Vorwort. Kerstin Rjasanowa. Mathematische Modelle im Bauingenieurwesen. Mit Fallstudien und numerischen Lösungen ISBN:

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1 Vorwort Kerstin Rjasanowa Mathematische Modelle im Bauingenieurwesen Mit Fallstudien und numerischen Lösungen ISBN: Weitere Inormationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel. Carl Hanser Verlag, München

2 5 Vorwort Das vorliegende Buch hat numerische Methoden und deren Anwendung im Bauingenieurwesen zum Gegenstand. Es wendet sich an Leser, die sich mit der phsikalisch-mathematischen Modellierung und Realisierung technischer Augaben im Bereich des Bauingenieurwesens au dem Computer (Bauinormatik) beschätigen oder selbst Programme daür erstellen. Das sind vorwiegend Studierende und Dozenten des Bauingenieurwesens, der Technomathematik und Sotwareentwickler im Bauingenieurwesen. Numerische Methoden bilden die Grundlage ür die Erstellung von Sotware in vielen Gebieten des Bauingenieurwesens, die z. B. die Simulation technischer Ssteme anstelle auwendiger oder teurer Eperimente ermöglicht. Voraussetzung daür ist, dass die praktischen Augabenstellungen analsiert und relevante phsikalischmathematische Modelle abgeleitet werden. Meistens sind im Resultat lineare oder nichtlineare Gleichungen bzw. Gleichungsssteme zu lösen, Integrale und Ableitungen zu bestimmen, Funktionen zu approimieren oder Anangs- und Randwertprobleme zu lösen. Analtische Lösungen, wenn sie überhaupt eistieren, können in den überwiegenden Fällen nur unter großem Auwand bestimmt werden. Die ot in solchen Situationen verwendeten Faustormeln oder Diagramme aus Handbüchern sind nicht immer zeitgemäß, weil sie zu ungenau und nicht adäquat zur Kompleität der Problemstellung sind. An dieser Stelle kommen numerische Lösungsverahren zum Einsatz. Ot verwendete Näherungsverahren werden im Buch angegeben und, wo sinnvoll, theoretisch begründet. Insbesondere wird die Frage nach der Brauchbarkeit der Näherungslösungen beantwortet. Eine effiziente und genaue Simulation der Probleme ist nur bei guter Abstimmung von phsikalischem Modell, numerischem Verahren und rechentechnischer Umsetzung möglich. Eine einseitige Optimierung nur einer dieser drei Lösungsabschnitte ührt hingegen nicht zum Ziel. Das wird im Buch an konkreten Beispielen vermittelt. Die Voraussetzungen der Anwendbarkeit der Verahren werden genau beschrieben. Jedes angegebene Verahren wird an Zahlenbeispielen illustriert. Als Zusammenassung wird der Algorithmus des Verahrens so dargestellt, dass unmittelbar danach Sotware erstellt werden kann. Die angegebenen Verahren werden an Fallstudien aus der Prais des Bauingenieurwesens angewendet, die allgemeine Problemklassen repräsentieren. Dabei sind z. B. die Bereiche Technische Mechanik, Wasserbau, Siedlungswasserwirtschat, Baubetrieb und Straßenbau vertreten. Die Fallstudien weisen einheitliche Gliederung in Praktische Augabenstellung, Mathematisches Modell, Numerisches Verahren und Berechnungsergebnisse au. Das jeweilige praktische Problem wird mit klarer Benennung der Eingabegrößen und der gesuchten Größen analsiert, und die im Bauingenieurwesen üblichen Modelle werden abgeleitet. Insbesondere erhält der Leser eine genaue mathematische Analse ihrer Lösbarkeitseigenschaten. Die Anwendung eines geeigneten numerischen Verahrens wird begründet und konkret angegeben. Dabei werden aktuelle, moderne und effiziente Methoden vorgestellt. Wenn unterschiedliche numerische Verahren zum Einsatz kommen können, werden ihre Vor- und Nachteile genannt. Sonderälle und ihre Behandlung werden augezeigt, die bei der Erstellung von Computerprogrammen zu berücksichtigen sind. Eigene Tests an konkreten Berechnungsbeispielen zeigen gleichzeitig die Funktionsähigkeit der Algorithmen und der realisierten Computerprogramme. Anschließend erolgt die Diskussion und Bewertung der Ergebnisse. Numerische Verahren und Fallstudien betreffen die Gebiete Lineare Gleichungsssteme, Nichtlineare Gleichungen und Gleichungsssteme, Interpolation, Numerische Integration, Numerische Differenziation, Ausgleichsrechnung und Gewöhnliche Differenzialgleichungen (Anangswert- und Randwertaugaben). Alle Kapitel enthalten Übungsaugaben vorwiegend aus dem Bauingenieurwesen, die gleichzeitig weitere Anwendungsgebiete der numerischen Methoden auzeigen und damit auch ihre Praisnähe illustrieren. Das Lösen der Augaben dient der Vertieung und zusammenassenden Kontrolle der gewonnenen Kenntnisse und regt zur eigenen Implementierung der numerischen Algorithmen an. Das Buch ist klar strukturiert. Alle Gedankenschritte sind durch Überschriten der Absätze genannt. Beweise zu theoretischen Grundlagen sind, soern vorhanden, klein gedruckt. Das Verständnis des Buches ist beim Überspringen nicht beeinträchtigt. Jedoch

