Kapitel 4: Digitale Systeme

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1 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4- Kapitel 4: Digitale Systeme Inhaltsverzeichnis 4.. EINLEITUNG LTD-SYSTEME DIFFERENZENGLEICHUNG IMPULSANTWORT UND FALTUNGSSUMME Z-TRANSFORMATION ÜBERTRAGUNGSFUNKTION REALISIERUNGSSTRUKTUREN NICHTIDEALITÄTEN BEISPIEL FESTKOMMA-REALISIERUNG EINES IIR-FILTERS ANHANG MATLAB SPT-FUNKTIONEN ANHANG KORRELATION...24 Literatur- bzw. Quellenverzeichnis [] M. Meier: Signalverarbeitung, ISBN , Vieweg Verlag, Oktober [2] A.V. Oppenheim, R.W. Schafer, J. R. Buck: Zeitdiskrete Signalverarbeitung, 2., überarbeitete Auflage, ISBN , Pearson Studium, 2004.

2 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, Einleitung Ein digitales System transformiert eine zeitdiskrete (oder digitale) Eingangszahlenfolge mit Hilfe eines Algorithmus in eine zeitdiskrete (oder digitale) Ausgangszahlenfolge, siehe Abbildung 4-. zeitdiskrete Zahlenfolge x[n] Digitales System (Digitalfilter) y[n] zeitdiskrete Zahlenfolge Abbildung 4-: Digitales System. In der digitalen Signalverarbeitung verwendet man statt dem Begriff digitales System oft auch den Begriff Digitalfilter, auch wenn die Filterfunktion nicht im Vordergrund steht. Digitale Systeme haben gegenüber analogen Systemen grosse Vorteile, siehe []: Reproduzierbarkeit: Das Systemverhalten wird durch exakte numerische Werte und nicht durch Schaltungskomponenten bestimmt, deren Werte innerhalb eines Produktionsloses streuen, mit der Zeit altern und/oder mit der Temperatur driften. Flexibilität: Die numerischen Parameter lassen sich einfach modifizieren (konfigurieren) oder im Betrieb sogar verändern (adaptive Systeme). Vorhersagbarkeit: Das digitale System kann in der Entwurfsphase sehr gut simuliert und in der Realisierungsphase dann : implementiert werden. Komplexität: Dank der Reproduzierbarkeit und der Vorhersagbarkeit können mit digitalen Systemen komplexe Algorithmen realisiert werden. Integrierbarkeit: In einem digitalen System werden oft mehrere Anwendungen integriert. Natürlich gibt es auch Nachteile: Geschwindigkeit: Auch wenn die digitale real-time Signalverarbeitung grosse Fortschritte macht, ist sie im Vergleich zur analogen Signalverarbeitung langsam. Filter bei hohen Frequenzen werden nach wie vor analog realisiert. Preis: Für eine einzelne, einfache Anwendung ist die analoge Lösung kostengünstiger. In diesem Kapitel werden nur lineare, zeitdiskrete und zeitinvariante Systeme, sogenannte linear, time-invariant, discrete bzw. LTD-Systeme, betrachtet. Die Beschreibung im Zeit- und im Frequenzbereich ist eng mit der Beschreibung der analogen, linearen Systeme verwandt. Im Folgenden wird der Einfachheit halber die diskrete Zeit statt mit (nt s ) nur noch mit [n] dargestellt, solange klar ist, wie gross die Abtastperiode T s ist.

3 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, LTD-Systeme Für ein lineares, zeitdiskretes System gilt das Superpositionsprinzip: aus x [n] y [n] und x 2 [n] y 2 [n] folgt: c x [n] c 2 x 2 [n] c y [n] c 2 y 2 [n]. Diskrete Systeme bezeichnet man als zeitinvariant, wenn 2 gleiche, aber um k Abtastperioden zeitverschobene Eingangsfolgen in 2 gleiche, um k Abtastperioden zeitverschobene Ausgangsfolgen transformiert werden: x[n] y[n] => x[n-k] y[n-k] für alle k. Die Zeitinvarianz bedeutet, dass die Systemparameter bzw. -koeffizienten konstant bleiben. Ein LTD-System bezeichnet man als kausal, wenn der n-te Eingangswert x[n] nur den aktuellen Ausgangswert y[n] und die zukünftigen Ausgangswerte y[n],... beeinflusst. Ein LTD-System bezeichnet man als stabil, wenn es beschränkte Eingangsfolgen (Ix[n]I< für alle n) in beschränkte Ausgangsfolgen transformiert Differenzengleichung Ein lineares, zeitinvariantes, analoges System kann mit einer Differentialgleichung vollständig beschrieben werden. Ein LTD-System hingegen kann mit einer Differenzengleichung vollständig beschrieben werden. Das soll an einem kleinen Beispiel demonstriert werden. Beispiel Das in Abbildung 4-2 dargestellte analoge RC-Tiefpass-Filter kann mit der folgenden Differentialgleichung vollständig beschrieben werden dy(t) τ y(t) = x(t). dt R τ = RC x[n] x(t) C y(t) T s b 0 y[n] Abbildung 4-2: Analoges RC-Tiefpass-Filter und digitales Approximationsfilter. Die Differentialgleichung kann digital approximiert werden, indem man die kontinuierliche Zeit t durch die diskrete Zeit nt s ersetzt und für die Ableitung z.b. die folgende Näherung verwendet, -a dy(t) [y(nt s ) y((n )T s )]. dt T s

