Systemtheorie. Vorlesung 22: Frequenzgang von Systemen. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

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1 Systetheorie Vorlesug 22: Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra

2 Grudlage Sigale köe über ihr Spektru beschriebe werde Etspreched ka lieare, zeitivariate Systee ei sogeater Frequezgag zugeordet werde Herleitug des Frequezgags auf uterschiedliche Wege, Veretzug vo Zeit-, Laplace- ud Frequezbereich Berechug des Frequezgags aus der Differetialgleichug Faltugsregel der Fourier-Trasforatio Zusaehag zwische Frequezgag ud Übertragugsfuktio Grafische Darstellug des Frequezgags als Ortskurve, Frequezkeliie ud als Bode-Diagra Messug des Frequezgags Frequezgag ud Pol-Nullstelle-Diagra Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 2

3 Grudlage Frequezgag ud Differetialgleichug Herleitug des Frequezgags über lieare Differetialgleichug N M d y a = dt = d u = b dt Differetiatiosregel der Fourier-Trasforatio N M a j Y = b j U = = Aus der Differetialgleichug i Zeitbereich ist i Frequezbereich ei Polyo geworde Ausklaer der Fuktioe Y() ud U() ud Auflöse ach Y() führt zu Frequezgag G() des Systes M = ( j ) ( j ) b = Y ( ) = U = G U N a Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 3

4 Grudlage Frequezgag ud Differetialgleichug Frequezgag ist die Übertragugsfuktio i Frequezbereich G Y = = U M = N = b a ( j ) ( j ) Frequezgag G() ist ei koplexer Wert it Betrag ud Phase Betrag G() gibt a, it welche Faktor die Aplitude des Eigagssigals der Frequez ultipliziert wird Phase () gibt a, welche Phaseverschiebug zwische Aus- ud Eigagssigal vorhade ist. Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 4

5 Übugsaufgabe: Grudlage Frequezgag ud Differetialgleichug RC-Netzwerk it Differetialgleichug du ue t R C ua t dt A = + Bereche Sie de Frequezgag der Schaltug i R Syste wird it eie kosiusförige Eigagssigal der Kreisfrequez ageregt u e C u a = ( ) u t U cos t E E Bereche Sie das Ausgagssigal u A (t) Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 5

6 Grudlage Faltugsregel der Fourier-Trasforatio Faltugsregel der Fourier-Trasforatio ka zur Herleitug des Frequezgags eies Systes verwedet werde Ausgagssigal y(t) eies LTI-Systes errechet sich bei bekater Ipulsatwort g(t) zu y ( t) = g( t) u( t) Mit der Faltugsregel der Fourier-Trasforatio ka die Gleichug i de Frequezbereich überführt werde Y ( ) = G U Frequezgag G() ist die Fourier-Trasforierte der Ipulsatwort G Y = = U M = N = b a ( j ) ( j ) Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 6

7 Beispiel: Grudlage Faltugsregel der Fourier-Trasforatio RC-Glied besitzt die Ipulsatwort 1 1 t g t e t R C RC = Trasforatio der Ipulsatwort i de Frequezbereich G = = R C 1 j + j R C + 1 R C Fourier-Trasforierte stit it de berechete Frequezgag des Systes überei Spektru des Ausgagssigals U A 1 1+ j R C ( ) = U E Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 7

8 Grudlage Frequezgags ud Übertragugsfuktio i Laplace-Bereich Vergleich vo Fourier- ud Laplace-Trasforatio vorgeoe Fourier-Trasforierte X() ergibt sich direkt aus der Laplace-Trasforierte X(s), we die iagiäre Achse s = j i Kovergezbereich der Laplace-Trasforatio liegt X( ) = X( s ) s= j Bedigug ist bei der Übertragugsfuktio G(s) eies LTI-Systes erfüllt, we das Syste kausal ud asyptotisch stabil ist, dait gilt für asyptotisch stabile Systee G( ) = G( s ) s= j Frequezgag G() ka bei kausale ud asyptotisch stabile Systee direkt aus der Übertragugsfuktio bestit werde Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 8

9 Beispiel: Grudlage Frequezgags ud Übertragugsfuktio i Laplace-Bereich RC-Glied besitzt die Übertragugsfuktio Gs U s 1 U s 1 s R C A = = E + Pol der Übertragugsfuktio liegt a der Stelle 1 = R C Syste ist deach kausal ud asyptotisch stabil, Übertragugsfuktio ka berechet werde zu G 1 G( s) s j = = = 1 + j R C Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 9

