Helga Braunger-Galuschka. Mathematik fur die Kollegstufe

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1 Helga Braunger-Galuschka Mathematik fur die Kollegstufe

2 Aus dem Programm Mathematik Mathematische Formelsammlung von F. Kemnitz und R. Engelhard Analysis fur Fachoberschulen von K.-H. Pfeffer Mathematik fur Fachschulen Technik vonh. Rapp Mathematik fur die KoUgestufe von H. Braunger-Galuschka Mathematik fur Ingenieure, Band 1 und 2 von L. Papula Ubungen zur Mathematik fur Ingenieure von L. Papula Mathematische Formelsammlung von L. Papula Vieweg

3 Helga Braunger-Galuschka Mathematik fiir die KoUegstufe Mit 157 Abbildungen

4 Der Herausgeber: Dipl.-Ing. Kurt Mayer, Oberstudienrat a.d., war bis 1990 Leiter der Wilhelm-Maybach-Schule, Stuttgart Bad Cannstatt und bis 1992 Leiter des einjiihrigen Berufskollegs zur Erlangung der Fachhochschu1reife beim Kolping-Bildungswerk, Stuttgart. Die Autorln: Helga Braunger-Galuschka, Assistentin des Lehramtes, unterrichtet seit 1987 am Kolping-Berufskolleg in Stuttgart-Bad Cannstatt. Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, 1993 Softcover reprint of the hardcover I st edition 1993 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann International. Das Werk einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimrnung des Verlags unzu1iissig und strafbar. Das gilt ins-besondere fur Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Klaus Birk, Wiesbaden Druck und buchbinderische Verarbeitung: W Langeliiddecke, Braunschweig Gedruckt auf siiurefreiem Papier ISBN-13: e-isbn-13: : /

5 v Vorwort Mathematik ftir die KoBegstufe -... fiir wen? Das einjahrige Berufskolleg zur ErJangung der Fachhochschu1reife fast Kollegiatinnen und Kollegiaten der verschiedensten Berufsgruppen in Klassen mit Schwerpunktfach Technik, Betriebswirtschaftslehre, Biologie oder Gestaltung zusammen. DaB im Fach Mathematik aufgrwtd dieser beruflichen Fiicherung die unterschiedlichsten Voraussetzungen gegeben sind, Iiegt auf der Hand. Dazu kommt, dab fur den einen oder anderen Kollegiaten die Schulzeit schon lange zuriickliegt und die Inhalte verstiindlicherweise in Vergessenheit geraten sind. Vor diesem Hintergrund entstand die Idee, fur diesen Leserkreis ein Buch zu konzipieren, das inhaltlich den gesamten PflichtstofI' Analysis' abdeckt. Da sich die Mathematik in vergleichbaren Bildungseinrichtungen im wesentlichen nicht unterscheidet, ist auch der Einsatz z.b. im dreijahrigen Kolleg oder in beruflichen Gymnasien u.a. denkbar. Dariiber hinaus entspricht das vorliegende Buch wesentlichen Inhalten der Bildungsprogramme anderer Bundesliinder. Bei der Erstellung des Buches wurde darauf geachtet, dab es nicht nur untenichtsbegleitend eingesetzt werden kann, sondern dab es in besonderem MaGe Z1.UIl Selbststudiurn anregt.... mit welchem Ziel? Ziel dieses vorliegenden Buches ist es, jeden einzelnen Leser an der Stelle abzuholen, wo er stehen geblieben ist, und ibm in einem Art Marathonlauf - schlie6lich stehen nur wenige Untenichtswochen zur VerfUgung - die Kenntnisse zu vennitteln, die er braucht, sich qualifizi.ert den mathematischen Forderungen der Fachhochschulen zu stellen.... aufwelchem Weg? Urn diesem Ziel gerecht zu werden, sind innerhalb dieses Buches einige Weichen gestellt: 1m Kapitel 'Grundlagen' wird das gedanklich-theoretische wie auch das rechnerisch-praktische Fundament fur die weiteren Oberlegungen bereitgestellt. Methodisch sollen zwar "die mathematischen Inhalte vorwiegend anwendungsbezogen eingefiibrt und behandelt werden"l, urn wirklichjedem den Weg in die Mathematik zu ebnen. Ohne sachliche und fonnale Prazision wiirde dieses Buchjedoch den Weg in die weiterfiihrende Mathematik verbauen. So sollen Praxis und Theorie sich nicht ausschlie6en, sondern gegenseitig bereichern. lministerium fur Kultus und Sport Baden-Wiirttemberg: Kultus und Unterricht; Bildwlgsplan fiir das Berufskolleg (1989), S. 86

