16. Kinetische Gastheorie und ideales Gasgesetz

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1 Kinetische Gastheorie und ideales Gasgesetz Geg.:,,, P sind Zustandsgrößen eines Systes P Druck (p Ipuls) U ein Gas () einzuschließen (), uß ein Druck (P) ausgeübt werden. Frage: wie hängen diese iteinander zusaen oder wechselseitig ab? Was acht? Annahen für ideales Gas: - geringe Dichte - elastische Stöße untereinander und it der Wand - keine Wechselwirkungskräfte der Gasoleküle - kein oluen der Gasatoe (Massepunkte) 6. Kinetische Gastheorie ersuch 33: Brownsche Molekularbewegung (bis :46) Mikroskopische Betrachtungsweise: Geg.: N eilchen it der eilchenasse und ihrer Geschwindigkeit. Frage: Wie groß ist der Druck P auf die Gefäßwand oder Kolben? F Druck P durch den Kraftstoß der Gasteilchen auf die Wand: A F p t p Ipuls 6-

2 Ipulserhaltung für Gasteilchen: orher: Nachher: Ipulsänderung: nur die -Koponente on wirkt: ( y A, z A ) (elastischer Stoß: reflektiert ohne Energieerlust) p Inde : nur Gasteilchen. oluendichte N/ Gesatzahl N der Gasteilchen / oluen. N* Anzahl der Gasteilchen, die A treffen innerhalb t üssen innerhalb des oluens A t * liegen. daon bewegt sich nach links ( ) und nach rechts ( ). N N N * A t 3. Gesatipulsänderung = N* Einzelipulsänderung Δp p p N Kraftstoß: Druck: A N t * p F t N A F N P A N A t N Dichte und unbekannt 4. Größe on : nicht für alle Moleküle gleich: Statistische erteilung (Kap. 6.) ersetzen durch Mittelwert P N P N W, ittlere kinetische Energie der - Koponente kin 5. Erweiterung auf 3 Diensionen: - Keine orzugsrichtung, d.h. alle eilchen bewegen sich in alle Richtungen it der gleichen ittleren Geschwindigkeit i : Gleicherteilungssatz (i =, y,z) 6-

3 8.3.3 y z y z 3 W kin 3 3 Wkin, k (siehe Kap. 6.) k Boltzann Konstante 3 k,38 J K Uniersalkonstante K Wkin K nicht öglich ist Maß für die ittlere kinetische ranslationsenergie. Rotation der Atoe und Moleküle nicht releant für Berechnung o Druck. und P entstehen durch die ungeordnete Bewegung der eilchen, d.h. nur für große N sinnoll, nicht für einzelnes eilchen. in P N W kin, : N N P Wkin 3 3 it 3 W kin k 3 P N k N k 3 P N k Ideales Gasgesetz [K], P [Pa]! und 3k k 3 rs ittlere Geschwindigkeitsquadrat rs = root ean square Beispiel: bei Rautep. = 3 K O : rs 483 s 739 k/h H : 93 /s da leichter (ca. 4 al so schnell) rs Achtung: rs ist nicht die Ausbreitungsgeschwindigkeit eines Gases (Duftes) i Rau, sondern die ittlere örtliche Geschwindigkeit der Moleküle bis zu nächsten Stoß. Anerkung: W kin 3 k gilt nur für onoatoares Gas nur ranslation öglich. Für ehratoiges Gas auch Rotationsenergie (u Achsen) und Schwingungsenergie öglich. Die eingebrachte Energie erteilt sich dann gleichäßig auf alle Freiheitsgrade. 6-3

4 8.3.3 Energie pro Freiheitsgrad: W Freihietsgrad k Gleicherteilungssatz PS: die Quantenphysik zeigt, daß selbst für = K die Energie W ist. Frage nach der Stastistik: <> ist ein Mittelwert. Wie sieht die erteilung aus? 6. Geschwindigkeitserteilung (Mawell-Boltzann erteilung) ersuch 34: Geschwindigkeitserteilung erteilungsfunktion: f () Mawell-Boltzann Geschwindigkeitserteilung f 4 k 3/ ep k Geschw. eines eilchens Anteil N der Gesatteilchen N ges pro Geschwindigkeitsbereich d. N N ges f ( ) d f ( ) für und Hohe eperatur höherer Mittelwert > erschiebung der Spitze nach rechts. Norierungsbedingung: Fläche ist noriert auf, d.h. % der eilchen: f ( ) d 6-4

5 8.3.3 rs-geschwindigkeit: 3k rs s.o. Durchschnittsgeschwindigkeit: 8k wahrscheinlichste Geschwindigkeit: k a Anteil N der eilchen on N ges, die i Geschwindigkeitsbereich on bis liegen: N N ges f ( ) d it Wkin und dw kin d Mawell-Boltzann Energieerteilung: f k kin W W ep kin 3 / kin W k Anwendungen:. Zusaensetzung der Erdatosphäre: H : rs k,93 s gl. Fluchtgeschwindigkeit eines eilchens on der Erde (siehe Kap 9.3): Fl ohne Statistik: it Statistik: k, s alle H Atoe bleiben da iele schaffen es zu flüchten geringer H Anteil in Luft. für O : rs, o 4 it f ep rs, H k wesentlich geringere Wahrscheinlichkeit für Flucht: 6 ep( 6) 5 6-5

