Risikoneutrale und risikoaverse Ausfallwahrscheinlichkeiten von Anleihen

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1 SEMINARARBEIT über das Thema Risikoneutrale und risikoaverse Ausfallwahrscheinlichkeiten von Anleihen eingereicht bei o. Univ.-Prof. Mag. Dr. Edwin O. Fischer Institut für Finanzwirtschaft vorgelegt von Amila Omazic Vesna Lalos Graz, April 2014

2 Inhalt Abbildungsverzeichnis....II Abkürzungsverzeichnis...III Symbolverzeichnis..IV 1 Anleihen Risiken bei Anleihen Ausfall- bzw. Bonitätsrisiko Risikoprämie (Credit Spread) Ausfallwahrscheinlichkeit von Anleihen (PD, Probability of Default) Methoden zur Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit anhand von Ratings Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit anhand Marktdaten Modelle zur Ermittlung der Ausfallwahrscheinlichkeit Strukturelle Modelle Merton Modell Kritik von strukturellen Modellen Reduktionsmodelle Risikoaverse vs. risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit Zusammenfassung..21 Literaturverzeichnis 23 Quellenverzeichnis..24 I

3 Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Finanzierung mit Anleihen... 1 Abbildung 2: Risikoprämie nach Ratingstufen in Prozent... 3 Abbildung 3: Methoden zur Schätzung von PD... 4 Abbildung 4: Ratings-Symbole und Bonitätsurteil... 5 Abbildung 5: Modelltheoretische Ansätze... 7 Abbildung 6: Unterschiedliche Kursniveaus als Indikator Credit Spreads Abbildung 7: Formel für die Berechnung der impliziten Ausfallwahrscheinlichkeit mittels Preis bzw. Credit Spread einer Anleihe Abbildung 8: Beispiel zur Berechnung der impliziten Ausfallwahrscheinlichkeit Abkürzungsverzeichnis CAPM CDS DD EAD EURIBOR LGD PD RR Capital Asset Pricing Model Credit Default Swap Distance to Default Exposure at Default Euro Interbank Offered Rate Loss Given Default Probability of Default Recovery Rate S. Seite USA usw. Vgl. www United States of America und so weiter Vergleiche World Wide Web II

4 Symbolverzeichnis B b 2 Cov Erwartete Rendite Nominalforderung, Schulden, Verbindlichkeiten Risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit bei der Umrechnung Kovarianz Recovery Rate d, d rf Diskontfunktion dvu f F Wirtschaftssubjekt Standardnormalverteilte Zufallsvariable Marktwert des Eigenkapitals Markwert der Schulden Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung hi I Komponente des Black/Scholes Modells Intensitätsrate Marktpreis des Risikos M, rm v N(t) p PD qk (1-qk) r rf Rendite des Marktportolios Drift des stochastischen Prozesses Sprungprozess, springt vom Wert 0 nach Wert 1, falls ein Ausfall eintritt Ausfallwahrscheinlichkeit Reale Ausfallwahrscheinlichkeit Neutrale Ausfallwahrscheinlichkeit die Überlebenswahrscheinlichkeit Diskontierungszinssatz risikoloser Zinssatz III

5 Korrelationskoeffizient Standardabweichung 2 M Volatilität Standardabweichung des Marktportolios Ausfallzeitpunkt, Restlaufzeit T t v (t,t) V Fälligkeitszeitpunkt Zeitraum Der diskontierte Erwartungswert einer risikolosen Nullkuponanleihe gesamter Vermögenswert eines Unternehmens V0 VT xi X z gesamter Vermögenswert eines Unternehmens zum Zeitpunkt t0 gesamter Vermögenswert eines Unternehmens zum Zeitpunkt T Komponente des Black/Scholes Modells Schuldendeckungsgrad Komponente des Black/Scholes Modells IV

