Derivate und Bewertung

Transkript

1 Derivae und Bewerung Dr. Daniel Sommer Universiä Hohenheim Winersemeser 9/

2 In diesem Modul wird diskuier Modul I Einführung warum diese Vorlesung für Sie sinnvoll sein kann, warum ich Lus habe, diese Vorlesung nochmals zu halen, welche Inhale Sie in dieser Vorlesung erwaren, was ich von Ihnen in dieser Vorlesung erware, wie die Vorlesung organisier is.

3 warum diese Vorlesung für f r Sie sinnvoll sein kann Quelle: BIS Eine moderne Ökonomie ohne Derivae is undenkbar! Die meisen Derivae werden OTC gehandel. 3

4 warum diese Vorlesung für f r Sie sinnvoll sein kann Zum OTC- Volumen komm das Volumen börsengehandeler Derivae hinzu. Börsen sind besonders sark im Opionshandel. 4

5 warum diese Vorlesung für f r Sie sinnvoll sein kann Erfahrene Beraer m/w Advisory Financial Services Eine Fülle von ineressanen Jobs ware auf Sie Financial Risk Managemen - Kredi-, Mark-Risikomanagemen, Operaional-, Liquidiäs-Risikomanagemen, Risikoberichsersaung, Economic Capial Managemen, Limisyseme, Risiko-Sraegie, -Organisaion, -Prozesse, Risikomessmehodik, Derivaebewerung, IT-Unersüzung Accouning Advisory Services - IFRS-Conversions, Qualiy Close, - Budge, Forecasing & Financial Modelling, Accouning Suppor Banker, Mahemaiker, Informaiker oder Physiker für unser Team Zinsderivae/Bankenseuerung Exoic Ineres Rae Derivaives developer/analys 5

6 warum diese Vorlesung für f r Sie sinnvoll sein kann Referen/in Risikomanagemen Risikomanager/in Sraegische Risikoseuerung Eine Fülle von ineressanen Jobs ware auf Sie Credi Risk Managemen Analys Miarbeier/in Derivaives Selemen Risk-Analys/in Raingsyseme Credi & Group Risk Conrol Senior Manager w/m Kernprozesse, Bank IT und Risk Managemen Consuling 6

7 warum ich Lus habe, diese Vorlesung zu halen mein Wunsch, Sie an meiner Erfahrung eilhaben zu lassen: 996 Promoion in Bonn im Bereich Zinssrukurmodelle Täigkei im Handelsbereich einer deuschen Großbank 998 bis heue Miglied der Financial Risk Managemen Group bei KPMG, sei 3 als Parner zusändig für Risk Mehodology die Dynamik auf dem Gebie der Derivae sowohl in der Praxis als auch in der Wissenschaf, der unmielbare Awendungsbezug der Theorie, meine Erfahrungen aus Vorsellungsgesprächen und bei der Arbei mi Berufsanfängern, meine sändige Suche nach neuen Talenen für unsere Firma. 7

8 welche Inhale Sie erwaren In diesem Modul wird diskuier Modul II Arbirage und nich-opionale Zinsderivae was man uner Derivaen verseh, welche ökonomischen Prinzipien der Bewerung von Derivaen zugrunde liegen, was man uner Zero-Coupon Bonds, FRAs, Swaps und Fuures verseh und wie man sie bewere, was eine Zinskurve is, welche verschiedenen Darsellungen der Zinskurve es gib und wie man sie ineinander überführ, welche Zinsrisikomaße es gib und wie man sie einsez. 8

9 welche Inhale Sie erwaren In diesem Modul wird diskuier Modul III Akienopionen was man uner Akienopionen verseh, was man aus saischen Porfoliosraegien über die Bewerung von Opionen lernen kann, wie man die Konzepe der Duplikaion und der No-Arbirage auf dynamische Werpapiermärke überragen kann, wie man ein dynamisches Bewerungsmodell für Opionen konsruier und darin Opionen bewere, was man uner Zusandspreisen verseh und wie man dami Derivae bewere. 9

10 welche Inhale Sie erwaren In diesem Modul wird diskuier Modul IV Besondere Bewerungsalgorihmen: Exoische Opionen und Dividenden wie man einen Überblick über die Wel der exoischen Opionen gewinnen kann, ob und wie man einige exoische Opionen in den bisher diskuieren Modellen beweren kann, welche besonderen Charakerisika besimme exoische Opionen aufweisen und welche Konsequenzen dies für das Hedging ha, wie man Dividenden in das bisherige Bewerungsmodell einbauen kann.

11 welche Inhale Sie erwaren In diesem Modul wird diskuier Modul V Währungsderivae was man uner Zinspariä verseh, was Zins-Währungsswaps sind, wie man sie bewere und welche Rolle dabei Basis- Swaps spielen, was Währungsopionen sind und wie man sie bewere, was Implizie Volailiäen und Smiles sind.

12 welche Inhale Sie erwaren Modul VI In diesem Modul wird diskuier Ausblick warum Sie in dieser Vorlesung zwar hoffenlich viel gelern haben, aber dennoch der Saz gil: Ich weiß, daß ich nichs weiß.

13 was ich von Ihnen in dieser Vorlesung erware Begeiserung für Derivae und Finanzmärke, Freude am Knobeln die Bereischaf, über die Vorlesungssunden hinaus inensiv am Soff zu arbeien, den unbedingen Willen, sich durchzubeißen, Grundlagenkennnisse in linearer Algebra und Analysis im wesenlichen Abiurniveau. 3

14 wie die Vorlesung organisier is geplane Vorlesungsermine: Mona November Dezember Januar Daum , 8.. wird nachgehol 9.. Februar 5.. Nach jeder Vorlesung beseh bis 9: Uhr Gelegenhei für Fragen. Die Vorlesung wird begleie von Seve Kirch Die Folien zur Vorlesung werden nach jeder Vorlesung über den Lehrsuhl von Prof. Dr. Burghof per zur Verfügung gesell. 4

15 In diesem Modul wird diskuier Modul II Arbirage und nich-opionale Zinsderivae was man uner Derivaen verseh, welche ökonomischen Prinzipien der Bewerung von Derivaen zugrunde liegen, was man uner Zero-Coupon Bonds, FRAs, Swaps und Fuures verseh und wie man sie bewere, was eine Zinskurve is, welche verschiednen Darsellungen der Zinskurve es gib und wie man sie ineinander überführ, welche Zinsrisikomaße es gib und wie man sie einsez. 5

16 was man uner einem Deriva verseh Definiion gemäß IAS 39 Quelle: IASCF 6

17 ökonomische Prinzipien der Bewer- ung von Derivaen No-Arbirage und Duplizierung: Ein Räsel! Herr Professor P riff seinen Sudenen S an der Bushaleselle. Da der Bus nich komm, mach S einen Vorschlag: Herr Professor, lassen Sie uns folgendes Spiel spielen: Sie sellen mir eine Frage. Wenn ich sie nich beanworen kann, zahle ich Ihnen. Dann selle ich Ihnen eine Frage. Wenn Sie diese nich beanworen können, zahlen Sie mir. Nein, sag P, das is nich fair. Ich bin Professor, Sie Suden. Wenn ich einen Fehler mache, zahle ich Ihnen,. Als der Bus komm, ha P kein Geld mehr, um eine Fahrkare zu kaufen. Wieso? 7

18 ökonomische Prinzipien der Bewer- ung von Derivaen Definiion: Zero-Coupon Bond No-Arbirage und Duplizierung: Eine einfache Anwendung B, B i, j Preis zum Zeipunk eines Euro ausgezahl zum Zeipunk Preis zum Zeipunk i eines Euro ausgezahl zum Zeipunk j Ein Zero-Coupon Bond mi Laufzei von i bis j is ein Finanzinsrumen, das bei seiner Fälligkei zum Zeipunk j genau eine Währungseinhei zahl. Weiere Zahlungen während der Laufzei finden nich sa. 8

19 ökonomische Prinzipien der Bewer- ung von Derivaen Problemsellung No-Arbirage und Duplizierung: Eine einfache Anwendung Zum Zeipunk seien die Preise aller Zero-Coupon Bonds bekann. B, Ein Unernehmen U weiß zum Zeipunk, daß es zum Zeipunk eine Zahlung Z erwaren kann, die es bis zum Zeipunk anlegen kann. Auf welchen Berag wird Z bis angewachsen sein, wenn sich U in verpfliche, Z zum Zeipunk zu einem bereis in fesgelegen Zinssaz anzulegen? 9

20 ökonomische Prinzipien der Bewer- ung von Derivaen Zwei Porfolien in No-Arbirage und Duplizierung: Eine einfache Anwendung P: Kauf eines Zero-Coupon Bonds zum Zeipunk mi Fälligkei mi einem Nominalvlumen von Z B, / B, Krediaufnahme i.h.v. Z B, mi Laufzei von bis. P: Zum Zeipunk Abschluß eines Verrages, in den dann fälligen Berag in einen Zero-Coupon Bond mi Laufzei von bis zu einem in fesgelegen F ;, Preis von zu invesieren.

