2.3 Kinematik (Kinematics)

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1 .3 Kinematik (Kinematic) Beobachtung: Körper bewegen ich, z.b. Ball, Auto, Karuell,... Allgemein: Bewegungen werden mit Hilfe der Kinematik (Bewegunglehre) bechrieben. Da Kapitel Kinematik it im Weentlichen eine Wiederholung de Stoffe der Schulphyik. Erweitert wird die hier um Differential und Integral von, v und a. Definition: Die Kinematik bechreibt die Bewegung von Körpern, ohne die Urache (die behandelt die Dynamik, iehe.4) für die Bewegung zu betrachten. Bewegung eine Körper kann beliebig ein, eine geradlinige Bewegung (Tranlation) it der einfachte Fall. Bei krummlinigen Bewegungen können einzelne Abchnitte durch Kreibewegungen d.h. Rotationen und Tranlationen angefittet werden. Beipiele: - Ballwurf eine Kinde: Kreiförmige Bewegung mit tranlativem Abwurf. - Geradeaufahrt (Tranlation) auf Autobahn + kreiförmige Aufahrt (Rotation) Allgemein: Krummlinige Bewegung angefittet durch Tranlation + Rotation Auf olchen Daten baieren Navigationkarten (t) Tranlation D R Rotation Maepunkt Kinematiche Bewegungen werden oft getrennt o auch hier für Tranlation und Rotation betrachtet. Veruch drehende Balkenwaage: Starrer Körper, der um einen Drehpunkt (vgl. Drehmoment) rotiert, führt eine Kreibewegung au. Kreibewegung in der Technik ebeno wichtig wie Tranlation, da alle rotierenden Gegentände wie Antriebachen, Ritzel, Räder etc. Kreibewegungen durchführen. Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 1

2 Die nachfolgende Tabelle gibt eine vergleichende Übericht zu Tranlation und Rotation. In dieer Vorleung wird nur jeweil einer der beiden Arten betrachtet bzw. eine equentielle Abfolge. Arten Tranlation (Tranlation) Rotation (Rotation) Bewegung Geradlinig Drehung Koordinatenytem Rechtwinklig Polarkoordinaten Bechreibung Vektoren Skalare Weg Drehwinkel (Def. über Bogenmaß) Modellkörper Maepunkt Maepunkt an gewichtloer, drehbarer Stange der Länge r Bp: Aufzug Karuell Grundlage: Ortänderung im Bezugytem z Ort-Diagramm Weg-Zeit-Diagramm t = T t = T1 r y r 1 x T T 1 t Steigung entpricht hier der Gechwindigkeit wichtig: geeignete Bezugytem auwählen: karteiche für Tranlation, Polarkoordinaten für Rotation! Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15

3 Relative Bewegungen Windtille! Wie it diee Photo enttanden? Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 3

4 .3.1 Gechwindigkeit (Velocity) Gechwindigkeit it da Maß für die Weg- bzw. Ort-Änderung pro Zeiteinheit Definition: d Ortänderung pro Zeiteinheit v Gechwindigkeit t dt Differenz Differential (MK - 1) m v bzw. vektoriell v (der Vektorcharakter kann ein eindimenionalen Bewewgungen vernachläigt werden) Gechwindigkeit = Zeitableitung de Wege (path) (Ableitung iehe VL Mathe 1) Def.: Mittlere Gechwindigkeit (Durchchnitt) z.b. Berechnung durch Tripcomputer v m t (MK - ) Durchchnittwert für große Strecken für t : Def.:aktuelle Momentangechwindigkeit z.b. Wert der auf Tachometer angezeigt wird. v a d (MK - 3) dt Der Fahrradtacho zeigt oben die aktuelle Momentangechwindigkeit und darunter die Durchchnittgechwindigkeit (DSG) an. Schulphyik: üblich v = /t Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 4

5 Beipiele zur Ableitung (und Integration): (eindimenional) (Übung) geg. (t) d dv v a v dt dt Bechleunigungtyp 1 keine Bechleunigung t 1 keine Bechleunigung t² t cont. t³ * 3t² 6t cont. int cot -²int = -² cont. (Schwingung) *: t³ z. B. bei Anlauf- bzw. Abbremprofilen von Motoren Da Vorgehen von link nach recht bechreibt die Ableitung. Da umgekehrte Vorgehen (Integration) it auch möglich und wichtig (.u.) Weg kann durch zeitliche Integration der Gechwindigkeit berechnet werden: Au (MK 1) : d = v dt Durch Integrieren ( umgekehrte Differentiation ) erhält man den Weg Herleitung: Weg berechnen, wenn v gegeben v = d / dt dt v dt = d T 1 (t) v(t) dt (MK - 4) T Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 5