6 1 Anleihen Die Anleihen sind verzinsliche Wertpapiere bzw. Forderungspapiere, die ein klassisches Instrument der mittel- bis langfristigen Kreditfinanzierung darstellen. Die Ausgabe (Emission) von Anleihen kann sowohl von der öffentlichen Hand als auch von Unternehmen erfolgen. 1 Der Emittent (Herausgeber) einer Anleihe erhält eine Art des Kredits am Kapitalmarkt, während einer oder mehrere Käufer (Zeichner, Anleger) gegenüber dem Emittenten eine Geldforderung besitzen. Da das, durch Ausgabe einer Anleihe, erworbene Fremdkapital nur bis zu einem bestimmten Zeitpunkt zur Verfügung gestellt wird, muss die Anleihe, nach der festgelegten Zeit, die als Laufzeit bezeichnet wird, zurückgezahlt bzw. getilgt werden. 2 Für das zur Verfügung gestelltes Kapital bekommt der Gläubiger während der ganzen Laufzeit die Zinsen. In den meisten Fällen handelt es sich hierbei um einen beim Anleihekauf fest vereinbarten Zins, der aber seltener auch über die gesamte Laufzeit variieren kann. In dem Fall kann er den Staffelzinsvereinbarungen unterliegen oder sich an einem Referenzzins einer Zentralbank orientieren (z.b. EURIBOR). 3 Diese Zinsen sind nichts anderes als der Preis, zu dem sich der Herausgeber einer Anleihe das Geld von dem Gläubiger ausborgen kann. So formuliert ermöglichen die Anleihen den Erwerb vom Fremdkapital, wobei Sicherheiten aufzuweisen sind und der Anleger kein Mitspracherecht hat, wie bei dem Erwerb von Aktien. Deshalb sind die Anleihen eine sehr attraktive Form, um zusätzliches Kapital zu schaffen. 4 Abbildung 1: Finanzierung mit Anleihen 5 1 Vgl. Mair (2010), S. 7 2 Vgl. Adelmayer, Wahrmut (2005), S.1 3 Vgl. Börsenlexikon, 4 Vgl. Wienerbörse, 5 Quelle: Walzl (2012), S. 10 1

7 2 Risiken bei Anleihen Obwohl Anleihen, im Gegensatz zu Aktien, die z.b. sehr volatil sind, als relativ sichere Form der Geldanlage gelten, weisen sie auch verschiedene Risiken auf, die in der Abhängigkeit von der Art und Ausstattung der Anleihe unterschiedlich stark ausgeprägt sein können. 6 Zu den wichtigsten Risiken einer Geldanlage in Anleihe zählen Ausfall-, Zinsänderungs-, Wechselkurs- und Inflationsrisiko. Die angeführten Risiken können weiter in zwei Kategorien unterteilt werden und zwar in systematisches und unsystematisches Risiko. Systematisches Risiko beinhaltet allgemeine Marktrisiken wie z.b. Zinsänderungsrisiko, Inflationsrisiko und Wechselkursrisiko. Die Änderung des Marktzinssatzes beeinflusst direkt den Kurs einer Anleihe (steigt der Zinssatz, sinkt der Kurs und umgekehrt). Im Gegensatz zum systematischen bezieht sich unsystematisches Risiko immer nur auf eine bestimmte Anleihe, bzw. einen bestimmten Emittenten. Dazu zählt z.b. Ausfall- bzw. Bonitätsrisiko (Risiko der Nichterfüllung von Zahlungsverpflichtungen), das nur von einem bestimmten Emittent abhängt. 7 Da diese Arbeit vor allem die Ausfallwahrscheinlichkeit, die vom Ausfall- bzw. Bonitätsrisiko stark beeinflusst wird, erarbeitet, werden wir im Weiteren nur auf diese Art von Risiko näher eingehen. 2.1 Ausfall- bzw. Bonitätsrisiko Unter dem Ausfallsrisiko in dem Kreditgeschäft wird die Gefahr des Verlustes verstanden. Wenn man von Anleihen spricht, spiegelt sich dieser potentielle Verlust in dem Risiko wieder, dass ein Schuldner (Emittent) nicht zeitgerecht, oder nur teilweise und somit nicht zur Gänze seine Zahlungsverpflichtungen, also Zins- und Tilgungszahlungen, nicht erfühlen kann. In dem Sinne spricht man vom Bonitätsrisiko, wenn die Zahlung nicht zum vorher festgelegten Zeitpunkt erfolgen kann, anderseits ist das Ausfallsrisiko das Risiko der totalen Zahlungsunfähigkeit, d.h. die Zahlung kann überhaupt nicht vorkommen. 8 6 Vgl. 7 Vgl. Kirschmaier (2013), S. 6 8 Vgl. Blanchard, Illing (2009), S

