Inhaltsverzeichnis. 1 Einleitung 1

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 Grundlagen der Quantenphysik 5.1 Heisenbergsche Unschärferelation Die Natur des Lichts Welle oder Teilchen? Polarisiertes Licht Darstellungen von Polarisationen Das Gesetz von Malus Doppelbrechung Verzögerungsplatten Zustandssysteme Quantenzustände Verschränkung Erzeugen von verschränkten Teilchen Beta-Bariumborat(BBO)-Kristall Periodisch gepolter Kaliumtitanylphosphat-Kristall Unterschiede Quantenteleportation Mathematische Betrachtung Bellzustandsanalyse bei Alice Transformation von Bob Zusammenfassung Qualitätstests für Verschränkung Das Gedankenexperiment von Einstein, Podolsky und Rosen Der gedankliche Versuchsaufbau des EPR-Experiments Bohrs Erwiderung Verborgene Variablen Die Bohmsche Mechanik Die Bellsche Ungleichung

2 Inhaltsverzeichnis ii Versuchsanordnung Herleitung der Bellschen Ungleichung Beschreibung durch die Quantenmechanik Ergebnis Weiterentwicklung von Clauser, Horne, Shimony und Holt Die Leggett-Ungleichung Das Wien Experiment Versuchsaufbau Die Leggett-Ungleichung Messung der Koinzidenzen Versuchsauswertung Die CHSH-Ungleichung Nachbetrachtung 85 Literaturverzeichnis 89 Abbildungsverzeichnis 91 Danksagung 95

3 1 Einleitung Niels Bohr stellte im Jahre 197 auf einem Kongress in Como einen ersten umfassenden Deutungsversuch der Quantenmechanik vor. Diese wurde später als Kopenhagener Deutung bezeichnet. Die Quantenmechanik stellte einen leistungsfähigen, mathematischen Formalismus dar, der im Wesentlichen von Werner Heisenberg, Max Born und Erwin Schrödinger entwickelt worden war. Allerdings war die Interpretation dieses Formalismus bis dahin nicht eingehend diskutiert worden. Auf der im gleichen Jahr stattfinden- den fünften Solvay-Konferenz, auf der sich die besten Physiker der damaligen Zeit trafen, war auch der in Como abwesende Albert Einstein anwesend. Hier kam es zu einer ersten Auseinandersetzung zwischen Einstein und Bohr. Während Bohr die von ihm maßgeblich entwickelte Kopenhagener Deutung vertrat, konnte sich Albert Einstein mit dieser nicht anfreunden und gab seine Kritik öffentlich kund. Dies war der Beginn intensiver Diskussionen zwischen Einstein und Bohr, die sich auch im privaten Bereich fortsetzten. Der Gedanke, dass entweder der Aufenthaltsort oder der Impuls eines Teilchens nicht eindeutig bestimmbar ist (anders ausgedrückt: Wird ein Quantenobjekt dazu gezwungen, in eine bestimmte Richtung zu fliegen, weiß es nicht einmal selbst, wo es sich befindet.), war sehr zum Missfallen Einsteins eine direkte Folgerung der Quantenmechanik. Der unvermeidliche Zufall, der aus der Abbildung 1.1: Zwei intensiv diskutierende Kollegen und Freunde: Niels Bohr und Albert Einstein Heisenbergschen Unschärferelation folgte und eine entscheidende Rolle bei der Beschreibung von Quantenobjekten einnahm, passte nicht in das kausal realistische

4 1 Einleitung Weltbild Einsteins. Ein weiterer Aspekt, den Einstein an der Vollständigkeit der Quantenmechanik zweifeln lies, war, dass die Quantenmechanik keine Information über den tatsächlichen Aufenthaltsort eines Elektrons bereitstellt. Es werden nur statistische Aussagen über die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Quantenobjekt an einer bestimmten Stelle aufhält gemacht. Diesen fundamentalen Indeterminismus, der den Charakter der Quantenmechanik maßgeblich bestimmt, konnte Einstein aber keinesfalls hinnehmen. Er war der festen Überzeugung, dass jede Ursache aus einer Wirkung resultiert. Dies müsse auch in der Quantenphysik gelten. Diese Ablehnung gegenüber des Indeterminismus wird in einem Zitat aus einem Brief an Max Born besonders deutlich: Die Quantenmechanik ist sehr achtunggebietend. Aber eine innere Stimme sagt mir, daß das noch nicht der wahre Jakob ist. Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns kaum näher. Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. Auch die Nicht-Objektivierbarkeit, die in der Kopenhagener Deutung zwingend enthalten war, konnte Albert Einstein nicht mit seinem Weltverständnis vereinbaren. Er konnte sich nicht vorstellen, dass ein Elektron keinen bestimmten Aufenthaltsort hatte, solange wir es nicht messen. Für ihn stellte die Tatsache, dass ein Objekt unabhängig von dem Messprozess betrachtet werden kann, eine essentielle Bedingung für das Betreiben von Naturwissenschaften dar. Aus dieser Überzeugung motiviert fragte er einst seinen guten Freund und Kollegen Abraham Pais. Glaubst du denn wirklich, der Mond existiere nur, wenn du auf ihn blickst? Aus Einsteins Kritikpunkten wird seine Meinung von der Quantenmechanik und der Kopenhagener Deutung ersichtlich. Er war davon überzeugt, dass die Quantenmechanik keine vollständige Beschreibung der Realität liefere. Deshalb suchte er inständig nach einer Methode, die seiner Meinung nach existente Unvollständigkeit aufzuzeigen. Unter Vollständigkeit einer Theorie verstand er, dass jedes Element der physikalischen Realität einem Gegenstück in der jeweiligen Theorie zugeordnet werden kann. Seiner Überzeugung nach stellte die Unschärferelation nur eine scheinbare Barriere dar, die durch einen geschickt gewählten Versuchsaufbau umgangen werden könne. Diese von der Quantenmechanik möglicherweise nicht erfassten Größen wurden später als verborgene Parameter oder verborgene Variablen bezeichnet. Er ersann zusammen mit seinen jüngeren Kollegen Podolsky und Rosen ein Gedankenexperiment von dem er meinte einen

5 3 Beweis für die Unvollständigkeit der Quantenmechanik gefunden zu haben. Dabei gingen die Physiker von einem verschränkten 1 Photonenpaar aus, mit deren Hilfe sie die Heisenbergsche Unschärferelation umgehen und gleichzeitig Ort und Impuls eines Teilchens bestimmen können wollten. Doch Bohr akzeptierte seine Kritik nicht und argumentierte dagegen und warf Einstein vor, unzulässige Annahmen über verschränkte Teilchensysteme zu teffen. Die Bohr-Einstein Debatte zeigt auf, wie brisant sich die Interpretation von Ereignissen und speziell der Verschränkung in der Quantenwelt gestaltet. Bemerkenswert ist jedoch auch, wie die beiden großen Wissenschaftler nicht nur überaus höflich miteinander umgingen, sondern auch ein Höchstmaß an aufrichtiger Hochachtung für den anderen aufbrachten. Auch heute versuchen Wissenschaftler die Eigenschaften und das Verhalten verschränkter Objekte zu erklären. Diese Facharbeit soll deshalb einen Einblick in verschiedene Theorien zur Beschreibung von verschränkten Quantenobjekten bieten. Außerdem werden Aussagen dieser Theorien experimentell überprüft und Aussagen der Quantenmechanik gegenübergestellt. Weiterhin wird sich die Facharbeit mit einem interessanten Anwendungsgebiet der Verschränkung, der Quantenteleportation, auseinandersetzen. Den Wissenschaftlern Charles H. Bennett, Gilles Brassard, Claude Crépeau, Richard Jozsa, Asher Peres und William K. Wootters gelang es 199 den Zustand eines Teilchens auf ein weit entferntes weiteres zu übertragen. Auf dieses Experiment und die Hintergründe der Quantenteleportation wird in Kapitel 3.4 eingegangen. Rüsselsheim, 30. Januar 008 Katrin Philipp 1 Der Begriff der Verschränkung geht auf Erwin Schrödinger(1935) zurück. Er bezeichnet einen gemeinsamen Quantenzustand zweier Quantenobjekte wie z.b. Photonen, bei denen über die beiden isoliert betrachteten Quantenobjekte keine Aussagen mehr über den Zustand gemacht werden können. Stattdessen ist nur der Zustand des Gesamtsystems bestimmbar.

6 1 Einleitung 4

7 Grundlagen der Quantenphysik.1 Heisenbergsche Unschärferelation Werner Heisenberg 1 formulierte 197 die nach ihm benannte Heisenbergsche Unschärferelation. Im Jahre 193 wurde er dafür mit dem Nobelpreis der Physik ausgezeichnet. Die Unschärferelation oder Unbestimmtheitsrelation sagt aus, dass jeweils zwei Messgrößen eines Teilchens (etwa sein Ort und Impuls) nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt sind. Dies ist nicht die Folge von Unzulänglichkeiten eines entsprechenden Messvorgangs, sondern prinzipieller Natur. Im folgendem Abschnitt wird die Unschärferelation mit Hilfe einer Plausibilitätsherleitung veranschaulicht. Dazu betrachten wir Elektronen am Einzelspalt. In Abbildung. (a) ist die Versuchsanordnung dargestellt. Ein Strahl von Elektronen trifft auf einen Spalt der Breite b. Unmittelbar hinter dem Spalt Abbildung.1: Werner Heisenberg befindet sich ein hochauflösender Detektor, der die Elektronen mit einer sehr hohen Auflösung nachweisen kann. Der Detektor führt Ortsmessungen an den Elektronen durch, die vom Spalt durchgelassen werden. Da sich der Detektor unmittelbar hinter dem Spalt befindet, registriert der Detektor die Elektronen in einem Bereich der Spaltbreite b. Um die Verteilung der Messwerte innerhalb dieses Gebietes statistisch zu erfassen, ermittelt man ihren Mittelwert x und ihre Standardabweichung x. Der Mittelwert gibt den Schwerpunkt der Verteilung der Messwerte an, die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung. Die Ortsmessung ergibt die in Abbildung. (b) dargestellte Verteilung der Werte. Die Elektronen sind gleichmäßig hinter dem Spalt verteilt. Die Standardabweichung der Ortsmesswerte ist von der Größenordnung der Spaltbreite. Vergrößert man nun die Spaltbreite b, so vergrößert sich auch die Streuung x (Abb.. (c)). 1 Werner Karl Heisenberg (* 5. Dezember 1901 in Würzburg; 1. Februar 1976 in München) war einer der bedeutendsten Physiker des 0. Jahrhunderts und Nobelpreisträger.

8 Grundlagen der Quantenphysik 6 Abbildung.: Elektronen am Einzelspalt Mit der Standardabweichung x kann die Güte einer Präparation festgelegt werden. Wenn die Streuung der Messwerte Null ist, ist die Präparation perfekt (im Fall der Ortspräparation mit einem Spalt ist dies nicht zu erreichen, weil man dazu den Spalt immer enger machen müsste, bis er schließlich ganz verschlossen ist). Wenn die Standardabweichung nicht Null ist, bedeutet das, dass die Messwerte streuen. In diesem Fall ist die Präparation nicht perfekt und die Standardabweichung gibt darüber Auskunft, wie sehr die Präparation der betreffenden Eigenschaft von einer idealen Präparation abweicht. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Eigenschaft relativ gut präpariert ist, während bei einer großen Standardabweichung keine gute Präparation vorliegt. Nach der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation kann man an einem Ensemble von Quantenobjekten Ort und Impuls nicht gleichzeitig perfekt präparieren. Wir werden nun überprüfen, in welchem Ausmaß Orts- und Impulspräparation unvereinbar sind. Die Güte der Orts- bzw. Impulspräparation wird durch die Streuung der Messwerte einer entsprechenden Testmessung beschrieben. An dem Ensemble von Elektronen, das durch den Spalt präpariert wird, nimmt man also genau wie im vorigen Abschnitt die Verteilung der Ortsmesswerte unmittelbar hinter dem Spalt auf. Dann ersetzt man den hochauflösenden Ortsdetektor durch ein Impulsmessgerät, das etwas weiter vom Spalt entfernt platziert wird, und ermittelt damit die Verteilung der Impulsmesswerte. Wir ermitteln die Orts- und Impulsmesswerte für einen breiten und einen schma-

9 7.1 Heisenbergsche Unschärferelation Abbildung.3: Elektronen am Einzelspalt Abbildung.4: Verteilung der Orts- und Impulsmesswerte für einen breiten und einen schmalen Einzelspalt

10 Grundlagen der Quantenphysik 8 len Einzelspalt (Abb..3). Die resultierenden Ergebnisse sind in Abbildung.4 dargestellt. Für einen breiten Spalt ergibt sich eine relativ große Ortsstreuung, aber eine kleine Impulsstreuung (Abb..4 (a)). Dagegen ist bei einem schmalen Spalt die Ortsstreuung klein, aber die Impulsstreuung groß (Abb..4 (b)). Die beiden Streuungen weisen scheinbar eine indirekte Proportionalität auf. Die Streuung der Impulsmesswerte nimmt zu, wenn die Streuung der Ortsmesswerte abnimmt und umgekehrt. Dieser Zusammenhang zwischen Orts- und Impulsstreuung wird im Folgendem verdeutlicht. Weil die Impulsstreuung bei dem schmalen Spalt gegenüber dem breitem zunimmt (Abb..4), müssen die Elektronen einen Querimpuls p x erfahren haben. Je größer die Streuung der Querimpulse ist, desto breiter wird das Beugungsbild auf dem Schirm ausfallen. Daher kann man mit der Breite des Beugungsmusters auf dem Schirm die Streuung der Impulsmesswerte am Spalt abschätzen. Der Großteil der Elektronen wird auf dem Schirm innerhalb des Hauptmaximums der Beugungsfigur registriert, also innerhalb des Winkelbereichs zwischen +α und α (Abb..5). Zur Abschätzung der Streuung der Querimpulse p x kann man sich daher auf diesen Bereich beschränken. In Abbildung.5 (b) kann man folgende Bedingung ablesen. sin α = p x p (.1) Der Bereich des Hauptmaximums ist links und rechts durch das erste Beugungsminimum begrenzt. Die Lage des Beugungsminimums ist aus der klassischen Optik bekannt. sin α = λ b = λ x (.) Nach de Broglie ordnet man Materiewellen die Wellenlänge λ = h p (.3) zu. Setzt man diesen Zusammenhang (.3 in Gleichung (.) ein, erhält man: sin α = h x p (.4) Setzt man (.1) und (.4) gleich, ergibt sich folgender Zusammenhang. p x x = p λ = h (.5) Wir sind bei Gleichung (.) vom ersten Beugungsminima (k = 1) ausgegangen. Verallgemeinert auf alle Minima k 1 muss in Gleichung (.5) das Gleichheits-

11 9. Die Natur des Lichts zeichen durch eine Größer-Gleichzeichen ersetzt werden. Wir haben gegenüber der Originalformulierung der Unschärferelation einige Abschätzungen gemacht. Deshalb ergibt sich in der allgemeinen Form ein anderer Vorfaktor. p x x h π (.6) Abbildung.5: Abschätzung der Impulsstreuung Die Bedeutung der Relation (.6) ist fundamental für die Quantenphysik. Es verbietet eine gleichzeitige genaue Bestimmung zweier komplementärer Größen, in unsrem Fall Ort und Impuls. Denn bei einer genauen Messung von dem Aufenthaltsort x, gilt für die Ortsunschärfe x = 0. Wenn x in (.6) Null ist, so geht die Impulsunschärfe gegen unendlich, d.h. eine Bestimmung des Impuls ist unmöglich. Umgekehrt kann bei einer genauen Messung des Impulses keine Aussage mehr über den Aufenthaltsort gemacht werden.. Die Natur des Lichts..1 Welle oder Teilchen? Licht war seit jeher eine Erscheinung, die den Menschen faszinierte und so wurden viele Überlegungen über die Entstehung und die Natur des lichtes angestellt. Im 17 Jahrhundert gab es zwei konkurrierende Theorien über das Licht. Christian Huygens 1 vertrat die Ansicht, dass das Licht eine Welle sei. Die konkurrierende 1 Christian Huygens (* 14. April 169 in Den Haag, Niederlande; 8. Juli 1695 ebenda), auch Christianus Hugenius, war ein niederländischer Astronom, Mathematiker und Physiker.