6 Anwendung Flugzeug: Ein Staudruck-Megerät mit nur die Gechwindigkeit Integration ergibt den zurückgelegten Weg! Trotz GPS immer noch eingeetzt. Beipiel für v = cont. ( v v(t) T1 ) : v dt v T T v T v t ( bekannt ) T 1 üblich Achtung: übliche Definition: t al relative Zeit nach Mebeginn!! Spezialfall: (t) v t o bei anfänglichem Ort ungleich Null : Integrationkontante, Weg zu Beginn bei T Beipiel: Auto fährt mit v = 1 m/ = cont. ; Zeitdauer 1 ; o = m. Wie große it die zurückgelegte Strecke? ( t) T T 1 v ( t) dt 1 1 m dt 1 m 1 dt 1 m 1 1.m Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 6

7 .3. Bechleunigung (Acceleration) Wa paiert, wenn ich Gechwindigkeit zeitlich ändert z.b. wenn ein Auto anfährt? Die Gechwindigkeit ändert ich mit der Zeit, d.h. diee it zeitabhängig. Die Definitionen etc. ind analog zur.3.1 Gechwindigkeit. Def.: Bechleunigung = Gechwindigkeitänderung pro Zeiteinheit [a] = m/² a v t Durchchni ttwert dv dt akt.momen tanwert v (MK - 5) Technik: a > : Bechleunigung ; a < : Verzögerung Zahlenbeipiele iehe obentehende Tabelle zur Ableitung und Integration Gechwindigkeit und Weg können au der Bechleunigung durch zeitliche Integration berechnet werden: Gechwindigkeit v(t) a(t) dt v (MK - 6) Weg (t) v(t) dt (MK - 7) Bemerkungen: - In vielen Anwendungfällen wird der Vektorcharakter nicht benötigt. - Oft können die Anfangwerte v o und o durch entprechend gechickte Wahl de Koordinatenytem zu Null geetzt werden. Analog für Rotation, tatt dem Weg wird der Winkel verwendet (.u.). Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 7

8 .3.3 Tranlation (Tranlation) Vereinfachung eindimenionale Betrachtung (1D): (o.b.d.a.). Die gleichförmige und gleichmäßig bechleunigte Bewegung ind au der Schulphyik bekannt. Def.: Bewegungtyp / -form Art gleichförmig gleichmäßig bechleunigt ungleichmäßig bechleunigt a cont. cont. v cont. lineare Änderung, v t cont. Bp. Auto 1 km/h Freier Fall Pendel (Schwingung) e gibt nur 3 Arten der Tranlation (bzw. Rotation): Gleichförmige Tranlation Typ: a = v a au (MK - 6): v = v o au (MK - 7): = vdt = v o t + C v o o t = v o t + o (MK 8) o kann oft durch Koordinatentranformation in den Urprung beeitigt werden. JAVA Applet: Bewegung mit kontanter Bechleunigung Beipiel: Bei einer Autofahrt mit kontanter Gechwindigkeit entpricht die Momentangechwindigkeit der mittleren Gechwindigkeit (Formel / t). Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 8

9 .3.3. Gleichmäßig bechleunigte Tranlation Veruch: - Ball fallen laen: Freier Fall = gleichmäßig bechleunigte Bewegung - Wagen mit Gewicht und Umlenkrolle (entpricht auch Freiem Fall) Typ: a(t) = cont Bp.: Freier Fall v a t au (MK 6): v cont. dt at au (MK - 7): = vdt = atdt = ½ a t Formeln au (MK - 6) und (MK - 7) mit o = Geg. v o = v o a, t v = at = 1 / at² v = at + v o = 1 / at² + v o t a, a v v a v o (MK - 9) v o it in der Praxi oft ungleich Null, z.b. bei Fahrt mit kontanter Gechwindigkeit und dann Bechleunigung wg. Überholvorgang. Weitere Beipiel: Senkrechter Wurf nach oben. Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 9

