Anfängerpraktikum III kritischer Punkt/ Heißluftmotor

Transkript

1 Anfängerpraktikum III kritischer Punkt/ Heißluftmotor Praktikumsbericht René Sedlak, Simon Hönl Tutoren: Botchak Mouafi, Yves Patrick Durchgeführt am /

2 krit. Punkt - Heißluftmotor Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Physikalische Grundlagen Thermodynamische Zustandsgleichungen Thermodynamische Prozesse Kreisprozesse Versuchsdurchführung Heißluftmotor Kritischer Punkt Fragen 28 5 Anhang Literatur

3 krit. Punkt - Heißluftmotor 1 Einleitung 1 Einleitung Das Ziel des Versuchs ist es, zwei wichtige thermodynamische Effekte experimentell kennenzulernen. Den kritischen Punkt und den Stirling-Kreisprozess. 2 Physikalische Grundlagen 2.1 Thermodynamische Zustandsgleichungen In der Thermodynamik wird vor allem die Umwandlung von verschiedenen Energieformen ineinander beschrieben; insbesondere der Übergang von mechanischer in thermische Energie und Umgekehrt. Um solche thermodynamischen Prozesse beschreiben zu können, leitet man sich Zustandsgleichungen her, welche den Zusammenhang zwischen Zustandsgrößen wie Druck, Volumen oder Temperatur eines Stoffes beschreiben. Eine Zustandsgleichung ist die allgemeine Gasgleichung, die den Zusammenhang zwischen dem Gasdruck p, dem Molvolumen V M, der Temperatur T ([K]) und der Stoffmenge eines Idealen Gases (ein Gas, bei dem zwischen den punktförmigen Gasteilchen keine Wechselwirkung angenommen wird) beschreibt: j p V M = R T (1) Dabei ist R = 8, die molare Gaskonstante. Aus diesen Größen lässt sich die molk innere Energie des Stoffes berechnen. Diese beschreibt die kinetische Energie aller sich im Stoff bewegenden Teilchen. Für die innere Energie U i gilt: U i = E kin = n R f T 2 Dabei ist f die Anzahl der Freiheitsgrade des Stoffes (im Falle eines Gases gilt f = 3) und n die Stoffmenge. Praktisch treten jedoch keine idealen Gase auf, da immer geringe Wechselwirkungen zwischen den Molekülen bestehen. Bei geringen Dichten sind diese Wechselwirkungen zu vernachlässigen. Die unter höherem Druck oder bei niedrigeren Temperaturen auftretenden Wechselwirkungen können durch den sog. Binnendruck beschrieben werden: (2) p B = a V 2 (3) Dabei quantifiziert a die Wechselwirkung zwischen den Teilchen. Die potentielle Energie ergibt sich aus folgendem Integral: E pot = V a V 2 dv = a V (4) 3

4 krit. Punkt - Heißluftmotor 2 Physikalische Grundlagen Van-der-Waals-Isothermen von CO 2 (Quelle: W. Demtröder, Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme Unter Berücksichtigung der potentiellen Energie ergibt sich die innere Energie dann durch: U r = E kin + E pot = n f R T 2 Außerdem muss für reale Gase noch die Korrektur der Gasgleichung von Van-der-Waals berücksichtigt werden: ( p + a ) (V VM 2 M b) = R T (6) b ist in dieser Gleichung so etwas wie das Eigenvolumen, das Van-Der-Waals jedem Molekül zuspricht. In der Abbildung oben sind die Isothermen von CO 2 für verschiedene Temperaturen eingezeichnet. Es fällt auf, dass für niedrigere Temperaturen Minima und Maxima in den theoretischen Kurven auftreten. Diese treten in der Realität nicht auf und werden durch sog. Maxwell-Geraden korrigiert, welche in der Abbildung gestrichelt dargestellt wird. Die Maxwell-Gerade ist dabei so positioniert, dass die beiden Flächen zwischen der Gerade und der Isotherme zwischen Punkt C und B bzw. zwischen Punkt B und A aufgrund der Energieerhaltung genau gleich groß sind. Im Bereich der Maxwell- Gerade liegt ein sog. Koexistenzbereich vor, in dem der Stoff sowohl als Gas als auch als Flüssigkeit vorliegt. Vor diesem Bereich ist der Stoff flüssig, danach gasförmig. Experimentell bestätigt sich dieser theoretische Verlauf. a V (5) 4

