Modellierung des Kontrahentenrisikos

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1 Modellierung des Kontrahentenrisikos Fachbereichsseminar

2 Inhalt 1. Kontrahentenrisiko und Exposure 2. Interne Modelle Methode (IMM) 3. Exposure-Maße 4. Modellierungsansätze 5. Erzeugung von zukünftigen Risikofaktorverteilungen und eines übergreifenden Marktszenarios 6. Instrumentmodelle 7. Aggregation 8. Validierung und Backtesting 3 1. Kontrahentenrisiko und Exposure Def.: Das Kontrahentenrisiko aus einem bilateral mit einem Geschäftspartner (nicht einer Börse) abgeschlossenen Derivategeschäft, einem sog. OTC Derivat (Over-the-Counter Derivative) besteht im Ausfall des Kontrahenten, also dem Risiko, dass der Geschäftspartner damit eine eventuelle Forderung nicht mehr erfüllen kann. Die Höhe einer solchen Forderung wird gemeinhin als Exposure bezeichnet. 4

3 1. Kontrahentenrisiko und Exposure Gegenstand unserer Überlegungen ist es daher, 1. die heute offenen Forderungen (das sog. Current Exposure) sowie 2. eine Prognose aller in der Zukunft liegenden potenziellen Forderungen gegenüber einem Kontrahenten (das sog. Potential Exposure od. Future Exposure) zu beziffern / zu schätzen und durch Eigenkapital abzusichern. Ein Exposure besteht aber nur dann, wenn der Marktwert eines mit diesem Kontrahenten getätigten Geschäftes positiv ist: 5 1. Kontrahentenrisiko und Exposure 1. Marktwert negativ (MtM<0): Close-Out der Position durch Zahlung des Marktwertes an den Kontrahenten. Anschließend gehen wir dieselbe Marktrisikoposition mit einem anderen Kontrahenten ein und erhalten denselben Marktwert gezahlt. Unser Nettoverlust ist damit Null. 2. Marktwert positiv (MtM>0): Close-Out der Position führt nun dazu, dass wir vom ausgefallenen Kontrahenten keine Zahlung mehr erhalten, uns aber dennoch bei einem anderen Kontrahenten unter Zahlung des Marktwertes die Position neu eingehen wollen. Damit ist der Nettoverlust der MtM>0. 6

4 1. Kontrahentenrisiko und Exposure Zur Ermittlung von regulatorischem Eigenkapital zur Absicherung des Exposures aus dem Kontrahentenrisiko stehen grundsätzlich drei Methoden zur Verfügung: 1. Marktbewertungsmethode (CEM) 2. Standardmethode (SM) 3. Interne Modelle Methode (IMM) Die Reihenfolge dieser Aufzählung entspricht der Komplexität der in diesen verwandten Ansätze zur Risikomessung und damit in umgekehrter Reihenfolge i. A. auch in etwa dem des jeweils benötigten Eigenkapitals Kontrahentenrisiko und Exposure Die Marktbewertungsmethode (Current Exposure Method CEM) ist die gegenwärtige Standardmethode zur Ermittlung des regulatorischen Exposures at Default (EaD) für eine Adressenausfallrisikoposition: EaD = Wiedereindeckungsaufwand + Zuschlag = max{0,mtm} + Zuschlag Dabei ergibt sich der Zuschlag gem. 20 Abs. 1 SolvV als Produkt aus dem marktbewerteten Anspruch aus dem Derivat ( notional principal amounts or underlying values ) und der fest vorgeschriebenen Volatilitätsrate nach Tabelle 1, Anlage 1 zur SolvV: 8

5 1. Kontrahentenrisiko und Exposure Dabei ist bei Abhängigkeit von mehreren Risikofaktoren die jeweils konservativste/höchste Volatilitätsrate für das Einzelgeschäft zu verwenden! 9 1. Kontrahentenrisiko und Exposure Hauptprobleme der CEM: Die Marktbewertungsmethode ist nicht risikosensitiv und bringt folgende Probleme mit sich (vgl. z.b. ISDA (2007)): Das potenzielle zukünftige Kreditexposure ist im Allgemeinen nicht proportional zum Nominalbetrag, wie in der CEM angenommen. Das tatsächliche Exposure verschiedener Instrumente ist bspw. für beliebige Zinsinstrumente (Swaps, Caps und Floors, Swaptions, ) derselben Laufzeit bei weitem nicht identisch. 10