10 Ungleichmäßig bechleunigte Bewegung Veruch Pendelchwingungen mit Stange Beobachtungen: - Sich wiederholende Bewegung von recht nach link und umgekehrt - An den Umkehrpunkten ändert ich die Richtung der Gechwindigkeit und omit tritt dort auch eine Änderung der Bechleunigung auf. - Die Gechwindigkeit ercheint im tieften Punkt am größten. ungleichmäßig bechleunigte Bewegung Typ: a(t) cont. ; a = a(t) Beipiel: Mechaniche Schwingungen (iehe 3) v a t Anfangbedingung für t = : () = 1 ; v() = geg: a = cot v adt ~ int v dt ~ - cot a dt² a,, da it typich für Schwingungen Beipiel (Übung) Lineare Zunahme der Bechleunigung a kt Bem: [k] = m/³ 1 v adtk t dt kt v dt k t dt kt 6 Einfachte Probe: Einheit von v und nachprüfen. Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 1

11 Beipiele einfacher Tranlationen: Freier Fall / Schiefer Wurf Einfache Tranlationen im Erdfeld a = g = 9,81 m/² 1 m/² (wird in VL verwendet) = cont. gleichförmig bechleunigte Bewegung, Modellkörper : Maepunkt Vektorielle Bechreibung Bem. - Erdoberfläche, klein, kein Luftwidertand, keine Erdrotation - g verringert ich mit zunehmenden Abtand von der Erdoberfläche (Übungaufgabe) Für die beiden Beipiele nachfolgenden Beipiele a und b gilt : - a = g au (MK - 9): v gt v - Anfangbedingung (AB): v(t ), (t ) Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 11

12 a) Freier Fall (Übung) Eindimenionale Bewegung hier wird al Variable verwendet. ACHTUNG: Bei vielen Anwendungen mu durch eine Achenbezeichnung wie x, y oder z eretzt werden. Wichtig it auch die Richtung der Ache! Meit wird die Höhe auf der Erdoberfläche zu Null geetzt, die z-ache it alo nach oben poitiv. Dehalb zeigt dann, v und a(=g) in negative Richtung. Für den zurückgelegten Weg kann allerding auch der Betrag verwendet werden. Kinematik 1 gt a g v t für und v 1. Integration: v gt v t g (hier z-ache) Energieatz (Vorgriff) iehe E kin = E pot mv mgh v v g gh g. Integration: Einetzen liefert 1 gt 1 v g g v g 1 gt ; gt v ; v g (MK 1) d.h. beide Wege führen zum elben Ziel! Bemerkung: Wenn eine Zeitabhängigkeit gefragt it, kommt man nur mit kinematichen Methoden zum Ziel! Alo Energieatz nur verwenden, wenn keine Zeit in der Aufgabe vorkommt. Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 1

13 b) Waagrechter Wurf (Übung) - vektorielle Betrachtung - Zuammenetzung von - gleichförmiger Tranlation und - gleichmäßiger Bechleunigung (Freier Fall) Anfangbedingungen (t = ) : z v ox ; v ; a v oz g unbechl. Bew. gleichm.bechl.bew. g V x y x Achtung: rechthändige Koordinatenytem! Rechengang: v = adt, dann = vdt v vox v oz gleichförmig g t gleichm.bechl. voxt vozt 1 g t v oz v ox t 1 t g t (MK - 11) Probe:! z g, weitere Kontrolle : Einheiten [] = m: m/ = m Übung: Vereinfachen Sie obige Formeln für enkrechten Wurf nach oben und unten. Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 13

14 Bp: Waagrechter Wurf v oz = (Übung) vx v gt vx t 1 gt Abolutgechwindigkeit: v v v v v v(t) v g² t² x y z hier x Fälle: - t klein : v v x - t groß : v gt biher: alle Werte zeitabhängig, aber auf welcher Bahnkurve bewegt ich der Maepunkt? Bahnkurve x = v ox t U (i) z = - 1/ gt² V (ii) au (i) t = U / v ox (i ) (i ) in (ii) z g g V U bzw. z v v ox da it eine (Wurf-) Parabel z ~ x² ox x² t = v x x v x Abolutgechwindigkeit it tangential zur Bahnkurve v y v g² v(x,z) v ox x² (1') in v eingeetzt v v ox v v x ~ x x JAVA Applet: Schiefer Wurf (v oz mit Abwurfwinkel tan = v oz / v ox ) Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 14