3 6 VORWORT zeigen die angegebenen Beweise Ideen ür die theoretische Absicherung der numerischen Methoden bei den Anwendungsbeispielen, die auch bei neuen Augaben Verwendung finden können. Au meiner Homepage kerstin.rjasanowa ist ür jede Fallstudie ein unktionsähiges Computerprogramm in der Programmiersprache C oder mit dem Computeralgebrasstem MathCAD bereitgestellt. Damit besteht ür den Leser zusätzlich zum Durchühren eigener Testrechnungen auch die Möglichkeit, anhand von Programmierbeispielen Anregungen ür die eigene Sotwareentwicklung zu entnehmen. Der Leser lernt, praktische Augaben mit geeigneten numerischen Methoden zu behandeln. Augrund der strukturierten Analse und Begründung der Verahren mit ihren Einsatzmöglichkeiten sind diese auch au weitere praktische Augaben übertragbar. Der Bauingenieur wird in die Lage versetzt, Problemstellungen, ür die keine Sotwarepakete oder Handbücher zur Verügung stehen, zu lösen. Durch die Angabe der Algorithmen ür die Verahren können selbstständig Implementierungen au unterschiedlichen Computerplattormen vorgenommen werden. Dozenten im Fach Bauinormatik oder Technomathematik können die vollständig hergeleiteten und praktisch realisierten Fallstudien in Vorlesungen oder als praktische Übung verwenden. Die notwendige, aber ot auwendige Recherche in der Ingenieurliteratur sowie der Literatur zu numerischen Methoden ist nicht erorderlich. Au diesem Wege möchte ich allen herzlich danken, die mich bei diesem Buchvorhaben unterstützten. Besonderer Dank gilt meinem ehemaligen Kollegen Priv.-Doz. Dr. Andrä (habilitiert an der TU Karlsruhe, jetzt Institut ür Techno- und Wirtschatsmathematik Kaiserslautern), der das gesamte Manuskript mehrach gründlich gelesen und mir viele Hinweise zur mathematischen Darstellung, zu praktischen Beispielen insbesondere im Bereich der Technischen Mechanik und zur Literatur gegeben hat. In sehr sachlichen Diskussionen erörterten wir vor allem die Theorie der numerischen Verahren, die die Grundlage ihrer Funktionsähigkeit bei praktischen Anwendungen ist. Sehr herzlich bedanke ich mich bei meinen Kollegen des Studienganges Bauingenieurwesen Pro. Dr. Schanzenbach, Pro. Dr. Lang, Pro. Dr. Rühl, Pro. Dr. Thamald und Pro. Dr. Nitsch, die geduldig eine kritische Durchsicht der Fallstudien vornahmen und denen ich viele Anregungen zu ihrer korrekten Darstellung verdanke. Großer Dank gilt ebenalls meinem Mann und Kollegen, der das Manuskript aumerksam au durchgehend mathematisch präzise und verständliche Darstellung und Gestaltung prüte. Herzlichen Dank möchte ich Dr. Grzhibovskis (Fachrichtung 6. - Mathematik der Universität des Saarlandes) ür die vielen Hilestellungen bei der Handhabung von Late und Mathematica aussprechen. Der Assistentin des Studienganges Bauingenieurwesen Frau Lange bin ich sehr dankbar ür die Unterstützung in vielen technischen Fragen während des Entstehens des Buches. Nicht zuletzt gilt mein Dank den Studierenden, die mich während meiner langjährigen Vorlesungen Numerische Methoden im Bauingenieurwesen und ihrer Übungen am Computer ebenalls zu dieser Darstellung motivierten. Bei Frau Fritzsch und Frau Kaumann vom Carl Hanser Verlag bedanke ich mich sehr ür die Unterstützung des Buchprojektes und die sehr angenehme Zusammenarbeit. Kaiserslautern, im September 00 Kerstin Rjasanowa