6 1. Kontrahentenrisiko und Exposure Kurzum: In der CEM wird der Zuschlag nicht dynamisch modelliert, sodass sämtliche Marktinformationen nur über den aktuellen Marktwert ausgedrückt werden. Die potenziellen zukünftigen Kreditexposures variieren jedoch neben Assetklasse und Laufzeit stark je nach Produkt und Volatilitätsniveau der Risikofaktoren. Basis der Ermittlung der festen Zuschlagsfaktoren waren allerdings bereits erste empirische Studien zur Modellierung des potenziellen Exposures der Benchmark- Instrumente (vgl. z.b. Zangari(1997a,b)) Kontrahentenrisiko und Exposure Bsp: Für jeden Zinsswap (z.b. halbjährlicher Tausch eines variablen Zinssatzes wie EURIBOR oder LIBOR gegen eine feste Swap-Rate) ist der Marktwert bei Abschluss Null. Dies verdeutlicht, dass eine Steuerung der Kontrahentenrisiken einzig über den aktuellen Wiedereindeckungsaufwand allein zu kurz greifen würde, v.a. da alle Zinsswaps mit einer Restlaufzeit von weniger als einem Jahr gar kein Kontrahentenrisiko mehr besitzen würden! 12

7 2. Interne Modelle Methode (IMM) Motivation: Bei der IMM handelt es sich um die fortgeschrittenste Meßtechnik des Kontrahentenexposures, die die SolvV zulässt und dem Marktstandard national und international tätiger Großbanken entspricht. Ziel: Einen marktbewerteten potenziellen Wiedereindeckungsaufwand für jedes Geschäft eines Kontrahentenportfolios an jedem interessierenden Zeitpunkt in der Zukunft zu bestimmen! Interne Modelle Methode (IMM) % Drei mögliche Zinsstrukturszenarien für einen 2y-Swap in t=6m: PV PV (6m) PV PV (6m) 0 1m 3m 1y 2y T PV (6m) 14

8 2. Interne Modelle Methode (IMM) Durch eine geeignete Modellierung kann dann sukzessive ein sog. Exposure-Zeitprofil erzeugt werden, das die tatsächliche Laufzeitstruktur des Kontrahentenportfolios abbildet, angemessen die Aufrechnung von Long- gegen Short- Positionen unter regulatorischem Netting berücksichtigt, sämtliche Geschäfte im jeweiligen Kontrahentenportfolio unter konsistenten Marktszenarien bewertet und so sowohl Korrelations- als auch Portfolioeffekte angemessen berücksichtigt Interne Modelle Methode (IMM) Potenzieller Wiedereindeckungsaufwand 1d 1w 1m 6m : 95%-Quantil : Erwartungswert t 16

9 2. Interne Modelle Methode (IMM) Dazu sind an bestimmten (vorher zu wählenden) zukünftigen Stützzeitpunkten 1. die potenziellen Marktpreis- bzw. Risikofaktoränderungen (Marktszenarien) zu modellieren und 2. unter jedem so ermittelten zukünftigen Marktszenario eine Neubewertung der Geschäfte durchzuführen und damit den potenziellen Wiedereindeckungsaufwand zu bestimmen Exposure-Maße Welche statistischen Maße für den zukünftigen Wiedereindeckungsaufwand gibt es und wozu werden diese benötigt? Üblicherweise betrachtet man an jedem Stützzeitpunkt ein hohes, meist 95%-Quantil bzw. den Erwartungswert der aus den Marktszenarien erzeugten Verteilung der zukünftigen positiven Marktwerte. Dadurch wird ein sog. Exposure-Zeitprofil erzeugt, das als Potential Future Exposure (PFE) bzw. Expected Exposure (EE) bezeichnet wird. 18

