Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

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1 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N Juli 6 Kapitel Abschnitt Lösungen Aufgaben Aufgaben Nutzungshinweise Über Lesezeichen (bzw. Inhalt) in der Navigationsspalte auf der linken Seite kann das Inhaltsverzeichnis zu den einzelnen Kapiteln aufgerufen werden. Es dient der schnellen Navigation innerhalb der Kapitel und Abschnitte und sollte eingeschaltet werden und bleiben. Mit dem + -Zeichen (oder ähnlichen Symbolen in Abhängigkeit vom Dokumentenbetrachter) lassen sich die Kapitel, Abschnitte und die Unterabschnitte sowie die Lösungen dazu einblenden und auswählen. Auf jeder Seite befindet sich oben eine Navigationsleiste (Muster siehe oben), über die mit Symbolen wie innerhalb der jeweiligen Kapitel - die Aufgabenseiten vor oder zurück geblättert oder - zwischen Aufgaben- und Lösungsseiten hin und her gesprungen werden kann. Im Einzelnen: - zur nächsten Aufgabenseite - zur vorigen Aufgabenseite - von der Lösungsseite wieder zur Aufgabenseite - von der Aufgabenseite zur Lösungsseite Ein ausführlicher Lösungsweg (falls vorhanden) ist über den Link Lösungsweg von der Lösungsseite erreichbar. Diese Aufgabensammlung wird weiter vervollkommnet, was sowohl die Anzahl der Aufgaben als auch die Lösungswege betrifft. Trotz großer Sorgfalt sind Fehler nicht zu vermeiden. Für diesbezügliche und auch andere kritische Hinweise sind die Autoren weiterhin sehr dankbar. Kontakte: Links: wolfgang.eichholz at hs-wismar.de eberhard.vilkner at hs-wismar.de Carl Hanser Verlag: - Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik - E-Book Alle Rechte dieser Aufgabensammlung liegen bei den Autoren. Letzte Aktualisierung: Juli 6 Startseite

2 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N Februar 5 Kapitel Abschnitt. Lösungen Aufgaben Grundlagen: Mengen.- Aufgabe Gegeben seien die Mengen A {,, 5}, B {, 7}. Ermitteln Sie: A B, A B, A \ B, B \ A und B..- Aufgabe Gegeben seien die Mengen I [, ], I (, 5]. Ermitteln Sie: I I, I I, I \ I, I \ I und I..- Aufgabe Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke soweit möglich: a) A (B A) b) (A B) c) (A B) d) A [(A B) B] e) A (B B) f) (A B) (B C).- Aufgabe Überprüfen Sie, welche der folgenden Ausdrücke gleich sind: a) A ( B \ C )? ( A B) \ ( A C) b) A \ ( B C)? ( A \ B ) ( A \ C ) c) A \ ( B C)? ( A \ B ) ( A \ C ).-5 Aufgabe Schreiben Sie als Ungleichung: a) (, 7) b) (, 5) c) [, ] d) [, ) e) [ 8, ] f) ( 8, ).-6 Aufgabe Schreiben Sie in Intervallschreibweise: a) 5 b) < 5 c) d) 5 < < 7 e) < < f) < 8.-7 Aufgabe Vervollständigen Sie folgende Tabellen: a) A B A B A B A \ B B \ A {,, c, d } {, y, z } { a, b, c, d } { a, b, d } {,, d, e } {, e, m, r, s } {,, 6,... } {,, 5,... } b) I I I I I I I \ I I \ I (, 8] (, ) (, 6) [, ) [, 8] [, ] [8, 9] (, 5] Kapitel, Seite von

3 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Lösungen Aufgaben Grundlagen: Aussagenlogik.- Aufgabe Beweisen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel die Richtigkeit folgender Aussage: ( p q) p.- Aufgabe Beweisen Sie die die Richtigkeit der DE MORGANschen Regel: ( p q) ( p q).- Aufgabe Beweisen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel die Richtigkeit folgender Aussage: [ p ( q r)] [( p q) ( p r)] Kapitel, Seite von

4 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Lösungen Aufgaben Grundlagen: Zahlensysteme.- Aufgabe Stellen Sie folgende Dualzahlen im Dezimalsystem dar: a) a = b) b =, c) c =.- Aufgabe Stellen Sie folgende Dezimalzahlen im Dualsystem dar: a) a = 5 b) b =,5 c) c =,5.- Aufgabe Stellen Sie folgende Dezimalzahlen im Oktalsystem dar: a) a = b) b = 5 c) c = 5.- Aufgabe Stellen Sie folgende Dezimalzahlen im Headezimalsystem dar: a) a = b) b = 5 c) c = 5 Kapitel, Seite von

5 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.5 Lösungen Aufgaben Grundlagen: Reelle Zahlen.5- Aufgabe Stellen Sie mit Hilfe des Summen- bzw. Produktzeichens dar: a) + b) c) Aufgabe Berechnen Sie: a) ( + ) ( + 5) b) : + c) : ( + ) d) g) j) ( ) e) ( a b) h) ( a b) k) ( ).5- Aufgabe Schreiben Sie ausführlich und bestimmen Sie: a) i b) a i 7 d) a k g) i i f) (a + b)( c + d ) ( a b) i) (a + b)( a b) ( a b) l) i n ( a b) c) a i, a i = i + i n e) f) i k m h) i, i = k i 5 i) k.5- Aufgabe Multiplizieren Sie: a) (, +,7y 5,z),a b),5a (u a + w r) c) (a aby)(5b ay ).5-5 Aufgabe Berechnen Sie: ( 7 + ) : ( ) k.5-6 Aufgabe Klammern Sie alle gemeinsamen Faktoren aus: a) a +6ab b) [( y)a + ( y)b] ( y)c c) 7a a + 9a.5-7 Aufgabe Lösen Sie die Klammern auf: a) [a (5b c)] b b) {[5z ( y)] [ (z + )]} Kapitel, Seite von

6 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.5 Lösungen Aufgaben Grundlagen: Reelle Zahlen.5-8 Aufgabe Schreiben Sie als Produkt: a) + + b) y + y c) u 9v.5-9 Aufgabe Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a a a) b) 9 b a ( b a) c).5- Aufgabe Ein Unternehmen produziert drei verschieden Typen eines Fernsehgerätes. Die nachfolgende Tabelle gibt monatsweise die Umsätze in Mio. für jeden Typ in einem bestimmten Kalenderjahr an. Monat Typ Typ Typ u ij sei der Umsatz im i-ten Monat für den Gerätetyp j. Stellen Sie mit Hilfe des Summenzeichens dar: a) die monatlichen Umsätze U i, i =,,, b) die Jahresumsätze je Typ U j, j =,, c) den Gesamtumsatz im Jahr U Kapitel, Seite 5 von