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5 56 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungsssteme Mit der Startnäherung 0 = 0.5 und dem Abbruchkriterium k+ k < ε, ε = 0 0 ergeben sich die Iterationsschritte wie in Tabelle.. Man erhält die Näherungslösung in 57 Iterationsschritten. Das Newton-Verahren benötigte daür lediglich vier Iterationsschritte (siehe Beispiel.8). Verahren der einachen Iteration Beispiel.3 Zu lösen ist die Gleichung () = ln = 0, > 0..0 Der Graph der Funktion ist in Bild.7 dargestellt. Offenbar hat zwei Nullstellen = ln, +0.5 wählt g() = und h() = ln (siehe Bild.8) und prüt, ür welche die Konvergenzbedingung (.7) erüllt ist, so findet man mit g () = und h () = / ür > 0 > /, d. h. > / Der Iterationsprozess (.6) heißt dann Bild.7 Funktion Wahl von 0 ( /, ) Für k = 0,,,... d. h. k+ = ln k, g.0.5 h + ln k. /) ln k+ = k, Bild.8 Funktionen g, h d. h. k. k+ = e Man erhält die Lösung α der Ausgangsgleichung. ( k+) Man erhält die Lösung α der Ausgangsgleichung. Wahl von 0 (0, Für k = 0,,,... k+ =. Wählt man hingegen g() = ln und h() =, so ist die Konvergenzbedingung (.7) ür 0 < < / erüllt. Der Iterationsprozess (.6) heißt dann Bisektionsverahren ( k+) O. Schreibt man diese Gleichung in der Form k α k+ k+ ( k) Bild.9 Bisektion Iterationsvorschrit Beim Bisektionsverahren geht man davon aus, dass ein bestimmtes Intervall I = [0, ] des Definitionsbereiches der stetigen Funktion geunden wurde, an dessen Grenzen 0 und die Funktionswerte von verschiedene Vorzeichen haben, d. h. dass (0 ) ( ) < 0 gilt. Wenn stetig ist, so eistiert dann nach dem Satz von Bolzano (siehe [8]) im Inneren des Intervalls I eine Nullstelle α. Das Intervall I wird durch die Stelle = (0 + )/ halbiert. Wenn

6 . Nichtlineare Gleichungen 57 ist bereits die gesuchte Nullstelle ist, ist de Iterationsprozess beendet. Andernalls untersucht man die Funktionswerte an den Grenzen der Teilintervalle [0, ] bzw. [, ] au analoge Weise. Das Teilintervall, bei dem die Funktionswerte an den Rändern unterschiedliche Vorzeichen auweisen, wird weiter halbiert (siehe Bild.9). Das Bisektionsverahren konvergiert, wenn die Funktion stetig ist und die Funktionswerte an den Rändern des Startintervalls unterschiedliche Vorzeichen haben. Für den Fehler zk = α k gilt wegen der sukzessiven Halbierung des vorhergehenden Intervalls zk < Konvergenz 0, k. k Wegen zk+ zk / ist die Konvergenzgeschwindigkeit linear.. Nullstellen von Funktionen mit nichtnegativen Funktionswerten werden nicht geunden. Die Funktion () = ( ) (siehe Bild.0) hat eine zweiache Nullstelle bei =. Da aber () 0 ür beliebige R gilt, kann die Initialisierung des Bisektionsverahrens nicht erolgen. In Bild.0 ist das Startintervall [0, ] = [, ] mit positiven Funktionswerten an den Intervallrändern dargestellt.. Die Voraussetzung der Stetigkeit der Funktion ist wesentlich. Betrachtet wird die nicht stetige Funktion () = / mit der Polstelle = 0. Als Startintervall wird z. B. [, ] gewählt, sodass die Polstelle = 0 darin enthalten ist. Die Funktionswerte ( ) = 0.5 und () = an den Intervallrändern haben unterschiedliche Vorzeichen, und nach Anwendung des Bisektionsverahrens wird schließlich bei Verwendung des Abbruchkriteriums k+ k < ε als Nullstelle 0 geunden (siehe Bild.). Tabelle.3 enthält die Intervalle der Bisektion, die ür ε = 0 4 die näherungsweise Nullstelle lieert. Bemerkung.33 Nichtnegative Funktionswerte Stetigkeit Tabelle.3 Bisektion ür die Funktion () = / k k k+ k Bild.0 Funktion () = ( )