12 Grundlagen der Quantenphysik 10 Theorie um Sir Isaac Newton 1 vertrat die Vorstellung von Licht als Teilchen. Die Theorien lieferten sich über mehrere Jahre einen erbitterten Wettkampf. Da durch die Wellentheorie nicht erklärt werden konnte, wie das Licht durch das Vakuum von der Sonne zur Erde kommt, da eine Schwingung im Nichts nicht möglich ist, glaubten viele Physiker an den Teilchencharakter des Lichtes. Jedoch gewann die Wellentheorie am Ende des 18. Jahrhunderts durch Thomas Young ( ) wieder an Bedeutung, als dieser das Interferenzprinzip am Doppelspalt entdeckte. Dieses besagt, dass sich Wellentäler und Wellenberge gegenseitig auslöschen bzw. verstärken. So konnten Interferenzerscheinungen durch Überlagerungen von Licht erklärt werden. Die Teilchentheorie wurde zu dieser Zeit fast vollkommen verworfen, weil nachgewiesen wurde, dass das von tian Abbildung.6: Chris- Newton auf Teilchenbasis aufgestellte Brechungsgesetz Huygens nicht mit der in einem dichten Medium gemessenen Lichtgeschwindigkeit zusammenpasst. Später konnte auch noch die Polarisation des Lichts durch die Wellentheorie erklärt werden. Somit gab es fast keinen Zweifel mehr an der Gültigkeit der Wellentheorie. Es folgte jedoch die Erklärung des Photoelektri- schen Effekt durch Einstein. Lichtteilchen, die Photonen genannt werden, schlagen Elektronen aus negativ geladenem Metall. Die Energie dieser Photonen wurde mit E = h f bestimmt. Einige Effekte des Lichts konnten nur mit der Teilchen- (z.b. Photoeffekt), andere nur mit der Wellentheorie (z.b. Interferenz) erklärt werden. Aus dieser Tatsache entstand die Bornsche Wahrscheinlichkeitsdeutung, nach der das Quadrat der Amplitude einer Lichtwelle zu der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Photons in einem bestimmten Raumbereich proportional ist. Folglich kann Licht durch Abbildung.7: Sir Isaac Newton Teilchen beschrieben werden, deren Aufenthaltsort durch eine Wellenfunktion angegeben wird. 1 Sir Isaac Newton (* 4. Januar 1643 in Woolsthorpe-by-Colsterworth in Lincolnshire; 31. März 177 in Kensington) war ein englischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Alchemist, Philosoph und Verwaltungsbeamter.

13 11. Die Natur des Lichts.. Polarisiertes Licht Licht kann im Wellenmodell als eine transversale elektromagnetische Welle dargestellt werden. Das elektrische Feld E(y,t) und das magnetische Feld B(y,t) einer sich in y-richtung ausbreitenden elektromagnetischen Welle stehen orthogonal aufeinander (Abb..8). Abbildung.8: Darstellung einer elektromagnetischen Welle Der elektrische Feldvektor E 0 ist die Schwingungsamplitude des elektrischen Feldes zu einer bestimmten Zeit t und liegt in Abbildung.8 in der x-z-ebene, die orthogonal zur Ausbreitungsrichtung ist. Abbildung.9: Linear polarisiertes Licht Beschreibt der elektrische Feldvektor im Falle einer ebenen elektromagnetischen Welle entlang einer festen, auf der Ausbreitungsrichtung y senkrecht stehenden Ge-

14 Grundlagen der Quantenphysik 1 raden eine hin- und hergehende Bewegung, so dass die Orientierung des elektrischen Feldes konstant ist, so bezeichnet man die elektromagnetische Welle als linear polarisiert. Die einzelnen Photonen sind ebenfalls polarisiert. Abbildung.10: Zirkular polarisiertes Licht Zirkular polarisiertes Licht erhält man aus der Überlagerung zweier Lichtstrahlen, deren E-Vektoren im rechten Winkel zueinander stehen und betragsmäßig die selbe Amplitude besitzen. Besteht zwischen diesen Strahlen eine Phasenverschiebung (Schwingungsknoten fallen nicht zusammen), erhält man einen Lichtstrahl, dessen E-Vektor eine Spirale beschreibt. Abbildung.11: Elliptisch polarisiertes Licht Dies ist lediglich ein Spezialfall des elliptisch polarisierten Lichtes, dessen E- Vektoren auch eine Phasendifferenz besitzen, jedoch unterschiedliche Amplituden aufweisen. Erzeugung von linear polarisiertem Licht Am häufigsten wird linear polarisiertes Licht erzeugt, indem man das unpolarisierte Licht (die einzelnen Photonen besitzen eine zufällige Schwingungsebene) durch einen Polarisationsfilter schickt, der nur Licht durchlässt, das in eine bestimmte Richtung

15 13. Die Natur des Lichts polarisiert ist. Das heißt, das Licht, das den Polarisationsfilter passiert, hat danach eine einheitliche Schwingungsebene und wird von einem zweiten Polarisationsfilter, der normal zum ersten steht, vollständig blockiert (Abb..1). Abbildung.1: Polarisation..3 Darstellungen von Polarisationen Poincaré-Sphäre Die Polarisation von Licht und deren Änderung wird üblicherweise in der Poincaré- Sphäre dargestellt. Sie wurde ungefähr 189 von Henri Poincaré entwickelt und nach ihm benannt. In der Quantenmechanik ist die Bezeichnung Blochkugel nach dem Physiker Felix Bloch üblich. Der obere und der untere Pol repräsentieren dabei linear polarisiertes Licht, wobei die Polarisation in H horizontal und in V vertikal orientiert ist. Alle Punkte in der x-z-ebene bedeuten lineare Polarisation. Die Punkte R und L stehen für zirkular polarisiertes Licht. Alle anderen Punkte der Kugel repräsentieren elliptische Polarisationen. 180 auf der Blochkugel entsprechen hierbei 90 in der Realität. Einige Polarisationen sind exemplarisch in Abbildung.13 dargestellt. Folgende Auflistung beschreibt die verschiedenen Polarisationen in Abbildung Das erste Icon stellt lineare Polarisation mit horizontaler Orientierung dar.. Elliptische Polarisation gegen den Uhrzeigersinn mit horizontaler Orientierung

16 Grundlagen der Quantenphysik 14 Abbildung.13: Polarisationen an der Blochkugel 3. Lineare Polarisation mit Orientierung in 45 -Richtung 4. Zirkulare Polarisation gegen den Uhrzeigersinn 5. Elliptische Polarisation gegen den Uhrzeigersinn mit vertikaler Orientierung 6. Lineare Polarisation mit vertikaler Orientierung 7. Elliptische Polarisation gegen den Uhrzeigersinn mit 45 Orientierung 8. Lineare Polarisation mit Orientierung in 45 -Richtung

17 15. Die Natur des Lichts 9. Zirkulare Polarisation mit dem Uhrzeigersinn Jones-Vektor Der Jones-Vektor ist ein zweidimensionaler komplexwertiger Vektor, der zur Repräsentation der Polarisation ebener elektromagnetischer Wellen dient. Benannt wurde der Jones-Vektor nach R. Clark Jones, der dieses Verfahren zur Polarisationsdarstellung 1941 einführte. Wir werden den Jones-Formalismus später zum Darstellen der Polarisation von Photonen und deren Verhalten beim Durchlaufen von optischen Bauelementen. In komplexer Schreibweise hat die Elongation einer monochromatischen ebenen Welle in einem kartesischen Koordinatensystem die Orts- und Zeitabhängigkeit E(z,t) = (Ẽx Ẽ y ) e i(kz ωt), (.7) wobei k die Wellenzahl und ω die Kreisfrequenz bezeichnen und als Ausbreitungsrichtung die z-achse gewählt ist. Der Jones-Vektor dieser Welle ist dann einfach J = (Ẽx Ẽ y ), (.8) d. h. die explizite Raum- und Zeitabhängigkeit der Amplitude wird bei der Beschreibung der Welle unterdrückt. Der Effekt eines optischen Bauelements auf den Jones-Vektor eines transmittierten Lichtstrahls lässt sich (sofern es keine nichtlinearen Eigenschaften hat) durch eine komplexwertige x-matrix A beschreiben, Polarisierte Photonen können folgendermaßen durch Jones-Vektoren dargestellt werden: ( ) 1 linear in x-richtung e x = 0 ( ) 0 linear in y-richtung e y = 1 linear in +45 -Richtung e 45 = 1 ( ) 1 1 linkshändig zirkular e L = 1 ( 1 i rechtshändig zirkular e R = 1 ( 1 i ) )

18 Grundlagen der Quantenphysik 16 Dabei kann beispielsweise ein linear polarisierter Lichtstrahl als Superposition eines rechts- und eines links-zirkular polarisierten Strahls jeweils halber Intensität aufgefasst werden. Dies ist in Abbildung?? illustriert. e x = 1 ( e R + e L ) e y = 1 ( e R e L ) Abbildung.14: Darstellung von linearer Polarisation durch Überlagerung von zirkularer Polarisationen Umgekehrt kann ein zirkular polarisierter Lichtstrahl als Superposition eines horizontal und eines vertikal linear polarisierten Strahls jeweils halber Intensität aufgefasst werden. Dies wird in Abbildung.15 grafisch verdeutlicht. e R = 1 e x + i e y e L = 1 e x i e y Abbildung.15: Darstellung von zirkularer Polarisation durch Überlagerung von linearen Polarisationen Eine genauere Analyse des mathematischen Zusammenhangs folgt in 3.. Ein Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht in horizontaler Orientierung, wird mit der Matrix ( ) 1 0 (.9) 0 0 ausgedrückt. Ein Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht in vertikaler Orientierung, wird mit durch die Matrix ( ) 0 0 (.10) 0 1

19 17. Die Natur des Lichts dargestellt. Ein λ/-plättchen wird mit der Matrix ( ) (.11) ausgedrückt. Mit dem Jones-Formalismus können insbesondere optische Systeme analysiert werden. So kann damit beispielsweise ein linear in 45 -Richtung polarisiertes Photon, das auf einen Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht in vertikaler Orientierung trifft, folgendermaßen ausgedrückt werden: ( ) ( ) 0 0 = 1 ( ) (.1) Diese Rechnung zeigt, dass das Photon nach dem Durchlaufen des Polarisationsfilters vertikal polarisiert ist...4 Das Gesetz von Malus Im Abschnitt.. wurden Polarisationsfilter zum Erzeugen von linear polarisiertem Licht genutzt. Mit dem Gesetz von Malus kann die Intensität von linear polarisierten Licht dem Durchgang durch einen Polarisationsfilter bestimmt werden. I = I 0 cos (α) (.13) Mit der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation ist es ebenfalls möglich die Wahrscheinlichkeit zum Durchlassen bzw. Absorption eines Photons zu berechnen. Trifft ein in α-richtung zur Polarisationsfilterwinkeleinstellung polarisiertes Photon auf einen Polarisationsfilter, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Photon durchgelassen wird: P ( wird durchgelassen ) = cos (α) (.14) Die Wahrscheinlichkeit einer Absorption lässt sich folgendermaßen bestimmen: P ( wird absorbiert ) = sin (α) (.15)

20 Grundlagen der Quantenphysik Doppelbrechung Um das Prinzip der Doppelbrechung verstehen zu können, betrachten wir zunächst die einfache Lichtbrechung. Lichtbrechung Abbildung.16: Lichtbrechung Das Phänomen der Lichtbrechung tritt beispielsweise auf, wenn man einen Stab in einen Behälter mit Wasser stellt. Dieser erscheint geknickt, was in einer besonderen Eigenschaft des Lichtes begründet ist. Lichtstrahlen, welche in durchsichtige Materialien eindringen, ändern bei Eintritt an der Grenzfläche ihre Richtung. Leitet man einen gebündelten Lichtstrahl in einem schrägen Winkel in Wasser, so wird er am Übergang zwischen Luft und Wasser abgeknickt. Das Abknicken des Strahls ergibt sich aus den verschiedenen Ausbreitungsgeschwindigkeiten der beiden Materiale. Zur Berechnung des Brechungswinkel β müssen die sogenannten Brechzahlen n der beiden Medien sowie der Einfallswinkel α bekannt sein. n 1 sin α = n sin β (.16) Doppelbrechung am Kristall Optisch anisotrope Kristalle haben die Eigenschaft, dass sie einen einfallenden Lichtstrahl in zwei orthogonal zueinander polarisierte Teilstrahlen aufspalten. Optisch

21 19. Die Natur des Lichts Abbildung.17: Doppelbrechung am Kristall anisotrop bedeutet, dass die Kristalle unterschiedliche Brechzahlen für unterschiedlich polarisiertes Licht haben. Von der einfachen Lichtbrechung ist bekannt, dass für das Abknicken eines Lichtstrahles die verschiedenen Ausbreitungsgeschwindigkeiten in den aneinander grenzenden Medien verantwortlich sind. in doppelbrechenden Medien hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts zusätzlich von der Schwingungsrichtung des betrachteten Lichtes ab, während bei der normalen Brechung nur die Einfallsrichtung des Lichtes beachtet werden brauchte. Zum besseren Verständnis des Prinzips der Doppelbrechung wird im Folgenden der Begriff der optischen Achse eingeführt. Es gibt in jedem Kristall eine ausgezeichnete Richtung, in welcher die Lichtgeschwindigkeit für Wellen aller Polarisationsrichtungen gleich ist. Diese Richtung nennt man die optische Achse eines Kristalls. Bei einem nicht zur optischen Achse parallelen Lichteinfall wird der Lichtstrahl stets in zwei Polarisationskomponenten aufgespalten, wie in Abbildung.18 veranschaulicht. Diese beiden Komponenten erfahren durch die Doppelbrechung fast immer eine räumliche Aufspaltung. Ein Teilstrahl, der sogenannte ordentliche Strahl, setzt bei senkrechtem Lichteinfall seinen Weg in gerader Linie fort, verhält sich also so wie der Lichtstrahl in einem einfach brechenden Medium. Der andere, sogenannte außerordentliche Strahl erfährt auch bei senkrechtem Lichteinfall eine Richtungsänderung. Beide Strahlen weisen unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten auf und sind unterschiedlich polarisiert. Beispiele für doppelbrechende Kristalle sind beispielsweise Kalkspat und Quarz.

22 Grundlagen der Quantenphysik 0 Abbildung.18: Aufspaltung des Lichtes in ordentlichen und außerordentlichen Strahl..6 Verzögerungsplatten Verzögerungsplatten sind dünne Schichten aus doppelbrechenden Kristallen die so geschnitten sind, dass eine Polarisationsrichtung der anderen gegenüber um einen bestimmten Betrag verzögert wird. Gebräuchlich sind solche Platten mit Verzögerungen von einer halben Wellenlänge (λ/-platten) und einer viertel Wellenlänge (λ/4-platten). Diese Verzögerung bezieht sich also immer auf eine bestimmte Wellenlänge. λ/-plättchen Ein λ/-plättchen kann zur Drehung der Polarisationsrichtung benutzt werden. Wird Licht unter dem Winkel θ zu einer optischen Achse eingestrahlt, so kommt das Licht unter dem Winkel θ wieder heraus. Es wird folglich um den Winkel θ zur optischen Achse hin gedreht bzw. an ihr gespiegelt. λ/4-plättchen Bei der λ/4-platte wird die eine Komponente der Polarisation der anderen gegenüber nur um eine viertel Wellenlänge verzögert. Hierdurch kann man linear polarisiertes Licht in zirkular polarisiertes Licht umwandeln und umgekehrt. Eine Drehung der

23 1. Die Natur des Lichts Abbildung.19: Funktionsweise eines λ/-plättchens λ/4-platte führt zu elliptischer Polarisation des Lichts. Trifft nun ein linear in 45 -Richtung zur optischen Achse polarisierter Lichtstrahl auf das Plättchen, dann entsteht zirkular polarisiertes Licht. Ist die Einstellung von 45 verschieden, so entsteht im allgemeinen Fall elliptisch polarisiertes Licht. Ursächlich hierfür ist, dass der Lichtstrahl in zwei senkrecht zueinander polarisierte Anteile aufgespalten wird, die sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ausbreiten und sich am Ausgang des Plättchens um eine Viertelphase verschoben wieder überlagern. Man spricht entsprechend auch von der schnellen bzw. langsamen Achse des Kristalls. Damit entsteht für den resultierenden Feldvektor des austretenden Lichtstrahls ein Kreis oder eine Ellipse, die während jedes Schwingungszyklus eine vollständigen Drehung der Polarisationsebene um 360 hervorruft. Ist die Polarisationsrichtung des einfallenden Lichts dagegen parallel zu einer der Achsen, dann erhält man nach dem Plättchen wieder linear polarisiertes, aber phasenverschobenes Licht.

24 Grundlagen der Quantenphysik Umgekehrt verwandelt ein λ/4-plättchen auch zirkular polarisiertes Licht in linear polarisiertes Licht. Zwei hintereinander geschaltete λ/4-plättchen ergeben bei paralleler Ausrichtung ihrer optischen Achse ein λ/-plättchen, welches in Abschnitt..6 erläutert wurde. Abbildung.0: Funktionsweise des λ/4-plättchens: Eine Lichtwelle, die vor dem Plättchen linear polarisiert ist, wandert durch das λ/4- Plättchen und ist dahinter zirkular polarisiert. Die Abbildung zeigt dieselbe Welle in zwei Darstellungen: unten als resultierende Welle, zunächst linear, dann zirkular polarisiert; oben dieselbe Welle zerlegt in zwei linear polarisierte Anteile parallel bzw. senkrecht zur ausgezeichneten Richtung des Plättchens. An dieser unteren Darstellung erkennt man, wie die beiden Komponenten innerhalb des Plättchens verschieden schnell laufen, so dass sie eine immer größere Phasenverschiebung erfahren, die hinter dem Plättchen dann auf λ/4 angewachsen ist, so dass die Überlagerung der Teilwellen zur zirkular polarisierten Welle führt.

