/Filterung im Ortsraum). Es gilt nach dem Faltungssatz: p (s) (w) h(s) ~ p ( s) p ( s) h( s ) = Man kann die Funktion h(s) nicht exakt angeben, sondern nur als Grenzübergang: P w P ( w w ) ε 2 ( 2π s) 2 2 ( ε ( 2π s) ) 2 w e ε w Die Funktion nähert sich für ε 0 der Funktion 1 2 2π s Abb. 4.5 zeigt schematisch die Funktion h(s) sowie ihre Fouriertransformierte w, welche die hohen Frequenzen umso stärker anhebt, je größer diese sind. 1 y max = 2 ε ε s 0 = 2π w s w Abb. 4.5: Links: Die inverse Fouriertransformierte von w e -ε w, rechts: die Funktion w 12

13 Die Bildrekonstruktion Nun betrachten wir in der Grundgleichung das Integral über : f ( x, y) ~ p ( s) d = ~ p ( x cos + ysin) d Dies bedeutet: Um vom einem vorgegebenen Punkt (x,y) den Wert der gesuchten Funktion f(x,y) zu erhalten, müssen von allen gefilterten Projektionen die jeweiligen Werte an der Stelle (x cos + y sin ) aufsummiert werden. Das heißt mit anderen Worten: Der Wert einer gefilterten Projektion ~ p ( s ) an der Stelle s wird in allen Bildpunkten hinzuaddiert, für die gilt: s = x cos + y sin π π = 0 0 Man kann also eine Projektion komplett abarbeiten, indem man die gefilterte Projektion unter dem Winkel über die Bildmatrix zieht und immer, wenn die gefilterte Projektion auf einen Pixel trifft, addiert man den Wert ~ p ( s ) hinzu. Diesen Vorgang nennt man Rückprojektion. Abb. 4.6 soll das Prinzip der Rückprojektion verdeutlichen. ~ p ( s ) Abb. 4.6: Prinzip der Rückprojektion Nun wollen wir uns der Frage zuwenden, warum überhaupt eine Filterung notwendig ist. Warum kann man nicht einfach die gemessenen Projektionen p (s) rückprojizieren? Betrachten wir die Punktbildfunktion, das Original ist also ein einziger Punkt (δ-peak). In Abb. 4.7 erkennt man, daß man ein sehr verschmiertes Bild erhalten würde, wenn man auf die Filterung verzichten würde. Die Filterung erzeugt rechts und links vom Peak negative Grauwerte, die beim Eintrag in das Bild gerade die bei den anderen Projektionen vor und hinter dem Peak zuviel eingetragenen Werte kompensieren, so daß man am Ende ein scharfes Bild erhält. Abb. 4.7 soll auch noch einmal den gesamten Vorgang der Bildrekonstruktion verdeutlichen. 13

14 Die Bildrekonstruktion Rückprojektion ohne Filterung Rückprojektion mit Filterung Resultat Rückprojektion dreier Projektionen starke Verschmierung scharfes Bild Rückprojektion dreier gefilterter Projektionen Rückprojektion Rückprojektion Intensitäts- Profil Faltung mit Filterfunktion Abschwächungsprofil Abb. 4.7: Das Prinzip der gefilterten Rückprojektion im Überblick Um das Shannon sche Abtasttheorem einzuhalten, sollten die Projektionen bandbegrenzt sein. Sei s der Abstand der Röntgendetektoren. Dann existiert in p (s) eine größte Frequenz mit w max mit w max 1 = 2 s Es ist also das Verfahren in der Praxis nicht so gut, wie es der Theorie nach sein müßte, der Grund dafür: Der (ideale) Filter w hebt die hohen Frequenzen stark an. Diese sind jedoch in der Praxis stark verrauscht. Zu diesem Zweck ersetzt man die mathematisch exakte Filterung + ~ i2πws p ( s) = P ( w) w e dw durch eine praktische Filterung + ~ i2πws p ( s) = P ( w) H ( w) e dw 14