5 krit. Punkt - Heißluftmotor 2 Physikalische Grundlagen 2.2 Thermodynamische Prozesse Ist eine Flüssigkeit in einem abgeschlossenen Behälter eingefangen, so verdampft ein Teil von ihr, da einige Teilchen in der Flüssigkeit genügend kinetische Energie haben, um die Oberfläche zu durchstoßen und sich frei im Raum zu bewegen (natürlich geschieht auch der umgekehrte Fall, dass freie Teilchen in die Flüssigkeit eindringen). Durch diesen Vorgang baut sich in dem Behälter ein Druck auf, bis sich ein Gleichgewicht zwischen der Gasphase und der flüssigen Phase einstellt, in diesem Gleichgewicht sind beide Phasen stabil; der Druck, unter dem dieses Gleichgewicht herrscht ist temperaturabhängig und wird Sättigungsdampfdruck p s (T ) genannt. Aufgrund der Brownschen Molekularbewegung nimmt dieser Druck mit steigender Temperatur zu, da die Teilchen der Flüssigkeit dann im Mittel mehr kinetische Energie besitzen. Die Funktion des Sättigungsdrucks in Abhängigkeit der Temperatur wird auch als Dampfdruckkurve bezeichnet. Skizze einer Dampfdruckkurve (Quelle: W. Demtröder, Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme) Erhöht man nun also die Temperatur, so verdampft immer mehr der Flüssigkeit, wodurch dessen Dichte ab- und die Dichte des Dampfes zunimmt. An einem bestimmten kritischen Punkt verschwindet die Phasengrenze vollständig, so dass die gesamte Substanz als überkritisches Fluid vor. Die an diesem Punkt herrschende Temperatur wird mit T k bezeichnet und der kritische Druck mit p k. In einem pv- Diagramm (s.o.) ist dieser Punkt ein Sattelpunkt. Es gilt also: 0 = p V Tk,V M,k 0 = 2 p V 2 (7) Tk,V M,k 5

6 krit. Punkt - Heißluftmotor 2 Physikalische Grundlagen Aus der Van-der-Waals-Gleichung ergibt sich nun durch Differentiation folgendes Gleichungssystem: R T k (V M,k b) + 2a 2 V 3 M,k 2R T k (V M,k b) 3 + 6a V 4 M,k Durch Lösen dieses Gleichungssystems ergibt sich: = 0 (8) = 0 (9) V M,k = 3b (10) T k = 8a (11) 27Rb p k = a (12) 27b 2 Mit diesem Zusammenhang lassen sich nun durch Kenntnis von a und b die Zustandsgrößen des kritischen Punktes berechnen bzw. durch deren Kenntnis a und b. Der Zusammenhang zwischen den Zustandsgrößen lässt sich jedoch auch über den Joule- Thomson-Effekt erklären. Dieser beschreibt einen Effekt, der bei der Expansion von Gasen auftritt, bei der die potentielle Energie der Teilchen im Gas zunimmt, da sie weiter voneinander entfernt werden, und somit durch die Energieerhaltung deren kinetische Energie abnimmt, sprich das Gas kälter wird. Die Energie des Gases ergibt sich dadurch wie folgt: Q = U r + p V (13) Im folgenden wird die Stoffmenge n = 1 gesetzt. Aus der Van-der-Waals-Gleichung ergibt sich nun: ( 2 H = R T f + V ) 2a (14) V b V Die Energieänderung dh = 0, da das System keine Energie nach außen abgibt: dh = Q Q dv + V T T = 0 (15) Durch Differenzieren und Umformen ergibt sich folgendes: Q V dt = Q T dv = bt 2a (V b) 2 RV 2 f + V 2 V b brt 2a dv (16) + 1)RV 2 ( f 2 Mit bekannter kleiner Volumenänderung dv lässt sich die Temperaturänderung dt nun berechnen. 6

7 krit. Punkt - Heißluftmotor 2 Physikalische Grundlagen An der Gleichung oben sieht man, dass der Nenner abhängig von der Temperatur größer oder kleiner Null werden kann. Die Grenze wird als Inversionstemperatur T I bezeichnet: T I = 2a br Das heißt unterhalb der Inversionstemperatur kühlt das Fluid bei einer Volumenvergrößerung ab, und oberhalb von T I steigt die Temperatur bei einer Volumenvergrößerung an. Möchte man also in einer technischen Anwendung den Joule-Thomson-Effekt ausnutzen, so muss man das Fluid zunächst unter die Inversionstemperatur abkühlen. Ein Beispiel für eine solche technische Anwendung ist Das Linde- Verfahren zur Luftverflüssigung, womit Sauerstoff und Stickstoff verflüssigt werden können. (17) Schematische Darstellung des Linde-Verfahrens (Quelle: wikipedia.org/linde-verfahren ( ) Wie oben dargestellt wird zunächst die eingehende Luft komprimiert, wobei sich diese erhitzt. Danach strömt die komprimierte Luft durch einen Wärmetauscher in dem sie abgekühlt wird. Die abgekühlte Luft strömt schließlich durch ein Enstpannungsventil, wobei sie durch die Volumenzunahme abnimmt (Joule-Thomson-Effekt), ein Teil der Luft kondensiert dann im Kolben, der andere Teil wird wieder durch den Wärmetauscher geleitet und kühlt den nächsten Durchlauf. 7