15 In einer Buchhandlung in Hongkong Wie hoch fliegt ein Skipringer? Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 15

16 Olympia-Schanzen Calgary Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 16

17 Übungblatt Kinematik 1 1. Auto fahren mit kontanter Gechwindigkeit von v 1 = 8km/h und v = 1km/h auf der rechten bzw. linken Spur einer freien Autobahn. Zum Zeitpunkt t= it da 1. Auto 5m vor dem. Auto. Nach welcher Zeit und Strecke hat da. Auto da 1. um 5m überholt? Lg.: t=54, = 15m. Ein ICE erreicht eine Gechwindigkeit von 5 km/h innerhalb 6. Zum Abbremen benötigt er 14, bei einer Notbremung nur 6. Wie groß ind die durchchnittlichen Bechleunigungen? Lg.: a /m/² :,116 / -,5 / -1,16 3. Sie laen einen Stein in einen ehr tiefen Brunnen fallen. Nach t Sekunden hören Sie den Aufchlag. Wie tief it der Brunnen? Bi zu welcher Tiefe können Sie die Tiefe vereinfacht berechnen? Lg.: Annahme t = 3,14 ==> h = 45m ; für 55m Fehler ohne Schallgechwindigkeit 5% 4. Sie chießen eine Billardkugel über einen Tich der Höhe 1m. Der Auftreffpunkt auf dem Boden it horizontal 1m von der Kante entfernt. Wie groß war die Gechwindigkeit der Kugel an der Tichkante? Lg.: v =,4m/ 5. Skipringen Oberdorf: Die (waagrechte) Abprunggechwindigkeit beträgt 7km/h, die Landepite hat ein Gefälle von 45. Bei Vernachläigung de Luftwidertande it die Flugzeit und die Sprungweite (ohne Schanzentich) geucht. Lg.: a = 113m ; t = 4 Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 17

18 .3.4 Rotation Beipiele: Pendel, Balkenwaage Modellkörper : Maepunkt an gewichtloer, teifer Stange (Starrer Körper) der Länge r. Die wichtigte Größe (analog zum Weg ) it hier der: Drehwinkel (angle of rotation) = r (MK 1) r = cont. ; (t) : Bogenmaß ; [] = rad (mit 18 = ) kartheiche Koordinaten Polarkoordinaten y D r x Variable: x, y 1 Variable, da r = cont. Winkelgechwindigkeit [] = rad/ d t dt (MK - 13) Winkelbechleunigung [] = rad/² d t dt (MK - 14) Definitionen analog wie bei Tranlation: Durchchnitt- () und aktueller Momentan-Wert (d). Alle Variablen der Rotation (,, ) ind Skalare, keine Vektoren wie bei der Tranlation. Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 18

19 Zuammenführung Tranlation - Rotation (hier nur Skalare bzw. Beträge) Tranlation Rotation T R Weg = r Gechwindigkeit v v = r Bechleunigung a a = r (MK - 15) Bewegungformen wie Tranlation: - gleichförmig = - gleichmäßig bechleunigt = cont - ungleichmäßig bechleunigt cont. Vektorielle Betrachtung v a für dt T Bechleunigung = Gechwindigkeitdifferenz zeigt bei Bewegung in Gegenuhrzeigerinn in Blatt hinein Gechwindigkeit Tangential zur Bahn v r (MK - 16) Zentripetalbechleunigung - zeigt zur Rotationache (Mittelpunkt) - meit nur Betrag: a = ² r intereant a v r r (MK 17) Bechleunigung zeigt nach innen, die Kraftwirkung auf einen Körper, der ich auf einer Kreibahn bewegt it dann nach außen: Karuell, Satellit. Bedingung für Schwereloigkeit : v²/r = g Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 19

20 Zentripetalkraft Wird veruracht durch eine Zentralbewegung (Bechleunigung in Richtung Mittelpunkt) Zentrifugalkraft JAVA Applet: Karuell (Zentripetalkraft) Zentrifugalkraft it eine Trägheitkraft (Scheinkraft, nicht ichtbar von außen), welche der Zentripetalkraft entgegengeetzt it, alo vom Drehzentrum weg. Von lateinich 'fugare' = fliehen. Zentripetalkraft D Zentripetalkraft Zentrifugalkraft F zp mv r m r ( ma) F zf F zp (MK - 18) Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15