7 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.6 Lösungen Aufgaben Grundlagen: Kombinatorik.6- Aufgabe An einem m-lauf nehmen 8 Läufer teil. Wie viele verschiedene Zieleinläufe sind theoretisch möglich?.6- Aufgabe Wie viele Permutationen der Buchstaben a, b, c, d, e und f gibt es, die mit dc beginnen? Hinweis: Jeder Buchstabe wird nur einmal benutzt..6- Aufgabe Wie viele Tippmöglichkeiten gibt es beim Spiel 6 aus 9?.6- Aufgabe Wie viele Tippmöglichkeiten gibt es beim Spiel 6 aus 9, die zu einem Dreier führen?.6-5 Aufgabe Geben Sie die 56. Permutation von den Elementen a, b, c, d, e, f in leikographischer Ordnung an. Hinweis: abcdef ist die erste, abcdfe die zweite und fedcba ist die letzte (6! = 7-ste) Permutation..6-6 Aufgabe Ein Student möchte einen der beiden Aktenkoffer A oder B kaufen. Aktenkoffer A ist mit einem sechsstelligen Zahlenschloss ausgestattet, während Aktenkoffer B mit zwei dreistelligen Zahlenschlössern ausgestattet ist. Die Sicherungscodes können beliebig festgelegt werden, wobei für jede Stelle die Ziffern bis 9 zulässig sind. a) Wie viele Sicherungscodes sind für den Aktenkoffer A möglich? b) Bietet der Aktenkoffer B eine höhere Sicherheit?.6-7 Aufgabe Auf wie viele verschiedene Möglichkeiten lassen sich die Karten beim Skatspiel verteilen?.6-8 Aufgabe Ein Wirt verspricht seinen sieben Stammgästen an jedem Abend eine Runde Freibier zu spendieren, an dem die Gäste eine neue Sitzordnung einnehmen können. Wie viele Gläser Bier müsste der Wirt kostenlos ausschenken? Kapitel, Seite 6 von

8 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.6 Lösungen Aufgaben Grundlagen: Kombinatorik.6-9 Aufgabe In der Heiligen-Geist Kirche Wismar gibt es im vorderen Teil der Kirche an der rechten Seitenwand das DEOGRACIAS-Fresko, das aus dem Anfang des. Jahrhunderts stammt und unter mehreren Kalkübermalungen liegend erst 968 freigelegt wurde: Der Ausspruch DEOGRACIAS (= Gott sei Dank ) kann vom mittigen D aus in alle Richtungen gehend, horizontal und vertikal meist getreppt gelesen werden. Auf wie viel verschiedene Möglichkeiten kann der Ausspruch DEOGRACIAS gelesen werden? Hinweis: Beginnt man mit dem D im Zentrum und geht dann in eines der vier Viertel, bleibt man in diesem Viertel. Das Buchstabenviertel nach unten rechts mit einer Lösungsmöglichkeit (rot: DEOGRACIAS): D E O G R A E O G R A C O G R A C I G R A C I A R A C I A S Kapitel, Seite 7 von

9 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.7 Lösungen Aufgaben Grundlagen: Potenzen, Wurzeln, Logarithmen.7- Aufgabe Vereinfachen Sie, soweit es möglich ist: a) d) 6 a b) a a c) a a a b e) u u.7- Aufgabe Vereinfachen Sie: a) rc l T r l T b) c rc l T rc l T r l T.7- Aufgabe Welche der folgenden Ausdrücke sind gleich? a) und a b) a a und a a a c) a und a a.7- Aufgabe Berechnen Sie ohne Taschenrechner: a) 5 5 b) c) Aufgabe Vereinfachen Sie, soweit wie möglich: a) lg b) ln ( y ) c) lg ( y ) d) ln a b e) ln( a b) f) lg (a b) Kapitel, Seite 8 von

10 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.8 Lösungen Aufgaben Grundlagen: Gleichungen, Ungleichungen mit einer Variablen.8- Aufgabe Bestimmen Sie und führen Sie eine Probe durch: a) (8 69) + (6 5) + ( 5) = b) ( )( 5) ( ) = ( ) c) ( + ) ( + ) = d) e) 9 7 f) 9 g) 7.8- Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung: a) = b) =.8- Aufgabe Bestimmen Sie : a) 7 6 b) Aufgabe Nach wie vielen Jahren hat sich ein Kapital von bei jährlicher Verzinsung verdoppelt, falls der Zinssatz,5 % beträgt?.8-5 Aufgabe Bestimmen Sie : a) = 5 b) = Kapitel, Seite 9 von

11 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.8 Lösungen Aufgaben Grundlagen: Gleichungen, Ungleichungen mit einer Variablen.8-6 Aufgabe Die Kosten, die für Werbung in einem Jahr ausgegeben werden können, betragen und sollen proportional zum Umsatz auf drei Zweigstellen verteilt werden. Wie viel Euro sind den drei Zweigstellen zuzuordnen, wenn die Zweigstelle A 8, die Zweigstelle B 88 und die Zweigstelle C 68 6 Umsatz erzielte?.8-7 Aufgabe Ein Bagger benötigt zum Ausheben einer Grube Stunden, ein anderer Bagger mit einer kleineren Schaufel benötigt das Eineinhalbfache an Zeit dafür. Wie lange dauert das Ausheben der Grube, wenn beide Bagger gleichzeitig arbeiten?.8-8 Aufgabe Ein Gewinn von 9 5 soll an vier Gesellschafter A, B, C und D folgendermaßen verteilt werden: B erhält das Doppelte von A, C erhält soviel wie A und B zusammen, D erhält das,5-fache von C gemindert um. Wie viel Euro erhält jeder Gesellschafter?.8-9 Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen: a) + < b) c) ( 5)( ) ( ) 5 d) e) f) g) h) i) + 9 <.8- Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Betragsungleichungen: a) 7 b) c) 9 5 d) e) f) 5 Kapitel, Seite von

12 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N Februar 5 Kapitel Abschnitt.9 Lösungen Aufgaben Grundlagen: Lineare geometrische Zusammenhänge.9- Aufgabe Wie lautet die Gleichung der Geraden, die mit der -Achse zusammenfällt?.9- Aufgabe Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte P (, ) und P (, ) verläuft?.9- Aufgabe Ermitteln Sie die Achsenabschnittsform der folgenden Geradengleichung: y.9- Aufgabe Wie lautet die Geradengleichung der Winkelhalbierenden durch den I. und III. Quadranten?.9-5 Aufgabe Welchen Winkel hat das Steigungsdreieck einer Geraden, die eine Steigung von % beschreibt?.9-6 Aufgabe Was bedeutet im Straßenverkehr 5 % Gefälle? Geben Sie den Winkel des Steigungsdreiecks an..9-7 Aufgabe In einem rechtwinkligen Dreieck mit a und c 5 ist der Winkel α gesucht..9-8 Aufgabe Berechnen Sie: a) sin b) cos c) tan d) cot e) sin f) cot.9-9 Aufgabe Ermitteln Sie aus der Gleichung sin, 5. Geben Sie die Lösung in Grad und Radiant mit der zugehörigen Periode an. Kapitel, Seite von

13 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Lösungen Aufgaben Grundlagen: Komplee Zahlen.- Aufgabe Addieren und subtrahieren Sie folgende komplee Zahlen: z 5 5i, z i.- Aufgabe Multiplizieren und dividieren Sie folgende komplee Zahlen: z 5i, z 7i.- Aufgabe Berechnen Sie für die kompleen Zahlen a) z z z b) z i, z i und z i : z z z c) z z d) z e) z f) z g) i Kapitel, Seite von