4 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-4 Das resultierende digitale Approximationsfilter kann jetzt mit der Differenzengleichung y[n] = b0 x[n] a y[n ] beschrieben werden, wobei b 0 =T s /(T s τ) und a =b 0 -. In Abbildung 4-2 ist das Blockschaltbild des digitalen Approximationsfilters dargestellt. Es enthält alle Realisierungselemente eines LTD-Systems, nämlich einen Multiplikator mit einer Konstanten, einen Addierer und ein Verzögerungsglied (mit T s bezeichnet). Die allgemeine Form der Differenzengleichung eines LTD-Systems lautet N k= 0 M y[n] = bk x[n k] ak y[n k]. (4.) k= In Abbildung 4-3 ist das zugehörige Blockdiagramm dargestellt. x[n] T s x[n-]... T s x[n-n] b N- b 0 b b N... y[n] -a M -a M- -a y[n-m] T s... y[n-] T s Abbildung 4-3: Blockdiagramm eines LTD-Systems (ausgezogen: nicht-rekursiver bzw. Feed-Forward-Teil, gestrichelt: rekursiver bzw. Feed-Back-Teil). Man unterscheidet zwei Klassen von LTD-Systemen: Nichtrekursive LTD-Systeme Alle Koeffizienten a k, k=,...,m, in der Differenzengleichung (4.) sind Null. Der in Abbildung 4-3 gestrichelt dargestellte Teil fällt weg. Der Ausgangswert y[n] hängt nur vom aktuellen Eingangswert x[n] und den N letzten Eingangswerten x[n-],..., x[n-n] ab. Die Impulsantwort ist endlich lang (siehe unten). Diese Systeme werden meistens Finite Impulse Response bzw. FIR-Filter genannt. Weitere Bezeichnungen: Transversalfilter, moving average bzw. MA-System, All-Zero-Filter. Rekursive LTD-Systeme Der Ausgangswert y[n] hängt nicht nur vom aktuellen Eingangswert x[n] und den N letzten Eingangswerten x[n-],..., x[n-n] ab, sondern auch von den letzten M Ausgangswerten y[n-],..., y[n-m]. Die Impulsantwort ist normalerweise unendlich lang (siehe unten). Diese Systeme werden deshalb Infinite Impulse Response bzw. IIR-Filter genannt. Der in Abbildung 4-3 gestrichelt eingezeichnete Feedback-Teil wird manchmal auch als Auto- Regressiv- bzw. AR-System oder als All-Pole-Filter bezeichnet.

5 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, Impulsantwort und Faltungssumme Neben der Differenzengleichung gibt es bei den LTD-Systemen noch eine andere Beschreibung der Ein-/Ausgangscharakteristik. Wird ein LTD-System mit einem Kronecker-Delta- bzw. einem Einheitsimpuls δ[ n] wennn= 0 = 0 wenn n 0 (4.2) angeregt, so reagiert das System mit der Impulsantwort h[n], siehe Abbildung 4-4. δ[n] n LTD- System h[n] n Abbildung 4-4: Impulsantwort eines LTD-Systems. Jede Eingangsfolge x[n] kann in der folgenden Form dargestellt werden (siehe []): (4.3) x[ n] = x[ k] δ[ n k] k= Wegen der Linearität dürfen die Ausgangssignale, die durch die einzelnen Summanden in Gleichung (4.3) angeregt werden, einfach aufsummiert werden. Für den Eingang x 0 [n] = x[0] δ[n] resultiert der Ausgang y 0 [n] = x[0] h[n]. Wegen der Zeitinvarianz resultiert für den Eingang x k [n] = x[k] δ[n-k] der Ausgang y k [n] = x[k] h[n-k]. Die Summe über alle k ergibt dann das Ausgangssignal yn [ ] = xk [ ] hn [ k] = hk [ ] xn [ k] k= (4.4) k= Die Summen in diesem Ausdruck werden Faltungssummen genannt. Die zweite Summe folgt durch Variablensubstitution u=n-k in der ersten Summe. Für die Auswertung der Faltungssumme zum Zeitpunkt n muss entweder das Eingangssignal x[k] oder die Impulsantwort h[k] in der Zeit umgekehrt bzw. gefaltet und n Positionen nach rechts verschoben werden. Beispiel Das in Abbildung 4-2 dargestellte digitale RC-Tiefpass-Filter hat die Impulsantwort 2 3 h[n] = {b, b a, b a, b a,...} für n 0. (4.5) In Abbildung 4-5 ist die Berechnung des Ausgangswerts y[0] grafisch dargestellt, wobei die rechte Faltungssumme in Gleichung (4.4) verwendet wird und am Eingang der Einheitsschritt

6 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-6 anliegt. wennn 0 ε[ n] = 0 wenn n < 0 (4.6) In Abbildung 4-5 ist auch die Schrittantwort dargestellt für den Fall τ=rc=s (Grenzfrequenz 0.6 Hz) und T s =0.s (Abtastfrequenz f s =0 Hz) bzw. b 0 = und a = y[0] Abbildung 4-5: Berechnung des Ausgangswerts y[n] mit der Faltung. Aus Abbildung 4-3 ist auch ersichtlich, dass die Impulsantwort des FIR-Filters (a-koeffizienten sind Null) h FIR [n] = {b 0, b,..., b N } für n=0,..., N direkt durch die Filterkoeffizienten gebildet wird und endlich lang ist.