21 Bp: Gleichförmige Kreibewegung = cont. ; = z.b. gleichmäßig drehender Motor Drehwinkel au kontanter Winkelgechwindigkeit 1 Umdrehung d.h. 36 bzw. entpricht 1 Periode Drehwinkel (entpr. = v t ) Periodendauer Frequenz t T 1 f T Anzahl der Umdrehungen N = / Drehzahl N dn n N t dt d dt f (MK - 19) Periodendauer wird bei großen Zeiten z.b. Erdumdrehung in 4 h verwendet, dagegen Frequenz bzw. Drehzahl bei kleinen Dauern: Motor 6/min, HF-Technik 1 MHz JAVA Applet: Kreibewegung mit kontanter Winkelgechwindigkeit Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 1

22 Bp: Gleichmäßig Bechleunigte Kreibewegung = cont. z.b. au Stilltand anlaufender Motor Winkelgechwindigkeit Drehwinkel = t = t = 1 / t² (MK - ) Analog gleichmäßig bechleunigte Tranlation Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15

23 Zuammenfaung Kinematik Art gleichförmig gleichförmig bechleunigt ungleichförmig bechleunigt Bechleunigung kontant nicht kontant a = a(t), = (t) nein nein ja v, cont cont t v = a dt, = dt, cont t 1 / cont t² = v dt, = dt Bemerkungen: - alle Anfangwerte in der Tabelle ind hier al Null angenommen: v o = o = o = o = - = r ; v = r ; a = r - Tabelle in1d - ggf. Vektoren verwenden - Gechwindigkeit und Weg erhält man durch Integration der Bechleunigung a / (Tabelle). - Umgekehrter Weg durch Differentiation: a v ; Def. Mittel- bzw. Durchchnittwert au Differenz z.b. m t aktueller Momentanwert au Differential (t ) z.b. v a d dt Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 3

24 Übungblatt Kinematik 1. Berechnen Sie die Bahngechwindigkeit und die Umlaufdauer eine erdnahen Satelliten (g=cont.). Erklären Sie die Schwereloigkeit. Lg.: T = 84min ; v = 8km/. Sie ind im Projektteam für einen neuen Weltraumfilm. Um realitiche Aufnahmen zeigen zu können, benötigen Sie natürlich Szenen in Schwereloigkeit. Au Budgetgründen können Sie natürlich keinen Raumflug (auch nicht mit einem Space Shuttle) chartern. Welche Möglichkeit bleibt Ihnen? Veruchen Sie die augehend von Ihrer Erfahrung al Autofahrer bei Fahrten über eine Kuppe und dem chiefen Wurf (Fitten Parabel - Krei) anzudenken. Lg.: Kreibahn a r = g mit v = 3m/ ; Viertelkrei 47 Filmzeit 3. Sie laen eine Kugel (ohne Luftwidertand) au einem Ballon fallen, der ich in 3km Höhe befindet. Die Erdbechleunigung it höhenabhängig nach der Formel b = g(r/r)² mit g = 1m/², Erdradiu R = 6387km und r der Entfernung von Erdmittelpunkt. Wann und mit welcher Gechwindigkeit kommt die Kugel auf der Erdoberfläche auf. Vergleichen Sie die mit der Rechnung mit kontanter Erdbechleunigung 1m/². Anatz: g(r/r)² + a =. mit g=cont: g = 1 m/: t = 77,46 ; v = 774,6m/, Zerlegen Sie die Fallhöhe in Intervall mit adaptierter Fallbechleunigung. 4. Ein Motor erreicht nach 6 eine Drehzahl von 7/min bei gleichmäßiger Bechleunigung. Ein an ihm befetigte Scheibe hat den Durchmeer 1,m. Berechnen Sie die Winkelbechleunigung, die Umfanggechwindigkeit nach 3 und die Anzahl der Umdrehungen nach 1. Lg.: = 1,6 1/² ; v = 6m/ ; N = 1 5. Ein Motor hat 15 nach dem Anlaufen 5 Umdrehungen durchgeführt. Da Anlaufen it während der erten 5 Sekunden gleichmäßig bechleunigt und danach gleichförmig. Wie it hoch it die Drehzahl de Motor? Lg.: N = 4 1/ Blankenbach / HS Pf / Phyik: Kinematik / WS 15 4