14 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N Mai 6 Kapitel Abschnitt. Aufgaben Lösungen.- A B {} A B {,, 5, 7 } A \ B {, 5 } B \ A { 7 } B {, 5 }.- I I (, ] I I [, 5] I \ I [, ] (, 5, I \ I ] I ( ] (5, ).- a) A B b) c) A B d) A B e) A B f) A B C.- a) b) = c) =.-5 a) 7 b) 5 c) d) e) 8 f) 8.-6 a) [, 5] b) (, 5] c) [, ) d) (5, 7) e) R f) (, 8).-7 a) A B A B A B A \ B B \ A {,, c, d } {, y, z } {,, c, d,, y, z } Ø {,, c, d } B { a, b, c, d } { a, b, d } { a, b, c, d } { a, b, d } { c } Ø {,, d, e } {, e, m, r, s } {,, d, e, m, r, s } {, e } {, d } {m, r, s } {,, 6,... } {,, 5,... } {,,,, 5,... } Ø A B b) I I I I I I I \ I I \ I (, 8] (, ) (, 8] (, ) [, 8] (, ] (, 6) [, ) R [, 6) (, ) [6, ) [, 8] [, ] [, 8] {} (, 8] [, ) [8, 9] (, 5] (, 5] [8, 9] Ø I I Kapitel, Seite von

15 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben Lösungen.- p q p q ( p q) p W W W W W F F W F W F W F F F W.- p q p q p q p q p q ( p q) ( p q) W W F F W F F W W F F W F W W W F W W F F W W W F F W W F W W W.- p q r q r u = p ( q r) p q p r v = ( p q) ( p r) u v W W W W W W W W W W W F F W W W W W W F W W W W W W W W F F F W W W W W F W W W W W W W W F W F F F W F F W F F W F F F W F W F F F F F F F F W Kapitel, Seite von

16 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben Lösungen.- a) 5 b),5 c).- a) b), c),.- a) b) 75 c).- a) C b) 7D c) D Kapitel, Seite 5 von

17 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N Februar 5 Kapitel Abschnitt.5 Aufgaben Lösungen.5- a) i 5 k b) k k c) i 8 i 8 m7 n 8, f) ac + ad + bc + bd.5- a) = 5 b) c) d) 96 e) g) a ab b h) a ab b i) b j) a a b ab k) a a b ab b l) a a b 6a b ab b. Binomische Formel. Binomische Formel a. Binomische Formel b a a b ab b.5- a) 55 b) 7 a c) 66 d) 7 a n e) f) n! m g) h) i) a),a,7ay, 5az b) a u,5a,5a w r c) 5 ab 8a y 5ab y a by a) a( 8b) b) ( y)( a b c) c) 7a( a 7a).5-7 a) 9ab b 6bc b) 6 6y 9z Kapitel, Seite 6 von

18 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.5 Aufgaben Lösungen.5-8 a) ( ) b) ( y) c) ( u v)(u v) 7a.5-9 a) 6 b a b) ( b a) c).5- a) U i u ij, i,,..., j b) U j u ij, j,, i u ij i j c) U Kapitel, Seite 7 von

19 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben Lösungen.6- P 8! 8.6- P! (6) 9.6- K W c a e d f b.6-6 a) A: V 6) 6 ( W b) B: V ( ) W Versuche pro Schloss, also bei B ma. ; bei A maimal Versuche. Die Koffer vom Typ B sind nicht sicherer, die Koffer vom Typ A sind wesentlich sicherer..6-7 K () () () () K K K! !!!! P 7 7 7! 5 8 Hinweis: Es gibt 7! verschiedene Sitzanordnungen (Permutationen ohne Wiederholung), für jede wären 7 Gläser Bier nötig Möglichkeiten Lösungsweg Kapitel, Seite 8 von

20 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel, Seite 9 von Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben.6-9 Lösungsweg a) Beginnt man mit dem D im Zentrum und geht dann in eines der vier Viertel, bleibt man in diesem Viertel: Faktor b) Innerhalb eines Viertels addiert sich die Anzahl der Möglichkeiten wie im PASCALschen Dreieck. Das Ziel S liegt in der Zeile für n = 9 an der Position für k = 5, k n : Faktor 6 (Kombinationen ohne Wiederholung) c) Das Produkt ergibt: Hinweis: Dreht man die folgende Tabelle um 5 in Uhrzeigerrichtung, erkennt man das PASCALsche Dreieck mit der Spitze im Buchstaben D. D : = E : = O : = G : = R : = A : = 5 5 E : = O : = G : = R : = A : 5 = 5 C : 6 = 5 6 O : = G : = R : 6 = A : = 5 C : 5 = 6 I : = 5 7 G : = R : = A : = 5 C : = 6 I : 5 = 7 A : 56 = 5 8 R : = A : 5 = 5 C : 5 = 6 I : 5 = 7 A : 7 = 8 S : 6 = 5 9 Als Lösung ergeben sich Möglichkeiten.

21 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.7 Aufgaben Lösungen.7- a) d) 9 a b) a c) a a b e) u.7- a) r c l T b).7- a) = b) c) =.7- a) 5 b) c).7-5 a) lg b) (ln ln y) c) lg( y ) d) ln( a b ) e) ln( a b) f) lg lg a lgb Kapitel, Seite von

22 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.8 Aufgaben Lösungen.8- a) 7 b) c) Ø d) e) 8 f) g) 5.8- a), 6 b) /, /.8- a) 5 b) Ø.8- n 5, 77 ln5.8-5 a) 5, 6 b) ln Kapitel, Seite von

23 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N Februar 5 Kapitel Abschnitt.8 Aufgaben Lösungen.8-6 A: 7 9,7; B: 5,95; C: 5 9, Stunden.8-8 A:, B:, C:, D: a) b) (, ) (, ) Lösungsweg c) Lösungsweg d) (, 9) (, ) Lösungsweg e) und f) und g) und h) keine Lösung i), (, ) Lösungsweg 5.8- a), [, ) Lösungsweg b) und c) d) e) [, ] (, ) Lösungsweg f), (9, ) 5 Lösungsweg Kapitel, Seite von

24 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.8 Aufgaben.8-9 b) Lösungsweg. Fall: >. Fall: < V (, ) V (, ) Ungl.: ( ) Ungl.: ( ) E (, ) E (,) L V E (, ) L V E (, ) L : L : Hinweis: Man beachte immer die Voraussetzung des Falles! L L L (, ) (, ) R \ [,] Kapitel, Seite von

25 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.8 Aufgaben.8-9 c) Lösungsweg ( 5)( ) ( ). Fall: = : V {} Einsetzen in der Ungleichung: L {} L :. Fall: V (, ) Ungl.: ( 5)( ) ( ) : ( ) 5 9 E (, ] L V E (, ) (, ] (, ] L : (, ]. Fall: V (, ) Ungl.: ( 5)( ) ( ) : ( ) 5 9 E [, ) L V E (, ) [, ) Ø L : Ø Hinweis: Man beachte immer die Voraussetzung des Falles! L L L L [; ] oder Kapitel, Seite von

26 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.8 Aufgaben.8-9 d) Lösungsweg,. Fall:. Fall: Ungl.: ( ) Ungl.: ( ) ( ) L : L : 9 Hinweis: Man beachte immer die Voraussetzung des Falles! L L L (, 9) (, ) R \ [ 9, ] Kapitel, Seite 5 von

27 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.8 Aufgaben.8-9 i) Lösungsweg + 9 < : ( ) / 6 6 also ( )( ). Fall: und / und /, also:, L V E (, ). Fall: und / und /, also: /, L V E, Hinweis: Man beachte immer die Voraussetzung des Falles! L L L, (, ) R \, Kapitel, Seite 6 von