10 3. Exposure-Maße Bsp.: Receiver-Swap, T=6y, jährliche Zahlung Swap-Prämie 4% vs. EURIBOR_1Y Reduktion des Exposures durch Zahlungseingang der Festzinsseite EE PFE(95%) Peak Exposure Laufzeitende des Receiver-Swaps (kein Nominalaustausch!) EPE Exposure-Maße Potenzieller Wiedereindeckungsaufwand EE EEE EPE EEPE 1d 1w 1m 6m 1y t 20

11 3. Exposure-Maße Vom Exposure zum regulatorischen Kapital 1. Durch Skalieren mit dem Alpha-Faktor wird das regulatorische Exposure at Default berechnet: EaD = α. EEPE 2. Mit der LGD und dem PD aus den internen Ratingsystemen wird damit der Expected Loss und der Unexpected Loss nach den Formeln zur Berechnung des regulatorischen Kapitals ermittelt, wozu nun noch der Laufzeitanpassungsfaktor M, die sog. Effective Maturity, zu bestimmen ist Exposure-Maße Bei der Ermittlung des regulatorischen Kapitals für klassische Kredite nach Basel II bzw. SolvV wird über die sog. Restlaufzeit (Maturity) das über den Kapitalhorizont von einem Jahr hinaus gehende Migrationsrisiko mitberücksichtigt. Daher sind die Institute gehalten, die EE-Profile bis zur Laufzeit des am längsten laufenden Geschäftes einer Aufrechnungsvereinbarung zu ermitteln: M = Min t 1Jahr k EffectiveEE k = 1 * Δt * df + Re stlaufzeit * Δt k k k k = 1 t > 1Jahr t 1Jahr k EffectiveEE k k k EE * df k k * Δt k * df k ;5 22

12 3. Exposure-Maße Der Skalierungsfaktor α angewendet auf das EEPE dient dazu, die aus den Vereinfachungen unberücksichtigten Risiken konservativ abzuschätzen (v.a. das sog. Wrong Way Risk). Dieser kann i. von den Instituten selbst geschätzt werden (wobei ein Floor von α 0 =1.2 zu berücksichtigten ist und auf interne Kreditportfoliomodelle im Migration- und Multiple-Period- Modus zurückzugreifen ist) oder ii. es kann die regulatorische Vorgabe von α=1.4 übernommen werden Modellierungsansätze Einige wichtige Anmerkungen vorab: 1. Vergleich mit Marktrisikomodellen: Das Marktrisiko wird über einen sehr kurzen Vorhersagehorizont (1 Tag) mit langer Datenhistorie (mind. 1 Jahr) prognostiziert. Bei Exposure-Modellen müssen dagegen Vorhersagen über Zeithorizonte getroffen werden, die zum Teil ein Vielfaches der Datenhistorie betreffen (bspw. Können bereits einfachste Zinsswaps Laufzeiten zwischen 10 und 40 Jahren besitzen)! 24

13 4. Modellierungsansätze 2. An jedem Stützzeitpunkt in der Zukunft ist jedes Geschäft eines Kontrahentenportfolios unter dem jeweiligen Marktszenario zu bewerten, was immensen Rechenaufwand bedeutet und schlaue (also schnelle aber noch hinreichend exakte, auch approximative) Ansätze erfordert: Dies betrifft den Umfang aller Geschäfte einer Bank mit allen ihren Kontrahenten, aber ganz besonders auch komplexe Derivate (für einen einzelnen Kontrahenten), für die ein Monte-Carloon-Monte-Carlo nicht mit vertretbarem Aufwand realisierbar ist! Modellierungsansätze Aktien Zinsstrukturkurven Wechselkurse Σ 1 konsistente zukünftige Marktszenarien 2 3 PFE EE EPE EEE EEPE Credit Spreads Portfolio 1. Erzeugung zukünftiger Marktpreisentwicklungen (pro Assetklasse mit Modellierung der ökonomischen Zusammenhänge) 2. Vollst. Neubewertung pro Szenario und Stützzeitpunkt 3. Aggregation / Auswertungen 26

