Mathematik für Bauingenieure

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1 Mathematik für Bauingenieure Doz.Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch. Oktober 004

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3 Kontakt: Willersbau C4, Telefon 3457 Homepage: Grundlagen: Skripte Mathematik für Bauingenieure für das Bauingenieurfernstudium an der TU Dresden, Teil und Teil, Professor Schirotzek. Vorlesung Höhere Mathematik A von Prof.Dr.rer.nat.habil. Peter Beisel an der Bergischen Universität Gesamthochschule Wuppertal, Fachbereich Bauingenieurwesen - Lehrgebiet Mathematik. Vorlesungen der Professoren Riedrich, Schirotzek, Weber, Voigt an der TU Dresden. Literatur: Hofmann: Ingenieur-Mathematik für Studienanfänger: Formeln - Aufgaben -Lösungen, Teubner Verlag Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden Fischer/Schirotzek/Vetters: Lineare Algebra: Eine Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Teubner Verlag Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden. Meyberg/Vachenauer: Höhere Mathematik - Differential und Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung. Springer Verlag Berlin 990, ISBN (Standard-Begleitliteratur, Aufgabenteil ohne Lösungen). Burg/Haf/Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure, Bände +. Teubner Verlag Stuttgart 99, ISBN (viele Beweise, weitergehende Informationen, viele Beispiele). Riedrich/Vetters: Grundkurs Mathematik für Bauingenieure. Teubner Studienbücher Bauwesen 999, ISBN (Aus Lehrveranstaltungen an der TU Dresden entstanden). von Finckenstein/Lehn/Schellhaas/Wegmann: Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure, Band, Teubner Verlag Stuttgart 000, ISBN von Finckenstein/Lehn/Schellhaas/Wegmann: Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure, Band, Teubner Verlag Stuttgart 00, ISBN

4 Brauch/Dreyer/Haacke: Mathematik für Ingenieure, Teubner Verlag Stuttgart 995, ISBN Übungsbücher: Wenzel/Heinrich: Übungsaufgaben zur Analysis Ü, Teubner Verlag Stuttgart Leipzig 997, ISBN (MINÖL-Reihe, Grundlage für die Übungen!). Pforr/Oehlschlaegel/Seltmann: Übungsaufgaben zur linearen Algebra und zur linearen Optimierung, Teubner Verlag Stuttgart Leipzig. (MINÖL-Reihe, Grundlage für die Übungen!). Merziger/Wirth: Repetitorium der Höheren Mathematik. Binomi Verlag Springer 999, ISBN (reines Übungsbuch, riesige Menge von Beispielen und Aufgaben mit Lösungen sowie jeweils schlagwortartig die zugrundeliegende Theorie. Sehr empfehlenswert zum Üben). Furlan: Das gelbe Rechenbuch +, Verlag Martina Furlan Dortmund, ISBN (reines Rechenbuch, kompakte Theorie, Handlungsanweisungen, Rezepte). Gärtner/Bellmann/Lyska/Schmieder: Analysis in Fragen und Übungsaufgaben, Teubner Verlag Stuttgart 995, ISBN Nachschlagewerke: Hackbusch/Schwarz/Zeidler: Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teubner Verlag, Wiesbaden. Rade/Westergren: Springers Mathematische Formeln, Springer Verlag Berlin 996, ISBN (paßt zum Buch von Vachenauer) Bronstein/Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harry Deutsch Frankfurt.... 4