6 8.3.3 Mittlere freie Weglänge = Mittlerer Weg zwischen Stößen. Für Gase ca. -7 bei AP. Mittlere Zeit zwischen Stößen: t 7 / 3 /s - s oder Stöße/s pro Gasteilchen.. erdunsten on Wasser für < C: Ohne Statistik: kein erdapfen. Ähnliche erteilungsfunktion für die Energie der Wasseroleküle, d.h. bereits für < C gibt es genügend Moleküle, die ausreichend Energie zu erdapfen besitzen, d.h. die Flüssigkeit erlassen können. 6.3 Ideales Gasgesetz Makroskopische oder phänoenologische Beschreibung Kap 6.: Es gilt: P N k. For des idealen Gasgesetzes = f(n) N M Masse des Moleküls /Atos M N Anzahl der Moleküle /Atoe Dichte [kg/ 3 ] P N M N k oder P k M R S oder N k N M N k R S R S spezifische Gaskonstante gasspezifisch P RS. For des idealen Gasgesetzes = f() ferner gilt: = n M n Anzahl der Mole M Molasse k N R S k N k N M R S R oder k N n R n M n J R Allgeeine Gaskonstante R 8,34 gasunabhängig ol K 6-6

7 8.3.3 P n R 3. For des idealen Gasgesetzes = f(n) ereinfachung: kein Massenaustausch, d.h. geschlossenes / abgeschlossenes Syste: n = const. bzw. N = const. bzw. = const. oder P n R N k R S const P P const. 4. For des idealen Gasgesetzes neuer Zustand alter Zustand des Systes i therischen Gleichgewicht erändert an eine Größe, (z.b. die eperatur) und hält die. Größe konstant (z.b. den Druck P P ), so gilt für (): P in [K]! = 3 C, = 46 C P = 96 K, = 39 K, 8 Beispiel: Autoreifen bei = C und P Reifen =,5 bar. = const. und N = const. Wie groß ist der Reifendruck bei = 4 C? P Reifen =,5 bar ist der Überdruck. Absolutdruck P P Reifen + bar. P = 3,5 bar ( bar = 5 Pa) (73 4) PReifen,87,5 P P 3,5 3,87 bar rel. Druckänderung: 5% (73 ) P,5 Reifendruck ier i kalten Zustand prüfen! Reifen für = const. für P = const. P( ) P ( ) Gay-Lussacsche Gesetze 6-7

8 8.3.3 für = const. P P Gesetz on Boyle-Mariott Annahe: ideales Gas: keine Ausdehnung der Moleküle und geringe Dichte reales Gas kondensiert für kleine an der Waalssche Zustandsglch. Graphische Darstellung: P N k dreidiensional, d.h. unanschaulich. ereinfachung: eist ist eine weitere Größe konstant = const: P N k const Isotheren d = = const: N k P const Isochoren d = 6-8

9 8.3.3 P = const: N k const P Isobaren dp = 6.4 Reales Gas und an der Waalssche Zustandsgleichung 6.4. Reales Gas P- Diagra: A, B, C, D Isotheren ideale Gasgleichung reales Gas: für P = const: ist kleiner Abweichung nit zu it sinkender : für : W kin Einfluß der anziehenden Kräfte (elektrisch), d.h. Abstand der Moleküle und dait Quelle: D.C. Giancoli: Physik K Kritische eperatur (Kure C): Für > K : kann Gas nicht erflüssigt werden, auch bei sehr hohen Drücken. H O: 375 C; CO : 3 C: O : -8 C Für < K : Kondensation öglich (b). Weitere Kopression: graduelle Phasenuwandlung. P bleibt const. Die Flüssigkeit nit weniger ein. Koeistenzbereich. Bei (a) alles flüssig. Steiler Anstieg, da Flüssigkeiten kau kopressibel sind. 6-9

10 8.3.3 H O P- Diagra (Phasendiagra) l-: liquid-apor: Siedepunktkure = f (P): für H O: = C bei P = bar P Sieden : Mount Eerest: P,3 bar Sieden 7 C Kochen dauert länger s-l: Dapfkochtopf: P bar Sieden C solid-liquid: Gefrierpunkt- oder Schelzpunktkure = f (P): für H O: = C bei P = bar it P Schelz gilt für Festkörper it Anoalie: Ausdehnungskoeff. <, d.h. für größerer Abstand der Moleküle weniger Energie zu Aufbrechen der Bindungen Schelz für CO : P Schelz : keine Anoalie, d.h. für Schelz (s.u.) s-: solid-apor: Subliationskure = f (P): Für kleine direkter Übergang on Feststoff auf Gas ohne zu erflüssigen für H O: P < 6 bar; für CO bereits für P < 5, bar: rockeneis CO ripelpunkt: in diesen Punkt eistieren i Gleichgewicht alle 3 Phasen gleichzeitig für H O: = 73,6 K, P = 6,3 bar erwendung als Eichpunkt Kritischer Punkt: = Punkt c i P- Diagra Kure C Für > K keine erflüssigung 6-