7 58 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungsssteme Das Bisektionsverahren kann mit olgendem Algorithmus realisiert werden: Algorithmus Initialisierung. Vorgabe des Startintervalls [0, ] mit (0 ) ( ) < 0. Vorgabe von ε > 0 Iterationsphase: Für k = 0,,,.... Berechnung von k+ = (k + k+ )/. Berechnung von (k+ ) Wenn (k+ ) < ε = k+ ist Näherungslösung 3. Falls (k+ ) (k ) < 0 Falls (k+ ) (k+ ) < 0 Bisektionsverahren + setze [k+, k+ ] := [k+, k+ ] Beispiel.34 () = cos = 0 0 [k+, k+ ] := [k, k+ ] Zum Auffinden der Näherungslösung der Gleichung +3 setze 3 + aus Beispiel.8 soll das Bisektionsverahren benutzt werden. An den Rändern des Startintervalls [0.5, ] ist (0.5) < 0 und () > 0. Mit dem Abbruchkriterium (k ) < ε, ε = 0 0 ergeben sich die Iterationsschritte wie in Tabelle.4. Tabelle.4 Bisektion ür die Funktion () = cos + k k k+ k Bild. Bisektion bei () = / Man erhält die Näherungslösung in 30 Iterationsschritten...5 Regula alsi und Sekantenverahren Regula alsi Iterationsvorschrit In der Regula alsi geht man wie beim Bisektionsverahren davon aus,

8 . Nichtlineare Gleichungen 59 dass die Vorzeichen der Funktionswerte (k ) und (k+ ) einer stetigen Funktion verschieden sind und deswegen eine Nullstelle α im Intervall [k, k+ ] eistieren muss. Weiter wird aber nicht der Halbierungspunkt dieses Intervalls betrachtet, sondern der Schnittpunkt der Geraden durch die Punkte Pk (k, (k )) und Pk+ (k+, (k+ )) mit der -Achse. Diese Gerade hat die Gleichung = (k ) + (k+ ) (k ) ( k ), k+ k Pk k+ k. (k+ ) (k ) Pk+ k und ür = 0 olgt k+ = k (k ) O k+ α k+3 k+ Bild. Regula alsi (.8) Der Funktionswert (k+ ) legt wie beim Bisektionsverahren das Intervall est, in welchem die gesuchte Lösung α liegt (siehe Bild.). Die Konvergenzgeschwindigkeit der Regula alsi ist unter den Voraussetzungen (α) /= 0 und (α) /= 0 linear (siehe [6]).. Wie auch beim Bisektionsverahren liegt die gesuchte Nullstelle α in sich stets verkleinernden Intervallen [k, k+ ], k = 0,,,... Jedoch ist die Folge der Längen der Intervalle nicht unbedingt eine Nullolge. Daher kann das Abbruchkriterium k+ k < ε nicht verwendet werden, und stattdessen ist das Kriterium (k+ ) < ε zu verwenden. Konvergenz Bemerkung.35 Abbruchkriterium. Die Berechnung von Ableitungen der Funktion wie beim NewtonVerahren ist nicht erorderlich. Keine Berechnung von Ableitungen 3. Die Nachteile des Bisektionsverahrens treffen auch au die Regula alsi zu. Die Funktion muss au dem gewählten Startintervall stetig sein. Nullstellen von Funktionen, die au dem Startintervall nichtnegativ oder nichtpositiv sind, werden wegen der Bedingung der unterschiedlichen Vorzeichen der Funktionswerte an den Intervallrändern nicht geunden. Stetigkeit Der Algorithmus der Regula alsi lautet: Initialisierung. Vorgabe des Startintervalls [0, ] mit (0 ) ( ) < 0. Vorgabe von ε > 0 Algorithmus