14 5. Zukünftige Risikofaktorverteilungen Um in einem zukünftigen Stützzeitpunkt die Geschäfte mit einem Kontrahenten neu bewerten zu können, benötigt man ein zugehöriges Marktszenario. Dieses beschreibt die möglichen Realisationen von Zins-raten, Aktienkursen, Wechselkursen, Rohwaren-preisen,, wie sie an einem zukünftigen Tage auftreten könnten. Vorgehen: 1. Spezifikation der stochastischen Evolution der treibenden Risikofaktoren 2. Erzeugung korrelierter Marktszenarien über die aus historischen Daten geschätzte Kovarianzmatrix (s. 6.) Zukünftige Risikofaktorverteilungen Bsp. 1: Zinsstrukturen Zinsstrukturkurven in allen relevanten Währungen können nicht mit Hilfe geometrischer Brownscher Bewegungen modelliert werden, da diese aufgrund der Drifts für weit in der Zukunft liegenden Zeitpunkten im Allgemeinen zu zu großen Zinsniveaus führen würden. Empirische Untersuchungen und praktische Erfahrungen motivieren die Verwendung lognormaler Mean Reversion Prozesse (vgl. zum Beispiel Reimers & Zerbs (1999) oder das Mark-to-Future-Konzept von Algorithmics (2000)). 28

15 5. Zukünftige Risikofaktorverteilungen Bsp. 1: Zinsstrukturen Für eine (Fremd-) Währung FW, sagen wir den EUR, sind dazu die Laufzeitbänder T j zu identifizieren, in denen die entsprechenden Zinsraten r j (t) modelliert werden sollen: d log FW FW FW FW FW j, FW ( r ( t )) = a ( θ ( t ) log( r ( t ) ) dt + σ dw j j j Dabei sind sowohl die Brownschen Prozesse zwischen den verschiedenen Buckets einer Währung als auch zwischen den verschiedenen Fremdwährungen zu korrelieren: j,fw1 k,fw2 FW1,FW2 dw dw = ρ dt t Sämtliche Parameter sind dabei aus Zeitreihen zu schätzen! t j j, k j t Zukünftige Risikofaktorverteilungen Bsp. 1: Zinsstrukturen Hauptkomponentenzerlegung der täglichen Logreturns (z.b. von Reimers & Zerbs (1999), s.u.) liefert die Anzahl der zu modellierenden Faktoren, i.d.r. drei bis fünf (Parallelshift, Drehung/Inversion, Butterfly, ): 30

16 5. Zukünftige Risikofaktorverteilungen Bsp. 1: Zinsstrukturen Ausblick: 1. Alternative: Libor Market Model (LMM) für Zinsstrukturen, state-of-the-art beim Pricing von komplexen Zinsderivaten (vgl. Master Thesis H. Hegre, Trondheim, 2006). 2. Ausgabe einer Masterarbeit zur Zinsstrukturmodellierung zu Zwecken der Kontrahentenrisikomessung mit LMM an der Hochschule Darmstadt (h_da, WS 2009/10) Zukünftige Risikofaktorverteilungen Bsp. 2: Aktienkurse Aktienkurse (bzw. deren Logrenditen) werden unter Verwendung einer geometrischen Brownschen Bewegung mit Drift modelliert: ds = μ S dt + σ t t Häufig wird anstelle einer individuellen Modellierung für jede einzelne Aktie die Dynamik meist nur für die wichtigsten Märkte durch die marktgängigen Indizes stochastisch modelliert (analog zum Vorgehen in Marktrisikomodellen, vgl. DePrisco & Rosen (2005)). S S dw t S t 32