6 VI Vorwort Die Aufgaben wurden in verschiede Typen eingeteilt: Mit einer Folge von GRUND AUFGABEN werden die neuen Leminhalte vorgestellt, prazisiert und verallgemeinert. Kontrollergebnisse gestatten das neu Gelernte zu iiberpriifen. Eine breite Auswahl von Ubungsaufgabea ennoglicht, je nach Bedarf, das Erarbeitete zu festigen. Dabei wurde auf cinen angemessen steigenden Schwierigkeitsgrad geachtet. Beispiele aus der Praxis runden diese Aufgaben abo Zurn SchluB... gilt der Dank all denen, die mich beim Erstellen dieses Buches begleiteten. Anflihren mochte ich dabei: Henn OStD Mayer, der den AnstoB fur das Entstehen dieses Buches gab, den Mitarbeitern des Verlages, die die Realisierung des Buches emtoglichten, vor allem Henn KUhn von Burgsdorff und Henn Ewald Schmitt. Ganz besonders m6chte ich in diesem Zusammenhang meine Studienkollegin Margot Krank C1Wiihnen, die sich om die mathematische Durchsicht dieses Buches bemiihte. Stuttgart, im Juli 1993 Helga Braunger-Galuschka

7 Inhaltsverzeichnis vn Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Mengentheoretische Grundbegriffe Definition und Darstellung einer Menge Mengenoperationen Zahlmengen Rechenpraktische Ifinweise Rechenoperationen und ihre GesetzmaBigkeiten Das Rechnen mit Bruchen Die binomischen Fonneln Das P ASCALsche Dreieck Tennuntfonnungen Der Funktionsbegriff: Die Funktion und ihr Schaubild Zuordnungen und Funktionen Definitions- und Wertemenge von Funktionen Schaubild und Wertetabelle einer Funktion Die Grundfunktionen und ihre Schaubilder Lineare Funktionen und Gleichungen Lineare Funktionen und ihre Schaubilder Aufstellen von Geradengleichungen LOsungsverfahren linearer Gleichungssysteme Rechnerische Behandlung Zeichnensche Behandlung Klassifizierung linearer Gleichungssysteme Parallelitat und Orthogonalitiit Quadratische Funktionen und Gleichungen Quadratische Funktionen und ihre Schaubilder Quadratische Gleichungen Betrage Betragsgleichungen (Rein-) Quadratische Gleichungen Gemischtquadratische Gleichungen Klassifizierung quadratischer Gleichungen Bestimmung quadratischer Funktionen per allgemeine Ansatz ber Ansatz liber die Scheitelfonn der Parabelgleichung Der Nullstellenansatz Die Diskriminantenmethode... 57

