Formel X Leistungskurs Physik WS 2005/2006

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1 Die Therodynaik ist die Lehre von der Energie. Sie lehrt Energieforen zu unterscheiden, sie zeigt deren Verknüfungen auf (Energiebilanz, 1. Hautsatz) und sie klärt die Bedingungen und Grenzen für die Uwandelbarkeit der verschiedenen Energieforen (2. Hautsatz der Therodynaik). Will an diese allgeeinen Beziehungen der Therodynaik auswerten, uss an die therodynaischen Eigenschaften der Stoffe 1 kennen. Unter de Begriff Stoff wird hier jede denkbare Erscheinungsfor von Materie verstanden 2. Das reale, i allgeeinen sehr kolexe Verhalten der Stoffe wird durch einfache Stoff-Modelle 3 erfasst und atheatisch it Stoffgesetzen 4 (constitutive equation) 5 beschrieben. Die in diese Gesetz benötigten Stoffwerte üssen durch Messungen bestit oder auf Grund von olekularer Modellvorstellungen erittelt werden. In der Therodynaik bezeichnet an diese Stoffgesetze als Zustandsgleichungen (equation of state) 7 und anstelle des Begriffs Stoff redet an allgeeiner vo betrachteten Syste 8. I Folgenden soll ein Stoffodell vorgestellt werden, das in vereinfachender Weise das in Wirklichkeit kolexe Verhalten von Gasen beschreibt. Das Stoffgesetz, das hierbei verwendet wird, bezeichnet an als therische Zustandsgleichung des idealen Gases. Bei der Herleitung dieses Stoffgesetzes gehen die klassische Therodynaik und die statistische Therodynaik unterschiedliche Wege (I Physiklehrbuch Dorn/Bader 9 werden beide Herleitungen aufgezeigt.) : In der klassischen Therodynaik werden die Modelle und deren atheatische Forulierungen aus beobachteten Phänoenen und aus exerientellen Erfahrungen entwickelt, d. h. ihre Begriffe sind durch ein hysikalisches Exerient, d. h. durch eine Messvorschrift definiert. Die Stoffe werden als Kontinuu aufgefasst, das heißt, die infolge des Atoaufbaus in Wirklichkeit verteilten Eigenschaften der Materie werden geglättet, d. h. durch stetige Ortfunktionen beschrieben (z. B. die Massendichte). Die klassische Therodynaik begründet die therische Zustandsgleichung des idealen Gases durch ein Exerient, dessen Ergebnisse extraoliert werden. Dieses Vorgehen ist jedoch unbefriedigend, weil bei dieser Extraolation der Gültigkeitsbereich des Gesetzes verlassen wird: 1 Baehr, H. D.: Therodynaik. 10. Aufl., Berlin, 2000 S keine gedankliche Größe wie z. B. der Gesrächsstoff oder der Stoff aus de die Träue sind 3 Broundt, E. und G. Sachs: Technische Mechanik, Berlin 1988, S. 105 Stoff-Modell Baehr, H. D.: Therodynaik. 10. Aufl., Berlin 2000, S. 210 Stoff-Modell Baehr, H. D.: Therodynaik. 10. Aufl., Berlin 2000, S. 10 verwendet den Begriff Materialgesetz 4 Ziegler, F.: Technische Mechanik der festen und flüssigen Körer, 2. Aufl. S. 159 verwendet neben de Begriff Stoffgesetz auch Materialgesetz und Materialgleichung 5 Broundt, E. und G. Sachs: Technische Mechanik, Berlin 1988 S. 105 Stoff-Gesetz Baehr, H. D.: Therodynaik. 10. Aufl., Berlin 2000 S. 585 verwendet den Begriff Stoffdaten Stehan, K. und F. Mayinger: Therodynaik, Band 1, 14. Aufl. Berlin 1992, S. 239, Stoffwerte 7 Callen, H. B:: Therodynaics, 20. Aufl., New York 190, S Cerbe,G. und H.-J. Hoffann, 12. Aufl. München 1999 S. 20, Anstelle des Begriffes Stoff führen wir säter das therodynaische Syste ein. 9 Dorn/Bader Physik Gesatband Sek. II Schroedel ISBN , Hannover

