von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hochschule Emden/Leer

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2 . Inhalt Abshnitt : Funktion einer Variablen Definition Dfiii Definitions und Wertemenge / Definitions fiii und Wertebereih Darstellungsformen Graphishe Darstellung von linearen Funktionen Umkehrfunktion bilden Wurzelfunktion Umkehrbarkeit einer Funktion Stükweise definierte fii Funktionen Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer

3 . Definition Funktion einer Variablen Vorshrift, die jedem Element D genau ein Element y W zuordnet Shreibweise: yf() : unabhängige Veränderlihe (Variable) bzw. Argument D: Definitionsmenge der Funktion y: abhängige Veränderlihe (Variable) bzw. Funktionswert W: Wertemenge der Funktion Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer

4 . Darstellungsformen von Funktionen Analytishe Darstellung: Eplizite i Form: yf() Implizite Form: F(;y)0 (z.b.: y y0)) oft keine Fkt. Mengendarstellung Graphishe Darstellung im kartesishen Koordinatensystem Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 3

5 Beispiele yf() Mengenshreibweise: i DR W{y R y 0} (y Element aus R für die gilt: y 0) Bereihshreibweise: Shreibweise : W[0; ) (ekige Klammer: einshließlih angegebenen Wert (hier 0); runde Klammer: Wert gehört niht dazu (hier ) ) ) Shreibweise : W[0; [ (Bsp: 0<y< > W]0;[ Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 4

6 Graphishe Darstellung von Funktionen: lineare Funktionen lineare Funktionen beshreibbar in folgender Form: ( ) m b y f m und b seien Konstanten Wertetabelle: y Anmerkung 0 b Shnittpunkt mit der y Ahse mb Funktionswertfür ist um m gegenüber dem Shnittpunkt mit der y Ahse vershoben mb Funktionsgraph ist eine Gerade Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 5

7 Graphishe Darstellung von Funktionen: lineare Funktionen Beispiel (m, b4): ( ) 4 y f Wertetabelle: y Anmerkung 0 b4 Shnittpunkt mit der y Ahse mb 4 Funktionswert für ist um m gegenüber dem Shnittpunkt mit der y Ahse vershoben m wird auh als Geradensteigung bezeihnet Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 6

8 Umkehrfunktion. bilden: Beispiel: y f ( ) 4 Umkehrung analytish bilden: 4 y Nah umstellen: y Bezeihner vertaushen: 4 y Umkehrung graphish bilden: und y Ahse vertaushen (also: auh Definitions und Wertemenge vertaushen) Spiegelung an der Winkelhalbierenden y Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 7

9 Umkehrfunktion bilden: 4 p y fumkehr Beispiel: f ( ) 4 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 8

10 . Beispiel: Umkehrung von y yf() Umkehrung analytish bilden: Nah umstellen: ± y Bezeihner vertaushen: y ± Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 9

11 Beispiele: Umkehrung von y Umkehrung graphish bilden: f ( ) g ( ) ± D { R 0} Ist g() Funktion? NEIN: für >0: jedem Argument werden mehr als y Wert zugewiesen (Senkrehte zur Ahse shneidet g() ) Also: keine eindeutige Umkehrung möglih > Aufteilung in Funktionen g ( ) g ( ) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 0

12 Wurzelfunktion y D W { R 0} { y R y 0 } negative Halbparabel wird definitionsgemäß bei Wurzelfunktion abgeshnitten, damit Wurzelfunktion die Anforderung an eine Funktion erfüllt (eindeutige Zuordnung y) y ist niht teindeutig gumkehrbar Wurzelfkt. liefert nur die positiven Werte von y Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer

13 3. Wurzel: Definitionsmenge y 3 ( ) 3 ( ) 3 y g : Umkehrfunktion von Definitionsmenge von g()? y f y g( ) 3 D R W R Allgemein: Def. Menge ungerader Wurzelfunktionen: DR Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer

14 Zusammenfassung Wurzelfkt. y D g ( ) R für ungerade R 0 für { } gerade In einigen Bühern: Ausshluss negativer Werte für alle Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 3

15 .3 Stükweise definierte Fkt. Bisher: Eine Gleihung beshreibt Funktion für gesamten Definitionsbereih Stükweise definierte Funktionen: mehrere Gleihungen für Teilmengen der Definitionsmenge fiiti Beispiel: f ( ) ( ) für für > Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 4

16 Bsp. stükw. definierte Funktion Betragsfunktion: f ( ) für für < 0 0 Anwendungsbeispiel: ( ) 4 ( ) 4 für < für < : 0 : 4 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 5

17 Lösen quadratisher Gleihungen q g z.b.: Lö 3 ) ( : 6 4 Lösungswege: Binomishe Ergänzung: Bekannte binomishe Formel ( ) oder hier: p p p ( ) b ab a b a Binomishe Ergänzung: Term sei gegeben: p p also hier: p p p p p p also hier: ( ) ( ) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 6 3

18 Lösen quadratisher Gleihungen q g z.b.: Lö 6 4 Lösungswege: pq Formel: q p p q p ±, 0 also hier: 4 3 3, ± ± ± q p 3 4 3, ± ± ± Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 7 3

19 Lösen quadratisher Ungleihungen q g g z.b.: Z b h M l i l (b Di ) i i Z hl 3 ) ( : 6 4 < > Zu beahten: Multipl. (bzw. Div.) mit negativen Zahlen > Drehen des Relationszeihens: '>' '<' bzw. ' ' ' ' (E klä ) (Erklärung: ) Binomishe Ergänzung: : 6 4 < > > ( ) ( ) 4 3 < < < ( ) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 8

20 Lösen quadratisher Ungleihungen g z.b.: a) < b) > ) < d) Interpretation bedeutet Abstand auf dem Zahlenstrahl von 0 Interpretation bedeutet Abstand auf dem Zahlenstrahl von (0 nah aufgelöst ergibt ) a) b) ) d) ( < < ) < > ( ) < < ] [ ) ( Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 9