10 Zusaefassug: Grudlage Ausgagspukt Differetialgleichug i Zeitbereich Berechugsöglichkeit Differetiatiosregel der Fourier-Trasforatio N M N M d y d u a = b a ( j ) Y ( ) = b ( j ) U = dt = dt = = Faltugsoperatio i Zeitbereich Faltugsregel der Fourier-Trasforatio y ( t) = g( t) u( t) Y ( ) = G U Übertragugsfuktio i Laplace-Bereich bei asyptotisch stabile Systee Zusaehag zwische Fourier- ud Laplace-Trasforatio bei stabile Systee Y ( s) = G( s) U( s) ( ) = s j G G s = Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 1

11 Grudlage Begriffsdefiitioe Frequezgag ist eie koplexwertige Fuktio ud ka i Betrag ud Phase aufgeteilt werde I allgeeie Fall sid sowohl Betrag, als auch Phase des Frequezgags Fuktioe der Kreisfrequez Y U = M = N = b a ( j ) ( j ) j = G = G e = A e j Bezeichug Frequezgag Aplitudegag Logarithischer Aplitudegag Phasegag a A Forel G ( ) = G ( ) = 2 log A G = Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 11

12 Eigagsspaug u E (t) Übugsaufgabe: Grudlage Frequezgag (1/2) Eie RLC-Schaltug it de folgede Ersatzschaltbild ud de Baueleetwerte R =.1, C = 1 ud L = 1 wird it eie Spaugssigal u E (t) ageregt. Das Eigagssigal u E (t) ist periodisch ud i der folgede Grafik dargestellt. Stelle Sie das Eigagssigal u E (t) als koplexe Fourier-Reihe dar. A ( 1) 1 ( 1) = + j 2 2 Beschreibe Sie it eigee Worte die Bedeutug der koplexe Fourier- Koeffiziete A Zeit t Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 12

13 Sigale Aplitudegag a / db Übugsaufgabe: Grudlage Frequezgag Bereche Sie allgeei die Übertragugsfuktio der RLC-Schaltug R u ( t) C L u ( t) E A Kreisfrequez Gebe Sie de Frequezgag der Schaltug a. U was für eie Filtertyp hadelt es sich? Stelle Sie das Ausgagssigal u A (t) dar, das sich bei Aregug der Schaltug it de Eigagssigal u E (t) ergibt. 2 u E (t) u A (t) für N = Zeit t Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 13

14 Iagiärteil Grafische Darstellug Ortskurve des Frequezgags Frequezgag G() ka i Polarkoordiate- Schreibweise dargestellt werde 4 ( ) = j G A e Betrag A() ka als Läge eies Zeigers i der koplexe Ebee iterpretiert werde, der zur reelle Achse de Wikel () aufweist () Frequeze - führe zur sogeate Ortskurve A() Frequez ist Paraeter zur Bestiug vo Wertepaare zu Betrag ud Phase Iterpretatio des Frequezgags i Kobiatio it Aussage zur Frequez icht direkt öglich Realteil Awedug i Regelugstechik, Stabilitätsaussage it Nyquist-Diagrae Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 14

15 Iagiärteil Beispiel: Grafische Darstellug Ortskurve des Frequezgags Syste it Frequezgag G 1 1 s + s j ( ) = = 2 2 s= j 4 Kurve startet für = i de Pukt G() = 1. Für erreicht die Ortskurve de Koordiateursprug () Für > wird der Iagiärteil des Neers positiv, was zu eie egative Iagiärteil des Frequezgags führt Ortskurve wird deach i Pfeilrichtug durchlaufe A() Realteil Für < wird aus Syetriegrüde die gestrichelte Ortskurve durchlaufe, keie zusätzliche Iforatio Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 15

16 Phase () Betrag A Grafische Darstellug Frequezkeliie-Diagrae Frequezkeliie-Diagra stellt Betrag ud Phase als Fuktio der Kreisfrequez dar Durch separate Darstellug vo Aplitude- ud Phasegag als Fuktio der Kreisfrequez bleibt die Frequeziforatio erhalte Aufgrud der Syetrie des Frequezgags beschräkt sich der dargestellte Frequezbereich auf Beispiel G = j 1 = e ( 1 ) j arcta / Aplitudegag Kreisfrequez Phasegag Kreisfrequez Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 16