2 Senkt an bei konstante Druck die Teeratur, geht das Gas in den flüssigen oder festen Zustand über. Senkt an bei konstanter Teeratur den Druck, verlässt an den Gültigkeitsbereich der Kontinuuvorstellung. Die Grenzwertbetrachtung für Drücke gegen null ist ebenfalls unbefriedigend, da Gase in weiten Druckbereichen gut it diese Stoffgesetz beschrieben werden können. = const t t = const Bild 1: Extraolation Die statistische Therodynaik 10 geht in Gegensatz zur klassischen Therodynaik vo atoistischen Aufbau der Materie aus. Die Gesetze der klassischen Mechanik werden auf die Teilchen (Atoe, Moleküle) angewendet und durch statistische Methoden wird ein Zusaenhang zwischen den Eigenschaften der Teilchen und den akroskoischen Eigenschaften eines aus sehr vielen Teilchen bestehenden Systes gewonnen. Die statistische Therodynaik hat jedoch den großen Nachteil, dass ihre Begrifflichkeit nicht so streng und klar ist, wie dies bei der klassischen Therodynaik der Fall ist. Die statistische Therodynaik unterscheidet z. B. nicht zwischen der Prozessgröße Wäre und der Zustandsgröße innere Energie. Hier soll i Folgenden ein anderer Weg beschritten werden, der sich streng an die klassische Therodynaik hält, die therische Zustandsgleichung des idealen Gases aber it Hilfe von Proortionen 11 herleitet. Ugangssrachlich versteht an unter einer Proortion das Verhältnis zweier Größen. In der Matheatik versteht an unter einer Proortion eine Verhältnisgleichung: a c = b d Als direkt roortional 12 bezeichnet an zwei Größen, deren Quotient einen festen Wert hat:. y x = = const. Diesen Wert nennt an Proortionalitätsfaktor. Man schreibt auch 13 : y x y ~ x lies: y ist roortional zu x 10 Hat sich Ende des 19. Jahrhunderts aus der kinetischen Gastheorie entwickelt und wurde durch Arbeiten von Boltzann und Gibbs gerägt. 11 Pro or ti on, die; -, -en <lat> [Größen]verhältnis, Math. Verhältnisgleichung 12 Der Große Rechenduden 1. Band Mannhei 194, S DIN 1302: Nr Es gibt eine Konstante c 0, so dass für alle x gilt f(x) = c g(x) 2

3 Fasst an dieses Verhältnis als Zuordnungsvorschrift einer Funktion auf x x, stellt sich der Graf dieser Funktion als eine Gerade durch den Koordinatenursrung it der Steigung dar. y y 2 y 1 y 2 y = 1 x 2 Ugekehrt roortional sind zwei Größen, wenn ihr Produkt einen festen Wert hat: y x = = const. Man schreibt hierfür: 1 y ~ x lies: y ist ugekehrt roortional zu x Grafisch wird diese Proortionalität durch eine u 90 gedrehte, rechtwinklige Hyerbel dargestellt. 14 y10 10 x x 0.1 y 2 y 1 5 x x 2 x 0.1 x 10 Bild 2: Proortionalitäten y x 2 x2 = y1 x1 Wir betrachten nun ein Gasvoluen (z. B. N 2 ), das sich in eine durch einen Kolben geschlossenen Zylinder befindet. U deutlich zu achen, dass wir das Gas untersuchen wollen und nicht den Zylinder oder den Kolben, tragen wir eine Systegrenze ein, die uns das Gas als den zu untersuchenden Gegenstand definiert. Da wir die Eigenschaften des Gases it essbaren Größen beschreiben wollen (Wir bleiben in der klassischen Therodynaik) soll zunächst aufgelistet werden, welche Größen dies sind: 0 C Bild 3: Zustandsgrößen V 14 Pro or ti o na li tät, die; -, -en <lat>verhältnisäßigkeit 3