28 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.8 Aufgaben.8- a) Lösungsweg 7. Fall: 7. Fall: Ungl.: ( 7 ) Ungl.: ( 7 ) L V E, L V E [, ) 5 L : L : Hinweis: Man beachte immer die Voraussetzung des Falles! 5 5 L L L, [, ) R \, Kapitel, Seite 7 von

29 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.8 Aufgaben.8- e) Lösungsweg,. Fall:. Fall: Ungl.: Ungl.:.:.:.:.: Also:,, (, ) Ø ( ) L V E, L, L (, ) L : L : L : Hinweis: Man beachte immer die Voraussetzung des Falles! L L L L [, ] (, ) Kapitel, Seite 8 von

30 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.8 Aufgaben.8- f) Lösungsweg 5. Fall: 5 und 5 und Also: 5 Ungl.: 5 ( ) 9 L (9, ). Fall: 5 und 5 und Also: 5 Ungl.: ( 5) 5 5 L, 5. Fall: 5 und, Widerspruch!. Fall: 5 und 5 und Also: Ungl.: ( 5) ( ) 9 9 L (, ) Hinweis: Man beachte immer die Voraussetzung des Falles! L L L L, (9, ) = R \ 5, 9 5 Kapitel, Seite 9 von

31 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N Februar 5 Kapitel Abschnitt.9 Aufgaben Lösungen.9- y = + =.9- y oder y.9- y also a =, b =.9- y =.9-5 tan, also tan, also, sin, also, a),8 b),5 c),557 d),6 e),559 f),8.9-9 k 6, 5 k 6 mit k N,5 k π,,68 k π mit k N Kapitel, Seite von

32 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben Lösungen.- z 8 + 7i z + i Lösungsweg z z.- z z 9 9 i z z i Lösungsweg z 8.- a) z z z 5 i b) z z i c) z 8 z d) z,67,896 i, z,67,896 i Lösungsweg,5,5 e) z,9 i, z,i, z,99,5 i f) z,7,5 i, z,5,7 i, z,7,5 i, z,5,7 i g) i,,866,5 i,,866,5 i i i i Kapitel, Seite von

33 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- Lösungsweg ( + i) + (5 + 5i) = ( + 5) + ( + 5) i = 8 + 7i (5 + 5i) ( + i) = (5 ) + (5 ) i = + i.- Lösungsweg ( 5i) ( 7i) ( 5 7) ( 7 5)i 9 9i ( 5i) ( 5i)( 7i) 6 i 5i 5i ( 7i) ( 7i)( 7i) 9 i i 9i i i d) Lösungsweg 56, z i cos i sin 8,5,67,896 i 56, z i cos( 8 ) i sin 8,5,67,896 i Kapitel, Seite von

34 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Lösungen Aufgaben Lineare Algebra und Optimierung: Determinanten.- Aufgabe Lösen Sie mit Hilfe der CRAMERschen Regel die folgenden Gleichungssysteme: a) b) c) 7 = + 6 = + 6 = 6 + = + = 6 + =.- Aufgabe Berechnen Sie die folgende Determinante sowohl mit der SARRUSschen Regel, als auch mit dem LAP- LACEschen Entwicklungssatz: D =.- Aufgabe Berechnen Sie folgende Determinanten: E = 5 F = Aufgabe Lösen Sie mit Hilfe der CRAMERschen Regel folgende Gleichungssysteme: a) b) c) + 6 = = 9 + = = = 7 + = = = 7 + = 5.-5 Aufgabe Berechnen Sie die folgende Determinante: G =.-6 Aufgabe Für welche Werte von hat die folgende Determinante den Wert : ( ) H = ( ) ( ) Kapitel, Seite von 6

35 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Lösungen Aufgaben Lineare Algebra und Optimierung: Determinanten.-7 Aufgabe Berechnen Sie die folgenden Determinanten durch Reduzieren auf einfachere Determinanten:,,7,,,,5,6,,5 I =,5,, K =,,6,,,,5,8,,.-8 Aufgabe Gegeben sind die folgenden Vektoren: a, a, a mit t R t Für welche Werte t sind die Vektoren a, a, a linear anhängig und für welche Werte sind sie linear unabhängig?.-9 Aufgabe Untersuchen Sie folgende Gleichungssysteme auf eindeutige Lösung, lineare Abhängigkeit oder Widerspruch. Es ist anzugeben: - im Falle der eindeutigen Lösbarkeit die Lösung; - im Falle der linearen Abhängigkeit, welche Gleichungen voneinander abhängig sind; - im Falle des Widerspruchs, welche Gleichungen im Widerspruch zueinander stehen. a) b) c) + 6y z = 77,7 +,6y +,5z =,,7 +,6y +,5z =, 9 y z =, +,8y + 7,8z =,, +,8y + 7,8z =, 6 + 8y z = 55, +,6y +,z =,8, +,6y,z =,8.- Aufgabe Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mit Hilfe der CRAMERschen Regel: + + = a + 5 = b = c Kapitel, Seite von 6

36 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel, Seite von 6 Kapitel Abschnitt. Lösungen Aufgaben Lineare Algebra und Optimierung: Matrizen.- Aufgabe Berechen Sie D = 6 A B + C mit 5 A, 5 B und 5 C.- Aufgabe Berechnen Sie M M M M mit M, 5 M und M. Machen sie alle möglichen Proben..- Aufgabe Bilden Sie C = T T T ) ( A B B A mit A und B.- Aufgabe Ermitteln Sie die inversen Matrizen zu: 5 A und 5 B.-5 Aufgabe Prüfen Sie, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv definit sind und geben Sie die quadratischen Formen der Matrizen an: A = B = C = Hinweis: Siehe zu positiv definiten Matrizen und quadratischen Formen Kapitel 6, Abschnitt 6.5.

37 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Lösungen Aufgaben Lineare Algebra und Optimierung: Matrizen.-6 Aufgabe Ein Betrieb stellt aus drei Rohstoffen vier Zwischenprodukte her, aus denen dann drei Endprodukte gefertigt werden. Der Materialeinsatz ist den folgenden Tabellen zu entnehmen: H H H H R R R E E E H H H H a) Wie lautet die Matri G für den Gesamtverbrauch der Rohstoffe? b) Wie viel Rohstoffe sind nötig, damit 5 ME von E, ME von E und ME von E hergestellt werden können?.-7 Aufgabe Berechnen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren zu folgenden Matrizen: A = B = C = D = Kapitel, Seite von 6

38 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Lösungen Aufgaben Lineare Algebra und Optimierung: Lineare Gleichungssysteme.- Aufgabe Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe der Basistransformation: + + = 8 + = + + = + =.- Aufgabe Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe der Basistransformation: + + = a + 5 = b = c.- Aufgabe Anna ist dreimal so alt wie Hanna war, als Anna doppelt so alt war wie Hanna heute ist. Hanna ist Jahre jünger als Anna. Wie alt sind Anna und Hanna?.- Aufgabe Lösen Sie folgende Gleichungssysteme mit Hilfe der Basistransformation: + = + = 7 + =.-5 Aufgabe Lösen Sie folgende Gleichungssysteme mit Hilfe der Basistransformation: + = + + = + =.-6 Aufgabe Lösen Sie folgende Gleichungssysteme mit Hilfe der Basistransformation: + + = + = = + =.-7 Aufgabe Lösen Sie folgende Gleichungssysteme mit Hilfe der Basistransformation: = = = = = 5 Kapitel, Seite 5 von 6