5 Grundlagen. Logik, Mengen.. Gebrauch logischer Symbole Eine Aussage A ist ein sinnvolles sprachliches Gebilde, das die Eigenschaft hat, entweder wahr oder falsch zu sein. Negation: A, Ā, nicht A ; ist wahr genau dann, wenn A falsch ist. Konjunktion: A B, A und B ; ist wahr genau dann, wenn A und B beide wahr sind. Disjunktion: A B, A oder B ; ist wahr genau dann, wenn mindestens eine der beiden Aussagen A, B wahr ist. Implikation: A B, aus A folgt B, A ist hinreichend für B, B ist notwendig für A ; ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Äquivalenz: A B, A ist äquivalent zu B, A ist hinreichend und notwendig für B ; ist genau dann wahr, wenn A und B stets zugleich wahr bzw. falsch sind. Existenz-Quantor: x: P(x), es existiert ein x mit der Eigenschaft P(x). All-Quantor: x: P(x), für jedes x gilt P(x)... Mengen Menge: Zusammenfassung gewisser, wohlunterscheidbarer Dinge zu einem neuen Ganzen; die dabei zusammengefaßten Dinge heißen die Elemente der betroffenen Menge. Ist a ein Element der Menge M so schreibt man a M; ist a nicht Element von M, so schreibt man a M. Mengengleichheit: Zwei Mengen M, N sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen: M = N : (x M x N). Schreibweise: z.b. {a,b,c} für die Menge mit den Elementen a, b, c und {x: P(x)} für die Menge aller x mit der Eigenschaft P(x). 5

6 Grundlagen Teilmenge: M N gilt, wenn jedes Element von M auch Element von N ist: M N : (x M x N). Leere Menge: /0 = {} ist die Menge, die kein Element hat. Vereinigung: M N ist die Menge aller Elemente, die in M oder N liegen: M N := {x: x M x N}. Durchschnitt: M N ist die Menge aller Elemente, die in M und N zugleich liegen: M N := {x: x M x N}. Differenz: M \ N ist die Menge aller Elemente, die in M aber nicht in N liegen: M \ N := {x: x M x N}. Komplement: Sei eine Grundmenge X gegeben und sei M X. X M = M = M ist die Menge aller Elemente von X, die nicht in M liegen: X M = X \ M. Kartesisches Produkt: M N ist die Menge aller Paare aus M und N: M N := {(x,y): x M y N}. Potenzmenge: P(M), M ist die Menge aller Teilmengen von M: Beachte: /0 M, M M. M := {N : N M}...3 Zahlenmengen * Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,,,3,...}. * Die Menge der ganzen Zahlen Z = {..., 3,,,0,,,3,...}. * Die Menge der rationalen Zahlen Q = { p q : p,q Z, q 0}. Die rationalen Zahlen sind durch endliche oder periodisch unendliche Dezimalbrüche darstellbar. * Die Menge der reellen Zahlen R. Die reellen Zahlen sind durch Dezimalbrüche darstellbar. Die nicht rationalen reellen Zahlen R \ Q heißen irrationale Zahlen. * Die Menge der komplexen Zahlen C (werden später behandelt). Die komplexen Zahlen sind durch Paare reeller Zahlen darstellbar. 6

7 . Reelle Zahlen Es gilt N Z Q R C. Ist M R, dann definieren wir M >a := {x M : x > a}, M a := {x M : x a},.... Intervalle: [a,b] = {x R: a x b} ]a,b[ = (a,b) = {x R: a < x < b} ]a,b] = (a,b] = {x R: a < x b} [a,b[ = [a,b[ = {x R: a x < b} abgeschlossenes Intervall, offenes Intervall, links halboffenes Intervall, rechts halboffenes Intervall.. Reelle Zahlen.. Eigenschaften... Algebraische Eigenschaften Sei K {Q, R}. Die Addition + und die Multiplikation besitzen folgende Eigenschaften (x,y,z K): x + y = y + x, x y = y x (Kommutativgesetze) x + (y + z) = (x + y) + z, x (y z) = (x y) z (Assoziativgesetze) x (y + z) = x y + x z (Distributivgesetz) x + 0 = x (0 ist neutral bzgl. Addition) x = x ( ist neutral bzgl. Multiplikation) = x K (x + ( x) = 0) (additiv inverse Zahl) x 0 = x K (x x = ) (multiplikativ inverse Zahl) Subtraktion und Division sind über Addition bzw. Multiplikation definiert: x y := x + ( y), x : y := x y.... Ordnungseigenschaften In K {Q,R} gibt es eine Ordnungsrelation und eine Relation < definiert durch x < y : x y und x y mit folgenden Eigenschaften (für x,y,z K): 7