21 ökonomische Prinzipien der Bewer- ung von Derivaen Analyse in No-Arbirage und Duplizierung: Eine einfache Anwendung Die Anfangsinvesiion in P und P zum Zeipunk is gleich und beräg Null. Zum Zeipunk erfolg in P die Rückzahlung des Kredies aus der eingehenden Zahlung Z. In P wird Z zu dem zuvor fesgelegen Preis F ;, in einen Zero-Coupon Bond mi Fälligkei angeleg. Es erfolg keine zusäzliche Ein- oder Auszahlung aus dem Porfolio. Konsequenz: P und P müssen zum Zeipunk den gleichen Wer haben.

22 ökonomische Prinzipien der Bewer- ung von Derivaen Definiion: Terminpreis eines Zero-Coupon Bonds No-Arbirage und Duplizierung: Eine einfache Anwendung Z B = Z F ;, B Dami gil: F ;,,, F ;, = B B,, wird als Terminpreis zum Zeipunk des Zero-Coupon Bonds mi Laufzei bis bezeichne. Die Zahlung Z wird auf den Wer anwachsen. F Z ;,

23 ökonomische Prinzipien der Bewer- ung von Derivaen Definiion: Terminpreis eines Zero-Coupon Bonds No-Arbirage und Duplizierung: Eine einfache Anwendung Mi der gleichen Argumenaion wie zuvor gil allgemein: B i, n F i; m, n : =, wobei i m B, F i; m, n i m wird als Terminpreis zum Zeipunk i des Zero-Coupon Bonds mi Laufzei m bis n bezeichne. n 3

24 was man uner FRAs verseh Definiion: Coninuously Compounded Zinssäze Zusammenhang zwischen Termin- Preisen und Termin- Zinsen Der Coninuously Compounded Zero- Coupon Bond Zinssaz is definier durch: y i f i, ; j m lnb i, : =, n j lnf i; : = i n lnb = j i,, n m m n wobei Der Coninuously Compounded Zero- Coupon Bond Termin-Zinssaz is definier durch:, n lnb m i i, m j 4

25 was man uner FRAs verseh Zusammenhang zwischen Termin- Preisen und Termin- Zinsen Infiniesimale Terminzinssäze Im Grenzwer ergib sich für n gegen m : f i ; m lnf i; : = lim n m = lim n m lnb = und außerdem: y i, j = j i m n lnb, i m i i, j m m n, n n lnb f i m ;s ds i, m 5

26 was man uner FRAs verseh Definiion: Unerjährige Annually Compounded Zinssäze Zusammenhang zwischen Termin- Preisen und Termin- Zinsen Der unerjährige Annually Compounded Zero- Coupon Bond Zinssaz bei Tageszählkonvenion k is definier durch: z zf i ; i m, j, n i, m j, : = ; k n : = ; k B i, Analog is der ensprechende Terminzinssaz definier durch: F i j ; m, n 6

27 was man uner FRAs verseh Quelle: ISDA ISDA Marke Convenions Quelle: Trema Quelle: Trema 7

28 was man uner FRAs verseh Forward rae agreemen FRA A conrac beween wo paries o fix he forward rae of ineres on a noional loan, for an agreed period of ime saring on a specified fuure dae. FRA: Definiion und Beispiel Assume ha firm A needs o borrow $ million in hree monhs ime for a erm of six monhs and wishes o proec iself agains a rise in ineres raes. I can buy an FRA from firm B a an agreed rae of, say, %. If, a he end of he hree monhs, marke ineres raes have risen o %, B will pay A an amoun based on he % difference applied o he principal of $ million for a period of six monhs. Conversely, if ineres raes drop o 9%, A will pay o B an amoun based on he % difference. Selemen is usually made a he beginning of he forward period, raher han a he end, herefore he amoun paid is discouned accordingly. 8

29 was man uner FRAs verseh F.R.A. CONTRACT AGREEMENT DATE CONFIRMATION NOTICE TO:- FROM:- PART To Be Used on he Agreemen Dae We are pleased o confirm he following Forward Rae Agreemen 'F.R.A.' made beween ourselves as per FRABBA Recommended Terms and Condiions daed 985. Direc/Broker CONTRACT CURRENCY & AMOUNT FIXING DATE FRA Geschäfsbesäigung: Teil Geschäfsabschluß SETTLEMENT DATE MATURITY DATE CONTRACT PERIOD DAYS CONTRACT RATE % per annum on an acual over 36/365 days basis as applicable SELLER'S NAME BUYER'S NAME NON-STANDARD TERMS & CONDITIONS IF ANY Any paymen o be made o us under he F.R.A. hereby confirmed should be credied o our Accoun Number a PLEASE ADVISE BY TELEX, OR CABLE US IMMEDIATELY, SHOULD THE PARTICULARS OF THIS CONFIRMATION NOT BE IN ACCORDANCE WITH YOUR UNDERSTANDING. Eiher:- Or:- SIGNED TESTED TELEX CONFO FOR AND ON BEHALF OF 9

30 was man uner FRAs verseh Quelle: Reuers FRA Quoierungen 3

31 was man uner FRAs verseh P A R T II T o B e U sed o n h e S e le m e n D a e F.R.A. C O N T R A C T A G R E E M E N T D A T E C O N F IR M A T IO N N O T IC E - S E T T L E M E N T T O :- F R O M : FRA Geschäfsbesäigung: Teil Selemen W e re fe r o h e fo llo w in g F o rw a rd R a e A g re e m e n 'F.R.A.' m a d e b ew e e n o u rse lv e s a s p e r F R A B B A R e c o m m e n d e d T e r m s a n d C o n d iio n s d a e d D ire c /B ro k e r C O N T R A C T C U R R E N C Y & A M O U N T F IX IN G D A T E S E T T L E M E N T D A T E M A T U R IT Y D A T E C O N T R A C T P E R IO D D A Y S C O N T R A C T R A T E..% p e r a n n u m o n a n a c u a l o v e r 3 6 /3 6 5 d a y s b a sis a s a p p lic a b le S E L L E R 'S N A M E.. B U Y E R 'S N A M E.. N O N -S T A N D A R D T E R M S & C O N D IT IO N S IF A N Y S E T T L E M E N T R A T E % p e r a n n u m S E T T L E M E N T S U M $ / ec. S E T T L E M E N T IN S T R U C T IO N S :- W E P A Y T H E S E T T L E M E N T S U M O N T H E S E T T L E M E N T D A T E T O Y O U R A C C O U N T N O A T W E R E C E IV E T H E S E T T L E M E N T S U M O N T H E S E T T L E M E N T D A T E A T O U R A C C O U N T N O A T 3

32 was man uner FRAs verseh FRA Berechnung der Zahlung am Selemen Dae 4. Selemen for conrac periods in excess of one year see Secion E 4. Wherever wo paries ener ino a F.R.A. he Buyer will agree o pay o he Seller on he Selemen Dae if he Conrac Rae exceeds he BBA Ineres Selemen Rae, and he Seller will agree o pay o he Buyer on he Selemen Dae if he BBA Ineres Selemen Rae exceeds he Conrac Rae an amoun calculaed in accordance wih he following formula: Seller of money a when L is higher han R L R D A B L D or b when R is higher han L R L D A B L D Buyer of money where L = BBA Ineres Selemen Rae expressed as a number and no a percenage, e.g..65 and no.65% R = Conrac Rae expressed as a number and no a percenage D = Days in Conrac Period A = Conrac Amoun B = 36 excep where he Conrac Currency is Pounds Serling or any oher currency where he conrac rae is calculaed on 365 days according o marke cusom when 'B' =