39 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Lösungen Aufgaben Lineare Algebra und Optimierung: Lineare Gleichungssysteme.-8 Aufgabe Für die Herstellung zweier Erzeugnisse, die beide aus den Rohstoffen R und R hergestellt werden können, stehen 6 Einheiten vom ersten Rohstoff und 5 Einheiten vom zweiten Rohstoff zur Verfügung. Für das erste Erzeugnis werden Einheiten des ersten und 5 Einheiten des zweiten Rohstoffes benötigt, für das zweite Erzeugnis 65 Einheiten des ersten Rohstoffes und Einheiten des zweiten. Wie viele Einheiten dieser zwei Erzeugnisse sind herzustellen, wenn die vorhandenen Rohstoffe voll verbraucht werden sollen?.-9 Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung der folgenden homogenen Gleichungssysteme. Gibt es nichtnegative ganzzahlige Lösungen? a) = + = + = b) = + + = + 6 = =.- Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Gleichungssystems. + + = = + + =.- Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden Gleichungssystems und geben Sie sie in Vektorform an. Ermitteln Sie mindestens eine ganzzahlige Lösung, die keine negativen Komponenten enthält. a) = = = 6 b) = + + = = = 7 c) = = = Kapitel, Seite 6 von 6

40 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N November 5 Kapitel Abschnitt. Lösungen Aufgaben Lineare Algebra und Optimierung: Lineare Gleichungssysteme.- Aufgabe Es sollen Personen mit je einem Buch ausgezeichnet werden. Es stehen 6 zum Kauf von Büchern im Wert von 8, und zur Verfügung. Welche Möglichkeiten für den Kauf dieser Bücher gibt es, wenn genau 6 ausgegeben werden sollen? a) Stellen Sie das lineare Gleichungssystem auf. b) Welche Aussage über den zu erwartenden Freiheitsgrad f können Sie treffen? c) Lösen Sie das Gleichungssystem, und geben Sie die allgemeine Lösung an. d) Geben Sie alle sinnvollen Lösungen an..- Aufgabe Es ist s so zu bestimmen, dass die Lösbarkeitsbedingung erfüllt ist, und die Lösung ist dann anzugeben: + + = + = = s.- Aufgabe Gegeben ist das folgende Gleichungssystem: + + = + = = 8 a) Schreiben Sie das Gleichungssystem in Matrizenform. b) Lösen Sie das Gleichungssystem mit Hilfe der inversen Matri der Koeffizientenmatri..-5 Aufgabe Bestimmen Sie die Inverse der folgenden Matri: A Machen Sie die Probe durch eine der folgenden Matrizenmultiplikationen: A A A A E..-6 Aufgabe Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des folgenden Gleichungssystems: = = = = Kapitel, Seite 7 von 6

41 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N November 5 Kapitel Abschnitt. Lösungen Aufgaben Lineare Algebra und Optimierung: Matrizengleichungen.- Aufgabe Bestimmen Sie die Matri X aus den folgenden Matrizengleichungen: a) XA + B X = b) A XA + C = XB.- Aufgabe Ermitteln Sie den Vektor aus der folgenden Matrizengleichung: + Ab w = c A = 7, b = (,, ) T, c T = (9, ), w.- Aufgabe Berechnen Sie die Matri X aus der folgenden Matrizengleichung: AX + B = C + BX 7 A = 5, B =, C = Kapitel, Seite 8 von 6

42 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.5 Lösungen Aufgaben Lineare Algebra und Optimierung: Lineare Ungleichungssysteme.5- Aufgabe Gegeben ist das folgende Ungleichungssystem: + + Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch alle Punkte P(, ) die alle Ungleichungen erfüllen..5- Aufgabe Auf Maschinen werden verschiedene Erzeugnisse bearbeitet. Für zwei Erzeugnissen E und E ist ihre Bearbeitung auf zwei bzw. drei Maschinen erforderlich. Maschine Maschinenzeit je Erzeugnis (Std./Stck.) Maschinenzeitfonds (Std.) E E 8 a) Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch alle Lösungsvarianten, so dass die Maschinenzeitfonds nicht überschritten werden. b) Bei welcher Lösungsvariante ist die Summe der hergestellten Erzeugnisse am größten? Kapitel, Seite 9 von 6

43 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.6 Lösungen Aufgaben Lineare Algebra und Optimierung: Lineare Optimierung.6- Aufgabe Ein Sekthändler kauft von einem Großhändler trockenen und halbtrockenen Sekt. Dabei muss er Mindestabnahmemengen, die maimale Lagerkapazität sowie den Einkaufspreis beachten. Der Anteil von halbtrockenem Sekt an der Gesamteinkaufsmenge soll höchstens % betragen. trockener Sekt halbtrockener Sekt Mindestabnahmemenge in l Ma. Lagerkapazität in l 6 5 Gewinn je l in,5 Wie viel Liter soll der Sekthändler von jeder Sorte bestellen, damit der Gewinn maimal wird? Erstellen Sie ein mathematisches Modell und lösen Sie die Aufgabe nach der Modellierung grafisch und rechnerisch. Geben Sie die Einkaufsmengen und den erzielten Gewinn an..6- Aufgabe Es ist das folgende lineare Optimierungsproblem grafisch und rechnerisch zu lösen: Z = 5 + ma ,.6- Aufgabe Es ist das folgende LOP mit drei unterschiedlichen Zielfunktionen zu lösen: Z = ma Z = ma Z = + 6 ma + + beliebig.6- Aufgabe Ein Unternehmen produziert drei verschiedene Geräte. Beim Kauf dieser Geräte erzielt der Unternehmer für das Gerät G GE, für das Gerät G GE und für das Gerät G 5 GE Gewinn. In der Produktionsstätte können höchstens 6 Geräte hergestellt werden. Außerdem muss gesichert sein, dass mindestens Geräte vom Typ G sowie von den Typen G und G zusammen mindestens Geräte hergestellt werden. Wie ist zu produzieren, damit ein größtmöglicher Gewinn erzielt wird? Wie groß ist der Gewinn? Kapitel, Seite von 6

44 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.6 Lösungen Aufgaben Lineare Algebra und Optimierung: Lineare Optimierung.6-5 Aufgabe Die folgende LO-Aufgabe ist grafisch und rechnerisch zu lösen: ZF: Z = + ma NB: = 5 NNB: beliebig a) Markieren Sie bei der grafischen Lösung insbesondere den zulässigen Lösungsbereich B, die Zielfunktion Z ma und die Lösung opt. Geben Sie Z ma und opt an. b) Führen Sie die rechnerische Lösung mit dem Simplealgorithmus durch und geben Sie die. Normalform an. Geben Sie für jedes Rechenschema die zugehörige Lösung an. Geben Sie für die vollständige Lösung Z ma (, ) und opt an..6-6 Aufgabe Lösen Sie folgende LOP grafisch und rechnerisch: a) b) Z = + min Z = + 8 min = beliebig Geben Sie jeweils Z min (, ) und opt an..6-7 Aufgabe Lösen Sie folgende Optimierungsaufgabe mit dem Simpleverfahren: Z = min = = i, i =,,,.6-8 Aufgabe Es ist das folgende lineare Optimierungsproblem primal und dual zu lösen: Z = min ,, Kapitel, Seite von 6