7 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, z-transformation Wie die Laplace-Transformation bei den analogen Systemen spielt die z-transformation bei der Beschreibung der digitalen Systeme im Bild- bzw. Frequenzbereich eine wichtige Rolle. Ausgehend von der Definition der Laplace-Transformation und Gleichung (2.2) erhält man die Laplace-Transformierte des zeitdiskreten Signals x[n] in der Form Mit Hilfe der Abkürzung. (4.7) nsts X() s = x[] n e n= z e st s = (4.8) kann man die Laplace-Transformierte eines zeitdiskreten Signals auch wie folgt darstellen n X ( z) = x[ n] z. (4.9) n= X(z) bezeichnet man als z-transformierte des zeitdiskreten Signals x[n]. Wie aus der Herleitung ersichtlich ist, handelt es sich bei der z-transformation eigentlich nicht um eine neue Transformation, sondern um eine Anpassung der Laplace-Transformation für zeitdiskrete Signale bzw. um eine Erweiterung der Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale, wie wir weiter unten noch sehen werden. Die z-transformierte existiert nur in ihrem Konvergenzbereich. In diesem Kurs wird dieser Aspekt aber nicht weiter verfolgt, weil wir keine kritischen Signale betrachten. Beispiel Die z-transformierte des Kronecker-Delta- bzw. Einheitsimpulses lautet δ[n] (4.0) Beispiel Mit Hilfe der z-transformation der in Gleichung (4.5) gegebenen Impulsantwort erhält man die z-übertragungsfunktion des digitalen RC-Tiefpass-Filters b H(z) = b ( - a z a z -...) = a z (4.) wobei im zweiten Schritt die Summenformel für die geometrische Reihe q q 2... = /(-q), verwendet worden ist für den Fall IqI< bzw. Ia I<.

8 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-8 Es gibt einen einfachen Zusammenhang zwischen der Fourier- und der z-transformierten. Die Fouriertransformierte X(f) erhält man aus der Laplace-Transformierten X(s), indem man s=j2πf setzt. Die Laplace-Transformierte X(s) erhält man aus der z-transformierten X(z), indem man die Abkürzung (4.8) verwendet. Damit folgt: j2 ft X( f) = X( z = e π s ). (4.2) Interpretation Wenn man die z-transformierte X(z) auf dem Einheitskreis z=e j2πfts auswertet, erhält man die Fouriertransformierte X(f) des zeitdiskreten Signals. X(f) ist offensichtlich periodisch mit f s. Dieser Zusammenhang ist übrigens schon in Gleichung (2.6) hergeleitet worden. Beispiel: Der Frequenzgang H(f) des digitalen RC-Tiefpass-Filters kann aus der z-übertragungsfunktion (4.) wie folgt bestimmt werden: b0 H(f) = (4.3) j2π f T a e s In Abbildung 4-6 ist der Amplitudengang IH(f)I des digitalen RC-Tiefpass-Filters mit der Grenzfrequenz f g =00 Hz und der Abtastfrequenz f s =0 khz dargestellt (τ=/(2πf g ) bzw. b 0 = 0.06 und a = -0.94). Im Sperrbereich f>f g kann der Amplitudengang wie erwartet durch eine Gerade mit der Steigung -20 db pro Dekade approximiert werden. Abbildung 4-6: Amplitudengang des digitalen RC-Tiefpass-Filters. Es existiert eine Formel für die inverse z-transformation, nämlich x[ n] = 2 j π C X ( z) z n dz (4.4)

9 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-9 Sie hat in der Praxis aber nur wenig Bedeutung. Das C in Gleichung (4.4) steht für contour und stellt eine geschlossene Kurve um den Nullpunkt dar, die im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen werden muss. Es gibt Alternativen, um aus der z-transformierten X(z) das zeitdiskrete Signal x[n] zu bestimmen: Integral-Inversionsformel (siehe [2]) Fortlaufende Division Beispiel Das zeitdiskrete Signal h[n] der in Gleichung (4.) gegebenen z-transformierten H(z) kann man z.b. durch ausdividieren wie folgt bestimmen: b 0 z : za = b 0 - b 0 a z - b 0 a 2 z b 0 z b 0 a -b 0 a -b 0 a -b 0 a 2 z - b 0 a 2 z - Partialbruchzerlegung Wie wir gleich sehen werden, sind die Filter-Übertragungsfunktionen (UTF) H(z) rationale Funktionen mit einem Zähler- und einem Nenner-Polynom (in z bzw. z - ). Solche Funktionen kann man in Partialbrüche zerlegen, wobei für jeden Partialbruch eine geometrische Reihe im Zeitbereich resultiert [vgl. auch Gleichung (4.)]. H( z) = A 0 A z N k 0 k = z pk N n hn [ ] = A δ[ n] Ak pk ( n 0) (4.5) k = Die z-transformation besitzt folgende Eigenschaften, welche ausgehend von der Definitionsgleichung (4.9) der z-transformierten bewiesen werden können: Linearität: a x[n] b x 2[n] a X(z) b X2(z) Zeitverschiebung: Faltung: x[n k] x[n] h[n] z k X(z) X(z) H(z) Multiplikation mit einer Exponentialfolge: a n x[n] X(z/a) Multiplikation mit der Zeit: n x[n] z dx(z)/dz