21 Lösen quadratisher Ungleihungen g z.b.: 4 > 6 : ( ) Binomishe i Ergänzung jetzt algebraish: < < für ( ) für < ( ) < < < > 3 3 < < < < 3 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 0

22 Lösen quadratisher Ungleihungen g Bsp: Drehen Relationszeihen: Binomishe i Ergänzung jetzt algebraish: > > für ( ) für < ( ) > < > < 3 < 3 < > > 3 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer

23 . Funktionseigenshaften Überblik: a. Symmetrie:. gerade Funktion (ahsensymmetrish zur y Ahse). ungerade Funktion (punktsymmetrish zum Ursprung) b. Monotonie:. monoton fallende Funktion. monoton steigende Funktion. Nullstellen d. Periodizität e. Umkehrbarkeit / inverse Funktion f. Stetigkeit Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer

24 .a. gerade Funktion graphish: Spiegelung an der Ordinate (y Ahse) f()f( ) ) Beispiel: y Funktion besitzt gerade Parität Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 3

25 .a. ungerade Funktion graphish: Punktspiegelung am Ursprung f()f( ) ) ) Beispiel: y 3 Funktion besitzt ungerade Parität Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 4

26 Algebraishes Testen der Symmetrie Beispiel : f() bilde f(-): f(-)(-) f()f(-)? JA > gerade Funktion nein Beispiel : f() 3 bilde f(-): f(-)(-) 3 (-)(-)(-)- 3 f()f(-)? ( ) NEIN bilde f(): -f()- 3 -f()f(-)? JA > ungerade Funktion ja ja nein Beispiel 3: f() 3 bilde f(-): f(-)(-) 3-3 f()f(-)? NEIN bilde f(): -f() f()f(-)? NEIN > unsymmetr. Fkt. Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 5

27 Weitere Symmetrien Wird eine gerade Funktion um in Rihtung vershoben, so ist die vershobene Funktion niht gerade aber symmetrish zur Ahse Wird eine ungerade Funktion in Rihtung um und in y Rihtung um y vershoben, so ist die vershobene Funktion niht mehr ungerade aber symmetrish zum Punkt (, y) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 6

28 .b Monotonie für beliebige D, D gilt: streng monoton fallend: f( )< f( ) für > ( ;] monoton fallend: f( ) f( ) für > ( ;] streng monoton steigend: f( )> f( ) für > [; ) monoton steigend: f( ) f( ) für > [; ) Monotonie oft auf Intervalle bezogen Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 7

29 .b Monotonie Wortwahl: (streng) monoton steigende bzw. fallende Funktion: Funktion, die im gesamten Definitionsbereih (streng) monoton steigend bzw. fallend ist Monotone Funktion: Funktion, die entweder monoton steigend oder monoton fallend ist (aber niht beides) Streng monotone Funktion: Funktion, die entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 8

30 . Nullstellen Shnittpunkte mit der Abszisse ( Ahse): f( N )0 Beispiel: f()( ) 4 ( ) 40 ( ) 4 N 4, N 0 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 9

31 .d Periodizität Funktionswerte wiederholen sih, wenn man in Rihtung um eine Periode fortshreitet (gilt für alle D): f(p)f() Beispiel: p Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 30

32 .e Umkehrbarkeit / inverse Funktion Bilden der Umkehrfunktion / inversen Funktion: yf() Umformen: g(y)f (y) Bezeihner vertaushen: yf () D f W f und D f W f Eine Funktion ist eindeutig umkehrbar, wenn es eine eindeutige Zuordnung von y gibt Hinreihende Bedingung für Umkehrbarkeit: Ist eine Funktion entweder streng monoton fallend oder streng monoton steigend im gesamten Definitionsbereih so ist sie eindeutig umkehrbar! Beispiele: siehe quadratishe und kubishe Funktion Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 3

33 Aufgabe: Umkehrfunktion g 7 5 Gesuht Umkehrfunktion zu yf() y y ( ) ( ) 7 5 f g y ( ) ( ) 5 f g y Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 3

34 .f Stetigkeit hier zunähst: anshaulihe Erklärung für die Stetigkeit einer Funktion später: mathematishe Erklärung (Grenzwert ) eine Funktion ist auf einem Intervall stetig, wenn dessen Graph ohne abzusetzen von der unterer Intervallgrenze bis zur oberen Intervallgrenze gezeihnet ih werden kann unstetig unstetig Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 33

35 3. Funktionsklassen y f ( ) ;, n, m, a i, bi seien Konstanten f ( ) a) Potenzfunktionen: b) Ganzrationale Funktionen/Polynome: ) Gebrohen rationale Funktionen: d) Algebraishe Funktionen: z.b. e) Trigonometrishe Funktionen: z.b. f) Eponential Funktion: g) Logarithmus Funktion: f f n i ( ) m 0 i0 n i ( ) a i a i b i i i i00 f ( ) f ( ) sin( ) ( ) f ( ) log f ( ) sin( ) f h) Transzendente Funktionen: z.b. Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 34

36 3. Funktionsklassen Inhaltsübers. y f ( ) ;, n, m, a i, bi seien Konstanten f ( ) a) Potenzfunktionen: b) Ganzrationale Funktionen/Polynome: ) Gebrohen rationale Funktionen: d) Algebraishe Funktionen: z.b. e) Trigonometrishe Funktionen: z.b. f) Eponential Funktion: g) Logarithmus Funktion: f f n ( ) a i n i ( ) m 0 i0 a i b i i i00 f ( ) f ( ) sin( ) ( ) f ( ) log f ( ) sin( ) f h) Transzendente Funktionen: z.b. Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 35

37 3.a Potenzfunktion f ( ) sei Konstante : IR f() Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 36

38 Potenzfunktion: Potenz εir Wurzel auh als reziproke Potenz zu shreiben: Beispiel: Bestimmen Sie folgenden Zahlenwert: (ohne Tashenrehner) h Kehrwert einer Potenzfunktion auh als Potenzfunktion mit negativer Potenz zu shreiben: Beispiel: Bestimmen Sie folgenden Zahlenwert:, (ohne Tashenrehner als Bruh) ( ) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 37