8 vm Inhaltsverzeichnis 2.3 Potenz- und Wurzelfunktionen Potenzen und Potenzfunktionen mit Exponenten aus IN Potenzen mit Exponenten aus IN Potenzenfunktionen mit Exponenten aus IN und ihre Schaubilder Potenzen und Potenzfunktionen mit Exponenten aus!z Potenzen mit Exponenten aus!z Potenzfunktionen mit Exponenten aus IZ \ IN und ihre Schaubilder..., Potenzen und Potenzfunktionen mit Exponenten aus IQ Potenzen mit Exponenten aus IQ Potenzenfunktionen mit Exponenten aus IQ \ IZ und ihre Schaubilder Umkehrfunktionen Exponential- und Logarithmenfunktionen Die allgemeine Exponentialfunktion Wachstumsvorgange Die allgemeine Exponentialfunktion und ihr Schaubild Wachstums- und Zerfallsprozesse Die natiirliche Exponentialfunktion Die EULERsche Zahl e Die natiirliche Exponentialfunktion und ihr Schaubild Die allgemeine Logarithmenfunktion und ihr Schaubild Das Rechnen mit Logarithmen Die wichtigsten Logarithmensysteme Umrechnung von einem Logarithmensystem in ein anderes Die Logarithmengesetze Exponential- und Logarithmengleichungen Die natiirliche Logarithmenfunktion und ihr Schaubild Zusammenhang zwischen der allgemeinen und der natiirlichen Exponentialfunktion Trigonometrische Funktionen Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus Veranschaulichung der Winkelfunk.1ionen Sinus und Kosinus am Einheitskreis Wichtige Eigenschaften der Sinus- und der Kosinusfunktion Wichtige Sinus- und Kosinuswerte Die trigonometrische Funktion Tangens Veranschaulichung der Winkelfunktion Tangens am Einheitskreis Wichtige Eigenschaften der Tangensfunktion Der Sinus- und der Kosinussatz Der Kosinussatz Der Sinussatz

9 Inhaltsverzeichnis IX Die Schaubilder trigonometrischer Funktionen DasBogenrnaB Das Schaubild der Sinus- und der Kosinusfunktion Das Schaubild der Tangensfunktion Dehnung und Stauchung der Sinus- und der Kosinbskurve senkrecht zu den Koordinatenachsen Ubersicht tiber die bisherigen Funktionen und ihre Schaubilder Zusammengesetzte Funktionen und ihre Schaubilder Linearkombinatiotten von Funktionen Beispiele fur zusammengesetzte Funktionen Der Begriff 'Linearkombination von Funktionen' Schaubilder 'linearkombinierter' Funktionen Die ganzrationalen Funktionen Der Begriff'ganzrationale Funktion' Symmetrieuntersuchung der Schaubilder ganzrationaler Funktionen Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen Einfiihrung in die Differentialrechnung Das Tangentenproblem Problemstellung Verallgemeinerung des T angentenbegriffes Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle Die Ableitungsfunktion Zusammenstellung der wichtigsten Ableitungsfunktionen Drei wichtige Ableitungsregeln Die Faktorregel Die Swnmenregel Die vereinfachte Kettenregel Niiherungsweise Bestimmung von Nullstellen: Das Newton-Verfahren Vorbemerkung Das NEWToN-Verfahren Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Schaubildes einer Funktion Extremstellen und Extremwerte einer Funktion Zwei Kriterien zur Ennittlung von Hoch- und Tiefpunkten Wendestellen einer Funktion Zwei Kriterien zur Ennittlung von Wendepunkten Das Verfahren einer vollstiindigen Funktionsuntersuchung Der Acht-Punkte-Katalog Die Funktionsuntersuchung am Beispiel ganzrationaler Funktionen Die Funktionsuntersuchung am Beispiel transzententer Funktionen Praxisorientierte Problemstellungen der Differentialrechnung Bestimmung ganzrationaler Funktionen Extremwertprobleme

10 x Inhaltsverzeichnis 5 Einfiihrung in die Integralrechnung Das bestirnmte Integral Problemstellung Definition des bestirnmten Integrals Weiterfiihrende Beispiele Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stamrnfunktionen Fonnulierung des Hauptsatzes Die wichtigsten Eigenschaften des bestirnmten Integrals Unearitat des bestirnmten Integrals Intervalladditivitat Berechnung weiterer Flacheninhalte mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung Inhaltsberechnung von Flachen, die tells unter- teils oberhalb der x-achse liegen Inhaltsberechnung von Flachen zwischen zwei (sich schneidenden) Kurven Stichwortverzeichnis