15 Die Bildrekonstruktion In der Praxis werden 2 Funktionen verwendet, die beide Tiefpaßcharakterhaben, nahe bei der Funktion w bleiben und die für das Rauschen verantwortlichen hohen Frequenzen abschneiden. Es sind die Faltungskerne nach Shepp & Logan bzw. nach Ramachandran & Lakshminarayanan. die Abbildung 4.8 zeigt den Kern von Shepp & Logan, wobei der Detektor Abstand mit a bezeichnet wird. s s 1 sinπ 2 ( s) = a a sinπwa 2 2 H( w) = w rect( 2aw) p a s πwa 4 1 a h 2 2 ( k) = π 2 a 1 4k h a²h SL (s) H SL (w) S/a wa -0.1 Abb. 4.8: Faltungskern nach Shepp & Logan Hierbei bezeichnet h(s) den Faltungskern, H( w ) dessen Fouriertransformierte den Frequenzfilter und h(k) den digitalen Faltungskern. Dieser wird in der Praxis verwendet, da die Bildrekonstruktion ja von Computern durchgeführt wird. Deshalb sollen hier noch einmal die Gleichungen für die gefilterte Rückprojektion in analoger (mathematisch exakter) und in ihrer digitalen Übersetzung zusammengefaßt werden. Die Filterung lautet analog (hier wird nicht im Fourierraum multipliziert, sondern im Ortsraum gefaltet): In digitaler Form: + ~ p ( s) = p ( s) h( s s') ds ' Die analoge Rückprojektion lautet: k= + K k= K ~ p ( n s) = s p ( n s k s) h( k s) π f ( x, y) = ~ p( s) d 0 Bei der digitalen Form der Rückprojektion wird der Winkelbereich von 0 bis 180 in M Winkelabschnitte unterteilt (M = Zahl der Projektionen). Interpoliert man die Funktion ~ p ( s ) geeignet, so gilt: f ( x, y) = π M M i= 1 ~ p ( x cos i + y sin ) i 15

16 Bildfehler, Artefakte 5. Bildfehler, Artefakte 5.1 CT und das Abtasttheorem Bedingt durch die feste Breite der Detektoren ist das Meßsignal bandbegrenzt. Die Detektoren haben Tiefpaßcharakter, feine Strukturen werden also unterdrückt. Ein bandbegrenztes Signal kann jedoch unter Einhaltung des Shannon schen Abtastheorems vollständig rekonstruiert werden. Demnach sollte der Abstand zweier Meßpunkte nur halb so groß sein wie die Detektorbreite. Dieses Problem löst man mit Hilfe des springenden Fokus (Abschn. 2.1). Dieses Verfahren ermöglicht die Gewinnung von Meßwerten, die genau zwischen den Detektororten liegen: Der Röhrenfokus wird so bewegt, daß er für kurze Zeit im Labor Koordinatensystem ruht, obwohl der CT Scanner selbst rotiert. Im Labor Koordinatensystem bewegt sich das Detektor Array an der ruhenden Röhre vorbei. Nach einer Zeit T, nach der sich das Detektor Array um eine Detektorbreite weiterbewegt hat, wird der Röhrenfokus zurück auf den Ausgangswert geschaltet. In dieser Zeit T wird der Detektor zweimal ausgelesen und man hat mit der halben Detektorbreite abgetastet. Abb. 5.1 verdeutlicht die Effektivität dieses Tricks. Abb. 5.1: Artefaktreduktion durch Verschiebung der Detektor Arrays. Links mit, rechts ohne Verschiebung Weiterhin ist es wichtig, die Anzahl der Projektionen an die effektive Strahlbreite anzupassen. Abb. 5.2 zeigt dies für eine Breite von 1.5 mm. Abb. 5.2: Anpassung der Projektionenanzahl an die Strahlbreite. Links 180 Projektionen, rechts

17 Bildfehler, Artefakte 5.2 Meßwertverlust Stellen wir uns vor, der Extremfall tritt ein und von einer Million Meßwerten geht ein einziger verloren. Dieser fehlende Meßwert wird durch die Filterung so verstärkt, daß nach der Rückprojektion ein typisches 3 Streifen Muster im Bild erscheint (Abb. 5.3). Fällt dagegen eine ganze Projektion aus, kommt es nicht zum verstärkenden Effekt der Filterung. Deshalb erscheint ein solcher Meßfehler im Resultat nicht so deutlich und wird weniger leicht als Meß- bzw. Bildfehler erkannt (Abb. 5.4) Abb. 5.3: Verlust eines einzelnen Meßwerts Abb. 5.4: Verlust einer kompletten Projektion 5.3 Statistische Schwankungen Entscheidend ist hier vor allem das Quantenrauschen, eine physikalisch nicht zu vermeidende Schwankung in der Intensität des Röntgenstrahls. Dieses Problem kann nur durch eine Verstärkung der Strahlendosis verringert werden. Abb. 5.5 zeigt die Auswirkung der Röntgendosis. Hierzu werden Säulen verschiedenen Durchmessers in Wasser simuliert. 80 mgy 40 mgy 10 mgy 2.5 mgy Abb. 5.5: Einfluß der Strahlendosis auf das Rauschen. Zu sehen ist auch die typische radiale Ausrichtung der Rauschstörungen. Die Dosis ist in MilliGray (mgy) angegeben. 17