8 Grundlagen x x (Reflexivität) (x y y x) x = y (Antisymmetrie) (x y y z) x z (Transitivität) x y y x (totale Ordnung) x < y u K(x < u < y) (Dichtheit) x < y x + z < y + z (Verträglichkeit mit Addition) z > 0 (x < y x z < y z) (Verträglichkeit mit Multiplikation) Damit gilt die Trichotomie-Eigenschaft, daß für je zwei Zahlen x, y K genau eine der drei Beziehungen x < y, x = y, x > y. Eine Zahl x K heißt positiv, nichtnegativ, nichtpositiv bzw. negativ, wenn x > 0, x 0, x 0 bzw. x < Vollständigkeitseigenschaft von R Bisher haben wir die gemeinsamen Eigenschaften von Q und R aufgezählt. Sei wieder K {Q,R}. Sei M R. M heißt * nach oben beschränkt, wenn ein S K existiert mit x S für alle M (S ist eine obere Schranke von M, Beispiel: ],[ mit oberen Schranken, ); * nach unten beschränkt, wenn ein s K existiert mit x s für alle x M (s ist eine untere Schranke von M); * beschränkt, wenn M nach unten und oben beschränkt ist. Wenn es unter den oberen Schranken von M eine kleinste Zahl in K gibt, so heißt sie kleinste obere Schranke oder Supremum von M in K und wird mit supm bezeichnet. Analog ist die größte untere Schranke oder das Infimum infm von M in K definiert. Im Gegensatz zu Q besitzt R folgende Vollständigkeitseigenschaft: Jede nach oben beschränkte Teilmenge M von R besitzt ein Supremum in R. Sei M = {x K: x 0, x < } in K {Q,R}. Diese Menge besitzt kein Supremum in Q aber in R, nämlich supm =... Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen Ein Grundproblem der Mathematik ist die Ermittelung aller Lösungen von Systemen von Gleichungen und Ungleichungen. Am günstigsten ist immer eine äquivalente Umformung von Gleichungen und Ungleichungen. 8

9 . Reelle Zahlen... Äquivalente Umformungen Äquivalente Umformungen sind Umformungen, die die Lösungsmenge nicht verändern. Nichtäquivalente Umformungen führen zu einer (potentiellen) Ausweitung der Lösungsmenge der Gleichungen oder Ungleichungen. Ergebnisse, die nach nichtäquivalenten Umformungen erhalten werden, müssen noch als Lösungen überprüft werden. Folgende Regeln zur äquivalenten Umformung (für a, b, x, y, p, q R beliebig) ergeben sich aus den Eigenschaften der reellen Zahlen: x = y x + a = y + a x y x + a y + a x y x + a y + b, falls a b x = y ax = ay, falls a 0 { ax ay, falls a > 0 x y ax ay, falls a < 0 0 < x y 0 < y x. Folgende Regeln können zur Lösung von Gleichungen genutzt werden: wenn p 4q. xy = 0 x = 0 oder y = 0 x = a x = a oder x = a x + px + q = 0 x = p + p 4 q oder x = p p Beispiel... Man bestimme die Lösungsmenge L der folgenden Gleichung (x ) + x =. Es gibt mehrere Lösungswege, einer davon ist der folgende: und damit L = {,}. (x ) + x = x 4x x = x 3x + = 0 x = = oder x = =, 4 q, 9

10 Grundlagen... Rechnen mit Beträgen Das Rechnen mit Beträgen wird vom Anwender oft als unangenehm empfunden, da der Begriff "Betrag" zweigeteilt definiert ist. Man kann aber alle Schwierigkeiten ausräumen, wenn man sich stur an die Definition und die Rechenregeln hält. Diese seien im folgenden benannt. Definition... Für eine reelle Zahl a R wird der Betrag von a festgesetzt durch a := a, falls a 0 und a, falls a < 0. Beispiel..3. Es ist 3 = 3, aber auch 3 = 3 = ( 3). Rechenregeln (für a, b, x R beliebig): a = a a a a a b = a b a = a (a 0) a + b a + b (Dreiecksungleichung) a b b a b oder b a b x a b a b x a + b a = a a = a Eine Auflösung von Betragsungleichungen geschieht in der Regel durch Fallunterscheidung oder durch Veranschaulichung auf der Zahlengeraden. Beispiel..4. Man bestimme die Lösungsmenge L von x + + x. Fallunterscheidung:. Fall: x <. Dann gilt x + + x (x + ) (x ) x, und daher L = ], [ [, [ = /0.. Fall: x <. Dann gilt x + + x (x + ) (x ), und daher L = [,[ R = [,[. 0