8 krit. Punkt - Heißluftmotor 2 Physikalische Grundlagen 2.3 Kreisprozesse Ein thermodynamischer Kreisprozess ist ein Vorgang, in dem ein System verschiedene thermodynamische Zustände durchläuft bis es sich schließlich wieder in der Ausgangslage befindet. Jeder auf Verbrennung basierende Motor basiert letztendlich auf solchen Kreisprozessen. Im folgenden soll zunächst der Carnot sche Kreisprozess beschrieben werden. pv Diagramm eines Carnot schen Kreisprozesses (Quelle: W. Demtröder, Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme S:321) Der Carnot sche Kreisprozess beschreibt anhand eines idealen Gases den höchstmöglichen Wirkungsgrad (Carnot Wirkungsgrad η) einer periosischen Maschine. Es ist also ein rein theoretischer Vorgang. Die einzelnen Schritte des Prozessen laufen dabei wie folgt ab: Im ersten Schritt findet eine sog. isotherme Expansion des Gases statt, d.h. das Volumen V 1 des Gases mit der Stoffmenge n wird bei konstanter Temperatur T 1 vergrößert, wobei sich der Druck p 1 verringert und deshalb durch den Joule-Thomson- Effekt eine Abkühlung stattfindet. Um die Temperatur konstant zu halten muss dem System also eine Energie Q 1 zugeführt werden für die gilt: Q 1 = V2 V 1 p 1 dv = V2 V 1 n R T 1 1 V dv = n R T 1 ln V 2 V 1 (18) Das Volumen wird nun in einer adiabatischen Expansion weiter vergrößert, das heißt es wird keine Energie von außen mehr zugeführt, das Gas gibt also einen Teil seiner inneren Energie nach außen ab. Nun findet eine isotherme Kompression statt. Das Volumen wird also unter gleichbleibender Temperatur T 2 verringert, damit die Temperatur bei der Kompression konstant bleibt muss dem System Energie entzogen werden: Q 2 = V4 V 3 p 1 dv = V4 V 3 n R T 2 1 V dv = n R T 2 ln V 4 V 3 (19) 8

9 krit. Punkt - Heißluftmotor 2 Physikalische Grundlagen Im letzten Schritt findet eine adiabatische Kompression statt, bei der sich das Gas wieder auf seine ursprüngliche Temperatur T 1 erhitzt. Für diesen Schritt muss dem System mechanische Energie zugeführt werden. Nach diesem Schritt befindet sich das System wieder im Ausgangszustand. Die im zweiten Schritt abgegebene Energie ist gleich der im vierten Schritt aufgenommenen und trägt daher nicht zur Energiebilanz bei. Für die geleistete Arbeit W ergibt sich nun: W = Q 1 + Q 2 = nrt 1 cot ln V 2 V 1 + nrt 2 cot ln V 4 V 3 (20) Aus den Poisson-Gleichungen ergibt sich für die adiabatischen Vorgänge: Es ergibt ich also für die Energiebilanz: Für η einer Carnot-Maschine gilt: V 2 V 1 = V 3 V 4 (21) ln V 2 V 1 = ln V 3 V 4 (22) W = nr (T 1 T 2 ) ln V 1 V 2 (23) η := abgegebeneenergie auf genommeneenergie (24) Mit der Annahme, dass Q 2 nicht mehr nutzbar ist und somit nicht zur aufgenommenen Energie beiträgt ergibt sich für η: η = W = nr (T 1 T 2 ) ln V1 V 2 = T 1 T 2 (25) Q 1 nr T 1 ln V 1 V 2 T 1 Der Wirkungsgrad lässt sich also verbessern, in dem die Differenz zwischen T 1 und T 2 möglichst groß gehalten wird. Dieser Wirkungsgrad ist wegen der Vernachlässigung von Reibung der maximal erreichbare Wirkungsgrad. Ein weiterer wichtiger thermodynamischer Kreisprozess ist der Stirling sche Kreisprozess, der im folgenden erklärt wird. Der Stirling sche Kreisprozess besteht wie der Carnot sche Kreisprozess aus 4 Schritten: Das Arbeitsgas wird isotherm unter Zuführung der Energie Q 1 expandiert. Das Gas wird isochor abgekühlt, d.h. das System gibt die Energie Q 2 ab, welche in einem Zwischenspeicher gespeichert wird. 9

