20. Kinetische Gastheorie

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1 Wärelehre Kinetische Gastheorie 0. Kinetische Gastheorie... behandelt ideale Gase, d.h., die Gasteilchen verhalten sich wie elastische Kugeln it vernachlässigbare Eigenvoluen.! 0.. Gasdruck und Zustandsgleichung eilchen werden an den Wänden relektiert: Aus den beiden Gleichungen p F t (. NEWONsches Axio) (3-6) F p A (statischer Druck) (- ) olgt ür die physikalische Interpretation des Drucks: an die Wand abgegebener I puls Druck Zeit Wandläche p t A () vereinachte Herleitung von Gl. (): gegeben: N eilchen i oluen eilchenzahldichte eilchen haben ittlere Geschwindigkeit v je 6 der eilchen bewegt sich in jede "Hauptrichtung": N n () Wir betrachten das oluen der Dicke v dt vor der Wandläche A: N n A v dt eilchen sind i oluen, davon liegen n A v dt au die Wand 6 zu und erreichen diese. dp navdt v 6 (3) eilchenzahl p ür ein eilchen 6

2 Wärelehre Kinetische Gastheorie Aus Gl. (3) olgt ür den Druck p (orsicht, gleiches Sybol wie Ipuls!): n A v dt dp 3 p nv A dt A dt 3 (4) Mit Gl. (9 - ) können wir Gl. (4) auch schreiben als p n k (5) Jetzt ühren wir wieder N n ein und erhalten p N k (6) Die Gasenge N entspreche ν Mol: N ν N L ; dait olgt aus Gl. (6) p ν N L k Wir ühren ein R N L k J 8,3 K Mol und erhalten it p ν R ν... Stoenge und R... allgeeine Gaskonstante. (7) Koentar: Gl. (5) und Gl. (7) stellen die Zustandsgleichungen idealer Gase dar, in atoistischer und in akroskopischer For. Daraus olgen das Gesetz von OYLE-MARIOE (vgl. <3..>) p const. ( const. ) sowie die Gesetze von GAY-LUSSAC bzw. p ~ ( const. ) ~ ( p const. ) 7

3 0.. Innere Energie; Erster Hauptsatz der Wärelehre Wärelehre Kinetische Gastheorie gegeben: therodynaisches Syste Kessel it Inhalt (z.. Wasser + Dap) Der Kessel hat als Ganzes bestite Energieanteile, z.. E pot E kin (inolge der ewegung des Kessel als Ganzes!) äußere Energien. Wir betrachten nun die innere Energie U des Systes it olgenden Anteilen: ungeordnete ewegungsenergie der eilchen (sogenannte therische Energie) entsprechend den gegebenen Freiheitsgraden (vgl. <9..> und <9.3.>) Energieanteile, die it der cheischen indung oder de Aggregatzustand zusaenhängen ( Energie der indungen innerhalb der Atoe und der Kerne) Die innere Energie U kann sowohl durch den Austausch von Arbeit als auch den von Wäre verändert werden:! U Q + W (8) Also: Jede Zu-/Abuhr von Arbeit oder Wäre indet sich entsprechend in U wieder. Es wird keine Energie erzeugt oder vernichtet.! Dies ist der. Hauptsatz der herodynaik (Energieerhaltungssatz). Daraus olgt die Unöglichkeit des Perpetuu obiles. Art. U ist eine Zustandsgröße, d.h., wenn an einer bestiten Stoenge (Kesselinhalt) ein bestites oluen und eine bestite eperatur gibt, erhält an einen bestiten Druck p und eine bestite innere Energie U. Jeder Zustand {p,, } hat eine eindeutig bestite innere Energie U, unabhängig davon, wie der Zustand erreicht wurde.! Anders verhält es sich bei Q und W: Dies sind lediglich unterschiedliche Wege, u die innere Energie U zu ändern. Illustration: Es kann passieren, dass an Wäreenergie in ein Syste steckt und sich dies vollständig in einer Erhöhung des Wäreinhaltes des Systes (d.h. in einer eperatur-erhöhung) widerspiegelt z.. op it Wasser, Fall a). on diesen Größen sind zwei unabhängig voneinander, die dritte ergibt sich durch die Zustandsgleichung. 8

4 Wärelehre Kinetische Gastheorie Es ist aber auch öglich, dass an Wäreenergie zuührt, ohne dass sich die eperatur des Systes erhöht z.. op it Eiswasser, Fall b). a) b) Deshalb ist die Wäre keine Zustandsgröße! Was sich in beiden Fällen geändert hat, ist die innere Energie, entweder in For von therischer Energie (Fall a), oder durch eine Änderung der indungsenergie (Schelzen des Eises, Fall b). Man weiß seit lange, dass Wäre kein Sto ist. Ot geht an jedoch oral so vor, als ob sie einer wäre, z.. bei der ehandlung der Wäreleitung. Dieses orgehen ist streng genoen nicht korrekt, weil es nicht ier zulässig ist. Dort, wo es zulässig ist, ist es aber sehr nützlich. Wir betrachten Gl. (8) ür den Fall des idealen Gases. ei idealen Gas besteht die einzige Möglichkeit, die innere Energie U zu beeinlussen, darin, die ewegungsenergie der Gasteilchen zu verändern. Also gilt U C Daraus olgt C Q p (9) 0.3. C und C p bei Gasen Wir betrachten ν Mol eines Gases. Diese haben eine Wärekapazität C von C ν C ol, ν N A k (9-8 ) R C ν R (0) bei const. ergibt sich eine Erwärungsarbeit Q e von Q e ν R () Zu orzeichen: ei Kopriierung ist < 0, entsprechend W > 0, d. h. zunehende U! 9