10 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, Übertragungsfunktion Im Zeitbereich kann die Ausgangsfolge y[n] eines LTD-Systems durch Faltung der Eingangsfolge x[n] mit der Impulsantwort h[n] gebildet werden. Mit Hilfe der z-transformation kann die Faltung im Zeitbereich in eine Multiplikation im z-bereich transformiert werden, siehe Abbildung 4-7. Zeitbereich x[n] h[n] y[n] = x[n]*h[n] Bildbereich X(z) Y(z) = X(z) H(z) Abbildung 4-7: Ein- und Ausgang eines LTD-Systems im Zeit- und Bildbereich. Die z-transformierte H(z) der Impulsantwort h[n] wird (z-) Übertragungsfunktion des LTD- Systems genannt. Aus Abbildung 4-7 ist ersichtlich, dass gilt Y(z) H(z) =. (4.6) X(z) Neben der Faltungsumme beschreibt auch die Differenzengleichung den Zusammenhang zwischen x[n] und y[n] am Ein- und Ausgang eines LTD-Systems. Wenn man die Differenzengleichung (4.) z-transformiert, erhält man mit Hilfe der Zeitverschiebungseigenschaft der z-transformation den Ausdruck N H(z) M k k Y(z) = bk z X(z) ak z Y(z). (4.7) k= 0 k= Aus den Gleichungen (4.6) und (4.7) kann man nun die Übertragungsfunktion in Funktion der Koeffizienten der Differenzengleichung bestimmen H(z) = Y(z) X(z) N = b k k= 0 M k= a z k k z k b0 b z = a z b a M N z z N M. (4.8) Die Übertragungsfunktion H(z) eines LTD-Systems ist eine rationale Funktion bestehend aus einem Zähler- und einem Nennerpolynom in z oder z -, je nachdem, ob man Zähler und Nenner mit z N erweitert oder nicht. Jedes Polynom mit Grad n hat n Nullstellen. Die Nullstellen z k des Zählerpolynoms von H(z) nennt man die Nullstellen der Übertragungsfunktion und die Nullstellen p k des Nennerpolynoms von H(z) nennt man die Pole der Übertragungsfunktion. Für ein stabiles H(z) liegen die Pole innerhalb des Einheitskreises.

11 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4- Die Übertragungsfunktion H(z) eines LTD-Systems kann in die folgende Pol-Nullstellen- Darstellung gebracht werden: H(z) = b N k k= M N 0 z M k= (z z (z p k ) ) (4.9) Den Frequenzgang H(f) des Digitalfilters erhält man durch Auswerten dieses Ausdrucks auf dem Einheitskreis, d.h. H(f) = H(z = e j2πf Ts ) = b N k= 0 M k= (e (e j2πf Ts j2πf Ts zk ) e p ) k j2πf Ts (M N). (4.20) Das Betragsspektrum H(f) = K N k= M k= e e j2πft j2πft s s z p k k (4.2) kann man bestimmen, indem man vom Punkt z=e j2πfts auf dem Einheitskreis die Abstände zu den Nullstellen bzw. den Polen multipliziert bzw. dividiert. Dies soll an einem Beispiel veranschaulicht werden. Beispiel In Abbildung 4-8 ist das Pol-Nullstellen-Diagramm eines Hochpass-Filters in der z-ebene dargestellt. Die Übertragungsfunktion H(z) lautet H(z) (z ) (z j) (z j) 2 3 = K 3 K ( z z z ) z =, wobei K einen beliebigen Normierungsfaktor darstellt. z-ebene s 2 P=e j2πfts für f=f s /8 x[n] K T s T s T s f=f s /2 s 4 s f=0 - - Nullstelle 3 Pole s 3 y[n] Abbildung 4-8: Hochpass-Filter und Pol-Nullstellendiagramm der Übertragungsfunktion.

12 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-2 Der Amplitudengang IH(f)I an der Stelle f=f s /8 kann mit den in Abbildung 4-8 dargestellten Abständen bestimmt werden, d.h. s s2 s3 H ( f s / 8) = K 3 s4 Weiter ist IH(f=0)I=0 und IH(f=±f s /4)I=0, weil in diesen Fällen eine der Strecken s, s 2 oder s 3 die Länge Null aufweist. Aus der 2. Darstellung von H(z) oben und der Zeitverschiebungseigenschaft der z-transformation folgt (für K=), dass 2 3 Y(z) = X(z) ( z z z ) y[n] = x[n] x[n ] x[n 2] x[n 3] Diese Differenzengleichung kann mit dem in Abbildung 4-8 dargestellten FIR-Filter realisiert werden. Aus dem Blockdiagramm ist gut ersichtlich, dass ein konstantes Eingangssignal (DC) vollständig unterdrückt wird. In Abbildung 4-9 ist der Amplitudengang des Hochpass-Filters (für K=) dargestellt. Abbildung 4-9: Amplitudengang des Hochpass-Filters.