45 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N November 5 Kapitel Abschnitt. Aufgaben Lösungen.- a) =, = b) D =, CRAMERsche Regel nicht anwendbar, Gleichungssystem nicht lösbar c) D =, CRAMERsche Regel nicht anwendbar, viele Lösungen: = t, = t +.- D = 5.- E = 8, F =.- a) =, =, = b) 55 98,55; 55 67,98; 55,9 c) =, =, =.-5 G = =, =, = 5.-7 I =,, K =,97.-8 lineare Abhängigkeit für t, lineare Unabhängigkeit für t Lösungsweg.-9 a) erste und dritte Gleichung im Widerspruch b) lineare Abhängigkeit; z. B.: (. Gleichung) = (. Gleichung) (. Gleichung) c) =,97; =,9; =.- 9a b c, 8 a 7b c, 8 7a 5b c 8 Kapitel, Seite von 6

46 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-8 Lösungsweg t t, t, t t Die drei gegebenen Vektoren sind für t linear abhängig voneinander. Für t sind die drei gegebenen Vektoren voneinander linear unabhängig. Kapitel, Seite von 6

47 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben Lösungen.- D M 6.- C 5.- A, 6 B A = >, A = > positiv definit Q A ( ) B = >, B = >, B = > Q B ( ) C = >, C = >, C = < Q C ( ) positiv definit indefinit Kapitel, Seite von 6

48 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel, Seite 5 von 6 Kapitel Abschnitt. Aufgaben Lösungen.-6 a) G = b) r.-7 A: t, t N, N Lösungsweg B: t, t N, 7 7 N Lösungsweg C: t, t, t N, N, 6 6 N Lösungsweg D: t, t, t Lösungsweg N, N,,5,77,5 N Hinweis: Die normierten Eigenvektoren N haben die Länge. Auch die entgegengesetzten Vektoren N haben die Länge, sie sind ebenfalls normierte Eigenvektoren.

49 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel, Seite 6 von 6 Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-7 Lösungsweg Zur Lösung von B Zur Lösung von C Zur Lösung von D A: Charakteristische Gleichung: ) ( / Eigenwerte:, Berechnung der Eigenvektoren für / : : t N : t N

50 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-7 Lösungsweg Zur Lösung von A Zur Lösung von C Zur Lösung von D B: Charakteristische Gleichung: det ( )( ) 9 / Eigenwerte:, Berechnung der Eigenvektoren für / : : t N t N 8 Kapitel, Seite 7 von 6

51 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-7 Lösungsweg Zur Lösung von A Zur Lösung von B Zur Lösung von D C: Charakteristische Gleichung: ( )( ) ( ) ( ) 5, Hinweis: Polynomdivision! ( )( 5) 5, Berechnung der Eigenvektoren: : 5 : : t, N, t, N, t N 6 6 Hinweis: Die normierten Eigenvektoren N haben die Länge. Auch die entgegengesetzten Vektoren N haben die Länge, sie sind ebenfalls normierte Eigenvektoren. Kapitel, Seite 8 von 6

52 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-7 Lösungsweg Zur Lösung von A Zur Lösung von B Zur Lösung von C Aufgabe. () aus dem Taschenbuch: D: Charakteristische Gleichung: ( ) ( ) ( ) 6 6, Hinweis: Polynomdivision! ( )( ), Berechnung der Eigenvektoren: t, t, t,5 N, N, N,77,5 Hinweis: Die normierten Eigenvektoren N haben die Länge. Auch die entgegengesetzten Vektoren N haben die Länge, sie sind ebenfalls normierte Eigenvektoren. Kapitel, Seite 9 von 6

53 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben Lösungen.- Lösungsweg.- = 9a b c, = 8 a 7b c, = 8 7a 5b c 8 Lösungsweg.- Anna ist 6 und Hanna ist 6 Jahre alt, vor Jahren waren sie und. Lösungsweg.- Lösungsweg 9.-5 Lösungsweg.-6 Lösungsweg.-7 Lösungsweg Kapitel, Seite von 6

54 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel, Seite von 6 Kapitel Abschnitt. Aufgaben Lösungen.-8 5 e e e Lösungsweg.-9 a) b) t t,, t t R a) Lösungsweg = t = t b) Lösungsweg.- n = m = ; r (A) = = r (Ab) Lösungsweg Das Gleichungssystem ist unlösbar! (Widerspruch im Gleichungssystem).- a) 6 t t t,,, t t t R s Lösungsweg b) 5 t t t,,, t t t R Lösungsweg c) 7 5 t t t t ;,,, t t t t R; s Lösungsweg

55 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel, Seite von 6 Kapitel Abschnitt. Aufgaben Lösungen.- a) + + = = 6 b) n =, m =, r = ; r m, f = n r n m = =, f ; f = n r = c) t, t R d) = t 5 Lösungsweg.- 7 t t,, t t R Lösungsweg Die Lösung gilt nur für s = 6. Für s 6 ist das Gleichungssystem unlösbar..- a) b A mit 5 A, 8 b b) Lösungsweg.-5 5 A Lösungsweg Zu.-6

56 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel, Seite von 6 Kapitel Abschnitt. Aufgaben Lösungen Zurück.-6 t t,, t t R Lösungsweg

57 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- Lösungsweg 5 BV b s Kapitel, Seite von 6

58 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- Lösungsweg a + b + c BV b s a a b b c c a a + 6 a + b a + b + 7 5a + c 5a + c 8 a a b a b 7b c a b a b a 7b c 8 7a 5b c 8 9a b c 8 a 7b c 8 7a 5b c 8 8 9a b c 8 8 a 7b c 8 8 = 9a b c, = 8 a 7b c 7a 5b c, = 8 8 Kapitel, Seite 5 von 6

59 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- Lösungsweg A - Anna, heute H - Hanna, heute a - Anna, früher h - Hanna, früher - heute früher. Lösungsmöglichkeit. Lösungsmöglichkeit H + = A h + = a H + = A A = h A = ( H ) a = H A = H A H = A H = a h = A H + = A h = A H = Zum. Lösungsweg H a = BV A H a h b s A A H 6 5 A a H A 6 7 a H 6 7 h 6 6 Anna ist 6 Jahre alt und Hanna ist 6 Jahre alt, vor Jahren waren sie und Jahre alt. Kapitel, Seite 6 von 6

60 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- Lösungsweg. Lösungsmöglichkeit Zurück zum. Lösungsweg A H = A H + = A H = 6 BV A H b s A 9 A 5 5 H A H Anna ist 6 Jahre alt und Hanna ist 6 Jahre alt, vor Jahren waren sie und Jahre alt. Kapitel, Seite 7 von 6

61 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- Lösungsweg BV b s Kapitel, Seite 8 von 6

62 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-5 Lösungsweg 9 5 BV b s Kapitel, Seite 9 von 6

63 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-6 Lösungsweg BV b s / / 8 9 7/ 7/ Kapitel, Seite von 6

64 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-7 Lösungsweg BV 5 b s Kapitel, Seite von 6