33 33 Bewerung eines FRA während der Laufzei was man uner was man uner FRAs FRAs verseh verseh Aus Sich des proecion sellers Sicherungsgebers:,, ;, ; m n m n m B D zf B A D R zf Aus Sich des proecion buyers Sicherungsnehmers:,, ;, ; m n m n m B D zf B A D zf R Sichweise: Absicherung gegen seigende Zinsen in der Zukunf

34 was man Swaps verseh Swap: Definiion und Beispiel An ineres rae swap is a conrac beween wo or more paries o pay each oher ineres sreams calculaed on differen bases, on a noional principal, for an agreed erm. Typically in a coupon or plain vanilla swap, one pary pays a fixed rae of ineres in exchange for a floaing rae. Receiver Swap: Berachung des Swaps aus Sich desjenigen, der die fixed rae erhäl. Payer Swap: Berachung des Swaps aus Sich desjenigen, der die fixed rae zahl. 34

35 was man uner Swaps verseh Swap Geschäfsbesäigung Teil 35

36 was man uner Swaps verseh Swap Geschäfsbesäigung Teil 36

37 was man uner Swaps verseh Swap Geschäfsbesäigung Teil 3 37

38 was man uner Swaps verseh Swap Geschäfsbesäigung Teil 4 38

39 was man uner Swaps verseh Quelle: Reuers Quelle: Reuers Swap Quoierungen 39

40 was man uner Swaps verseh Quelle: ISDA ISDA Marke Convenions Bond Basis 4

41 was man uner Swaps verseh Quelle: Trema ISDA Marke Convenions 4

42 was man uner Swaps verseh Zahlungsermine des Floa-Legs s s s3 s4 Bewerung eines Swaps während der Laufzei: Fixed-Leg a b Abschlußdaudaum Bewerungs- Zahlungsermine des Fixed-Legs Der Wer des Fixed-Legs is gegeben durch: PV fix I : = sw a, = I i, i; ksw B b, i i sw a, I wobei den Swapsaz zum Abschlußdaum des Swaps mi Laufzei bis I bezeichne. 4

43 was man uner Swaps verseh Bewerung eines Swaps während der Laufzei: Floa-Leg Idee zur Bewerung des Floa-Legs: Durch den Abschluß einer Serie von FRAs kann sichergesell werden, daß alle Zahlungen des Floa-Legs an den noch nich gefixen Terminen den Termin-Zinssäzen zum Zeipunk b für diese Termine ensprechen. Der Abschluß des FRAs is kosenlos. Dami ergib sich für den Wer des Floa- Legs: PV : = z,, ; k B b, floa fürb= J = B b, = B b, zf b; z,, = B b,,, ; k ; k B b, j= j j j j fl j J fl I fl B b, B b, J 43

44 was man uner Swaps verseh Zu jedem Zeipunk der Laufzei eines Swaps gil: PV rec swap = PV fixed PV floa = PV pay swap Besimmung des Swapsazes zu Beginn der Laufzei Zu Beginn der Laufzei eines Swaps gil: PV rec swap PV floa = PV fixed = = PV pay swap Dami is der Swapsaz definier durch: B a, sw a, I I = sw a, I I = i, i; ksw B a, B a, I = I = i, i; ksw B a, i i i i 44

45 was man uner Swaps verseh Umsellen der Besimmungsgleichung für den Swapsaz ergib: = B a, I sw a, I I = i, i; ksw B a, i i Der Zusammenhang zwischen Swaps und Coupon Bonds Die reche Seie der Gleichung ha die Srukur der Bewerungsgleichung für einen Coupon Bond, wobei der Coupon c gleich dem Swapsaz sw is. PV Bond = B a, I I c = i, i; ksw B a, i i Dami kann der Swapsaz als Par-Coupon für einen Bond inerpreier werden, der die gleiche Krediqualiä wie ein Swap ha. 45

46 was man uner Fuures verseh Eine Porfoliosraegie: Vorüberlegungen: Terminpreise für Coupon Bonds und Terminswapsäze Kaufe zum Zeipunk einen Coupon Bond mi Coupon c und Laufzei bis I und Coupon-Zahlungserminen i, i=... I Finanziere den Kauf durch einen Kredi in Höhe von PV Bond Verkaufe den Bond auf Termin zum Zeipunk F < I zum Preis von FPV Bond Invesiere alle zwischen und F anfallenden Couponzahlungen zu den in für den jeweiligen Zahlungsermin güligen Terminzinsen mi Fälligkei F Tilge den Kredi zum Zeipunk F 46

47 was man uner Fuures verseh Analyse: Vorüberlegungen: Terminpreise für Coupon Bonds und Terminswapsäze Der Wer des Porfolios zum Zeipunk beräg Null. In der Zei zwischen und F werden keine zusäzlichen Beräge in das Porfolio invesier, noch werden Beräge aus dem Porfolio ennommen. D.h., die Porfoliosraegie is selbsfinanzierend. Konsequenz: Der Wer des Porfolios zum Zeipunk F muß ebenfalls Null beragen. Anderenfalls ergäbe sich eine Arbiragemöglichkei. 47

48 was man uner Fuures verseh Vorüberlegungen: Terminpreise für Coupon Bonds und Terminswapsäze Dami läß sich der Terminpreis des Coupon Bonds aus folgender Gleichung besimmen: J B, i = FPVBond ; F, I ; c c, ; i i i k = B, PVBond, I B, FPV F ; c Dabei is < J < F. Und J is der leze Coupon Zahlungsermin vor dem Zeipunk des Terminverkaufs des Bonds, F. Nach Umformung folg: Bond ; F B, I ; c = B c,, I F I B, i i = J i B, F F, ; k i 48

49 was man uner Fuures verseh Vorüberlegungen: Terminpreise für Coupon Bonds und Terminswapsäze Analog zu den vorangegangenen Überlegungen ergib sich der Terminswapsaz als Par-Coupon Saz für den Termin Coupon Bond. = FPV = B B fsw fsw Bond,, I F ; ; F F,, I ; I F, = I ; fsw ; F B, I i i = J i B, F B, I, B, F I I B i = J i, i, ; k i i, ; k 49

50 was man uner Fuures verseh Unerschiede zwischen Terminkonraken und Fuures Finanz-Terminkonrake engl.: Forwards und Finanz-Fuures sind insofern gleich, als sie den Ver-Kauf eines Finanzinsrumens zu einem Termin in der Zukunf zu einem heue fesgelegen Preis erlauben. Jedoch gib es einige wichige Unerschiede: TABLE.3 p. 4 FORWARDS Privae conrac beween paries Non-sandard conrac Usually specified delivery dae FUTURES Exchange raded Sandard conrac Range of delivery daes Seled a end of conrac Delivery or final cash selemen usually occurs Some credi risk Seled daily Conrac usually closed ou prior o mauriy Virually no credi risk Quelle: Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 6 h Ediion, John C. Hull 5 5

51 was man uner Fuures verseh Daily Selemen und Margins Bei Abschluß eines Fuures-Konrakes sell der Konrakparner dem Clearinghaus der Terminbörse eine Iniial-Margin in Form von Cash oder Werpapieren ersklassiger Boniä. Die Margin wird auf das Margin-Kono gebuch. Alle Preisveränderungen des Fuures werden über das Margin-Kono abgerechne. Sink das Guhaben auf dem Margin- Kono uner einen besimmen Berag, erfolg ein Margin-Call. Der Konrakparner muß dann Variaion-Margin sellen. 5

52 was man uner Fuures verseh Gleichhei von Termin- und Fuures-Preis bei deerminisischen Zinsen Behaupung: Uner Vernachlässigung des Konrahenenausfallrisikos sind bei deerminisischer Zinsenwicklung Termin- und Fuures-Preise für denselben zugrunde liegenden Coupon Bond und für denselben Lieferermin in der Zukunf zum Zeipunk des Verragsabschlusses und während der gesamen Verragslaufzei gleich. 5