11 . Reelle Zahlen 3. Fall: x. Dann gilt x + + x (x + ) + (x ) x, und daher L 3 = [, [ ],] = {}. Zusammengefaßt: L = L L L 3 = [,]...3 Das Induktionsprinzip und einige Anwendungen..3. Beweisprinzip der vollständigen Induktion Eine Aussage A(n), die von n N abhängt, ist gültig für alle n n 0, wenn gilt:. (Induktionsanfang) A(n 0 ) ist gültig.. (Induktionsschritt) Aus n n 0 und der Aussage A(n) folgt die Aussage A(n + ). Beispiel..5. Die Ungleichung n n + 5 gilt für alle natürlichen Zahlen n 3. (Beweis durch vollständige Induktion). Induktionsanfang: Die Ungleichung gilt für n = n 0 = 3, da 3 = 9 8 = Induktionsschritt: Die Ungleichung gelte für ein beliebiges n, d.h., es sei n n + 5. (..) Zu zeigen ist, daß sie dann auch für n + gilt. Nun, es gilt unter Verwendung von (..) (n + ) = n + n + n n + (n + ) Prinzip der rekursiven Definition Ein Begriff, der für alle natürlichen Zahlen n n 0 definiert werden soll, kann folgendermaßen festgelegt werden:. Definiere ihn für n = n 0.. Definiere ihn für n unter Zuhilfenahme der (hypothetisch) bereits erfolgten Definition für n, n n 0. Für n N und x R definieren wir die Potenzen mit natürlichen Exponenten rekursiv durch x 0 :=, x n := x x n (n N ). Dies findet speziell Anwendung in den folgenden drei Abschnitten.

12 Grundlagen..3.3 Summen- und Produktzeichen Für vorgegebene Zahlen a 0,a,...,a n,... R setzen wir rekursiv fest n i=0 n i=0 a i := a 0 für n < 0, a i := für n < 0, n i=0 n i=0 n a i := a n + a i =: a a n für n 0, a i = a n i=0 n i=0 a i =: a 0 a n für n 0. Aus der Dreiecksungleichung folgt mit vollständiger Induktion: n n a i a i. i=0 i= Die Fakultäten Für n N definieren wir n! (sprich: n-fakultät) rekursiv durch Damit gilt zum Beispiel 0! :=, n! := n (n )!=: n (n ) für n N. 0! =,! = 0! =,! =! =,.... Definition..6. Sei M eine Menge. Eine Anordnung aller Elemente von M unter Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung von Elementen heißt Permutation. Beispiel..7. Es werde die Menge {,, 3} betrachtet. Deren Elemente kann man in folgenden Weisen anordnen: 3, 3, 3, 3, 3, 3. Dies sind 6 = 3! Anordungen. Satz..8. Sei n N\{0}. Dann besitzt eine n-elementige Menge genau n! Permutationen Binomialkoeffizienten Für k,n N, n k setzen wir ( ) n n! := k k!(n k)!.

13 . Reelle Zahlen Rechenregeln für k n: ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n = =, = 0 n n = n, ( ) ( ) n n =, k n k ( ) n + = k ( ) n + k ( ) n. k Letztere Formel ist Grundlage für das Pascalsche Dreieck: ( 0 ( 0) ( k) ( k) 3 ( k) k) ( 5 k) Anwendungen der Binomialkoeffizienten Definition..9. Sei M eine Menge. Die Auswahl von k Elementen von M ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung von Elementen heißt Kombination zur k-ten Klasse. Satz..0. Seien n,k N, 0 < k n. Dann gibt es ( n k) Kombinationen einer n-elementigen Menge zur k-ten Klasse. Folgerung... Seien n,k N, 0 < k n. Dann gibt es ( n k) verschiedene, k-elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge. Beispiel... Lottozahlen 6 aus 49: ( 49 6 ) = Möglichkeiten. Satz..3 (Binomischer Lehrsatz). Für a,b R und n N gilt ( ) n (a + b) n = a k b n k. k Folgerungen: n = ( + ) n = n k=0 n k=0 ( ) n k n k = k n k=0 ( ) n, ( + x) n = k n k=0 ( ) n x k. k Folgerung..4. Die Potenzmenge M einer n-elementigen Menge hat n Elemente. 3