13 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, Realisierungsstrukturen LTD-Systeme können mit einer Differenzengleichung oder einer Übertragungsfunktion eindeutig beschrieben werden. Es gibt aber viele Möglichkeiten, LTD-Systeme zu realisieren bzw. zu implementieren. Im Idealfall sind die folgenden Realisierungsstrukturen alle gleichwertig. Im Realfall mit endlich genauen Filterkoeffizienten bzw. beschränkten Wortlängen verhalten sie sich aber unterschiedlich. Im Folgenden werden die Realisierungsstrukturen mit vereinfachten Signalflussgraphen wie in Abbildung 4-0 dargestellt. Ein Zweig mit einem beschrifteten Pfeil stellt eine Multiplikation mit einer Konstanten dar. Fehlt die Beschriftung, ist die Konstante. Addierer werden mit einem Plus-Symbol gekennzeichnet und Abzweigpunkte mit einem Punkt. Verzögerungselemente schliesslich werden mit einem Pfeil und dem Symbol z - dargestellt. x[n] b 0 y[n] = b 0 x[n] a y[n-] z - -a H(z) = b 0 / (a z - ) Abbildung 4-0: Beispiel eines Signalflussgraphen. Die Differenzengleichung (4.) kann einfach mit der in Abbildung 4- dargestellten Direktstruktur realisiert werden. Die Direktstruktur wird in der Praxis meistens nur für die Realisierung von FIR-Filtern verwendet. x[n] x[n-] y[n] b 0 z - z - b -a y[n-] x[n-n] b N -a M y[n-m] Abbildung 4-: Direktstruktur. Die beiden kaskadierten Teilsysteme in der Direktstruktur dürfen vertauscht werden, ohne dass sich das Verhalten des Gesamtsystems verändert. Dann liegen aber die beiden Verzögerungsketten nebeneinander und können zu einer Kette zusammengefasst werden. Die resultierende Struktur in Abbildung 4-2 wird Direktstruktur 2 genannt. Im Vergleich zur Direktstruktur hat sie nur noch die halbe Anzahl Speicherzellen. Die Anzahl Speicherzellen ist minimal, weil sie gleich der Filterordnung ist (ohne Beweis).

14 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-4 x[n] w[n] b o y[n] -a z - b -a M b N w[n-n] Abbildung 4-2: Direktstruktur 2. Mit Hilfe der in Abbildung 4-2 eingezeichneten Werte w[n], w[n-],..., w[n-n] kann der Ausgangswert y[n] in Funktion des Eingangswerts x[n] wie folgt berechnet werden: Schritt 0: Schritt : Schritt 2: Schritt 3: Schritt 4: (zirkulärer) w-buffer {w[n-],..., w[n-n]} mit Nullen initialisieren w[n] = x[n] - a w[n-] - - a M w[n-m] y[n] = b 0 w[n] b N w[n-n] ausgeben w-buffer schieben, w[n] speichern (effizienter: im Ringbuffer ältesten Wert w[n-n] mit w[n] überschreiben) neuen Eingangswert x[n] lesen und mit Schritt weiterfahren Das Transponierungstheorem für (lineare) Signalflussgraphen besagt, siehe [] oder [2]: Werden alle Signalflussrichtungen umgekehrt, alle Addierer durch Knoten und alle Knoten durch Addierer ersetzt sowie Ein- und Ausgang vertauscht, dann bleibt die Übertragungsfuntkion H(z) unverändert. Durch Transposition der Direktstruktur 2 erhält man die in Abbildung 4-3 dargestellte transponierte Struktur 2. x[n] b o b w [n] w N [n] b N z - z - -a -a M y[n] Abbildung 4-3: Transponierte Direktstruktur 2.

15 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-5 Mit Hilfe der in Abbildung 4-3 eingezeichneten Werte w [n], w 2 [n],..., w N [n] kann der Ausgangswert y[n] in Funktion des Eingangswerts x[n] wie folgt berechnet werden (Annahme M=N): y[n] = b 0 x[n] w [n-] w [n] = b x[n] - a y[n] w 2 [n-] : w N- [n] = b N- x[n] - a M- y[n] w N [n-] w N [n] = b N x[n] - a M y[n] Die in Gleichung (4.9) gegebene Pol-Nullstellen-Darstellung der Übertragungsfunktion H(z) ermöglicht eine weitere Realisierungsstruktur. Die komplexen Pole und Nullstellen treten immer in konjugiert komplexen Paaren auf. Diese Paare können so zusammengefasst werden, dass eine Kaskade von Biquads 2. Ordnung mit reellen Teil-Übertragungsfunktionen H k (z), k=,...,l, entsteht, d.h. (z z ) (z z ) (z z ) (z z ) H(z) = K = K H (z) H L(z). (4.22) (z p ) (z p ) (z p ) (z p ) * * L L * * L L K ist ein beliebiger Verstärkungs- bzw. Abschwächungsfaktor. Bei der Realisierung von IIR- Filtern ungerader Ordnung degeneriert ein Biquad zu einem System. Ordnung. Die einzelnen Biquads werden wieder in einer Direktstruktur realisiert, siehe Abbildung 4-4. x[n] K b 0 b z - z - -a... K L b L0 z - -a L b L z - y[n] b 2 -a 2 b L2 -a L2 Abbildung 4-4: Kaskadierung von Biquads in transponierter Direktform 2. Kaskaden- und Parallelstrukturen verhalten sich in Bezug auf Quantisierungseffekte (siehe unten) günstiger als Direktstrukturen. Die Quantisierung der Filterkoeffizienten beeinflusst nicht alle Pole und Nullstellen gleichzeitig wie bei der Direktstruktur, sondern immer nur die Paare eines Biquads, und hat damit einen kleineren Einfluss auf den Frequenzgang. Es gibt zahlreiche Möglichkeiten der Pol-Nullstellenpaarung für die Biquads einer Kaskade. In der Praxis wird normalerweise wie folgt verfahren: a) Der letzte Biquad enthält das komplexe Polpaar, das am nächsten beim Einheitskreis liegt, und das dazu nächstgelegene konjugiert komplexe Nullstellenpaar. b) Die übrig gebliebenen Pole und Nullstellen werden nach der Regel a) kombiniert.