25 3 Zustandssysteme Um das Phänomen der Verschränkung und somit auch die Teleportation und das Wien Experiment verstehen zu können, betrachten wir zunächst die hierfür notwendigen Grundlagen der Quantenmechanik. Da sich der Formalismus der Quantenmechanik relativ kompliziert gestaltet, beschränken wir und auf das Wesentliche und veranschaulichen die Zusammenhänge anhand der Polarisation von Photonen. In 3.1 werden Quantenzustände und ihre Superposition behandelt. In 3. wird auf die Verschränkung eingegangen. 3.1 Quantenzustände Die Schrödingergleichung ist die fundamentale Gleichung der nichtrelativistischen Quantentheorie und wurde 196 von Erwin Schrödinger 1 aufgestellt. Zustände von Quantenobjekten, z.b. von Elektronen, werden durch die Lösung der Schrödingergleichung beschrieben und als Wellenfunktion Ψ bezeichnet. Zur Beschreibung von Quantenzuständen wird häufig die Dirac- Notation verwendet. Diese wurde 1958 von Paul Dirac eingeführt. Hierbei gilt als Spaltenvektor und wird als ket bezeichnet. Die Wellenfunktion liefert eine vollständige Beschreibung eines Quantenzustandes. Der Informationsgehalt ist daher sehr hoch und auf viele Eigenschaften, wie beispielsweise Energie des Teilchens, Polarisation und Ort verteilt. Da die Wellenfunktion so auch mathematisch sehr komplex ist, werden die irrelevanten Teile der Abbildung 3.1: Erwin Schrödinger im Jahre 1933 Wellenfunktion nicht explizit aufgeschrieben. In späteren Experimenten ist es zum Beispiel sinnvoll die Wellenfunktion auf die Beschreibung der Polarisation zu beschränken. 1 Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (* 1. August 1887 in Wien-Erdberg; 4. Januar 1961 ebenda) war ein österreichischer Physiker. Er gilt als einer der Väter der Quantenphysik und erhielt 1933 dafür den Nobelpreis für Physik. Paul Adrien Maurice Dirac, Order of Merit (* 8. August 190 in Bristol; 0. Oktober 1984 in Tallahassee) war ein britischer Physiker, Nobelpreisträger und Mitbegründer der Quantenphysik.

26 3 Zustandssysteme 4 Um Ψ zu verstehen, betrachten wir beispielhaft einige verschränkte Photonen. Wir wählen hierfür ein Koordinatensystem wie in Abbildung 3. dargestellt. Abbildung 3.: gewähltes Koordinatensystem zur Darstellung der Polarisationen Zunächst gehen wir von einem in 0 -Richtung polarisierten Photon aus (siehe Abb. 3.3). Wenn man dieses Photon in der { H, V }-Basis darstellen will, lautet die zugehörige Wellenfunktion Abbildung 3.3: Ein in 0 -Richtung polarisiertes Photon Ψ 1 = H. (3.1) In Abbildung 3.4 sieht man, wie wir die Basisvektoren H und V gewählt haben. Analog zur Vektorrechnung im R müssen die Basisvektoren linear unabhängig sein, um damit jeden beliebigen Vektor darstellen zu können. Abbildung 3.4: Basisvektoren H und V Als nächstes wählen wir ein in 90 -Richtung polarisiertes Photon (siehe Abb. 3.5). Wenn man dieses Photon in der { H, V }-Basis darstellen will, lautet die zugehörige Wellenfunktion Ψ = V. (3.) Die Wellenfunktion eines in 45 -Richtung polarisierten Photons muss als Überlagerung von Basisvektoren dargestellt werden. (siehe Abb. 3.6)

27 5 3.1 Quantenzustände Abbildung 3.5: Ein in 90 -Richtung polarisiertes Photon Abbildung 3.6: Ein in 45 -Richtung polarisiertes Photon Ψ 3 = 1 [ H + V ] = 1 H + 1 V (3.3) Diesen Zustand nennt man Superposition. In der Quantenmechanik ist der Messvorgang eng mit der Wellenfunktion verknüpft. Das Quadrat der Koeffizienten vor den Basisvektoren gibt dabei die Wahrscheinlichkeit an, den zugehörigen Basiszustand in der gewählten Basis zu messen. Bezogen auf Ψ 3 bedeutet dies, dass man bei einer Messung in der { H, V }-Basis mit einer Wahrscheinlichkeit von ( ) 1 p( H ) = = 0.5 (3.4) den Zustand H misst und analog mit einer Wahrscheinlichkeit von p( V ) = ( 1 ) = 0.5 (3.5) den Zustand V. Experimentell kann man dies nachprüfen, indem man viele Photonen mit dem Zustand Ψ3 durch einen Polarisationsfilter mit 90 -Orientierung schickt. Man stellt fest, dass die Hälfte der Photonen den Filter passiert und die andere Hälfte absorbiert wird (siehe Abb. 3.7). Die durchgelassenen Photon sind dann ebenfalls in 90 -Richtung polarisiert, haben folglich nach dem Polarisationsfilter den Zustand Ψ 3 = V. (3.6) Da die Betragsquadrate der einzelnen Koeffizienten die Wahrscheinlichkeit angeben, den zugehörigen Basiszustand zu messen, ergibt sich daraus zwangsläufig, dass die Summe der quadrierten Koeffizienten 1 ergeben muss. (Gesamtwahrschein-

28 3 Zustandssysteme 6 Abbildung 3.7: Photonen werden durch einen in 0 -Richtung orientierten Polarisationsfilter geschickt. lichkeit beträgt 100%). (siehe Gleichung (3.4) und (3.4)) Bei einem allgemeinen Zustand Ψ = a H + b V (3.7) ergibt sich die Normierung a + b = 1 (3.8) Wollen wir vorhersagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Photon einen Polarisationsfilter in 45 -Stellung passiert, so müssen wir die Wellenfunktion in der Basis { 45, 135 } darstellen. Auf diese Weise kann man die neuen Koeffizienten direkt ablesen und erhält mit deren Betragsquadrat die gesuchten Wahrscheinlichkeiten. Abbildung 3.8: Basisvektoren 45 und 135

29 7 3.1 Quantenzustände Durch Transformation in die { 45, 135 }-Basis (siehe Abb. 3.8) ergibt sich beispielsweise für den Zustand Ψ 1 folgende Form Ψ 1 = 1 [ ] = (3.9) Bei einer Messung erhält man mit einer Wahrscheinlichkeit p( 45 ) = ( 1 ) = 0.5 (3.10) den Zustand H und analog mit einer Wahrscheinlichkeit von p( 135 ) = ( 1 ) = 0.5 (3.11) den Zustand V. Für die Zustände Ψ und Ψ 3 ergibt sich in der { 45, 135 }-Basis analog: Ψ = 1 [ ] = (3.1) Bei einer Messung von Ψ erhält man mit einer Wahrscheinlichkeit von p( 45 ) = ( 1 ) = 0.5 (3.13) den Zustand 45 und analog mit einer Wahrscheinlichkeit von p( 135 ) = den Zustand 135. Beim letzten Zustand ( 1 ) = 0.5 (3.14) Ψ 3 = 1 [ H V ] = 45 (3.15) misst man mit einer Wahrscheinlichkeit von p( 45 ) = 1 = 1 (3.16) den Basiszustand 45. Zusammenfassung: Die Zustände in den verschiedenen Basen ausgedrückt sind eine äquivalente Beschreibung des Photons durch die Wellenfunktion. Durch das Ex-

30 3 Zustandssysteme 8 periment ist eine Messbasis gegeben. Will man die Wahrscheinlichkeit, ein Photon nach einer Messung in einem bestimmten Zustand zu finden, vorhersagen, so muss man die Wellenfunktion, die das Photon vor der Messung beschreibt in diese Basis transformieren. Das Betragsquadrat der Koeffizienten entspricht dieser Wahrscheinlichkeit. Wir sind nun in der Lage das Phänomen der Verschränkung mathematisch zu beschreiben. 3. Verschränkung Wir wollen nun Zweiteilchensysteme betrachten. Beide Photonen haben eine Polarisation, die jeweils in den Basiszuständen H und V ausgedrückt werden kann. Ψ 1 = a H + b V Ψ = b H + d V (3.17) Zur Beschreibung des gesamten Systems in einer Wellenfunktion müssen die beiden Einzelzustände multipliziert werden Ψ 1 = Ψ 1 Ψ = (a H 1 + b V 1 ) (c H + d V ). (3.18) Befindet sich das erste Photon im Zustand H und das zweite im Zustand V, so wird der Gesamtzustand folgendermaßen ausgedrückt: Ψ = H 1 V = H V (3.19) Die Indizes 1 bzw. für das erste bzw. zweite Photon können weggelassen werden, sofern eindeutig erkennbar ist, welcher Zustand zu welchem Teilchen gehört. Multiplizieren wir die Gleichung (3.18) aus, ergibt sich: Ψ 1 = ac H 1 H + ad H 1 V + bc V 1 H + bd V 1 V = α H 1 H + β H 1 V + γ V 1 H + δ V 1 V (3.0) Es wird ersichtlich, dass die Basis des Gesamtsystems durch die vier Basiszustände H 1 H, H 1 V, V 1 H und V 1 V gegeben ist. (siehe Abb. 3.9) Auch hier ist wieder jede Überlagerung der vier Basiszustände möglich, d.h. ein allgemeiner Zwei- Teilchen-Zustand ist eine Superposition dieser vier Basiszustände. Das Absolutquadrat der Koeffizienten α, β, γ und δ in (3.18) gibt hier wiederum die Wahrscheinlichkeit an, dass wir das Gesamtsystem bei einer Messung im entsprechenden Zustand antreffen. Die Summe der Betragsquadrate aller Koeffizienten

31 9 3. Verschränkung Abbildung 3.9: Die vier Basiszustände. ist demnach wieder 1 α + β + γ + δ = 1. (3.1) Im Beispiel eines 45 - und eines vertikal polarisierten Photons ergibt sich demnach für die Koeffizienten der Gesamtwellenfunktion und die daraus resultierenden Wahrscheinlichkeiten: Ψ 1 = 1 [ H 1 + V 1 ] V = 1 [ H 1 V + V 1 V ] (3.) α = 0, β = 1, γ = 0, δ = 1 (3.3) P ( H 1 V ) = P ( V 1 V ) = ( 1 ) = 1 (3.4) Die oben angeführten Gesamtzustände ergeben sich stets aus der Multiplikation zweier Einzelzustände. Der resultierende Zustand wird daher auch Produktzustand genannt. Dieser kann daher auch wieder in die Einzelzustände separiert werden. Im Gegensatz dazu ist folgender Zustand nicht mehr faktorisierbar. Ψ 1 = 1 [ H 1 V V 1 H ] (3.5) Dieser Zustand (3.5) ist aus folgendem Grund in keinen Produktzustand wie in Gleichung (3.18) umformbar: Im Zustand (3.5) tritt der Term H 1 H nicht auf. Dies bedeutet, dass in der Produktzustandsgleichung (3.18) ac H 1 H = 0 und somit ac = 0 gelten muss. Wenn ac = 0 gilt, ist aber automatisch ad = 0 oder bc = 0. Der Term H 1 V oder V 1 H wäre folglich auch nicht in der Zustandsgleichung enthalten. Im Zustand (3.5) sind aber offensichtlich beide Therme ( H 1 V und V 1 H ) enthalten. Aus diesem Widerspruch folgt, dass der Zustand (3.5) nicht in

32 3 Zustandssysteme 30 einen Produktzustand umgeformt werden kann. Einen Zustand, der in keiner Basis als Produktzustand darstellbar ist, nennt man verschränkt. Im vorigen Absatz haben wir gezeigt, dass der Zustand in Gleichung (3.5) in der { H 1 H, H 1 V, V 1 H, V 1 V }-Basis nicht faktorisierbar ist. Um zu verifizieren, dass es sich bei Ψ 1 in (3.5) um einen verschränkten Zustand handelt, muss nachgewiesen werden, dass er in keiner Basis in einen Produktzustand übergeht. Abbildung 3.10: Beliebige Basis, die um α zur {H,V }-Basis gedreht ist. Wir müssen folglich H und V der Gleichung (3.5) in einer beliebigen orthonormalen Basis darstellen. Dafür wählen wir α und orthogonal dazu α.

33 31 3. Verschränkung Aus geometrischen Überlegungen ergibt sich: H = cos(α) α sin(α) α (3.6) V = sin(α) α + cos(α) α (3.7) Die Koeffizienten cos(α) bzw. sin(α) bewirken eine Drehung um den Winkel α des jeweiligen Zustandes α bzw. α. Der Zustand α ist dabei ein um α Zustand, α bezeichnet einen um (α + 90 ) gedrehten Zustand. Wir zeigen nun, dass Ψ 1 auch in der neuen Basis α, α seinen verschränkten Zustand behält. Einsetzen von (3.6) und (3.7) in H 1 V und V 1 H ergibt: H 1 V = cos(α) sin(α) α 1 α sin (α) α 1 α + cos (α) α 1 α cos(α) sin(α) α 1 α (3.8) V 1 H = cos(α) sin(α) α 1 α sin (α) α 1 α + cos (α) α 1 α cos(α) sin(α) α 1 α (3.9) Beim Einsetzen in Gleichung (3.5) ergibt sich mit sin (α) + cos (α) = 1: Ψ 1 = 1 [ α 1 α α 1 α ] (3.30) Der Zustand behält folglich seine Gestalt in jeder beliebigen Basis und ist somit wie bei Gleichung (3.5) verschränkt. Im Folgenden wird nun darauf eingegangen, dass der soeben ausgeführte Basiswechsel sich auf die Überführung von linear polarisiertem Licht auf zirkulare Polarisation anwenden lässt. Aus Kapitel.. und..3 kennen wir zirkular polarisiertes Licht. Wir können linear polarisiertes Licht durch die Überlagerung von zirkular polarisierten Licht darstellen. Die Jones-Vektoren für linear polarisiertes Licht lauten wie aus..3 bekannt. L = 1 ( ) 1 i R = 1 ( ) 1 i (3.31) (3.3) In Kapitel..3 wurde genannt, dass sich lineare Polarisation durch die Überlagerung von zirkularer Polarisation darstellen lässt. Folgende kurze Rechnung zeigt

34 3 Zustandssysteme 3 diesen zusammenhang. H = 1 ( L + R ) = 1 V = i ( R L ) = i ( ) ( ) 1 = 0 0 ( ) ( ) 0 0 = i 1 (3.33) (3.34) Ersetzen wir H und V in Gleichung (3.5) durch diese Ausdrücke, so erhalten wir: Ψ 1 = 1 ( H V V H ) = 1 [ ] i ( L + R ) ( L R ) ( L R ) ( L + R ) = i + i [ L L + L R R L + R R + L L + L R R L R R = i ( L R R L ) ] (3.35) Wir sehen also, dass der Verschränkungszustand auch bei einer Messung in zirkularer Basis die Form wie in Gleichung (3.5) behält. Diese Tatsache ist wichtig, um den Messvorgang in Kapitel 5 nachvollziehen zu können. Bisher haben wir lediglich gezeigt, dass der Zustand aus Gleichung (3.5) verschränkt ist. Aber wie verhält sich ein verschränktes Photonenpaar im Experiment? Misst man Photon A in der { H, V }-Basis, so nimmt dieses mit 50% Wahrscheinlichkeit den Zustand H an. Beeinflusst durch die Messung befindet sich Teilchen A im Zustand H und Teilchen B nimmt instantan den Zustand V an. Hätte man umgekehrt den Zustand V für Teilchen A gemessen, so befände sich Teilchen B im Zustand H. Die Teilchen zeigen perfekte Antikorrelation (siehe Abb. 3.11). Anschaulich lässt sich Verschränkung am besten mit folgender Analogie erklären. Geht man von zwei Losen in einer Box aus, einer Niete und einem Gewinnlos. Zieht man nun eines davon und erkennt, dass es sich um die Niete handelt, so weiß man automatisch, dass das Los in der Box das Gewinnlos sein muss(sofern man nicht betrogen wurde). Eine quantenphysikalische Korrelation sieht ganz ähnlich aus. Wir gehen von einem Quantenlospaar bzw. Photonenpaar in einem Zustand, wie in Gleichung (3.5) beschrieben ist, aus, das sich auch hier wieder in der Losbox befindet. Hat Los A bzw. Photon A den Zustand H, so weiß man automatisch, dass das Los B bzw.