4 Wir können z. B. - das Voluen des Gases essen. Forelzeichen V. Einheit: [V] = 3. Das Voluen ist der Rau, den das Gas ausfüllt. Das Voluen könnte an z. B. it eine Zollstock essen. - den Druck des Gases essen. Einheit: [] = Pa. Der Druck des Gases ist die Kraftwirkung ro Fläche, die die Gasbereiche (besser Gasvolueneleente) aufeinander ausüben. Ist die Kraftwirkung null, ist auch der Druck = 0 Pa. Man bezeichnet diesen Druck als Absolutdruck. Der Druck resultiert aus einer Belastung der Systegrenze und aus de Eigengewicht des betrachteten Stoffes i Erdschwerefeld. Das Eigengewicht wird bei Gasen eistens vernachlässigt. Drücke isst an it eine Manoeter (Achtung: Differenzdrücke). - die Teeratur des Gases essen. Einheit: [t] = C. Die Teeratur des Gases isst an it eine Theroeter. - die Masse des Gases essen. [] = kg. Die Masse wird it einer Waage bestit. Wir untersuchen nun, wie sich das Voluen verhält, wenn wir eine der restlichen Größen verändern und die anderen unverändert lassen. Zunehender Druck: = const 1 V ~ T = const V abnehende Masse: = const V ~ t = const V = const V ~ t = const abnehende Teeratur: für t 0 geht das Voluen nicht gegen null t V Bild 4: Proortionalitäten Zwischen der Teeratur und de Voluen liegt keine direkte Proortionalität vor. Man kann bei Exerient aber feststellen, dass ein linearer Zusaenhang zwischen de Voluen und der Teeratur besteht, dass aber der Graf der Funktion V = f(t) nicht durch den Koordinatenursrung verläuft. Dies ist auch einleuchtend, da an den Teeraturnullunkt der Celsius-Skala völlig willkürlich gewählt hat. Dait wir eine direkte Proortionalität zwischen der Teeratur und de Voluen erhalten, definieren wir eine neue Teeraturskala it eine neuen Teeraturnull- 4

5 unkt. Man bezeichnet diese Teeratur V als Teeratur des idealen Gastheroeters 15 it de Forelzeichen T und der Einheit Kelvin. [T] = K. Dies entsricht einer Verschiebung des Koordinatenursrunges nach links u die Teeratur t = 273,15 C. Zwischen den beiden Koordinaten gilt der Zusaenhang: -273,15 C V 0 C T t Bild 5: Kelvin-Teeraturskala {T} = {t} 273,15 t in C, T in K Verwenden wir also als Teeratur die Teeratur des idealen Gastheroeters T erhalten wir eine direkte Proortionalität zu Voluen: V ~ T. Für T = 0 K ist das Voluen gleich null. Wir haben dait quasi eine absolute Teeratur definiert. Fassen wir die Ergebnisse zusaen erhalten wir: V ~ T. Mit de Proortionalitätsfaktor R i erhalten wir das Stoffgesetz, die therische Zustandsgleichung des idealen Gases zu: V = R i T. (Gl 1) Diese Gleichung heißt therische Zustandsgleichung, weil in ihr nur therische Zustandsgrößen vorkoen. R i ist ein Stoffwert, dass heißt, dass er für unterschiedliche Stoffe unterschiedliche Werte annit. Er wird als sezielle Gaskonstante bezeichnet. Die Einheit der seziellen Gaskonstante können wir it einer Einheitengleichung herleiten: [R i ] = 3 3 [ ] [ V ] Pa N = = 2 [ ] [ T ] kg K kg K [R i ] = J kg K. (Gl 2) Ein Gas, dass it diese Stoffgesetz beschrieben wird, bezeichnet an als ideales Gas. Reale Gase verhalten sich in weiten Druckbereichen annähernd nach diese 15 Baehr, H. D.: Therodynaik. 10. Aufl., Berlin 2000 S. 38 und S. 130, Als Forelzeichen verwendet Baehr Θ (Theta). 5