16 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-6 Mit Regel a) wird die grösste Überhöhung im Frequenzgang mit einer Abschwächung ganz in der Nähe der Überhöhung kompensiert. Damit wird der Dynamikbereich des Biquads eingeschränkt, was vorteilhaft ist, wenn die Signale nur mit endlicher Genauigkeit repräsentiert werden können. Die rationale Übertragungsfunktion H(z) in Gleichung (4.8) kann auch als Summe von Partialbrüchen dargestellt werden, siehe Gleichung (4.23). Wenn man wieder die konjugiert komplexen Pole zusammenfasst, kann die Übertragungsfunktion H(z) als Summe von reellen Biquads dargestellt und in einer Parallelstruktur implementiert werden. H(z) A A = = L * L k k H * k (z) k= z pk z p (4.23) k k= FIR-Filter-Strukturen findet man durch Nullsetzen der Feedback-Koeffizienten a k, k=,...,m, in den oben dargestellten Realisierungsstrukturen. In Abbildung 4-5 ist die Realisierung eines FIR-Filters mit der Direktstruktur dargestellt, die häufig verwendet wird. x[n] z - x[n-] z -... b 0 b b N- x[n-n] b N R=RX Y y[n] Abbildung 4-5: FIR-Filter-Realisierung in Direktstruktur. FIR-Filter mit mehr als 00 Taps (Abzapfpunkten) sind in der Praxis keine Seltenheit. In Echtzeit-Anwendungen ist es darum wichtig, dass die N Multiply-And-Accumulate (MAC) Operationen R=RX Y in Abbildung 4-5 sehr schnell ausgeführt werden können. Digitale Signalprozessoren sind darauf spezialisiert. Es gibt noch weitere Strukturen für spezielle Realisierungsvarianten von digitalen Systemen bzw. Digitalfiltern, siehe z.b. [2].

17 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, Nichtidealitäten Viele Nichtidealitäten bei der Realisierung von digitalen Systemen bzw. Digitalfiltern hängen mit der endlichen Wortlänge in der Zahlendarstellung zusammen. Festkomma-Zahlendarstellung Bei der Festkomma-Zahlendarstellung mit einem Wort der Länge W Bits wird die Position des binären Kommas fest vereinbart. Bei allen gängigen Signalprozessoren wird die Zweierkomplementdarstellung verwendet, da sie viele Vorteile hat (eindeutige Null, einfache Subtraktion, effiziente Algorithmen für die Multiplikation). In Abbildung 4.6 sind die am häufigsten verwendeten Kommastellen und die Gewichtung der einzelnen Bitpositionen für Zweierkomplement-Zahlen mit Vorzeichen und für Zweierkomplement-Zahlen ohne Vorzeichen dargestellt. signed integer b W- -2 W- 2 W-2 2 W sign-bit b 0 unsigned integer b W- 2 W- 2 W-2 2 W b 0 signed fractional unsigned fractional b W- b (W-) sign-bit b W- b W Abbildung 4-6: Festkomma-Zahlendarstellungsarten (Zweierkomplement). In Tabelle 4- sind für eine Wortlänge von W=3 Bits die Zahlenwerte für die vier oben erwähnten Formate aufgelistet. Vergewissern Sie sich, dass eine binäre Zahl b einfach negiert werden kann, indem alle Bits von b invertiert und LSB addiert wird. [b 2 b b 0 ] signed integer unsigned integer signed fractional unsigned frac. [ ] [ 0 0 ] [ 0 0 ] [ 0 ] [ 0 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ ] Tabelle 4-: Worte der Länge W=3 und entsprechende Festkomma-Zahlenwerte.