35 33 3. Verschränkung Abbildung 3.11: Eine Quelle emittiert ein verschränktes Photonenpaar mit dem Zustand Ψ 1. An zwei polarisierenden Strahlteilern werden diese anhand ihrer Polarisation aufgeteilt. Hier sind die beiden möglichen Messausgänge veranschaulicht. Ist ein Detektor orange markiert, so ist damit gemeint, dass dieser ein Photon registriert. das Photon B in der Box den Zustand V hat. Zwischen der klassischen und der Quantenkorrelation besteht jedoch ein wichtiger Unterschied. Während sich bei der klassischen Korrelation die ganze Zeit das Gewinnlos in der Box und die Niete in der Hand des Pechvogels befunden hat, so ist der Zustand bei der Quantenkorrelation bis zur Messung in einer bestimmten Basis unbestimmt. Erst beim Messvorgang nimmt Photon A mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% den Zustand H und Photon B somit instantan den Zustand V an. An dem Phänomen der Verschränkung wird auch klar, dass der Informationsbegriff eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik einnimmt. Aus der klassischen Mechanik sind wir es gewohnt Objekten feste Eigenschaften zuzuschreiben. In der Quantenmechanik kann die Information jedoch auch anders verteilt werden. In diesem fall ist die Beziehung zwischen den beiden Teilchen bekannt, aber über die einzelnen Teilchen kann keine Aussage mehr gemacht werden, da die Menge an Information begrenzt ist.

36 3 Zustandssysteme Erzeugen von verschränkten Teilchen Im folgenden werden zwei verschiedene Verfahren zur Erzeugung verschränkter Teilchen im Labor vorgestellt Beta-Bariumborat(BBO)-Kristall Zunächst erzeugt ein Ti:sapphire(Titan-Saphir) Laser (siehe Abb. 3.1) einen gepulsten Laserstrahl mit einer Wellenlänge λ von 395nm und einer Pulsenergie von 150mW. Gepulste Laser emittieren ihre Leistung periodisch in einem Lichtpuls. Abbildung 3.1: Teil des Versuchsaufbaus, der die verschränkten Photonen erzeugt Der darauf folgende β-barium-borat(bbo)-kristall ist der wichtigste Teil zur Erzeugung verschränkter Photonen. Wichtige Eigenschaften des Kristalls sind seine Nichtlinearität und seine Doppelbrechung. Auf diesen Kristall werden nun die vom Laser erzeugten Photonen geschossen. Ein auf den Kristall treffendes Photon teilt sich auf in zwei Photonen mit gleicher Frequenz, die der halben Frequenz des Ursprungphotons entspricht. Die neue Frequenz lässt sich aus der Energieerhaltung

37 Erzeugen von verschränkten Teilchen herleiten. E vorher = E nachher E P 1 = E P + E P 3 h f 1 = h f + h f 3 mit f = f 3 (3.36) f 1 = f f = 1 f 1 Aus Gründen der Impulserhaltung ergeben sich für Photonen die Richtungen, in denen sie den Kristall verlassen können. Diese Richtungen bilden zwei Kegel mit einer gemeinsamen Schnittmenge. Einer der Kegel enthält horizontal polarisierte Photonen, der andere solche mit vertikaler Polarisation. Die Photonen der Schnittmenge sind polarisationsverschränkt, da sie bezüglich ihres Impulses und ihrer Frequenz nicht mehr unterscheidbar sind. Es ist schließlich nicht erkennbar, von welchem Kegel sie stammen. Wichtig hierbei ist, dass der auf den Kristall einfallende Strahl exakt justiert ist, damit eine Überlappung der Kegel überhaupt stattfindet. Die vorherige Erklärung unterliegt einer gewissen Einschränkung: Nur die Photonenpaare, die am hinteren Ende des BBO-Kristalls erzeugt wurden, sind verschränkt. Die durch die Doppelbrechung resultierende unterschiedliche Phasengeschwindigkeit des ordentlichen sowie des außerordentlichen Strahls führt zu einem Laufzeitunterschied zwischen den beiden Photonen, d.h. die Photon verlassen den Kristall zeitversetzt. Dies bedeutet, dass eine Unterscheidung der Photonen anhand dieser Information möglich ist. Eine Verschränkung liegt also noch nicht vor. Dieser Effekt ist nicht vermeidbar, man muss folglich diesen Laufzeitunterschied ausgleichen, um somit die momentan noch vorhandenen Informationen, die die Photonen unterscheidbar machen, auslöschen. Dies macht man mithilfe eines sogenannten Quantenradierers. Dies wird hier mit dem λ/-plättchen und dem BBO/- Kristall realisiert. Das λ/-plättchen verschiebt die passierenden Strahlen um λ = π. Folglich werden aus horizontal polarisierten Photonen vertikal polarisierte und umgekehrt. Dies löscht die Information noch nicht aus. Dafür wird der BBO/-Kristall benötigt. Dieser ist halb so dick wie der BBO-Kristall und bremst das schnellere Photon doppelt so stark wie das andere ab. Dies führt zu einer Halbierung des Laufzeitunterschiedes. Nun haben die Photonen, die in der Mitte des Kristalls erzeugt wurden, keinen Laufzeitunterschied mehr. Die um den Abstand x von der Mitte entfernten erzeugten Photonen haben denselben Laufzeitunterschied mit umgekehrten Vorzeichen wie die Photonen, die um den Abstand -x von der Mitte entfernt erzeugt wurden. Das heißt beispielsweise, dass Photonen, die ganz vorne am Kristall erzeugt wurden, den nur durch das Vor-

38 3 Zustandssysteme 36 Abbildung 3.13: Erzeugung verschränkter Photonen: An den Schnittpunkten der Kegel sind die Photonen verschränkt. zeichen unterschiedlichen Laufzeitunterschied wie die Photonen, die ganz hinten am Kristall erzeugten wurden, haben. Liegt bei den Photonen, die vorne am Kristall erzeugt wurden das horizontal polarisierte Photon vorne, so liegt bei den anderen Photonen das vertikal polarisierte Photon vorne. Da man von den Photonen den Entstehungsort nicht kennt, kann man dem BBO/-Kristall nicht mehr sagen, welcher Strahl zuerst aus dem BB0-Kristall ausgetreten ist. Nun bilden alle Photonen unabhängig des Entstehungsortes Superpositionen und sind somit verschränkt. Die Photonen haben stets einen unterschiedlichen Polarisationszustand. Ist Photon 1 horizontal polarisiert, so ist Photon vertikal polarisiert. Dieser Zustand ist bereits aus Gleichung 3.5 bekannt: Ψ 1 = 1 [ H 1 V V 1 H ] (3.37) Die Filter vor den Detektoren sorgen dafür, dass nur Photonen gleicher Energie

39 Erzeugen von verschränkten Teilchen detektiert werden. Dies ist nötig, da Photonen nur dann verschränkt sind, wenn sie ununterscheidbar sind, dies bezieht sich also auch auf die Energie. Nun kann man sich natürlich fragen, warum die Photonen denn unterschiedliche Energiewerte haben. Das liegt ganz einfach daran, dass in der Anordnung ein gepulster Laser verwendet wird. Im Gegensatz zu einem kontinuierlichem Laserstrahl ist die Energie eines Laserpulses nicht exakt bestimmt. Dies liegt an der Heisenbergschen Unschärferelation. E t h π (3.38) Wir erhalten also Photonen eines bestimmten Energiebereiches. Mit dem Filter sortieren wir die ungewollten Photonenpaare aus. Die Erzeugung von verschränkten Photonenpaaren mit Hilfe des BBO-Kristalls hat einen Nachteil. Es werden viele Photonen durch den BBO-kristall geschickt, aber nur die Photonen in der Schnittmenge der Kegel werden verschränkt. Mit einem periodisch gepolten Kaliumtitanylphosphat- Abbildung 3.14: Kristall Kristall kann man die Ausbeute vergrößern. Damit ist es möglich beinahe 1 alle Photonen des Laserstrahls zu verschränken. Auf diesen Mechanismus wird im folgenden Abschnitt eingegangen Periodisch gepolter Kaliumtitanylphosphat-Kristall In Abbildung ist ein Schema des Versuchsaufbaus dargestellt. Eine Laserdiode erzeugt einen Laserstrahl mit der Frequenz f 1. Der dichromatische Filter lässt Photonen mit Frequenz f 1 durch, Photonen mit der Frequenz f werden reflektiert. Der Laserstrahl wird folglich durchgelassen. Am polarisierenden Strahlteiler (PBS, polarising beamsplitter) wird der Strahl in eine horizontal und eine vertikal polarisierte Komponente zerlegt. Die Photonen mit horizontaler Polarisation werden vom PBS durchgelassen und treffen über einen Spiegel auf den PPKTP(Periodically Poled Potassium Titanyl Phosphate)-Kristall. Dort verwandelt sich ein Photon mit der Frequenz f 1 in zwei Photonen mit der Frequenz f = f 1. Dies ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz (siehe Gleichung 3.36). Eines der erzeugten Photonen ist horizontal orientiert, das andere vertikal. Diese Photonen mit der Frequenz f befinden sich nun in Mode D und treffen erneut auf den polarisierenden Strahlteiler PBS, woraufhin die horizontal 1 Wegen experimenteller Unzulänglichkeiten ist eine geringe Verlustrate vorhanden.

40 3 Zustandssysteme 38 Abbildung 3.15: Schema des Versuchsaufbaus orientierten Photonen durchgelassen werden und sich somit in Mode A befinden. Die vertikal orientierten Photonen werden am PBS reflektiert und gelangen in Mode B. Kehren wir zurück zum polarisierenden Strahlteiler PBS. Die vertikale Komponente wird dort reflektiert und über einen Spiegel in den Kristall gelenkt. Hier teilen sich die Photonen ebenfalls in zwei Photonen mit orthogonaler Polarisation und der Frequenz f auf. Die Photonen befinden sich nun in Mode C. Am polarisierenden Strahlteiler PBS wird der horizontale Anteil durchgelassen und landet in Mode B. Der vertikale Anteil dagegen wird reflektiert und landet in A. Die Photonen in Mode A haben die gleiche Frequenz f und einen gleich langen Weg zurückgelegt. Sie sind also nicht mehr unterscheidbar. Es kommt folglich zur Superposition der beiden Komponenten. Somit werden verschränkte Photonenpaare mit folgenden Zustand erzeugt. Ψ 1 = 1 [ H 1 V V 1 H ] (3.39) Selbiges gilt für die Photonen in Mode B. Auch diese Photonen sind nicht mehr unterscheidbar und bilden ebenfalls eine Superposition. Es entstehen verschränkte

41 Erzeugen von verschränkten Teilchen Photonenpaare mit dem Zustand Unterschiede Durch die in Abbildung 3.1 und aufgezeigten Versuchsaufbauten werden zwei unterschiedliche Typen von Anordnungen zur Erzeugung verschränkter Photonen dargestellt. Diese werden als Quellen bezeichnet. Der wesentliche Unterschied der beiden Quellen besteht darin, dass die aus Abbildung eine bei weitem höhere Ausbeute an verschränkten Photonen liefert. In Abbildung werden alle Photonen des Lasers verschränkt, während bei der ersten Variante nur die Schnittmenge der Kegel verschränkt wird.

42 3 Zustandssysteme Quantenteleportation Mit dem Begriff der Teleportation assoziieren die meisten Menschen das Beamen von Menschen in Star Trek oder anderen Science-Fiction- Filmen. Dies trifft allerdings nicht auf die Idee der Quantenteleportation zu. Es ist fraglich, ob die Quantenteleportation es uns eines Tages ermöglichen wird, von einem Ort zum anderen zu beamen. Denn bei der Quantenteleportation wird der unbekannte Zustand eines Teilchens auf ein anderes übertragen, das Teilchen selbst wird nicht transportiert. Es wird keine Materie sondern Abbildung 3.16: Die Väter der Quantenteleportation - vorne von links: Gilles Brassard, Claude Crepeau, Asher Peres, hinten: Richard Jozsa, William Wooters, Charles Bennett Information übertragen. Um die Quantenteleportation zu verwirklichen, muss auf klassische Weise kommuniziert werden. Deshalb wird die Information auch nicht instantan übertragen und ist somit mit den Gesetzen der Relativitätstheorie vereinbar. Im Jahre 1993 schlug eine Arbeitsgruppe um Charles Bennett das Prinzip der Quantenteleportation vor. Obwohl die Idee der Quantenteleportation schon seit 1993 besteht, konnte die Teleportation erstmals 1997 experimentell durchgeführt werden. Dies liegt vor allem an der Tatsache, dass die Verschränkung zweier Teilchen erst vor wenigen Jahren experimentell realisiert werden konnte. Das Prinzip der Quantenteleportation beruht auf der Verwendung eines verschränkten Zustands. Zwei Parteien, historisch bedingt Alice und Bob genannt, besitzen jeweils eines der verschränkten Teilchen. Sie befinden sich an räumlich getrennten Laboren. Alice möchte nun ein weiteres Teilchen mit einem ihr unbekannten Zustand Ψ zu Bob teleportieren. Dazu nimmt sie eine sogenannte Bellzustandsanalyse an dem zu teleportierenden und ihrem verschränkten Teilchen vor. Diese Messung verursacht eine Übertragung der Information über den Zustand Ψ zu Bob. Allerdings ist Bobs Teilchen nun in einem von vier möglichen Zuständen,

43 Quantenteleportation die geringfügig oder in einem Fall gar nicht von Ψ abweichen. Um den Zustand Ψ zu erhalten, muss Bob eine unitäre Transformation 1 durchführen. Um zu wissen, welche Art der Transformation er durchführen muss, ist eine Kommunikation mit Alice über einen klassischen Kanal notwendig. Dann kann Bob die Transformation anwenden und sein Photon hat den Zustand Ψ. Der Zustand des zu teleportierenden Teilchens wird gleichzeitig unbestimmt. Dieser kurze Überblick vermag zwar das grundlegende Prinzip der Teleportation aber nicht die Bellzustandsmessung von Alice und die Transformation von Bob plausibel zu machen. Die Bellzustandsanalyse und die unitäre Transformation können nur durch eine mathematische Betrachtung nachvollzogen werden. Abbildung 3.17: Schema der Quantenteleportation Mathematische Betrachtung Unser zu teleportierendes Teilchen befindet sich in einem Alice unbekannten Zustand, den wir Ψ 1 = α H 1 + β V 1 (3.40) bezeichnen. Die Photonenquelle emittiert ein verschränktes Photonenpaar mit dem Zustand Ψ 3 = 1 [ H V 3 V H 3 ], (3.41) wobei Photon zu Alice und Photon 3 zu Bob geschickt wird. Nun betrachten wir den Zustand des Gesamtsystems Ψ Ges = Ψ 1 1 Ψ 3 = 1 (α H 1 + β V ) ( H V 3 V H 3 ) (3.4) 1 Als unitäre Abbildung (auch unitäre Transformation) bezeichnet man in der Mathematik eine bijektive lineare Abbildung, die längen- und winkelerhaltend ist.