8 Der Bonitätsrisiko ist eng mit dem Ausfallsrisiko verbunden und wirkt sich somit direkt auf die Ausfallwahrscheinlichkeit der Forderung aus, d.h. wenn sich der Bonität eines Emittenten verschlechtert, dann steigt die Wahrscheinlichkeit das der Kredit nicht zurückbezahlt wird Risikoprämie (Credit Spread) Der Credit Spread bzw. Risikoprämie einer Anleihe stellt der Renditezuschlag bzw. Zinsaufschlag, den die Anleger für die Investition in die risikobehaftete Anlagen bekommen, um das Risiko, der mit dieser Investition verbunden ist zu kompensieren, dar. 10 Der Credit Spread enthält, unter anderen, oben genannten Komponenten, auch eine Prämie für das Ausfallsrisiko, also eingepreiste Ausfallwahrscheinlichkeit, wobei ihr Anteil an der gesamten Risikoprämie mit sinkender Bonität steigt. Aus dem Grund kann sie gut als ein Indikator für die Ausfallsrisiko eines Unternehmens dienen. 11 Die Höhe der Risikoprämie einer Unternehmensanleihe hängt stark von dem Ausfallsrisiko eines Emittenten ab. Sie wird in Abhängigkeit von der Ausfallwahrscheinlichkeit einer Anleihe bestimmt. Je höher die Ausfallwahrscheinlich- keit einer Anleihe, desto höher erfolgt die Einstufung des Risikos und somit wird die Risikoprämie auch höher. Das gilt auch umgekehrt und zwar je höher der Credit Spread, desto höher ist die Ausfallwahrscheinlichkeit und desto niedriger die Bonität des Emittenten. 12 Abbildung 2: Risikoprämie nach Ratingstufen in Prozent 13 9 Vgl. Blanchard, Illing (2009), S Vgl. Gabler Wirtschaftslexikon, 11 Vgl. Groß (2009), S Vgl. Schiffel (2009), S Quelle: 3

9 3 Ausfallwahrscheinlichkeit von Anleihen (PD, Probability of Default) Mit der Ausfallwahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Forderung, z.b. Kredit oder Anleihe, ausfallen wird, dargestellt. Dabei spricht man von dem Ausfall einer Forderung, wenn diese nicht oder nur zum Teil zurückgezahlt wird. 14 Die Ausfallwahrscheinlichkeit zeigt also mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Emittent in der Zukunft nicht in der Lage sein wird, seinen im Vorhinein vereinbarten Zahlungsverpflichtungen nachzukommen Methoden zur Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit Abbildung 3: Methoden zur Schätzung von PD 16 Um das Ausfallsrisiko beurteilen zu können stellen die Methoden zur Einschätzung künftiger Ausfallwahrscheinlichkeiten einen zentralen Punkt für den Investor dar. 17 Wie man der obigen Darstellung entnehmen kann, kann man die Ausfallwahrscheinlichkeit mit Hilfe vieler Methoden schätzen, jedoch gehören diese grob in zwei Gruppen eingeteilt. Demnach kann sie aus Ratings oder Marktdaten geschätzt werden. Die Schätzungen anhand von Ratings basieren meistens auf historischen Daten. Bei der Verwendung von marktpreisimpliziten Daten (Daten, die aus den Marktpreisen abgeleitet werden), kann man zwischen Aktien- oder Anleihenkursen oder CDS- Spreads (Credit Default Swap Spreads) als Basisdaten unterscheiden. 14 Vgl. Molt, Schäffer ( 2009), S Vgl. Mair (2010), S Quelle: Hartmann-Wendels/Pfingsten (2010), S Vgl. Molt, Schäffer (2009), S. 22 4

10 Die Modelle, die Wahrscheinlichkeit anhand von Anleihe- und CDS-Preisen schätzen, sind meistens die Reduktionsmodelle. Die Aktienkurse sind Basis für die strukturellen bzw. Firmenwertmodelle Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit anhand von Ratings Um die Bonität (die unmittelbar das Ausfallsrisiko und somit die Ausfallwahrscheinlichkeit beeinflusst) einer bestimmten Anleihe zu prüfen kann auf Ratings von Ratingagenturen zugegriffen werden. Die drei bekanntesten Rating Agenturen sind Moody s, Standard & Poor s und Fitch. 18 Abbildung 4: Ratings-Symbole und Bonitätsurteil 19 Anhand dieser Ratings und Übergangsmatrizen führen die Ratingagenturen Langzeitstudien und ziehen daraus Schlussfolgerungen über die Ausfallwahrscheinlichkeiten, wobei jeder Ratinggruppe bestimmte Ausfallwahrscheinlichkeit zugeschrieben wird. Grundsätzlich sollte gelten, dass je höher der Rating ist, desto geringer die Ausfallwahrscheinlichkeit ist und desto stabiler dieser Rating im Zeitablauf ist. D.h. mit sinkendem Rating steigt die Ausfallswahrscheinlichkeit und damit auch die Wahrscheinlichkeit einer weiteren Verschlechterung des Ratings Vgl. Molt, Schäffer (2009), S Quelle: 20 Vgl. Molt, Schäffer (2009), S