18 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-8 Die Festkomma-Zahlendarstellung hat einen gewichtigen Vorteil. Die HW-Realisierung der Zahlenarithmetik braucht weniger Chipfläche als die HW-Realisierung der Gleitkomma- Zahlenarithmetik. Deshalb sind Festkomma-DSP s im Allgemeinen kostengünstiger als vergleichbare Gleitkomma-DSP s. Die Festkomma-Zahlendarstellung hat aber die folgenden Nachteile: Die Filterkoeffizienten müssen quantisiert bzw. können nicht beliebig genau dargestellt werden. Dadurch verändert sich die Lage der Pole und Nullstellen in der z-ebene bzw. der resultierende Frequenzgang. Wie erwähnt sind die Kaskaden- und die Parallelstruktur weniger sensitiv auf die Koeffizientenquantisierung als die Direktstrukturen. Besonders selektive IIR-Filter mit Polen ganz nahe beim Einheitskreis können im Extremfall durch die Quantisierung der Filterkoeffizienten ausserhalb des Einheitskreises zu liegen kommen und so sogar instabil werden. Die Additionsergebnisse können überlaufen. Die resultierenden nichtlinearen Verzerrungen können bei IIR-Filtern im Extremfall grosse Überlaufschwingungen anregen. Dagegen kann man Folgendes unternehmen: => Das Eingangssignal des Filters bzw. eines Biquads kann gezielt so skaliert bzw. abgeschwächt werden, dass die Addierer nicht mehr überlaufen können. Dadurch sinkt aber das Signal-zu-Quantisierungsgeräuschverhältnis (SNR). => Neuere DSP s weisen ein grosses MAC-Register der Länge 2 W8 Bits auf. Dadurch können viele Multiplikationsergebnisse ohne Rundungsfehler berechnet und temporäre Überlaufe toleriert werden. Die Zweierkomplement-Arithmetik hat nämlich die folgende, nützliche Eigenschaft: Werden mehrere Zweierkomplement-Zahlen addiert, deren Summe nicht überläuft, ist das Resultat der Zweierkomplement-Addition dieser Zahlen auch richtig, wenn Zwischensummen überlaufen. Das Resultat der Multiplikation von 2 Zahlen der Länge W-Bits ist im Allgemeinen 2 W- Bits lang. Irgendwann muss deshalb eine Rundung vorgenommen werden. Das resultierende Rundungsrauschen kann bei IIR-Filtern im Extremfall zu Grenzschwingungen mit kleinen Amplituden führen, die z.b. bei der digitalen Audiosignalverarbeitung stören. Gleitkomma-Zahlendarstellung Die Gleitkomma-Zahlendarstellung soll am Beispiel des IEEE Standards 754/854 (32 Bit) dargestellt werden, siehe Abbildung 4-7. s Exponent E 254 Mantisse M < 2 b 3 b 30 b 23 b 22 hidden Abbildung 4-7: IEEE 754/854 Gleitkomma-Zahlendarstellung. b 0

19 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-9 Der (float)-wert F der Gleitkomma-Zahl wird bestimmt durch wobei M die Mantisse und E den Exponenten darstellen. s E 27 F = ( ) M 2, (4.24) Beim IEEE-Standard ist die Mantisse 23 Bit lang, wobei man sich vor dem Komma eine denkt. Dadurch nimmt die Mantisse Werte zwischen und 2 an. Der Exponent ist 8 Bit lang. Die Werte E=0 und E=255 werden zur Darstellung von Null, keine Zahl (engl: nan bzw. not a number) und Unendlich reserviert. In Gleichung (4.24) liegt E deshalb im Bereich E 254. Die grösste darstellbare Zahl ist etwas kleiner als Die kleinste darstellbare Zahl ist Der Dynamikbereich ist damit sehr gross und betragsmässig kleine Zahlen können sehr genau dargestellt werden. Das Überlaufproblem kann im Wesentlichen ausgeschlossen werden. Allerdings entstehen kleine Quantisierungsfehler beim Addieren und Multiplizieren von 2 Gleitkomma-Zahlen.

20 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, Beispiel Festkomma-Realisierung eines IIR-Filters Es soll ein Digitalfilter mit folgender Spezifikation entworfen und als Biquad-Kaskade mit quantisierten Filterkoeffizienten realisiert werden. Filterart Filterordnung N=4 Abtastfrequenz Eckfrequenz Durchlassbereich Eckfrequenz Sperrbereich max. Rippel im Durchlassbereich min. Rippel im Sperrbereich Wortbreite (elliptisches) Tiefpass-Filter f s =8000 Hz f DB =000 Hz f SB =300 Hz R p =3 db R s =40 db W=8 Bit Tabelle 4-2: Filterspezifikation Beispiel-Filter. In Abbildung 4-8 ist das Pol-Nullstellendiagramm der resultierenden UTF H(z) dargestellt, wobei die Filterkoeffizienten noch nicht quantisiert worden sind. Dieses IIR-Filter wird nun als Biquad-Kaskade realisiert. Die UTF H(z) wird dazu in die beiden Teil-UTF H (z) und H 2 (z) faktorisiert, d.h. H(z) = k H (z) k 2 H 2 (z), (4.25) wobei die in Abbildung 4-8 dargestellte Pol-Nullstellenpaarung vorgenommen wird (Matlab Signal Processing Toolbox tf2sos). H (z) H 2 (z) H (z) H 2 (z) Abbildung 4-8: Pol-Nullstellendiagramm zu Beispiel-Filter.

21 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-2 An den Ausgängen der beiden Biquad-Filter darf kein Wert grösser als werden. Die beiden Skalierungsfaktoren k und k 2 der beiden Biquad-Filter H (z) und H 2 (z) in Gleichung (4.25) werden deshalb so gewählt, dass k max(ih (f)i) < und k k 2 max(ih (f) H 2 (f)i) < (4.26) Damit wird ein Überlauf unwahrscheinlich, aber nicht unmöglich. Die beiden Skalierungsfaktoren k und k 2 können in die b-koeffizienten der beiden Biquad-Filter integriert werden. In Abbildung 4-9 ist das Spektrum [db] von k IH (f)i und k 2 IH 2 (f)i dargestellt, wobei nun alle Filterkoeffizienten auf W=8 Bit quantisiert worden sind. Im 2. Biquadfilter ist die Pol-Überhöhung gut erkennbar. Die Summe der beiden Teil-Spektren ergibt das Spektrum [db] des Gesamt-Filters H(z). Es ist gut erkennbar, dass die Spezifikation aus Tabelle 4-2 erfüllt werden kann. In Abbildung 4-9 ist das Spektrum [db] des Filters IH dir (f)i dargestellt, das ausgehend von der Filterspezifikation in Tabelle 4-2 nicht als Biquad-Kaskade, sondern in einer Direktform mit 8-Bit quantisierten Filterkoeffizienten realisiert worden ist. Man erkennt, dass die Spezifikationen aus Tabelle 4-2 nicht mehr erfüllt sind. Abbildung 4-9: Betragsspektren der beiden Biquadfilter, des Biquad-Kaskaden-Filters sowie eines äquivalenten Filters in Direktstruktur.