44 3 Zustandssysteme 4 Zunächst wird der Zustand aus 3.4 ausmultipliziert. Ψ Ges = 1 {α H 1 H V 3 α H 1 V H 3 + β V 1 H V 3 β V 1 V V 3 } Im nächsten Schritt wird eine Nulladdition durchgeführt. (α H 1 V H 3 α V 1 H H 3 +β H 1 V V 3 β V 1 H V 3 ) Ψ Ges = 1 (α H 1 V H 3 +α V 1 H H 3 β H 1 V V 3 β V 1 H V 3 ) + (α H 1 H V 3 α V 1 V V 3 +β H 1 H H 3 β V 1 V H 3 ) + (α H 1 H V 3 +α V 1 V V 3 β H 1 H H 3 β V 1 V H 3 ) 1 ( H 1 V V 1 H ) (α H 3 + β V 3 ) = 1 1 ( H 1 V + V 1 H ) (α H 3 β V 3 ) + 1 ( H 1 H V 1 V ) (α V 3 + β H 3 ) + 1 ( H 1 H + V 1 V ) (α V 3 β H 3 ) Ψ 1 (α H 3 + β V 3 ) = 1 Ψ + 1 (α H 3 β V 3 ) + φ 1 (α V 3 + β H 3 ) + φ + 1 (α V 3 β H 3 ) (3.43) Im obigen Ausdruck tauchen die Bell-Basiszustände auf: φ + 1 = 1 [ H 1 H + V 1 V ] (3.44) φ 1 = 1 [ H 1 H V 1 V ] (3.45) Ψ + 1 = 1 [ H 1 V + V 1 H ] (3.46) Ψ 1 = 1 [ H 1 V V 1 H ] (3.47) Diese vier verschränkten Zustände benutze der Ire John Bell, als er 1965 die sogenannte Bell-Basis zur Modellierung von Zweiquantensystemen einführte. Durch die Umformung des Ausgangszustandes (3.4) haben wir erreicht, dass wir den Zustand des Gesamtsystems in der Bell-Basis ausdrücken können. Messen wir nun Teilchen 1 und in der Bell-Basis, so werden wir eine der möglichen Bell-Zustände erhalten. An Gleichung (3.43) können wir dann den Zustand von Teilchen 3 direkt ablesen. Wir sehen, dass beispielsweise für die Messung des Zustandes Ψ 1 Teilchen 3

45 Quantenteleportation instantan den Zustand Ψ 3 = 1 (α H 3 + β V 3 ) (3.48) annimmt. Der Zustand Ψ 3 hat die selben Koeffizienten wie Ψ 1 vor der Messung, befindet sich daher im gleichen Quantenzustand wie vorher Ψ 1. Teilchen 1 selbst verliert beim Messprozess aufgrund der Verschränkung mit Teilchen seine Eigenschaften. Bei Messung von Ψ + oder Φ ± haben wir geringe Abweichungen zum ursprünglichen Quantenzustand von Teilchen 1, die durch unitäre Transformationen korrigiert werden können. Die Konsequenz der Tatsache, dass Teilchen 3 exakt den gleichen Quantenzustand wie Teilchen 1 annimmt, ist, dass die Polarisation von Teilchen 1 vollständig unbestimmt ist. Es ist mit Teilchen verschränkt. Die experimentelle Herausforderung liegt nun darin, in der Bell-Basis zu messen. Diese Bellzustandsanalyse wird im folgenden Kapitel erläutert Bellzustandsanalyse bei Alice Um die Bellzustandsanalyse zu verstehen, müssen wir zunächst die Symmetrieeigenschaften der Bell-Zustände genauer untersuchen. Symmetrieeigenschaften der Bellzustände Unter Symmetrieeigenschaften von Zwei- oder Mehrquantensystemen versteht man das Transformationsverhalten des Zustandes bei Anwendung des Vertauschungsoperators. Bei der Überprüfung der Symmetrie werden zunächst die Indizes vertauscht und die Zustände anschließend neu geordnet. Geht der Zustand in sich selbst über, so spricht man von einem symmetrischen Zustand. Geht er jedoch in sein Negatives über, so handelt es sich um einen antisymmetrischen Zustand. Die Unterscheidung zwischen symmetrischen und antisymmetrischen Zuständen ist in der Quantentheorie fundamental. Rechnerisch kann das Symmetrieverhalten mit dem Vertauschungsoperator ˆP ermittelt werden. ˆP Ψ = Ψ Ψ symmetrisch (3.49) ˆP Ψ = Ψ Ψ antisymmetrisch (3.50) Nun folgt eine Überprüfung der Symmetrieeigenschaften der Bell-Basiszustände. Hierfür werden zunächst die Indizes vertauscht und die Zustände dann neugeordnet.

46 3 Zustandssysteme 44 Ψ + = 1 [ H 1 V + V 1 H ] 1 1 [ H V 1 + V H 1 ] = 1 [ H 1 V + V 1 H ] = Ψ + (3.51) Ψ = 1 [ H 1 V V 1 H ] 1 1 [ H V 1 V H 1 ] = 1 [ V 1 H H 1 V ] = Ψ (3.5) φ + = 1 [ H 1 H + V 1 V ] 1 1 [ H 1 H + V 1 V ] = φ + (3.53) φ = 1 [ H 1 H V 1 V ] 1 1 [ H 1 H V 1 V ] = φ (3.54) Die Zustände φ ± sowie Ψ + sind folglich symmetrisch, während der Zustand Ψ antisymmetrisch ist. Photonen gehören zur Gruppe der Bosonen. Bosonen besitzen immer eine symmetrische Gesamtwellenfunktion (bestehend aus Polarisations- und Impulsanteil). Liegt eine symmetrische Polarisationswellenfunktion, muss die Impulswellenfunktion folglich ebenfalls symmetrisch sein. Umgekehrt erfordert eine antisymmetrische Polarisationswellenfunktion eine antisymmetrische Impulswellenfunktion. Diese Impulswellenfunktionen seien hier ohne weitere Herleitung bzw. Begründung angegeben: Ψ Impuls symmetrisch = 1 [ a 1 b + b 1 a ] (3.55) Ψ Impuls antisymmetrisch = 1 [ a 1 b b 1 a ] (3.56) An einer Quelle, die verschränkte Photonen erzeugt, wird die Impulswellenfunktion veranschaulicht. Die Quelle emittiert die Photonen stets in unterschiedliche Moden 1, es ist aber unbekannt, welches Photon (1 oder ) sich in welcher Mode (a oder b) befindet. Es sind folglich zwei Varianten möglich. Photon 1 wird in Mode a emittiert, während Photon sich in Mode b befindet und umgekehrt. Diese Varianten treten sowohl bei der symmetrischen als auch der antisymmetrischen Impulswellenfunktion auf. Die Konsequenzen der Symmetrie bzw. Antisymmetrie der Impulswellenfunktion sind erst bei der Bellzustandsanalyse zu beobachten. 1 Richtung des Impuls

47 Quantenteleportation Abbildung 3.18: Zustand des Zweiphotonsystems beim Verlassen der Quelle. Wie oben bereits festgestellt brauchen wir eine symmetrische Gesamtwellenfunktion, deshalb müssen symmetrische Polarisationswellenfunktionen mit symmetrischen Impulswellenfunktionen und antisymmetrische mit antisymmetrischen kombiniert werden. Die vollständigen Bell-Basiszustände für Bosonen lauten daher wie folgt: φ + gesamt = φ + Ψ Ort symmetrisch = 1 [ H 1 H + V 1 V ] [ a 1 b + b 1 a ] (3.57) φ gesamt = φ Ψ Ort symmetrisch = 1 [ H 1 H V 1 V ] [ a 1 b + b 1 a ] (3.58) Ψ + gesamt = Ψ + Ψ Ort symmetrisch = 1 [ H 1 V + V 1 H ] [ a 1 b + b 1 a ] (3.59) Ψ gesamt = Ψ Ψ Ort antisymmetrisch = 1 [ H 1 V V 1 H ] [ a 1 b b 1 a ] (3.60)

48 3 Zustandssysteme 46 Abbildung 3.19: Schematischer Aufbau eines interferometrischen Bell- Zustandsanalysators für polarisationsverschränkte Zweiphotonzustände. Nun schicken wir die Photonen 1 und in einen Bellzustandsanalysator. Schematisch sieht solch ein Bell-Zustandsanalysator wie in Abbildung 3.19 dargestellt aus. Der mit BS (beamsplitter) bezeichnete Strahlteiler lässt ein Photon unabhängig von seiner Polarisation mit 50%er Wahrscheinlichkeit passieren und mit 50%er Wahrscheinlichkeit wird das Photon absorbiert. Mit PBS (polarising beamsplitter) wurden die beiden in der H/V-Basis arbeitenden polarisierenden Strahlteiler bezeichnet. Photon 1 startet bei a und Photon bei b. Die beiden Photonen werden später an einem der Detektoren, die mit D V, D H, D V und D H bezeichnet wurden, registriert. Um die Funktionsweise des Analysators zu verstehen, betrachten wir zunächst den Strahlteiler BS, der auf den Impulsanteil der Wellenfunktion wirkt. Ein Photon in Mode a hat die Möglichkeit durch Transmission in Mode a oder durch Reflektion in Mode b zu gelangen. Beide Möglichkeiten treten genau zu 50% auf. Die Reflektion verursacht einen Phasensprung von π. (In komplexer Ebene entspricht dies e i π = i.) Entsprechend kann sich Photon durch Transmission in Mode b und durch

49 Quantenteleportation Reflektion in Mode a einfinden. Dazu werden a und b entsprechend transformiert. a 1 ( a + i b ) (3.61) b 1 ( b + i a ) (3.6) Setzt man dies in die symmetrische Impulswellenfunktion (3.63) ein und multipliziert den Term aus, so erhält man Ψ Impuls symmetrisch = 1 [ a 1 b + b 1 a ] = 1 [( a 1 + i b 1 ) ( b + i a ) + ( b 1 + i a 1 ) ( a + i b )] = 1 [ ] + a 1 b +i a 1 a +i b 1 b b 1 a a 1 b +i a 1 a +i b 1 b + b 1 a = i [ a 1 a + b 1 b ] (3.63) An Gleichung (3.63) ist ersichtlich, dass Terme, bei denen Photon 1 und in der gleichen Mode gelangen konstruktiv (orange + blau) interferieren, und die, bei denen sie in unterschiedliche Mode gelangen destruktiv(rot + grün) überlagern. Physikalisch bedeutet dies, dass ein verschränktes Photonenpaar mit einer symmetrischen Wellenfunktion mit gleicher Wahrscheinlichkeit von 0,5 entweder bei a oder bei b landet. Beide Photonen befinden sich nach dem Passieren des Strahlteilers in der gleichen Impulsmode a oder b. Dies wird auch mit Bunching bezeichnet. Analog ergibt sich für die antisymmetrische Wellenfunktion: Ψ Impuls antisymmetrisch = 1 [ a 1 b b 1 a ] = 1 [( a 1 + i b 1 ) ( b + i a ) ( b 1 + i a 1 ) ( a + i b )] = 1 [ ] + a 1 b +i a 1 a +i b 1 b b 1 a + a 1 b i a 1 a i b 1 b b 1 a = 1 [ a 1 b + b 1 a ] (3.64) Bei der antisymmetrischen Impulswellenfunktion zeigen die rot bzw. grün markierten Terme konstruktive und die orange bzw. blau markierten Terme destruktive Interferenz. Dies bedeutet, dass bei einem Photonenpaar mit antisymmetrischer

50 3 Zustandssysteme 48 Wellenfunktion die beiden Photonen nach dem Passieren des Strahlteilers in unterschiedliche Impulsmoden gelangen. Dies wird auch mit Antibunching bezeichnet. Im Weiteren untersuchen wir das Verhalten der Photonen an den polarisierenden Strahlteilern PBS, die auf den Polarisationsanteil der Wellenfunktion wirken. Hierzu berechnen wir, welche Koinzidenzereignisse 1 für unsere vier polarisationsverschränkten Zustände in den vier Detektoren hinter den beiden polarisierenden Strahlteilern zu erwarten sind. Dazu setzen wir die Ergebnisse der vorherigen Berechnung in die Wellengleichung der verschiedenen Photonenpaare ein. φ + = i [ H 1 H + V 1 V ] [ a 1 a + b 1 b ] + H 1 a 1 H a + D H 1 D H = i + V 1 a 1 V a + H 1 b 1 H b = i + D V 1 D V + D H 1 D H + V 1 a 1 V a + D V 1 D V (3.65) Hierbei wurde beispielsweise H 1 a 1 H a in D H 1 D H umgeschrieben, um das Detektorverhalte zu veranschaulichen. Dabei bedeutet D H 1 D H, dass Photon 1 vom Detektor D H und Photon vom Detektor D H registriert wird. P ( D H 1 D H ) = i P ( D V 1 D V ) = 1 4 = ( i ) ( ) i = 1 4 (3.66) (3.67) P ( D H 1 D H ) = 1 4 P ( D V 1 D V ) = 1 4 (3.68) (3.69) Bei Photonenpaaren mit dem Zustand φ + können die Photonen prinzipiell an jedem Detektor mit gleicher Wahrscheinlichkeit detektiert werden. Es ist dabei immer so, dass beide Photonen am gleichen Detektor registriert werden. 1 gleichzeitig auftretende Ereignisse

51 Quantenteleportation φ = i [ H 1 H V 1 V ] [ a 1 a + b 1 b ] (3.70) + H 1 a 1 H a + D H 1 D H = i V 1 a 1 V a + H 1 b 1 H b = i D V 1 D V (3.71) + D H 1 D H V 1 a 1 V a D V 1 D V Photonenpaare mit dem Zustand φ + verhalten sich so wie Photonenpaare mit dem Zustand φ. Das Vorzeichen zum Beispiel vor D V 1 D V spielt in diesem Fall keine Rolle. Vergleicht man das Verhalten der Zustände φ und φ +, so ist dieses anhand der Detektoranschläge nicht unterscheidbar. ψ + = i [ H 1 V + V 1 H ] [ a 1 a + b 1 b ] H 1 a 1 V a + D H 1 D V = i + V 1 a 1 H a + H 1 b 1 V b = i + D V 1 D H + D H 1 D V + V 1 a 1 H a + D V 1 D H = i [ ] 1 ( D H 1 D V + D V 1 D H ) + 1 ( D H 1 D V + D V 1 D H ) (3.7) (3.73) = i [ D H D V + D H D V ] (3.74) Photonenpaaren mit dem Zustand ψ + können ebenfalls an jedem Detektor registriert werden. Die einzelnen Photonen des Paares werden aber am jeweils anderen Detektor auf derselben Seite des Strahlteilers BS registriert. Die letzte mathematischen Umformung lässt die Indizes weg, was bedeutet, dass zum Beispiel D V 1 D H und D H 1 D V im Experiment nicht unterschieden werden können, da zwar an beiden Detektoren ein Photon registriert wird, man aber nicht erkennen kann, um welches Ausgangsphoton(1 oder ) es sich handelt.

52 3 Zustandssysteme 50 ψ = 1 [ H 1 V V 1 H ] [ a 1 b b 1 a ] + H 1 a 1 V b + D H 1 D V = 1 V 1 a 1 H b H 1 b 1 V a = 1 + D V 1 D H + D H 1 D V + V 1 b 1 H a + D V 1 D H = 1 [ ] 1 ( D H 1 D V + D V 1 D H ) 1 ( D V 1 D H + D H 1 D V ) (3.75) (3.76) = 1 [ D H D V D H D V ] (3.77) Photonenpaare mit dem Zustand ψ teilen sich bereits am Strahlteiler BS auf und schlagen dann am polarisierenden Strahlteiler PBS ebenfalls unterschiedliche Richtungen ein. Die folgende Tabelle listet die verschiedenen unterscheidbaren Ereignisse auf. Eingetragen sind die vier verschiedenen Bell-Basiszustände gegenüber den Detektorpaarungen D H D H, D V D V, D H D H, D V D V, D H D V, D H D V, D H D V und D H D V. Wahrscheinlichkeit D H D H D V D V D H D H D V D V D H D V D H D V D H D V D H D V φ φ 1 4 ψ ψ Tabelle 3.1: unterscheidbare Ereignisse einer interferometrischen Bell- Zustandsmessung 1 Anhand Tabelle 3.1 wird klar, dass Alice zwischen der Messung von ψ + und ψ unterscheiden kann. φ + und φ können dagegen nicht unterschieden werden. Im Experiment muss Alice beobachten, welche Detektoren ansprechen um herauszufinden, welcher Bellzustand gemessen wurde und diesen Bob über den klassischen Kanal mitteilen. Schlagen beispielsweise die Detektoren D H und D V an, erkennt Alice, dass die Photonen den Zustand Ψ + hatten. Schlagen der Detektor D H doppelt an, kann Alice dagegen nicht unterscheiden, ob der Zustand φ + oder φ vorliegt. Im Fall von ψ ± kann Alice somit nicht zwischen den beiden unterscheiden und Bob somit nicht mitteilen, wie er sein Photon manipulieren muss. Insgesamt erhalten wir in 50% aller Fälle brauchbare Ergebnisse.

53 Quantenteleportation Transformation von Bob Messung Ψ Bob erhält von Alice die Nachricht, Ψ + Φ Φ + ( ) ( ) ( ) ( ) welche Bellbasis sie gemessen hat. Anhand von Gleichung (3.43) weiß Bob, α α β β β β α α welche Phasenverschiebung bei seinem Teilchen vorliegt. Tabelle 3.: Zuordnungen der Phasenverschiebung Wir überlegen uns nun, welche Trans- von Bobs Teilchen. formation ( ) Bob an seinen Teilchen an- α wenden muss, um den gewünschten Zustand 1 zu erhalten, den ursprünglich β Teilchen 1 besaß: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 α α 1 0 α α = = 0 1 β β 0 1 β β (3.78) Die hier betrachteten Matrizen sind unitäre Transformationen. Experimentell kann man diese folgendermaßen realisieren. Bei Ψ hat Teilchen 3 bereits den ursprünglichen Zustand von Teilchen 1. Das Photon muss folglich nicht mehr manipuliert werden. Bei Ψ + muss das Teilchen durch ein λ/-plättchen geschickt werden, damit die vertikale Komponente einen Phasensprung von π (e iπ ) erhält. Nach dieser Transformation ist der Zustand von Teilchen 3 mit dem ursprünglichen Zustand von Teilchen 1 identisch. In diesen beiden Fällen war die Teleportation erfolgreich. Zwischen φ ± kann nicht unterschieden werden, deshalb ist die experimentelle Umsetzung der passenden Phasenverschiebung nicht möglich und daher kann die Teleportation nicht durchgeführt werden. 1 Dieser Ausdruck entspricht der Kurzschreibweise für α H + β V.