10 krit. Punkt - Heißluftmotor 2 Physikalische Grundlagen Das Gas wird unter Abgabe der Energie Q 3 isotherm komprimiert. Das Arbeitsgas wird isochor erhitzt, wobei die dafür benötigte Energie Q 4 = Q 2 dem Zwischenspeicher entnommen wird. pv Diagramm eines Stirling schen Kreisprozesses (Quelle: W. Demtröder, Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme S:336) schematische Darstellung des Stirling schen Kreisprozesses (Quelle: W. Demtröder, Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme S:337) 10

11 krit. Punkt - Heißluftmotor 2 Physikalische Grundlagen Auf der Abbildung oben ist eine technische Realisierung des Stirling Prozesses in Form des Stirling-Motors zu sehen. Dabei wird Q 1 durch den oberen Teil des Zylinders zugeführt, beispielsweise durch eine Spirituslampe und Q 2 am unteren Teil des Zylinders abgeführt, beispielsweise durch Kühllamellen. Q 1 und Q 3 ergeben sich ähnlich wie beim Carnot-Prozess, es muss jedoch berücksichtigt werden, dass sich in Schritt 2 und 4 das Volumen nicht ändert: Q 1 = Q 3 = Vmax V min Vmin V max p 1 dv = nrt 1 ln V min V max (26) p 3 dv = nrt 2 ln V max V min (27) Im Zylinder des Stirling-Motors befindet sich außerdem ein Verdrängerkolben der sich mit einer Phasenverschiebung von 90 zum Kompressionskolben bewegt. In dem Verdrängerkolben sind in einer Bohrung Metallspäne eingearbeitet, die die Wärme des Gases aufnehmen wenn es durch die Bohrung strömt und so als Wärmespeicher für Q 2 dienen. Die Arbeit, die der Stirlingmotor leistet ergibt sich dann pro Periode mit der Stoffmenge des Gases n, der Temperaturdifferenz zwischen Kühlung und Zeizung T wie folgt: W = n R T ln V max V min (28) Der Stirling-Prozess ist reversibel, das bedeutet, dass auf diesem Prinzip arbeitende Maschinen wie der Stirlingmotor (s.o.) sowohl als Wärmekraftmaschine, als auch als Wärmepumpe verwendet werden können. Läuft der Stirlingprozess vorwärts ab, sprich wird der Kolben an einer seite geheizt und an der anderen gekühlt, so wandelt die Maschine Wärmeenergie in mechanische Arbeit um (Wärmekraftmaschine); läuft der Prozess rückwärts ab, wird also der Kolben durch Aufwand mechanischer Energie bewegt, so transportiert die Maschine thermische Energie vom kühleren in den wärmeren Raum (Wärmepumpe). Allgemein lässt sich über den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik bestimmen, ob ein thermodynamischer Prozess reversibel ist. Dieser besagt, dass Wärmeenergie nie vollständig in andere Energieformen umgewandelt werden kann, bzw. dass die Entropie in einem geschlossen adiabaten System konstant ist, wobei als Entropieänderung das Verhältnis von übertragener Wärme zur Gesamttemperatur bezeichnet wird. Da für eine Wärmekraftmaschine immer ein Temperaturgefälle nötig ist, kann thermische Energie auch nicht immer genutzt werden; gäbe es eine Maschine, die thermische Energie ohne eine Temperaturdifferenz in mechanische Arbeit umwandeln könnte, so wäre dies ein perpetuum mobile zweiter Art. Als Leistung P bezeichnet man eine Größe die angibt, wie viel Energie von einem System pro Zeit umgewandelt wird. Für die Leistung eines Motors gilt: P m = W t = F s t = F v = M ω = 2π M ν (29) 11