39 Potenzfunktion: hier 0<< Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 38

40 Potenzfunktion: hier <0 f ( ) sei Konstante : IR f() /3 ½ ½ ½ /000 / nd n.d. /000 / ½ ½ / 3 3 /3 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 39

41 Potenzfunktion: hier <0 f ( ) sei Konstante : IR Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 40

42 Potenzrehengesetze g b a b a zb: Potenz/Eponential - Termen mit gleiher Basis : Produkt aus a b b b negative Eponenten : : z.b. b a b a b a b b : Termen mit gleihem Eponent Produkt aus ( ) ( ) b a b a in einander geshahtelte Potenzen : : z.b. a b b a z.b.: a a Wurzelausdrüke : Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 4

43 Potenzfunktion: Def. /Wertemenge f ( ) sei Konstante : IR zu beahten: Division durh 0 niht definiert Gerade ganzzahlige Potenzen > y 0 Wurzeln gerader Ordnung nur für 0 definiert 0 {,3,5, } {,4,6, } /n; n{,3,5,..} /n; n{,4,6,..} ID IR IR IR IR { IR 0} IW {} IR {y IR y 0} IR {y IR y 0} {, 3, 5, } {, 4, 6, } /n; n{, 3, 5,..} /n; n{, 4, 6,..} ID IR\{0} IR\{0} IR\{0} { IR >0} IW IR\{0} {y IR y>0} IR\{0} {y IR y>0} Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 4

44 Potenzfunktion: Def. /Wertebereih f ( ) sei Konstante : IR zu beahten: Division durh 0 niht definiert Gerade ganzzahlige Potenzen > y 0 Wurzeln gerader Ordnung nur für 0 definiert m/n; n{,3,5,..} m{,3,5,..} m/n; n{,4,6,..} m{,3,5,..} ID IR { IR 0} IW IR {y IR y 0} Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 43

45 3.b Polynome: n i n ( ) a a a a... a f i00 i 0 Definition: n wird als Grad des Polynoms bezeihnet Definitionsmenge: IDIRIR Wertemenge: alle reellen Zahlen oder nur Teilmenge davon hängt von Koeffizienten i ab Beispiel Wertemenge: y 4 Welhes ist der kleinste Wert, den y annehmen kann? IW{y R y } n Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 44

46 Polynome: Beispiel Beispiel Polynom hat 3 Nullstellen: N N N3 Abspaltung von Linearfaktoren ( N ) möglih: f 3 ( ) ( )( 4 4 ) ( )( )( ) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 45

47 Polynome: Beispiel y p Abspaltung von Linearfaktoren ( N ) möglih: ( ) ( )( ) ( )( )( ) f Restpolynom kann jeweils durh ( ) ( )( ) ( )( )( ) f Polynomdivision oder Horner Shema oder Lösung quadr. Gleihungen berehnet werden Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 46

48 Polynome: Beispiel Abspaltung von Linearfaktoren ( N ) möglih: f 3 ( ) 4 4 ( )(.... Nullstelle durh Ausprobieren der ganzzahligen Teiler von a 0 (4 wenn alle Koeffizienten ganzzahlig sind und der höhstwertigste ist): Horner Shema: 4?? a3 a a 4 a * *4 f(4)36 a3 a a 4 a * 0 Koeffizienten direkt aus Horner-Shema ablesbar, wenn Ergebnis0 f 3 ( ) 4 4 ( )( ) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 47 f()0

49 Polynome: Beispiel y p Polynomdivision: Durh manuelles Ausprobieren: Nullstelle gefunden Durh manuelles Ausprobieren: Nullstelle gefunden Restpolynom durh Polynomdivision bestimmen ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) : ( ) ( )( ) ( ) 4 4 ( ) ( )( ) ( ) 4 4 Rest immer 0 wenn (hi ) i N ll t ll ( ) 0 N (hier ) eine Nullstelle Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer

50 Polynome: Beispiel y p Nullstellen quadratisher Gleihungen durh binomishe Ergänzung oder pq Formel bestimmen: Ergänzung oder pq Formel bestimmen: ( ) ( )( ) Vorsiht: Polynom 4 hätte die selben Nullstellen gehabt. Hier hätte aber der Faktor noh 9 0 hinzugefügt werden müssen: 4 ( )() Also: entweder Kontrollrehnung 9 4 g oder Polynomdivision oder Horner Shema 3 4 ( )( ) 3 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer ( )( )

51 Polynom: Graphen Nullstellen berüksihtigen (am einfahsten, wenn Polynom in faktorisierter Form vorliegt) Kurvenverlauf für große bzw. kleine durh höhstwertigsten h ti t Koeffizienten i dominiert: i z.b.: f 3 ( ) 4 4 ( )( )( ) Für große bzw. kleine wird Kurvenverlauf von y 3 dominiert Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 50

52 Polynom: Graphen Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 5

53 3. Gebrohen rationale Funktionen Division zweier Polynome z.b.: ( ) ( )( )( ) f 5 6 ( 3)( ) Definitionsbereih: Nenner darf niht 0 werden (Division durh 0 niht definiert) für Beispiel: il ID { IR 3 } Wertebereih: Abhängig von den Koeffizienten Grenzwerte Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 5

54 3.e Trigonometrishe Funktionen Im rehtwinkligen Dreiek sind die trigonometrishen Funktionen wie folgt definiert: sin α os α l geg l hyp l l an hyp l geg l geg l hyp tan α l l l an an hyp lan ot α l tanα geg sin α osα os α sinα α l hyp Ankathete Gege enkatheth he l geg l an Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 53

55 Einheitskreis: Kreis mit r Sie können direkt mit einem Lineal die Werte für sinα und osα abmessen Charakteristishe Werte: α sinα osα / / Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer y α l an osα l geg sinα 54