9 60 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungsssteme Iterationsphase: Für k = 0,,,.... Berechnung von k+ = k (k ) Pk. Berechnung von (k+ ) Pk+ O k+ α k+3 k+ k (k+ ) (k ) Wenn (k+ ) < ε = k+ ist Näherungslösung k+ k 3. Falls (k+ ) (k ) < 0 Bild.3 Sekantenverahren Falls (k+ ) (k+ ) < 0 setze [k+, k+ ] := [k, k+ ] setze [k+, k+ ] := [k+, k+ ] Sekantenverahren Iterationsvorschrit Wird au die Voraussetzung (k ) (k+ ) < 0 verzichtet, erhält man mit der Rechenvorschrit (.8) das Sekantenverahren. Im (k + )-ten Iterationsschritt wird die Iterierte k+ als Schnittpunkt der Geraden durch die beiden Punkte Pk (k, (k )) und Pk+ (k+, (k+ )) mit der -Achse geunden (siehe Bild.3). Da aber nicht garantiert ist, dass (k+ ) und (k ) verschiedene Vorzeichen haben, können diese Werte gleich sein, und in diesem Fall versagt die Rechenvorschrit (.8). Daür können mit dem Sekantenverahren auch Nullstellen nichtnegativer bzw. nichtpositiver Funktionen geunden werden. Konvergenz Die Konvergenzgeschwindigkeit des Sekantenverahrens ist etwas besser β als linear, aber nicht quadratisch. Es gilt zk+ C zk mit dem Eponenten β = ( + 5)/.68 und einer Konstanten C, die von der Funktion abhängt (siehe [6]). Der Algorithmus des Sekantenverahrens lautet Algorithmus Initialisierung. Vorgabe des Startintervalls [0, ]. Vorgabe von ε > 0 Iterationsphase: Für k = 0,,,.... Berechnung von k+ = k (k ) k+ k (k+ ) (k ). Berechnung von (k+ ) Wenn (k+ ) < ε = k+ ist Näherungslösung Regula alsi Sekantenverahren Beispiel.36 Zum Auffinden der Näherungslösung der Gleichung () = cos = 0

10 . Fallstudie: Wasserabsenkung in einem vollkommenen Brunnen 6 aus Beispiel.8 soll die Regula alsi bzw. das Sekantenverahren benutzt werden. An den Rändern des Startintervalls [0.5, ] ist (0.5) < 0 und () > 0. Mit dem Abbruchkriterium (k ) < ε, ε = 0 0 ergeben sich bei der Regula alsi die Iterationsschritte wie in Tabelle.5. Tabelle.5 Regula alsi ür die Funktion () = cos k k k+ k ] Man erhält die Näherungslösung in 8 Iterationsschritten. Beim Sekantenverahren ergeben sich ohne die Bedingung, dass die Funktionswerte an den Rändern des aktuellen Intervalls unterschiedliche Vorzeichen haben, die Iterationsschritte wie in Tabelle.6. Tabelle.6 Sekantenverahren ür die Funktion () = cos k k k+ k Man erhält die Näherungslösung in 5 Iterationsschritten.. Fallstudie: Wasserabsenkung in einem vollkommenen Brunnen Praktische Augabe Wird aus einem zlindrischen Brunnen mit dem Grundkreisradius r Wasser abgepumpt, so bildet sich zwischen dem Wasserstand mit der Höhe h im Brunnen und dem unbeeinflussten Grundwasserspiegel der Höhe H ein Geälle aus. Das Grundwasser fließt dem Brunnen von allen Seiten trichterörmig zu. Der unbeeinflusste Grundwasserspiegel der Höhe H wird dabei in der Enternung R (Reichweite der Absenkung) von der Brunnenachse erreicht. Der Brunnen soll vollkommen sein, d. h. durch seine Grundfläche dringt kein Wasser ein. Wird die Höhe des