14 Grundlagen..4 Potenzen und Logarithmen..4. Potenzen Wir definieren hier die Potenzen mit reellen Exponenten. Für x R 0 und n N sei die n-te Wurzel n x definiert als die nichtnegative Lösung der Gleichung w der Gleichung w n = x: n x := sup{v 0: v n x}. Für x R >0 und r Q 0, r = p q mit p,q N, definieren wir die Potenzen mit rationalen Exponenten durch x r := x p q := ( q x ) p und x r := x r. Schließlich seien für x R >0, y R die Potenzen mit reellen Exponenten definiert durch sup{x r : r Q [0,y]}, falls y, x y := inf{x r : r Q [0,y]}, falls y [0,[, /x y, falls y < 0. Die Definition kann zum Teil auch auf nichtpositive Basen fortgesetzt werden. Die Potenzen zu positiven Basen a, b genügen folgenden Potenzgesetzen: a r a s = a r+s, a r /a s = a r s, a r b r = (ab) r, a r /b r = (a/b) r, (a r ) s = a rs. Beachte: Die Potenzgesetze gelten nicht immer für negative Basen: Zum Beispiel gilt x = x für x R und nicht x = x (häufiger Fehler!), z.b. ( ) =...4. Logarithmen Wir wenden uns nun der Gleichung a x = b für a > 0, a, b > 0 zu. Man kann zeigen, daß die Menge M(a,b) := {x R : a x b} nichtleer und für a > von oben und für a < von unten beschränkt ist. Damit existiert ihr Supremum bzw. Infimum und wir definieren den Logarithmus von b zur Basis a durch log a b := supm(a,b) für a > und log a b := infm(a,b) für a <. 4

15 .3 Abbildungen und Funktionen Man kann zeigen, daß die so definierte Zahl log a b die einzige Lösung von a x = b ist, d.h., a log a b = b. (..) Aus den Potenzgesetzen ergeben sich folgende Logarithmengesetze für a,b > 0,, x,y > 0, r R: log a b log b a =, log a (xy) = log a x + log a y, log a (x r ) = r log a x, log b x = log b a log a x. Übliche Basen sind 0, (in der Informatik) und die irrationale Zahl e = Abbildungen und Funktionen.3. Allgemeine Eigenschaften von Abbildungen und Funktionen.3.. Definition Definition.3.. Seien X, Y Mengen. Eine Teilmenge f X Y heißt Abbildung aus X in Y, wenn aus (x,y ) f und (x,y ) f stets y = y folgt. Eine Abbildung f ordnet damit Elementen x aus X genau ein Element y aus Y zu, y = f (x) : (x,y) f. Die Mengen D( f ) = {x X : y((x,y) f )}, W( f ) = {y Y : x((x,y) f )}, graph( f ) = {(x,y) f } = f heißen Definitions-, Wertebereich bzw. Graph von f. Schreibweise: f : D( f ) X Y, f : X Y, wenn D( f ) = X, x f (x) für x D( f ). Gleichheit: Seien f : D( f ) X Y, g: D(g) U V. Dann f = g : (U = X) (Y = V ) (D( f ) = D(g)) ( f (x) = g(x) für x D( f )). 5