11 Obwohl diese Methode, wegen ihrer Einfachheit und wegen der Emission am Kapitalmarkt, die ohne Ratings nicht möglich wäre, in der Praxis oft verwendet wird, gibt es mehrere Kritikpunkte. Die Vergangenheitsorientierung wird kritisiert, weil die historischen Daten nur bedingt als Anhaltspunkt geeignet sind. Die nächsten Schwachpunkte dieser Methode sind Ansatz von statistischen Methoden, welche vielleicht nicht für alle Parameter geeignet sind sowie Verwendung vom gleichen Parameter, welche vielleicht nicht für jeden Emittent geeignet oder schwer zu messen sind Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit anhand Marktdaten Die Ausfallwahrscheinlichkeit kann auch durch Marktdaten wie beispielsweise Anleihenkurse, Aktienkurse und CDS-Spreads ermittelt werden. Der Ausgangspunkt dieser Methode liegt in der Annahme, dass in dem Marktpreis einer Anleihe auch das Risiko enthalten bzw. eingepreist ist. Die Schätzung des Ausfallsrisiko bzw. der Ausfallwahrscheinlichkeiten aus Marktdaten ist dann effektiv, wenn die Märkte sehr liquid sind, da sie am schnellsten auf die kreditrisikorelevanten Informationen reagieren. In der Regel sind die Aktienmärkte liquider als Anleihenmärkte, dennoch verwendet man auch die Anleihenkurse und CDS-Spreads um die Ausfallwahrscheinlichkeiten zu schätzen, was besonders bei Staatsanleihen der Fall ist. 22 Die Preise der Staatsanleihen (Credit Spreads) und auch die Preise der Kreditausfallversicherungen (Credit Default Swaps CDS) sind zwei Marktbarometer mit denen sich die Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. das Ausfallrisiko einer Staatsanleihe bestimmen lässt. Zusätzlich benötigt man die Bestimmung einer sogenannten Recovery Rate (Wiedereinbringungsquote), welche den Anteil an der Forderung im Insolvenzfall angibt. Diese Quote erhalten die Gläubiger trotz des Ausfalles. 23 Um aus Marktdaten, also aus Aktien-, Anleihekursen und CDS-Spreads, die Ausfallwahrscheinlichkeiten zu ermitteln muss auf Kreditrisikomodelle, welche im vierten Abschnitt erläutert werden, zugegriffen werden. 21 Vgl. Molt, Schäffer (2009), S Vgl. Kirschmaier (2013), S Vgl. Kirschmaier (2013), S.1 6

12 3.2 Modelle zur Ermittlung der Ausfallwahrscheinlichkeit Modelltheoretischen Ansätze für die Bewertung vom Kreditrisiko gehen von einem risikoneutralen Investor aus. Deshalb sind so ermittelte Ausfallwahrscheinlichkeiten risikoneutral (implizit) und müssen dann in risikoaverse Wahrscheinlichkeiten umgerechnet werden. Wie in der folgenden Abbildung ersichtlich ist, lassen sich Modelle zur Bewertung von Kreditrisiken in zwei Gruppen unterteilen und zwar in strukturelle und Reduktionsmodelle. 24 Abbildung 5: Modelltheoretische Ansätze Strukturelle Modelle Die strukturellen Modelle sind auch als Firmenwertmodelle gekennzeichnet, da sie auf den Firmen- bzw. Unternehmenswert basieren. Diese Modelle sind aus zwei Ansätzen abgeleitet: Ansatz von Black/Scholes: optionspreistheoretische Bewertung vom Kreditrisiko, Ansatz vom Merton: Einbeziehung der Kapitalstruktur eines Unternehmens, als bedeutenden Faktor des Kreditrisiko Vgl. Kirchmeier (2013), S Quelle: Mair (2010) S Vgl. Mair (2010), S