22 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, Anhang Matlab SPT-Funktionen % Dokumentation % ==================================================================== help signal help filter doc conv % listet alle Funktionen der Signal Processing Toolbox auf % Hilfe für Funktion "filter" % Hilfe für Funktion "conv", nur >> doc Zugang zu Index-Suche % Filterung mit der Differenzengleichung (vgl. Beispiel S. 4-5/6) % ==================================================================== b=[0.0909]; a=[ ]; x=ones(,50); % b-filterkoeffizienten % a-filterkoeffizienten % Einheitssprung (Zeilenvektor) y=filter(b,a,x); % Filterung via Differenzengleichung 4. stem(y,'filled'); % Alternative zu plot, Stängel-Plot pause % Filterung mit der Faltungssumme (vgl. Beispiel S. 4-5/6) % ==================================================================== h=0.0909*(0.909).^[0:50]; stem(h,'filled'); % Impulsantwort % Plot der Impulsantwort pause y=conv(x,h); % Faltung stem(y,'filled'); pause

23 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-23 % Frequenzgang eines Filters (vgl. Beispiel S. 4-8) % ==================================================================== clear fs=0000; b=[0.06]; a=[ -0.94]; [H,w]=freqz(b,a); fachse=(w/pi)*(fs/2); % Abtastfrequenz % Filterkoeffizienten, Zählerkoeffizienten der UTF % Filterkoeffizienten, Nennerkoeffizienten der UTF % Frequenzgang, Achtung Normierung der Frequenz % Entnormierung der Frequenzachse semilogx(fachse,20*log0(abs(h)),'linewidth',2.0); % Bodediagramm grid; xlabel('frequenz [Hz]'); ylabel('amplitude [db]') title('bodediagramm RC-TP. Ordnung'); % Beschriftung x-achse % Beschriftung y-achse % Titel für Plot pause % Pol-Nullstellendiagramm (vgl. Beispiel S. 4-) % ==================================================================== clear b=[ - -]; % Filterkoeffizienten FIR-Filter a=[]; zplane(b,a); % Pol-Nullstellen-Darstellung pause % Transformation PN-Darstellung <==> UTF % ==================================================================== [Z,P,K]=tf2zpk(b,a) % UTF => PN-Darstellung, Bildschirmausgabe pause [num,den]=zp2tf(z,p,k) % PN-Darstellung => UTF

24 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, Anhang Korrelation Die unnormierte (Kreuz-) Korrelation zwischen den Signalen x[n] und y[n] ist wie folgt definiert xy[m] = x[n] y[n m] n= r. (4.27) Die Korrelation ist ein Mass für die Ähnlichkeit der beiden Signale x[n] und y[n]. Wenn y[n] = x[n] nennt man r xx [m] Autokorrelation. Sie gibt an, wie ähnlich sich ein Signal x[n] und eine um m Abtastintervalle verschobene Kopie von x[n] sind. Die Autokorrelation ist natürlich maximal wenn m=0 und entspricht dann der Signalleistung. In der Technik wird die Korrelation sehr häufig eingesetzt, z.b. um das endlich lange Signalmuster x[n] im unendlich langen Zeitsignal y[n] zu finden, oder die zeitliche Verschiebung zwischen einem Sendesignal x[n] und dem Empfangssignal y[n] zu bestimmen usw. In der Folge nehmen wir an, dass das Signal x[n] nur aus N Werten im Zeitintervall n=0,,n besteht, y[n] aber unendlich lang ist. Der Korrelationswert r xy [m] kann dann wie folgt bestimmt werden: r xy [m] = x[0] y[m] x[] y[m] x[n] y[mn]. (4.28) In Abbildung 4-20 ist die Berechnung der Korrelation r xy [m] grafisch dargestellt. x[n] r xy [m] = x[n] y[n m] n= m T s y[n] y[] y[0] y[] y[m] y[mn] x[n] m T s x[0] x[n] r xy [m] = x[0] y[m] x[] y[m] x[n] y[mn] Abbildung 4-20: Berechnung der Korrelation r xy [m].

25 ZHAW, DSV, FS2009, Rumc, 4-25 Gleichung (4.28) kann aber wie folgt umformuliert werden: r xy [m] = x[n] y[mn] x[n-] y[mn-] x[0] y[mn-n]. (4.29) Die Korrelation r xy [m] kann also auch durch Faltung von y[n] mit dem zeitlich umgedrehten Signal x[n-n] = h[n], n=0,,n, bestimmt werden. Damit kann die Korrelation r xy [m] mit dem in Abbildung 4-2 dargestellten FIR-Filter bestimmt werden. y[mn] T s y[mn-] T s y[m] b 0 b b N =x[n] =x[n-] =x[0] r xy [m] = x[-.] * y[.] b 0 b b N Matlab b = x(n:-:); rxy = filter(b,,y); % oder xcorr() Signal x[n] zeitlich umgedreht! Abbildung 4-2: Bestimmung der Korrelation r xy [m] durch FIR-Filterung.