6 Stoffgesetz. Erst bei Gasen unter sehr hohen Drücken ist dieses Stoffgesetz nicht ehr verwendbar. Die therische Zustandsgleichung für ideale Gase stellt eine Zuordnungsvorschrift zwischen verschiedenen hysikalischen Größen her, sie ist also eine Größengleichung: G = f(g 1, G 2,...). Die Begrifflichkeiten in Zusaenhang it hysikalischen Größen wird hier vorausgesetzt. Die Arbeitsweise it Größengleichungen sind auf de beigefügten Merkblatt zusaengetragen. Für die Stoffenge n = 1 kol nit die therische Zustandsgleichung folgende Gestalt an: V = R i T = nm = 1 kol M V = nv = 1 kol V 1 kol V = 1 kol M RT i V = M RT. (Gl 3) Da das Voluen V für alle idealen Gase unter gleichen Bedingungen (gleiche Teeratur, gleicher Druck) gleich groß ist (Gesetz von Avogadro) hat die Größe: V = R (Gl 4) T für alle idealen Gase einen gleich großen Wert, der als olare Gaskonstante R bezeichnet wird. Ihr Zahlenwert kann durch Einsetzen des hysikalischen Norzustandes ( = 101,325 kpa,t = 273,15 K ) bestit werden: n n i J R = 8314,47. (Gl 5) kol K Durch Vergleich von Gleichung 3 und 4 erhält an den Zusaenhang: R = MR (Gl 3) i und it: = nm nr = R. (Gl ) i Setzt an die Beziehung in die therische Zustandsgleichung ein, nit diese folgende Gestalt an: V = n RT. (Gl 7)

7 Forales Arbeiten Regeln zu foralen Arbeiten: Die in der Aufgabenstellung gegebenen Größenwerte werden it Forelzeichen entweder nur aufgelistet oder aber in grafische Darstellungen (z. B. Fließbilder) oder in Diagrae eingetragen. Das Forelzeichen der gesuchten hysikalischen Größe/Größen wird bestit. Es wird eine Forel ausgesucht, in der die gesuchte hysikalische Größe vorkot. Hinter den Grundgleichungen und Definitionsgleichungen ier deren Benennung angeben! Große Buchstaben von kleinen Buchstaben durch Serifen 1 unterscheiden. Foreln sollen ier in der gleichen For angeben werden und dann je nach Bedarf in die gewünschte For ugestellt werden. z. B. V = R i T therische Zustandsgleichung des idealen Gases nicht v = R i T oder c = n C nicht C = M c Foreln werden solange ugefort, bis auf der linken Seite nur noch die gesuchte Größe steht und auf der rechten Seite nur noch bekannte Größen stehen. Alle Größen werden it Zahlenwert und Einheit eingesetzt. Nur SI-Basiseinheiten oder abgeleitete SI-Einheiten einsetzen ohne Vorsätze für deziale Vielfache oder Teile (Ausnahe: kg und kol; nicht MPa sondern 10 Pa). Abgeleitete Einheiten, die i Nenner stehen und als Bruch geschrieben sind, gleich als Kehrwert it in den Zähler schreiben. Erst zu Schluss Werte in den Rechner geben. Einheitenkontrolle Ergebnis zweial unterstreichen. Anzahl der aussagefähigen Stellen überlegen. Plausibilitätskontrolle Aufgaben, die einen therischen Zustand eines idealen Gases behandeln werden von denen, die eine Zustandsänderung behandeln unterschieden! Die Zustandsgrößen erhalten bei einer Zustandsänderung i Ausgangszustand den Index 1 i Endzustand den Index 2. Falls sich die Zustandsgröße nicht ändert, erhält sie keinen Index. Zustandsänderungen ier it zwei Benennungen angeben (z. B. isothere Exansion). 1 Se ri fe die; -, -n (eist Plural) <niederl.-engl.>: (Druckw.) kleiner, abschließender Querstrich a oberen oder unteren Ende von Buchstaben 7