13 Bei den strukturellen Modellen wird der Ausfall von einem exogenen oder endogenen Ereignis induziert, z.b. Unterschreitung einer bestimmten Grenze im Gegensatz zu den Reduktionsmodellen, wo dieser zufällig stattfindet. Die Hauptidee bei Reduktionsmodellen ist, dass man aus dem Credit Spread die Schlussfolgerungen über die (implizierte) Ausfallwahrscheinlichkeit ziehen kann. Da das Merton Modell der bekannteste Vertreter von strukturellen Modellen ist, werden wir es im folgenden Unterabschnitt näher betrachten Merton Modell Bei dem Merton-Modell spielt die Kapitalstruktur eines Unternehmens die wichtigste Rolle, um die Ausfallswahrscheinlichkeit zu bewerten. Für die Ermittlung und Einbeziehung der Kapitalstruktur werden die Bilanzen des Unternehmens verwendet. Ein Ausfall am Fälligkeitstag wird erst dann auftreten, wenn der Wert der Aktivseite die Verbindlichkeiten nicht mehr decken kann. Im Zusammenhang mit dem Black/Scholes Ansatz über die optionspreistheoretischer Bewertung werden hier die Preise aus dem Aktienmarkt verwendet, um der Wert des Eigenkapitals mit dem Marktwert der Assets und deren Volatilität zu verknüpfen. 27 Die Idee hinter diesem Modell ist die Möglichkeit, alle Informationen, die in Kapitalmarktpreisen enthalten sind, auszunutzen. Dafür ist die Anwendung der Preisen aus dem Aktienmarkt zuverlässiger, da diese Märkte in der Regel liquider sind. 28 Die Kapitalstruktur (gesamter Vermögenswert) eines Unternehmens wird durch den Marktwert des Eigenkapitals f (als Funktion vom Vermögenswert und Zeit) und die Schulden F (Marktwert als Funktion vom Vermögenswert und Zeit), die durch eine Nullkuponanleihe repräsentiert sind, dargestellt. t Restlaufzeit V Vermögenswert des Unternehmens 27 Vgl. Molt, Schäffer ( 2009), S Vgl. Bemmann (2007), S. 42 8

14 Laut Merton ist diese Nullkuponanleihe mit nominale in Höhe von B der einzige Forderungstitel des Unternehmens, welche zum Zeitpunkt T zurückgezahlt werden sollte. Durch die Anwendung der Formel von Black/Scholes kann der Wert des Eigenkapitals folgendermaßen dargestellt werden: Laut Merton ist diese Nullkuponanleihe in Höhe von B der einzige Forderungstitel des Unternehmens, welche zum Zeitpunkt T zurückgezahlt werden sollte. Durch die Anwendung der Formel von Black/Scholes, kann der Wert des Eigenkapitals folgendermaßen dargestellt werden, mit als die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: Dabei gilt folgendes: 29 Wie nun zu sehen ist, korrespondiert der Marktwert des Eigenkapitals des Wirtschaftssubjekts mit dem Callpreis, der gesamte Vermögenswert mit dem Kurs des Underlyings sowie der Nominalwert der gesamten verbrieften Verbindlichkeiten mit dem Basispreis Quelle: Mair (2010), S Vgl. Mair (2010), S.122 9

15 Daraus wird der Marktwert der Anleihe F(V, ) erläutert: 31 Der Schuldendeckungsgrad kann leicht daraus als Verhältnis des Vermögenswertes V zu den diskontierten Verbindlichkeiten abgeleitet werden: 32 X Schuldendeckungsgrad V Vermögenswert B Verbindlichkeiten R Zinssatz Restlaufzeit Falls die Rückzahlung nicht erfolgt, tritt ein Ausfall auf. Also der gesamte Vermögenswert V zum Zeitpunkt T kann in diesem Fall die zu erfüllenden Schulden B nicht abdecken. So lautet die Ausfallwahrscheinlichkeit nach Merton: Quelle: Mair (2010), S Quelle: Mair (2010), S Vgl. Walzl (2012), S

16 Weiter lässt sich der Gesamtwert des Vermögens zum Zeitpunkt T durch folgende Formel darstellen: Da der Gesamtwert des Vermögens V T zum Zeitpunkt t0 unbekannt ist, muss dieser mit Hilfe folgenden Parameter: V0.Vermögenswert zum Zeitpunkt t0 standardnormalverteilte Zufallsvariable erwartete Rendite Standardabweichung der erwarteten Rendite des Vermögens und Restlaufzeit ermittelt werden. Durch die Umsetzung in die Bedingung der Ausfallwahrscheinlich- keit und weiteres Logarithmieren bekommt man: Vgl. Walzl, (2012), S