54 3 Zustandssysteme Zusammenfassung Abbildung 3.0: Teleportation Das Prinzip der Teleportation sei nochmals an Abbildung 3.0 veranschaulicht. Ein Puls ultravioletter Laserstrahlung trifft auf einen Kristall. Dadurch entstehen die verschränkten Photonen A und B (vormals und 3), die zu Alice bzw. Bob wandern. Der durch einen Spiegel reflektierte Puls erzeugt auf seinem Rückweg beim Durchgang durch den Kristall die beiden verschränkten Photonen C und D. D trifft auf einen Polarisationsfilter und erhält dadurch einen festen Zustand X (vormals Photon 1). Photon C wird im Detektor nachgewiesen. Dadurch wird bestätigt, dass Photon X zu Alice gesandt wurde. Alice führt nun an den Photonen A und X eine Bellzustandsanalyse durch. Sie übermittelt ihr Ergebnis auf dem klassischen Kanal Bob, der darauf in 50% der Fälle eine unitäre Transformation an Photon B durchführt und damit den Zustand X erhält. In den anderen 50% der Fälle kann Alice den Zustand nicht ermitteln, die Transformation ist dann nicht erfolgreich.

55 4 Qualitätstests für Verschränkung Aus dem Formalismus der Quantentheorie geht hervor, dass ein einzelnes Photon nur ein Qubit an Informationen tragen kann. Dies wurde bereits in Kapitel 3 erläutert. Konkret bedeutet dies, dass ein Photon, das bereits die Eigenschaft wird durchgelassen bezüglich 0 hat, nicht gleichzeitig die Eigenschaft wird durchgelassen bei 45 haben kann. Wird solch ein Photon mit der Eigenschaft wird durchgelassen bezüglich 0 auf einen 45 orientierten Polarisationsfilter geschickt, so gehorcht der Ausgang des Experiments statistischen Gesetzen. Einstein kommentierte diese Folgerung mit dem Ausspruch Gott würfelt nicht. Zufall bei der Messung quantenmechanischer Superpositionen - das passte nicht in das kausal realistische Weltbild des Wissenschaftlers. Er vermutete die Unvollständigkeit(nicht die Falschheit) der Quantentheorie. Unter Vollständigkeit einer Theorie verstand er, dass jedes Element der Realität durch ein Element der Theorie beschrieben werden können muss. Einer physikalischen Größe entspricht ein Element der Realität, wenn der Wert dieser Größe ohne Störung des Systems mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Kann ein Element der Realität nicht durch die Theorie beschrieben werden, so ist die Theorie unvollständig. Abbildung 4.1: Albert Einstein wäheinstein, Boris Podolsky und Narend einer Vorlesung in than Rosen dachten, sie hätten solch Wien im Jahre 191 einen Makel bei der Quantentheorie entdeckt. Die Arbeitsgruppe veröffentlichte ein Gedankenexperiment [Ein35], welches nach den Autoren als Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon oder kurz EPR-Paradoxon bezeichnet wird.

56 4 Qualitätstests für Verschränkung Das Gedankenexperiment von Einstein, Podolsky und Rosen Einstein und seine Mitarbeiter glaubten daran, dass die Unschärfe 1 der Quantenobjekte nur scheinbar unvermeidbar sei. In ihrer Veröffentlichung glaubten sie die Heisenbergsche Unschärferelation in einem geschickt gewählten Versuchsaufbau umgehen zu können. Durch ihre Überlegungen wollten die Physiker die ihrer Meinung nach offensichtliche Unvollständigkeit der Quantenphysik verdeutlichen. Der Veröffentlichung legten die Autoren zwei zentrale Definitionen zugrunde. 1. Vollständigkeit: Damit ist gemeint, dass jedes Element der Realität genau einem Element der Theorie entspricht.. Realismus: Damit ist gemeint, dass Objekte einer Theorie feste Eigenschaften besitzen. Diese sind unabhängig von der Messung. Diese Definitionen sind von elementarer Wichtigkeit, da sie die Sichtweisen bezüglich einer plausiblen Theorie von Einstein und seinem Mitautoren beschreiben. Aus Kapitel 3, das von Zustandssystemen handelt, ist die Beschreibung von Quantenobjekten durch die Wellenfunktion Ψ geläufig. Aus Abschnitt über die Heisenbergsche Unschärferelation ist bekannt, dass Aufenthaltsort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden können. Jene Unschärferelation führte Einstein, Podolsky und Rosen zu der Feststellung, dass es nur zwei mögliche Schlussfolgerungen bezüglich der Realität geben kann. 1. Die Beschreibung durch die Quantentheorie ist unvollständig.. Die beiden physikalischen Größen, in diesem Fall Impuls und Aufenthaltsort, sind nicht gleichzeitig Element der Realität. Folglich muss einer dieser beiden Sätze wahr sein. Geht man davon aus, dass die Quantentheorie vollständig ist und sieht damit Satz 1 als falsch an, so muss Satz folglich wahr sein. Nach der Kopenhagener Interpretation wird mit der Heisenbergschen Unschärferelation argumentiert. Bestimmt man den Impuls eines Quantenobjektes exakt, so ist eine genaue Messung des Aufenthaltsortes nicht mehr möglich. x p h π (4.1) 1 siehe Heisenbergsche Unschärferelation in Abschnitt.1

57 Das Gedankenexperiment von Einstein, Podolsky und Rosen Ist p = 0 so geht x. Die Unschärfe des Aufenthaltsort ist unendlich groß, d.h. es kann keine Aussage mehr über diesen gemacht werden. Der Aufenthaltsort ist folglich kein Element der Realität. Allgemein kann man sagen, dass zu jedem Zeitpunkt nur eine der Größen Impuls bzw. Aufenthaltsort Realität besitzt. Somit wäre Satz richtig. Diese Lösung scheint zunächst recht plausibel, laut Einstein, Podolsky und Rosen lasse man so aber wesentliche Aspekte außer Betracht. Die resultierende Folgerung sei somit falsch. Im Folgenden wird darauf eingegangen, wie Einstein und seine Mitarbeiter die Unvollständigkeit der Quantenmechanik zeigen wollten. Sie versuchten, die Ungültigkeit des Satzes zu zeigen Der gedankliche Versuchsaufbau des EPR-Experiments Die Arbeitsgruppe geht von einer Teilchenquelle wie in Abbildung 5.1 aus, die stets zwei Teilchen 1 und in entgegengesetzte Richtungen emittiert. Sie gehen weiter- Abbildung 4.: EPR-Quelle, die stets zwei Teilchen 1 und in entgegengesetzte Richtungen emittiert hin gehen davon aus, dass die beiden Teilchen während der Dauer des Versuches t keine Möglichkeit zur Interaktion haben. Dies ist einfach vorstellbar, da Wechselwirkungen nach der Relativitätstheorie prinzipiell nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit stattfinden können, da die Lichtgeschwindigkeit die obere Schranke für die Informationsübertragung vorgibt. Indem man den Abstand s zwischen Teilchen 1 und so wählt, dass er immer größer ist als der Weg, den das Licht während der Versuchsdauer t zurücklegen kann, kann man eine Interaktion zwischen den beiden Teilchen ausschließen. Die Mindestentfernung s der Teilchen für den Versuchszeitraum t muss letztlich folgender Gleichung entsprechen. s = c t (4.)

58 4 Qualitätstests für Verschränkung 56 c ist hierbei die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Man spricht hierbei von Lokalität, das heißt die Teilchen sind derartig räumlich voneinander getrennt, dass die beiden Teilchen keine Möglichkeit zur gegenseitigen Beeinflussung haben. Lokalität resultiert zwingend aus Einsteins Relativitätstheorie. Nach der Heisenbergschen Unschärferelation kann von keinem der einzelnen Teilchen der Impuls und der Aufenthaltsort gleichzeitig genau bestimmt werden. Nach den Regeln der Quantenmechanik ist jedoch der Gesamtzustand Ψ 1 des Zweiteilchensystems bekannt. Es können folglich auch der Gesamtimpuls P = P 1 + P des Systems und der Abstand X = X 1 X zwischen den beiden Teilchen gleichzeitig bestimmt werden. Hier sehen Einstein, Podolsky und Rosen den entscheidenden Fehler im Gedankengang der Befürworter der Quantenmechanik. Sie meinen einen Weg zur Umgehung der Unschärferelation gefunden zu haben. Zuerst erfolgt eine Ortsmessung an Teilchen 1. Da der Abbildung 4.3: Nathan Rosen Abstand X zwischen den beiden Teilchen bekannt ist, kann der Aufenthaltsort von Teilchen errechnet werden. X = X + X 1 (4.3) Aufgrund der Lokalitätsannahme kann diese Messung des Aufenthaltsortes von Teilchen 1 im Zeitraum der Versuchsdurchführung t aber keinerlei Einfluss auf Teilchen haben. Die Lokalität verbietet einen kausalen Zusammenhang zwischen 1 und. Teilchen weiß somit nicht, dass eine Messung bei Teilchen 1 stattgefunden hat. Folglich ist es nun möglich, den Impuls P von Teilchen zu messen. Daraus lässt sich mit Hilfe des Gesamtimpulses der Impuls von Teilchen 1 bestimmen. P 1 = P P (4.4) Entscheidend hierbei ist also auch, dass die Messung an Teilchen 1 frei wählbar ist, es hätte ebenso eine Impulsmessung durchgeführt werden können. Da die Art der Messung folglich erst bei dem Messvorgang selbst bekannt wird, kann Teilchen also auch nicht im Vorhinein wissen, welche Art der Messung an Teilchen 1 durchgeführt wurde, oder ob evtl. auch gar keine stattfand. Durch dieses Verfahren könnten laut den Autoren somit sowohl Impuls als auch Aufenthaltsort eines Teilchen gleichzeitig bestimmt werden. Beide Größen wären

59 Das Gedankenexperiment von Einstein, Podolsky und Rosen somit gleichzeitig Elemente der Realität, Satz somit verletzt. Daraus würde die Richtigkeit von Satz 1 folgen, d.h. die Quantentheorie wäre unvollständig. Die Vollständigkeit der Quantenmechanik könne nur gelten, wenn das Konzept der Lokalität aufgegeben wird. Das bedeutet, es müsse vom Vorhandensein eines Fernwirkungsmechanismus ausgegangen werden, der von EPR oftmals als spukhafte Fernwirkung betitelt wurde. Dieser Mechanismus könne zwischen zwei räumlich beliebig weit entfernten Objekten instantan 1 Informationen Abbildung 4.4: Boris Podolsky übertragen, so dass die beiden Teilchen im Einklang mit der Quantenmechanik spontan, im Augenblick der Messung an Teilchen 1, zufällige aber zusammenpassende Werte für den Aufenthaltsort und den Impuls der Teilchen annehmen könnten. Dieser Fernwirkungsmechanismus stehe im Widerspruch zu der menschlichen Intuition sowie der natürlichen Alltagserfahrung. Weiterhin tauchte solch ein Phänomen in der gesamten bisherigen Physik nicht auf. Daraus schließen die Urheber, dass Satz falsch und Satz 1 somit richtig ist. Ihre Folgerung formulieren die Physiker in [Ein35] folgendermaßen: Die Quantentheorie muss als unvollständig angesehen werden. Sie ist nicht in der Lage, alle in der Realität auftauchenden physikalischen Größen theoretisch zu erfassen Bohrs Erwiderung Der Sachverhalt scheint eigentlich recht klar: Die Quantenmechanik sei, wenn auch sehr zum Missfallen von Bohr, Heisenberg usw. unvollständig und die Energie der Wissenschaftler sollte nun in die Entwicklung einer besseren, vollständigen Theorie fließen, die auch die bisher verborgenen oder besser gesagt die noch nicht berücksichtigten, aber dennoch vorhandenen physikalischen Größen enthält. Das klassische Weltbild hätte über die unanschauliche, von statistischen Gesetzen bestimmte Quantenmechanik gesiegt. Eine umfassende lokale Theorie mit verborgenen Variablen müsse entwickelt werden, um quantenphysikalische Vorgänge zu beschreiben. Der durch die Formulierung der Kopenhagener Quantenmechanik heraufbeschworene Paradigmenwechsel des Aufgebens der Lokalität, der Objektivierbarkeit und der gleichzeitigen Existenz komplementärer Größen sei vollkommen unnötig. Man könne weiterhin auf den gesunden Menschenverstand vertrauen und am klassischen Weltbild festhalten. Eine um verborgene Parameter ergänzte Theorie sei im Gegensatz 1 sofort, ohne Zeitverzögerung

60 4 Qualitätstests für Verschränkung 58 zur Quantenmechanik in der Lage, die Realität vollständig zu beschreiben. Diese gegen die Quantenmechanik gerichtete Meinung klingt zunächst überzeugend, doch der Sachverhalt gestaltet sich nicht so einfach wie es zunächst scheinen mag. Bohr war von der Argumentation von Einstein, Podolsky und Rosen nicht überzeugt. Er hielt dagegen, dass Quantenphänomene ganzheitlich betrachtet werden müssen. Die Elemente der Realität können nur unter Einbeziehung der gesamten Messapparatur definiert werden. Nach Bohrs Ansicht bilden Quantenobjekt und Messapparatur eine untrennbare Einheit. Ein Quantenobjekt enthält somit keine eigene, von den Messgeräten unabhängigen Eigenschaften. Bezogen auf das EPR-Gedankenexperiment bedeutet dies: Die Art der Messung, also von Impuls oder Aufenthaltsort, ist zwar Abbildung 4.5: Niels Bohr frei wählbar, die beiden notwendigen Messanordnungen schließen sich allerdings gegenseitig aus. Man kann die aus zwei verschiedenen Versuchsanordnungen gewonnenen Messergebnisse nicht im Gesamtbild betrachten. Man müsse vielmehr die Gesamtheit der Phänomene betrachten. Nur dann können Aussagen über die Objekte getroffen werden. Der Begriff der Realität gestaltet sich komplexer als von Einstein, Podolsky und Rosen in ihrer Veröffentlichung zugrunde gelegt. Bohr wiest damit die Kritik an der Vollständigkeit der Quantenmechanik als ungerechtfertigt zurück. Der vorhin erwähnte Fernwirkungsmechanismus ist folglich tatsächlich vorhanden. Verschränkte Teilchen sind in der Lage zu instantanen Wechselwirkungen. Es besteht wirklich eine objektive Unschärfe in der Quantenwelt, die sich auch nicht durch einen noch so geschickt gewählten Versuchsaufbau umgehen lässt. 4. Verborgene Variablen Auf der Suche nach einer deterministischen Theorie zur Beschreibung der Quantenwelt diskutierte man auch Theorien mit verborgenen Variablen (auch verborgene Parameter genannt). Man geht hierbei davon aus, dass die Wellenfunktion noch keine vollständige Beschreibung von Quantenobjekten ermöglicht. Man vermutet zusätzliche Variablen, die zum Beispiel beim Doppelspaltexperiment im Voraus festlegen, durch welchen Spalt ein bestimmtes Teilchen geht. Die Quantenmechanik schließt das Vorhandensein verborgener Parameter im Ge-

61 Die Bohmsche Mechanik gensatz zur Lokalität nicht explizit aus. Eine nicht-lokale Theorie mit verborgenen Parametern ist also prinzipiell möglich. Der Versuch zur Entwicklung solch einer Theorie nahm im Jahre 197 Louis de Broglie vor. Er empfand zur Geburtsstunde der Kopenhagener Interpretation eine Abneigung gegenüber der Bohr- und Heisenbergschen Sichtweise der Quantenmechanik. Er erdachte eine deterministische nicht-lokale, aber realistische Theorie. Diese fand aber keinen allzu großen Anklang im damaligen Fachkreis, was de Broglie dazu veranlasste, seine Theorie relativ bald darauf unvollendet zu verwerfen. Abbildung 4.6: John von Neumann Der Mathematiker John von Neumann 1 veröffentlichte 193 eine Publikation, der die prinzipielle Unvereinbarkeit der Quantenmechanik mit verborgenen Variablen bewies. Daraufhin lies das Bestreben vieler Wissenschaftler die Quantentheorie mit verborgenen Variablen zu vervollständigen nach oder verebbte ganz. Später stellte sich jedoch heraus, dass von Neuhmanns Beweis zwar richtig geführt war, aber von falschen Annahmen ausging. Die Quantenmechanik schließt die Existenz verborgener Variabler folglich nicht prinzipiell aus. David Bohm entwickelte eine Theorie, die exakt die gleichen Vorhersagen wie die Quantenmechanik lieferte. Allerdings handelte es sich hierbei um eine deterministische und realistische Theorie. Auf die Bohmsche Mechanik wird in Abschnitt 4.3 eingegangen. 4.3 Die Bohmsche Mechanik Im Wesentlichen erweitert die Mechanik Bohms die quantenmechanische Schrödinger- Gleichung um Bewegungsgleichungen bezüglich der Ortskoordinaten eines jeweiligen Quantenobjektes. Ebenso wie die klassischen Bewegungsgleichungen erlauben diese, einem Quantenobjekt zu jedem beliebigen Zeitpunkt einen konkreten Aufenthaltsort zuzuordnen. Heisenbergs Unschärferelation wird durch die Bewegungsgleichung umgangen, so dass es sich bei Bohms Theorie um eine deterministische Beschrei- 1 János von Neumann zu Margitta (* 8. Dezember 1903 in Budapest (Österreich-Ungarn) als margittai Neumann János Lajos ; 8. Februar 1957 in Washington, DC) war ein Mathematiker österreichisch-ungarischer Herkunft. David Bohm* 0. Dezember 1917 in Wilkes-Barre, Pennsylvania; 7. Oktober 199 in London; US-amerikanischer Quantenphysiker