8 Aufgabe 1 I 1-4 Ein geschlossener Behälter it eine Voluen von 10 3 ist it gasförigen Argon (ideales Gas, R i = 208,1 J/(kg K) ) gefüllt. Das Argon hat eine Teeratur von 20 C und einen Druck von 2 MPa. Berechnen Sie die Masse des i Behälter befindlichen Argons. Aufgabe 2 Ein geschlossener Behälter ist it kg Stickstoff gefüllt, das eine Teeratur von 20 C und eine Druck von 100 kpa hat. Ein zweiter geschlossener Behälter ist it 4 kg Stickstoff gefüllt, das auch eine Teeratur von 20 C aber einen Druck von 2 MPa hat. Die beiden Behälter sind durch eine dünne Rohrleitung iteinander verbunden. Durch das Öffnen eines Trennschieber in der Rohrleitung findet ein Druckausgleich statt. I sich einstellenden Gleichgewichtszustand hat der Stickstoff (ideales Gas, R i = 29,8 J/(kg K) ) wieder eine Teeratur von 20 C. Berechnen Sie den Druck des Stickstoffes nach de Ausgleichsvorgang. Aufgabe 3 In eine geschlossenen Zylinder befindet sich 0,5 kg Heliu (ideales Gas, R i = 2077,3 J/(kg K) ) bei 20 C. Durch Beheizung wird die Teeratur des Helius, bei eine konstant bleibenden Druck von200 kpa, auf 100 C erhöht. Berechnen Sie die Voluenänderung. Aufgabe 4 I 1-5 Der Druck in einer it Luft (ideales Gas, R i = 287,2 J/(kg K)) gefüllten, geschlossenen Unterdruckkaer (Voluen 2 3 ) soll, bei einer konstant bleibenden Teeratur von 2 C, u 30 kpa verringert werden. Welche Luftasse uss der Kaer entnoen werden? Aufgabe 5 I 1-3 Gegeben ist ein it Luft (ideales Gas) gefüllter Behälter (Voluen 10 3 ). Bei einer konstant bleibenden Teeratur von 20 C werden weitere 50 kg Luft in den Behälter gefüllt. Wie groß ist die dabei auftretende Druckänderung? Aufgabe Ein geschlossener Behälter it eine Voluen von 5 3 ist it Heliu (ideales Gas) gefüllt. Das Heliu hat eine Teeratur von 25 C und einen Druck von 5 MPa. Welche Stoffenge Heliu befindet sich i Behälter? Aufgabe 7 I 1-21 Wie groß sind Voluen, sezifisches Voluen und Dichte von 5 kg Luft (ideales Gas) bei de Druck 400 kpa und der Teeratur 82 C? 8

9 Aufgabe 1 Ein geschlossener Behälter it eine Voluen von 10 3 ist it gasförigen Argon (ideales Gas, R i = 208,1 J/(kg K) ) gefüllt. Das Argon hat eine Teeratur von 20 C und einen Druck von 2 MPa. Berechnen Sie die Masse des i Behälter befindlichen Argons. Gegeben: R i (Ar)= 208,1 J/(kg K) Gesucht: Argon, ideales Gas V = 10 3 = 2 MPa = 20 C t 17 : (Gl 2.3) V = R i T : (R i T) = = V R T i T 2.1 R i = 208,1 J/(kg K) 2 10 Pa 10 3 kg K 208, 1 293, 15 K J = 327,84 kg N 2 N 17 DIN : S. 9 Behälter 9