17 Der Quotient wird als Distance to Default DD gekennzeichnet, sodass die Ausfallwahrscheinlichkeit folgendermaßen dargestellt werden kann: Kritik von strukturellen Modellen Zu den wichtigsten Kritikpunkten, die sich auf strukturelle Modelle beziehen, zählen: In diesem Modell tritt der Ausfall nur am Laufzeitende auf, jedoch kann der Ausfall in der Realität zu jedem beliebigen Zeitpunkt auftreten. Die Schätzung des Firmenwertes bzw. des gesamte Unternehmensvermögens ist sehr schwer. In dem Modell kommt es zu keiner Einbeziehung der historischen Daten, Ratings, etc. Der Ausfall ist vielmehr die Sudden Surprises Sache, als es in den Firmenwert schon ersichtlich wäre Reduktionsmodelle Die Reduktionsmodelle (Reduced-Form Models) sind durch die Reduktion der Komplexität im Vergleich zu Strukturmodellen gekennzeichnet. Diese Reduktion bezieht sich vor allem darauf, dass der Ausfall nicht an ein Ereignis gebunden ist, sondern zufällig stattfindet. Dabei erfolgt die Modellierung der Ausfallwahrscheinlichkeit unmittelbar aus Marktpreisen, wobei die gesamten Vermögenswerte des Wirtschaftssubjekts und dessen Finanzierungsstruktur nicht berücksichtigt werden. Die Reduktionsmodelle sind auch als Intensitätsmodelle gekennzeichnet, da diese eine direkte Art der Messung von Ausfallwahrscheinlichkeiten aufweisen. 36 Der Wert einer ausfallbehafteten Nullkuponanleihe wird über den Wert einer risikolosen Anleihe gleicher Laufzeit bestimmt. Diese risikolose Nullkuponanleihe kann entweder den Wert 1 im Falle des Überlebens oder den Wert im Falle des Ausfalls (bis zum Zeitpunkt t) annehmen. Bevor der Erwartungswert der risikolosen Anleihe diskontiert wird, wurden alle Zahlungsströme mit der neutralen Ausfallwahrscheinlichkeit gewichtet. 35 Vgl. PD als Determinante des Kreditrisikos, Value&Risk Advisory Services, S Vgl. Maier (2010), S

18 Unten wird es in einem einperiodigen Modell dargestellt: 37 mit v (t,t) als der diskontierte Erwartungswert einer risikolosen Nullkuponanleihe und qk als die neutrale Ausfallwahrscheinlichkeit, bzw.(1- qk) als die Überlebenswahrscheinlichkeit. Durch die Umformung erhält man die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit: Weiter wird durch die Annahme einer Intensitätsrate l, welche die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ausfalls für ein kleines Zeitintervall widerspiegelt, ein zeitkontinuierliches Modell formuliert, damit ein Ausfall zu jedem beliebigen Zeitpunkt der Laufzeit abgebildet werden kann. 38 Die Ausfallwahrscheinlichkeit unter der Annahme einer konstanten Intensitätsrate ergibt sich folgendermaßen: mit dem Ausfallszeitpunkt und dem Sprungprozess N(t), der vom Wert 0 nach 1 springt, falls ein Ausfall eintritt. Auch an Reduktionsmodellen sind ein paar Kritikpunkte zu nennen und zwar: Annahme einer konstanten Intensitätsrate ist nicht realistisch, Durch die Bedingungen, die das Modell vornimmt, wird die Ausfallwahrscheinlichkeit unabhängig von Konjunkturschwankungen Vgl. Maier (2010), S Vgl. Mair K. (2010), S Vgl. Mair K. (2010), S

19 4 Risikoaverse vs. risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit Die Investoren werden nur dann in ausfallsrisikobehafteten Anleihen investieren, wenn eine adäquate Kompensation des damit eingehenden Bonitätsrisikos erfolgt. Diese Kompensation erfolgt in Form der erwähnten Risikoprämie (Credit Spread). Credit Spread ist die Differenz zwischen der Rendite einer risikobehafteten Anleihe und der Rendite einer risikolosen Anleihe. Abbildung 6: Unterschiedliche Kursniveaus als Indikator Credit Spreads 40 In der obigen Abbildung stellt der Credit Spread die Renditedifferenz zwischen der ausfallsrisikolosen Staatsanleihe (USA) und ausfallsrisikobehafteten Staatsanleihe (Uruguay) dar. Hier gilt, dass die Höhe des Ausfallsrisikos des Emittenten und die Höhe der Risikoprämie positiv korrelieren, d.h. je höher das Risiko, desto höher muss auch die Prämie sein. Die untere Schranke für diese Risikoprämie sind die langfristig erwarteten Verluste 41, die mit dieser Prämie abgedeckt werden. 40 Quelle: Mair K. (2010), S Vgl. Molt, Schäffer ( 2009), S.24 14