17 Grafische Darstellug Bode-Diagrae I Frequezkeliie-Diagrae werde große Zahlebereiche dargestellt Frequezbereich erstreckt sich über ehrere Zeherpoteze, deshalb logarithische Skalierug Bode-Diagra wird der Logarithus des Verhältisses vo Ausgags- zu Eigagsleistug eies Systes dargestellt, Größe besitzt die Eiheit Bel Uter Berücksichtigug der Leistugsdefiitio vo Sigale ka die Größe auf das Verhältis der Aplitude zurückgeführt werde 2 P A UA UA log log 2 log 2 log A 2 PE U UE E ( ) = = = I praktische Eisatz wird statt der Eiheit Bel das Dezibel verwedet, das eie zehte Teil des Bel etspricht, Größe a() ist defiiert als U a 2 log( A ) 2 log U A = = E Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 17

18 Grafische Darstellug Bode-Diagrae Zur Uterscheidug vo lieare Aplitudegag A() wird der logarithische Aplitudegag a() klei geschriebe Tabellarische Übersicht eiiger wichtiger Zahlewerte i Dezibel Zahlewert liear Logarithischer Wert 1 2 db 2 3 db 1 db 1/ 2 3 db 1/ 1 2 db db + 2 db = 4 db Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 18

19 Phase () Betrag a / db Beispiel: Grafische Darstellug Bode-Diagrae Bode-Diagra für 2 Aplitudegag G 1 1 s + s j ( ) = = 2 2 s= j Aplitudegag steigt bis zu eier Frequez MAX = 3.1 leicht a, ud fällt it steigeder Frequez steil ab Phasegag begit it eie Phase vo () = ud fällt ichtliear it der Frequez auf () = MAX 1 1 Kreisfrequez Phasegag Bei der Frequez MAX = 3.1 erreicht der Phasegag eie Phase vo (3.1) - /2. - /2-1 MAX 1 1 Kreisfrequez Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 19

20 Grafische Darstellug Vorteile Bode-Diagrae Bode-Diagrae weise durch spezielle Darstellugsfor eiige grafische Vorteile auf Größe it stark uterschiedliche Zahlewerte köe grafisch so veraschaulicht werde, dass die Ablesegeauigkeit de jeweilige Wert der Größe ageesse ist Darstellug der Frequezabhägigkeit i Bode-Diagrae führt häufig auf Geradeabschitte Nebe grafische Vorteile ergibt sich durch die logarithische Darstellug eie Vereifachug bei der Erstellug vo Bode-Diagrae Liearfaktor-Darstellug der Übertragugsfuktio G(s) Kostate M ud N repräsetiert die Vielfachheit der Liearfaktore G s M b s M M ( 1) ( = 2) k N N N a ( 1) ( 2) s = = = 1 2 s s s s... Kostate M ud N repräsetiere die Vielfachheit der Liearfaktore Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 2

21 Grafische Darstellug Vorteile Bode-Diagrae Berechug Frequezgag bei stabile Systee s= j Logarithischer Aplitudegag i Dezibel Mit de Recheregel zu Logarithus ka die Gleichug ugefort werde zu j M M M M jm M j 1 j 2... j j k 1 e j 2 e... N1 N2 N1 jn1 1 N 2 jn2 2 j j... j e j e... G = G s = k = k e a( ) = 2 log( A ( )) = 2 log k M j j j j ( ) = + ( ) ( ) a 2 log k M 2 log j N 2 log j = 1 = 1 N Produkt aus Liearfaktore i Zähler ud Neer geht i eie Sue über, Betrag a() des Frequezgags i db setzt sich aus de Betrag der eizele Liearfaktore vo Zähler ud Neer i db zusae, Logarithe der Zählerfaktore werde addiert ud die Logarithe der Neerfaktore subtrahiert Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 21

22 Grafische Darstellug Vorteile Bode-Diagrae Aalog ergibt sich für die Phase M M N k 1 = 1 = 1 N = + Auch die Phase des Gesatsystes setzt sich aus der Phase der eizele Liearfaktore i der Übertragugsfuktio zusae, Phase der Zählerfaktore werde addiert ud die Phase der Neerfaktore subtrahiert Veräderug eies Paraeters α oder β eies Übertragugsgliedes verädert ur desse Ateil i Betrag ud Phase des Gesatfrequezgags Bode-Diagra hat dait etscheidede Vorteile bei der Darstellug des Frequezgags vo Systekette, sie ergebe sich aus der grafische Additio der Frequezgäge eizeler Übertragugsglieder Aufgabe, ei Bode-Diagra zu erstelle, lässt sich auf das Aufstelle vo weige Bode- Diagrae reduziere, die überlagert werde, Vorgehe etspricht de i Grudlage der Elektrotechik ud wird i der Regelugstechik weiter vertieft Fakultät für Elektro- ud Iforatiostechik, Mafred Strohra 22