10 Aufgabe 2 Ein geschlossener Behälter ist it kg Stickstoff gefüllt, das eine Teeratur von 20 C und eine Druck von 100 kpa hat. Ein zweiter geschlossener Behälter ist it 4 kg Stickstoff gefüllt, das auch eine Teeratur von 20 C aber einen Druck von 2 MPa hat. Die beiden Behälter sind durch eine dünne Rohrleitung iteinander verbunden. Durch das Öffnen eines Trennschieber in der Rohrleitung findet ein Druckausgleich statt. I sich einstellenden Gleichgewichtszustand hat der Stickstoff (ideales Gas, R i = 29,8 J/(kg K) ) wieder eine Teeratur von 20 C. Berechnen Sie den Druck des Stickstoffes nach de Ausgleichsvorgang. Gegeben: R i (N 2 ) = 29,8 J/(kg K) Stickstoff, ideales Gas A1 = kg t A1 = t = 20 C A1 = 100 kpa t 2 = t = 20 C Stickstoff, ideales Gas B1 = 4 kg t B1 = t = 20 C B1 = 2 MPa Gesucht: 2 Das Voluen ist eine extensive Zustandsgröße: V V 2 = A + V B (Gl 2.3) V = R i T : V = i T R R V 2 = A1 i T R + B1 i T RT = A1 2 i B1 2 Die Masse ist eine extensive Zustandsgröße: 2 = A1 + B1 ( A1+ B1) Ri T = A1 R i T R + B1 i T A1 B1 2 A1 B1 2 = ( A B ) + + A1 B1 B1 A1 0, 1 10 Pa 2 10 Pa kg 2 10 Pa + 4 kg 0,1 10 Pa 2 = ( kg + 4 kg) 2 =2,5 kpa 18 DIN : , S. 9 Behälter 19 DIN 2481 : , S. 3, Nr. 5.12, nicht brennbares Gas 20 DIN : , S. 2 Abserraratur allgeein 10

11 Aufgabe 3 In eine geschlossenen Zylinder befindet sich 0,5 kg Heliu (ideales Gas, R i = 2077,3 J/(kg K) ) bei 20 C. Durch Beheizung wird die Teeratur des Helius, bei eine konstant bleibenden Druck von 200 kpa, auf 100 C erhöht. Berechnen Sie die Voluenänderung. Gegeben: R i (He) = 2077,3 J/(kg K) Gesucht: V 2 V 1 Heliu, ideales Gas = 0,5 kg t 1 = 20 C = 200 kpa = 100 C t 2 Isobare Wärezufuhr : (Gl 2.3) V 2 = R i T 2 (Gl 2.3) V 1 = R i T 1 - (V 2 - V 1 ) = R i (T 2 T 1 ) : V 2 V 1 = R T ( T ) i 2 1 T 2.1 R i (He) = 2007,3 J/(kg K) 0,5 kg 2077,3 J V 2 V 1 = 0,2 10 Pa kg K V 2 V 1 = 0, K N N 2 11

12 Aufgabe 4 Der Druck in einer it Luft (ideales Gas, R i = 287,2 J/(kg K) ) gefüllten, geschlossenen Unterdruckkaer (Voluen 2 3 ) soll, bei einer konstant bleibenden Teeratur von 2 C, u 30 kpa verringert werden. Welche Luftasse uss der Kaer entnoen werden? Gegeben: R i = 287,2 J/(kg K) Gesucht: Luft, ideales Gas V = 2 3 t = 2 C = - 30 kpa : (Gl 2.3) 2 V = 2 R i T (Gl 2.3) 1 V = 1 R i T - ( 2-1 ) V = ( 2 1 ) R i T : ( R i T ) 2 1 = 2 1 = ( ) 2 1 V RT 2 1 = - 0,98 kg i T 2.1 R i = 287,2 J/(kg K) Pa 2 3 kg K N 2 287, 2 299, 15 K J N 12

13 Kontrollfragen: 1. Welches ist das zentrale Thea der Therodynaik? 2. Was ist eine Zustandsgleichung? 3. Erläutern Sie die Arbeitsweise der klassischen Therodynaik. 4. Erläutern Sie die Arbeitsweise der statistischen Therodynaik. 5. Was ist ein Kontinuu?. Wann werden zwei Größen als direkt roortional bezeichnet? 7. Wann werden zwei Größen als ugekehrt roortional bezeichnet? 8. Wie lautet der zahlenäßige Zusaenhang zwischen der Celsius-Teeraturskala und der Skala der Teeratur des idealen Gastheroeters? 9. Wie lautet die therische Zustandsgleichung des idealen Gases? 10. Welche Einheit hat die sezielle Gaskonstante? 11. Was ist ein ideales Gas? 12. Waru bezeichnet an die Zustandsgleichung als therische Zustandsgleichung? 13