20 Für die Ermittlung dieser Risikoprämie verwendet man die risikoneutralen Ausfallwahrscheinlichkeiten, die von der Annahme eines risikoneutralen Investors, der nur an Maximierung des Erwartungswerts interessiert und indifferent gegenüber sämtlichen Risiken ist, ausgeht. Demnach möchte sich der Investoren nur gegen langfristig erwartete Verluste absichern. Aus dem Grund ist die Kenntnis über die Ausfallwahrscheinlichkeit für die Investoren sehr wichtig, da man anhand von ihr und anderen Parameter diese erwarteten Verluste ausrechnen kann. 42 Der erwartete Verlust (Expected Loss) eines Engagements ist das Produkt aus den drei Komponenten erwartete Höhe der Forderung zum Zeitpunkt des Ausfalls (Exposure at Default, EAD), Ausfallwahrscheinlichkeit (Probability of Default, PD) und Verlustquote bei Ausfall (Loss given Default, LGD). 43 So lassen sich auf der Basis von: der Ausfallwahrscheinlichkeit (Probability of Default, PD) der erwarteten Verlustquote (Loss Given Default, LGD) der Erlösquote (Recovery Rate, RR) unn der Höhe der Forderung zum Zeitpunkt des Ausfalls (Exposure at Default, EAD) die erwarteten Verluste ausrechnen. Erwarteter Verlust = EAD PD LGD LGD = 1 - RR Erwarteter Verlust = EAD PD (1 - RR) 44 Da jedoch die Mehrheit der Investoren risikoavers ist und sich, im Gegensatz zum risikoneutralen Investor, sehr wohl nicht nur gegen erwarteten Verluste sondern auch gegen erwarteten Risiken absichern möchte, verlangen diese nicht nur eine Kompensation für die erwarteten, sondern auch eine für die unerwarteten Verluste. Deshalb unterscheidet man zwischen risikoneutralen (impliziten) und risikoaversen (realen) Ausfallwahrscheinlichkeiten. 42 Vgl. Kirschmeier (2013), S Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2010), S Vgl. Molt, Schäffer ( 2009), S

21 Wie bereits erwähnt, gehen die modelltheoretischen Ansätze von einem risikoneutralen Investor aus (sowohl strukturellen als auch Reduktionsmodelle). Risikoneutrale Investoren sind indifferent gegenüber Risiken und ihre Entscheidungen sind auf Erwartungswertmaximierung basiert. Dies bedeutet, dass ein risikoneutraler Investoren in eine risikobehaftete Anleihe dann investiert, wenn diese einen Credit Spread mindestens in der Höhe der erwarteten Verluste im Vergleich zu einer risikolosen Anleihe mit identischem Erwartungswert anbietet. So ermittelte Credit Spreads sind im Vergleich zu empirisch beobachteten zu gering, da die Mehrheit der Investoren in der Realität risikoavers sind und sich nicht nur gegen erwarteten sonder auch gegen unerwarteten Verluste absichern wollen (bzw. erfordern eine Risikoprämie). 45 Diese Überrendite ergibt, dass bei der Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten aus Marktpreisen eine höhere Ausfallwahrscheinlichkeit als die historisch beobachtete Wahrscheinlichkeit resultiert. Das kann auch am praktischen Beispiel gezeigt werden. Die Investoren, die in risikobehafteten Anleihen investieren, erhalten für das Ausfallsrisiko die dazu entsprechende Prämie. Die Frage ist, kann aus dieser Prämie das Risiko bzw. die Ausfallswahrscheinlichkeit abgeleitet werden und spiegelt diese das tatsächliche Risiko wider? Also, entweder ist der Preis einer Anleihe ein Indikator für die Ausfallwahrscheinlichkeit dieser Anleihe oder dieser Preis impliziert ein höheres Risiko als es tatsächlich ist. Im zweiten Fall würde das Risiko, das im Preis einer Anleihe ausgedruckt wird, überschätzt und deshalb würde diese Anleihe als vorteilhaft gekennzeichnet werden, da das tatsächliche Risiko niedriger ist, als es in Preis ausgedrückt ist. Es gilt natürlich, dass die Höhe des Ausfallsrisikos des Emittenten auf Höhe der Risikoprämie gleichmäßig beinflusst, d.h. je höher das Risiko, desto höher muss auch die Prämie sein. Für die Berechnung der impliziten Ausfallwahrscheinlichkeit verwendet man die unten dargestellte Formel, wobei der Spread die Differenz zwischen den Renditen einer risikolosen Staatsanleihe und einer risikobehafteten Unternehmensanleihe (die Laufzeiten beiden Anleihen sind gleich hoch) darstellt und Recovery Rate den Betrag bezeichnet, den ein Investor zurückbekommt, falls die Anleihe tatsächlich ausfällt. 45 Vgl. Mair (2010), S