53 was man uner Fuures verseh Begründung: Gleichhei von Termin- und Fuures-Preis bei deerminisischen Zinsen Bei deerminisischer Zinsenwicklung sind der Termin-Preis FPVBond ; F, I ; c und der Fuures-Preis FuPVBond ; F, I ; c für einen Coupon Bond konsan in. Wäre dies nich so, können zu unerschiedlichen, aber bereis heue sicher bekannen Zeipunken kosenlos gegenläufige Posiionen in den Verrägen eingegangen und so sichere Gewinne erziel werden Arbiragemöglichkei!. Am Ende der Laufzei sind die Auszahlungsprofile von Termin- und Fuures- Verrägen idenisch. Dami müssen beide Preise idenisch sein, sons Arbiragemöglichkeien!. 53

54 was man uner Fuures verseh Achung: Bei sochasischen Zinsen fallen Forwardund Fuurespreise auseinander! Begründung: Abweichung von Termin- und Fuures-Preis bei sochasischen Zinsen Der Inhaber einer Long-Posiion im Fuures muß bei seigenden Zinsen Ausgleichszahlungen leisen, d.h. er muß Kredi zu ungünsigen Kondiionen aufnehmen. Bei fallenden Zinsen erhäl er Ausgleichszahlungen, kann diese aber nur zu ungünsigen weil niedrigeren Zinsen anlegen. Dami muß der Fuurespreis uner dem Forwardpreis liegen. 54

55 was man uner Fuures verseh Conrac Specificaions Version 8 Jul 5 Beispiel: Bund- Fuures. Conrac Sandard Noional long-erm deb insrumen issued by he Federal Republic of Germany wih a six percen coupon. Conrac Value EUR Fixed Income Fuures: EUR, Selemen A delivery obligaion arising ou of a shor posiion in a Bund Fuures conrac may only be fulfilled by he delivery of cerain deb securiies issued by he Federal Republic of Germany wih a remaining erm on he Delivery Day of 8.5 o.5 years. Such deb securiies have a minimum issue amoun of EUR 5 billion. 55

56 was man uner Fuures verseh Beispiel: Bund- Fuures Price Quoaion and Minimum Price Change The Price Quoaion is in percen of he par value. The Minimum Price Change is.% or EUR. Delivery Day The enh calendar day of he respecive quarerly monh, if his day is an exchange rading day; oherwise, he following exchange rading day. Conrac Monh The hree successive quarerly monhs of he March, June, Sepember and December cycle. Noificaion Clearing members wih open shor posiions on he Las Trading Day of he mauring delivery monh mus noify Eurex which deb insrumens hey will deliver. Such noificaion mus be given by he end of he Pos-Trading Full Period : CET.. 56

57 was man uner Fuures verseh Beispiel: Bund- Fuures. Las Trading Day Two exchange rading days prior o he Delivery Day of he relevan delivery monh. Trading in he mauring delivery monh ceases a :3 CET. Daily Selemen Price The closing price deermined wihin he closing aucion; if no price can be deermined in he closing aucion or if he price so deermined does no reasonably reflec he prevailing marke condiions, he daily selemen price will be he volume-weighed average price of he las five rades of he day, provided ha hese are no older han 5 minues; or, if more han five rades have occurred during he final minue of rading, he volume-weighed average price of all rades ha occurred during ha period 57

58 was man uner Fuures verseh Daily Selemen Price If such a price canno be deermined, or if he price so deermined does no reasonably reflec he prevailing marke condiions, Eurex will esablish he official selemen price. Beispiel: Bund- Fuures. Final Selemen Price The volume-weighed average price of he las en rades of he day, provided ha hese are no older han 3 minues; or, if more han en rades have occurred during he final minue of rading, he volume-weighed average price of all rades ha occurred during ha period. The Final Selemen Price is deermined a :3 CET on he Las Trading Day. 58

59 was man uner Fuures verseh Beispiel: Bund- Fuures. FuPV PV Deliverable Bonds Expiry monh Dec 5 Deliverable Coupon Rae Mauriy Conversion Bond ISIN % Dae Facor DE DE DE Ergebnis für den Inhaber einer Verkaufsposiion im Bundfuures bei Final Selemen: Bond _ i Conversionfacor Sückzinsen Bond _ i Bond _ i Bond_i EUR. Lieferopion: Der Inhaber der Verkaufsposiion liefer die Anleihe aus der obigen Lise, die sein Ergebnis bei Lieferung maximier. Diese Anleihe heiß Cheapes o Deliver CTD. 59

60 was man uner Fuures verseh Zusammenhang zwischen heoreischem Fuures- Preis und dem börsenquoieren Fuures-Preis Problemsellung: Durch den Conversion-Facor wird keine exake Barwer-Bewerung der einem Fuures zugrundeliegenden Anleihe auf Basis der jeweils akuellen Zinskurve erreich. Außerdem enhäl der börsenquoiere Fuures-Preis keine aufgelaufenen Sückzinsen. Dami ensprich der börsenquoiere Fuures-Preis nich dem oben abgeleieen. heoreischen Fuures Preis. Der Zusammenhang is gegeben durch: FuPV CTD; exch = FuPV CTD Sückzinsen Conversionfacor CTD CTD 6

61 was man uner Fuures verseh Begriffsdefiniion Open Ineres: das Gesamvolumen der offenen Posiionen, d.h., enweder Summe aller Kauf- oder Verkaufsposiionen Volume und Open Ineres. Volume: Handelsumsaz in einer Handelsperiode Fragen Wie veränder sich das Open Ineres bei Abschluß eines neuen Konrakes? Kann das Handelsvolumen in einer Periode größer sein als das Open Ieres in dieser Periode? 6

62 was man uner Fuures verseh Beispiel Bund-Fuures Volume und Open Ineres. 6

63 was eine Zinskurve is Darsellungen Die Zinskurve oder Yield-Curve is eine Funkion, die einem besimmen Beobachungszeipunk s und einer Fälligkei bzw. Endzeipunk einen Zinssaz irs, zuordne: R R s, R ir s, ; s. Inerpreaionen: Swapkurve: irs,= sws, bezeichne den Swapsaz beobache zum Zeipunk s für einen Swap mi Endzeipunk in. Zero-Yield-Curve: irs,= ys, bezeichne die con. compounded Rendie eines Zero Coupon Bonds mi Fälligkei beobache zum Zeipunk s. 63

64 was eine Zinskurve is Die Zero Coupon Bond Curve is eine Funkion, die einem besimmen Beobachungszeipunk s und einer Fälligkei den Preis eines Zero Coupon Bonds Bs, zuordne: Darsellungen. R R s, R B s, ; s 64

65 was eine Zinskurve is Darsellungen Eine Termin-Zinskurve oder Forward- Curve is eine Funkion, die einem besimmen Beobachungszeipunk s, einem Termin und einer Fälligkei u einen Termin-Zinssaz Fs;,u zuordne: R R R s,, u R s,, u ; s u. Inerpreaionen: -Tages-Terminzinskurve: fs;,tag bezeichne die con. compounded Termin- Rendie einer Null-Coupon Anleihe, beobache zum Zeipnk s, erworben zum Termin, fällig in Tag. Alernaiv können auch Fälligkeien von Mona, Jahr ec. berache werden. f 65