16 Grundlagen Reelle Funktionen von n reellen Variablen: X = R n, Y = R. Sei f : A B eine Abbildung. Bild f (A ) von A unter f : Urbild f (B ) von B unter f : Eine Abbildung f : A B heißt: f (A ) := {y B: x A mit y = f (x)}. f (B ) := {x A: f (x) B }. surjektiv (oder Abbildung auf) : f (A) = B, injektiv (oder eineindeutig) : (x x f (x ) f (x )), bijektiv (oder eineindeutig auf) : f ist surjektiv und injektiv. f : A B ist nicht surjektiv, wenn es ein y B gibt, das nicht Bild eines Punktes aus A ist. f : A B ist nicht injektiv, wenn es zwei verschiedene Punkte x,x A mit gleichem Bildwert f (x ) = f (x ) gibt. Streng monotone Funktionen sind injektiv..3.. Zusammensetzung von Funktionen Wir bilden folgende Zusammensetzungen von Funktionen mit dem sich natürlich ergebenden Definitionsbereich: Seien dazu f und g reelle Funktionen mit Definitionsbereichen D( f ) bzw. D(g) und sei λ R. Man setzt Summe ( f + g)(x) := f (x) + g(x) auf D( f + g) := D( f ) D(g) Differenz ( f g)(x) := f (x) g(x) auf D( f g) := D( f ) D(g) Produkt ( f g)(x) := f (x) g(x) auf D( f g) := D( f ) D(g) Quotient und f f (x) (x) := g g(x) auf D( f ) := (D( f ) D(g)) \ {x D(g): g(x) = 0} g skalares Vielfaches (λ f )(x) := λ f (x) auf D(λ f ) := D( f ). Schließlich definieren wir für f : D( f ) X Y, g: D(g) Y Z die Komposition (zusammengesetzte Funktion) g f durch Komposition (g f )(x) := g( f (x)) auf D(g f ) := f (D(g)) D( f ). 6

17 .3 Abbildungen und Funktionen.3..3 Umkehrabbildungen Definition.3.. g: D(g) Y X heißt Umkehrabbildung oder inverse Abbildung zu f : D( f ) X Y, wenn D(g) = f (X), D( f ) = g(y ) und g( f (x)) = x für x D( f ). Sie wird mit f bezeichnet. Satz.3.3 (Umkehrabbildung). Ist f : A B bijektiv, so existiert die zu f inverse Abbildung f : B A. Ist f : A B bijektiv, so erhält man f : B A durch:. y = f (x) nach x auflösen: x = f (y). x und y formal vertauschen: y = f (x) Für eine Funktion f erhält man graph f durch Spiegelung von graph f an der Geraden x = y..3. Elementare Funktionen.3.. Potenzfunktionen Wir definieren die Potenzfunktion pot r zum Exponenten r R durch pot r : R >0 R >0, x x r Die Potenzgesetze ergeben entsprechende Eigenschaften der Potenzfunktion, z.b. Wegen y 0 8 x pot r (pot /r x) = (x r ) r = x r r = x für x > 0, ist pot r die Umkehrfunktion zu pot r. 6 4 x x.3.. Polynome und gebrochen-rationale Funktionen Seien n N, a 0,...,a n R. Dann ist p: R R mit ein Polynom. p(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 7

18 Grundlagen Gilt a n 0 oder n = 0, so heißt n der Grad deg p des Polynoms. Gilt p(x 0 ) = 0, so heißt x 0 eine Nullstelle von p. Eine Funktion R: D(R) R R heißt gebrochen-rationale Funktion, wenn Polynome p und q existieren, so daß R(x) = p(x) für x D(R). q(x) (Insbesondere muß q so existieren, daß q(x) 0 für x D(R).) R heißt echt-gebrochen, wenn deg p < degq. Eine Zahl x 0 D(R) heißt Nullstelle von R, wenn R(x 0 ) = 0, d.h., p(x 0 ) = 0. Eine Zahl x 0 D(R) heißt Polstelle von R, wenn p und q so existieren, daß p(x 0 ) 0 und q(x 0 ) = Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen) Dies sind sin: R R, cos: R R und die daraus abgeleiteten Funktionen tan, cot, sec, cosec, wobei sinβ = b c, cosβ = a c, tanβ = b a = sinβ cosβ, cotβ = a b = cosβ sinβ, secβ = c a = cosβ, cosecβ = c b = sinβ. c β a b Der Winkel α ist dabei im Bogenmaß zu nehmen: π = 360. Wertetabelle: x 0 π 6 π 4 π 3 π cosx sinx