22 Die Recovery Rate wird meistens aus historischen Daten zusammengefasst und diese ist umso niedriger, je höher die Ausfallwahrscheinlichkeit wird, d.h. der erwartete zurückforderte Betrag sinkt, je höher die Wahrscheinlichkeit des Ausfalls ist. Abbildung 7: Formel für die Berechnung der impliziten Ausfallwahrscheinlichkeit mittels Preis bzw. Credit Spread einer Anleihe 46 Mit einem Beispiel lässt sich der Sachverhalt veranschaulichen. Angenommen man investiert in eine Unternehmensanleihe, deren Rendite 100 Basispunkte über die Rendite einer risikolosen Bundesanleihe liegt (Spread, die Differenz zwischen Renditen). Die Recovery Rate beträgt zu diesem Zeitpunkt 20%. Durch das Einsetzen diesen Daten in obige Formel bekommt man: Abbildung 8: Beispiel zur Berechnung der impliziten Ausfallwahrscheinlichkeit 47 Die Ausfallswahrscheinlichkeit, die aus historischen Daten abgeleitet wurde, liegt unter 4%. 48 Da die implizite Ausfallwahrscheinlichkeit (ca. 6%) höher ist, wird das Risiko überschätzt und die Anleihe würde als günstig gekennzeichnet, da das tatsächliche Risiko niedriger ist als das in den Preis der Anleihe eingepresste Risiko. Falls es keine Überrendite gegeben würde, wären die risikoneutrale und risikoaverse Ausfallwahrscheinlichkeit gleich hoch. Es gibt vier wesentliche Gründe, warum die Überrendite existiert: 1. Liquiditätsprämien, 2. die subjektive Wahrnehmung der Ausfallwahrscheinlichkeit (von Investoren), 3. die gegenseitige Abhängigkeit von Ausfällen und 46 Quelle: Groß (2009), S.9 47 Vgl. Groß (2009), S Vgl. Groß (2009), S. 9 17

23 4. die verzerrte Renditeerwartung von Anleihen mit der natürlichen Begrenzung nach oben. 49 Für die Umrechnung der risikoneutralen in risikoaverse Ausfallwahrscheinlichkeiten muss die Überrendite geschätzt werden. Meistens verwendet wird das Verfahren auf Basis der Optionspreistheorie, dargestellt in Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber. Dabei handelt es sich um eine Ratingzuordnung eines Emittenten durch die dazugehörige reale Ausfallwahrscheinlichkeit PD und eine Verlustquote LGD (Loss Given Default, welche sich aus der Rangstellung im Konkursfall ergibt) gegeben. So lässt sich der Wert eines ausfallbedrohten Kredites mit folgender Formel darstellen: 50 Wert eines ausfallbedrohten Kredites F, der durch seine Nominalforderung B und die Fälligkeit T gekennzeichnet wird, entspricht dem Wert eines gleichwertigen icheren Kredites abzüglich des erwarteten Ausfalls. Der Ausdruck b2 stellt in diesem Fall die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit dar. Wie im Merton-Modell folgt die Entwicklung des Unternehmensvermögens dvu durch einen stochastischen Prozess definiert und dadurch ergibt sich die reale Ausfallwahrscheinlichkeit folgendermaßen: Um die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit b2 zu bekommen, muss man nur den Ausdruck v, der den Drift des stochastischen Prozesses beschreibt, mit dem risikolosen Zinssatz r ersetzen. Daraus bekommt man die implizite (risikoneutrale) Ausfallwahrscheinlichkeit: 49 Vgl. K. Mair (2010), S Vgl. Mair (2010), S

24 Durch die Erweiterung der realen Ausfallwahrscheinlichkeit bekommt man folgenden Ausdruck: 51 So dargestellt, unterscheiden sich die beiden Ausfallwahrscheinlichkeiten durch einen Bewertungsfaktor, der die erwartete Überrendite über den risikolosen Zinssatz pro Einheit Risiko darstellt. Durch die Anwendung vom CAPM (Capital Asset Pricing Model), bei dem die Wertpapierlinie den Zusammenhang zwischen der erwarteten Überrendite und der risikolosen (sicheren) Zinssatz darstellt, bekommt man: 52 der Markpreis des Risikos pro Einheit des Risikos, ist durch M, die Rendite des Marktportfolios,, die Standardabweichung des Marktportfolios, und den sicheren 51 Vgl. Mair (2010), S Vgl. Mair (2010), S

25 Zinssatz r dargestellt. Um die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit zu berechnen ersetzt man die Kovarianz mit korrespondierendem Korrelationskoeffizient: Folglich erhält man die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit: 53 Korrigiert man die obige Formel durch den Faktor erhält man die reale (risikoaverse) Ausfallwahrscheinlichkeit: 54 Die einzige Variablen, die unbekannt bleiben, sind der Marktpreis des Risikos und der Korrelationskoeffizient, die anhand des adäquaten Marktportfolio im Sinne des CAPM bestimmt werden müssen Vgl. Mair (2010), S Vgl. Mair (2010), S Vgl. Mair (2010), S

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