66 was eine Zinskurve is Zinskurven: ein reales Beipsiel Trade dae 3-Dec-3 Source Mode: HIST Quoe: MID Dae Adfin DF IRS Srucure TR_USD_AM3L CCY code USD Swap RIC mid AM3L Swap RIC end Real ime updae FRQ:5S Days o swap Calendar USA Period Insrumen Type Inpu quoe Markdaen Inpu LBOTH CLDR:USA ACC:MMA ARND:NO CCM:MMA CFADJ:YES CRND:NO DMC:MODIFIED EMC:SAMEDAY IC:S PDELAY: REFDATE:MATURITY RP: RT:BULLET XD:NO LPAID LTYPE:FIXED FRQ:Y LRECEIVED LTYPE:FLOAT SPREAD: FRQ:Q Inpu o Adfin zero curve Used Sar Dae Mauriy Insrumen Dae Coupon Rae Marke berechnee Preise von Zero Coupon Bonds Insrumen Srucure Rae Srucure DF RM:YC IM:CUBD ZCTYPE:DF AdMode DF RET:A3 Adfin zero curve Dae Adfin DF ON D.9% D 3-Dec-3 -Jan-4 %.9% USD 3-Dec-3. TN D.3% D -Jan-4 5-Jan-4 %.3% USD -Jan SW D.4% D 5-Jan-4 -Jan-4 %.4% USD 5-Jan W D.% D 5-Jan-4 -Jan-4 %.% USD -Jan W D #VALUE! 5-Jan-4 6-Jan-4 % #VALUE! USD -Jan M D.6% D 5-Jan-4 5-Feb-4 %.6% USD 5-Feb M D.8% D 5-Jan-4 5-Mar-4 %.8% USD 5-Mar M D.% D 5-Jan-4 5-Apr-4 %.% USD 5-Apr M D.3% D 5-Jan-4 5-May-4 %.3% USD 5-May M D.4% D 5-Jan-4 7-Jun-4 %.4% USD 7-Jun M D.6% D 5-Jan-4 6-Jul-4 %.6% USD 6-Jul M D #VALUE! 5-Jan-4 5-Aug-4 % #VALUE! USD 5-Oc M D #VALUE! 5-Jan-4 7-Sep-4 % #VALUE! USD 5-Jan M D.6% D 5-Jan-4 5-Oc-4 %.6% USD 5-Jan M D #VALUE! 5-Jan-4 5-Nov-4 % #VALUE! USD 5-Jan M D #VALUE! 5-Jan-4 6-Dec-4 % #VALUE! USD 7-Jan Y D.4% D 5-Jan-4 5-Jan-5 %.4% USD 5-Jan Y S.5% S 5-Jan-4 Y %.5% TR_USD_AM3L 5-Jan Y S.77% S 5-Jan-4 3Y %.77% TR_USD_AM3L 5-Jan Y S 3.6% S 5-Jan-4 4Y % 3.6% TR_USD_AM3L 5-Jan Y S 3.65% S 5-Jan-4 5Y % 3.65% TR_USD_AM3L 7-Jan Y S 3.9% S 5-Jan-4 6Y % 3.9% TR_USD_AM3L 6-Jan Y S 4.4% S 5-Jan-4 7Y % 4.4% TR_USD_AM3L 5-Jan Y S 4.34% S 5-Jan-4 8Y % 4.34% TR_USD_AM3L 7-Jan Y S 4.5% S 5-Jan-4 9Y % 4.5% TR_USD_AM3L 5-Jan Y S 4.64% S 5-Jan-4 Y % 4.64% TR_USD_AM3L 5-Jan Y S 4.85% S 5-Jan-4 Y % 4.85% TR_USD_AM3L 5-Jan Y S 5.8% S 5-Jan-4 5Y % 5.8% TR_USD_AM3L -Jan-. Y S 5.9% S 5-Jan-4 Y % 5.9% TR_USD_AM3L -Jan-. 5Y S 5.36% S 5-Jan-4 5Y % 5.36% TR_USD_AM3L -Jan-. 3Y S 5.36% S 5-Jan-4 3Y % 5.36% TR_USD_AM3L -Jan-. 66

67 was eine Zinskurve is Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Einführung Zielsezung: Leie aus den beobachbaren nich-opionalen Zinsinsrumenen am Mark eine Yield-, Zero-Coupon-Bond oder Forwad-Curve so ab, daß:. alle beobachbaren Zinsinsrumene, die in die Konsrukion der Kurve eingeflossen sind auf Basis der Kurve korrek bewere werden andere nich-opionale Zinsinsrumene mi Zahlungen zu beliebigen Zeipunken auf Basis der Kurve bewere werden können. 67

68 was eine Zinskurve is Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Einführung Ansäze: Eine eindeuige Vorgehensweise zur Konsrukion ha sich in der Praxis bisher nich herausgebilde. Wir berachen drei Varianen und diskuieren ihre Vor- und Nacheile:.. Boosrapping von Zero Coupon Bond Preisen aus Geldmark, FRAs und Swapsäzen; danach lineare Inerpolaion der daraus berechneen coninuously compounded cc Zero Coupon Bond Zissäze. wie zuvor, jedoch lineare Inerpolaion von -Tages cc Zero Coupn Bond Terminzinssäzen 3. Lineare Inerpolaion der Geldmark und Swapsäze und Boosrapping von Zero Coupon Bondpreisen für alle Fälligkeien aus dieser Kurve. 68

69 was eine Zinskurve is Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Ansaz Beobachee Markzinssäze in : Geldmarksäze: ON, TN, SW, W-4W, M-M FRAs: X4, 3X5, 6X8, 9X, X4 Swapsäze:3Y-3Y Boosrapping der Gelmarksäze:. z zf ; m,, n m,, n ; k Boosrapping der FRAs: j j = B B ; k,, m j = B, n 69

70 7. was eine Zinskurve is was eine Zinskurve is Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Ansaz Boosrapping der Swapsäze: nehme an, alle Zero Coupon Bond Preise bis B, n seien bereis ermiel worden: Inerpolaion: Gegeben seinen die Süzsellen B, n und B, nk, gesuch sei B, ni mi n < ni < nk und k auf -Tages-Basis:,, ;,, ;,, = = n n sw n n n i i sw i i n B sw k B k sw, exp,,,, y B y y y i n i n i n n k n i n k n n n k n n i n k n i n = =

71 was eine Zinskurve is Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Ansaz Anmerkung: Falls zwischen zwei beobacheen Swapsäzen mehrere Jahre liegen, kombiniere lineare Inerpolaion der Zero Coupon Bond Zinssäze und Boosrapping des nächsen bekannen Swaps. zur implizien Besimmung der Seigung der Kurve der Zero Coupon Bond Zinskurve. Verfahren analog zur Vorgehensweise bei der Inerpolaion von -Tages-Terminzinssäzen, wie auf Folien 75 und 76 dargesell. 7

72 was eine Zinskurve is Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Ansaz Ausgangssiuaion: gegeben seien alle Zero Coupon Bond Preise B,., sowei sie miels Boosrapping wie in Ansaz aus den beobacheen Zinssäzen ermiel werden konnen. Sarpunk der Inerpolaion: Sarpunk. der Inerpolaion is der cc Zero Coupon Bond Zins, der aus dem aus dem ON- Zinssaz ermielen Zero Coupon Bond B, ermiel wurde: lnb, f ;, = = y, 7

73 was eine Zinskurve is Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Ansaz Idee für die weiere Inerpolaion: nuze den Zusammenhang zwischen cc Zero Coupon Bond Zinssäzen und Terminzinssäzen in seiger Zei und überrage diesen auf ein Diskreisierung von Tag: Formel in seiger Zei:. y = j, j f j ; s ds Überragung auf -Tages-Diskreisierung: y n, n = f i = i ;, i n 73

74 was eine Zinskurve is Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Ansaz Annahmen für die weiere Inerpolaion: Gegeben seien aus früheren Inerpolaionsschrien f ; n-, n, sowie aus dem Boosrapping die Zero Coupon Bonds B, n und B, nk, k gemessen in Tagen. Weierhin besehe folgender linearer Zusammenhang:. f ;, f ;, i a k n i n i = n n ; i k 74

75 was eine Zinskurve is Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Ansaz Besimmung von a: Gemäß Folie 73 gewährleise folgende Besimmungsgleichung für a die Verräglichkei der inerpolieren Terminzinssäze und der aus den Markdaen abgeleieen Zero Coupon Bond Preise:. B, n k = B, n exp k k i = f ; n, n i a k 75

76 76. was eine Zinskurve is was eine Zinskurve is Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Ansaz 3 Beobachee Markzinssäze in : Geldmarksäze: ON, TN, SW, W-4W, M-M Swapsäze:Y-3Y n k n i n k n n n k n n i n k n i n z z z =,,, Inerpolaion der Geldmarksäze : n k n i n k n n n k n n k n i n sw sw sw =,,, Inerpolaion der Swapsäze : Berache den M Geldmarksaz als ersen Swapsaz.