18 Bildfehler, Artefakte 5.4 Teilvolumenartefakte Befinden sich in einem Volumenelement Strukturen mit stark unterschiedlichen Röntgenschwächungskoeffizienten, kommt es zu Darstellungsungenauigkeiten. Der Grund liegt darin, daß die durchgelassene Strahlenmenge exponentiell von dem Röntgenschwächungskoeffizienten abhängt. Man spricht deshalb auch vom Nichtlinearen Teilvolumen Effekt. Nehmen wir an, innerhalb eines Pixels mit Kantenlänge x befinden sich 2 Gebiete mit unterschiedlichen Schwächungskoeffizienten µ 1 und µ 2. Dann gilt für die im Detektor gemessene Röntgenleistung : Es gilt also nicht, daß µ 1 x µ 2 x = 1 e + 2 e ln 0 = µ Der mit der CT ermittelte Wert ist also nicht der Mittelwert µ, wie man es eigentlich erwarten würde. Bei feinen Strukturen oder scharfen Übergängen innerhalb eines Volumenelements kommt es so zu angezeigten Dichtewerten, die keinem der tatsächlich vorkommenden Dichtewerte und auch nicht deren Durchschnitt entsprechen. Diese Artefakte lassen sich nur mit feinerer Abtastung, oder indem man die Schichtdicke verringert, vermeiden. 5.5 Artefakte durch Strahlaufhärtung Die Röntgenröhre liefert leider keine monochromatische Röntgenstrahlung, sondern ein relativ breites Spektrum von Quantenenergien. Beim Durchgang durch den Körper wird der niederenergetische Teil dieses Spektrums viel stärker absorbiert als der hochenergetische. Daher spricht man von Strahlaufhärtung. Nehmen wir an, eine Röntgenröhre liefert ein Spektrum mit zwei Energieanteilen E1 und E2. Dann gilt für die austretende Strahlungsintensität: = E1 e + e µ ( E1) x µ ( E2) x E2 Auch hier gilt im Allgemeinen nicht, daß ln 0 = µ Es sind also ähnliche Fehler wie bei Teilvolumenartefakten zu erwarten. Abhilfe schafft die Verwendung von Korrekturalgorithmen, die Verwendung höherenergetischer Strahlung und Kupfer Vorfilter, die den niederenergetischen Anteil aus dem Spektrum herausfiltern. 18

19 Collimator Collimator Collimator Computer Tomographie Bildfehler, Artefakte 5.6 Streustrahlartefakte Streustrahlung führt dazu, daß in allen Detektoren die Strahlungsleistung angehoben wird. Dies kann zu inkonsistenten Datensätzen führen. Besondere Auswirkung hat dieses Phänomen dann, wenn 2 Gewebegebiete mit hohem Absorptionsvermögen bei der einen Projektion nebeneinander, bei einer anderen Projektion aber hintereinander stehen: Stehen die Absorber hintereinander, wird die nachgewiesene Röntgenleistung von der Streustrahlung dominiert, der Detektor liefert also einen zu hohen Meßwert für die Rückprojektion. Vermeiden kann man dieses Problem, indem man zwischen die Detektoren Raster (sogenannte Collimatoren) anbringt, die Streustrahlung absorbieren, bevor diese auf die Detektoren trifft (siehe Abb. 5.6). gestreutes Röntgen-Quant Detektor Detektor Abb. 5.6: Prinzip eines Collimators Die Verwendung von Collimatoren ist bei Fan Beam CT Scannern besonders gut möglich. Bei Ring Detektor Systemen werden zusätzliche Detektoren ober- und unterhalb der durchleuchteten Scheibe angebracht. Diese registrieren die Streustrahlung, die dann vom eigentlichen Meßsignal subtrahiert wird. 5.7 Bewegungsartefakte Bewegt sich der Patient während der Aufnahme einer Projektion, entsteht ein inkonsistenter Datensatz. Dies kann zu Artefakten führen, die über den gesamten Bildbereich verlaufen können. (Abb. 5.7) Abb. 5.7: Typische Interferenzstruktur, die durch Bewegung entsteht 19