17 5. Zukünftige Risikofaktorverteilungen Bsp. 2: Aktienkurse Welche Drift μ ist darin zu wählen? Lomibao & Zhu (2005) sowie Pykhtin & Zhu (2006) führen an, dass die empirisch aus den Zeitreihen ermittelte Drift μ hist der historischen Logrenditen um den Itô- Term zu μ:= μ hist + 0,5σ 2 korrigiert werden sollte, sodass zusätzlich die Volatilität (also das Risiko) des jeweiligen Underlyings (konservativ) mitberücksichtigt wird Zukünftige Risikofaktorverteilungen Bsp. 2: Aktienkurse Welche Volatilität σ ist zu wählen? Meist wird hier einfach die historische Volatilität der Logrenditen verwendet, wenngleich beim Bewerten einer Aktienoption beispielsweise auf die implizite Volatilität zurückgegriffen wird. Mit anderen Worten: Das Maß, unter dem die Modellierungen erfolgen, ist wie bei Risikomessungen üblich das empirische ( real world measure ) und i.a. nicht das risikoneutrale Maß ( risk-neutral measure ). 34

18 5. Zukünftige Risikofaktorverteilungen Offene Fragestellung Zu diesem Thema sei angemerkt, dass zwar 1. die Szenarien eines zukünftigen Marktszenarios unter dem historischen Maß erzeugt werden sollten, 2. aber die anschließende Bewertung der Geschäfte prinzipiell unter einem risikoneutralen Maß erfolgen müsste (also grundsätzlich erst an jedem Stützzeitpunkt eine vollständige Rekalibrierung der Instrumentmodelle durchgeführt werden müsste), was aus Zeitgründen unmöglich ist! Ausblick: Querverbindung zu Deflatoren, Solvency II!!! Zukünftige Risikofaktorverteilungen Erzeugung der Marktszenarien Die Ermittlung der historischen Volatilitäten und Korrelationen als Modellparameter der Evolutionsmodelle der einzelnen Risikofaktoren muss sowohl innerhalb der einzelnen Assetklassen als auch über diese hinweg geschehen. Vereinfachend nehmen wir im Folgenden an, dass bereits ein Prozess zur Ermittlung der Kovarianzmatrix Σ der verschiedenen Risikofaktoren (über die verschiedenen Assetklassen hinweg) bereits empirisch geschätzt wurde (und positiv definit ist). 36

19 5. Zukünftige Risikofaktorverteilungen Erzeugung der Marktszenarien Die Modellierung der Brownschen Bewegungen, die die Stochastik aller modellierten Risikofaktoren treibt, erfolgt üblicherweise durch Diskretisierung unter Rückgriff auf normalverteilte Zufallsvariablen. Daher können die hierfür benötigten korrelierten Zufallsvariablen leicht nach der aus dem Marktrisiko bekannten Ansatz der Multiplikation eines entsprechend hochdimensionalen Vektors an unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen mit der Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix Σ erzeugt werden. Dieser Schritt ist daher der Erzeugung der Szenarien in den einzelnen Assetklassen vorzuschalten!!! Instrumentmodelle Die Anforderungen an die Instrumentmodelle weichen ebenfalls im Allgemeinen und Besonderen von denen für die P&L- und Marktrisikoermittlung ab. Aufgrund der stets wie ein Damoklesschwert über dem Modellierer hängenden Problematik der Rechenleistung des Systems werden hier vor allem analytische Bewertungsformeln bevorzugt, auch wenn Sie u.u. nicht in jeder Situation im Marktrisiko geeignet erscheinen würden. Es geht also primär dabei um eine Abschätzung zwischen Genauigkeit und Schnelligkeit, die zu klären ist! 38

20 6. Instrumentmodelle Die Instrumentmodelle des Handels bzw. des Risikocontrollings liefern üblicherweise nur den heutigen Marktwert und die heutigen Sensitivitäten, nicht aber bereits einen Vektor zukünftiger Marktwerte in den gewählten Stützzeitpunkten. Daher wird in den meisten IMM eine separate Toolbox an Instrumentmodellen implementiert, die diese Aufgabe übernimmt und in denen zum Teil vom Handel abweichende Modelle implementiert sind Instrumentmodelle Als Teil der Validierungsanstrengungen sind die zu verwendenden Instrumentmodelle unabhängig zu validieren. Dies kann nur zum Teil durch bereits vorhandene Prozesse des Marktrisikomodells abgedeckt werden, da neben dem Marktwert und den Sensitivitäten am Berechnungstag für IMM-Instrumentmodelle auch die Güte der ermittelten Marktwerte an den zukünftigen Stützzeitpunkten zu überprüfen ist! 40