77 77. was eine Zinskurve is was eine Zinskurve is Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Ansaz 3 Boosrapping der Gelmarksäze:, ;,, j j j B k z = Boosrapping der Swapsäze: nehme an: alle Zero Coupon Bond Preise bis B, n seien bereis ermiel worden:,, ;,, ;,, = = n n sw n n n i i sw i i n B sw k B k sw

78 was eine Zinskurve is Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Ansaz 3 Beache beim Boosrapping der Swapsäze: Im Gegensaz zu Ansaz, wo der Absand zwischen n und n oder mehrere Jahre beragen ha, beräg er hier exak Tag. Das Boosrapping liefer ein anderes Ergebnis, je nach dem ob man die verkürze. Periode des Swaps an den Anfang oder an das Ende der Swaplaufzei sez. Die für die Inerpolaion verwendeen Swapsäze müssen die gleiche Zahlungsfrequenz Compounding Frequency z.b. jährlich, halbjährlich, viereljährlich besizen. 78

79 was eine Zinskurve is Flache Zinskurve Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: LZ ON CC Zero Zinsen,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5% Zero Bonds 99,993% 97,53% 95,9% 9,7743% 9,4837% 88,497% 86,78% Swaps,5%,535%,535%,535%,535%,535%,535%. Zinssäze,3,5 Inerpolaion Zero Zinsen Inerpol ZY dfwdrae Swapsäze Beispiele, Jahre 79

80 was eine Zinskurve is Flache Zinskurve Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: LZ ON CC Zero Zinsen,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5% Zero Bonds 99,993% 97,53% 95,9% 9,7743% 9,4837% 88,497% 86,78% Swaps,5%,535%,535%,535%,535%,535%,535%. Zinssäze,3,5 Zinskurven bei Inerpolaion -Tages-Terminzinsen dfwdrae Swapsäze ZY Beispiele, Jahre 8

81 was eine Zinskurve is Flache Zinskurve Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Beispiele LZ ON CC Zero Zinsen,5%,5%,5%,5%,5%,5%,5% Zero Bonds 99,993% 97,53% 95,9% 9,7743% 9,4837% 88,497% 86,78% Swaps,5%,535%,535%,535%,535%,535%,535%. Zinssäze,4,35,3,5 Inerpolaion Swapsäze dfwdrae Swapsäze ZY, Jahre 8

82 was eine Zinskurve is Linear anseigende Zinskurve ab Jahr 3 Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Beispiele LZ ON CC Zero Zinsen,5%,5%,5%,6%,7%,8%,9% Zero Bonds 99,993% 97,53% 95,9% 9,4964% 89,768% 86,9358% 84,97% Swaps,5%,535%,535%,634%,736%,887%,956%. Zinssäze,4,35,3,5 Inerpolaion Zero Zinsen Inerpol ZY dfwdrae Swapsäze, Jahre 8

83 was eine Zinskurve is Linear anseigende Zinskurve ab Jahr 3 Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Beispiele LZ ON CC Zero Zinsen,5%,5%,5%,6%,7%,8%,9% Zero Bonds 99,993% 97,53% 95,9% 9,4964% 89,768% 86,9358% 84,97% Swaps,5%,535%,535%,634%,736%,887%,956%. Zinssäze,4,35,3,5 Zinskurven bei Inerpolaion -Tages-Terminzinsen dfwdrae Swapsäze ZY, Jahre 83

84 was eine Zinskurve is Linear anseigende Zinskurve ab Jahr 3 Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: Beispiele LZ ON CC Zero Zinsen,5%,5%,5%,6%,7%,8%,9% Zero Bonds 99,993% 97,53% 95,9% 9,4964% 89,768% 86,9358% 84,97% Swaps,5%,535%,535%,634%,736%,887%,956%. Zinssäze,4,35,3,5 Inerpolaion Swapsäze dfwdrae Swapsäze ZY, Jahre 84

85 was eine Zinskurve is Zinskurve mi Maximum bei 3 und 4 Jahren Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: LZ ON CC Zero Zinsen,5%,55%,6%,65%,65%,6%,55% Zero Bonds 99,993% 97,48% 94,939% 9,3578% 89,945% 87,895% 85,83% Swaps,5%,588%,6334%,6836%,684%,6356%,5873%. Zinssäze,3,5 Inerpolaion Zero Zinsen Inerpol ZY dfwdrae Swapsäze Beispiele, Jahre 85

86 was eine Zinskurve is Zinskurve mi Maximum bei 3 und 4 Jahren Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: LZ ON CC Zero Zinsen,5%,55%,6%,65%,65%,6%,55% Zero Bonds 99,993% 97,48% 94,939% 9,3578% 89,945% 87,895% 85,83% Swaps,5%,588%,6334%,6836%,684%,6356%,5873%. Zinssäze,3,5 Zinskurven bei Inerpolaion -Tages-Terminzinsen dfwdrae Swapsäze ZY Beispiele, Jahre 86

87 was eine Zinskurve is Zinskurve mi Maximum bei 3 und 4 Jahren Boosrapping und Zinskurveninerpolaion: LZ ON CC Zero Zinsen,5%,55%,6%,65%,65%,6%,55% Zero Bonds 99,993% 97,48% 94,939% 9,3578% 89,945% 87,895% 85,83% Swaps,5%,588%,6334%,6836%,684%,6356%,5873%. Zinssäze,3,5 Inerpolaion Swapsäze dfwdrae Swapsäze ZY Beispiele, Jahre 87

88 88. welche Zinsrisikoma welche Zinsrisikomaße es gib e es gib Definiion Duraion und Convexiy Ausgangspunk Bewerungsgleichung Coupon Bond: = = = = I i y i y I i i Bond i i I Bond i i I I e c e B k c B PV,,, ;,, Taylorenwicklung nach y bis zur zweien Ableiung ergib: Convexiy Duraion,,,, y y y PV B c B y PV B c B PV PV Bond I i i i i I I Bond I i i i i I I Bond Bond = = =

89 89. welche Zinsrisikoma welche Zinsrisikomaße es gib e es gib Definiion modified Duraion Ausgangspunk Bewerungsgleichung Coupon Bond: = = = = I i M i M I i i Bond i i I Bond i i I I m z c m z m z B k c B PV,,, ;,, Taylorenwicklung nach z bis zur ersen Ableiung ergib nach exzessiver Rechnerei:

90 9. welche Zinsrisikoma welche Zinsrisikomaße es gib e es gib z z m z z m z M c m z M m PV m z z m z M c m z M m PV m z m m z z m z m M c m z m M PV m m z PV PV I i M i i M I Bond I i M i i M I Bond z z I i M i i M I Bond Bond Bond i I i I i i I I = = = = = = = = modified Duraion Duraion,,,,,,,,,,,,

91 welche Zinsrisikomaße e es gib Beache: Kommenare modified Duraion und Convexiy. Bei der Darsellung mi cc Zinssäzen gil die Approximaionsformel für die Änderung des Bondpreises bei Änderung der Zinssäze uner wesenlich schwächeren Annahmen als bei der Darsellung mi periodischer Zinseszinsrechung: Es muße nich unersell werden, daß die Ausgangszinskurve flach is. Es muße keine Annahme über die Länge der Teilperioden geroffen werden. Insbesondere bleib die Formel auch bei ungerader erser Periode gülig. 9

92 welche Zinsrisikomaße e es gib Kommenare modified Duraion und Convexiy Aber: Alle Darsellungen von Werveränderungen von Anleihen bei Ändeurng der zugrundeliegenden Zinsen mi Hilfe von Duraion und Convexiy unersellen eine parallele Verschiebung der Zinskurve.. Daher is es in der Praxis üblich, die möglichen Werveränderungen von Zinsrisikoposiionen bei Änderung der zugrundeliegenden Zinssäze für verschiedene Laufzeibänder Buckes gerenn anzugeben. Man sprich von PVBP presen value of a basis poin oder PV pro bucke. 9