56 Einheitskreis: Kreis mit r Sie können direkt mit einem Lineal auh die Werte für tanα abmessen für otα müssten Sie das Dreiek so verändern, dass die Gegenkath. die Länge hat α tanα otα 0 0 n.d n.d n.d. 70 nd n.d. 0 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer n.d. y α l an osα l geg tanα 55

57 Bogenmaß Winkel können in Grad oder im Bogenmaß angegeben werden Bogenmaß: Bogenlänge am Einheitskreis it i Kreisumfang (360 ): π Viertelkreis (90 ): π/ allg. Bogen: α/80 π α/ α π/4/ 90 π/ 80 π 70 3/ π 360 π y α Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 56

58 Funktionsgraphen: sin() () und os() () Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 57

59 Funktionsgraphen: arsin() () Ahtung: sin() niht im kompletten Definitions- iti bereih umkehrbar! Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 58

60 Funktionsgraphen: aros() () Aht Ahtung: os() () niht ihtim kompletten ltt Definitions- iti bereih umkehrbar! Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 59

61 Funktionsgraphen: tan() () und ot() () Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 60

62 Funktionsgraphen: artan() () Ahtung: tan() niht im kompletten Definitionsbereih umkehrbar! Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 6

63 Trigonometrishe Umformungen I Folgt direkt aus dem Einheitskreis und dem Satz des Pythagoras Folgt direkt aus dem Einheitskreis und der Grunddefinition iti von tan() im rehtwinkligen Dreiek Folgt durh Einsetzen der beiden anderen Beziehungen Mathematik II Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe HS Emden/Leer 6

64 Trigonometrishe Umformungen II Mathematik II Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe HS Emden/Leer 63

65 f 3.f Eponential Funktion ID ( ), > 0 und konstant IR IW { y IR y > 0} Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 64

66 3.f Logarithmusfunktion Umkehrfunktion der Eponentialfunktion y f log ( ) y Bezeihner y f vertaushen : ( ) log Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 65

67 Rehengesetze Logarithmen Herleitungen Generell gilt: Eponential und Logarithmusfunktion sind umkehrbar (weil Funktion streng monoton) f - (f ()) (Umkehrfunktion von Funktion ergibt Variable ) Hier: Herleitung durh Anwendung der Potenzrehengesetze log ( a b ) a b log b log ( a) log ( b) log ( a) log ( b) log log a b ( a b ) log ( a ) log ( b ) log ( a b) log ( a) log ( b) b b b log a ( a ( ) ) ( b a ) b log ( a) ( a) log ( a) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 66

68 Rehengesetze Logarithmen log log ( a b) log ( a) log ( b) b ( a ) b log ( a ) daraus folgt : log b ( a ) log b log ( a ) a b Berehnung mit Tashenrehner :log ( a ) log log b b ( a) () (typishe Basen : 0, e(,788) Beispielaufgabe: Nah wieviel Jahren hat sih Kapital k 0 bei einem Zinssatz von 5% verdoppelt? k k k0 0,05,05 ln ln ln,05 ln,05 4, ln,05 ( ) ( ) Jahre Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 67

69 Anwendung Rehengesetze I Stellen Sie folgende Gleihung nah um: b 3 0 log 3 5 ( log ) 0 0 log ( 0log ) ln 5 0 ln 5 ln 0ln 3 ln 3 ln ln Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 68

70 3 Anwendung Rehengesetze II Stellen Sie folgende Gleihung nah um: b 0 log ( 0 log ) 3 0 log 3 ( 0log 3) log 5 log 5 ( 0log 3) log 5 0log 3 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 69

71 Anwendung Rehengesetze III Stellen Sie folgende Gleihung nah um: ln ( ) 3 0 ln ln 3 0 ln 0 ln 3 ln ( ln 0ln 3) ln 5 ln 0ln 3 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 70

72 4. Grenzwertbetrahtung, Stetigkeit, Polstellen & Asymptoten Grenzwerte allgemein Polstellen: Unendlihkeitsstellen Stetigkeit: mathematishe Definition Stetigkeit bekannter Funktionen Asymptoten gebrohen rationaler Funktionen für ± Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 7

73 Grenzwerte: anshaulihe Definition f ( ) für < 0 für 0 für > 0 lim f ( ) linksseitiger Grenzwert: man nähert sih 0 0 auf dem Funktionsgraph von links so nah wie möglih, man erreiht 0 aber nie wie groß ist dann f()? 0 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 7

74 Grenzwerte: anshaulihe Definition ( ) für mathematishe Shreibweise : lim 0 f 0 ( ) für 0 f ( 0 ) < 0 für > 0 lim lim 0 f f f ( ) ( ) ( ) weil 0 eistiert niht, lim 0 f ( ) lim f ( ) lim f rehtsseitiger Grenzwert: man nähert sih 0 0 auf dem Funktionsgraph von rehts so nah wie möglih, man erreiht 0 aber nie wie groß ist f()? () lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) wenn 0 und eine Zahl ist (Anmerkung: ± sind keine Zahlen), so eistiert der Grenzwert sonst niht 0 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 73

75 Grenzwerte: anshaulihe Definition f * ( ) für < 0 für 0 für > 0 Wie müsste f() minimal geändert werden, damit der Grenzwert lim f ( ) 0 0 und der Grenzwert damit eistiert? Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 74

76 Stetigkeit: mathematishe Definition f ** ( ) für < 0 0 für 0 für > 0 Eine Funktion ist für a stetig, wenn folgendes gilt: der Grenzwerte eistiert UND ( ) ( ) lim a f ( ) lim f f a (Definition von f() für a vorausgesetzt) a Wie müsste f * () geändert werden, damit f * () für 0 stetig ist? Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 75

77 Stetigkeit Folgende Funktionen sind in deren Definitionsbereih stetig Potenzfunktionen ganz und gebrohen rationale Funktionen Eponential und Logarithmusfunktionen Trigonometrishe Funktionen (sin(), os(), tan(), arsin(), ) Algebraishe und transzendente Funktionen Typishe Ursahen für Unstetigkeiten: Definitionslüken (z.b. gebrohenrationale Funktionen) Stükweise definierte Funktionen an den Grenzen der Definitionsintervalle Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 76