19 .3 Abbildungen und Funktionen Wichtigste Eigenschaften: Symmetrie: sin( x) = sinx, cos( x) = cos(x), Additionstheoreme: sin x + cos x =, sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny, cos(x + y) = cosxcosy sinxsiny, Periodizität: sin(π x) = sinx, sin(x + kπ) = sin(x), cos(π x) = cosx, cos(x + kπ) = cos(x). Weitere Eigenschaften siehe in einer Formelsammlung. Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen können nur auf Monotonieintervallen definiert werden: Die Einschränkung sin [ π, π der Sinusfunktion auf ] das Intervall [ π, π ] ist streng monoton wachsend mit dem Bildbereich [,]. y sin x x y Daher existiert dazu die Umkehrfunktion Arcussinus genannt. arcsin: [,] [ π, π ], - arcsin x - x Die Einschränkung cos [0,π] der Cosinusfunktion aufincludegraphics[scale=0.8]funktion004.mps das Intervall [0, π] ist streng monoton fallend mit dem Bildbereich [,]. y 3 Daher existiert dazu die Umkehrfunktion Arcuscosinus genannt. arccos: [,] [0,π], arccos x - x 9

20 Grundlagen y tan x 5 Die Einschränkung tan ] π, π der Tangensfunktion [ auf das Intervall ] π, π [ ist streng monoton wachsend mit dem Bildbereich ], [ x Daher existiert dazu die Umkehrfunktion arctan: ], [ ] π, π [. Arcustangens genannt. y arctan x x.3..4 Logarithmus- und Exponentialfunktion y 0 Die Exponentialfunktion zur Basis b > 0 ist definiert durch exp b : R R >0, x exp b (x) := b x. Eigenschaften ergeben sich aus den Potenzgesetzen. Die Logarithmusfunktion zur Basis b > 0, b ist definiert durch log b : R >0 R, x log b x y x x Eigenschaften ergeben sich aus den Logarithmengesetzen. Insbesondere gilt exp b (log b x) = x für x R >0 und log b (exp b x) = x für x R. Damit sind exp b und log b Umkehrfunktionen zueinander. 0

21 .3 Abbildungen und Funktionen.3..5 Hyperbelfunktionen Eine besondere Rolle spielen die natürlichen Exponential- bzw. Logarithmusfunktion exp := exp e, ln := log e mit der Basis e = (diese Zahl wird später genau definiert). Mit Hilfe der Exponentialfunktion können weitere Funktionen gebildet werden, die für die Technik Bedeutung haben. Die bekanntesten sind die Hyperbelfunktionen. Sinus hyperbolicus sinh: R R und Cosinus hyperbolicus cosh: R R >0 sind definiert durch sinhx = ex e x, coshx = ex + e x. y sinh x x y x Sie haben Eigenschaften, die sehr stark an Sinus und Cosinus erinnern, obwohl sie mit diesen Funktionen nicht direkt etwas zu tun haben: Symmetrie : sinh( x) = sinhx, cosh( x) = cosh(x), Additionstheoreme: cosh x sinh x =, sinh(x + y) = sinhxcoshy+coshxsinhy, cosh(x + y) = coshxcoshy+sinhxsinhy. All diese Eigenschaften leiten sich unmittelbar aus den Definitionen her. Beachte sinh(0) = 0 und cosh(0) =. Ein schönes Anwendungsbeispiel für die Hyperbelfunktionen ist Beispiel.3.4. Ein homogenes, an seinen Endpunkten aufgehängtes, nur durch sein Eigengewicht belastetes Seil hat die Form einer Kettenlinie ( ) x b y(x) = acosh + c. a Hierin sind a,b,c konstant, a > 0.

22 Grundlagen.3..6 Areafunktionen Die Umkehrfunktionen von sinh und cosh R>0 heißen Area sinus hyperbolicus bzw. Area cosinus hyperbolicus, arsinh: R R, arcosh: [, [ R 0. So wie sinh und cosh durch die exp-funktion ausgedrückt werden, können die Area-Funktionen durch die Logarithmusfunktion beschrieben werden. Wir sehen dies durch Auflösen der Gleichungen y = sinhx bzw. y = coshx nach x. Es gilt y = sinhx y = ex e x e x y = e x (e x ) ye x = e x = y + y + oder e x = y y +. Dabei kann das -Zeichen nicht wirklich auftreten, da y + > y und e x > 0. Also gilt x = ln(y + y + ). Damit hat man ( ) arsinh x = ln x + x + ( ) arcosh x = ln x + x und entsprechend (x ).