93 welche Zinsrisikomaße e es gib Problemsellung: Hedging mi Duraion und Convexiy Gegeben seien zwei Bonds, Bond c,t und Bond c,t, mi unerschiedlichen Coupons und Fälligkeien. Bond soll durch Bond gehedged werden. D.h. es soll gerade eine solche Posiion in Bond eingegangen werden, daß die Werveränderungen in dieser Posiion die Werverän-. derungen in der Posiion in Bond gerade ausgleichen. Welche Posiion in Bond muß eingegangen werden? 93

94 welche Zinsrisikomaße e es gib Hedgeraio auf Duraionbasis: Hedging mi Duraion und Convexiy. PV Bond PV Bond N Bond = Duraion! = Duraion N Bond = Bond Bond PV PV Duraion Bond Bond Bond Duraion Hedgeraio auf Duraion- und Convexiybasis: N Bond = Duraion! = Duraion N Bond Bond Bond y Convexiy y Convexiy Bond Bond N N PV Bond y y Bond Bond Bond PV y y N Bond Bond Bond N Bond Bond Bond DuraionBond ConvexiyBond y PVBond N = DuraionBond ConvexiyBond y PVBond PV PV N Bond 94

95 welche Zinsrisikomaße e es gib Hedging von Bonds mi Swaps: Hedging mi Duraion und Convexiy: Anwendungen Berechne Duraion und Convexiy des Bonds und des Swaps und wende obige Gleichungen für die Hedgeraio an. Approximaiv genüg es bei langlaufenden Swaps, das Fixed Leg des Swaps dargesell als Coupon Bond zu berachen.. Hedging von Bonds mi Fuures: Berechne Duraion und Convexiy der Terminpreise des Bonds und des vermulichen CTDs, lezerer muliplizier mi dem Conversion Fakor, und wende obige Gleichungen für die Hedgeraio an. 95

96 welche Zinsrisikomaße e es gib Hedging mi Duraion und Convexiy: Anwendungen Anmerkungen: Die oben dargesellen Hedges sind aus verschiedenen Gründen nich perfek, d.h. nich völlig risikofrei: Swap- und Bondzinsen enwickeln sich nich immer parallel. D.h. der Spread zwischen Swaps und Bonds kann schwanken.. Der CTD im Fuures kann sich während der Laufzei ändern. Der Fuurespreis ensprich in der Realiä richigerweise nich dem Forwardpreis. Der Unerschied zwischen beiden is zufallsabhängig. Die Hedgeraios gelen nur lokal. Bei jeder marginalen Zinsänderung müße der Hedge dynamisch angepaß werden. 96

97 In diesem Modul wird diskuier was man uner Akienopionen verseh, Modul III Akienopionen was man aus saischen Porfoliosraegien über die Bewerung von Opionen lernen kann, was man uner Zusandspreisen verseh und wie man dami Derivae bewere, wie man die Konzepe der Duplikaion und der No-Arbirage auf dynamische Werpapiermärke überragen kann, wie man ein dynamisches Bewerungsmodell für Opionen konsruier und darin Opionen bewere. 97

98 was man uner Akienopionen ver- seh Definiion Call: Europäischer vs. Amerikanischer Call Europäischer Call: Ein Europäischer Call auf eine Akie einer besimmen Gaung is ein Finanzinsrumen, das seinem Käufer das Rech gib, eine Akie dieser Gaung zu einem fesen Termin in der Zukunf zu einem zum Kaufzeipunk der Opion fesgelegen Srikepreis zu erwerben.. Amerikanischer Call: Im Gegensaz zum Europäischen Call kann der Käufer beim Amerikanischen Call nich nur zum Fälligkeiszeipunk, sondern jederzei zwischen Erwerbszeipunk und Fälligkeiszeipunk des Calls enscheiden, ob er die Akie zum fesgelegen Preis erwerben möche oder nich. 98

99 was man uner Akienopionen ver- seh Definiion Pu: Europäischer vs. Amerikanischer Pu Europäischer Pu: Ein Europäischer Pu auf eine Akie einer besimmen Gaung is ein Finanzinsrumen, das seinem Käufer das Rech gib, eine Akie dieser Gaung zu einem fesen Termin in der Zukunf zu einem zum Kaufzeipunk der Opion fesgelegen Srikepreis zu verkaufen.. Amerikanischer Pu: Im Gegensaz zum Europäischen Pu kann der Käufer beim Amerikanischen Pu nich nur zum Fälligkeiszeipunk, sondern jederzei zwischen Erwerbszeipunk und Fälligkeiszeipunk des Pus enscheiden, ob er die Akie zum fesgelegen Preis verkaufen möche oder nich. 99

100 was man uner Akienopionen ver- seh Payoff Payoff K S T K S T Payoffprofile zum Ausübungszeipunk Long Call Shor Call. K:= Srikepreis S T := Akienkurs bei Ausübung Payoff Payoff K S T K S T Long Pu Shor Pu

101 was man uner Akienopionen ver- seh Long Call Payoff in-he-money Moneyness. ou-of-he-money K a-hemoney FS;T Beache: Die korreke Besimmung der Moneyness bezieh sich auf die Lage des Terminpreises der Akie relaiv zum Srikepreis der Opion.

102 was man uner Akienopionen ver- seh Noaion S D : = Dividendezahlbar zum Zeipunk ~ D s, : = Schäzungder Dividendein s zahlbar in. : = Akienkurszum Zeipunk S FS s; : = s D B s, i i i B s, Terminpreis der Akiein K : = Srikepreis CS,K,T, E : = s fälligin Europäischer Call auf AkieS CS,K,T, A : = Amerikanischer Callauf Akie PS,K,T, E : = Europäischer Pu auf AkieS PS,K,T, A : = Amerikanischer Pu auf Akie AkieS i ; mi Srikepreis K und FälligkeiT K und FälligkeiT PVC; S,K,T, E : = Preisin eines Europäischen Callsauf mi Srikepreis S mi Srikepreis S mi Srikepreis mi Srikepreis K und FälligkeiT K und FälligkeiT K und FälligkeiT

103 was man aus saischen Porfoliosra- egien lernen kann Call S PVC ; K, T, A PVC ; K, T, E P: Akie; P: CK,T,A; P3: CK,T,E Preisober- und Unergrenzen für Calls PVC ; K, T, E S D B, K B, T P: Akie. P: CK,T,E D B, K B, T D PVC ; K, T, A D D D S Zahlung bei vorzeiiger Ausübung K K K PVC ; K, T, E / A PVC ; K, T, E / A P: CK,T,E/A; P : CK,T,E/A 3

104 was man aus saischen Porfoliosra- egien lernen kann Konsequenzen der Dividendenlosigkei D Call = ; T T PVC ; K, T, E PVC ; K, T, E; T PVC denn: T ; K,T Außerdem:. denn:, E max max = PVC S S T T T K B T K ; ; K,T, E D = PVC ; K, T, A > S K < T ; PVC ; K, T Also:, A PVC max > max ; K, T S S, E,T K B, T ; K ; D = PVC ; K, T, A = PVC ; K, T, E; < T ; 4

105 was man aus saischen Porfoliosra- egien lernen kann Pu K PVP ; K, T, A PVP ; K, T, E P: K; P: PK,T,A; P3: PK,T,E Preisober- und Unergrenzen für Pus PVP ; K, T, E S D B, K B, T. P: Akie PK,T,E P: D B, K B, T D D D PVP ; K, T, A K D S Zahlung bei vorzeiiger Ausübung K K PVP ; K, T, E / A PVP ; K, T, E / A P: PK,T,E/A; P : PK,T,E/A 5

106 was man aus saischen Porfoliosra- egien lernen kann Pu D = ; T PVP ; K, T T, E folg nich PVP ; K, T, E ; T Fehlende Konsequenzen der Dividendenlosigkei Außerdem: PVP. ; K, T, A > max max K K S ; B, T S ; ; Dami kann es auch bei dividendenlosen Akien zu vorzeiigen Ausübungen von Pus kommen. Also: < T PVP ; K, T, A PVP ; K, T, E; < T 6