65 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-8 Lösungsweg e i - Anzahl der Einheiten von Erzeugnis i, i =,. Rohstoff: e + 65 e = 6. Rohstoff: 5 e + e = BV e e b s e,65 9 9,65 5,5 5,5 e 5 6 e 5 e e e 5 Kapitel, Seite von 6

66 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-9 a) Lösungsweg Zur Lösung von b) BV b s Kapitel, Seite von 6

67 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-9 b) Lösungsweg Zur Lösung von a) BV b s t t, t, t R = t = t Kapitel, Seite von 6

68 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- Lösungsweg BV b s 5 n = m = r(a) = = r (Ab) Das Gleichungssystem ist unlösbar! (Widerspruch im Gleichungssystem) Kapitel, Seite 5 von 6

69 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- a) Lösungsweg Zur Lösung von b) Zur Lösung von c) / / BV 5 b s inh. 6 hom. t 6 t t, t, t, t R, s Kapitel, Seite 6 von 6

70 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- b) Lösungsweg Zur Lösung von a) Zur Lösung von c) 6 / / BV 5 b s inh. 5 hom. 5 t t t, t, t, t R Kapitel, Seite 7 von 6

71 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel, Seite 8 von 6 Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- c) Lösungsweg Zur Lösung von a) Zur Lösung von b) 8 8 / / BV 5 6 b s inh. 5 7 hom. Allgemeine Lösung: 7 / 5/ / t t t t Spezielle Lösung: s

72 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- Lösungsweg i Stückzahlen der drei Büchersorten + + = = 6 n =, r =, f = n r = 9 5 6/ / inh. hom. t, t R Es gibt die folgenden sechs sinnvollen Lösungen: = t 5 Kapitel, Seite 9 von 6

73 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- Lösungsweg 5 6/ / 5 5 s + s s + s s 6 + s inh. hom. 7 hom. n =, m =, r(a) =. Fall: s = 6, r (Ab) =, r (Ab) = r (A) =, das Gleichungssystem ist lösbar: 7 t t, t, t R Hinweis: Diese Lösung gilt nur für s = 6.. Fall: s 6, r (Ab) = = r (A), das Gleichungssystem unlösbar. Kapitel, Seite von 6

74 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N November 5 Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- Lösungsweg Hinweis: Im folgenden Schema sind enthalten - Berechnung der inversen Matri (schwarz, Ergebnis A ist rot) - Multiplikation von A A = E als Probe im FALKschen Schema (blaues Kreuz) - Multiplikation von = A b im FALKschen Schema (rotes Kreuz, Ergebnis ist grün) 8 A : E E : A : = A : E = A A 5 (Probe) s Kapitel, Seite von 6

75 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-5 Lösungsweg Hinweis: Im folgenden Schema sind enthalten - Berechnung der inversen Matri (schwarz, Ergebnis A ist fett) - Multiplikation von A A E als Probe im FALKschen Schema (rotes Kreuz, E ist rot) s 8 A : E E : 5 A A : E Probe! A 5 Kapitel, Seite von 6

76 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt. Aufgaben.-6 Lösungsweg 6 8 8/ / BV 5 b s inh. hom. hom. t t, t, t R Kapitel, Seite von 6

77 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel, Seite von 6 Kapitel Abschnitt. Aufgaben Lösungen.- a) ) ( ) ( E A B X Lösungsweg b) ) ( ) ( B A C A X.- ) ( Ab c w, 6 w, w Lösungsweg.- 9 X Lösungsweg

78 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N November 5 Kapitel Abschnitt. Aufgaben.- Lösungsweg a) b) XA + B X = A XA + C = XB X ( A E ) = B ( A + C ) = X ( A + B) X = B ( A E ) X = ( A + C )(A + B ) oder: X = ( A C )( A B ).- Lösungsweg + Ab w = c 9 A =, b, c, 7 w w = c Ab Ab 5 ( w) = c Ab 9 = (c Ab) w 5.- Lösungsweg AX + B = C + BX AX BX = C B ( A B ) X = C B X = ( A B ) (C B ) A B = 5 6 C B = s 7 A : 5 8 E E : A A : 5 E = A A 6 (Probe) Hinweis Im Schema sind enthalten: - Berechnung der inversen Matri (schwarz). Das Ergebnis A ist blau. - Multiplikation von A A = E als Probe im FALKschen Schema (blaues Kreuz, E ist rot) X = 9 Kapitel, Seite 5 von 6

79 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.5 Aufgaben Lösungen.5-8 t t t t, t i, i t i, i Lösungsweg.5-5 a) t t t t t5, t i, t i, i i b) bei t t, t i, t i, i Lösungsweg 6 i Kapitel, Seite 6 von 6

80 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.5 Aufgaben.5- Lösungsweg. Möglichkeit () BV b s q - 8 / / 7 8/ / / / / 8/ / 8 / / / 5/ 5-8 / 8/ 5 8 t t t t, t i, t i, i i 5 () B () Kapitel, Seite 7 von 6

81 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.5 Aufgaben.5- Lösungsweg. Möglichkeit () BV 5 b s q / / / / / / /6 6 / / 6 6 /6-5 / / / / / 7 7 / - / / / - - / 7 7 / 85 / 9 9 / a) t t t t t5, t i, t i, i i b) Maimale Summe mit in den Punkten und und somit bei 6 t t, t i, t i, i. 6 i 8 6 () () B () 8 6 Kapitel, Seite 8 von 6

82 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N November 5 Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben Lösungen 6.6-, Z ma 8 Der Händler sollte 6 Liter trockenen Sekt und Liter halbtrockenen Sekt bestellen, damit sein Gewinn mit 8 maimal wird. Lösungsweg.6-5, 5 Z ma 75 Lösungsweg.6- Z = ma =, Zma = 5 Lösungsweg Z = ma = t t mit t + t =, t, t 5 Z ma = 7 Lösungsweg Z = + 6 ma Keine endliche Lösung! ( Z ) Lösungsweg.6-,,, Z ma Lösungsweg.6-5, Z ma Lösungsweg.6-6 a), Z min = 8 Lösungsweg 5 b), Z min = 5 Lösungsweg.6-7,,, Z min 8 Lösungsweg.6-8 5, Z ma 5, min 5 Lösungsweg y y y5 5, y6 Wma 5 Zmin Kapitel, Seite 9 von 6

83 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben.6- Lösungsweg Z = +,5 ma! + 6 () [wegen:,( ) ] () () 6 () 5 (5) Grafische Lösung Rechnerische Lösung Z = () () () B 6 6 (5) Z ma = 8 () NBV b BV,5 q g,5 NBV 6 b BV,5 q g,5 NBV 6 b BV q,5 / /6 5 / 6 7 / g,5 8 Lösung: Der Händler sollte 6 Liter trockenen Sekt und Liter halbtrockenen Sekt bestellen, damit sein Gewinn mit 8 maimal wird. Kapitel, Seite 5 von 6

84 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N Juli 7 Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben.6- Lösungsweg Grafische Lösung Rechnerische Lösung () B Z = P opt () 5 5 Z ma = 75 () NBV b BV 5 q 5, g 5 NBV b BV 5 q / / 5/ - / / 5/ 5 5 / / 75/ 75/ g 5 5/ NBV b BV q / / 5 5 / / 5 7 / / 5 g / 5/ 75 5 Z ma 75 5 Kapitel, Seite 5 von 6