78 Stetigkeit Stükweise definierte Funktion an den Grenzen der Definitionsintervalle Vorgehen: Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 77

79 Stetigkeit Weiteres Beispiel für Unstetigkeit f ( ) für für Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 78

80 Polstellen: Unendlihkeitsstellen Beispiel: f ( ) Dfiii Definitionsmenge: ID{ IR } IR Grenzwertbetrahtung für : Funktionswert für niht definiert wir dürfen uns aber beliebig nah auf dem Funktionsgraphen nähern Wertetabellen:, /00 / lim f ( ) f() ,9 /00 / lim f ( ) f() ( ) Eistiert lim f? NEIN, weil ± keine Zahlen sind Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 79

81 Polstellen: Unendlihkeitsstellen Beispiel: f ( ) Was ist die Aussage des Ergebnisses der Grenzwertbetrahtung lim f ( ) und lim f ( )? Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 80

82 Polstellen: weiteres Beispiel Beispiel: f ( ) ( ) lim f ( ) lim f ( ) li f ( ) lim Ei Eistiert i? Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 8

83 Grenzwertsätze Anmerkung: Grenzwertsätze sind intuitiv verständlih Es gelten die folgenden Grenzwertsätze, wenn folgende Grenzwerte eistieren: lim f ( ) F lim g( ) G a a lim( f ( ) ± g( ) ) F ± G a f ( ) F lim für a lim ( f ( ) g ( ) ) F G g( ( ) G a Beispiele: lim ( 3 3 ) lim( ) lim lim lim ( )( )? lim( ( )( ) ) ( )( ) lim ( ( )( ) ) ( )( ) ( ) lim( ) 3 lim ( )( ) ( ) lim( ) lim 3 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 8 G 0

84 Aufgabe Stetigkeit f ( ) ( )( ) Bestimmen Sie die Intervalle für die f() stetig ist! Gebrohen rationale Funtionen sind in deren Definitionsbereih stetig Definitionsbereih: ( ;) (;) (; ) > In diesen Intervallen ist f() () auh stetig Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 83

85 Aufgabe Stetigkeit f ( ) ( )( ) Für welhe liegt eine stetig hebbare Definitionslüke vor? stetig hebbare Dfiii Definitionslüke lük liegt vor, wenn Definitionslüke durh algebraishe Umformungen beseitigt werden fiii kann Hier: Faktorisieren ii des Zählers 0 f ( ) ( )( ) ( )( ),5 0 D.h.: für kann die Defintionslüke stetig gehoben werden Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 84

86 Aufgabe Stetigkeit f ( ) Untersuhen Sie folgende Grenzwerte. lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) > > > > > 3 lim > lim > lim > f f ( ) f ( ) lim 4 lim > > lim 4 lim > > NE (niht eistent), ( )( ) weil kein endliher Grenzwert ( ) vorliegt f ( ) lim lim { > > ( )( ) > lim lim > >3 3 f ( ) f ( 3) 5 gebr.-rationale Funktionen sind stetig im Def.-Bereih 3 3 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 85

87 Asymptoten allgemein Asymptoten gebrohen rationaler Funktionen: Polynome, denen sih die gebr. rationale Funktion für ± annähert Vorgehen: Grenzwertbetrahtung für ± 3 Fälle: Grad Zählerpolynom < Grad Nennerpolynom Grenzwert strebt gegen gg 0 > Asymptote ist y0 Grad Zählerpolynom Grad Nennerpolynom Grenzwert strebt gegen Quotient aus höhstwertigen Koeffizienten Grad Zählerpolynom > Grad Nennerpolynom Polynomdivision durhführen bis der Grad des Restpolynoms kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms Asymptote ist das in der Polynomdivision berehnete Polynom (Restpolynom / Nennerpolynom strebt gegen 0) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 86

88 f Asymptoten: Beispiel ( ) Zählergrad, Nennergrad lim ( ) : ( ) ± lim ± lim ± Graph nähert sih asymptotish der Geraden a() trigonom. Fkt. Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 87

89 5. Transformationen Es soll die Transformation von Graphen im kartesishen Koordinatensystem betrahtet werden: Vershiebung eines Graphen in oder y Ahsenrihtung Strekung bzw. Stauhung eines Graphen bezüglih der oder y Rihtung Spiegelung eines Graphen an der oder y Ahse Ah Kehrwertbildung Polynome. Grades (als Vershiebung der Normalparabel) Anwendungen: Skizzieren von Funktionsgraphen, die durh die Transformation bekannter Funktionsgraphen entstehen (Verkettung) Bestimmung von Funktionsgleihungen zu transformierten Funktionsgraphen Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 88

90 Erklärung der Transformationen shwarz: Graph der Ausgangsfunktion f() rot bzw. blau: Graph der Zielfunktion i g() )b bzw. h() Vershiebungen: in y Rihtung entgegen der/in Rihtung entgegen der y Rihtung Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 89

91 Erklärung der Transformationen shwarz: Graph der Ausgangsfunktion f() rot bzw. blau: Graph der Zielfunktion i g() )b bzw. h() Strekungen/Stauhungen: in y Rihtung: in Rihtung Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 90

92 Erklärung der Transformationen shwarz: Graph der Ausgangsfunktion f() rot : Graph der Zielfunktion i g() Spiegelung: an Ahse: an y Ahse Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 9

93 Möglihe Anwendungen/Aufgabenstellungen g g. Wie lautet die mathematishe Funktionsgleihung der transformierten Zielfunktion? Gegeben/bekannt (z.b. durh Graphdarstellung oder Beobahtung): Funktionsgraphen der Ausgangs und Zielfunktion Funktionsgleihung der Ausgangsfunktion Gesuht: die Funktionsgleihung der Zielfunktion. Durh welhe Transformationen lässt sih der Graph der Zielfunktion aus dem Graph einer elementaren Ausgangsfunktion konstruieren? Gegeben/bekannt: Funktionsgraph der elementaren Ausgangsfunktion Funktionsgleihungen der Ausgangs und Zielfunktion ( Ähnlihkeiten zueinander) Gesuht: Funktionsgraph der Zielfunktion; auh interessant, um harakteristishe Verhalten der Funktion zu ermitteln: z.b. Nullstellen, Etremstellen, Definitions und Wertebereih, Bereihe in denen der Graph steigt/fällt Bi Beispiele il für elementare Funktionen: trigonometrishe i Funktionen, Potenzfunktion, Eponentialfunktion, Logarithmusfunktion Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 9