107 was man aus saischen Porfoliosra- egien lernen kann Europäische Opionen PVP ; K, T, E = PVC ; K, T, E K B, T D d B, d S Pu-Call-Pariä. Kauf: PK,T,E Verkauf: CK,T,E Kauf: Akie S Krediaufnahme: K X B,T Krediaufnahme: D X B, d 7

108 was man aus saischen Porfoliosra- egien lernen kann Pu-Call-Pariä Amerikanische Opionen PVC ; K, T, A K B, T S PVC ; K, T, A PVP ; K, T, A K Nachweis. Ungleichung: Nehme an, die Ungleichung sei nich erfüll und berache folgende Porfolien: P:. Verkauf: CK,T,A, Krediaufnahme: K X B,T P: Kauf: Akie S und PK,T,A Nachweis. Ungleichung: Nehme an, die Ungleichung sei nich erfüll und berache folgende Porfolien: P: Verkauf: PK,T,A und Akie S P: Kauf: CK,T,A; Anlage D in Bond d B, d, Kassenhalung i.h.v. K D d B, d S 8

109 was man aus saischen Porfoliosra- egien lernen kann Europäische Opionen Payoff Box K -K Box-Spreads: Zusammenhang zwischen Opionen und Geldmark K K. Kauf: CK,T,E; Verkauf: PK,T,E Kauf: PK,T,E; Verkauf: CK,T,E Der Preis dieser Opionsposiion zum Zeipunk beräg: K K B, T Dami is diese Posiion je nach Laufzei der Opionen äquivalen zu einer Anlage am Geld- oder Kapialmark. S T 9

110 was man aus saischen Porfoliosra- egien lernen kann Europäische Opionen Payoff Buerfly- Spreads: Konvexiä von Opionspreisen. K K K 3 Kauf: CK,T,E; Kauf: CK 3,T,E Verkauf: xck,t,e S T Es gil: K = K K 3 PVC ; K, T, E PVC ; K 3, T, E PVC ; K, T, E >

111 was man aus saischen Porfoliosra- egien lernen kann Europäische Opionen Das vorige Ergebnis läß sich auf beliebige Konvexkombinaionen von Srikepreisen überragen. Es gil: Buerfly- Spreads: Konvexiä von Opionspreisen λ,; λpvc ; K. K Posiion λc K = λk λ K, T, E λ PVC ; K 3 3, T, E PVC ; K, T, E Payoff bei gegebenem Zusand der Wel in T S T < K ST < K K K ST < K 3 K 3 < ST λ S T K λ S T K λ S T K > λ C K3 λ S T K3 C K S T K S T K Summe Payoff > λst λ K3 S > T

112 was man uner Zusandspreisen verseh Europäische Opionen Payoff Buerfly- Spreads: Zusammenhang mi Zusandspreisen Flächeninhal! K = K K K 3 = K. Kauf: / ² CK,T,E; Kauf: / ² CK 3,T,E Verkauf: / ²xCK,T,E Es gil für den Wer dieses Porfolios: S T lim PVC ; K PVC ; K PVC ; K K PVC ; K PVC ; K =

113 was man uner Zusandspreisen verseh Derivaebewerung mi Zusandspreisen Inuiive Bewerungsregel: Wer = Summe über Menge x Einzelpreis Anwendung auf Derivae, deren Auszahlung nur von S T abhäng: Angenommen, die Auszahlung eines Derivaes zum Zeipunk T häng ausschließlich von dem Kurs ab, den die zugrundeliegende Akie zum Zeipunk T annimm, dann läß sich der Wer dieses Derivaes heue. besimmen, wenn alle Zusandspreise für das Einreen der jeweiligen Akienkurse heue bekann sind. Diese sind bekann, wenn die Preise aller Europäischen Call Opionen mi allen posiiven reellwerigen Srikes bekann sind. Es gil: PVD ; T = D T; K PVC ; K, T, E K dk 3

114 was man uner Zusandspreisen verseh Derivaebewerung als Erwarungswer Speziell gil für D T; K : B, T = = PVC ; K, T, E K PVC ; K, T, E dk B, T K T Q. Dami is der Inegrand in der zweien Gleichung eine Diche, die wir mi Q T bezeichnen wollen, und wir können die Bewerungsformel der vorangegangenen Folie als Erwarungswer bezüglich dieser Diche schreiben: dk [ D T; ] PVD ; T = B, T Ε S Q T 4

115 was man uner Zusandspreisen verseh Derivaebewerung als Erwarungswer Beache: Die Darsellung des Preises eines Derivaes als Erwarungswer ha nichs dami zu un, daß die Wirschafssubjeke asächlich das Einreen eines besimmen Akienkurses mi der Wahrscheinlichkei Q T erwaren. Es is lediglich eine formale Schreibweise für die Regel. Wer = Summe über Menge x Einzelpreis, wobei die Einzelpreise die aus den Opionspreisen abgeleieen Zusandspreise sind. Die asächlichen Erwarungen der Wirschafssubjeke sind zusammen mi ihren Präferenzen und ihrer je individuellen Vermögenslage in den unerschiedlichen Zusänden der Wel in die Opionspreise eingeflossen. 5

116 was man uner Zusandspreisen verseh Problemsellung: Die Kennnis aller Opionspreise implizier die Kennnis aller Zusandspreise. Derivaebewerung als Erwarungswer Mi Hilfe der Zusandspreise lassen sich alle anderen Derivae, deren Auszahlung zum Zeipunk T nur von dem in T realisieren Akienkurs abhäng, beweren. Angenommen, die Opionspreise sind unbekann. Wohl. aber is der Kurs der zugrundeliegenden Akie zu jedem beliebigen Zeipunk während der Opionslaufzei beobachbar, und es können zu jedem beliebigen Zeipunk Akien gekauf und verkauf sowie Geld aufgenommen oder angeleg werden. Is es uner diesen Voraussezungen möglich, wiederum die Zusandspreise und dami dann die Opionspreise selbs zu besimmen? 6

117 wie man No-Arbirage und Duplikaion in dynamischen Märken M nuz Problemsellung : Zwei-Perioden- Modell Wie lassen sich in dem unen angegebenen dynamischen Markmodell Zusandspreise für das Einreen der Zusände ω bzw. ω aus den Preisen der Akie und des Zero Coupon Bonds berechnen?. PVAD ω =? PVAD ω =? S = B, =/, p =, p =,8 PVAD ω ; ω = PVAD ω ; ω = S ω =9 B, = PVAD ω ; ω = PVAD ω ; ω = S ω = B, = 7

118 8. wie man No wie man No-Arbirage und Duplikaion Arbirage und Duplikaion in dynamischen M in dynamischen Märken nuz rken nuz Zwei-Perioden- Modell Lösungsidee zu Problemsellung : Berache folgendes duplizierendes Porfolio für ADω ;.: mi ; : = = = S S B S B S B S θ ω θ θ ω θ θ θ θ mi ; : = = = S S B S B S B S θ ω θ θ ω θ θ θ θ und folgendes duplizierendes Porfolio für ADω ;.:

119 wie man No-Arbirage und Duplikaion in dynamischen Märken M nuz Lösungsidee zu Problemsellung : Zwei-Perioden- Modell Aufgrund der Duplikaionseigenschaf der beiden Porfolien für ADω ;. bzw. ADω ;. muß zur Erfüllung der No-Arbirage-Bedingung gelen:. S θ S θ S S B θ B θ Oder in Zahlen: θ B B ; ; = = PVAD PVAD ω ω = : ;4 ; θ : = ; PVAD ω = ; PVAD ω =

120 wie man No-Arbirage und Duplikaion in dynamischen Märken M nuz Zwei-Perioden- Modell Inerpreaion zu Problemsellung : Definiion: Die Verräge ADω ;. und ADω ;. heißen Arrow-Debreu-Securiies. Allgemein verseh man uner Arrow-Debreu-Securiies Werpapiere, die genau in einem Zusand der Wel eine Konsumeinhei auszahlen. Beobachung : Die Preise der Arrow-Debreu- Securiies PVAD. ω und PVAD ω sind demensprechend Zusandspreise. Beobachung : In einem arbiragefreien Zwei-Perioden-Modell muß daher gelen: PVAD PVAD > ; ω PVAD ω PVAD ω PVAD ω = = B B ; ;