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12 .4 Fallstudie: Berechnung einer Streichwehranlage.4 7 Fallstudie: Berechnung einer Streichwehranlage Praktische Augabe Unter einem Streichwehr versteht man einen zur Fließrichtung parallel oder nahezu parallel angeströmten seitlichen Überall. Er hat zur Augabe, im Unterwasser eine vorgegebene Höhe hu des Wasserstandes nicht zu überschreiten, indem ein Teil des Zuflusses Qo über das Wehr abgeleitet wird. Streichwehre dienen z. B. als Entnahme- und Entlastungsbauwerke in natürlichen Gewässern und künstlichen Gerinnen. Betrachtet wird hier der Fall eines durchweg strömenden Abflusses ohne Fließwechsel (vollkommener Überall). In einem Gerinne mit bekannten Abmessungen und bekannter Neigung I soll im Unterwasser mit dem vorgegebenen Abfluss Qu die vorgegebene Höhe hu des Wasserstandes nicht überschritten werden. Das Streichwehr mit der Höhe w muss mindestens eine solche Länge L erhalten, dass es die Differenz von Zufluss und Abfluss ho Mathematisches Modell, L g µ h3/, 3 (.40) wobei der hier verwendete Überallbeiwert µ aus dem Überallbeiwert des normalen Überalls durch Multiplikation mit einem Abminderungsaktor (σ = 0.95 bei konstantem Gerinnequerschnitt) hervorgeht (siehe [7]). Diese Näherung ist nur ür strömendes Abflussverhalten, d. h. ür Froude-Zahlen F ro im Oberwasser mit vo < 0.75 F ro = gho (.4) zulässig. Für Froude-Zahlen F ro > 0.75 kann vor dem Streichwehr ein Fließwechsel vom Strömen zum Schießen stattfinden, und der Abfluss kann nicht nach Gleichung (.40) berechnet werden. w I Qu vu Bild.7 Streichwehranlage abühren kann. Zu berechnen ist diese Länge L (siehe Bild.7). Q = h h Qo vo Q = Q o Qu Augrund der komplizierten Strömungsvorgänge wird ein Streichwehr näherungsweise wie ein normaler Überall betrachtet. Die Höhe des Wasserstandes an seinem Anang beträgt h = ho w und an seinem Ende h = hu w (siehe Bild.7). Für den Abfluss gilt die Überallormel von Poleni mit der gemittelten Überallhöhe h = (h + h )/ L Durchfluss hu

13 7 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungsssteme Energieerhaltung Zur Ermittlung der noch unbekannten Höhe ho des Wasserstandes wird die Bernoulli-Gleichung wie in (.34) mit vo und vu als Fließgeschwindigkeiten im Ober- bzw. Unterwasser benutzt: vo v + ho + z = u + hu + hv, g g (.4) wobei z = IL wieder der geodätische Höhenunterschied zwischen Oberund Unterwasser und hv die Reibungsverlusthöhe nach ManningStrickler wie in Gleichung (.33) darstellt. Meist ist die Reibungsverlusthöhe etwa von der gleichen Größe wie der geodätische Höhenunterschied z. Daher können beide Terme in (.4) vernachlässigt werden. Bei einem rechteckigen Gerinnequerschnitt der Breite b und der Höhe h des Wasserstandes ist die Fließgeschwindigkeit v = Q((hb) und damit vo = Bestimmungsgleichung Qo ho b bzw. Qu hu b vu = (.43) Setzt man die Gleichung (.43) in (.4) ein, so ergibt sich als Bestimmungsgleichung ür die gesuchte Oberwasserhöhe ho Qu Qo + ho = + hu gb ho ghu b = (ho ) = h3o Qu + hu ghu b bzw. > ho + Qo = 0. gb (.44) Die Forderung (.4) an die Froude-Zahl bedeutet nach dem Einsetzen von vo aus (.43) und Umstellen nach ho = Qo 0.75 b g >/3 < ho. (.45) Zusammen mit der natürlichen Bedingung ho > w bedeutet das 7= ma Qo 0.75 b g 8 >/3,w < ho. (.46) Außerdem muss die gesuchte Oberwasserhöhe ho die Bedingung ho < hu (.47) erüllen, da es in dem Gerinne nicht zu schießendem Abfluss kommen dar.