12 krit. Punkt - Heißluftmotor 3 Versuchsdurchführung Dabei ist M das wirkende Drehmoment und ν die Drehzahl. Für die elektrische Leistung gilt: P el = U I = U 2 R (30) 3 Versuchsdurchführung 3.1 Heißluftmotor Zur Messung wird das Programm CASSYLab verwendet. Im ersten Versuchsteil wird der Stirlingmotor als Kältemaschine betrieben. Zunächst wird der Motor kalibriert, indem der Kolben in die tiefste Stellung bewegt und der Reset-Knopf betätigt wird. Der Stirlingmotor wird nun mit dem anderen Motor angetrieben. Sobald die Temperaturen an den Messpunkten konstant bleiben, werden mithilfe von CASSYLab die pv-diagramme der Wärmepumpe aufgezeichnet und die Messpunkttemperaturen, die Drehzahl des Stirlingmotors, sowie aus den Diagrammen die Extremwerte für Druck und Volumen bestimmt. Auch werden mithilfe des Multimeters Spannung und Stromstärke des Elektromotors gemessen. Im zweiten Teil des Versuchs wird der Stirlingmotor als Wärmekraftmaschine verwendet. Anstelle der Motor/Generator-Einheit wird die Skala zur Drehmomentmessung angebracht. Anschließend wird der Spiritusbrenner angezündet. Die Größe der Flamme muss im Verlauf des Versuchs konstant bleiben, damit später die Heizleistung aus Brennstoffverbrauch und Brenndauer bestimmt werden kann. Wieder wird gewartet, bis sich an den Messpunkten konstante Temperaturen eingestellt haben. Wie im ersten Versuchsteil werden dann die Temperaturen, Drehzahl und Minimal- bzw. Maximalwerte für Druck und Volumen gemessen, indem das pv-diagramm aufgezeichnet wird. Anschließend wird der Motor durch den Drehmomentmesser auf 500 Umdrehungen pro Minute begrenzt. Es werden wieder die üblichen Werte und zusätzlich das wirkende Drehmoment gemessen und das pv-diagramm aufgezeichnet. Als nächstes werden für verschiedene Drehzahlen die jeweiligen wirkenden Drehmomente bestimmt. Auf diese Weise wird später die mechanische Leistung in Abhängigkeit von der Drehzahl ermittelt. Danach wird, um die elektrische Leistung zu ermitteln, der Drehmomentmesser wieder durch die Motor/Generator-Einheit ersetzt, und mit diesem der Stirlingmotor angetrieben. Für verschiedene Widerstände im angeschlossenen Stromkreis soll die Motorspannung und dessen Drehzahl bestimmt werden. 3.2 Kritischer Punkt Kompaktaufbau bestehend aus transparenter volumenkalibrierter Kompressionskapillare gefüllt mit SF6, zur Sicherheit in transparentem Berstbehälter mit Wasserfüllung 12

13 krit. Punkt - Heißluftmotor 3 Versuchsdurchführung Druckerzeugungssystem mit Quecksilbersäule und mechanischem Zeigermanometer und einem Temperaturregelungssystem mit Umwälzpumpe; als Wärmetransportmittel dient Wasser. In diesem Versuch wird der kritische Punkt von Schwefelhexafluorid SF 6 experimentell bestimmt, indem für verschiedene konstante Temperaturen (Isotherme) jeweils für verschiedene Volumina die entsprechenden Drücke gemessen werden. 13

14 4. Auswertung 4.1 Heißluftmotor Als Erstes wird aus dem idealen Gasgesetz jeweils die Stoffmenge n bei der Kältemaschine und der gedrosselten, sowie ungedrosselten Wärmekraftmaschine errechnet. Mithilfe von CASSYLab wurden Druck und Volumen durch elektrische Signale gemessen. Die Spannungen werden gemäß den Angaben in der Versuchsanleitung folgendermaßen in Druck bzw. Volumen umgewandelt: = + = 1 h h = + = = = mit =8,31441 [ ] [h ] [ ] [ ] Kältemaschine 296, ,28 1,58 Wärmekraftmaschine 333, ,28 1,39 ungedr. Wärmekraftmaschine 332, ,30 1,39 gedr. [ ] [h ] [ ] [ ] Kältemaschine ,04 1,51 Wärmekraftmaschine ,04 1,15 ungedr. Wärmekraftmaschine gedr ,04 1,07 Aus den sechs errechneten Stoffmengen wird das arithmetische Mittel gebildet. Die sich dabei ergebende Unsicherheit ist durch die Standardabweichung gegeben. 1 = 1 =1 =1, siehe B.-U. Runge: AP-Skript, C.1.2 Statistische Definitionen

15 = 1 ( 1) ( ) =0,20 10 Damit erhalten wir eine Stoffmenge von =(1,35±0,20) 10 mol. p-v-diagramm der Kältemaschine

16 p-v-diagramm der ungedrosselten Wärmekraftmaschine p-v-diagramm der gedrosselten Wärmekraftmaschine