94 Vershiebung in y Rihtung h():vershiebung von f() um Δy Einheiten in y Rihtung jeder Funktionswert von f() wird um Δy erhöht: h()f()f()δy g():vershiebung b von f() um Einheiten entgegen der y Rihtung bzw. um Δy- Einheiten in y Rihtung jd jeder Funktionswert t von f() wird id um erniedrigt: g()f()-f()(-)f()δy ) ) ( ) ) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 93

95 Vershiebung in y Rihtung Übrigens: h() ist durh die Verkettung der Funktion f() mit der lineare Funktion h(f)fδyf fδy f entstanden: h()h(f())h f h(f()) h f Wie geht man shrittweise bei der Berehnung von h() vor? für alle Argumente f() berehnen (z.b.: -5 f(-5)) und alle f Werte als Argument in h(f) einsetzen ( ) (z.b.: f(-5) h()3 h(f(-5))3) alle Wertepaare (;h(f())) im Koordinatenkreuz darstellen ( ) (z.b. (-5;h(f(-5))3)) 5)) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 94

96 Erklärung: Verkettung von Funktionen h()h(f())h f Es wird für ein Argument f() berehnet und das Ergebnis in h(f) eingesetzt und damit h()h(f()) berehnet f() wird als innere Funktion bezeihnet h(f) wird als äußere Funktion bezeihnet (vergleihbar mit vershiedenen Zwiebelshihten) h() bezeihnet die verkettete Funktion: z.b. h()sin() ( ) ) f() bezeihnet die innere Funktion in Abhängigkeit von : z.b. f()sin() ( ) h(f) bezeihnet h in Abhängig von f: z.b. h(f)f oft wird id h(f) auh als Funktion von selbst dargestellt: z.b. h() Nahteil der Darstellung der äußeren Funktion als h() (anstelle von h(f)): Information, dass aus innerer Funktion f() gebildet wird, geht verloren Deshalb: HIER Verwendung von h(f) als Bezeihner für äußere Funktion Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 95

97 Strekung/Stauhung gin y Rihtung h(): Strekung von f() um Faktor in y Rihtung jeder Funktionswert von f() mit Faktor multipliziert h()f() ( h(f) f ) h()f() ( ) Faktor (Faktor>) g(): Stauhung um in y Rihtung jd jeder Funktionswert von f() wird id durh geteilt bzw. mit Faktor ½ multipliziert g()f()/f() ½ g() f() Faktor (0<Faktor<) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 96

98 Strekung/Stauhung gin y Rihtung Übrigens: h() ist durh die Verkettung der Funktion f() mit der linearen Funktion h(f)f Faktorf f f entstanden: h()h(f())h f h(f()) h f Wie geht man shrittweise bei der Berehnung von h() vor? für alle Argumente f() berehnen (z.b.: -5 f(-5)) und alle f Wert in h(f) einsetzen ( ) (z.b.: f h() h(f(-5))) alle Wertepaare (;h(f())) in Koordinatenkreuz dastellen ( ) (z.b. (-5;h(f(-5)))) 5)) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 97

99 Spiegelung gan Ahse Die Spiegelung an der Ahse hat starke Ähnlihkeit mit der Stauhung bzw. Strekung Wie groß ist der Faktor in diesem Fall? Der Faktor mit dem f() multipliziert wird ist in diesem Fall - Damit wird der Funktionswert bei der Verkettung von f() mit g(f) (g()g(f())) einfah negiert und dies entspriht einer Spiegelung an der Ahse: g(f)-f Wie können andere negative Faktoren als - interpretiert werden? als eine Kombination aus einer Stauhung/Strekung und einer Spiegelung an der Ahse. Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 98

100 y Rihtung: Kombination mehrerer Transformationen Auh Kombinationen aus Strekung/Stauhung, Spiegelung und Vershiebung sind möglih Wie lautet die allgemeine Verkettungsfunktion für diese Kombination von Transformationen? h()h(f()) mit h(f)m fb Beispiel: h(f)- f: f Interpretieren Sie!. Spiegelung an Ahse und Strekung um Faktor. Vershiebung um Δy in y Rihtung Hinweis: Reihenfolge von Shritt und niht vertaushbar! Warum? (ggf. ausprobieren) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 99

101 Zusammenfassung: Transformationen in y Rihtung f(): zu transformierende (elementare) Ausgangsfunktion h(): Zielfunktion i Alle (behandelten) Transformationen in y Rihtung sind mathematish eine Verkettung von h(f) und f(): h()h(f()) Vershiebungen, Strekungen/Stauhungen und Spiegelungen sind durh lineare Funktionsgleihungen h(f) darstellbar: h(f)m fb. m: m<0: Spiegelung an Ahse 0< m <: Stauhung in y Rihtung m >: Strekung in y Rihtung Reihenfolge von Shritt und niht vertaushbar!. b: b>0: Vershiebung in y Rihtung b<0: Vershiebung entgegen der y Rihtung Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 00

102 Transformationen in Rihtung Für die betrahteten Transformationen in y Rihtung werden die Ergebnisse (die y Werte y bzw. Funktionswerte) einer Ausgangsfunktion g g in eine lineare Funktion eingesetzt und damit das Ergebnis verändert bzw. transformiert. Mathematish ausgedrükt: Für die Transformationen in y Rihtung wird die Ausgangsfunktion mit einer linearen Transformationsfunktion verkettet: h()h(f()) Analog: Übertragen Für die Sie betrahteten diese Erkenntnisse Transformationen auf Tranformationen in Rihtung werden in Rihtung! die Argumente der Ausgangsfunktion f() durh das Einsetzen in eine lineare Funktion verändert bzw. transformiert. Mathematish ausgedrükt: Für die Transformationen in Rihtung wird eine lineare Transformationsfunktion tr() mit der Ausgangsfunktion verkettet: h()f(tr()) Nähste Shritte: Plausibilisieren dieser Aussagen für die Transformationen in Rihtung, Interpretation der Tranformationsfunktionen. Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 0