11 an der Waalssche Zustandsgleichung Näherung für reales Gas. Abweichungen o idealen Gas:. Endliche Größe der Moleküle. Kräfte zwischen den Molekülen (elektrisch) or alle bei hohen Drücken P a ( / N ) N b k oder P a ( / n) n b R N Anzahl der Moleküle n Anzahl der Mole a Berücksichtigung der Kräfte b Berücksichtigung des Moleküloluens sehr gute Näherung i Gasbereich nicht für Koeistenzbereich Quelle: D.C. Giancoli: Physik; Pearson Studiu 6.5 Dapfdruck und Relatie Luftfeuchte Flucht 6-

12 erdunsten und Dapfdruck P Dapf : Mawell-Boltzann erteilung gilt näherungsweise auch für Flüssigkeiten. Für < Flucht (Weg ): Molekül kann sich nicht endgültig entfernen N Dapf = const Für > Flucht (Weg ): Molekül entkot der Flüssigkeit N Dapf P Dapf Nur die schnellsten entweichen, d.h. it größter W kin Wasser : erdunstungskälte Für Anzahl N Dapf erdunstung geht schneller. Sättigungsdapfdruck P Sat : Mit t steigt N Dapf Wahrscheinlichkeit für Kondensation steigt. Mehr eilchen sind nahe a Wasser und kondensieren wieder I therischen Gleichgewicht: erdunstungsrate = Kondensationsrate dynaisches Gleichgewicht P Dapf = const f (t) = P Sat Für Anzahl N Dapf Dapfdruck P Sat [ C] P Sat [bar] [ C] P Sat [bar] -5,4 4 73,7 -, , 8 473,3 3 3, , für H O P Sat f (P At ): Das Gleichgewicht ist unabhängig o Luftdruck P At Das Gleichgewicht stellt sich it steigende P At aber langsaer ein. Bei sehr große oluen kann das Wasser erdunstet sein, beor P Sat erreicht ist. 3. Siedepunkt Sieden : Sättigungsdapfdruck = äußere Druck: P Sat = P At für H O: P Sat = 3 bar bei = C und Noral Null (P At = 3 bar) Siedepunkt = f (Meereshöhe): Mount Eerest: P At,3 bar Sieden 7 C 4. Partialdruck und Relatie Luftfeuchtigkeit: Partialdruck = Druck den ein Gas ausüben würde, wenn es allein wäre Gasgeisch: Gesatdruck = Partialdrücke der einzelnen Gase z.b. Maialer Partialdruck on Wasser in Luft bei = C: P = P sat = 3,3 bar 6-

13 8.3.3 Partialdruck on H O Relatie Luftfeuchtigkeit RH = % H Huidity Sättigungsdapfdruck H O % RH heißt: P Dapf = P Sat für P Dapf > P Sat übersättigte Luft au, Nebel, Regen Beispiel : = 3 C und RH = 64 % P Dapf,64 4,4 7 bar Abkühlen in der Nacht auf C: 7 RH 6% 3,3 übersättigt Überschuß kondensiert als au, Nebel 5. aupunkt: Bei gegebene P Dapf < P Sat soweit abkühlen, bis P Dapf = P Sat ( au ), d.h. RH = % Beispiel : Für P Dapf = 7 bar au,5 C (aus Beispiel : An eine ag it = C wird au = C geessen; Wie groß ist die RH an diese ag? au = C P Sat ( C) =,3 bar = C P Sat ( C) = 3,3 bar und P Dapf =,3 bar,3 RH ( C) 53% 3,3 Gute Meßethode zur Bestiung der RH 6.6 Diffusion Quelle: D.C. Giancoli: Physik; Pearson Studiu 6-3

14 8.3.3 Ausgleichsprozeß on Konzentrationsunterschieden Ursache für Ausgleich? Brownsche Molekularbewegung: Längere Wege öglich in Richtung geringerer Dichte als ugekehrt ier ehr eilchen wandern in Richtung der geringeren Dichte oder. Hauptsatz der herodnaik: In eine abgeschlossenen Syste nit die Unordnung zu (siehe Kap. 8) Geordnet: Wasser und inte getrennt Ungeordnet: ollständige Durchischung. Ficksches Gesetz (eindi.): J Diff (, t) n t c(, t) D A J Diff Diffusionsstro [s - ] n eilchenzahl i stat. Mittel c Konzentration [c -3 ] c(, t) Gradient on c D Diffusionskonstante [ /s] aterialabhängig: wer diffundiert in was O in Luft: D =,8-5 [ /s] O in Wasser: D = -9 [ /s] in Flüssigkeit sehr iel langsaer c neg. orzeichen, da Stro in Richtung geringerer Konzentration c Zeitlicher Ausgleich bis c = const. Gleichgewichtszustand Gilt auch für Ladungen (siehe Kap ) 6-4