21 6. Instrumentmodelle Ein großes Problem stellt insbesondere die Behandlung exotischer(er) Optionen dar. Für pfadabhängige Exoten (Exoten der ersten Generation) kann diese in den Bewertungsprozess mit Hilfe des sog. Conditional Valuation Approach von Lomibao & Zhu (2005) problemlos eingebettet werden, indem an jedem Bewertungsstützzeitpunkt die Wahrscheinlichkeit ermittelt wird, dass eine Ausübung im Zeitraum zwischen dem letzten Stützzeitpunkt und dem Stützzeitpunkt, an dem bewertet werden soll, bereits stattgefunden haben könnte Instrumentmodelle Ausblick: 1. PDE- und Monte-Carlo-Verfahren sind für die Kontrahentenrisikorechnung zu rechenintensiv: Gibt es kostengünstigere aber dennoch angemessene Alternativen (gröbere Approximationen, analytische Näherungslösungen, Parallelisierungen, ): Zukünftiger Forschungsschwerpunkt ab WS 2009/10! 2. Quantifizierung des Modellrisikos aus Kontrahentenrisikomodellen: Zwei Paper in Vorbereitung (2009)! 42

22 7. Aggregation Nachdem nun pro Stützzeitpunkt und pro Einzelgeschäft die benötigten Marktwerte pro Aufrechnungsposition (Netting Set) ermittelt wurden, können diese an jedem Stützzeitpunkt (je nach Vorliegen von berücksichtigungsfähigen Aufrechnungsvereinbarungen) miteinander verrechnet werden. Bei Vorliegen einer Aufrechnungsvereinbarung wird dazu zunächst die Summe aller (positiven oder negativen) Barwerte gebildet und anschließend diese auf Nicht- Negativität korrigiert, wohingegen für einzelne Aufrechnungspositionen zunächst die Nicht-Negativität geprüft wird, bevor sie zu den anderen Positionen aggregiert werden Validierung und Backtesting Mit der Entwicklung beginnend ist laufend die Prognosegüte und Aussagekraft einer Internen Modelle Methode zu überwachen. Dies geschieht durch einen regelmäßigen Validierungsprozess des Gesamtmodells und seiner Komponenten sowie durch ein sog. Backtesting, also den Vergleich der Prognosen mit den tatsächlichen Realisationen der Marktwerte für die einzelnen Geschäfte bzw. Portfolios. 44

23 8. Validierung und Backtesting Ausblick: 1. Die Wahl geeigneter realer oder hypothetischer Test- Porfolios sowie Entwicklung geeigneter statistischer Tests, wie die Prognosegüte des Exposures vernünftig zu messen ist, stellt eine noch nicht allgemein gelöste Herausforderung dar. Zukünftiger Forschungsschwerpunkt ab WS 2009/10! 2. Maße für die Güte der Ergebnisse eines Instrumentmodells (also den Trade-Off zwischen Genauigkeit und Geschwindigkeit) exisitieren derzeit nicht. Zukünftiger Forschungsschwerpunkt ab WS 2009/10! 45 Literaturverzeichnis 1. P. Zangari: On measuring credit exposure. J.P. Morgan / Reuters RiskMetrics Monitor, pp. 2-33, H. Hegre, Interest rate modelling with applications to counter-party risk, Master Thesis, Norwegian University of Science and Technology, Trondheim, (NTNU), 06/ ISDA: Counterparty Credit Risk Management Under Basel II. ISDA Asia, M. Pykhtin: Counterparty Credit Risk Modelling. RISK book, London, B. DePrisco & D. Rosen: Modelling Stochastic Counterparty Credit Exposures for Derivatives Portfolios. In: M. Pykhtin (2005), M. Pykhtin & S. Zhu: Measuring Counterparty Credit Risk for Trading Products under Basel II. Working Paper, Bank of America, Sept D. Lomibao & S. Zhu: A Conditional Valuation Approach for Path- Dependent Instruments. In: M. Pykhtin (2005). 46