20 Das Computersystem 6. Das Computersystem Die mathematischen Algorithmen sind sehr gut geeignet zur fortlaufenden Bildberechnung, dem sogenannten Pipeline Prinzip. Der Rechner besteht aus einigen Einzel Prozessoren die in Reihe miteinander verbunden sind, wobei jeder Prozessor seine eigene Aufgabe erfüllt und jeder Prozessor für diese Aufgabe in etwa die gleiche Zeit benötigt. Durch den extremen Rechenaufwand, der in sehr kurzer Zeit abgearbeitet werden muß, scheiden herkömmliche Computersysteme aus. Deshalb werden Spezialprozessoren verwendet, bei denen die gesamte Bildrekonstruktion in Hardware realisiert ist. Dadurch liegt unmittelbar nachdem die letzte Projektion aufgenommen ist bereits das Bild vor, üblicherweise in Pixeln. Die Darstellung erfolgt dann in Pixeln. Andere Kontrollfunktionen wie die Steuerung der beweglichen Teile, Bilddarstellung und Bildspeicherung werden von üblichen Rechnern übernommen. CT-Scanner Faltungsprozessor Displayspeicher Displayelektronik Displayelektronik Displayspeicher Bilderspeicher Rückprojektion Datengewinnung Archivierung Pufferspeicher Vorverarbeitung Datenspeicher Steuer-Rechner Abb. 6.1: Struktur des Computersystems 20

21 Anwendungen und Zusatzprogramme 7. Anwendungen und Zusatzprogramme 7.1 Topogramm Vor der Aufnahme der einzelnen Schichtbilder wird festgelegt, welche Schichten aufgenommen werden sollen. Hierzu wird das sogenannte Topogramm verwendet. Der Patient liegt dabei auf dem Tisch, der durch den CT Scanner gefahren wird. Während dieser Durchfahrt nimmt der Scanner kontinuierlich Projektionen auf, ohne sich dabei zu drehen. Die aufgenommenen Projektionen werden zu einem Gesamtbild interpoliert. Das Resultat entspricht einem klassischen Röntgen Superpositionsbild. Anhand dieses Bildes wird der Bereich der Schichtbilder und deren Anzahl festgelegt. Abbildung 7.1 zeigt schematisch, wie ein Topogramm entsteht. Abb. 7.1: Entstehung eines Topogramms Abb. 7.2: Topogramm des Oberkörpers und Festlegung des Untersuchungsbereiches 21

22 Anwendungen und Zusatzprogramme 7.2 Die Spiral Volumen Technik Bei dieser Technik wird der Patient kontinuierlich durch das permanent rotierende Aufnahmesystem geschoben. Die Röntgenröhre sendet dabei ununterbrochen Strahlung aus (Abb. 7.4). Dadurch gewinnt man einen lückenlosen Datensatz, der im Rechner kontinuierlich weiterverarbeitet wird. Aus diesem (spiralförmigen) Datensatz können die einzelnen Schichten mittels Interpolation berechnet werden. Abb. 7.4: Prinzip des Spiral CT Vorteile der Methode: Lückenlose Volumendarstellung. Es lassen sich für jede Patientenebene durch überlappende Schichten 2D und 3D Rekonstruktionen durchführen (Abb. 7.5). Dabei minimale Bewegungsartefakte Dosiseinsparung durch überlappende Bildverarbeitung Kontrastmittel zur Weichteildarstellung wird optimal ausgenutzt Verkürzte Untersuchungszeit Abb. 7.5: 3D CT, Falschfarbendarstellung 22

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Grundlagen der Computer-Tomographie Grundlagen der Computer-Tomographie Quellenangabe Die folgenden Folien sind zum Teil dem Übersichtsvortrag: imbie.meb.uni-bonn.de/epileptologie/staff/lehnertz/ct1.pdf entnommen. Als Quelle für die mathematischen

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