17 Anmerkung: Der ideale Stirling-Prozess ist in die ausgedruckte Version dieses Versuchsprotokolls eingezeichnet. Nun wird zunächst die Kältemaschine betrachtet. Die aufgewendete Arbeit des Elektromotors für einen Zyklus beträgt mit den gemessenen Werten für Motorspannung und Motorstrom: = = 1 =(0,306±0,027) Als Unsicherheiten werden =0,1, =0,01 und =5 veranschlagt. Der absolute Fehler wird nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung berechnet. Die allgemeine Formel hierfür wird in der Auswertung zum Versuch Kritischer Punkt weiter unten aufgeführt. = + + =0,027 In einem idealen Stirling-Kreisprozess gilt für die aufgewendete Arbeit = ln Damit ergibt sich für unser Experiment für die im Idealfall geleistete Arbeit: = ( 2 1 ) ln =(28,0±1,1) = =1,1 In diesem Stirling-Prozess wird der kalten Seite die Wärme entzogen. = ln = (1,076±0,499) = =0,499 Die real aufgewendete Arbeit

18 = wird mithilfe des Programms Stirling-Calculator numerisch berechnet. Wir erhalten gemittelt = = (0,100 ±0,005) Als Fehler wird aufgrund der numerischen Berechnung die Standardabweichung verwendet. Genauso wird die im realen Prozess der kalten Seite entzogenen Wärme berechnet. = =(1,250±0,319) Mit diesen Werten können die verschiedenen Wirkungsgrade berechnet werden. Idealer Wirkungsgrad: = =38,4±19 Thermodynamischer Wirkungsgrad : = =12,5±3,8 Elektrischer Wirkungsgrad: = =2,45±1,4 = + = + = + Als nächstes wird die Wärmekraftmaschine betrachtet. Die mittlere Heizleistung des Spiritusbrenners wird aus dem Heizwert des Spiritus ( =27 / ), der Masse des verbrauchten Brennstoffs und der Brenndauer berechnet. = = 23, =494,69 Dann gilt für die Heizleistung des Brenners bei der Drehzahl =600 1/ = =(49,47±0,47) = + + =0,47

19 Wieder wird die in einem idealen Stirling-Prozess zugeführte Wärme, sowie die verrichtete Arbeit berechnet. = ln =(1,578±0,32) = =0,32 = ( ) ln =(0,371±0,063) = =0,063 Ebenso erfolgt die Berechnung der real zugeführten Wärme und verrichteten Arbeit = wieder über numerische Integration mittels Stirling-Calculator. = =(1,413±0,022) = = (0,241±0,002) Über das Drehmoment und die Drehzahl kann die mechanische Arbeit berechnet werden. = = =2 =(37,7±0,7) = Es werden wieder die Wirkungsgrade ermittelt. Idealer Wirkungsgrad: Thermodynamischer Wirkungsgrad: Mechanischer Wirkungsgrad: Thermischer Wirkungsgrad: Gesamtwirkungsgrad: = =0,24±0,03 = =0,17±0,003 = =0,03±0,0005 = =0,005±0,00006 = =0,0008±0, Der Gesamtwirkungsgrad ist also, wie der thermische Wirkungsgrad, äußerst gering. Der Heißluftmotor würde also durch bessere Dämmung effizienter arbeiten.

20 Die Fehler der Wirkungsgrade berechnen sich wieder nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung: = + = + = + = + = + Zuletzt wird die mechanische, sowie die elektrische Leistung gegen die Drehzahl aufgetragen. Die elektrische Leistung berechnet sich dabei folgendermaßen aus der Spannung: = R [Ω][ U [V] v [1/min] [ ] 300 5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,70

21 3,00 2,50 Leistung P [Watt] 2,00 1,50 1,00 0,50 0, Frequenz v [1/min] Elektrische Leistung P in Abhängigkeit der Frequenz v Die mechanische Leistung des Heißluftmotors wird wie oben über das Drehmoment berechnet. v [1/min] M [mnm] [ ] 550 6,0 37, ,2 38, ,8 11, ,5 15, ,5 28, ,5 40, ,0 43, ,5 53, ,8 61, ,1 69,74