103 Vershiebung in Rihtung: gesuht h() 4 6 * Ahse gleih: Ausgangsfunktion f() und Zielfunktion h() Ahse für Zielfunktion h(*) vershoben Vershiebung der Ausgangsfunktion f() auf die Zielfunktion i h() um Δ in Rihtung: f() h() Aufgabenstellung : Gegeben/bekannt: Funktionsgraphen der Ausgangsfunktion f() und Zielfunktion h() Funktionsgleihung der Ausgangsfunktion f() Gesuht: Funktionsgleihung der Zielfunktion h() Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 0

104 Vershiebung in Rihtung: gesuht h() Analyse der Vershiebung eines Punkts der Zielfunktion h() auf die Ausgangsfunktion f(): (4;h(4)) (4-Δ;f(4-Δ))(;f()) Zielfunktion: Punkt (4;h(4)) wird um Δ entgegen der Rihtung vershoben (;f()) Durh die Vershiebung hat sih der y Wert niht verändert: h(4) f(tr(4)) f() Um h() berehnen zu können, wird von also Δ subtrahiert und der Wert in f() eingesetzt: h() f(tr()) f( Δ) Die Transformationsfunktion lautet damit: tr() Δ () tr() beshreibt die Transformation in Rihtung von der Zielfunktion h() auf die Ausgangsfunktion g f() Damit ergibt sih: h() f( Δ) f(tr()) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 03

105 Vershiebung in Rihtung: gesuht Graph von h() 4 6 * Ahse gleih: Ausgangsfunktion f() und Zielfunktion h() Ahse für Zielfunktion h(*) vershoben Vershiebung der Ausgangsfunktion f() auf die Zielfunktion i h() um Δ in Rihtung: f() h() Aufgabenstellung : Gegeben/bekannt: Funktionsgraph der Ausgangsfunktion f() Funktionsgleihungen der Ausgangsfunktion f() und Zielfunktion h() Gesuht: Funktionsgraph der Zielfunktion h() Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 04

106 Vershiebung in Rihtung: gesuht Graph von h() Jetzt anders herum: Analyse der Vershiebung eines Punkts der Ausgangsfunktion f() auf die Zielfunktion h(): () (;f()) (?;f())(?;h(?)) ((tr - ();h(tr - ())) Diese Vershiebung (f() h()) ist der vorher besprohenen Transformation (h() f()) entgegen gerihtet es wird id also in der umgekehrten kht Rihtung transformiert t also beshreibt hier die Umkehrfunktion tr - () die Transformation in Rihtung: Wie lautet tr()? tr() Δ > tr()δ tr - ()Δ Um die Vershiebung des Graphens zu erkennen, ist die Umkehrfunktion Umkehrfunktion der inneren Funktion von h()f(tr()) zu bilden: tr - ()Δ hier also eine Vershiebung um Δ in Rihtung Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 05

107 Zusammenfassung: Vorgehen Vershiebung in Rihtung Vershiebung in Rihtung: h()f(tr())f tr h(): Zielfunktion f(): Ausgangsfunktion tr(): Transformationsfunktion tr()-δ Wenn Vershiebung des Graph von f() auf h()f(tr()) gesuht: tr - () bilden: (tr()-δ umkehren: tr()δ tr - ()Δ) und Transformation ablesen: tr - ()Δ Vershiebung um Δ in Rihtung Wenn Funktionsgleihung i h()f(tr()) ()) gesuht: gegebene Vershiebung tr - ()Δ umkehren (ergibt tr()): (tr - ()Δ Δ umkehren: tr - ()-Δ tr()-δ) tr() in f() als innere Funktion einsetzen: h()f(tr()) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 06

108 Zusammenfassung: Erkenntnisse Vershiebung in Rihtung h(): Vershiebung von f() um Δ Einheiten in Rihtung Für die Transformationen in Rihtung wird eine lineare Transformationsfunktion tr() () mit der Ausgangsfunktion f() verkettet: h()f(tr()) tr(): Abbildung von t wird für mathematishe Darstellung von h()f(tr()) benötigt: tr()-δ tr - () (Umkehrfunktion von tr()): Abbildung tr Aus tr - () ist die Vershiebung der Ausgangsfunktion f(t) auf die Zielfunktion h() direkt ablesbar: tr - ()Δ Nähster Shritt: Betrahtung von tr - ()mδ Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 07

109 Weitere Transformationen in Rihtung Analog zu Transformationen in y Rihtung unter Einbeziehung der Erkenntnisse aus der Vershiebung in Rihtung: tr - ()mδ: Beshreibung von Stauhung (0<m<) m / Strekung (m>) in Rihtung Spiegelung an y Ahse m- bzw. Stauhung (0< m <) / Strekung ( m >) UND gleihzeitige g Spiegelung an der y Rihtung (m<0) tr() liefert mathematishe Funktion für h()f(tr()) bzw. (wenn h() gegeben): Ausgangsgleihung für Bildung von tr - () (zur Bestimmung graphisher Transformationen) Bilden Sie die Umkehrfunktion zu tr - ()mδ. tr - ()/mδ/m > tr - ()/m-δ/m(tr - ()-Δ)/m Bezeihner vertaushen: tr()(-δ)/m /m-δ/m Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 08