5 Wärelehre Kinetische Gastheorie Wenn p const. sein soll, uss neben der Erwärungsarbeit noch die Druckarbeit durch Wärezuuhr augebracht werden: Q d p Aus der Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. (7)) olgt: d d d d νr νr p p Soit ergibt sich ür die Druckarbeit: Q d p ν R Q d νr () Für die Gesatarbeit erhält an it Gl. () und (): Q Q e + Q d C p νr + νr (3) C Aus Gl. (3) olgt zweierlei: a) Kürzen der Cp C ν R (etrachtung von ν Mol) bzw. C C R ol,p ol, (etrachtung von Mol) (4) b) Zusaenassen der rechten Seite der Gleichung C p + νr (5) Mit Hile von Gl. (0) und (5) olgt die Deinition des Adiabatenexponenten: C γ C p + (6) Gl. (6) wird von realen Gasen recht gut erüllt (vgl. abelle in <9.4.>)! 0

6 Wärelehre Kinetische Gastheorie 0.4. Adiabatische Zustandsänderungen... lauen ohne Wäreaustausch it der Ugebung ab ( Q 0)! dait olgt aus Gl. (9): C p Wird nun C ittels Gl. (0) und p it Gl. (7) ausgedrückt, so erhält an: νr d νr γ (lt. Gl. (6)) ( γ ) d nach Integration ergibt sich: ln + ( γ )ln const. γ const. (7a) Uorung it Gl. (7) ergibt: γ p const. (7b) Dies sind die POISSON-Gleichungen, die adiabatische Prozesse in idealen Gasen beschreiben. Zustandsänderungen i p--diagra: a) Adiabate (lt. Gl.(7)) b) Isotheren (lt. Gl. (7)) c) Isobare (p const.) d) Isochore ( const)

7 Wärelehre Kinetische Gastheorie eispiel: Adiabatische Zustandsänderung (entlang der Kurve a)): ei der Kopriierung von au erwärt sich das Gas wegen Q 0 von au 3! Adiabatische orgänge treten au bei nicht ausreichender Wäreleitähigkeit der Lut, z.. bei Einströen in ein iedruckgebiet oder bei der Schallausbreitung, wo die Wäreabuhr nicht schnell genug ist, so dass die Zustandsänderungen praktisch adiabatisch verlauen. Deshalb uss Gl. (6-7 ) noch hinsichtlich des adiabatischen Charakters der Zustandsänderung korrigiert werden. ollkoen exakt ist γ p v Ph, (6-7 ) anderenalls beträgt die Abweichung in Lut γ,4, 8, also 5-0 %!) 0.5. Die OLZMANNsche Energieverteilung Die baroetrische Höhenorel war p(h) p o 0 g h po (3-6) (Die erwendung des Ausdrucks 0 po in dieser Forel war nur ein Notbehel!) Wir nehen jetzt die Zustandsgleichung des idealen Gases p n k n it...masse eines Gasteilchens (5) p k pk k g h p Nach der Multiplikation it g h erhält an einen allgeeingültigen Ausdruck ür, der natürlich auch an der Erdoberläche, d. h. ür 0, gilt: p p0 g h k p 0 0 g h (8)

8 Wärelehre Kinetische Gastheorie Mit Gl. (8) können wir Gl. (3-6) uoren zu p(h) p o g h k p o Epot k (9) Diskussion: Die Drücke in verschiedenen Höhen - und dait wegen Gl. (5) auch die eilchenzahldichten - hängen exponentiell von der potentiellen Energie E pot der Gasteilchen in diesen Höhen ab!! Die baroetrische Höhenorel ist ein eispiel ür das Wirken des erteilungssatzes von OLZMANN: Wenn ein Syste eine Reihe von Zuständen it den Energien W, W,... annehen kann, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Syste i Zustand i beindet! Wi k pi gi it g i... statistisches Gewicht des Zustandes i (0) Diskussion: Höherenergetische Zustände werden ungern eingenoen (exponentieller Aball!), wobei eine eperatur-erhöhung de entgegenwirkt.! Der OLZMANNsche erteilungssatz ist eine sehr allgeeingültige eziehung, er gilt z.. auch ür die esetzung von Energiezuständen in Atoen und Molekülen Die MAXWELLsche Geschwindigkeitsverteilung... ist die Geschwindigkeitsverteilung der eilchen eines idealen Gases. Sie ist so beschaen, dass hinsichtlich der eilchenenergien - es gibt ja nur die kinetische Energie - die OLZMANN-erteilung eingehalten wird.! Für die baroetrische Höhenorel ist g i bedeutungslos! 3

9 Wärelehre Kinetische Gastheorie Es ist: dn(v) W(v) N dv wobei dn(v ) den ruchteil der eilchen it der Geschwindigkeit i Intervall (v, v +dv) und W(v ) die Wahrscheinlichkeit, dass das eilchen v v besitzt, darstellen. Wie erhält an die erteilung? Es gilt, wie gesagt, die OLZMANN-erteilung: dn(v) N c v k dv () wobei N die Gesatzahl der Gasteilchen und c W(v) ist. Jedoch ist hier das statistische Gewicht der einzelnen v-intervalle zu beachten: Es lässt sich zeigen, dass es viel ehr Möglichkeiten gibt, eine höhere Geschwindigkeit einzunehen, als eine niedrige:!... In c steckt das statistische Gewicht des einzelnen Geschwindigkeitsintervalls. Es ist ~ 4πv, da das Intervall (v, v+dv) eine Kugelschale i dreidiensionalen v-rau darstellt. Dait erhalten wir ür die MAXWELLsche Geschwindigkeitsverteilung dn(v) N πk 3 4πv v k dv () 4