14 .4 Fallstudie: Berechnung einer Streichwehranlage 73 Numerisches Verahren Gleichung (.44) ist nichtlinear bezüglich der Unbekannten ho, da die Funktion au ihrer linken Seite = () = 3 Qu + hu ghu b > + Wahl des Iterationsverahrens Qo gb ein Polnom dritten Grades in darstellt. Zu ihrer Lösung wird das Bisektionsverahren (siehe Abschnitt..4) vorgeschlagen, da ür die Unbekannte ho gemäß den Bedingungen (.46) und (.47) Intervallgrenzen bekannt sind. Findet man daher eine Lösung von (.44) im angegeben Intervall, so erüllt diese automatisch beide Bedingungen, sodass die Forderung (.4) an die Froude-Zahl nicht nachträglich überprüt werden muss. Voraussetzung ür ein erolgreiches Bisektionsverahren ist die Stetigkeit der Funktion, die sie als Polnom dritten Grades erüllt. Außerdem muss die Funktion an den Grenzen des Startintervalls unterschiedliche Vorzeichen haben. Als Abbruchkriterium wird k+ k < ε = 0.00 benutzt, da i. Allg. die Angabe der Oberwasserhöhe mit einer Genauigkeit im cm-bereich genügt. Abbruchkriterium Ist die Oberwasserhöhe ho ermittelt, so berechnet man die mindestens benötigte Länge L des Streichwehres aus Gleichung (.40) wie olgt: L = 3(Qo Qu ), g µ h3/ h= ho + hu h + h = w. (.48) In den Berechnungsbeispielen wurden olgende Eingangsgrößen gewählt: Breite des Gerinnequerschnitts Höhe des Wehres Unterwasserhöhe Überallbeiwert b = 4 [m], w = [m], hu =.5 [m], µ = Vorgegeben wird Zufluss Abfluss ma Qo 0.75 b g 8 >/3,w h0 + + Bild.8 Funktion und Intervallgrenzen, erstes Berechnungsbeispiel Qo = 6 [m3 /s], Qu = 6 [m3 /s]. Die Intervallgrenzen ür ho sind mit (.46) und (.47) 7= 4 Berechnungsergebnisse ma(.45, ) = [m]

15 74 Nichtlineare Gleichungen und Gleichungsssteme und hu =.5 [m]. Die Funktionswerte von haben dort unterschiedliche Vorzeichen: ().579, (.5) Der Funktionsgraph (siehe Bild.8) zeigt die Intervallgrenzen und das Vorhandensein einer Nullstelle in diesem Intervall. Das Bisektionsverahren ergibt nach k = 9 Iterationsschritten die Oberwasserhöhe ho.3740 [m]. Daraus berechnet sich die erorderliche Länge des Streichwehres aus Gleichung (.48) zu L 8.03 [m].. Vorgegeben wird Zufluss Abfluss Qo = 7 [m3 /s], Qu = 3 [m3 /s]. Die Intervallgrenzen ür ho sind mit (.46) und (.47) 7=.5 ma Qo 0.75 b g 8 >/3,w ma(.0, ) =.0 [m].0 und hu =.5 [m]. Die Funktionswerte von haben dort gleiche Vorzeichen: 0.5 h Bild.9 Funktion und Intervallgrenzen, zweites Berechnungsbeispiel (.0) 0.043, (.5) Deswegen hat die Funktion möglicherweise keine Nullstelle im angegeben Intervall. Der Funktionsgraph (siehe Bild.9) zeigt die Intervallgrenzen und () > 0 in diesem Intervall. Damit kann keine Oberwasserhöhe ho geunden werden, sodass der Abfluss Q = Qo Qu = 4 [m3 /s] abgeührt wird und gleichzeitig strömendes Abflussverhalten gewährleistet ist. In diesem Fall ist die Gerinnebreite b oder die Höhe h des Wehres zu verändern. Die Bestimmungsgleichung (.44) hat die Lösung ho.03 [m], die aber nicht im angegeben Intervall liegt und damit auch nicht die Bedingung (.45) erüllt..5 Fallstudie: Berechnung des internen Zinsußes Praktische Augabe Bei der aus der Investitionsrechnung bekannten Methode des internen Zinsußes (siehe [0]) geht es um die Bewertung von Investitionen (z. B. ür eine Immobilie), die im Laue eines Betrachtungszeitraumes getätigt werden. Alle im Zusamenhang mit der Investition stehenden Einnahmen und Ausgaben sind zu berücksichtigen. Dabei können