110 Aufgaben: Transformationen in Rihtung Ausgangsfunktion: f()sin() (shwarz) Bestimmen Sie jeweils tr - () und tr() für die Zielfunktion g()f(tr()). Stauhung um Faktor 3 in Rihtung (g()): tr - () /3 tr() 3 > g()f(3) sin(3) Stauhung um Faktor 3 in Rihtung und Spiegelung an y Ahse ( h()f(tr()) ): tr - () -/3 tr() -3 > h()f(-3) sin(-3) Stauhung um Faktor 3 in Rihtung, Spiegelung an y Ahse und Vershiebung um π/6 in Rihtung (i()): tr - () -/3 π/6 tr() -3 π/ > i()f(-3 3) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 09

111 Weitere Aufgabe Bestimmen Sie die Transformationsshritte, um den Graphen von f()sin() in den Graphen f()sin(-π/) zu transformieren und skizzieren i Sie f(): π tr π tr π f sin( tr( ) ), tr( ) 4 4 π tr ( ) 4 a) in Rihtung um Faktor stauhen (höhere Frequenz) b) an der y Ahse spiegeln ) / i Ri ht ) um π/4 in Rihtung vershieben Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 0

112 Polynome.Grades Beispiel y (-) 3 h()tr(f(tr())) tr()-; ; tr - () also: Vershiebung von f() um in -Rihtung tr(f)f3 also: Vershiebung um 3 in y Ri. Also: Vorgehen. binomishe Ergänzung. Vershiebung Normalparabel Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer

113 Weitere Transformationen durh Verkettung Bisher: Verkettung elementarer Funktion f() mit linearer Funktionen tr()mb Verkettung in beiden Reihenfolgen: tr ftr(f()): Transformation in y Rihtung f trf(tr()): Transformation in -Rihtung Jetzt: Verkettung elementarer Funktionen mit beliebigen Funktionen z.b.: Kehrwertbildung: tr()/ - Polynom. Grades (für den Sonderfall f(tr)tr ½ ): tr() -a Potenzfunktion (für den Sonderfall tr(f)f f ): f()log 0 (-) eigene Strategien entwikeln Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer

114 Kehrwertbildung Beispiel yg() / (also Kehrwert von yf()) 0<f() >g() <f()< >g()>0 0>f() - - <g() - ->f()>- -<g()<0 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 3

115 Kehrwertbildung Polynom f ( ) Anwendung auh Skizzen gebrohen rationaler Funktionen Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 4

116 Weitere verkettete Funktionen Beispiele: a) b) Hier verkettete Funktionen: tr g f ( ) g( ) ( log ( )) 0 ( ) f ( ) tr( ) ( tr) tr^ g( ) tr log ( ) ( ) 0 Vorgehen (niht allgemein gültig): g) Definitionsmenge untersuhen (Einshränkungen z.b. bei log, Wurzel, tan Funktion und bei Divisionen) Wertemenge der inneren Funktion liefert Werte, die in äußere Funktion eingesetzt werden > Wertemenge für Gesamtfunktion bestimmen Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 5

117 Weitere verkettete Funktionen f ( ) g( ) ( log ( )) 0 Beispiele: a) b) Vorgehen (niht allgemein gültig): Definitionsmenge untersuhen (Einshränkungen z.b. bei log, Wurzel, tan Funktion und bei Divisionen) Wertemenge der inneren Funktion liefert Werte, die in äußere Funktion eingesetzt werden > Wertemenge für Gesamtfunktion bestimmen Erst Funktionsverlauf innerer Funktion überlegen dann zur äußeren Funktion vorarbeiten oder umgekehrt Bi Bei Funktionsverknüpfung k durh ; ;*;/ */ getrennt t Funktionsverläufe der Einzelfunktionen überlegen und dann verknüpfen Ggf. überlegen, ob sih Funktion für spezielle Argumente vereinfaht (z.b. bei f() für sehr große ) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 6

118 Weitere verkettete Funktionen Beispiel: a) Vorgehen: f ( ) Definitionsmenge/Wertemenge untersuhen Wurzelfunktion (gerade Wurzel) liefert nur Werte 0 0 liefert Werte ; Wurzelfunktion nur für Werte 0 definiert (also f() niht für -<< def.) f()f( )0 Ggf. überlegen, ob sih Funktion für spezielle Argumente vereinfaht (z.b. bei f() für sehr große ) Für betragsmäßig ggroße -Argumente g gilt: ( ) f Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 7

119 Weitere verkettete Funktionen Beispiel: a) f ( ) Wurzelfunktion (gerade Wurzel) liefert nur Werte 0 f() niht für << definiert f()f( )0 Für betragsmäßig große Argumente gilt: f ( ) g gg g g Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 8

120 Weitere verkettete Funktionen Beispiel: b) g ( ) ( log ( ) ) 0 Quadratishe Funktion liefert nur Werte 0 ( ) log 0 ergibt sih durh Spiegelung von an y Ahse > ( ) nur für <0 definiert log 0 Negative Werte von Quadrierung positiv Quadrierung: für für log 0 ( ) < log 0 ( ) > log 0 ( ) log 0 ( ) (für <<0) werden durh : Funktionswert wird betragsm. kleiner : Funktionswert wird betragsm. größer Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 9

121 Weitere verkettete Funktionen Beispiel: b) g( ) ( log ( ) ) 0 Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 0

122 Ahsenskalierung Beispiel: yf()0 graphishen Darstellung: Wo ist das Problem? keine Skalierung möglih, in der der Funktionsgraph über großen Bereih dargestellt werden kann Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer

123 Ahsenskalierung: logarithmishe Darstellung Beispiel: yf()0 Auf dem tatsählihen ählih 0 5 y Wert (0 n ) wird die 0 Funktion log0y 3 0 angewendet und das 0 Ergebnis auf der y Ahse aufgetragen: zb: z.b.: log 0 00log 0 0 log log 0 0,7, Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer

124 logarithmishe Darstellung Bel oder Dezibel [Bel]: dekadisher Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs bzw. Energiegrößen db: Dezibel Bel0dB P P L log 0 B 0 log 0 db P P P gebräuhlihes Maß zur graphishen Darstellung von Verstärkungskennlinien (auh im Audio Bereih) Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hohshule Emden/Leer 3