62 4 Qualitätstests für Verschränkung 60 bung der Quantenwelt handelt. In der Bohmschem Mechanik verliert der Messprozess wegen des Determinismus im Gegensatz zur Wichtigkeit in der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik seine Bedeutung. Eine Messung beeinflusst wie in den klassischen Theorien das zu messende Objekt nicht. Man könnte die Bohmsche Mechanik als eine Art vervollständigte Quantenmechanik ansehen, die ohne Zufall und Unschärfe auskommt. Eigentlich müsste diese Theorie bei Gegnern der Kopenha- gener Interpretation der Quantenmechanik auf großen Anklang stoßen, man ist ja schließlich den schwer verständlichen, dem Alltagsverständnis widersprechenden Ballast der Quantenmechanik los. Doch die Begeisterung der damaligen physikalischen Fachwelt hielt sich in Grenzen. Sie wurde vielmehr müde belächelt und als künstliches Aufwärmen der De Broglieschen Theorie gedeutet. Eine Akzeptanz als ernst zu nehmende Alternative zur Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik blieb aus. Auch heute nimmt seine Theorie eher eine Randstellung in der physikalischen Fachwelt ein. Sie wird ebenfalls nicht an Universitäten gelehrt. John Bell kritisierte diese Tatsache einmal ziemlich treffend mit den Worten. Abbildung 4.7: David Bohm This theory is equivalent experimentally to ordinary nonrelativistic quantum mechanics - and it is rational, it is clear, and it is exact, and it agrees with experiment, and I think it is a scandal that students are not told about it. Why are they not told about it? I have to guess here there are mainly historical reasons, but one of the reasons is surly that this theory takes almost all the romance out of quantum mechanics. 1 Diese Aussage dürfte die Realität relativ gut widerspiegeln. Auch wenn historische Gründe und der Verlust der Romantik wohl kaum wissenschaftliche Kriterien zur Ablehnung einer Theorie sein sollten. Die komplexe Mathematik hinter der Theorie dürfte wohl ein weiterer wichtiger Grund sein. 1 Übersetzt etwa: Diese Theorie entspricht experimentell der gewöhnlichen nicht-relativistischen Quantenmechanik - und sie ist rational, sie ist klar, und sie ist exakt, und sie stimmt mit den experimentellen Messergebnissen überein, und ich denke, dass es ein Skandal ist, dass sie Studenten nicht gelehrt wird. Warum wird sie nicht gelehrt? Ich denke es sind hauptsächlich historische Gründe, aber eine der Gründe ist sicherlich, dass diese Theorie der Quantenmechanik fast die gesamte Romantik nimmt.

63 Die Bellsche Ungleichung 4.4 Die Bellsche Ungleichung John Steward Bell konnte 1964 nachweisen, dass jede Theorie mit verborgenen Variablen nicht-lokale Fernwirkungen aufweisen muss, wenn sie die gleichen experimentellen Aussagen wie die Quantenmechanik treffen soll. Bell ging von einem ähnlichem Versuchsaufbau wie Einstein, Podolsky und Rosen in ihrem Gedankenexperiment aus. Er nahm an, dass eine lokale Theorie mit verborgenen Variablen eine gültige Beschreibung der experimentellen Ergebnisse liefern könne. Die dabei gewonnenen Messwerte müssen mit dieser Annahme einer Ungleichung folgen. Jedoch verletzten die von der Quantenmechanik vorhergesagten Werte die Ungleichung. Alain Aspect gelang 198 die experimentell Überprüfung des Versuches. Die Messergebnisse Abbildung 4.8: John Steward Bell stimmten mit den Vorhersagen der Quantenmechanik überein und verletzten die Bellsche Ungleichung. In diesem Abschnitt wird eine vereinfachte Form dieser Ungleichung nach Rainer Müller und Josef Küblbeck (siehe [Küb07, S ]) erläutert Versuchsanordnung Wir bringen ein Kalzium-Atom in einen angeregten Zustand, aus dem es durch die Abstrahlung von zwei Photonen 1 und in den Grundzustand übergeht. Links und rechts von dem Kalzium-Atom platzieren wir zwei Blenden. Dadurch wählen wir die Photonen mit entgegengesetztem Impuls aus. Parallel zu dem Blendenpaar justieren wir ganz außen jeweils einen Polarisationsfilter. Photon 1 erreicht seinen Polarisationsfilter geringfügig früher, da der zugehörige Polarisationsfilter etwas weniger weit als der Polarisationsfilter von Photon von der Quelle entfernt ist. (siehe Abb. 4.9) Wenn die Polarisationsfilter die gleiche Orientierung ϕ aufweisen, macht man folgende Beobachtungen: 1. Es werden statistisch gesehen jeweils die Hälfte der Photonen am jeweiligen Filter absorbiert. Dies ist auf das in Abschnitt..4 eingeführte Gesetz von Malus zurückzuführen.. Die Photonen 1 und weisen das selbe Verhalten am Polarisationsfilter auf.

64 4 Qualitätstests für Verschränkung 6 Abbildung 4.9: Ein Kalzium-Atom emittiert Photonen. Ein Blendenpaar wählt Photonen mit entgegengesetztem Impuls aus. Die Photonen bewegen sich letztlich in Richtung der Polarisationsfilter, wobei Photon 1 seinen Filter zuerst erreicht. Wird Photon 1 absorbiert bzw. durchgelassen, so wird Photon ebenfalls absorbiert bzw. durchgelassen. Die Photonen sind verschränkt. Während Ergebnis 1 zu erwarten war und mit dem Gesetz von Malus leicht erklärbar ist, gestaltet sich dies bei Ergebnis nicht so einfach. Zur Beschreibung der Korrelationen bieten sich zwei verschiedenen Erklärungsansätze an: 1. lokaler Erklärungsversuch: Die Photonen besitzen verborgene Variable, die das Verhalten an den Polarisationsfiltern mit der Orientierung ϕ vorhersagen.. nicht-lokaler Erklärungsversuch: Das erste Photon wird zufällig durchgelassen bzw. absorbiert. Diese Information wird instantan an Photon weitergegeben, woraufhin dieses dasselbe Verhalten zeigt. Ähnlich wie in dem EPR-Paradoxon im vorherigen Abschnitt 4.1 entspricht Erklärungsversuch 1 unserem natürlichen Alltagsverständnis und unserer Intuition. So kann man diesen Erklärungsversuch beispielsweise auf folgenden klassischen Sachverhalt anwenden. Man kauft beim Gärtner verschiedene Packungen mit jeweils gleichen Tulpensamen. Nimmt man nun zwei Samen aus einer Packung und setzt sie jeweils in ein eigenes Blumenbeet, so stellt man fest, dass die entstehenden Tulpen dieselbe Farbe und Form haben. Wiederholt man den Vorgang mit zwei Samen aus einer anderen Packung, so erhält man dasselbe Ergebnis. Der Erklärungsversuch spiegelt die Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik wider. Wie bei dem EPR-Paradoxon im vorherigen Abschnitt 4.1 muss

65 Die Bellsche Ungleichung hier ein gewisser Fernwirkungsmechanismus bestehen. Photon 1 teilt Photon instantan das Verhalten am Polarisationsfilter mit der Orientierung ϕ mit. Wir ziehen zunächst Erklärungsversuch 1 zur Beschreibung der Photonenkorrelationen heran. Betrachten wir ihn dafür zunächst etwas ausführlicher. Die Korrelation wird bei jeder Polarisationsfiltereinstellung festgestellt. Es ist folglich auch eine verborgene Variable für jeden Einstellungswinkel nötig. Gäbe es nur eine verborgene Variable zum Beispiel ϕ 1, so würden zwar beide Photonen nach dem Gesetz von Malus immer bei ϕ = ϕ 1 durchgelassen und bei ϕ = ϕ absorbiert werden, bei ϕ = ϕ jedoch tritt folgender auf statistischen Gesetzen beruhender Fall auf: Es werden jeweils ca. die Hälfte von den Photonen 1 und durchgelassen. Dies erfolgt jedoch unabhängig voneinander, es wäre keine Korrelation vorhanden. So lautet unsere erste Folgerung: Eine Beschreibung der Photonenkorrelation mit Erklärungsversuch 1 benötigt eine unendliche Anzahl verborgener Variablen. Man könnte den Photonen wie in Abbildung 4.10 gedanklich eine Liste mit den Variablen anhängen. In diesem Fall würde bei beispielhaften Abbildung 4.10: Photonenpaar mit einer Liste, die exemplarische Auszüge unendlich vieler verborgener Variablen enthält Schwarze Schrift bedeutet, dass das Photon bei entsprechender Orientierung durchgelassen wird. Rote Schrift bedeutet, dass das Photon bei entsprechender Orientierung absorbiert wird. Polarisationseinstellungen von 4, 8 sowie 9,613 durchgelassen und bei beispielhaften Einstellungen von 14 sowie 16,3 absorbiert werden. Beiden Photonen hängt dieselbe Liste an. Nachdem wir nun die Bedingungen dieser Theorie behandelt haben, wenden wir uns nun den Voraussagen dieses Erklärungsversuches zu. Hierzu betrachten wir die Anordnungen in den Abbildungen 4.11, 4.1 und In Anordnung 1 (siehe Abb.

66 4 Qualitätstests für Verschränkung 64 Abbildung 4.11: Anordnung ) wird die relative Häufigkeit H(P 1 = 0 P = 45 ) bestimmt, d.h. dafür dass Photon 1 bei 0 durchgelassen und Photon bei 45 absorbiert wird. Abbildung 4.1: Anordnung In Anordnung (siehe Abb. 4.1) wird die relative Häufigkeit H(P 1 = 0 P =,5 ) bestimmt, d.h. dafür dass Photon 1 bei 0 durchgelassen und Photon bei,5 absorbiert wird. In Anordnung 3 (siehe Abb. 4.13) wird die relative Häufigkeit H(P 1 =,5 P = 45 ) bestimmt, d.h. dafür dass Photon 1 bei,5 durchgelassen und Photon bei 45 absorbiert wird. Konkrete Messungen [Küb07, Seite 135ff.] ergaben, dass die relativen Häufigkeiten folgender Ungleichung gehorchen: H(P 1 = 0 P = 45 ) > H(P 1 = 0 P =,5 ) + H(P 1 =,5 P = 45 ) (4.5) Im Folgenden werden wir nachweisen, dass eine Beschreibung dieser Ergebnisse durch keine lokale Theorie mit verborgenen Variablen ist.

67 Die Bellsche Ungleichung Abbildung 4.13: Anordnung Herleitung der Bellschen Ungleichung Wie vorhin bereits festgestellt, muss eine lokale Theorie mit verborgenen Variablen für jeden Winkelstellung die Eigenschaft wird durchgelassen oder wird absorbiert haben, um eine Beschreibung der Photonenkorrelationen liefern zu können. Da die im Experiment ermittelte Ungleichung sich auf die Winkeleinstellungen 0,,5 und 45 bezieht, werden weiterhin diese Winkeleinstellungen betrachtet. Es gibt 3 mögliche Kombinationsmöglichkeiten von solchen Listen mit den drei Eigenschaften. Diese sind in Abbildung 4.14 dargestellt. Abbildung 4.14: Listen für die acht möglichen Eigenschaftskombinationen korrelierter Photonenpaare. In der dritten Liste der zweiten Reihe werden die Photonen beispielsweise bei 0 durchgelassen und bei,5 und 45 absorbiert. An den Listen kann das Verhalten der Photonen an denen in ϕ-richtung orientierten Polarisationsfiltern abgelesen werden. In der dritten Liste der zweiten Reihe werden die Photonen beispielsweise bei 0 durchgelassen und bei,5 und 45 absorbiert. Bei der Betrachtung von Photonen mit dieser Liste in Anordnung 1 (siehe Abb. 4.11) wird Photon 1 durchgelassen und Photon absorbiert.

68 4 Qualitätstests für Verschränkung 66 Es werden nun alle Photonenpaare gemäß der Merkmalskombinationen, deren Häufigkeiten in den Anordnungen 1 bis 3 untersucht wurden, in Abbildung 4.14 markiert. Das Ergebnis wird in Abbildung 4.15 dargestellt. Abbildung 4.15: Blauer Rahmen: Schwarzer Rahmen: Roter Rahmen: Photonenpaare mit P 1 = 0 P = 45 Photonenpaare mit P 1 = 0 P =,5 Photonenpaare mit P 1 =,5 P = 45 Man erkennt, dass es weniger Photonenpaare mit den Eigenschaften P 1 = 0 P = 45 als mit den Eigenschaften P 1 = 0 P =,5 P 1 =,5 P = 45 gibt. Daraus lässt sich folgende Ungleichung aufstellen: P (P 1 = 0 P = 45 ) P (P 1 = 0 P =,5 ) + P (P 1 =,5 P = 45 ) (4.6) Da keine weiteren Annahmen getroffen wurden, ist diese Gleichung allgemeingültig, gilt also für alle lokalen Theorien mit verborgenen Parametern. Der Widerspruch zwischen der Bellschen Ungleichung (4.6) und den experimentellen Ergebnissen (4.5) ist offensichtlich. Die mit Hilfe einer lokalen Theorie mit verborgenen Variablen vorhergesagten Ergebnisse stimmen nicht mit den experimentell ermittelten Ergebnissen überein. Da wir bei der Herleitung der Bellschen Ungleichung die verborgenen Variablen nicht näher spezifiziert, sondern allgemeingültig belassen haben, folglich auch keine zusätzlichen Annahmen über die Natur der Variablen getroffen haben, ist die Bellsche Ungleichung Repräsentant einer sehr großen Klasse von lokalen Theorien mit verborgenen Parametern. Durch die experimentelle Verletzung der Ungleichung kann man folgern, dass das Verhalten korrelierter Photonenpaare nicht durch eine lokale Theorie mit verborgenen Variablen beschrieben werden kann. Da Erklärungsversuch 1 die Photonenkorrelationen nicht beschreiben kann, muss Erklärungsversuch herangezogen werden. Dieser wird in 4.6 näher behandelt.