85 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N Februar 6 Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben.6- Lösungsweg Zur Lösung von Z Zur Lösung von Z Z : Grafische Lösung Rechnerische Lösung () B P opt () 5 () Z ma = () Z = = ( ). Normalform: Z = + ( ) + 6 ma + ( ) + ( ) + ( ). Normalform: Z 6 = + ma + + = + + = = + 6 = = ( ) = 5 = 5 Z ma 5 Z NBV b BV 6 q 5, g 6 NBV b BV 6 q g 8 NBV b BV 6 q / / 5 - / / / / - g / / Kapitel, Seite 5 von 6

86 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N Februar 6 Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben.6- Lösungsweg Zur Lösung von Z Zur Lösung von Z Z : = ( ). Normalform: Z = + ( ) + 6 ma + ( ) + ( ) + ( ). Normalform: Z 6 = + ma + + = + + = = + 6 = Grafische Lösung () B () () () Lösung für Z Z ma = 7 Rechnerische Lösung Z NBV b BV 6 q 5, g 6 NBV b BV 6 q g NBV b BV 6 q / / 5 5 / / / / 9/ g 7 NBV 5 b BV 6 q / / 5 / / 9/ 6 / / - g 7 Z = = ( ) = =, ; also = t t mit t + t =, t, t Z ma = Kapitel, Seite 5 von 6

87 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N Februar 6 Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben.6- Lösungsweg Zur Lösung von Z Zur Lösung von Z Z : Grafische Lösung Hinweis: Gemeinsame Skizze für Z, Z und Z. () B P opt () 5 () Z ma = () Z = Z = Z = Z ma Lösung für Z Z ma = 7 Rechnerische Lösung = ( ). Normalform: Z = ( ) + 6 ma + ( ) + ( ) + ( ). Normalform: Z 6 = + ma + + = + + = = + 6 = keine Lösung! Z NBV b BV 6 q g 6 Es kann kein Hauptelement gefunden werden. Es liegt auch keine optimale Lösung vor. Es gibt keine (endliche) Lösung. Kapitel, Seite 5 von 6

88 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben.6- Lösungsweg. Normalform: Z = ma Normalform: Z = ma = = + 6 = NBV b BV 5 q g 5 NBV b BV q g 5 p - NBV 6 b BV q 5 5 g 5, Z ma Kapitel, Seite 55 von 6

89 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben.6-5 Lösungsweg Aufgabe. Normalform. Normalform = ( ) = Z = + ma Z = ( ) + ma Z = + M 5 * ma + ( ) = + ( ) = + = 5 ( ) + = * = 5 beliebig Rechnerische Lösung Grafische Lösung NBV b BV q - 5 * M 5,5 g * 5 NBV 5 * b BV q / / 9 9/ / 5/ 5 g * 5/ 5/ NBV b BV q / 6 5 / g 5 P opt () 5 () () B Z = = Z ma = = =, = ; Z ma = ODER:, Z ma Kapitel, Seite 56 von 6

90 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben.6-6 a) Lösungsweg Zur Lösung von b). Normalform: = Grafische Lösung Z = ( ) ma + ( ) ( ) 6 ( ) =,,. Normalform: =, M >> Z = + M 5 * ma + + = + + = * =,,,,, 5 * NBV b BV q / 5 * M 6 / g * 6 NBV 5 * b BV M q / / 7/ / / / / / / / g / / / NBV b BV q / 5 / / / / / g 5 8 =, = = = ; Z ma = 8 Z min = 8 () Z = B () Z min = 8 P opt () Kapitel, Seite 57 von 6

91 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N Februar 5 Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben.6-6 b) Lösungsweg Zur Lösung von a) Z = + 8 min + +,. Normalform: Grafische Lösung Z = 8 ma (),. Normalform: Z = 8 ma + = 6 () + =,,, B NBV b BV 8 q g 8 p 5 NBV b BV q / / 5/ 8 / / 65/ g 6 6 p 8 NBV b BV q / /6 5 8 / / g 5 8 Z = P opt Z min = 5 5 5, Z ma = 5, Z min = 5 Kapitel, Seite 58 von 6

92 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben.6-7 Lösungsweg. Normalform: Z = ma = =. Normalform: Z = ma + + = * = * = Z ma = 8 Z min = 8 = = = NBV b BV q * M * M g * 6 NBV 6 * b BV M q * M g * 6 NBV 7 * b BV M q 5 / / 8 6 / - g NBV b BV q g 6 5 NBV 5 b BV q / / / g / 8 Kapitel, Seite 59 von 6

93 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N November 5 Kapitel Abschnitt.6 Aufgaben.6-8 Lösungsweg Primale Aufgabe Hinweis: Dieses ist noch nicht die. Normalform! Z = min ,, Duale Aufgabe W = 5y + y 8y ma y + y y y + y y y + y y 5 y, y, y NBV b NBV y y y b BV 5 q BV 5 8 q 5 y 5 y y g 5 g 5 8 p 5 5 NBV 5 b NBV y y 5 y b BV 5 q BV 5 8 q 5 5 y 5, y y 6 g 5 5 g 5 8 p, NBV b NBV y y 5 y b BV 5 q BV 8 q 5 y 5 y 5 6 y 6 5 g 5 5 g Z ma 5, min 5 y y y5 5 y6 W Z Z ma 5 min Kapitel, Seite 6 von 6

94 Z U S Ä T Z L I C H E Ü B U N G S A U F G A B E N M I T L Ö S U N G E N März Kapitel Abschnitt.5 Lösungen Aufgaben Funktionen, Folgen, Reihen: Grundfunktionen einer reellen Variablen.5- Aufgabe Bestimmen Sie f (), f () und f (), wenn f () = Aufgabe In einem Unternehmen werden Fernsehgeräte produziert. Dabei entstehen monatlich fie Kosten in Höhe von 5. Die variablen Kosten für jedes produzierte Gerät betragen. Aus Kapazitätsgründen ist die Produktionsumfang monatlich auf Geräte beschränkt. a) Stellen Sie diesen Sachverhalt mathematisch durch eine Funktion dar. b) Skizzieren sie diese Funktion! c) Bei welchem Produktionsumfang liegt die Gewinnschwelle (Gewinn ), wenn der Erlös jedes Gerätes beträgt..5- Aufgabe Für den Kauf von Büromaterial wird Mengenrabatt gewährt. Modell A: Werden weniger Stück geordert, ist ein Preis von,5 zu zahlen, ab Stück beträgt der Preis,. Modell B: Bis zu Stück ist ein Preis von,5 zu zahlen, jedes darüber hinaus gehende Stück kostet,. a) Stellen Sie beide Sachverhalte mathematisch durch je eine Funktion dar. b) Skizzieren Sie die Funktionen..5- Aufgabe Bestimmen Sie für folgende Funktionen den Definitionsbereich, die Umkehrfunktion und deren Definitionsbereich: a) y b) y c) y d) y e e) y ln( ).5-5 Aufgabe Die Abhängigkeit der Kosten K vom Produktionsumfang ist durch die Funktion K( ) 5 gegeben. a) Stellen Sie den Produktionsumfang in Abhängigkeit von den Kosten in der Form (K) dar. b) Welches sind jeweils die unabhängigen und die abhängigen Variablen? c) Durch welche Funktion werden die Kosten je Stück beschrieben? Kapitel, Seite von 8