22 80,00 70,00 60,00 Leistung P [Watt] 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0, Frequenz v [1/min] Mechanische Leistung P in Abhängigkeit der Frequenz v Fehlerdiskussion Die aufgenommen p-v-diagramme besitzen die klassische Form des realen Stirling- Prozesses. Aus ihnen konnten gut die Daten zur Berechnung der kritischen Werte abgelesen werden. Jedoch zeigt die Breite der jeweiligen Kontur, dass der aufgenommene Kreisprozess eine Mittelung mehrerer Zyklen ist. Die Werte für die Wärmen und Energien konnten problemlos berechnet werden und sind alle mit annehmbar kleinen Fehlern behaftet. Die Diagramme der mechanischen und elektrischen Leistung beim Heißluftmotor sind sehr ungenau, die idealen Verläufe sind parabelförmig. Es ist anzumerken, dass sich die beiden Grenztemperaturen oft nicht exakt auf einen konstanten Wert einpendelten, sondern noch leicht schwankten. Hieraus entstand mit Sicherheit ein Messfehler. Auch die Belüftung des Raumes, die für Temperaturschwankungen gesorgt haben könnte, ist eine mögliche Fehlerquelle. Da wir den Brenner versehentlich vorzeitig gelöscht hatten, musste eine zweite Brennperiode zur ersten hinzuaddiert werden, was einen Fehler bei der Heizleistung zur Folge gehabt haben könnte. Insgesamt lieferte der Versuch jedoch trotz gewisser Unsicherheiten befriedigende Ergebnisse.

23 4.2 Kritischer Punkt Druck p [bar] T=5 C T=12,5 C T=18 C T=23 C T=28 C T=35 C T=40,5 C T=41 C T=42 C T=43 C T=44 C T=45 C T=46,5 C T=48 C T=49 C 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Volumen V [ml] p-v-diagramme für verschiedene Temperaturen T Bis zu einer Temperatur von etwa T = 43 C kann noch ein konstanter Bereich des Graphen registriert werden. Für höhere Temperaturen weicht die Konstanz einer negativen Steigung. Ab einer Temperatur von T = C ist also kein Übergang zwischen den zwei Phasen flüssig und gasförmig mehr zu sehen, ab einer Temperatur von C liegt also ein überkritisches Fluid vor. Wir nähern die kritische Temperatur mit dem arithmetischen Mittel. Als Messungenauigkeit werden =0,5 =0,5 veranschlagt. = =45,5 =318,5±0,5 Auch das kritische Volumen, sowie der kritische Druck werden abgelesen, und zwar an dem Punkt, an dem der bisher konstante Abschnitt der Graphen zu einem einzelnen Wendepunkt zusammenläuft. Für das Volumen nehmen wir eine Messungenauigkeit von =0,05 und für den Druck =0,5 10 an. So bestimmen wir:

24 =0,3±0,05 =(42±0,5) 10 Aus den kritischen Größen werden nun die Van-der-Waals-Konstanten a und b nach den im Fragenteil hergeleiteten Formeln bestimmt: Umformen ergibt: = = 8 27 = 1 27 =(0,7044±0,011 ) = =(7,8814±0,1062) 10 8 R bezeichnet die ideale Gaskonstante =8, Nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung 2 ergibt sich für die absoluten Fehler ( )= = + = =0, = + = 3 5 =0, Die Stoffmenge ergibt sich aus dem kritischen Volumen und der zweiten Van-der-Waals- Konstanten. mit dem absoluten Fehler = 3 = 3 8 =(1,2688±0,2286) 10 2 siehe B.-U. Runge: AP-Skript, C.1.2 Fortpflanzung von Unsicherheiten

25 = + + = =0, Als nächstes wird die Dampfdruckkurve von Schwefelhexafluorid gezeichnet, indem für jedes Isotherm der konstante Druck der Maxwell-Geraden abgelesen wird. T [ C] p [bar] 5,0 15,5 12,5 18,5 18,0 21,0 23,0 23,7 28,0 26,5 35,0 30,5 40,5 34,3 41,0 34,5 42,0 35,2 43,0 36,5 44,0 37,5 45,0 38,0 46,5 39,0 48,0 40,5 49,0 41,5 Die experimentell bestimmten Werte werden zusammen mit recherchierten Literaturwerten in einem p-t-diagramm aufgetragen.

26 Dampfdruck p [bar] experimentell Literaturwert Temperatur T [ C] Dampfdruckkurve: p-t-diagramm p experimentell und nach Literaturwerten Zuletzt wird noch die Inversionstemperatur von Schwefelhexafluorid bestimmt. Dazu werden die experimentell bestimmten Van-der-Waals-Konstanten in die im Grundlagenteil für die Inversionstemperatur aufgeführte Formel eingesetzt. Für den Fehler gilt = 2 =(2150±63) = + =2 +2 =63 Fehlerdiskussion Von den Literaturangaben 3 =318,7 und =37,59 weichen die experimentell bestimmten Werte um 0,06 % bzw. 11,7 % ab. Der Wert für die kritische Temperatur ist also mehr als zufriedenstellend, während beim kritischen Druck eine deutliche Abweichung festzustellen ist. Als Fehlerquelle kann hier die analoge Druckanzeige angegeben werden. Zusätzlich zur generellen Ungenauigkeit eines mechanischen Zeigerinstruments wurde das Ablesen durch leichte Pendelbewegungen des 3 entnommen aus