69 Die Bellsche Ungleichung Beschreibung durch die Quantenmechanik Die Beschreibung der experimentellen Ergebnisse fordert das Vorhandenseins eines lokalen Elementes. Ein verschränktes Photonenpaar hat nach der Quantenmechanik folgende Eigenschaft. Sobald einer der Photonen von einem Polarisationsfilter mit Orientierung ϕ durchgelassen bzw. absorbiert wird, erhält das andere die gleiche Eigenschaft bezüglich ϕ. Dieser Effekt wirk instantan auch über große Strecken hinweg. Eine Präparation des einen Photons zieht die instantane Präparation des anderen mit sich. Man betrachtet die beiden Photonen nun nicht mehr einzeln, sondern nur noch als Photonenpaar, ein einziges quantenmechanisches Gebilde. Nach der Quantenmechanik ist die Polarisation des Photonenpaares vor der Messung, also einer Wechselwirkung mit dem Polarisationsfilter völlig unbestimmt. Es handelt sich hierbei um eine Theorie nach Erklärungsversuch. Diese Theorie enthält keine verborgenen Variablen. Ob ein Photon durchgelassen wird, ist zufällig und für jede Orientierung des Polarisationsfilters gleich wahrscheinlich, nämlich 50%. Nach der ersten Messung ist ein Umpräparieren von dem zweiten Photon durch das erste nicht mehr möglich. Der Versuch zerstört die Verschränkung der Photonen. Im folgenden wird gezeigt, dass die experimentell gefundene Ungleichung durch die Quantenmechanik mit Hilfe der Verschränkung beschrieben werden kann. Es wird von der Verschränktheitsannahme der Quantenmechanik ausgegangen, d.h. wenn Photon 1 von einem Polarisationsfilter mit der Orientierung ϕ durchgelassen bzw. absorbiert wird, so zeigt das zweite Photon bei gleicher Orientierung ϕ des Polarisationsfilters dasselbe Verhalten. Eine Betrachtung der drei Wahrscheinlichkeiten ergibt folgendes. 1. P (P 1 = 0 P = 45 ): Die Wahrscheinlichkeit, dass Photon 1 bei 0 durchgelassen wird, beträgt 0,5. Wenn dieser Fall eintritt, hat Photon ebenfalls eine Polarisation von 0. Die Wahrscheinlichkeit, dass Photon von einem Polarisationsfilter mit der Orientierung 45 absorbiert wird, lässt sich mit dem Gesetz von Malus berechnen: Sie beträgt sin (45 ) = 0,5. Daraus ergibt sich: P (P 1 = 0 P = 45 ) = 0,5 0,5 = 0,5.. P (P 1 = 0 P =,5 ): Die Wahrscheinlichkeit, dass Photon 1 bei 0 durchgelassen wird, beträgt 0,5. Wenn dieser Fall eintritt, hat Photon ebenfalls eine Polarisation von 0. Die Wahrscheinlichkeit, dass Photon von einem Polarisationsfilter mit der Orientierung,5 absorbiert wird, lässt sich mit dem Gesetz von Malus berechnen: Sie beträgt sin (,5 ). Daraus ergibt sich: P (P 1 = 0 P =,5 ) = 0,5 sin (,5 ) P (P 1 =,5 P = 45 ): Wegen derselben Winkeldifferenz wie beim voriegen Fall gilt: P (P 1 =,5 P = 45 ) = 0,5 sin (,5 ) 0.074

70 4 Qualitätstests für Verschränkung 68 Da 0,5 > 0, ,074 gilt nach der Quantentheorie: H(P 1 = 0 P = 45 ) > H(P 1 = 0 P =,5 ) + H(P 1 =,5 P = 45 ) (4.7) Diese Ungleichung stimmt mit dem experimentellen Ergebnis (Ungleichung (4.5)) überein. Die experimentell ermittelten Ergebnisse stehen somit im Einklang mit der Quantenmechanik Ergebnis Zusammenfassend kann gesagt werden, dass Photonen nur durch eine nicht-lokale Theorie beschrieben werden können. Eine vorzügliche Beschreibung der experimentellen Ergebnisse liefert die Quantenmechanik. 4.5 Weiterentwicklung von Clauser, Horne, Shimony und Holt Im Jahre 1969 leiteten Clauser, Horne, Shimony und Holt eine Variante einer Bellschen Ungleichung 1 her, die meist mit CHSH-Ungleichung bezeichnet wird. Die CHSH-Ungleichung verallgemeinert die Originalform von Bell auf beliebige Observablen. Sie ist in mancher Hinsicht experimenteller Unzulänglichkeiten wie beispielsweise nicht perfekter Polarisationsfilter sowie Detektorineffizienzen besser angepasst und wird somit meist zur Überprüfung einer Bellschen Ungleichung genutzt. Abbildung 4.16: Schema der Versuchsaufbaus zur Überprüfung der CHSH- Ungleichung Der Versuchsaufbau ist ähnelt dem zur Bellschen Ungleichung aus dem vorherigen Abschnitt 4.4 (vgl. Abb. 4.9) und ist in Abbildung 4.16 dargestellt. An die 1 Der Begriff Bellsche Ungleichung meint hier eine Ungleichung zur Überprüfung lokaler Theorien mit verborgenen Parametern

71 Weiterentwicklung von Clauser, Horne, Shimony und Holt Stelle der Polarisationsfilter sind polarisierende Strahlteiler getreten, die Photonen mit der Orientierung α auf der linken bzw. β auf der rechten Seite durchlassen und Photonen mit den Winkeln α+90 bzw. β+90 reflektiert. Die Photonen werden dann von den entsprechenden Detektoren registriert. Für jedes emittierte Photonenpaar gibt es bei jeder Winkelstellung zwei Möglichkeiten. 1. Beide Photonen landen in einander entsprechenden Detektoren d.h. es werden entweder beide durchgelassen oder beide reflektiert.. Ein Photon wird durchgelassen, das andere reflektiert. Sind die polarisierenden Strahlteiler auf α bzw. β eingestellt, so beträgt ihre Winkeldifferenz α β. Die Größe E(α β) wird als die Differenz der Wahrscheinlichkeiten der beiden genannten Möglichkeiten definiert. E(α β) = P (beide durchgelassen oder beide reflektiert) P (eins durchgelassen, anderes reflektiert) (4.8) Clauser, Horne, Shimony und Holt leiten für diese physikalischen Größen eine Ungleichung her, die für lokale Theorien mit verborgenen Parametern gilt. Es gehen vier verschiedene Winkelstellungen (α, α, β und β ) in die Ungleichung ein. Die Ungleichung lautet folgendermaßen. E(α β) E(α β ) + E(α β) + E(α β ) (4.9) Diese Ungleichung wurde im Experiment von Aspect et al. in [Asp8] mit der Vorhersage der Quantenmechanik verglichen. Diese verletzte sie bei manchen Winkelstellungen. Aus dem Formalismus der Quantenmechanik ergibt sich E(α β) = cos[(α β)], und die größte Abweichung tritt für die Winkeleinstellungen α = 67,5 ; β = 45 ; α =,5 und β = 0 auf. Dies gilt auch für diejenigen Einstellungen die aus Rotationen der genannten Winkeleinstellungen hervorgehen. Das experimentelle Ergebnis für E(α β) ist in Abbildung 4.17 dargestellt. Die Vorhersage der Quantenmechanik ist gepunktet eingezeichnet. Mit Hilfe der gestrichelten Linie kann man leicht die Werte für,5 und 67,5 ablesen. Liest man die Werte der entsprechenden Winkeldifferenzen 1 α β in Abbildung 4.17 ab und setzt sie in die CHSH-Ungleichung ein, erhält man folgendes Ergebnis. 1 Wegen der Achsensymmetrie des Graphen, kann der Betrag der Winkeldifferenz verwendet werden.

72 4 Qualitätstests für Verschränkung 70 Abbildung 4.17: Experimentelles Ergebnis von Aspect, Grangier und Roger für E(α β). Die Vorhersage der Quantenmechanik ist gepunktet eingezeichnet. E(α β) E(α β ) + E(α β) + E(α β ) = E(,5 ) E(67,5 ) + E(,5 ) + E(,5 ) 0,7 ( 0,7) + 0,7 + 0,7 =,8 (4.10) Da der errechnete Wert über ist, und somit eine Verletzung der Ungleichung vorliegt, sind lokale Theorien mit verborgenen Variablen experimentell als ungültig erwiesen worden. Dennoch gab es Skeptiker, die von so genannten Schlupflöchern in dem Experiment ausgingen. Sie wendeten ein, dass die Stellung der Polarisationsfilter während der Versuchsdurchführung fixiert ist. So forderte Bell Experimente, bei denen eine Änderung der Stellung der Polarisationsfilter stattfindet während die Photonen sich im Flug befinden. Dies solle Beeinflussungen durch die Polarisationsfiltereinstellungen verhindern. Nach der Durchführung solch eines Experimentes [Wei98] im Jahre 1999, der dort ebenfalls vorhandene Übereinstimmung mit der Quantenmechanik und der deutliche Verletzung der CHSH-Ungleichung (mit 30 Standardabweichungen), gilt dieses Schlupfloch als gestopft. Weiterhin konnten auf Grund von Detektorineffizienzen nicht alle erzeugten Photonen nachgewiesen werden. Die Skeptiker wendeten nun ein, dass die Ungleichung zwar für die detektieren Photonenpaare verletzt sei, nicht aber für alle emittierten Photonen. Dies war allerdings reine Spekulation ohne physikalische Argumente als Grundlage. Aber auch dieses Schlupfloch konnte gestopft werden, als 001 ein Experiment [Row01] mit verschränkten Ionen durchgeführt wurde, bei dem es gelang, alle im Experiment erzeugten verschränkten Paare nachzuweisen.

73 Die Leggett-Ungleichung 4.6 Die Leggett-Ungleichung Anthony James Leggett 1 veröffentlichte im Februar 003 eine viel beachtete Arbeit [Leg03], die sich mit nicht-lokalen realistischen Theorien auseinandersetzt. Er reagiert damit auf die zahlreichen experimentellen Verletzungen der Bellschen Ungleichung und der Folge, dass eine Beschreibung des Verhaltens von Photonenkorrelation mit einer lokalen Theorie mit verborgenen Variablen nicht möglich ist. Es wird von einem ähnlichem Versuchsaufbau wie in den vorigen Abschnitten ausgegangen: Eine Quelle S emittiert verschränkte Photonenpaare mit entgegengesetztem Impuls. Diese treffen auf Polarisationsfilter P 1 und P und danach,falls sie durchgelassen werden, auf Detektoren D 1 und D. Die Kombination aus dem Polarisationsfilter P 1 und dem Detektor D 1 wird der Einfachheit halber mit Station 1 bezeichnet. Selbiges gilt für Station aus P und D. Wir definieren die Variable A, die den Wert +1 (-1) Abbildung 4.18: Anthony Leggett im Jahre 003 annimmt, wenn der Detektor D 1 das An- bei der Verleihung des Nobelpreises kommen des Photons registriert (nicht registriert). In gleicher Weise nimmt B die Werte ±1 an abhängig davon ob Detektor D das Photon registriert oder nicht. Die Orientierungen der Polarisationsfilter werden mit den Vektoren a für P 1 und b für P beschrieben. Mit λ bezeichnet er eine Menge von verborgenen Variablen. Zunächst geht er auf lokale Theorien mit verborgenen Variablen ein. Bei Theorien dieser Art, ist das Messergebnis A bzw. B nur von der jeweiligen Polarisationsfiltereinstellung und der Menge an verborgenen Variablen λ abhängig. Das Messergebnis von A ist beispielsweise nur von der Polarisationsfiltereinstellung a an Station 1 abhängig. Station übt keine Beeinflussung auf A aus. Das Gleiche gilt umgekehrt für B. A = A( a, λ), B = B( b, λ) (4.11) Lässt man zusätzlich eine Beeinflussung der Messergebnisse durch den jeweiligen 1 Sir Anthony James Leggett (* 6. März 1938), ist Professor für Physik an der University of Illinois in Urbana. Er gilt als anerkannte Autorität in der Theorie der Tieftemperaturphysik und wurde für seine Pionierarbeit auf dem Gebiet der Suprafluidität mit dem Nobelpreis für Physik 003 ausgezeichnet, die die Grundlagen zum theoretischen Verständnis von flüssigem und superflüssigem Helium und anderen stark gekoppelten Superflüssigkeiten legten.

74 4 Qualitätstests für Verschränkung 7 Abbildung 4.19: Versuchsaufbau nach Leggett anderen Polarisationsfilter zu, gibt man das Konzept der Lokalität teilweise auf. Das Ergebnis der Messung von der Größe A wird durch die Menge der verborgenen Variablen λ, die Polarisationsfiltereinstellung a in Station 1 und die Polarisationsfiltereinstellung b in der räumlich getrennten Station beeinflusst, ist aber unabhängig von den Resultaten der räumlich getrennten Station. Selbiges gilt umgekehrt für das Messresultat B. A = A( a, b, λ), B = B( a, b, λ) (4.1) Leggett geht sogar noch einen Schritt weiter und lässt das Messergebnis B als Beeinflussung von Messergebnis A zu. Das Ergebnis der Messung von der Größe A wird folglich durch die Menge der verborgenen Variablen λ, die Polarisationsfiltereinstellung a in Station 1, die Polarisationsfiltereinstellung b in der räumlich getrennten Station und den Resultaten der räumlich getrennten Station beeinflusst. Selbiges gilt umgekehrt für das Messresultat B. A = A( a, b, λ : B), B = B( a, b, λ : A) (4.13) Leggetts Theorie stellt somit eine Erweiterung der lokalen Bellschen Ungleichung dar. Das Konzept der Lokalität gibt er hierbei auf. Messergebnisse können von räumlich getrennten Größen beeinflusst werden. Gleichzeitig geht er von der Existenz verborgener Variablen aus, die ebenfalls Auswirkungen auf die Messergebnisse haben. Auf der Basis seiner Theorie entwickelt er analog zu Bell in 3.5 eine Ungleichung, die Vorhersagen über die Häufigkeit verschiedener Messresultate bei bestimmten Polarisationsfiltereinstellungen liefert. In Kapitel 5 wird diese Ungleichung näher behandelt und experimentell überprüft.

75 5 Das Wien Experiment Nachdem wir uns nun mit lokalen und nichtlokalen Theorien mit verborgenen Variablen auseinandergesetzt haben, wenden wir uns nun der experimentelle Untersuchung der Leggett- und der CHSH-Ungleichung zu. Simon Gröblacher, Tomasz Paterek, Rainer Kaltenbaek, Časlav Brukner, Marek Żukowski, Markus Aspelmeyer und Anton Zeilinger führten im April 007 ein Experiment zur Überprüfung der Leggett-Ungleichung durch. Mit ihrem Versuchsaufbau konnten sie zusätzlich alle notwendigen Daten zur Überprüfung der CHSH-Ungleichung gewinnen. Abbildung 5.1: Ein Teil der Arbeitsgruppe: Anton Zeilinger, Simon Gröblacher, Tomasz Paterek, Časlav Brukner, Markus Aspelmeyer(von links) Fakultät für Physik, Universität Wien

76 5 Das Wien Experiment 74 Mein Physiklehrer Horst Aussenhof, Matthias Stappel, der 003 ebenfalls eine Facharbeit zum Thema Quanteninformation an der Immanuel-Kant-Schule in Kooperation mit dem Institut für Quantenoptik und Quanteninformation(IQOQI) erstellte, und ich hatten die Möglichkeit diese Arbeitsgruppe zu besuchen und einen Einblick in den wissenschaftlichen Alltag zu gewinnen. 5.1 Versuchsaufbau Zunächst betrachten wir den Versuchsaufbau der Arbeitsgruppe. Abbildung 5. Der Versuchsaufbau setzt sich aus zwei Teilen zusammen, der Quelle und den beiden Messstationen. Die Quelle besteht aus dem gepulsten Laser(Pump laser), dem BBO-Kristall, der λ/-plättchen und dem BBO/-Kristall. Sie erzeugt verschränkte Photonenpaare mit dem Zustand Ψ AB = 1 [ H A V B V A H B ]. Die genaue Funktion solch einer Quelle ist in Abschnitt erläutert. Die Filter vor den Detektoren sorgen dafür, dass nur Photonen gleicher Energie detektiert werden. Nimmt man die Filter heraus, sinkt die Güte der Verschränkung.

77 Versuchsaufbau Weiterhin gibt es zwei Messstationen, eine von Alice und eine von Bob. Die beiden Blochkugeln 1 dienen hierbei zur Darstellung der zu messenden Polarisationsrichtungen. Die Messstation von Alice enthält einen Polarisationsfilter, mit dem sie die Polarisation der bei ihr ankommenden Photonen überprüfen kann. Die Messung erfolgt in der { H, V }-Basis. Nach der Messung in dieser Basis sind die Photonen, die bei Alice eintreffen stets linear polarisiert. Die beiden Vektoren a 1 und a in der Blochkugel stehen hierbei für bestimmte Polarisationsfiltereinstellungen. a 1 symbolisiert in diesem Fall einen horizontal orientierten Polarisationsfilter, Abbildung 5.3 a einen in 45 -Richtung orientierten. Zu Alices Messstation gehört außerdem noch der Detektor. Schlägt dieser an, kommt also ein Photon durch den Polarisationsfilter, so nimmt die Größe A per Definition +1 an. Schlägt dieser umgekehrt nicht an, wird A der Wert -1 zugewiesen. Die Messstation von Bob unterscheidet sich Abbildung 5.4 insofern von der von Alice, dass sich zusätzlich noch ein λ/4-plättchen im Strahlengang der zu messenden Photonen befindet. Bob möchte mit seinem Polarisationsfilter( der baugleich zu Alices Filter ist) den auf diesen Filter auftreffenden Photonen nun nicht wie Alice die Frage stellen Seid ihr H-Polarisiert?, sondern er fragt: Seid ihr zirkularpolarisiert? Bob muss also eine Messanordnung verwenden, die genau diese Fragestellung an die Photonen gewährleistet. Diese Messanordnung ist durch die Kombination Polarisationsfilter und λ/4-plättchen gegeben. Um sicherzugehen, dass seine Messanordnung aus λ/4-plättchen und Filter auch wirklich die richtige Frage an die Photonen stellt, was experimentell bedeutet, dass das Plättchen im richtigen Winkel zur optische Achse in den Strahlengang eingebracht wurde, macht Bob einen Vorversuch. Er erzeugt aus linear polarisiertem Licht mithilfe eines λ/4-plättchens zirkular polarisiertes Licht. Schickt er nun diese Photonen durch die Messanordnung aus λ/4- Plättchen und Filter und er registriert im Detektor alle zuvor ausgesandten Photonen, so kann er sicher sein, dass seine Messanordnung die richtige Frage stellt, 1 ausführliche Erklärung in..3