27 Zeigers erschwert. Nur selten blieb er auf einem Wert wirklich stehen. Ebenso gestaltete sich die Temperaturregelung äußerst schwierig, da die Temperaturskala der Heizung nicht mit dem gemessenen Wert übereinstimmte. Die gewünschte Temperatur musste durch gut getimetes An- und Abschalten der Heizung getroffen werden. Dauerten die Messungen für ein Isotherm zu lange an, so fiel die Temperatur bereits wieder langsam ab. Berücksichtigt man diese ungünstigen Randbedingungen, so ist das Ergebnis durchaus zufriedenstellend. In der Dampfdruckkurve wurden zusätzlich zu den experimentell bestimmten Werten einige Literaturwerte eingetragen. Die Messwerte liegen dicht an den Literaturwerten, sind jedoch tendenziell etwas zu hoch. Auch liegen die Literaturwerte nicht mehr ganz im Fehlerbereich der experimentellen Werte. Der Grund dafür könnten die oben erwähnten Probleme bei der Messung sein. Für die Inversionstemperatur von SF6 konnte leider kein Literaturwert gefunden werden, jedoch liegt der Fehler in unserem Experiment bei 3 %, was ein akzeptabler Wert ist. Insgesamt kann der Versuch Kritscher Punkt trotz einiger Schwierigkeiten bei der Durchführung als gelungen betrachtet werden.

28 krit. Punkt - Heißluftmotor 4 Fragen 4 Fragen 1 Beschreiben Sie anhand des pv -Diagramms die Funktionsweise des Heißluftmotors a) als Wärmepumpe und b) als Kältemaschine. Welchen Umlaufsinn hat die durchlaufende Kurve jeweils? Siehe oben (Abschnitt 2.3). Wärmepumpe und Kältemaschine durchlaufen den Kreisprozess jeweils gegen den Uhrzeigersinn. 2 Was versteht man unter einem perpetuum mobile zweiter Art? Formulieren Sie den 2. Hauptsatz der Wärmelehre unter Verwendung der Begriffe a)?perpetuum mobile zweiter Art? bzw. b) Entropie. Siehe 2.3, der 2. Hauptsatz sagt aus, dass es kein perpetuum mobile 2. Art geben kann. 3 Wie hoch sind die typischen Wirkungsgrade gebräuchlicher Automotoren (Otto- Motor, Diesel-Motor)? Vergleichen Sie diese mit dem Wirkungsgrad eines Stirling-Motors. Eine Ottomotor hat einer Wirkungsgrad von bis zu 45 %, ein Dieselmotor einen von bis zu 50 %. Laut Wikipedia gibt es Stirlingmotoren mit einem Wirkungsgrad von bis zu 66 %, der in diesem Versuch hat jedoch nur einen von. Da Otto- bzw. Dieselmotoren jedoch robuster und weniger wartungsanfällig sind finden sie im Alltag bzw. in der Industrie häufiger Anwendung als der Sterlingmotor. 4 Finden Sie einen Weg die Integrale aus (2.11.3) bzw. (2.11.1)(Runge: Skript zum AP (2012)) auf die numerisch berechenbaren Integrale U max x Ux min U y du x (31) U y du x (32) zurückzuführen. 28

29 krit. Punkt - Heißluftmotor 4 Fragen Es gilt: U max x U min x p dv = = = U max x Ux min U max x Ux min U max x U min x = p V U U (( ) ) U 1 U y + p 0 dv (33) p ( ) ( ) p U 1 U U y + p 0 du x (34) V p V U U U y du x + U max x U min x U max x U min x V U p 0 du x (35) U y du x (36) Da das Integral im zweiten Term des voletzten Schrittes wegfällt. Dabei ist es für de Umformung egal, ob über einen geschlossenen Weg integriert wird. 5 Der Wirkungsgrad eines STIRLING-Motors kann mit einem technischen Trick maximiert werden. Im Idealfall nimmt er dann den Wirkungsgrad des CARNOT- Prozesses an. Wie könnte der Trick funktionieren? Siehe

30 krit. Punkt - Heißluftmotor 5 Anhang 5 Anhang 5.1 Literatur Runge, Bernd-Uwe: Physikalisches Anfängerpraktikum (Stand 2012) ( ) Demtröder - Experimentalphysik 1 (Mechanik und Wärme) -Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2006 P. Grauß, M. Noebels: Praktikumsbericht: Heißluftmotor / Kritischer Punkt (2010) 30